Достаточные множества в весовых пространствах Фреше целых функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Варзиев Владислав Аликович

ДОСТАТОЧНЫЕ МНОЖЕСТВА В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ФРЕШЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 ДЕК 2013

Ростов-на-Дону-2 013

005543568

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждение науки Южный математический институт Владикавказского научного центра Российской академии наук и Правительства Республики Северная Осетия-Алания.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Абанин Александр Васильевич

Официальные оппоненты:

Мусин Ильдар Хамитович

доктор физико-математических наук,

ФГБ УН «Институт математики с вычислительным

центром» Уфимского научного центра

Российской академии наук,

ведущий научный сотрудник отдела теории функций Фетисов Валерий Георгиевич

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Донской государственный технический университет»,

профессор кафедры «Математика» Института сферы обслуживания и предпринимательства (филиала) Донского государственного технического университета

Ведущая организация:

ФГБОУ ВПО «Московский педагогический государственный университет» (Москва)

Защита состоится 24 декабря 2013 г. в 16 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.208.29 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Южном федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8-а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южного федерального университета по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан 18 ноября 2013 г.

Ученый секретарь .

диссертационного совета Д 212.208.29 К^у Кряквин В. Д.

1. Общая характеристика работы

Актуальность темы. Задача представления гладких функций рядами по заданным последовательностям функций простого вида является классической и, наряду с самостоятельным интересом, имеет важное прикладное значение (например, при изучении разного рода функциональных уравнений).

Особое место в данной тематике занимают разложения в ряды экспонент в пространствах голоморфных в области функций. Они обладают рядом специфических свойств, которые кардинально отличают их от их действительных аналогов, коими являются ряды Фурье. В частности, как известно, такие разложения, как правило, неединственны.

Основополагающими в этой тематике являются исследования

A. Ф. Леонтьева, начатые в 60-х годах прошлого века. Им было показано, что для любой ограниченной выпуклой области С комплексной плоскости С можно подобрать такую последовательность комплексных чисел

, что всякую функцию / аналитическую в С? можно представить в виде абсолютно сходящегося ряда

оо к=1

в пространстве А(С) всех аналитических в С7 функций. Эта область теории функций была предметом исследования для многих известных специалистов, среди которых В. П. Громов, В. К. Дзядык, Ю. И. Мельник,

B. X. Мусоян, А. М. Седлецкий, Ю. Н. Фролов, А. П. Хромов, В. И. Шевцов.

Качественно новый подход к данной тематике разработал Ю. Ф. Коробейник (1975). Он подошел к проблеме представления функций рядами с точки зрения теории линейных операторов в локально выпуклых пространствах на основе изучения нового понятия абсолютно представляющей системы (коротко, АПС), которое определяется следующим образом.

Пусть Е — локально выпуклое пространство. Говорят, что последовательность £ = (р-к)^=1 ненулевых элементов Е образует АПС в Е, если каждый элемент х 6 Е допускает представление в виде ряда х = cfcefc> абсолютно сходящееся к ж по топологии Е.

Этот подход Ю. Ф. Коробейника оказался очень плодотворным, что стало побудительным мотивом для развития теории АПС, как общей, так и для конкретных пространств и систем (главным образом, систем экспонент и их обобщений). К нему подключились и его ученики А. В. Аба-нин, Jle Хай Хой, С. Н. Мелихов, А. Б. Михайлов, В. В. Моржаков, В. Б. Шерстюков, И. С. Шрайфель и рад других математиков, среди которых Б. В. Винницкий, В. П. Громов, В. М. Кадец, Р. В. Вершинин и ДР-

Начиная с середины 70-х годов прошлого века, параллельно с теорией АПС начал интенсивно разрабатываться другой подход к представлению функций рядами экспонент, шедший от JI. Эренпрайса (1970). Им было предложено использовать для этих целей, так называемые, достаточные множества (коротко, ДМ), которые определяются следующим образом.

По непрерывной вещественнозначной функции на С (весу) образуем банахово пространство

Е(<р) := {/ € Я(С) : ||/||„ := sup ^ < оо} ,

где Н(С) — пространство всех целых в С функций.

Каждое семейство Ф весов порождает отделимое локально выпуклое пространство Е(Ф) := П^еФ с топологией Тф, задаваемой набором

норм (II • ||^ : у е Ф}.

Для произвольного подмножества S С С рассмотрим в Е(Ф) другую, вообще говоря, более слабую локально выпуклую топологию t<iv<j, задаваемую набором преднорм

||/||v,s := sup ЦЙт < оо (/6 Е(Ф), <р е Ф).

В случае, когда Тф^ совпадает с Тф, множество S называется доста-точньил для Е(Ф).

Подход к представлению функций из конкретных пространств аналитических и бесконечно дифференцируемых функций рядами экспонент и их обобщений, основанный на применении ДМ, активно развивался в конце 70-х и начале 80-х годов прошлого столетия в работах В. В. Напалкова и его учеников А. Б. Секерина, Р. С. Юлмухаметова и др. При этом на тот момент времени более удобными для исследования и интересными с точки зрения приложений оказались близкие по сути к достаточным слабо достаточные множества (коротко, СДМ), введенные Д. М. Шнейде-ром (1974) для индуктивных пределов последовательностей весовых банаховых пространств ((¿¿^-пространств) целых функций. Д. М. Шнайдером было установлено, что всякое ДМ в таких пространствах является СДМ. Обратный результат был доказан независимо В. В. Напалковым (1982) и в совместной работе К. Д. Бирштедта, Р. Майзе и У. Саммерса (1982).

В своих работах конца 70-х — начала 80-х годов Ю. Ф. Коробейник показал, что при двойственной взаимосвязи между функциональными пространствами посредством преобразования Лапласа функционалов, свойство системы экспонент быть АПС в пространстве Фреше эквивалентно свойству последовательности ее показателей быть СДМ в соответствующей реализации сопряженного пространства. Эти результаты широко использовались впоследствии для построения АПС обобщенных экспонент в различных конкретных пространствах в работах А. В. Абанина и С. В. Петрова, И. X. Мусина, Н. И. Рахимкулова и др.

Общая теория СДМ в весовых (¿¿^-пространствах развивалась в основном в работах А. В. Абанина.

Одним из наиболее интересных приложений СДМ в теории АПС является изучение проблемы существования линейного непрерывного правого обратного (коротко, ЛНПО) у сюръективного оператора представления Х^еи сзхз> действующего из соответствующего коэффициентного пространства последовательностей К в данное пространство Е, в котором система (я,)^ является абсолютно представляющей. Ее еще называют проблемой коэффициентов. Интерес к изучению этой проблемы заключа-

ется в том, что для ряда пространств и систем (в частности, для многих пространств аналитических и бесконечно дифференцируемых функций и систем обобщенных экспонент) представление функций по этим системам неединственпо, а значит возникает необходимость выяснить имеется ли возможность указать линейную и непрерывную зависимость коэффициентов разложения от разлагаемой функции. Изучением проблемы коэффициентов занимались Ю. Ф. Коробейник, С. Н. Мелихов, О. А. Иванова и др.

В начале 90-х годов Ю. Ф. Коробейник и С. Н. Мелихов доказали критерии существования ЛНПО к оператору представления Я, где в качестве Е выступало пространство Л(С) аналитических на в функций (С _ ограниченная выпуклая область в С), а в качестве представляющих систем брались системы экспонент. В 2002 г. С. Н. Мелихов исследовал проблему коэффициентов с позиций теории двойственности локально выпуклых пространств. Суть метода заключается в том, что задача о ЛНПО к оператору представления Л сводится к задаче о линейном непрерывном левом обратном (коротко, ЛНЛО) к сопряженному к Я оператору сужения на последовательность (А^ен, где — последовательность нулей специальной целой функции Ь определенного роста.

Перечисленные выше результаты для ДМ и СДМ и оператора сужения касаются (£В)-пространств, а для АПС — пространств Фреше. Между тем, имеется двойственный случай — ДМ в пространствах Фреше и АПС в (ЬВ)-пространствах. Именно, требуется изучить ДМ в весовых пространствах Фреше Р(Ф) = ПГ=1 Е((Рп), порожденных весовыми последовательностями Ф = (¥>„)£=! проективного типа (т. е. направленных по убыванию влево ... -< <Р2 -< Ч>{), и затем применить полученные результаты к АПС в (ЬВ)-пространствах.

Формально этот случай представляется более простым, чем индуктивный. Однако, вплоть до настоящего времени никаких сколь-нибудь общих нетривиальных результатов о ДМ для пространств проективного типа не было. При этом, они представляют никак не меньший интерес, чем (слабо) достаточные множества для пространств индуктивного типа. Например,

так же как и для СДМ, при наличии определенной двойственности между функциональными пространствами имеется непосредственная связь между достаточными для Р(Ф) множествами, с одной стороны, и представлением функций рядами обобщенных экспонент или разрешимостью уравнений типа свертки, с другой.

Такое положение дел с данным направлением объясняется, прежде всего, отсутствием адекватных методов исследования достаточных множеств в пространствах Фреше и операторов представления и свертки в индуктивных пределах. Единственной работой в данном направлении является вышедшая недавно статья А. В. Абаиина, Ю. С. Налбандян и Ле Хай Хоя (2011), в которой для конкретного пространства голоморфных в области функций полиномиального роста вблизи границы было установлено существование минимальных АПС экспонент в (ЬД)-пространстве голоморфных в выпуклой области функций полиномиального роста вблизи границы. Ясно, что этот результат имеет естественную переформулировку для ДМ в сопряженном весовом пространстве Фреше целых функций. Этот пример приводит к выводу о возможности получения подобных результатов с общих позиций.

Таким образом, представляется актуальным проведение систематических исследований достаточных множеств для пространств Фреше в общем случае и разработка их приложений к абсолютно представляющим системам в (ЫЗ)-пространствах.

Целью диссертационного исследования является решение ряда задач данного актуального направления, в которых требуется:

— изучить общие свойства достаточных множеств в весовых пространствах Фреше целых функций;

— ввести понятие минимальных достаточных множеств для пространств вида Р(Ф) и дать описание таких множеств;

— установить условия существования линейного непрерывного левого обратного к оператору сужения на минимальное достаточное множество;

— примененить полученные результаты к построению минимальных абсолютно представляющих систем для пространств голоморфных в области функций заданного роста вблизи границы и задаче о существовании линейных непрерывных правых обратных к операторам представления в (¿.¿^-пространствах.

Методы исследования. В диссертационной работе используются методы современного и классического функционального анализа, методы теории двойственности, а также теория целых функций. При изучении достаточных множеств в пространствах Фреше целых функций и проблемы существования линейного непрерывного левого обратного к оператору сужения на достаточное множество применяются схемы исследования, предложенные ранее в двойственной ситуации А. В. Абаниным и С. Н. Мелиховым.

Научная новизна и основные результаты, выносимые на защиту. В работе получены следующие новые результаты:

— показано, что всякое достаточное для Р(Ф) множество заведомо переполнено, т. е. из него можно исключить любое конечное число элементов без потери свойства быть достаточным;

— введено понятие минимальных достаточных множеств для -Р(Ф) и установлены условия, при которых последовательность нулей целых функций определенного роста является минимальным достаточным множеством для данного пространства;

— получены необходимые и достаточные условия существования линейного непрерывного левого обратного к оператору сужения на минимальные достаточные множества;

— построены примеры минимальных абсолютно представляющих систем для пространств голоморфных в области функций степенного роста вблизи границы и установлены критерии существования

линейных непрерывных правых обратных операторов к операторам представления по дельта-функциям и обобщенным экспонентам в некоторых (ЬВ)-пространствах.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Разработанные в ней методы могут найти дальнейшие применения, например, в вопросах представления функций из различных пространств индуктивного типа рядами по системам обобщенных экспонент и исследования функциональных уравнений, прежде всего, уравнений типа свертки.

Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались по мере получения на семинаре «Алгебра и анализ» в ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, на научном семинаре по анализу ЮФУ, на Международной конференции «Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование» в Волгодонске (2009, 2011 гг.), на Международной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» во Владикавказе (2008, 2010 гг.), на Воронежской международной конференции «Понтрягинские чтения XX» (2009 г.), на Международной конференции молодых ученых «Математический анализ и математическое моделирование» во Владикавказе (2009, 2010 гг.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ. Результаты главы 1 опубликованы в [4], главы 2 — в [3] и главы 3 — в [1], [2], [5]. В работе [1] постановка задачи и схема исследования принадлежит С. Н. Мелихову, а ее реализация — В. А. Варзиеву. В совместных с научным руководителем публикациях [2]-[4] А. В. Абанину принадлежат постановки задач и указание методов исследования, а В. А. Варзиеву — основные результаты и их доказательства.

2. Краткое содержание работы

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. В нижеприведенном обзоре мы будем придерживаться нумерации результатов в диссертации.

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируется цель работы, дается литературный обзор по изучаемому вопросу, приводится краткое содержание диссертации.

В первой главе диссертации изучаются достаточные множества в пространствах Фреше целых функций с равномерными весовыми оценками.

В первом параграфе, имеющем вводный характер, излагаются используемые в дальнейшем базовые понятия, касающиеся весовых пространств и мультипликаторов в них. Второй параграф посвящен основным свойствам ДМ, в третьем изучаются минимальные ДМ, а в четвертом обсуждаются дополнительные условия, при которых получены основные результаты. Приведем коротко основные результаты главы.

Будем говорить, что последовательность весов Ф = является

проективной, если для любого п е N существует такая постоянная С, что выполняется неравенство vWiO2) ^ <Pn(z) + С (z е С). Последовательность Ф порождает пространство Фреше Р(Ф) = Ппен топология которого мажорирует топологию равномерной сходимости на компактах из С.

Всюду ниже Л = (^k)^Li — фиксированная последовательность попарно различных точек комплексной плоскости с |Afc| —> оо при А; —» оо.

Непосредственно из определения ДМ вытекает следующий критерий.

Теорема 1.2.1. Последовательность Л = (А*)^ является достаточным множеством для Р(Ф) тогда и только тогда, когда для любого п g N существуют номер m G N и константа С ^ 0 такие, что

sup Щ\ < с sup Щ^г для всех f б Р(Ф). 2бс e^W fc6N ev«^)

Наибольший интерес представляют собой наиболее редкие ДМ, поэтому возникает естественный вопрос — существуют ли ДМ, которые теряют это свойство после удаления из них хотя бы одного элемента? В диссертации показано, что, как правило, ответ на этот вопрос отрицателен. Именно, заметим, что все пространства, изучаемые в приложениях, задаются

весовыми последовательностями Ф, обладающими свойством разделенно-сти логарифмом:

УтеМЗгабМЗСХ): <рп(г) + кщ(1 + |г|) ^ + С (г € С).

Это условие обеспечивает свойство инвариантности пространства Р(Ф) относительно умножения на независимую переменную. Отсюда и из более общих результатов диссертации выводится такой факт.

Следствие 1.2.4. Пусть последовательность Ф разделена логарифмом. Тогда из любого ДМ для Р(Ф) можно отбросить любое конечное число точек, не нарушив его свойства быть ДМ для Р(Ф).

Итак, практически для всех пространств вида Р(Ф) мы можем из любого ДМ для них удалять любое конечное число точек, не нарушая его свойства быть ДМ. Другими словами, минимальных ДМ, в полном смысле этого слова, для таких пространств не существует. Поэтому встает вопрос об адекватном введении понятия минимальных ДМ. Они определяются, следуя основополагающей идее А. Ф. Леонтьева, использованной ранее в двойственной ситуации А. В. Абаниным, как нулевые множества специальных целых функций. Суть этого подхода основана на том, что рост целой функции зависит непосредственно от распределения ее нулей, т. е., регулируя рост функции, мы можем регулировать количество ее нулей, которые и составляет предполагаемое ДМ. В связи с этим заметим, что, как следует из сформулированного выше критерия ДМ, каждое ДМ 5" для Р(Ф) является для этого пространства множеством единственности, т. е. ни одна отличная от тождественного нуля функция из Р(Ф) не может обращаться в нуль всюду на 5. Таким образом, если предположить, что А = (А*)^ — ДМ для Р(Ф) и Ь — целая функция с нулями в точках \к, к = 1, 2,..., то Ь не может принадлежать Р(Ф). Поэтому в качестве таких функций следует брать элементы близкого к Р(Ф) более широкого пространства. В диссертации предлагается использовать для этой цели пространство

оо оо

£(ф) := П и - Ут).

п=1 т=1

Определение 1.3.1. Последовательность Л = (Лk)kLi называется минимальной для Р(Ф), если имеется отличная от тождественного нуля функция L из Р( Ф), для которой А к (к = 1,2,...) являются нулями.

Допустим, что Л — минимальная для Р(Ф) последовательность. Обозначим через С{Ф; Л) семейство всех функций L, удовлетворяющих только что введенному определению.

Для того чтобы сформулировать основной результат первой главы, нам понадобиться ввести некоторые вспомогательные понятия.

Рассмотрим множество последовательностей положительных чисел

Г(Л,Ф) := : 7* > 0 и УпЭтЭОО

log — ^„(Afc)-^m(Afc) + CVfceN).

7к J

Для 7 6 Г(Л, Ф) положим Щ := UfcLi(A е с : |А - Afc| < jk}.

Будем говорить, что. Л и Ф согласованы, если имеется хотя бы одна последовательность 7 6 Г(Л, Ф), для которой множество C\Uy достаточно для Р{Ф). Далее, назовем Ф правильной, если

Vn 3 s Vfc 3m Зс > 0 :

sup {|М(А)| : fi е В{уп - ч>т) П УИ(Ф)} ^ ceV'M-v-W (A е С).

Здесь B(ipn — <Рт) — единичный шар пространства E(ipn — ¡рт).

Напомним также, что целая функция d называется регулярным мультипликатором пространства Р(Ф), если d-f £ Р{Ф) для любой функции / G Р(Ф) и подпространство {d-/ : / € -Р(Ф)} замкнуто в Р(Ф). Основным результатом главы является следующая теорема.

Теорема 1.3.7. Пусть Л = (Afc)gi1 — минимальная для -Р(Ф) последовательность и L — какая-либо функция из £(Ф;Л). Обозначим через А последовательность всех пулей L. Предположим, что существует такой отличный от тождественного нуля регулярный мультипликатор d пространства Р(Ф), который обращается в нуль во всех точках Л \ Л, причем с не меньшей, чем L, кратностью. Далее, допустим, что имеются помер

По 6 N и такие окружности {гбС: \г\ = гт} с гт | +оо, что

(1.3.17)

Если Л и Ф согласованы и Ф правильна, то А — ДМ для Р(Ф).

В частности, А — достаточное множество для Р(Ф), в случае, когда А и Ф согласованы и Ф правильна, и А — последовательность всех нулей функции из £(Ф;Л), удовлетворяющей условиям (1.3.16) и (1.3.17) при

Ясно, что наиболее трудными для проверки являются требования согласованности Л и Ф и правильности Ф. В четвертом параграфе первой главы приводятся удобные для использования в приложениях достаточные условия выполнения этих требований.

Во второй главе изучается вопрос существования линейного непрерывного левого обратного к операторам сужения.

В первом параграфе второй главы представлена постановка решаемой задачи, которая заключается в следующем.

С каждым весом <рп 6 Ф свяжем банахово пространство последовательностей комплексных чисел

образуем пространство Фреше Р(Ф, Л) := Пп=1 ^('-Рп, А) и рассмотрим оператор сужения Д : / н-» (/(А^))^^, действующий линейно и непрерывно из Р(Ф) в Р(Ф,Л).

С точки зрения приложений значительный интерес представляет задача о существовании у Я : Р(Ф) —> Р(Ф, Л) ЛНЛО, т. е. о теоретической возможности линейного и непрерывного восстановления функций из Р(Ф) по их значениям /(Ак) (к = 1,2,...). Задача о существовании ЛНЛО у оператора сужения Д : Р(Ф) —> Р(Ф, Л) исследуется в диссертации для

ф) = 1.

%,Л):={с=Ы£1: |с|;

!п •'= вир

к>1 еУ^)

ы

< оо

последовательностей Л, являющихся минимальными ДМ для пространства Р(Ф + 1р), где ф — некоторая фиксированная локально ограниченная в С функция. Более того, предполагается, что в классе Р(Ф + ф) имеется функция Ь, для которой точки Хк являются простыми нулями и других нулей у нее пет, и что эта функция удовлетворяет следующим условиям леонтьевского типа:

(Ь1) УпЗттеЗСХ): \og\Liz)] ^2(рп{г)+ ф{г) - <рт{г) + С (г & С)-,

(Ь2) существует последовательность окружностей {г : \г\ = гт}, гт | оо, на которой выполняется оценка

1рПо(г) + ф{г), \г\ = гт, т = 1,2,...;

(ЬЗ)

оо 1

Ь 1^)1

где по — некоторый фиксированный номер.

Во втором и третьем параграфах получены (отдельно) достаточные и необходимые условия существования ЛНЛО к оператору сужения Л, соответственно, а в четвертом параграфе формулируется объединенный результат типа критерия. Мы приведем его здесь без некоторых подробностей технического плана.

Теорема 2.4.1. Пусть Ф, ф, К и Ь удовлетворяют всем вышеуказанным предварительным условиям и дополнительно известно, что АиФ согласованы. Рассмотрим два утверждения:

(г) Оператор сужения К : Р(Ф) —<> Р(Ф, Л) имеет ЛНЛО. (и) Имеется такая целая в С2 функция С(г, А), которая удовлетворяет условиям

С(г,г) = Цг) (г е С); (2.4.1)

\fl3m300: |С(г, А)| ^ (г, А € С). (2.4.2)

Всегда (И) => (г), а при некоторых дополнительных условиях технического характера верна и обратная импликация (г) => (И).

Кроме того, если имеется функция 0(г,Х) такая, как в (й), то оператор Т, определенный по правилу

мм ■■= £ ь>(х^Х-хк) с*< 2 е с' с = е л)'

является ЛНЛО для оператора сужения К : Р(Ф) —> Р(Ф; Л).

В целом исследования в данной главе ведутся по схеме работы С. Н. Мелихова, опубликованной в 2002 г. в журнале «Алгебра и анализ». Следует при этом отметить, что реализация данной схемы в диссертации существенно модифицирована. В частности, мы полностью избавляемся от требований вышеупомянутой работы, которые ограничивают круг весовых пространств пространствами целых функций конечного порядка. Отметим также, что разработанная модификация применима не только к рассматриваемым в диссертации пространствам Фреше, но и к (ЬР)-про-страпствам, исследованным С. Н. Мелиховым.

В третьей главе приводятся приложения общих результатов предыдущих глав. Их главная суть состоит в следующем.

Для канонических весовых последовательностей Ф (с их помощью определяются все весовые пространства вида Р(Ф)), разделенных логарифмом, сильное сопряженное к Р(Л, Ф) реализуется в виде (ОР5)-прост-ранства числовых последовательностей К1(Ф, Л) := К1{(Рп, Л), где

К1^, Л) := |с = ! : |с£ := £ Ы е*»<А'> < оо| (п € 14).

При этом отождествлении сопряженным к оператору сужения К является оператор разложения по дельта-функциям Ш \ с = '—> действующий непрерывно из К1 (Ф, Л) в РДФ), где Ф) — сильное сопряженное к Р(Ф), а 5\з (/) := /(А.,) (/ £ Р(Ф), 3 £ И). Отсюда по соображениям двойственности следует, что последовательность дельта-функций Дд := (¿л^Ь'еМ является АПС в РЬ'(Ф) тогда и только тогда, когда Л = — ДМ для Р(Ф), а у оператора представления IV имеется ЛНПО в том и только том случае, если существует ЛНЛО у оператора сужения И. Последний факт позволяет сформулировать

в диссертации, при некоторых дополнительных ограничениях, критерий положительного решения проблемы коэффициентов для АПС из дельта-функций.

В третьем параграфе излагается схема применения полученных во втором параграфе результатов к АПС обобщенных экспонент в (DFS)-пространствах Н. Она основана на том наблюдении, что при условии, что Р(Ф) является реализацией сопряженного с Н пространства посредством обобщенного преобразования Лапласа функционалов на некотором семействе (ед)л€<с, имеется непосредственная связь между АПС элементов £Л := (eAj)°i! в Я и дельта-функций (¿aJ^i в Р{,(<£>). Это дает возможность переформулировать результаты для АПС из дельта-функций для АПС вида £д в (DFS)-npocTpaHCTBax Н.

В четвертом, заключительном, параграфе главы и диссертации в целом рассматривается вопрос о сюръективности оператора представления по экспонентам в пространстве Л_00(П) аналитических в выпуклой ограниченной области П функций полиномиального роста вблизи дП. Сначала в качестве следствия из вышеизложенных общих результатов выводится основной результат работы А. В. Абанина, Ю. С. Налбандян и Ле Хай Хоя, опубликованный в журнале «Journal of Approximation Theory» в 2011 г. Затем доказано, что для минимальных для Л_00(П) АПС экспонент леонтьевского типа проблема коэффициентов для соответствующего оператора представления решается отрицательно, а для аналогичных систем для пространства Л_00(П + К), где К — выпуклый компакт, отличный от точки, — положительно. В обоих случаях идет речь о представлении функций из пространства Это оправдывает использование добавки ф в двойственной задаче о существовании ЛНЛО у оператора сужения в главе 2.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору А. В. Абанину за постановку задач, ценные советы и постоянное внимание к работе, а также профессору С. Н. Мелихову за полезное обсуждение результатов и постановок задач и плодотворные замечания.

3. Публикации автора по теме диссертации

1. Варзиев В. А., Мелихов С. Н. О коэффициентах радов экспонент для аналитических функций полиномиального роста // Владикавк. мат. журн — 2011.—'Т. 13, вып. 4.—С. 18-27.

2. Абанин А. В., Варзиев В. А. Представляющие системы экспонент в пространствах голоморфных функций заданного роста вблизи границы // Владикавк. мат. журн—2012.—Т. 14, вып. 4.—С. 5-9.

3. Абанин А. В., Варзиев В. А. О существовании линейного непрерывного левого обратного у оператора сужения на пространствах Фреше целых функций // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки.—2013.—№ 4,—С. 5-10.

4. Абанин А. В., Варзиев В. А. Достаточные множества в весовых пространствах Фреше целых функций // Сиб. мат. журн.—2013.— Т. 54, № 4—С. 725-741.

5. Варзиев В. А. Линейный непрерывный правый обратный к оператору представления в (Л/^-пространства // Владикавк. мат. журн.— 2013.—Т. 15, № З.-С. 33-40.

Варзиев Владислав Аликович

ДОСТАТОЧНЫЕ МНОЖЕСТВА В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ФРЕШЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 20.11.2013. Усл. п. л. 0,93 Формат бумаги 60x84Vie- Тираж 130 экз.

Отпечатано в ИПО СОИГСИ им. В. И. Абаева 362040, г. Владикавказ, пр. Мира, 10.

Федеральное государственное бюджетное учреждение

науки Южный математический институт Владикавказского научного центра Российской академии наук и Правительства республики Северная

Осетия-Алания

На правах рукописи

04201450368

Варзиев Владислав Аликович

ДОСТАТОЧНЫЕ МНОЖЕСТВА В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ФРЕШЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ

01.01.01. — вещественный, комплексный и функциональный анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физ.-мат. наук, профессор

А.В. Абанин

Владикавказ, 2013

Оглавление

Введение 4

1 Достаточные множества в весовых пространствах Фреше

целых функций 20

1.1 Весовые пространства проективного типа и мультипликаторы в них ......................................................21

1.1.1 Весовые пространства целых функций................21

1.1.2 Мультипликаторы и делители..........................22

1.2 Достаточные множества для пространств проективного типа. Общие результаты..........................................28

1.2.1 Критерий достаточности множества..................28

1.2.2 Инвариантность достаточности относительно эквивалентных весовых последовательностей ............30

1.2.3 Прореживание достаточных множеств................31

1.3 Достаточные множества минимального типа................32

1.3.1 Понятие минимальных достаточных множеств ... 33

1.3.2 Ряды Лагранжа по минимальным последовательностям ......................................................35

1.3.3 Понятия согласованности и правильности. Достаточность минимальных последовательностей .... 40

1.4 Согласованность и правильность. Следствия для достаточных множеств....................................................44

1.4.1 Согласованность..........................................44

1.4.2 Правильность...................... 52

1.4.3 Согласованность и правильность одновременно ... 55

2 Линейный непрерывный левый обратный у оператора

сужения на пространствах Фреше целых функций 58

2.1 Постановка задачи....................... 58

2.2 Достаточные условия существования линейного непрерывного левого обратного..................... 62

2.3 Необходимые условия существования линейного непрерывного левого обратного..................... 67

2.4 Необходимые и достаточные условия наличия линейного непрерывного левого обратного................ 82

3 Приложения к абсолютно представляющим системам и

линейному непрерывному правому обратному к оператору представления в (ЬВ) - пространствах 83

3.1 Ряды по дельта-функциям .................. 84

3.2 Оператор представления по дельта-функциям ....... 87

3.3 Приложения к абсолютно представляющим системам обобщенных экспонент....................... 89

3.4 Оператор представления в конкретных функциональных (ЬБ)-прострапствах и существование у него линейного непрерывного правого обратного.................. 92

Литература 102

Введение

Актуальность темы. Задача представления гладких функций рядами по заданным последовательностям функций простого вида является классической и, наряду с самостоятельным интересом, имеет важное прикладное значение (например, при изучении разного рода функциональных уравнений). Особое место в данной тематике занимают разложения в ряды экспонент в пространствах голоморфных в области функций. Они обладают рядом специфических свойств, которые кардинально отличают их от их действительных аналогов, коими являются ряды Фурье. В частности, как известно, такие разложения, как правило, неединственны. Основополагающими в этом направлении являются исследования А.Ф. Леонтьева, начатые в 60-х годах прошлого века и собранные впоследствии в монографиях [30]—[32] - Им было показано, что для любой ограниченной выпуклой области С комплексной плоскости С можно подобрать такую последовательность комплексных чисел (А^)^, что всякую функцию /, аналитическую в (2, можно представить в виде абсолютно сходящегося ряда

оо

к=1

в пространстве всех аналитических в С функций с топологией равномерной сходимости на компактах из Эта область теории функций была предметом исследования для многих известных специалистов, сре-

ди которых выделим В.П. Громова, Ю.И. Мельника, В.К. Дзядыка, В.Х. Мусояна, A.M. Седлецкого, Ю.Н. Фролова, А.П. Хромова, В.И. Швецова.

Качественно новый подход к данной тематике разработал Ю.Ф. Коробейник. Он подошел к проблеме представления функций рядами с точки зрения теории линейных операторов в локально выпуклых пространствах, ввел понятие абсолютно представляющих систем (коротко, АПС) и начал их интенсивно изучать. Впервые понятие АПС было введено Ю.Ф. Коробейником в работе [18] следующим образом.

Пусть Е — локально выпуклое пространство. Говорят, что последовательность £ = (ek)kLi ненулевых элементов Е образует АПС в Е, если каждый элемент х Е Е допускает представление вида

абсолютно сходящееся к я; по топологии Е.

Этот подход Ю.Ф. Коробейника оказался очень плодотворным. В частности, с его помощью было впервые показано, что результаты А.Ф. Леонтьева, полученные им только для ограниченных областей и некоторых типов неограниченных областей, распространяются на произвольные области, причем в многомерном случае. Данное обстоятельство послужило толчком для развития теории АПС, как общей, так и для конкретных пространств и систем (главным образом, систем экспонент и их обобщений). К нему подключились ученики Ю.Ф. Коробейника A.B. Абанин, Ле Хай Хой, С.Н. Мелихов, A.B. Михайлов, В.В. Моржаков, В.Б. Шерстю-ков, И.С. Шрайфель и ряд других математиков, среди которых Б.В. Винницкий, В.П. Громов, В.М. Кадец, Р.В. Вершинин и др. В результате проведенных исследований были разработаны основы общей теории, получены критерии для АПС в различных типах локально выпуклых про-

к=1

странств, обнаружены свойства АПС, которые не были известны и в классическом случае систем экспонент, установлены критерии геометрического характера для АПС экспонент и развиты приложения АПС к дифференциальным уравнениям в частных производных, уравнениям свертки, интерполяционным задачам, двойственности функциональных пространств [4], [7], [18]-[28], [33], [34], [45], [46].

Начиная с середины 70-х годов прошлого века параллельно с теорией АПС начал интенсивно разрабатываться другой подход к представлению функций рядами экспонент, шедший от JI. Эренпрайса [57]. Им было предложено использовать для этих целей, так называемые, достаточные множества (коротко, ДМ), которые определяются следующим образом. По непрерывной вещественнозначной функции на С {весу) образуем банахово пространство

E(V) := {/€ Я(С) : \\f\\v := sup < оо} ,

V, % у

где Н{С) — пространство всех целых в С функций. Каждое семейство Ф весов порождает отделимое локально выпуклое пространство Е(Ф) := 0(рефЕ(р) с топологией тф, задаваемой набором норм {|| • : if Е Ф}.

Для произвольного подмножества S С С рассмотрим в Е(Ф) другую, вообще говоря более слабую, локально выпуклую топологию Тф($, задаваемую набором преднорм

||/||^ := sup J^i < оо (fe Е(ф), <ре ф).

В случае, когда Тфts совпадает с Гф, множество S называется достаточным для Е{Ф).

Подход, основанный на применении ДМ, к представлению функций из различных конкретных пространств аналитических и бесконечно дифференцируемых функций рядами экспонент, активно развивался в конце

70-х и начале 80-х годов прошлого столетия, в работах В.В. Напалкова [40], [41] и его учеников A.B. Секерина, P.C. Юлмухаметова и др. (см. [43], [47], [48]). При этом на тот момент времени более удобными для исследования и интересными с точки зрения приложений оказались близкие по сути к достаточным слабо достаточные множества (коротко, СДМ), введенные Д.М. Шнейдером в работе [62] для индуктивных пределов последовательностей весовых банаховых пространств ((1/1?)-пространств) целых функций. Введем понятие СДМ, следуя [62].

Говорят, что вес <р подчинен весу ф (<р -< ф), если существует число С, такое что cp(z) < ф(г) + С для всех z Е С. Пусть нам дана некоторая направленная вправо по подчинению весовая последовательность Ф = {ipn)^=l (то есть, щ -< щ ■< •••)• Последовательности такого типа называются индуктивными. Естественно образовать линейное пространство /(Ф) := U~=i Е(<рп) и наделить его топологией /¿ф внутреннего индуктивного предела последовательности банаховых пространств Е(<рп). Для подмножества S С С рассмотрим в 1(Ф) еще одну локально выпуклую топологию /Лф^ внутреннего индуктивного предела полунормированных пространств

I(<pn,S) := {/ е/(Ф): 11/1^5 <оо}.

Множество S называют слабо достаточным для /(Ф), если /Лф^ совпадает С /Лф.

Первоначально самим Д.М. Шнайдером было установлено, что всякое ДМ является СДМ. Обратный факт был доказан в работе В.В. Напалкова [42] и, независимо о него, в совместной работе группы ученых К.Д. Бирштедта, Р. Майзе, У. Саммсрса [56].

Вкупе с общими критериями для АПС Ю.Ф. Коробейника ([19], [23]), это привело к выводу о том, что при двойственной взаимосвязи между

функциональными пространствами посредством преобразования Лапласа функционалов, свойство системы экспонент быть АПС в пространстве Фреше эквивалентно свойству последовательности ее показателей быть СДМ в соответствующей реализации сопряженного пространства. Этот факт широко использовался впоследствии для построения АПС обобщенных экспонент в различных конкретных пространствах в работах A.B. Абанина и C.B. Петрова [12]), И.Х. Мусина [39], Н.И. Рахимкулова [44] и др. Общая теория СДМ в весовых (¿^-пространствах, развивалась в основном в работах A.B. Абанина [1]-[4], [С], [8]. Им было проведено систематическое исследование СДМ с общих позиций, установлено совпадение классов слабо достаточных и эффективных по Ийеру множеств, дано полное геометрическое описание всех и минимальных СДМ в пространствах целых функций с заданной оценкой индикатора, разработаны приложения СДМ к задаче о разрешимости уравнений типа свертки и другим вопросам.

Одним из наиболее интересных приложений СДМ в теории АПС является изучение проблемы существования линейного непрерывного правого обратного (коротко, ЛНПО) у оператора представления. Опишем эту проблему подробнее.

Пусть Е — локально выпуклое пространство с топологией, задаваемой набором предиорм Р, и £ = — последовательность его ненулевых

элементов. Следуя Ю. Ф. Коробейнику [23], определим пространство последовательностей комплексных чисел

оо

A2{S) := {с = {ck)f=1 : \с\р := ^ ЫрЫ < оо, Ур § Р}

к=1

и наделим его топологией, задаваемой набором преднорм (| • \р : р £ Р).

Ясно, что оператор представления

П : с |—>

ке n

действует непрерывно из Ai(£) в Е. При этом, его сюръективность эквивалентна, очевидно, тому, что S — АПС в Е.

В случае, когда £ является базисом в Е, а для А2{£) и Е справедлива теорема об открытом отображении (напр., если оба эти пространства относятся к классу пространств Фреше или (ЬВ)-пространств), оператор П будет изоморфизмом между Ä2(£) и Е и, следовательно, будет иметь линейный непрерывный обратный. Таким образом, в данном случае имеется принципиальная возможность определить коэффициенты разложения произвольного элемента Е в ряд по системе £, причем этот способ определения будет линейно и непрерывно зависеть от разлагаемого элемента. Если же АПС £ не является базисом в Е, а нас интересует именно этот случай, такой возможности может и не быть, а ее наличие равносильно тому, что у оператора П имеется ЛНПО. Изучение вопроса о существовании ЛНПО у оператора представления П называют проблемой коэффициентов.

Проблема коэффициентов исследовалась Ю.Ф. Коробейником, С.Н. Мелиховым, O.A. Ивановой и др. (см. [16], [17], [27], [28], [35]—[37]). В работах [27] и [28], послуживших отправной точкой для начала изучения обсуждаемой проблемы, эта задача решалась в конкретном случае АПС экспонент в пространствах функций, аналитических в выпуклой области, в следующей постановке. Пусть К - выпуклый компакт в С, G - ограни-"ченная выпуклая область в С, L - целая функция вполне регулярного роста экспоненциального типа, сопряженная диаграмма которой совпадает с G + К, (Лk)keN ~ последовательность всех попарно различных нулей функции L, каждый нуль А& простой, и последовательность (l-k'C^ODfcLi

имеет максимально возможный рост. Было установлено, что если компакт К является одноточечным, то Л НПО у оператора представления нет, а для компактов, отличных от точки, были найдены необходимые и достаточные условия на С и А', при которых такой оператор существует.

В работе [37] С.Н. Мелихов предложил новый метод исследования проблемы коэффициентов в (/^-пространствах, основанный на использовании теории двойственности. Суть метода заключается в том, что задача о ЛНПО к оператору представления П сводится к задаче о ли-иейном непрерывном левом обратном (коротко, ЛНЛО) к сопряженному к П оператору сужения функций иа последовательность Разви-

тый С.Н. Мелиховым метод позволил изучать проблему для весов общего вида при условии, что последовательность (А^ем является последовательностью нулей специальной целой функции Ь конечного порядка.

Таким образом, к настоящему времени были систематически исследованы СДМ в (¿.^-пространствах целых функций и проблема существования ЛНЛО у оператора сужения иа них функций исходного пространства, а также разработаны плодотворные приложения к теории АПС, уравнениям свертки и некоторым другим задачам в пространствах Фре-ше.

Теория ДМ в двойственном случае весовых пространствах Фреше не развивалась вплоть до последних лет, хотя формально проективный случай представляется более простым, чем индуктивный. Ясно, при этом, что изучение ДМ для пространств проективного типа представляют никак не меньший интерес, чем СДМ и ДМ для пространств индуктивного - — типа. Например, так же как и для СДМ, при наличии определенной двойственности между функциональными пространствами имеется непосредственная связь между ДМ для пространств проективного типа, с одной стороны, и представлением функций рядами обобщенных экспонент или

разрешимостью уравнений типа свертки, с другой. Такое положение дел с данным направлением объясняется, прежде всего, отсутствием адекватных методов исследования ДМ в пространствах Фреше, операторов представления и свертки в индуктивных пределах. Необходимая для изучения перечисленных вопросов техника была предложена лишь недавно и только для конкретного (£.5)-пространства аналитических в области функций полиномиального роста вблизи границы и сопряженного с ним (см. [50], [53], [54]). Наиболее близкой к тематике диссертации в этом направлении является работа A.B. Абанина, Ле Хай Хоя и Ю.С. Налбандян [54], в которой было показано существование АПС экспонент минимального в этом пространстве. Если переформулировать двойственным образом результаты этой работы, то получатся их двойственные варианты — минимальные ДМ для пространства Фреше целых функций, представляющего собой реализацию сопряженного пространства. До этой работы не было ни одного примера минимального, в определенном смысле, ДМ для весовых пространств Фреше. Как следствие и проблема существования ЛНЛО у оператора сужения функций на ДМ не могла быть адекватным образом поставлена. Эти обстоятельства, вместе с упомянутыми выше достижениями в теории АПС и СДМ, послужили побудительным мотивом для настоящего диссертационного исследования.

Вышеизложенный анализ служит, на наш взгляд, достаточно весомым обоснованием актуальности и новизны проведения систематического исследования достаточных множеств для весовых пространств Фреше целых функций в общем случае и разработки их приложений к абсолютно представляющим системам в (ЬВ)-прострапствах. Именно это и является основной целыо настоящей работы, конкретные аспекты которой, изучаемые в диссертации, представлены ниже.

Цели работы:

- изучить общие свойства достаточных множеств в весовых пространствах Фреше целых функций;

- ввести понятие минимальных достаточных множеств для пространств вида Р(Ф) и дать описание таких множеств;

- установить условия существования линейного непрерывного левого обратного к оператору сужения на минимальное достаточное множество;

- применить полученные результаты к построению минимальных абсолютно представляющих систем для пространств голоморфных в области функций заданного роста вблизи границы и задаче о существовании линейных непрерывных правых обратных к операторам представления в (¿.¿^-пространствах.

Методы исследования

В диссертационной работе используются методы современного и классического функционального анализа, методы теории двойственности, а также теория целых функций. При изучении достаточных множеств в пространствах Фреше целых функций и проблемы существования линейного непрерывного левого обратного к оператору сужения на достаточное множество применяются схемы исследования, предложенные ранее в двойственной ситуации A.B. Абаниным и С.Н. Мелиховым.

Научная новизна и практическая значимость

Работа носит теоретический характер. Разработанные в ней методы могут найти дальнейшие применения, например, в вопросах представления

функций из различных пространств индуктивного типа рядами по системам обобщенных экспонент и исследования функциональных уравнений