Базисы Кете, целевые функции и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ДЩ0.0Л.99. Ç&AS/OS

ÍÍDeSEí

S

kl РШ

п /

фиаллко -

......Г

/

министерство общего и профессионального образования

российской федерации ростовскш государственный университет

На правах рукописи

Братищев Александр Васильевич БАЗИСЫ КЕТЕ, ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

/ 01.01.01. - математический анализ /

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

■'Г"""/

хО

Ростов-на-Дону - 1993

ОГЛАВЛЕНИЕ

ввбщение.

ГЛАВА I. а-КЕТЕ БАЗИСЫ. ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ. ОБЩИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. § 1.1. Определения, свойства, теоремы двойственности 48 1.1.1. Некоторые определения и факты теории локально выпуклых и координатных пространств. 1.1.2. Определения и свойства (З-шаудеровских базисов. 1.1.3. Определения и свойства $-Кете базисов. 1.1.4. А,-свободная проблема мо ментов и теоремы двойственности. 1.1.5. О представлении решений ^-свободной проблемы моментов. § 1.2. Некоторые приложения З-Кете базисов. 72

1.2.1. О-Кете индуктивные базисы. 1.2.2. Базисы из собственных и присоединенных векторов линейного оператора. Интерполяционная задача Эрмита. 1.2.3. (З-Кете представляющие последовательности. 1.2.4. Интерполяционная задача Эрмита в весовых пространствах целых функций и ядерные базисы в инвариантных подпространствах аналитических функционалов. 1.2.5. Проблема моментов и бесконечные системы линейных алгебраических уравнений.

ГЛАВА 2. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ. 101 § 2.1. Обращение правила Лопиталя и субгармонические функции.................................................102

2.1.1. Введение. 2.1.2. Теория обращения правила Лопиталя. 2.1.3. Явное вычисление характеристик (3^. 2.1.4. Субгармонические функции нулевого порядка.

2.1.5. Субгармонические функции ненулевого порядка. § 2.2. Тригонометрически выпуклые функции и выпуклые компакты. ..............................................130

§2.3. Последовательности,с конечной максимальной угловой

плотностью..........................................139

§2.4. Индекс конденсации................................155

2.4.1. Определения и свойства. 2.4.2. Угловой индекс конденсации и его свойства.

§2.5. Локальные оценки снизу голоморфных функций........167

2.5.1. Леонтьевский индекс конденсации. 2.5.2. Проблема А.Ф.Леонтьева. §2.6. ^-последовательности и глобальные оценки снизу целых функций.........................................179'

2.6.1. ^-последовательности. 2.6.2. Более грубые классы. 2.6.3. Прочее.

ГЛАВА 3. РЯДЫ ОБОБЩЕННЫХ ЭКСПОНЕНТ И ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ЗАДАЧА ЭРМИТА. ТЕОРЕМА ОБ АНАЛИТИЧЕСКОМ ПРОДОЛЖЕНИИ

БЕРНШГЕИНА-ЛЕОНТЬЕВА. 192 §3.1. Асимптотические оценки роста последовательностей норм ô-функций и норм их линейных комбинаций. Описание области сходимости ряда по экспоненциальным мономам...............................................193

§3.2 Интерполяционная задача Эрмита в пространствах tp(r),

H(Q)J, 1р(г),Н(в)), и Q-ядерные базисы в сопряженных..199 §3.3. Теорема Бернштейна-Леонтьева......................217

ЛИТЕРАТУРА

228

- 4 -введение

Изучению базисов Кете в отделимом локально выпуклом пространстве (ОЛВП) посвящена обширная литература. Существует, однако, класс последовательностей элементов, не являющихся базисами Кете, но дающих разложения со сходными свойствами в топологиях более слабых, чем исходная. Они названы нами <3-Ке-те базисами и являются объектом изучения в данной диссертации. В первой главе изучаются свойства таких последовательностей в различных типах локально выпуклых пространств, в связи с двойственной свободной проблемой моментов ( и сама проблема) и указывается ряд приложений, не требующих больших дополнительных исследований. Основными объектами приложения (в третьей главе) являются: а) задача описания базисных последовательностей из собственных и присоединенных векторов оператора дифференцирования в пространствах аналитических функционалов над модельными топологическими модулями целых функций, б) двойственная интерполяционная задача Эрмита, в) аналитическое продолжение голоморфных функций, аппроксимируемых полиномами из экспонент. Эти приложения нуждаются в дополнительном развитии ряда разделов теории функций. Соответствующие результаты, представляющие нередко и самостоятельный интерес, составляют содержание второй главы.

Ниже мы по главам освещаем историю вопроса, даем мотивировки новых определений и постановок задач, а также формулируем основные результаты.

ГЛАВА I. Пусть (е У есть абсолютный шаудеровский базис в —————- ^

отделимом локально выпуклом пространстве Ер:=(Е,У:р), где Р -семейство преднорм, определяющее отделимую локально выпуклую

топологию (ОЛВТ) в векторном пространстве В над полем с. Обозначим ft } биортогональную с (е ) последовательность функци-

ть н

оналов (БПФ) из сопряженного пространства Ер. Важным подклассом таких базисов являются базисы с дополнительным свойством

с»

V реР 3 р,еР £ piejçp^x) (1)

п= 1

для каждого элемента х из Е. В полном локально выпуклом пространстве последние под именем вполне абсолютных рассматривались в диссертации S.Saxon [205], а под именем абсолютных равностепенно непрерывных - в монографии A.PIetch [199]. В 1973 году N.J.Kalton [184] назвал базисом Кете в ОЛВП Ер такой шаудеровский базис со свойством (I), что для каждой пос-

Lff Ч 00

У. а е у соответствующий ряд £ а

л ТЬ ТЬ I _-л ть

-1 J ть— 1

оо

е сходится в К, и V реР 2 ¡а i Р(е )<0°- в той же работе поп г п=1 п п

казано (предложение I), что наличие базиса Кете влечет полноту пространства Ер, то есть данное понятие отличается от предыдущих лишь названием. В работах Ю.Ф.Коробейника [67],[83] такие базисы под именем регулярных определялись на подпространстве полного ОЛВП. В монографии М.М.Драгилева [66] они носят имя Ij-абсолютных, а в монографии В.П.Кондакова [78] - 7--абсолютных базисов. В работах [32], [33] мы придерживались названия "регулярный", но такое имя ("regular") уже носит иной тип базисов (C.Bessaga, A.Pelczynskl [163], N.J.Kaiton [183], N.J.Kamthan, M.Gupta [185]). С другой стороны, характеристическим свойством этих базисов в полном ОЛВП Ер является топологическая изоморфность последнего ассоциированному пространству Кете

Х(Р) := [а:=(ап): V р€Р |а|р:- | |оп|р(ея)<4

при отображении K:EV-+X(P), Rx:={<x,t >} (А.Пич [130]). Пос-

ir 71

ледний факт дает основание ввести следующее общее определение. Пусть (en,tn) - биортогональная система в ОЛВП Ер (согласно V.Klee [186] она всегда существует). Назовем последовательность {е ) базисом Кете в замыкании W линейной оболочки

п

span е , если (е ) является базисом в нем, и на W имеет мес-

г ть п

то соотношение (I). Нетрудно заметить, что базис Кете в смысле Калтона является таковым и в смысле последнего определения. С другой стороны, Кете базисность (е^} в более широком понимании равносильна топологической изоморфности коэффициентного отображения К из FT в ассоциированное пространство Кете МТ).

Базисы Кете близки к классу абсолютных шаудеровских базисов. Например, в бочечном пространстве эти классы совпадают. В предложении 1.4 мы описываем в пространстве Кете класс согласованных с двойственностью топологий, в которых орты еп:= f0Aii.A0Alf0f...) образуют абсолютный шаудеровский базис,но

п

не базис Кете.

Существует, однако, класс биортогональных систем, для косо

торых ряды 2 <x*t >е сходятся в топологии более слабой,

7i=i п п

чем vpf а оценка (I) имеет место не для всех р€Р (они составляют подкласс псевдобазисов в смысле работы [70]).

Обозначим H(R) ядерное пространство Фреше голоморфных в круге \z\<R , R>0, функций с топологией равномерной сходимости на компактах и реализуем сопряженное [187] в виде пространства голоморфных на круге \z\2R и исчезающих на бесконечности функций. Рассмотрим, следуя J.M.Whittaker ([217], гл.6, пр.8), последовательность многочленов eQ(z)=1, e2n(z):=z2n+

+(2z)2n~1, e2n_1(z):=z2ri~\ n=1,2,... . (ejz)) полна в каждом пространстве H(r), 0<r^R и имеет единую для всех этих пространств биортогональную последовательность функций tQ(z) :=z~\ t2n(z):=z~Zn-\ t2n_1(z):=z-2n+22n-1z~2n-1, n=1,2,... Построенный по этой биортогональной системе формальный ряд функции f(z) из H(R) всегда сходится к последней равномерно

п

на каждом компакте из круга \z\< g. Однако такой же ряд для

1 я

функции е H(R) расходится в точке z=^.

Подобное явление имеет место не только для полиномиальных рядов. Пусть А:=(Х ) есть неубывающая измеримая при пока-

ТЬ

зателе 1 последовательность попарно различных положительных

чисел (то есть существует конечный предел lim ) с конеч-

п-*<х> п

ным ненулевым индексом конденсации бд. Обозначим WA замыкание линейной оболочки Spaniern2} в топологии равномерной сходимости на компактах в пространстве H(Ga) голоморфных на фиксированной полуплоскости Ga:=(z: Rez<o} функций. Согласно результатам V.Bernstein [161] и А.Ф.Леонтьева [102] каждая функция из ядерного пространства Фреше WA разлагается в ряд по последовательности (eXnz}, равномерно сходящийся на компак-

00 Г

тах из Ga_6 . Обозначим aA(z):=eaz П ]• Как показано

п

там же, некоторая подпоследовательность частичных сумм ряда 00 1 х

£ j е nz равномерно сходится внутри Rez<o (и значит

п=1 Л1 п

предельная функция принадлежит WA), но сам ряд расходится в "полосе сверхсходимости" a-öA<Rez<a. Таким образом, {eXnz) не является базисом в WA.

Особенность обсуждаемых биортогональных систем еще и в том, что может нарушаться свойство единственности разложения в ряд по {е }. Рассмотрим с этой целью последовательность

ТЬ

многочленов 7, 2-7, г2-г,..., предложенную А.И.Маркушевичем [117]. Виортогональной с ней будет последовательность функций (г2-г)~1,(г3-г2)~1,... , и для каждой функции из Н(Ю, К>1, соответствующий ряд равномерно сходится на компактах из круга \г\<7. Однако функция, тождественно равная

со

-7, помимо тривиального имеет и такое разложение £ (¿п-гп ),

Т1=1

равномерно сходящееся внутри единичного круга.

Во всех приведенных, примерах соответствующие ряды не только абсолютно сходятся в ослабленной топологии, но их суммы допускают оценку типа (I) на определенном подклассе преднорм из Р. Это подводит нас к такому общему определению. Пусть даны биортогональная система Се в ОЛВП Ер и семейство непрерывных преднорм (3, определяющее ОЛВТ г^ в Е. Скажем, что последовательность {е } образует ф-Кете базис в замыкании

ТЬ

своей линейной оболочки Ш, если каждый элемент хеШ предста-

00

ним б виде суммы ряда х = £ <х^п>еп в топологии а>д и

ть=1 00

V де<2 3 реР V хеГГ £ \<^п>^(еп) < р(х). (2)

п— 1

Последовательности из приведенных примеров удовлетворяют этому определению.

Последнее соотношение равносильно тому, что коэффициентное отображение К определено на 1Гр и непрерывно действует из него в Х(Я). Нетрудно заметить, что различие между классами (З-Кете и Кете базисов сродни различию между классом непрерывных операторов и его подклассом топологических изоморфизмов. Более общим образом, одна из проблем теории базисов состоит в сведении вопроса о базисности к задачам теории операторов-установлению топологической изоморфности или непрерывному

расширению оператора. Так, С.Банах доказал [160] для пространств Фреше, а М.М.Драгилев обобщил на бочечные пространства следущий результат [661: последовательность {е ) является

ТЬ

базисом Кете в Ер тогда и только-тогда, когда

N N

V р€Р 3 р?€Р V х:= J] апеп е зрал еп 2 \ап\Р(еп) $ Р^х).

TL- 1 П= 1

Нетрудно видеть, что последнее требование равносильно линейной независимости (еп) и непрерывности К: span в случае полного локально выпуклого пространства Ер Ю.Ф¿Коробейник независимо установил следующее [85]. Пусть дана биор-тогональная система {е ,t ) в ОЛВП Для того чтобы Се }

тъ п Р тг

была базисом Кете в F7р необходимо и достаточно, чтобы коэффициентное отображение К непрерывно действовало из J7p в Х(Р). Оказывается, приведенные результаты выдерживают обобщение на Q-Кете базисы (теорема I.I).

Общая теория разрешимости проблемы моментов развивается благодаря ее связям с различными интерполяционными задачами, бесконечными системами линейных алгебраических уравнений, и другими вопросами (S.Banach [160], А.О.Гельфонд [45], Н.И. Ахиезер [6], Ф.П.Васильев, А.З.Ишмухаметов, М.М.Потапов [42] и другие). Для фиксированной правой части критерий разрешимости известен (S.Banach [160], Р.Эдварде [158], Н.И.Ахиезер, И.М. Глазман [6]). Будем говорить что для данной последовательности элементов {е }сЕ_ и координатного пространства (гпро-

7Ъ ir

странства последовательностей) X в Е^ разрешима ^-свободная проблема моментов (А.-СПМ) (иначе, проблема моментов (3) разрешима в Ер относительно X), если

Vb:=fb )е\ 3 teEi V т&1 <е ,t>=b . (3)

п F п п

Ее логично поставить сначала для двух экстремальных классов:

пространства <р финитных последовательностей комплексных чисел и пространства ш всех последовательностей. В последнем случае соответствующую проблему естественно называть эдельгай-товской (по имени автора первоначальной постановки аз-СШ вида <еЛ >=Ь , 1&1, в пространстве Фреше [175]). Мы доказываТЬ ТЬ

ем, что ср-СПМ разрешима в Е^ тогда и только тогда, когда {еп) имеет биортогональную последовательность функционалов. А в пространстве Фреше о>-СПМ не разрешима (предложение 1.5).

В неэкстремальном случае правых частей разрешимость свободной проблемы моментов связана с базисностью (еп). На абстрактном уровне (в случае банахова пространства) эту связь впервые обнаружил М.М.Гринблюм (1948). Он показал (теорема 2), что базисность последовательности {еп) в Ер равносильна разрешимости определенной А,-СПМ в сопряженном Е' Метод состоял

оо

в сведении этой задачи к изучению оператора 1а:= У! а е и

л ТЬ ТЬ

ть=1

его сопряженного Однако, как заметил Ю.Ф.Коробейник

[821, более общая теорема I [55] в части необходимости, вообще говоря, не верна. Теорема двойственности между Кете базисностью и разрешимостью к'(Р)-С1М в в случае пространства Фреше установлена в работе [67] М.М.Драгилева, В.П.Захарюты и Ю.Ф.Коробейника, а в случае ^^-пространства - в работе Ю.Ф.Коробейника [83]. Обобщая теорему 2 [67], последний ввел понятие ¿-базиса в общем ОЛВП и доказал, в частности, теорему двойственности для пространства Фреше и сильно сопряженного к пространству Фреше [82].

В случае произвольного ОЛВП ф-Кете и тем более Кете базисность Ге ) всегда влечет разрешимость А.ГФ;-СПМ, однако обрат-

ТЬ

ная импликация имеет место далеко не всегда (в диссертации

строится контрпример весьма общего характера). В этой связи возникает проблема описания пространств, для которых обращение всегда имеет место. Последняя осложняется тем, что нельзя работать с парой 1,1', так как ввиду vQdvp оператор L, вообще говоря, не только не определен на X(Q), но даже разрывен на области определения. Поэтому мы работаем с парой ЙД'. Тогда.в "чистом виде" проблема выглядит так: когда для любой биортогональной системы (e^t^) непрерывность коэффициентного отображения К: (span е ,оО •-» MQ) следует из того факта,

ТЬ if

что К': X(Q) -* f7p? Более общим образом, какими топологическими свойствами должно обладать Ер, чтобы каждое линейное взаимно однозначное отображение К с плотной в Ер областью определения и областью значений в произвольном ОЛВП F было непрерывным всякий раз, когда определено его сопряженное К* :F'~* Е^ ?

Скажем, что Ер является пространством моментного типа, если для каждого плотного в нем подпространства F любое o(Ep,F) -компактное множество в Ер будет относительно о(EpfE)-компактным. Таковыми являются, например, пространство Фреше и инфра-бочечное пространство с фундаментальной последовательностью ограниченных множеств. В диссертации показано (лемма I.I), что относительно сильные ОЛВП моментного типа дают ответ на поставленный вопрос. Выделены более простые достаточные условия.

Для Q-Кете базисов в известном смысле является точной

ТЕОРЕМА I.I. Пусть fe^J есть последовательность в ОЛВП Ер. Сформулируем утверждения:

I) (е ) есть Q-Кете базис в замыкании своей линейной оболоч-

тг

ки

- 12 -

N N

2) V qeQ 3 peP V span en 2

n=1 n=/

3) A, rfQ/-свободная проблема моментов разрешима в

Тогда имеют место импликации I) * 2) 3). Если дополнительно известно, что FFp является относительно сильным пространством моментного типа, то 3) =>1).

ЗАМЕЧАНИЕ. В диссертации мы вводим более общее определение Q-шаудеровского базиса (в частности, для разбора понятия i-базиса) и получаем для него аналогичный результат (предложения IЛ и 1.6).

Если последовательность (е } является слабым шаудеровским

ТЪ

базисом в локально выпуклом пространстве, то биортогональная последовательность (t ), очевидно, является таким же базисом в сопряженном. Если же она является слабым базисом на замыкании своей линейной облочки F7, не совпадающей со всем пространством, то свойство единственности разложения в сопряженном теряется, а поточечная сходимость этих разложений имеет место лишь на упомянутом замыкании. Так, в работе [853 для базиса Кете показано, что решение двойственной проблемы моментов с правой частью {Ь } представимо на FT в виде суммы поточечно

ТЬ

00

сходящегося ряда J¡ b t . Последний естественно назвать МОМеН-

тг^ 1

тным рядом. Между сходимостью этих рядов в том или ином смысле и топологическими свойствами ассоциированного координатного пространства существует тесная связь. В случае шаудеров-ского базиса Геп} и свойства рефлексивности такая зависимость изучена в работах R.C.James, J.R.Retheríord, E.Dubins-ky и Я.М.Цейтлина [182],[201],[173],[147]. Мы прослеживаем ее в теореме 1.2. Особенно выпукло эта зависимость видна в случае свойства ядерн