Существование базисов в некоторых классах пространств Фреше тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ЕФИМОВ АНАТОЛИЙ ИВАНОВИЧ

СУЩЕСТВОВАНИЕ БАЗИСОВ В НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ПРОСТРАНСТВ ФРЕШЕ

01.01.01.-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

АВТОРЕФЕРАТ

ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЁНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

Ростов-на-Дону 2003

Работа выполнена в Ростовском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Кондаков Владимир Петрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Абанин Александр Васильевич кандидат физико-математических наук, доцент Бычков Андрей Борисович

Ведущая организация: Кубанский государственный университет

Защита состоится 7 октября 2003 г. в_часов на заседании

диссертационного совета К212.208.06 по физико-математическим наукам в Ростовском государственном университете по адресу 344090, Ростов-на-Дону, Зорге 5, механико-математический факультет РГУ, ауд. 239.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ростовского государственного университета по адресу: Ростов-на-Дону, Пушкинская 128.

Автореферат разослан 2003 г.

Учёный секретарь диссертационного

совета К212.208.06, кандидат

2-ооз-А "TJ^io

1 Общая характеристика работы.

Актуальность темы. При исследовании линейных топологических пространств, в частности пространств Фреше, изучение базисных, минимальных и других последовательностей элементов может нести значительную информацию о геометрии всего пространства. И если в геометрической теории банаховых пространств роль модельных пространств играют координатные пространства lp, 1 ^ р ^ оо, то в геометрической теории пространств Фреше аналогичную роль выполняют пространства Кёте. Возникает вопрос о наличии базиса в подпространствах, факторпространствах и дополняемых подпространствах пространств Кёте-Фреше. В настоящее время уже известны примеры тех подпространств пространств Ксте-Фреше, которые не имеют базиса, и примеры факторпространств пространств Кёте-Фреше, также не имеющих базиса (B.C. Митягин, Н.М. Зобин, С. Bessaga). При этом вопрос о существовании дополняемого подпространства пространства Кёте-Фреше без базиса до сих пор остаётся открытым. Кроме того, заслуживает внимания пример дополняемого подпространства, в котором не существует базис пространства Фреше с базисом (J. Taskinen). Вопрос о существовании базисов в конкретных классах весовых пространств Фреше и в дополняемых подпространствах пространств Кёте-Фреше исследовался в работах ряда авторов (Е. Dubinsky, D. Vogt, M.J. Wagner, В.П. Кондаков). Вопрос о существовании базисов в конкретных пространствах Фреше исторически рассматривался одновременно с вопросом о квазиэквивалентности (единственности) базисов (М.М. Драгилев, B.C. Митягин, В.П. Захорюта, В.П. Кондаков, П.А. Чалов, Р.В. Djakov, T. Tcrzioglu), вследствие этого в исследованиях этих вопросов имеется целый ряд общих приёмов.

&ü. лиоикА

В частности метод выделения - последовательности базисных элементов и последовательности базисных функционалов, а также метод "тупикового" пространства, включающий интерполяцию линейных операторов тождественного вложения координатных пространств.

Целью работы является доказательство существования базисов в пространствах Фреше, обладающих свойствами, характеризующими дополняемые подпространства пространств Кёте • бесконечного типа, при различных дополнительных ограничениях. А также в дополняемых подпространствах некоторых других пространств Кёте.

Методика исследования. При решении поставленной задачи использовались следующие методы:

• метод выделения базисных последовательностей элементов и базисных последовательностей функционалов

• метод "тупикового" пространства, включающий интерполяцию линейных операторов в пространствах числовых последовательностей.

Научная новизна и практическая значимость работы

определяется следующими результатами:

• выделены базисные последовательности элементов с заданными оценками норм

• выделены базисные последовательности функционалов с заданными оценками норм

• доказано существование базиса в нескольких классах пространств Фреше

• доказано существование базиса в дополняемых подпространствах двух классов пространств Кёте

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при аналитическом исследовании геометрической структуры пространств Кёте-Фреше, а также при дальнейшем исследовании вопроса существования базиса в различных классах пространств Фрешс и дополняемых подпространствах пространств Кёте. Результаты могут иметь применение при доказательстве изоморфизма дополняемого подпространства пространства Кётё некоторому координатному подпространству этого же пространства Кёте.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях и научных семинарах:

• Международная школа-семинар по геометрии и анализу, посвящённая 90-летию Н.В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 511.09.2000;

• Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 5-11.09.2002;

• семинар кафедры математического анализа Ростовского государственного университета, руководитель профессор Ю.Ф. Коробейник;

• семинар кафедры теории функций и функционального анализа Ростовского государственного университета, руководитель профессор В.П. Кондаков (основатель М.Г. Хапланов);

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в четырёх статьях и двух тезисах докладов [11—[6]. В работах, опубликованных совместно с В.П. Кондаковым, последнему принадлежат постановка задач, автору диссертации решение поставленных задач.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из оглавления, введения, трёх глав и списка литературы из 69 названий. Объём работы - 117 страниц.

2 Вспомогательные сведения.

Приведём необходимые определения с сохранением нумерации, введённой в диссертации.

Определение 1.1.1. Две нормы, заданные в линейном пространстве Е, называются согласованными, если всякая последовательность элементов пространства Е, фундаментальная по каоюдой из этих норм и сходящаяся к некоторому пределу по одной из них, сходится к тому oice пределу и по второй норме.

Определение 1.1.2. Счётно-нормированным пространством называется линейное пространство Е, в котором задана счётная система попарно согласованных норм.

Определение 1.1.3. Пространством Фреше называется полное метризуемое линейное топологическое пространство.

Пусть ^-множество натуральных чисел и Q-любое множество индексов. • •

Определение 1.1.4. Матрицей Кёте называется множество чисел aq(n) (q 6 Q, n € N), удовлетворяющее условиям:

1) Vn 3q : aq(n) > 0;

2) Vfc, r 3q, С > 0 : inax(at(n), ar(n)) < Caq(ri), Vn.

Определение 1.1.5. Пусть ]| • ||-норма банахова пространства lp, 1 ^ p sj oo. Пространством Кёте lp[aq(n)] называют локально выпуклое пространство всех числовых последовательностей (хп), n € N, для которых (хпая(п)) € lp 4q, с топологией

б

задаваемой системой полунорм

1(®п)|? = ||(®пОв(п))|[,

В дальнейшем мы будем рассматривать только те пространства Кёте, для которых множество индексов счётно, поэтому имеет смысл привести эквивалентную формулировку определения пространства Кёте со счётным множеством

Уог(п)] = { х = (х„) : вир |а;п|аг(п) — |ж|г < +оо \/г, р = оо

Пусть Е - линейное пространство, | • | - некоторая полунорма на Е, и = {е € Е : |е| ^ 1} - соответствующая окрестность нуля в Е. На многообразии Е/2и классов смежности Е по (замкнутому) подпространству 2ц = {е е Е: |е| = 0} полунорма | • | уже будет нормой, пополнени', Е/2п по данной норме обозначают Еу и называют ассоциированным банаховым пространством. Ставя в соответствие каждому элементу е € Е класс смежности {е + ^у}, мы получим каноническое отображение Пи : Е —► Ец. Если || ■ || - более сильная полунорма на Е, т.е. ||е|| > |е| для е е Е (У = {е : ||е|( ^ 1}), то Еу С и аналогично определяется отображение Е)2у —> Е/2ц, которое по непрерывности продолжается до канонического отображения Пу \ Еу Ец.

Определение 1.1.6. Линейный оператор Т из банахова пространства X в банахово пространство У называют ядерным, если его можно представить в виде

и

п

где (.t/j.) - некоторая последовательность линейных функционалов на X, (yk) ~ некоторая последовательность элементов из Y и

Wk\x'\Vk\r < +00,

где - sup {\x'k(x)| : \х\х < 1}.

Очевидно, любой ядерный оператор компактен (вполне непрерывен). Так как топология пространства Фреше Е всегда может быть определена монотонной системой полунорм I • |i " Ь ^ —I то Для ассоциированных банаховых пространств, которые для простоты вместо Ецг мы обозначаем Ег, справедливы вложения

Ei 2 Е2 Э ... .

Определение 1.1.7. Линейное топологическое пространство Е называется ядерным, если для любой непрерывной полунормы | • | найдется такая непрерывная полунорма || ■ ||, что каноническое отображение Пу : Еу —> Ец ядерно; здесь

V = {е: ||е|| ^ 1} Ç CU — С {е :"|е| < 1}

при некотором С > 0. Для произвольного пространства Кёте

1р[аГ{п)} = ^ = (&) : (£ !£«№))' = |Î|r < 00 г G условие ядерности имеет вид:

vr3s(r) V^L<00.

„ a'(r)(n)

Топология любого ядерного локально выпуклого пространства может быть определена некоторой совокупностью гильбертовых полунорм. Если Е - ядерное пространство Фреше, то удобно предполагать систему гильбертовых полунорм (|'|г), определяющую

топологию, - выбранную таким образом, что любое каноническое вложение Щ+1 : 2?г+1 —> Ет является ядерным, а значит, и компактным. Поэтому для любой пары ассоциированных гильбертовых пространств Ег Э Е„ согласно теореме о спектральном разложении, существует последовательность (/„), которая дает ортогональные базисные последовательности в Ет и в Е$ при канонических вложениях. А именно, рассмотрим тождественный оператор Т вложения пространства Ег в Е$. Так как оператор Т является компактным, то согласно спектральной теореме найдутся ортонормированные последовательности (е,) в Ег, (/¿)

в Еа = р^) и Т имеет вид: 00

ТН = £ Ав(Л, е,)г/{, Л; I О при г Т оо. ¿=1

оо

Пусть /п(х) = (X, /„)„ тогда £ /п(-с) • /п = ж, Ух е Е,. Поэтому (Л) - общий базис пространств ЕГ и Е,.

Определение 1.1.8. Пространство Фреше (Е, (| • |г)) имеет свойство £>1, если выполнено следующее условие: существует замкнутая абсолютно выпуклая окрестность нуля и С Е такая, что

ЧreN Эв(г) 6 ЛГ, С{г) > О

где и°к = {е' е Е': аир |е'(е)| = Щ'Т ^ 1}. Или эквивалентное данному вложению неравенство

Нг<1И1Н.(г),

где

II • II ~ I •

Для пространств Кёте приведём эквивалентное свойству В] свойство :

Определение 1.1.9. Пространство K'6melv[ar{n)\ имеет свойство d\, если выполнено следующее условие:

3к Vr 3s, С > 0 : а2Т{п) < Cak{n)as{n) Vn.

Определение 1.1.10. Пространство Фреше (Е, (Ur)) имеет свойство О, если

Vr 6 Я 3s(r) G NVke N3m,C >0 Us{r) С CtmUk + |t/r, Vi > 0.

Определение 1.1.11. Пространством степенных рядов бесконечного типа называют пространство Кете вида

/р[схргЬп] = (&) : Y, ICn|pexp rpbn = < +оо, г е n} ,

1 ^ р ^ оо, наделенное топологией, определяемой системой норм (I • |г).

Определение 1.2.1. Пространство Фреше (Е, (| • |г)) имеет свойство D\([ar (ri)]), если выполнено следующее условие: существует замкнутая абсолютно выпуклая окрестность нуля U С Е такая, что

VreN, 3m е N VA > г е N 3 s(r) 6 N, С (г) > 0 :

U?Cam(t)U» + ^U°{r),Vt> О,

где 1/° = < е' 6 Е': эир |е'(е)| — |е'|'г ^ 1 > и матрица Кёте [аг(п)| 1 ) определяет пространство Кёте класса

Где

аг(<) = аг(тг) 4 (4 - п)(а, (п + 1) - аг(п)), п ^ Ь < п + 1.

ю

Определение 1.3.1. Пространство Фреше (Е, \ • |г) имеет свойство Î2([ûr(n)]), если выполнено следующее условие :

Мк б N 3j{k) Íoo3seNVl<=N3meN3C

Us С Сат(Щ + ^-^yt/fcVí > О,

где JJk — {е е Е : |e|jt ^ 1} и матрица Kime [аг(п)] определяет пространство Кёте класса <1\.

Определение II.1.1. Будем говорить, что матрица Кёте обладает свойством упорядочиваемости скоростей роста весов, если существует эквивалентная ей матрица Кёте [Ог(п)] такая, что ar(n) < Or(n + 1) Vn и Vr ar(cÇi](i)) < ív и («г *(£)), где Or{t) = Or(n) + t(ar(n 4-1) - аг(п)), n^t^n + l.

Определение III. 1.1. Ядерное пространство. Фреше Е имеет свойство г — FDD (строго конечномерного разложения), если существует непрерывные отображения t Ап ;. Е —» Е, п. е - N такие, что А„Ат = ônm dim imAn < г и х = А„х Ух Е..

Определение Ш.3.1. Будем говорить, что пространство Фреше Е является разреоюенным (принадлежит классу И), если Уг/ Зз Ур Зд Уг

где

dn-i(Ur, Us)

dn (UPÍ U„) = inf inf {J > 0 : Up с 5Uq + Fn}

Fn

и внешний inf берется no всем подпространствам Fn с dimF„ < п.

l'n

Определение • III.4.3. Пространство Фреше Е назовём силъноразрежённым блочным пространством, если найдётся такое блочное пространство Кёте lp , > что все

k(n) < 00, матрица [аг(п)] определяет сильноразрежёпное пространство Кёте и А(Е) = А (lp (jar(n)], •

Определение III.5.1. Будем говорить, что правильная матрица Кёте [аг(гг)] определяется последовательностью весовых функций с упорядоченностью парных композиций с обратными функциями,, если выполнено условие

3r(l) Vr 3e(r), С(г) > О

< C(r)as{T)(a~l(t)) Vi > 1.

Для краткости будем называть такие матрицы Кёте матрицами Кёте со свойством (sj).

Определение III.5.2. Будем говорить, что правильная матрица Кёте [аг(п)] определяется последовательностью весовых функций с обратной упорядоченностью парных композиций с обратными функциями, если выполнено условие

Vr3e(r),C(r)> 0 Vs>s(r) : «.(<)(*)) < C(r)aä{r)(ar"1(i)) Vi.

Для краткости будем называть такие матрицы Кёте матрицами Кёте со свойством (доопределение III.5.3. Будем говорить, что матрица Кёте [аг(п)] обладает свойством (¿2) , если выполнено условие Vr Эя(г) Vi, ЭС > О

|e„|r|en|t C|en|s(r), n = 1,2,...

Определение Ш.5.4. Будем говорить, что матрица Кёте [аг(п)] обладает свойством (й2) , если выполнено условие Уг За (г), С (г) V*

||е„||г||е„|ИС(г)||е„||82(г), п = 1,2,...

3 Содержание работы.

Перейдём к обзору диссертации.

Первая глава состоит из трёх параграфов. В первом параграфе приводятся основные определения и вспомогательные результаты.

Во втором параграфе первой главы вводятся свойства, являющиеся характерными для пространств Кёте бесконечного типа и их подпространств. Кроме того, выводится ряд эквивалентных формулировок данных свойств.

Предложение 1.2.4. Пространства /р[аг(п)] бесконечного типа имеют свойства /^([а^п)]), которое наследуется всеми подпространствами этих пространств.

Предложение 1.2.3. Для пространств Фреше (Е, (| • |г)) следующие условия эквивалентны :

1°. Е имеет свойство £>1([аг(п)]);

2°. 3 замкнутая абсолютно выпуклая окрестность нуля II С Е такая, что Уг € ЛГ, Зш € N Ук € N Э«(г) 6 Ы, С (г) > 0 : С(г)

"■к (а£{*)У

3°.Э|| • II Уг е ЛГ, Зш е N Ук € N Зв(г) € ЛГ, С (г) > 0 :

4°.3|| • || Уг е Зт е N Ук 6 N Эв(г) е N, С (г) > 0 :

5°.3|| • II Уг е Я, Зт е N \/к € я Зв(г) 6 ЛГ, С(г) > О:

УееЕ.

В третьем параграфе первой главы рассматриваются характерные для пространств Кёте бесконечного типа и их факторпространств свойства, и вводится ряд эквивалентных им формулировок.

Предложение 1.3.3. Пространства 1р[аг(п)] бесконечного типа имеют свойство £2([аг(п)]), которое наследуется всеми факторпространствами этих пространств. Любое дополняемое подпространство пространства ¿р[Ог(п)] бесконечного типа умеет свойства £>1([ог(п)]) и Г2([аг(п)]).

Предложение 1.3.2. Для пространств Фреше (Е, (| • |г)) следующие условия эквивалентны :

1°. Е имеет свойство П([ог(п)]);

2°.УА:бЛГ 3Лк) Т оо Зяе ЛГУ/ € Я Зт € N30:

Ц, С Сат (аг(1}(<)) и, + ~ик У* е К У</> е Е'.

3°.У&еЛГ 3з{к) ТооЗвбЯУ/еЯЗтбЯЗС:

М'. ^ Сат («/¿М) М + Е'.

4°. \/к € N 3Лк) Т оо Зй 6 N V/ е N Зт б ЛГ ЗС :

5°. Ук € N З^к) Т 00 Эве^бЛГЗт е N ЗС:

Ы,

Вторая глава посвящена выделению последовательностей элементов и функционалов, которые по своим геометрическим характеристикам схожи с последовательностью ортов и соответствующей ей последовательностью функционалов в некотором пространстве Кёте.

В первом параграфе второй главы вводится понятие упорядочиваемости скоростей роста весов матрицы Кёте, а также доказывается лемма, в которой выделяется последовательность базисных функционалов с заданными оценками норм для ядерных пространств Фреше, которые обладают свойством £>1([аг(п)]) и свойством упорядочиваемости скоростей роста весов.

Лемма II. 1.1. Пусть ядерное пространство Фреше Е имеет свойство £>1([аг(п)]), где матрица Кёте [аг(п)] обладает свойством упорядочиваемости скоростей роста весов и топология Е определяется некоторым набором норм. Тогда можно перейти к эквивалентной системе норм (| • |г) такой, что для пары норм |1 • |1 < | • найдётся норма | • и для биортогоналъной системы (/„, /п), состоящей из общего ортогонального базиса (/„) в Ео и Ев, /п € Е', п 6 К, можно построить последовательность непрерывных на Е линейных функционалов (д'п) со следующими свойствами:

а)/п = 9п + С

^п ^ , , |0,85

б) (д'п) - безусловный базис в Е^ и в Е!ав - сопряжённом пространстве к пополнению Е по некоторой норме

в) существует последовательность положительных чисел (.А(г)) и последовательность натуральных чисел (т(г)) (т(г) --> оо при г оо), с которыми справедливы неравенства

Мг)

9п <771035-/ -1/| г |

г |/я|.' От« («Г1(\Ш)

Второй параграф второй главы посвящён выделению базисной последовательности элементов пространства Фреше с заданными .оценками норм при определённых ограничениях на пространство Фреше.

Лемма 11.2.1. Пусть ядерное пространство Фреше имеет свойства £>1, Г2([аг(п)]), где матрица Кёте обладает свойством упорядочиваемости скоростей роста весов. Найдётся пара ассоциированных гильбертовых

пространств Ео и Е8 данного пространства Фреше и (/„) общий ортогональный базис ассоциированных гильбертовых пространств Ео и Е3. (/„) нормирован в Ео и упорядочен по возрастанию норм элементов в Ее. И, кроме того, (/„) е Е такие, что для любых непрерывных гильбертовых норм || • || < | • ¡1 ( || • || из условия существует гильбертова норма || • ||х ^ | • и такая последовательность элементов (Л^), ¡1Т1 6 Е, что выполнены условия :

а){К)~

безусловный базис в и в Е\~ пополнении Е по норме || • Ць б) для каждого к € N существует т(к) € N и С (к) > О

• В 1-4 параграфах третьей главы доказывается существование базиса в пространствах Фреше с условиями ^[аДп)] и П[аг(п)] и матрицей Кёте, обладающей свойством упорядочиваемости скоростей роста весов, при различных дополнительных ограничениях.

В первом параграфе третьей главы таким дополнительным ограничением является свойство строго конечномерного разложения:

Теорема III.1.1. Ядерное пространство Фреше Е со свойством строго конечномерного разложения и свойствами £>1([я,-("■)]), Л([аг(п)]), где матрица Кёте обладает свойством упорядочиваемости скоростей роста весов, имеет базис.

Дополнительным ограничением второго параграфа третьей главы является равенство диаметральной размерности пространства Фреше диаметральной размерности его декартова квадрата:

Теорема Ш.2.6. Пусть Е - ядерное пространство Фреше и Е имеет свойства -£М[аг(п)]), 12([аг(п)]), где матрица Кёте обладает свойством упорядочиваемости скоростей роста весов Если Д(Е) = Д(ЕфЕ), то Е изоморфно некоторому пространству Кёте бесконечного типа.

Кроме того, данный параграф содержит ряд вспомогательных результатов, среди которых заслуживает внимания следующая теорема:

Теорема III.2.1. Если Е является ядерным пространством Фреше с условиями £>1([яг(гс)])( и матрица Кёте (ог(гг)]

обладает свойством упорядочиваемости скоростей роста весов, то Д(Е) — Д (1Р [от (а;1 К))]) с фиксированным $ и некоторой

последовательностью (ап)^=1 ап | оо.

Основным результатом третьего параграфа третьей главы является следующая теорема:

Теорема П1.3.1. Ядерное, разреокённое пространство Фреше Е с условиями А(Мп)]) и П([аг(п)]), где матрица Кёте обладает свойством упорядочиваемости скоростей роста весов, имеет базис.

В четвёртом параграфе доказывается существование базиса при ещё одном дополнительном ограничении:

Теорема III.4.1. Пусть Е - ядерное пространство Фреше со свойствами £>1([аг(п)]), П([аг(п)]), где матрица Кётпе обладает свойством упорядочиваемости скоростей роста весов, и пусть пространство 1Р ^ [а,- (гг)], является

сильноразреокённым блочным пространством Кёте таким, что А(Е) = А (1Р (^[аг(п)], , тогда Е имеет базис.

Отметим важное следствие данной теоремы:

Следствие Ш.4.2. Пусть Е - ядерное пространство Фреше со свойствами ([ехр/(г6п)]), П ([ехр/(гЬп)]), и пусть пространство 1Р ^[ехр /(г6п)], является

блочгюразреженным пространством Кете такиль, "¿то —

А ^[ехр/(гЬп)] ) 'тогда Е имеет базис.

В пятом параграфе третьей главы, доказаны две теоремы о существовании базиса в дополняемых подпространствах пространств Кёте, которые не обладают одновременно свойствами (1\ и упорядочиваемости скоростей роста весов.

Теорема III.5.1. Пусть блочное счётно-гильбертово

пространство Kerne Е = h ^[ar(n)], , где M(n) <

oo, n E N, класса (d\) определяется правильной матрицей [«r(n)] со свойством (?г)- Тогда произвольное дополняемое подпространство F в Е изоморфно некоторому координатному подпространству в Е вида Е = h^Or(TO(n))]> >

(т(п))— последовательность натуральных чисел без повторений и L{n) ^ М(п), п 6 N.

Теорема III. 5.2. Пусть блочное счётно-гильбертово пространство Кёте Е — ^[ar(n)], fö^J) , где М(п) sC oo, п е N, класса (¿г) определяется правильной матрицей [йг(п)] со свойством (si) (упорядоченности парных композиций с обратными функциями).

Тогда произвольное дополняемое подпространство F в Е изоморфно некоторому координатному подпространству в Е вида fe (К-(етг(п))], > (m(n))~ последовательность

натуральных чисел без повторений и L{ri) ^ М(п), п £ N.

Список литературы

[1] Кондаков В.П., Ефимов А.И. О базисах в дополняемых подпространствах обобщённых пространств степенных рядов бесконечного типа. Рукопись депонирована в ВИНИТИ, № 3938-В99 от 30.12.1999.

[21 Ефимов А.И. О выделении последовательностей элементов с 'заданными оценками норм в пространствах Фреше с геометрическими условиями. Рукопись депонирована в ВИНИТИ, № 1672-В00 от 13.06.2000.

[3] Кондаков В.П., Ефимов А.И. О базисах в разрежённых дополняемых подпространствах пространств Кёте, определяемых функциями Драгилева. Вестник ТГУ, т.5, вып.4, 2000, с. 464-465.

[-8mm]

[4] Кондаков В.П., Ефимов А.И. О существовании базиса в некоторых пространствах Фреше, определяемых функциями Драгилева. // Международная школа-семинар по геометрии и анализу, посвящённая 90-летию Н.В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 5-11 сентября 2000 г. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону, 2000. с. 120-122.

[5] Кондаков В.П., Ефимов А.И. О базисах в дополняемых подпространствах пространств, обобщающих пространства степенных рядов. Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2001. № 1. с. 5-9.

[6] Кондаков В.П., Ефимов А.И. Замечания о двух классах пространств Кёте-Фреше, в котором каждое дополняемое

подпространство изоморфно какому-нибудь координатному подпространству. // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 5-11 сентября 2002 г. Ростов-на-Дону, 2002. с. 127-128.

Издательство ООО «ЦВВР». Лицензия ЛР № 65-36 от 05 08.99 г.

Подписано в печать. 28.08.2003.Г. Заказ N8 407 Бумага офсетная, Гарнитура «Тайме», печать офсетная. Тираж 100 экз. Печ. лист 1,5. Формат 60*84 1/16. Усл.печ.л. 1,39. Компьютерный набор и верстка. Издательско-полиграфический комплекс « Биос» РГУ 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 28/2, корп. 5 «В», 4 этаж. Лицензия на полиграфическую деятельность № 65-125 от 09.02 98 г.

í

I !

(

i

i

í

/ i

t

i

ч

V

I

I

! \

\

\

2оо?-А ïjézo

И3620

Введение.

Глава I. Линейные топологические инварианты локально выпуклых пространств.

§ 1.1. Основные определения и вспомогательные результаты.

§ 1.2. Свойства, характеризующие подпространства некоторых пространств Кёте, и их эквивалентные формулировки.

§ 1.3. Свойства, характеризующие факторпространства некоторых пространств Кёте, и их эквивалентные формулировки.

Глава II. Выделение последовательностей элементов и функционалов с заданными оценками норм.

§ II. 1. О выделении последовательности функционалов с заданными оценками норм на пространства Фреше.

§ II.2. О выделении последовательности элементов пространства Фреше с заданными оценками норм.

Глава III. О существовании базисов в конкретных классах пространств Фреше.

§ III. 1. О существовании базисов в пространствах Фреше с условием строго конечномерного разложения и свойствами D\([ar(n)]), £2([ar(n)]).

§ III.2. О существовании базисов в пространствах Фреше, обладающих свойствами Di([ar(n)}), Q([ar(n)]) и изоморфных своему декартову квадрату.

§ III.3. О существовании базисов в разрежённых пространствах Фреше, обладающих свойствами

AQo^n)]), П([аг(п)]).

§ III.4. О существовании базисов в сильноразрежённых блочных пространствах Фреше, обладающих свойствами Di([ar(n)}), П([аг(п)]).

§ III.5. О существовании базисов в дополняемых подпространствах пространств Кёте двух классов со свойствами упорядоченности парных композиций с обратными функциями.

При исследовании линейных топологических пространств, в частности пространств Фреше, изучение базисных, минимальных и других последовательностей элементов может нести значительную информацию о геометрии всего пространства. И если в геометрической теории банаховых пространств роль модельных пространств играют координатные пространства 1р, 1 ^ р ^ оо, то в геометрической теории пространств Фреше аналогичную роль выполняют пространства Кёте. Вследствие чего возникает вопрос о наличии базиса в подпространствах, факторпространствах и дополняемых подпространствах пространств Кёте-Фреше. В настоящее время уже известны примеры тех подпространств пространств Кёте-Фреше, которые не имеют базиса, и примеры факторпространств пространств Кёте-Фреше, также не имеющих базиса (см. например, [1, 2]). При этом вопрос о существовании дополняемого подпространства пространства Кёте-Фреше без базиса до сих пор остаётся открытым. Кроме того, заслуживает внимания пример дополняемого подпространства, в котором не существует базис пространства Фреше с базисом (см. [33]). На ряду с этим все больший интерес вызывают исследования вопроса о существовании базисов в конкретных классах весовых пространств Фреше и в дополняемых подпространствах таких пространств, которые имеют базисы (см., напр., [3, 4]). Вопрос о существовании базисов в конкретных пространствах Фреше исторически рассматривался одновременно с вопросом о квазиэквивалентности (единственности) базисов (см. [5], [29]—[32], [34]—[36]), вследствие этого в исследованиях этих вопросов имеется целый ряд общих приёмов.

В диссертации доказано наличие базиса в некоторых конкретных классах пространств Фреше, которые включают в себя дополняемые подпространства конкретных классов пространств Кёте-Фреше. Большинство из них не выходят за рамки пространств Фреше бесконечного типа, то есть пространств Фреше, определяемых свойством £>1 (или ИЫ в иностранной литературе). Свойство в форме: существует норма || • || такая, что или БЫ в форме: существует замкнутая абсолютно выпуклая окрестность нуля II С Е такая, что было почти одновременно введено В.П. Захарютой (£)]) (см. [45]) и Д. Фогтом (£>Л/") (см. [47]) соответственно.

Данное свойство является естественным обобщением на пространства Фреше свойства (1\ : введённого для пространств Кёте 1р[аг(п)] М.М. Драгилевым в [28].

Диссертация состоит из Введения и трёх глав. Нумерация глав производится римскими цифрами; параграфы имеют двойную нумерацию (§ 1.2. - второй параграф первой главы); определения и полученные утверждения имеют тройную нумерацию (Определение II. 1.3. - третье определение первого параграфа второй главы; Теорема III. 1.2. - теорема 2 первого параграфа третьей главы)

1. Зобин Н.М., Митягин Б. С. Примеры ядерных метрических пространств без базисов // Функц. анализ и его прил. 1974. Т. 8, вып. 4. С. 304-313.

2. Bessaga С. A nuclear Frechet space without basis 1. Variation on a theme of Djakov and Mitiagin // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. math., astronom., phys. 1976. V. 24, № 7. P. 471-473.

3. Haslinger F., Smejkal M. Representation and duality in weighted Frechhet spaces of entire functions // Lecture Notes in Math. 1987. V. 1275. P. 168-196.

4. Dubinsky E., D. Vogt D. Complemented subspaces in tame power series spaces // Studia Math. 1989. V.93, № 4. P. 71-85.

5. Митягин Б. С. Аппроксимативная размерность и базисы в ядерных пространствах // Успехи мат. наук. 1961. Т. 16, вып. 4. С.63-132.

6. Krone J. On projections in power series spaces and the existence of bases // Proc. Amer. Math. Soc. 1989. V. 105. P. 350-355.

7. Krone J. Basisprobleme in nuklearen Frechetraumen. Dissertation. Wuppertal: 1986.

8. Krone J. Existence of bases and the dual splitting relation for Frechet spaces // Studia Math. 1989. V. XCII. P. 37-48.

9. Ahonen H. On nuclear Kothe spaces defined by Dragilev functions. Series A. Mathematics Dissertationes. 38. Ann. Acad. Sc. Fennicae. Helsinki. 1981.

10. Кондаков В. П. Об ортогонализации базисов в некоторых классах ядерных пространств // Сиб. матем. журн. 1990. Т. 31, № 4. С. 77-89.

11. Кондаков В. П. О базисах в дополняемых подпространствах функциональных пространств // Функц.анал. и его прил. 1990. Т. 24, вып. 3. С. 80-81.

12. Кондаков В. П. О блочных пространствах Кете, в которых образ каждого непрерывного оператора имеет базис // Функц. анал. и его прил. 1993. Т. 27, № 4. С. 74-77.

13. Kondakov V.P. Bases in complemented subspaces of weak-mixed Köthe spaces // Abstracts conf. "Nucleare Frechet Räume". Oberwolfach: 1990. P. 5-6.

14. Кондаков В. П. Геометрические условия существования базисов в пространствах Фреше // Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам анализа и геометрии, тез. докл. Москва: ТВП. 1994. С. 60.

15. Кондаков В. П. О весовых пространствах Кете, определяемых разреженными матрицами // Рук.деп. в ВИНИТИ. 1990. № 6226-В90.

16. Кондаков В. П. Об операторах и дополняемых подпространствах в пространствах Кете, определяемых разреженными матрицами // Сиб. мат.журн. 1995. Т. 35, JVQ 5. С.1096-1112.

17. Кондаков В. П. Критерий существования безусловного базиса в счетно-гильбертовом пространстве // Международная геометрическая школа- семинар памяти Н.В. Ефимова. Абрау-Дюрсо: 27 сент,—4 окт. 1996. Тез. докл. Ростов-на-Дону: 1996.С. 113.

18. Кондаков В. П., Каплицкий В.М. О существовании базисов в некоторых весовых пространствах функций // Междунар. геом.школа-семинар памяти Н.Ф.Ефимова. Абрау-Дюрсо: 27 сент.-4 окт. 1996. Тез. докл. Ростов-на-Дону: 1996. С. 114.

19. Кондаков В. П. О существовании базисов в весовых пространствах случайных величин // Третья Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам. Туапсе: 17.IX-24.IX. 1996.Тезисы докл. М: ТВП, 1996. С. 85-86.

20. Kondakov V. P., Kaplitsky V. M. Sufficient conditions for existence of bases in some Frechet spaces of entire functions // 4th Simposium on mathematical analysis and its applications. Arandelovac. May 26-30 1997. Abstracts. Beograd: 1997. C. 48-49.

21. Kondakov V. P. Geometric conditions for the existence of Bases in nuclear Frechet spaces // Linear Topological Spaces and Complex Analysis. 1994. V. 1. P. 25-32.

22. Djakov P.B. A critérium for the existence of Bases in nuclear Frechet spaces // Doga Tr.J. of Math. 1993. V. 17. P. 171-178.

23. Vogt D. Power series space representations of nuclear Frechet spaces // Trans, of the American Math. Soc. 1990. V.319, № 1. P.191-208.

24. Terzioglu T. Unstable Kôthe spaces and the functor EXT // Doga Tr.J. of Math. 1986. V. 10, № 1 (Special Issue). P. 227-231.

25. Aytuna A., Krone J., Terzioglu T. Complemented infinite type power series subspaces of nuclear Frechet spaces // Math. Ann. 1989. V. 283. P. 193-202.

26. Кондаков В. П. О безусловных базисах в образах слабо перемешивающих операторов в весовых пространствах случайных величин // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ТВП, 1997. Т. 4, вып.З. С. 358.

27. Kondakov V. P., Zaharjuta V. P. On bases in spaces of infinitely differentiable functions on special domains with cusp // Note di Mathematica. 1992. V.XII. P. 99-106.

28. Драгилев M. M. О правильных базисах в ядерных пространствах // Матем. сб. 1965. Т. 68, № 2. С. 153-173.

29. Драгилев М. М. О специальных размерностях, определенных на некоторых классах пространств Кете // Матем. сб. 1969. Т. 80, № 2. С. 225-240.

30. Драгилев М.М., Кондаков В. П. Об одном классе ядерных пространств // Мат. заметки. 1970. Т. 8, вып. 2. С. 169-179.

31. Кондаков В. П. О строении безусловных базисов некоторых пространств Кёте // Studia Math. 1983. Т. 76, № 2. С. 137-151.

32. Кондаков В. П. Вопросы геометрии ненормируемьтх пространств. Ростов-на-Дону: РГУ, 1983.

33. Taskinen J. A Frechet-Schwartz space with basis having a complemented subspace without basis // Abstracts conf. "Nucleare Frechet Raume". Ober-wolfach: 1990. P. 11.

34. Chalov P. A.,Djakov P. В., Terzioglu Т., Zahariuta V.P. On cartesian products of locally convex spaces // Linear Topological Spaces and Complex Analysis 2. Ankara: 1995. P. 9-33.

35. Захарюта В. П. Об изоморфизме и квазиэквивалентности базисов для степенных пространств Кёте // Докл. АН СССР.1975. Т. 221, № 4, С772-774.

36. Драгилев М.М. Базисы в пространствах Кёте. Ростов-на-Дону. Изд. Ростов, ун-та, 1983.

37. Захарюта В. П. О базисах и изоморфизме пространств функций, аналитических в выпуклых областях многих переменных // Теория функций и функц. анализ. Харьков: 1967. вып. 5. С. 5-12.

38. Захарюта В. П. О квазиэквивалентности базисов в конечных центрах гильбертовых шкал // Докл. АН СССР. 1968. Т. 180, № 4. С. 786-788.

39. Wojtynski W. On bases in certain countably-Hilbert spaces // Bull. Acad. Pol. Sei., ser. math. 1966. V.14. P. 681-684.

40. Митягин Б. С. Квазиэквивалентность базисов в гильбертовых шкалах // Studia Math. 1971. Т. 37. С. 111-137.

41. Митягин Б. С, Хенкин Г. М. Линейные задачи комплексного анализа // Успехи мат. наук. 1971. Т. 26, вып. 4(160). С. 93-152.

42. Крейн С. Г., Петунин Ю.И., Семёнов Е. М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1978.

43. Peetre J. On interpolation functions 3 // Acta Sei. Math. 1969. V. 30, № 3. P. 235-239.

44. Кондаков В. П. Дискретные локально выпуклые решётки и безусловные базисы // Матем. анализ и его прил. Ростов-на-Дону: 1985. Т. 5. С. 65-72.

45. Захарюта В.П. Некоторые линейные топологические инварианты и изоморфизмы тензорных произведений центров шкал, Изв. Сев. Кав. Научн. Центра Высш. Школы, 4, 1974,С.62-64.

46. Vogt D., Wagner M.J. Charakterisierung der Quotientenraume von s und eine Vermutung von Martinean, Studia Math., 1980, 67, 225-240.

47. Vogt D. Charakterisierung der Unterraume von s. Math. Z., 1977, 155, 109-117.

48. Wagner M.J. Some new methods in the structure theory of nuclear Frechet spaces, ed. T.Terzioglu. Advances in the Theory of Frechet spaces. Kluwer Academic Publishers. 1989. P.333-353.

49. Робертсон А.П., Робертсон В.Дж. Топологические векторные пространства. «Мир», М., 1967, 257 с.

50. Пич А. Ядерные локально выпуклые пространства. «Мир», М., 1967, 266 с.

51. Кириллов A.A., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа, М. «Наука», 1979, 384 с.

52. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 4.1. Функциональный анализ. Изд. «Мир», М., 1977.

53. Като Т. // Теория возмущений линейных операторов, "Мир", М., 1972.

54. Jorg Krone, Volker Walldorf Complemented subspaces with a strong finite-dimensional decomposition of nuclear Kothe spaces have a basis, Studia Math. 1998, 127, 1-7.

55. Terzioglu T. On the diametral dimension of some classes of F-spaces. Journ. of Karadeniz univ. Ser. of Math.-Phys. 1985, v.8, p.1-13.

56. Vogt D., Wagner M.J. Charakterisierung der Unterraume und Quotientenraume der nuclearen stabilen Potenzreihenraumen von unendlichem Typ. Studia Math. 1981, T. LXX, P.63-80.

57. Кондаков В.П. О неизоморфизме локально выпуклых пространств своим замкнутым подпространствам. «Физико-математические исследования». Изд. Ростовского университета, Ростов-на-Дону, 1972, 72-73.

58. Кондаков В.П. О существовании базисов в дополняемых ядерных подпространствах пространств степенных рядов бесконечного типа. Рукопись депонирована в ВИНИТИ, № 3653-В98 от 11.12.1998.

59. Кондаков В. П. Замечания о существовании безусловных базисов в весовых счётно-гильбертовых пространствах и их дополняемых подпространствах // Сиб. мат.журн. 2001. Т. 42, № 6. С. 1300-1313.

60. Apiola H. Characterization of subspaces and quotients of nuclear Lf (a, oo)-spaces. // Compos. Math.50, 65-81 1983.

61. Kondakov V.P. Geometric Properties of Frechet Spaces and Spaces and Selection of Basis Sequences. Mathematical Notes vol. 66, No 1,1999, 82-88.

62. Кондаков В.П. Существование базисов в ядерных дополняемых подпространствах пространств степенных рядов бесконечного типа. Функц. анал. и его прил. май-июнь Т. 34, в. 2, 2000, с. 81-83.

63. Кондаков В.П., Ефимов А.И. О базисах в дополняемых подпространствах обобщённых пространств степенных рядовбесконечного типа. Рукопись депонирована в ВИНИТИ, № 3938-В99 от 30.12.1999.

64. Ефимов А.И. О выделении последовательностей элементов с заданными оценками норм в пространствах Фреше с геометрическими условиями. Рукопись депонирована в ВИНИТИ, № 1672-В00 от 13.06.2000.

65. Кондаков В.П., Ефимов А.И. О базисах в разрежённых дополняемых подпространствах пространств Кёте, определяемых функциями Драгилева. Вестник ТГУ, т.5, вып.4, 2000, с. 464-465.

66. Кондаков В.П., Ефимов А.И. О базисах в дополняемых подпространствах пространств, обобщающих пространства степенных рядов. Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2001. № 1. с. 5-9.

67. Кондаков В. П. О дополняемых подпространствах некоторых пространств Кёте бесконечного типа // Сиб. мат.журн. 2003. Т. 44, № 1. С. 1300-1313.