Задачи сопряжения для эволюционных уравнений в банаховых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Глава I. Линеаризация задачи сопряжения для бесконечномерных эволюционных уравнений в банаховых пространствах с абсолютным базисом.

§1. Аналитические операторы.

§2. Нормализующие преобразования Пуанкаре.

§3. Метод ускоренной сходимости.

§4. Особенности бесконечномерного случая.

§5. Функциональное пространство tC.

§6. Линейные нормализующие преобразования для одного класса нелинейных операторов в пространстве ЬЬ

§7. Эволюционные уравнения в пространствах с базисом.

Глава II.0 приводимости бесконечномерных нелинейных уравнений к линейной нормальной форме в пространствах Wm и W.

§8. Линейные нормализующие преобразования в пространствах Соболева Wm.

§9. Интегрируемость нелинейных эволюционных уравнений в пространстве W.

Глава III. 0 нормальной форме нелинейных эволюционных уравнений в алгебре fy комплекснозначных функций на вещественной оси.

§10. Функциональное пространство &.

§11. Нормальные формы нелинейных операторов в.пространстве &.

§12. Интегрируемость бесконечномерных эволюционных уравнений в частных производных на вещественной оси.-.

В настоящей работе при помощи метода нормальных форм Пуанкаре исследуются задачи линеаризации нелинейных операторов в банаховых пространствах в окрестности неподвижной точки,а также задачи линеаризации нелинейных эволюционных уравнений в окрестности стационарного решения.Основной результат данной работы составляет бесконечномерный аналог известной теоремы К.Л.Зигеля о линеаризации конформного отображения в окрестности неподвижной точки JTб J. Доказанная теорема применяется затем к задаче линеаризации оператора сдвига по траекториям эволюционных уравнений в окрестности положения равновесия в банаховых пространствах.

Теория нормальных форм Пуанкаре является основным методом локальной теории дифференциальных уравнений,позволяющим исследовать поведение фазовых кривых в окрестности особой точки при помощи приведения дифференциальных уравнений к канонической нормальной форме.Теорию нормальных форм дифференциальных уравнений можно вывести из теории нормальных форм диффеоморфизмов в окрестности неподвижной точки.Метод нормальных форм Пуанкаре позволяет при помощи подходящего выбора системы координат в окрестности особой точки дифференциального уравнения / неподвижной точки отображения / уничтожать нерезонансные составляющие нелинейной части дифференциального уравнения / отображения /.В частном случае,в отсутствие резонансов,для дифференциального уравнения / отображения / удаётся выписать формальную замену переменных,приводящую дифференциальное уравнение / отображение / к своей линейной части.В теоремах Пуанкаре [i"] и Зигеля (^12 J для обыкновенных дифференциальных уравнений даются условия,обосновывающие сходимость рядов формальной замены переменных.Условия расходимости рядов формальной замены переменных исследованы в работах А.Д.Брюно£25-2^ .

В конечномерном случае оказательство теоремы К.Л.Зигеля для отображений впервые дано В.И.Арнольдом .

Работы Е.Хопфа и Дж.Коула J , в которых при отыскании линеаризующей подстановки для уравнения Бюргерса использовался метод замен переменных, лежащий в основе теории нормальных форм, стимулировали поиски аналогичной линеаризующей подстановки для произвольного эволюционного уравнения.

Задачи интегрируемости бесконечномерных эволюционных уравнений с точки зрения теории нормальных форм Пуанкаре впервые были рассмотрены Н.В.Николенко ^18-23^ .Н.В.Николенко рассмотрел уравнение j f = Ju + ф(и) /I/ где И -элемент гильбертова пространства Ц , с$~ , вообще говоря, неограниченный линейный оператор с плотной областью определения % , Ф - нелинейный оператор, аналитический по Фре-ше в окрестности нуля в XL » удовлетворяющий некоторым условиям согласованности с оператором , и дал достаточные условия линеаризации уравнения /I/ i окрестности нулевого стационарного решения, а также доказал существование нормализующего преобразования для нелинейного уравнения Шрёдингера и для уравнения теплопроводности с нелинейными источниками тепла.

В настоящей работе условия линеаризации уравнения /I/ даются при менее жестких условиях на нелинейную составляющую ф в дополнительном ограничении, что оператор унитарный, при этом доказывается, что обобщенные решения исходного уравнения /I/ с начальными данными из окрестности нуля в ^ переходят в обобщенные решения соответствующего линейного уравнения. Заметим, однако, что более жёсткие ограничения на нелинейную часть уравнения у Н.В.Николенко дают дополнительную информацию о том,что классические решения уравнения /I/ с начальными данными из окрестности нуля в fyjj- переводятся заменой переменных в классические решения соответствующего линейного уравнения,где - снабжённая структурой банахова пространства область определения линейного оператора J-.

Задачи линеаризации некоторых эволюционных уравнений с непрерывным спектром рассмотрены В.И.Седенко JboJ и М.ГО.Денисовым £з£] . П.И.Плотников использовал метод нормальных форм Пуанкаре в задачах интегрируемости бесконечномерных эволюционных уравнений с не-линейностями вида U Ux .

Доказательство основного результата данной работы основано на применении метода ускоренной сходимости Колмогорова-Арнольда--Мозера [3-6] . Вместо обычных для многих схем теории возмущений разложений в ряды по степеням возмущения мы используем быет-росходящийся метод итераций Колмогорова-Арнольда-Мозера,который при начальной погрешности £ даёт после К, приближений ошибку 1ппорядка <5 , что позволяет избавиться от влияния малых знаменателей, появляющихся в каждом приближении, и в результате удаётся не только провести бесконечное число приближений,но и доказать сходимость всей процедуры.

Диссертация состоит из трёх глав. Первая глава содержит §§ 1-7,вторая §§ 8-9,третья §§ 10-12.Краткое содержание каждой главы изложено во введениях,которыми начинается каждая глава.

Результаты диссертации опубликованы в работах £32 - 39J .

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю В.С.Рогожину и научному консультанту Н.В.Николенко за постоянное внимание и помощь в работе.

- б

Г л а в a I

ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ' УРАВНЕНИЙ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ С АБСОЛЮТНЫМ БАЗИСОМ

В этой главе мы исследуем вопрос о существовании аналитического по Фреше диффеоморфизма /У; Ы 1/L такого,что под действием замены переменных U. ~ H(v~J нелинейный оператор с*?

J+Ф: и — Ли + Z 0Ju) /о-i/ приводится в некоторой окрестности S нуля банахова пространства ТА, со счётным абсолютным базисом У^ , fC € СО , к линейному оператору: ,т.е.для всех € S выполнено соотношение

-' о ( j + ф) о/j(г) /0-2/

Линейный оператор векторы базиса, И € U) , предполагаем унитарным, ф: аналитическая по Фреше нелинейность,т.е. со о—

Ф(и) = Z. Фь (и) , Ф* (») = <k f^JU^J,

11*и* и

V --------V---

- ЛГ-линейный непрерывны!-! симметричный оператор и радиус сходисо мости степенного ряда ZL НФ^Н-Я*' » , больше нуля.Ниже мы считаем,что искомый диффеоморфизм //; S И имеет нуле пространства тождественную линейную часть Н - I в и оставляет неподвижным нуль пространства U- так,что где / i(u)lh 0 (// ЫЦ) , И U1+0 .

В §1 для удобства чтения данной работы приводится сводка известных сведений о степенных и аналитических по Фреше операторах в банаховых пространствах,даются определения -линейного оператора, симметрического оператора,производной по Шреше отображения т-.и + и в точке U- •

В §2 даётся описание предложенного Пуанкаре метода приведения нелинейного оператора к линейной нормальной форме.

В §3 описывается метод ускоренной сходимости Колмогорова -- Арнольда - Мозера.

В §4 даётся мотивировка ограничениям на нелинейную составляющую оператора оо

J ч- Ф : ос /—Ли + необходимым в связи с особенностями бесконечномерного случая.

В §5 описано функциональное пространство Ц/ со счётным абсолютным базисом и выделен класс нелинейностей jj ,для которых / при обычных ограничениях на малость знаменателей Л к ~ Jo ' ' ' J л / уравнение /0.2/ разрешило: yl/t [i ГЬ

L = U LN

I (ъ) = [ ф4 иМЦг.) > Ф £ М(и,г) где tJsL ( bl, t) - множество аналитических по Фреше в окрестности нуля пространства Ц^ операторов

Ф: U- U таких, что ряд Ф(н) -2. Фи ft/) регулярно сходится в шаре гК К=2-з: и операторы Ф , Ф допускают разложение t.M-ZfZfl ф* л.л)й)

Рм = z f I. (2. !ф>; \ив .ц \и>)

Доказанная в §6 теорема бЛ представляет собой бесконечномерный аналог теоремы К.Л.Зигеля о линеаризации конформного отображения в окрестности неподвшной точки J .

Те орема 6.1. Предположим,что а/ cfl' li ll ~ линейный унитарный оператор, имеющий векторы базиса ^ , & U) ,своими собственными векторами,отвечающими собственным значениям , ^ € & . б/ Для всех И-,•••;/>/> ^ ^ » К- 3} •• • и некоторого $ > { выполнены неравенства i-ni/^p

J" rj

В/ <t>eL .

Тогда найдётся нелинейность к е L и окрестность о нуля в (Л, такие,что в переменных (I+L)'(и), ^^s , отображение д Ju V ф(и) становится линеиным: i—> ,т.е.выполнено соотношение

J+Ф)' (I I) (*) = Jr , reS.

С помощью полученного результата можем утверждать,что любое отображение,отличное от J- нелинейной составляющей из класса

L ,переводится преобразованием координат в окрестности нуля банахова пространства 'It- в отображение ,т.е.мы имеем исчерпывающую картину об отображениях,.от личных от на нелиней-\ ную составляющую.

В §7 метод нормальных форм применяется к задаче интегрируемости уравнений эволюционного типа в окрестности нуля банахова пространства ZC с абсолютным базисом,вводятся понятия классического,обобщённого решения и задачи Коши для дифференциального уравнения в пространстве IL ,выясняются условия,налагаемые на операторы & и Н^ , при которых уравнение /0.4/ может быть приведено с помощью аналитической по Фреше замены переменных с тождественной в нуле линейной частью U - Н [р-) - (l+fu) (р) в некоторой окрестности S нуля в Ю к линейною/ уравнению

4*. = /0.5/ м

Результаты § 7 сформулированы в виде теоремы. Теорема 7.1. Если нелинейный оператор линеиныи оператор - производящий оператор сильно непрерывной группы унитарных операторов { Ej-Jj » где оператор Е£ при любом фиксированном ~t является диагональным в базисе % , /С 9 что Е+%- С, & 6 и) ,и собственные'значетак ния j^j/onepaiopa Е^ удовлетворяют неравенствам /0.3/,то найдётся оператор ieL и окрестность <и нуля пространства IL .такие,что уравнение /0.4/ приводится заменой переменных и. -(l-tL)(P~J, в окрестности £ к линейному уравнению /0.5/. При этом задача Коши для уравнения /0.4/ с начальными данными из S однозначно разрешима для ~t 6 (- л», + ^J , а нулевое стационарное решение уравнения /0.4/ устойчиво.

§ I. Аналитические операторы.

В этом параграфе для удобства чтения данном работы приводятся известные сведения о степенных и аналитических операторах в банаховых пространствах.

I.I. Степенные операторы. Прямое произведение Н ft- экземпляров банахова пространства 1С обозначим через It ^ Оператор называется К? -линейным оператором, если Ф^ (^ • • U-jc) линеен по кавдому из переменных Uj €ll ^.^j .Если этот оператор имеет конечную норму j Лто он называется ограниченным.

Ограниченность ^-линейного оператора, очевидно, эквивалентна его непрерывности.

Если для любых И1} , Uк, € U^ выполняются равенства где (j-i, ' ' ' jJ^J - любая перестановка чисел (^ J'/cj , то оператор Ф^ (»J ••■,') называется симметрическим оператором.

Каждому Ю -линейному оператору 'J можно сопоставить соответствующий ему симметрический /С-линейный оператор £ 2L /Ь2/

А" </*) где суммирование в правой части производится по всем перестановкам ^ji, "' tj*') цисел (^f '"/ • Оператор определённый формулой /1.2/, называется оператором симметризации. Ясно,что {Г Ф^ (l/, для и. 6 И и //^//^Ш/.

В дальнейшем будут использованы операторы

Ф,I : U —II

1.3/

U* которые получаются сужением на диагональ пространства и* некоторого -линейного симметрического оператора (uif H/^j :

Такие операторы называются степенными операторами порядка ,

Пусть

Фи) - отображение из 21 в и. , определенное на некоторой открытой области с U . Отображение Г называется дифференцируемым по Фреше в точке Ц Ц , если существует такой линейный ограниченный оператор что

-—jjjll-—--при ЦЦ—О, где ^ U- причём U ч- /С € 2t . Оператор называется производной / дифференциалом / Фреше отображения точке LL . Через I : U — & обозначим производную Фреше отображения

Гв точке . Если ясно,о какой точке i>" идёт речь,то будем обозначать, для краткости производную Фреше через

Т'М .

Производные по Фреше высших порядков определяются по индукции. Пусть К/ -линейный ограниченный оператор с^П) (■, ■): И"-- U, является -й производной Фреше отображения ^ъ точке U- и определён для всех It € IL .Тогда оператор называется te-i раз дифференцируемым по Фреше в точке U в Н , если существует V- -/j -линейный ограниченный оператор

О, ■■;•): U^-tL такой,что для любых , ^ ^ ^ и Л & tL ,для которого а +1 е IL iid"f(U,ij(L-,L) . и -tHma,.L i)n г Ш

ЦЩ-о. . ,

Оператор d ^ • • ■ , "J называется -й производной Фреше' отображения ^ в точке LL . Производные Фреше определяются по отображению однозначно.Оператор

UJ называется раз непрерывно дифференцируемым в

С U ,если он раз дифференцируем в каждой точке

U и операторная функция непрерывна в операторной топологии,определяемой нормой /1.1/. Ограниченный степенной оператор ф^ : U однозначно определяет соответствующий ему Ю -линейным ограниченный симметрический оператор ф^ \ Ц ^—Ц J . Именно

Qj** (о) Iи,,, . . , ил) где ф/J ^(о] ' tl^ ll - К--ая производная Фреше оператора Ф^ в нуле пространства . Заметим,что ^^{oj-tf^^ftij для всех It € It ю] .

Степенной оператор /1.3/ называется ограниченным,если он имеет конечную норму

Отметим,что имеется следующая связь между нормами /1.4/ , /1.1/ степенного оператора Ф^ и соответствующего ему /С -линейного симметрического оператора ф^ : • и%\\ * if /ш/

Предложение I.I. Пусть ^ ' % , Ф/у'' ^ ограниченные степенные операторы порядка Я- и К^ соответственно Тогда ^ о фо, ; IjL It - ограниченный степенной one-ратор порядка ПК/ , причём

Hrtih ll^ll ll&r

Доказательство. Положим К U**} ' UtK /I-?/ где : tl Л It ~ /^-линейный, ^ : U > ^

К/ -линейный ограниченные симметрические операторы,такие,что

4 (V - 4 ^ ^ , & (и) - si .

Ясно,что

С : # - ^-линейный ограниченный оператор и

I/KJI * /4/ /С/"

Б соответствие с /1.7/ имеем

1 -&)(и) = С (*, -,") i где соответствующий оператору -линейный,ограниченный,симметрический оператор,следовательно

Из неравенств /1.8/ и Ц Щ^Ц ^ Ц ^Fn^H следует неравенство /1.6/.

Замечание. Предложение I.I доказано Н.В.Николенко и использовалось в J^^J .

1.2. Аналитические операторы. Пусть

U) /1.9/ где Ф^ : И-* И (/с~ J, ) ограниченный степенной оператор порядка fC< , ф^ : "U ^ * соответствующий ему -линейный симметрический ограниченный оператор, 'fyftij- (f>el/. Ряд /1.9/ называется регулярно сходящимся в шаре (t>f ^ радиуса с центром в нуле пространства 'bL ,если

СХ>

ZL J/ Ф^ // jO^ ^ 00 ПРИ 0 ^ (f к-о

Из регулярной сходимости ряда /1.9/ в шаре (в tj вытекает, очевидно,сходимость этого ряда в St^J для любого О ^ £ £ .Кроме того,в силу /1.5/ ряд

Z ЦФЛР**- ^ Obf^te.

К^О J

Оператор Ф называется аналитическим по Фреше в окрестности нуля пространства Ц ,если он разлагается в ряд /1.9/ , регулярно сходящийся в шаре (о, l) при некотором т > О

Аналитический по Фреше нелинейный оператор имеет,соответственно, разложение

СО

Р(и) = Фь(и) начинающееся с однородной составляющей второго порядка.

Пусть Н ' S % - непрерывно - дифференцируемое по Фре-ше отображение некоторой открытой окрестности S . нуля банахова пространства tC на свой образ.Если существует обратное отображение Н 1 : ll ,также непрерывно - дифференцируемое по Фреше,то fj называется диффеоморфизмом класса окрестности оУ на свой образ.

Диффеоморфизм Н : S ^ It окрестности S нуля пространства на св°й образ называется аналитическим по Фреше,если Н ■■ S-+и и Н" ■■ H(S) S - аналитические аналитические по Фреше операторы.

1. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М., Наука, 1976.

2. Иосида К. Функциональный анализ, М., Мир, 1967.

3. Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона, ДАН СССР 98, 11- 4, 1954, с.527 530.

4. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости в классической и небесной механике, УМН ХУШ, вып.6,1963, 81 92.

5. Арнольд В.И. Особенности гладких отображений, УМН XXIII, вып.1, 1968, 3-44.

6. Мозер Ю. Быстро сходящийся метод итераций и нелинейные дифференциальные уравнения, УМН XXIII, вып.4, 1968, 179 238.

7. Рудин У. Функциональный анализ, М.,.Мир, 1975.

8. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу, М., Мир, 1977.

9. Курант Р. Геометрическая теория функций комплексного переменного, М. Л., Гостехиздат, 1934.

10. Вишик М.И., Фурсиков А.В., Математические задачи статистической гидродинамики, М., Наука, 1980.

11. Арнольд В.И. Математические методы классической механики, М., Наука, 1974.

12. Зигель КЛ. О нормальной форме аналитических дифференциальных уравнений в окрестности положения равновесия, Сб.переводов, Математика, 5:2, 1961, II9-I28.

13. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций ифункционального анализа, М., Наука, 1972.

14. Hopf В. Tit pzttial еригФ^bt+utt^jM^^Cofm. Рик

15. Со£е~ Ра CL i^u&tifrma^ e^itat^ DUtesutLp- thрусский перевод: Коул Дж., 0 квазилинейном параболическом уравнении, встречающемся в аэродинамике, Сб.Механика, W-2 /18/, 1953, 70-82.

16. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ, М., Наука, 1977.

17. Курант Р. Уравнения с частными производными, М., Мир, 1964.

18. Николенко Н.В.' Полная интегрируемость нелинейного уравнения Шрёдингера, ДАН СССР, т.227, №2, 1976, 295-298.

19. Николенко Н.В. О полной интегрируемости нелинейного уравнения Шрёдингера, Функц. анализ и его приложения, т. 10, вып. 3, 1976, 55-69.

20. Николенко Н.В. Инвариантные, асимптотически устойчивые торы возмущённого уравнения КдФ, УГЛЫ, т.35, вып.5 /125/, 1980, 121-180.

21. Николенко Н.В. О возмущениях уравнения Кортевега-де Фриза, УМН, т.33, вып.З /201/, 1978, 179-180.

22. Николенко Н.В. Полная интегрируемость и теория возмущений бесконечномерных гамильтоновых систем. Киев, 1976, 25с., препринт, Институт теор.физики, 76-87

23. Николенко Н.В. О приводимости нелинейных эволюционных уравнений к линейной нормальной форме, ДАН СССР, 1983, 268 : 3, 545-547.

24. Рисс Ф. и Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу, М., Мир, 1979.

25. Брюно А.Д. Нормальная форма дифференциальных уравнений, ДАН СССР, 1964, 157, № б, 1276-1279.

26. Брюно А.Д. О расходимости преобразований дифференциальных уравнений к нормальной форме, ДАН СССР, 1967, 174, Р 5, 1003-1006.

27. Брюно А.Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений, Труды Моск.мат.общества, 1971, 25, 119-262; 1972,- 26, 199-239.

28. Брюно А.Д. Множества аналитичности нормализующего преобразования: Препринты 97,98, М., Ин-т прикл.мат. ,1974.

29. Брюно А.Д. О расходимости вещественного нормализующего преобразования, Мат.Заметки,, 1979, 25, № 6, 653-660. Препринт № 112, М., Ин-т прикладной матем.,1978.

30. Седенко В.И. О нормальной форме нелинейных уравнений в частных производных на вещественной оси, Мат.Сборник, 1978, 105, 121-127.

31. Денисов М.Ю. Линейная форма нелинейных дифференциальных уравнений со сдвигом, Деп. в ВИНИТИ от 24.01.83. Рукопись представлена Ростовским университетом, \'Р- 383-83.

32. Новикова Л.В. Линейные нормализующие преобразования нелинейных операторов в алгебре комплекснозначных функций на вещественной оси, Деп. в ВИНИТИ от 23.06,81. Рукопись представлена Ростовским университетом, № 3043 --81, 18с.

33. Новикова Л.В. Линейные нормализующие преобразования для одного класса нелинейных операторов в пространствах Соболева, Деп.в ВИНИТИ от 23.06.81. Рукопись представлена Ростовским университетом, № 3044-81, 21с.

34. Новикова JI.В. О приводимости бесконечномерных нелинейных операторов к линейной нормальной форме. Деп. в ВИНИТИ от 23.06.81. Рукопись представлена Ростовским университетом, Р 3045-81, 23с.

35. Новикова Л.В. Нормальные формы нелинейных операторов в банаховых пространствах, Динамика сплошной среды,вып.53, IS8I, 88-102.

36. Новикова Л.В. Об одном бесконечномерном аналоге теоремы Зигеля, Функц. анализ и его приложения, т.16, вып.2,1982, 78-79.

37. Новикова Л.В. Линейные нормализующие преобразования для одного класса нелинейных операторов в пространствах Соболева, Украинский матем.журнал, т.34 № 3, 1982, 309' -- 315.

38. Новикова Л.В. 0 приводимости бесконечномерных нелинейных операторов к линейной нормальной форме, Известия ВУЗов, Математика, № 10, 1982, 76-79.

39. Новикова Л.В. Нормальные формы нелинейных операторов в-с0) -f-^) , Матем. анализ и его приложения, г. Ростов н/Д, 1983, 60-70.