"Нелинейные стохастические дифференциальные уравнения бесконечного порядка и соответствующие функциональные пространства" тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Московский ордена Ленина и ордена Октябрьской революции энергетический институт

На прамис рукописи

АГАД1АН0В Акот Николаевич

"Нелинейные стохастические дифференциальные уравнения бесконечного порядка и соответствующие функциональные пространства"

01.01.02.Дифференциальные уравнения.

АВТОРЕвЕРАТ

диссертации на соискание ученой степами кандидата фнаихо-ыатематических наук.

У

Москва - 1992г.

- г -

Работа выполнена на кафедре математического моделирования Московского ордена Ленина и ордена Октябрьской революции Энергетического института.

Научный руководитель: доктор фюихо-ттематкческих наук .профессор Дубинский S.A.

Официальные оппоненты: доктор физмко-математических наук,профессор вурснкоа A.B..

кандидат физико-математических наук« доцент Никулин В. П.

Ведущая органиаация: Московский фиаико-технкческкй институт.

Защита диссертации состоится /3 » 1993г.

часов на заседании Слецмалхзмрованного Совета К.053.16.16 оо присужден«) учено! степени кандидата физико-математических иаук в Московском енергетнческом институте по адресу: 105636, г.Посева, ул.Красноказарменная, дом 14. Учений Совет МЗИ,«уд.М7И.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МЭИ. Автореферат разослан " " 1992г.

.Alf

Ученый секретарь специализированного совета

доцент ШРЛ Григорьев В. П.

Ф)

.. _.........

г/'Ц.....

I. Общая характеристика работы.

Актуальность теми.

В настоящее время инстенсявно развивается теория нелинейных стохастических уравнения Ито в банаховых пространствах, имепдо многочисленные приложения в квантовой теории ноля, стохастической радиотехнике и т.д. Начало исследований таких уравнений было положено в работах Парду, Крыюва К.В., Розовского Б. Л. и др.

С другой стороны, в последние года была разработана теория разревимости детерминированных краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнения бесконечного порядка. Результаты в атом направлении были подучены Ю.А.Дубкнскмы, Г.С.Еалмвовой, Чан Дни Ваном н др.

Однако поведение некоторых физических систем описывается нелинейными дифференциальными уравнениями, являющимися как стохастическими уравнениями, так и имепцкмм бесконечный порядок. Например, нестационарная плотность фазы ¿) фазы ^ <У- некоторый марковский процесс) в аналоговых синхронизаторах первого порядка при воздействии на их вход цуассоновских и нормальных сумо в подчиняется стохастическому ди$фереицкаяыюцу уравнение Олсона бесконечного пордаа:

где - некоторая случайная функция от фазы.

Я/у) — Л^ - постоянная.

Последунцие значения

определяотся следувцим образом | О - нечетные,

С А , К. М. - физические константы).

В связи с вышеизложенным актуальной, на нав взгляд, является задача исследования различных классов нелинейных дифференциальных стохастических краевых задач бесконечного порядка.

Цель работы.

Целы) диссертационной работы является изучение различных классов стохастических урамений бесконечного порядка, а именно: уравнений Иго с нелинейными дифференциальными операторами "сноса" и "диффузии" бесконечного порядка, а такте эллиптических, параболических, гиперболических дифференциальных уравнений бесконечного порядка. Кроме того, в диссертационной работе получены результаты, связанные со свойствами функциональных пространств, являщихся "знергетичеокиыи" для соответствующих краевых задач бесконечного порядка.

Методы исследования.

При получении основных результатов использовались: методы геометрии банаховых пространств, теория монотонных я коэрцитивных операторов в банаховых пространствах (применительно к нелинейным стохастическим дифференциальным уравнениям бесконечного порядка), свойства ядерных пространств Фреве, теория стохастического интегрирования в абстрактных функциональных пространствах.

Научная новизна.

Научная новизна результатов, полученных в диссертации, заключена в „сведущем:

а) Изучены свойства функциональных пространств, являщихся энергетическими пространствами для соответствуюцих стохастических краевых аадач бесконечного порядка. А именно, показано, что энергетические пространства являются банаховыми.

8 свою очередь такие банаховы пространства являются монотонными пределами последовательностей энергетических пространств для уравнений конечного порядка. Установлены основные свойства пространств бесконечного порядка. В частности, доказано, что пространства Соболева бесконечного порядка являются суперрефлексивными, сепарабедьными банаховыми пространствами, обладающими безусловным базисом Еаудера.

Установлена связь пространств Соболева бесконечного порядка с лроехтивными пределами последовательностей пространств конечного порядка. Проективные пределы оказались ядерными пространствами врете. Исследована также сопряженная конструкция, связанная с индуктивным пределом последовательностей пространств конечного порядка.

б) С помощью вышеупомянутых свойств энергетических пространств обосновывается схема рекения изучаемых стохастических краевых задач бесконечного порядка. Эта схема связана с обоснованием корректности предельного перехода в последовательности стохастических задач конечного порядка. При этом обосновании существенное значение имеет ядерность проективных (индуктивных) пределов, упомянутых высе. Предлагаемая методика обобщает аналогичный подход, связанный с исследованием детерминированных задач.

Практическая значимость.

Результаты, полученные в диссертационной работе, могут найти практическое применение в многочисленных задачах, связанных с обработкой марковских случайных процессов и полей. В частности, даже ревение обобщенного детерминированного дифференциального уравнения Колмогорова-Чепмека бесконечного порядка дает

- б -

важную информацию о поведении плотности распределения вероятностей марковских процессов. Информация о плотности необходима в задачах обнаружения и нелинейной фильтрации марковских процессов на фоне помех.

Методы исследования стохастических дифференциальных уравнений бесконечного порядка, предложенные в диссертационной работе, могут быть также использованы при расчете параметров (например, случайной фазы) в нелинейных преобразователях случайных процессов.

Отметим, что поведение некоторых биологических систем также описывается стохастическими дифференциальными уравнениями бесконечного порядка.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались автором на семинарах в МИАИ (руководители: акад. Никольский С.Ы., член-корр. Кудрявцев Л.Д., член-корр. Бесов О.В.) в I987-I99I гг., в МЭИ (руководители: член-корр. Похожаев С.И., проф. Дубинский Ю.А., проф. Домов С.А.) в 1967-1991 гг., а также на семинаре по математическому моделированию в МЭИ (руководители: Амосов A.A., Дубинский С.А.) в 1966-1991 гг. Часть результатов была доложена на совместном заседании семинара имени И.Г.Петровского и Московского математического общества в январе 1988 г.

Публикации.

Основные результаты диссертационной работьмэпубликованы автором в /X/ - /5/.

Объем и структура работц.

Диссертационная работа изложена на 78 страницах машинописного текста, состоит из введения, двух глав и списка литературы, включающего 53 названия.

2. Содержание диссертации

Во введении дается обоснование актуальности темы, излагается краткое содержание диссертации.

В первой главе изучаются свойства пространств Соболева бесконечного порядка.

В I.I доказывается нормируемость пространств типа Соболева конечного порядка, т.е. функциональных пространств вида

где целое, P^l, UtjR.*И Ир^- норма в

пространстве Лебега (__п(&) (/С- ограниченная область в

ы р с достаточно гладкой границей / ).

В 1.2, по сути являющимся вводным, приводятся некоторые определения и факты из геометрии банаховых пространств: б -выпуклость, суперрефлексивность. Использованы результаты Энфло об эквивалентной перенормировке суперрефлексивных банаховых пространств. Приведена теорема Зингера об эквивалентной перенормировке банаховых пространств с целью получения изоморфной банаховой ресетки. „ у

В 1.3 изучаются свойства пространств И у/? ^ Определены условия, при которых эти пространства сепарабельны, суперрефлексивны и обладает безусловным базисом Еаудера. А именно, справедлива

Теорема 1.4« Банахово пространство обладает следующими свойствами:

1. При ^¿/^ <гоо оно сепарабельно.

2. При р<>оо оно суперрефлексивно и обладает безусловным базисом Шаудера.

В 1.4 вводятся сопряженные пространства типа Соболева конечного порядха. Доказана -т

Теорема 1.5. При .{ < < * с*> банахово пространство Й^ является суперрефлексивным, сепарабельным, обладает безусловным базисом Шаудера.

В 1.5 доказана нормируемость пространств Соболева бесконечного порядка и показывается, что они хах банаховы пространства алгебраически и топологически совпадает с соответствующими монотонными пределами. Иначе говоря,

В 1.6 изучаются свойства пространств Соболева бесконечного порядка. Доказаны следующие теоремы:

Теорема 1.6. При $Р $ ^о со банахово пространст-

во 1<у является рефлексивным.

Теорема 1.7. При ¿З3^!.** банахово пространст-

во \у является суперрефлексивным.

Отметим, что доказательство рефлексивности связано с рассмотрением специального класса (строго выпуклых) нелинейных функционалов, определенных на ограниченных, замкнутых множествах пространств Соболева бесконечного порядха.

Доказательство суперрефлексивности существенно опирается на результаты, полученные Энфло, связанные с такой эквивалентной перенормировкой исходного банахова пространства, что относительно новой нормы око становится равномерно выпуклым.

- « -

В 1.7 изучается связь пространств Соболева бесконечного порядка с пространствами Фреие, делящимися проект*виши (индуктивными) пределами последовательностей пространств конечного порядка. Доказана

Теорема 1.9. При + пространство

*** и '

Vl^futieJWl (lu/hihify.^lluHj^

является ядерным пространством Фреое.

Для доказательства теоремы проверяется критерий Гротендика-Пяча ядерноети пространства. А именно, доказывался, что для некоторой базы окрестностей нуля ХУ — ( Jj^J в най-

дется система окрестностей нуля ^/^ (Xf (\fс\]\* юло-

п ,ЛТ° I

«игольные меры Радона /Ч- ( 1/ - поляра множества у„ ),

Vm Т 7е"

тахие, что для произвольной функция а(х)в И^«. * любой функции

Cl(li)£C(V°) выполнекы неравенства '

В 1.8 доказывается наличие безусловного базиса Саудерв в пространствах Соболева бесконечного порядка.

Во второй главе исследуется разревимость нелинейных стохастических краевых задач для дифференциальных уравнений бесконечного порядка.

В 2 Л приводятся некоторые понятия бесконечномерного сто-хаотического анализа: мартингалы, семимартингагы в абстрактных пространствах, выбор меры на вероятностном пространстве, относительно которой исходный семимартингал становится локально квадратично-интегрируемым мартингалом (т.Вихтлера).

В 2.2 приводятся определение винеровского процесса со значениями в пространстве Фреше с базисом. Описывается возможность

перехода от локально квадратично-интегрируемого мартингала к винеровским процессам. Последнее условие позволяет свести изучение уравнений Иго относительно специального класса семимартин-галов к уравнениям Иго относительно винеровских процессов со значениями в сепарабельном гильбертовом пространстве, связанным с ядерным пространством Фреве.

В 2.3 приведена абстрактная теорема о разрешимости операторных уравнений Иго. Существенную роль при этом играет, в частности, суперрефлексивность энергетических пространств.

Цусть ) - вероятностное пространство, с зафик-

сированным на нем потоком <3" - подалгебр Пусть

{Лт.(и)}т-, - последовательность коэффициентов

"сноса" и "диффузии" для операторных уравнений Ито:

Здесь случайное поле,

А ш): V в общем случае нелинейные, неограниченные

Чп / v». /1 \ Г 1 Г г1г 1«

операторы (при фиксированных . а V } - пос-

ледовательность суперрефлексивных банаховых пространств, образующих монотонно убывающую последовательность. Через / ^ обозначена последовательность пространств, сопряженных к .

Предполагается» что - монотонный предел последовательнос-

ти / является нетривиальным, притом суперрефлексивным,

сепарабельным банаховым пространством. Кроме того, предполагается, что эта последовательность имеет ядерный проективный предел •

Определим монотонно убывающие последовательности сепара-бельных гильбертовых пространств /и ^ £т ^ с нетривиальными монотонными пределами Н^0„ и Предположим, что

операторы 3 (и таковы, что при каждой фиксированной т '

- а, *>) • (Ш0- ™

ство линейных операторов , удовлетворяющих условно ^ г*е # (Нм. Е)- пространство операто-

ров Гильберта-Смидта). ^ '

Пусть /1,/,^ / " П0c■aeд0!,aтeльн0cти,

порожденные винеровским процессом 1) со значениями в ядерном пространстве .

Допустим, что операторы ЛтЬ^р) и (и т^ непрерывны по своим аргументам. На /Ь, зададим последовательность неотрицательных, соответствуюцим образом суммируемых функций

Допустим, что существуют сходящиеся к положительным пределам числовые последовательности К>0. >0» (1> 1 такие,

1И Л д Л» _ *

что при произвольных фиксированных /те «1,2... и и. к, ¿¿£ Ум, выполнены условия (теорема Крылова-Роэовского): .

А1. Семинепрерывность Лт. : функция Дг*. (и,+ \цгу!.,„ является непрерывной по А на . Здесь ) - двойст-

венность банаховой пары V").

-/я

А2. Монотонность пары (Д^ В Ь 2 ^

Здесь II //,-, - корма в пространстве .У )

АЗ. Коэрцитивность пары (Д* О/: д

А4. Ограниченность роста:

Ши^Ю/ч!/^

Ут 'гп

Т

<У-Оо

О

Здесь - начальная функция.

Доказана

Теорема 2.1. Цусть операторы

ЛМ: 1С- ¡С К^к в-)

определятся из условий:

(здесь < « - условия двойственности банаховых пар

• Цсу, - ковариационный оператор винеровского процесса со значениями в

Цусть также имеют место условия:

А1*. Семинепрерыжость оператора Л^ функция

< И является непрерывной по X на & . .

А21. Монотонность пары (Ли ^ ^

«ы, а Ю-г (и^кМШ/КЫ

АЗ*. Коэрцитивноегь пары

Чет ¥*»оп

Здесь - некоторая неотрицательная функция

/С- О - о1 - о(„

«рд »»■•»» / 1/п- — " и/п.

/»•-"им ' »»Мм

А4*. Ограниченность роста

/мж. Н ■

А51.

ЕШГ

Здесь и0 - сильный предел последовательности элементов [ 1(0 " пространстве ^ (П ^ ¿.^ Со, Т; Тогда уравнение Ито вида: имеет единственное ревение.

В 2.4 доказывается раэревимость первой начально-краевой задачи для нелинейных дифференциальных уравнений Ито бескокеч- , , ного порядка:

</и = а\

Я V - 0 «>

у* со /4" \

(¿У- 2(4) - оператор "сноса",

&^ - "диффузии".

Отметим, что разревимость^задачи типа (I) - (3) в классических пространствах Соболева учр при условии парной монотонности и коэринтивности операторов "сноса" и "диффузии" доказана Крыловым и Розовским. Доказанный этими авторами результат соответствует тому, что О,-/' ^ и со ^

Исследование задачи (I) - (3) разбивается на несколько этапов. Первый этап - построение энергетических оснащений для задач конечного порядка. Возможность универсального оснащения связана с ядерностьи проективного предела. С последним ассоции-

ровен винеровсхий процесс со значениями в этом проективном пределе. Такой винеровсхий процесс порождает счетную цепочку вине-ровсхих процессов со значениями в соответствующих гильбертовых пространствах.

Второй этап - доказательство разрешимости задач конечного порядка (методом монотонных операторов) в пространствах типа Соболева конечного порядка. На этом этапе достигается обобщение результатов Н.В.Крылова и В.Д.Розовского на нелинейные (с переменным степенным порядком роста) уравнения Ито конечного порядка.

Третий этап - доказательство справедливости предельного перехода, позволяющего утверждать разрее им ость первой начально-краевой задачи дкя нелинейных дифференциальных уравнений Ито бесконечного порядка.

В 2.5 доказывается разрешимость нелинейных стохастических дифференциальных уравнений бесконечного порядка.

Шз^^яЩи,/¿ш

Ы!--о

.2)и/*0 /АЬо^л...

в классах пространств, являются вероятностными аналогами пространств Соболева бесконечного порядка - стохастические пространства Соболева бесконечного порядка /I/. Приводится критерий . нетривиальное» таких пространств, полученный в /I/.

В 2.6 доказывается раз решимость задачи, поставленной в 2.5 при отсутствии условия монотонности.

В 2.7 исследовано поведение решений стохастических эллиптических уравнений бесконечного порядка.

В 2.6 доказывается разрешимость первой начально-краевой задачи для нелинейных стохастических дифференциальных уравнений параболического типа бесконечного порядка:

и(о,х,ь>)= 0 (3>п. н)

2)\(/=0 fp/-с,i...

s

где

LkWh.giPtfaßufy'J

S'fcjhr, Q=Co, TJ"G

Щеп: оэ J

у. '

В соответствии с результатами первой глав« пространства и У( fy f^tj являются банаховыми. .

Теорема 2.В. Для любой правой части

leX A.W

/ / )

существует единственная функция U{if itU)J • удовлетворяющая следующим условиям:

& ХМ}

2. и{о уи)~ 0 в среднем, в том смысле, что для

/ / ' О

любой функции TJ£ Ы - стохастическое пространст-

ISt

во Соболева бесконечного порядка) справедливо соотношение

7" Г 00 ?г г л fi'l* ч

М u->di =J<u' гг>Л-JA f/W Я"

ö * eGSl

В 2.9 рассмотрена смешанная задача для стохастических нелинейных гиперболических уравнений бесконечного порядка.

& -1ыТ'2)% /1>и1*Ъи)

ыьо

\Ы о //»/-- г... »)

$

и(о) I/ ^ со)^ О (Р п. н)

В 2.10 подучены условия разрешимости джя стохастических уравнений типа Шредингера бесконечного порядка:

ц(о/Х,и>)=0 (Рл.н)

сди/1 о (?«.*)

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Агаджанов А.Н. Стохастические пространства Соболева бесконечного порядка. Критерий нетривиальности /Ар.МЭИ. - 1967. -Выпуск 45. - СЛ19-121.

I

2. Агаджанов А.Н. функциональные свойства пространств Соболева ' бесконечного по рядка/ДАН СССР. - 1968. - т.301. - * 3. -

С.521-523.

3. Агаджанов А.Н. Стохастические нелинейные уравнения бесконечного порядка и соответствующие функциональные пространства. //УМН. - 1988. - т.43. - 4.

4. Агаджанов А.Н. Строго ядерные вложения и интерполяция пространств Соболева бесконечного порядка/ДАН СССР. - 1991. -т.316. - »3. - С.521-523.

5. Агадханов А.Н. Свойства монотонных пределов банаховых про-странств//ДАН СССР. - 1991. -т 319. - »5. - С.519-521. _

Тиши|1яфня К}>л< 1Г'(каррмгнняя. 1.4.