Банаховы пространства бесконечно дифференцируемых функций и нелинейные дифференциальные уравнения бесконечного порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Г 1 Г< '

- РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

илгЕИАтачЕСк;й пмст.гят им. в. а. секло ва

На правах рукописи УДК 517.ОД5

БАЛАШОВА Галина Сергоавиа БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА БЕСКОНЕЧНО ДИ^ЕРЕШИЙ'ЕЙЫХ ФУНКЦИЙ К НЕЛЛНЕННиЕ ДЛКЕРЕНШЬиЫШЕ УРАВНЕНИЯ БЕСКОНЕЧНОГО ПОРЯДКА

01.01.01 - математический анализ

АВ'1и1'Ь,'.Ь,РАТ

диссертации ни соискание учаноц сгопбни доктора '¿лаико-иатемагичсских ниук

«и С лад -

Работа выполнена в Московском ордена Ленина и ордена Октябрьской Революции Энергетическом институте

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН,доктор физико-ма-те.латических наук,профессор О.В.БВСОВ,

доктор физжо-штематичиских наук, профессор Б. ¡1. БУРЕ КОВ,

доктор физико-математических йаук, профессор С. 3. УСПЕНСКИ;!.

Веду.|^я организация: .'.!осковск:1Й физико-техн/чосхиЛ институт.

_час.

Защита состоится " " |> Я 1С£^г. в

на заседали;: спеплализкроышного ссьота Д 002.38.03 при Мглоиа-тическок институте им.В.А.Стеклова РАН по адресу: 117266,ГСП-1,Москва,ул. Вавилова,42.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

л 199 "^г

Автореферат разослан "__

Ученый секретарь спецсовета

доктор физико-математических наук

А.С.Холево

РОССИЙСКАЯ ! тад I

ОСУДА?;;УВЕННАЯ ' БИБЛИОТЕКА - з -

ОБцЯЯ АДРАК'й'РйСï'iîKА РАБОТЫ

Актуальность темы. изучение раалачнис классов бесконечно дифференцируемых *утвди были начато в начале Ai. века в работах — дда-иара, ai.AObpe, Т.Карлемана, С.!.;аНделъбро!<.та и рила других иатеиати-ков. Интерес к нии появился как в связи с задачам;! cam.'! теории Функций, так и в связи с описанием множества решена!! различных типов уравнбни!ичасгшд!и произю;,!Ш1:л. В далыиНави различные классы бесконечно ди.Г^орettmijjyG14LK функции были предметом исследований таких иытеиатиков как Т.Банг, Л.Карлссон, Л.Ьренпрайс, Б.с.ыигягин, Г.В.Бадалнн и других.

в последние два десятилетия в работах ¡J. А. Дуб и не ко го и его учеников било начато изучение но лине ¡¡них д и. ;>;.е ре н s дальних уравнений бесконечного порядка вещественных переменных и coûtes гстзумцлх uu банаховых пространств бесконечно дий'сронцируемис ¿ункциЛ. cjtu пространства,являющиеся монотонными пределами соответствующих классических пространств Соболева, называются пространствами Соболева бесконечного порядка, интерес к таким уравюнипи и к их энергетическим пространствам объясняете как развитием самой теории дифференциальных уравнения и соответствуюцих им функциональных пространств, гак и наличием различных приложении (в частности, к задачам стохастической теории упругости, релятивистской квантовой механики и другим задачам математической физики)»

Известно, что в теории нелинейных краевых задач для уравнений с частными производными важную роль играют теоремы продолжения и вложения для классических пространств Соболева.

При исследовании краевых задач дли уравнений бесконечного порядка эти теоремы существенны ещо в болыкЯ степени, причем они содержательны и нетривиальны даже в одномерном случае. При этой следует отметить, что теория продолжения, влояения и компактного вложения для пространств Соболева бесконечного порядка оказалась тесно связанной с классическими задачами о продолжении функций в неквази-аналитических классах Карлемана и о соотноиениях этих класса"

Изучение же различных возмущенных нелинейных уравнений .....

печного порядка приводит к необходимости упорядочения дифферянц» альных операторов бесконечного порядка, т.е. выделения главного оператора, и построения теории дифференциальных уравнений бесконечного порядка с подчиненными членами.

>1з всего сказанного следует, что представленные в работе ис- . следования актуальны как в обценаучном плане - янляотся вкладом в

развита теории банаховых пространств бесконечно дифференцируемы« функций и нелинейных дифференциальных уравнений бесгоночного порядка, так и в свете практических приложений - для решения ряди задач математической физики.

Цель работы. I) Решение классической задачи о восстановльнии бесконечно дифференцируемой функции в но кваз «аналитических классах Карлеыана по заданным значениям ео самой и всех ее производных в некоторой точке.

¿) описанио классов последовательностей, иродолаимих в пространствах Соболева бесконечного порядка.

3) Установление соотношения различных пространств Соболева бесконечного порядка, а такке введение частичного упорядочения дифференциальных операторов бесконечного порядка.

4) Получение условий равномерной корректности семейства краевых задач для дифференциальных уравнений.

5) Построение теории дифференциальных уравнений бесиэнечного порядка с подчиненный» членами.

Обцчя методика исследования. В работе используются методы теории функций (в частности,обобщенные ряди Тейлора, теория регуляризации последовательностей, ряды »урье, преобразование <^урье), методы нелинейного функционального анализа и теории дифференциальных уравнения с частными производными.

Научная новизна. Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми как в теории банаховых пространств бесконечно дифференцируемых Функций, так и в теории нелинейных дифференциальных уравнений бесконечного порядка.

Сформулируем основные из полученных автором результатов.

1) Для неквазианалитических классов Карлеыана и их обобщений получено решение классической задачи о восстановлении бесконечно дифференцируемой функции в этих классах по значениям самой функции и всех ее производных в некоторой точке.

2) Установлено необходимое и достаточное условие на последовательность для существования в любом нетривиальном пространстве Соболева бесконечного порядка IVр^1«-]^ а) функции, удовлетворяющей условии '

СИ.) «

и. (_о) = Ь^ ,

8) Для конкретных пространств \Игво{йп. рдЗ(.о,ао найдены необходимые, а также достаточные алгебраические условия, при которых

последовательность прололкима б них, причем для про-

странств, определяемых бистро убивающей посладовзтолыюстыо получен критерии продолжения в них посладователыюсти {£•*.}.

ч) Для последовательности функций С^^^)}, получены необходимые, а гакхо достаточные условия, при которых в пространство \х/"~{, в-^Солсуществует функция , удовлотворяовдя условия

и^'сз - ^ <"Х/) > и- .

Ь) Построона теория вложония для пространств ^""{л^Р,^}^ определенных на различные одномерные областях (г (прямой, луче, отрезка, окружности) при фиксированных {*р<<** и

б) Установлены условия вложония для пространств Соболева бесконочного порядка . определенные на иногоаарных областях (?

У) Нагони условии равномерной корректности семейства дифференциальных уравнении бесконочного порядка, рассматриваемых в пространстве Й,1' , , а также семейства задач Дирихле для дифференциальных уравнений бесконечного порядка, рассматривай мне в ограниченной области & с Я? .

8) Для дифференциальных операторов бесконечного порядна введено частичное упорядочение, с помоцыо которого построена теория дифференциальных уравнений бесконечного порядка, содержащие подчиненные члени.

Достоверность результатов. Все результаты диссертации сформу-лировины в виде Тборем, лемм, следствий и полностью доказаны. Приведены иллюстрирующие примеры.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. В ней для достаточно широкого класса последовательностей {./и*},определяющих классы Карлеиана, решена классическая задача о существовании Функций в этих классах. Получены легко проверяемые алгебраические условия существования в пространствах Соболева бесконечного порядке функций,удовлетворяющих заданным значениям на границе, а также условия вложения и компактного вложения этих пространств. Эти результаты позволили пос^юить теорию нелинейных ди;;а, енциальных у{шв1шни!! бесконечного порядка с подчини ншдм члоиами и установить (м:-реишисг ь рила задач, для которых раноо известными методами итого сделать на удавалось.

Та к.¡и образом, ¡тзмолюсть практического использования получен-т« результат л) .ю к; за на в самой работа.

- б -

Апообапия работы. Основные результаты диссертации докладывались: регулярно, начиная с 1<*'/6 года, на научных семинарах ЩИ (рук. Проф. ¡Э.А.Дубйнский; рук. член-горр. АН СССР С.И.Иохокаев, проф. й.А.Дубинскнй, про1?. С.л.Ломов); неоднократно на научных семинарах КМ АН СССР им.В.А.Стеклова (рук. акад. С.¡а.Никольский, член-корр. АН СССР л.Д.Кудрявцев, член-кэрр. аН СССР 0.а.Бесов), ¡¿ГУ им. И.В. Ломоносова (рук. член-корр. -ш СССР Ц.л.Ульннов, про^. Б.С.Кашин), уди (рук. проф. З.й.Бурентов), на Международных конференциях (Будапешт 1980 г., Киев 1У83 г.) на Всесоюзных конференциях, школах, семинарах по теории функций (Баку 19/У и 1989 г., 1987 г., Мили-си 1983 и 1900 г., Одесса 1991 г.), на Всесоюзной конференции по некласснческим уравнениям математической физики (Новосибирск, 1981г. на Всесоюзных научно-технических конференциях йд'Л (1978,1980,1984г.)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 19 научных работах, список которых приведен в конца автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, каядал из которых разделена на параграфы, и списка цитируемой литературы из 90 наименований. Общий объем работы ¿63 стр. машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОШ

Во введении изложена общая характеристика работы, краткий обзор литературы, примыкающей к тематике диссертации, а такке сформулированы основные результаты диссертации.

рлава I. Продолжение бесконечно ди-Меренцируеиых функций в неквазнацалитичосиих классах Карлоыаиа.

Определение X. Пусть {М^} - последовательность полокительных .чисел. Классом С'(а, сД ./&„,] называется множество бесконечно дифференцируемых на гфункций, для каждой из которых существует такое число К^КСО > о , что

I Г I ъг ¡и

ъыьх, /¿-(аЯ^Д м», . -и. хьСь.Ы

(отрезок Со., цоает быть конечным или бесконечным).

Критерий неквазиакалитичиооти класса С(л ^{М-^} (Ыандель-бройт-Банг). Для того, чтобы класс Сса.^{/£<н]был неквазианалити-ческим необходимо и достаточно, чтобы

- У -

tin Л J- - - (2)

' tfU/n. ,

Z -7*7 " - (з)

где - випуклаярегуляризация посредством логарифмов (в.р.п.л)

последовательности {JU.*.}

Определенно 2» Пусть последовательность {JW-..J удовлетворяет условно (2). Тогда J. jx, = ®о и потому для точек иа

tv ^

плоскости о координатами Сн, Ж.»,) мохно построить ломанув Ньютона. Обозначая ординат их проекции на построенную ломаную через и потенцируя их, получим последовательность

=• Mjf^'y називаеиуа в.р.п.л. последовательности

[лМ •

Определение 3. Последовательность индексов {utJ , в которых значения совпадают с JUn , называется последовательностью

основних индексов при в.р.п.л.

Определение 4. Последовательность {./&«,} называется почти логарифмически выпуклой (п.л.в.), вела при ее в.р.п.л. для последовательности основных индексов { ич}

s-up (V^^ ^00■

с

Постановка задачи: Пусть {Млогари.!шчеоки выпуклая последовательность, удовлетворяющая условию (3), задает на Я* класо C^lM^,} , а логарифмически выпуклая последовательность положительных чисел {JU-^J определяет класс Л {JU.*.} последовательностей , для кавдой из которых существует такая постоянная К > о , что

Iм

Задача I. Найти условия на последовательности {Mr^h и при которых для л ыо о И после докательности (¿^ } 6 Л (Jll^j существует функция СЛ[М„ } I удовлетворившая условию

H-^i,..., (Ь)

(ясно, что в такой постановке задачи заведомо М*-^ i для

BOUC -К »0,1,... ).

8адача 2. Найти условия ва последовательность {.«Ai»! , ори которых для любой последовательности € существует

функция в JU*} , удовлетворятся условию (Б). ■ В первом параграфе дано ревание задач I в 2. Теорема 1.1« Пусть последовательность {JU-«,} удовлетворяет уоаовип (8). Тогда для всякой последовательности [ê^] е Л [Ai*,] ■ жвбого чизжа с участвует функция ¿са)6 C^i/t^],

jfo а^1* / М^ксЛ™" к f удовлетворяпвдя уоловяо (б),

* к*о к>як Мчь

Следствие I.I. Если последовательность {JU^J удовлетворяет условию (8) и для некоторого числа <х > I

то для нее разрешима задача 2. •

В частности, ото условие выполнено для последовательностей í » яяя и0»0?"* {JM-n. u" **■} ~ п.л.в. при некоторой

«>t. . «вн.

Примерами таких последовательностей являвтся:1) JW4=«(h.&viv)#

2) Л*." Qf'ÍM.tl*/*.)*' , где a , « >i , jí и Г * ° •

Если в последовательности I) положить j>*o , получится результат, установленный ранее независимо друг от друга Л.Карле со ном, Д.Вренпрайсом, Б.С.Литягнныы, Г.А.Джанащш. , Таким образом, для вирокого класоа последовательностей раотуиих не надленнее, чем t а > i. , задача 2 ревева.

Для последовательностей, раотуцих медленнее, чем -и например, JU-^ = и "'-¿н.Лс } jb-> о , да во более точвое реве-вие задачи I, чем решение,получаемое о помочью теоремы I.I. Отметим, что указанные последовательности при о * i не удовлетворяет уоловпо (8), однаю, из результатов Г.В.Бадаляна следует,что задача I для таких последовательностей может быть ре пава только в неквазиавалитических классах. « л а -и.

Теорема 1.2. Итоть последовательность ,

где оi>o,Ji>o - некоторые числа, - *-раз итерирований

- о -

логарифм. ЗЬгда задача I дая неё разрешима о последовательность»

Лп, - (и¿и,** н ... У**.?)!*"

Рол« в теореме 1.2 положить «'4 , * , то получмтоя

результат, установленный ранее Л.Карлеооном.

Во втором параграфе рассматриваются яласоы бесконечно дифферон-цшруемых функций, обобщающие класоы Карлемана, к для них рассматривается задача, аналогичная задаче X. л

Задача I'. Найти условия на последовательности {М,*} и {-М-*.}, при которых для любой последовательности * £ сущест-

вует бесконечно дифференцируемая функция , удовлетворяющая условиям (5) и

где ¡^СкоЦд - норма ^"оу в проотранотвв Лебега Приведен здеоь один наиболее наглядный результат.

Теорема 2.1. Пусть последовательность {М»} логарифмичеокв выпуклая и для некоторого числа «<>* последовательность/,^ п"'*'"} почти логарифмически выпукла. Иогда для воякой ооследователыгооти

} существует функция е С"С*>,

удовлетворяющая условиям (5) и (б).

При атом показано, что последовательность определяющая

в этом случав класо Л [АС*] , не может расти быотрее, чей

Глава П. О продолжении оледав пространства Пусть (г с КЛ - область о границей Г , (2.<*.><? ~ числовая последовательность, <х »(о^,.-мультиииявхо из неотрицательных целых чисел, /«/» ы1 + ... *■ а^ {<р<« —

некоторые чиола, ЦХ)*^ ООН.,. - норма производной -0*4* (^о а пространства Лебега 1*х(0-) • Рассмотрим в области £ пространство бесконечно дифференцируемых функций вевдотвенныс переменных

^{а^рл-Ц» (аде с(0): $(ч) (7)

Такие пространства называются пространствами Соболева бесконечного порядка. Они являются "энергетическими" пространствами для неливе»-

них дифференциальных уравнений бесконечного порядка. Поэтому при репении краевых задач для этих уравнений важный является вопрос о существовании в пространство (7) функций, подчиненных тем или иным граничный условиям, например,

= , *'бГ,|ы1в®(1..... (8)

Определение 5. Если существует функция ,

для которой выполняются условия (8), то последовательность {^^(л.';} будем называть "следом" на Г функции и-С*0, а саму функции «•(<■; л е 0-, продолжением этого следа в пространство (7). ,

В отлично от классичеоких пространств Соболева (СУ для пространств \>(/00вопрос о возможности продолжения следа нетривиален даже для одномерной области 0- .

В связи с этим в двух первых параграфах этой главы изучаются условия ва последовательность { ё^} , при которых в пространстве

сТса) ' ~ ] (9)

существует функция и, (¿о) , удовлетворяющая условиям

(олучай Су^ф- о рассматривается аналогично). При этом естественно предполагать, что пространство

нетривиально, для этого, как было покааано ¡О.А.Дубинскин, необходимо и достаточно, чтобы последовательность {ЛСп.} =■ '' ] опродолпла неквааианалитичеокий класс Карлемана, т.е.

2 < оо . <")

Проотрпнотво (9), для которого выполнено условие (И),будец навивать нетривиальным.

В тоории продолжения возможны две постановки задачи:

1°. Выделить класс последовательностей и н.3 , продолжииых в лвбом нетривиальном пространстве (9).

2°. Для конкретного пространства ^

найти условия на последовательность {, при которых она допускает продолжение в этап пространстве.

В § I дано исчерпывавшее реоение первой задачи.

Таорака 1.1. Для того, чтобы в любом нетривиальном пространстве 1к/ р,-ь] существовала функция, удовлетворяйся уеловиям (10), необходимо и достаточно, чтобы для последовательно-

(12)

•И.-*оо

В дальнейшем последовательность { • удовлетворявщув соотношение (12), будем называть аналитическим оледом.

Кроме того, в втом параграфе установлены необходимое, а также достаточное условия продолжения последовательности в про-

странстве V/р.г-] ^а,) , определяемом произвольно! последовательность» {&„,}.

Теорема 1.2. Боли в пространстве • №[Чп.,{>л]^о,*,) существует функция и>(л.) , удовлетворявшая условиям (10), то

Теорема 1.2 указывает необходимое условие продолжения следа. Достаточное условие продолжения следа дает

Теорема 1.3. Если последовательность {¿п.} такова, что для некоторого числа X >о

|С„( П.-К-1 1С

то в пространстве (9) существует функция !*(,<■) , удовлетворяемая условиям (10), (здесь Б-И )■

^ пгти.

С поыощьв теоремы 1.3 показано, что для всякого нетривиального пространства (9) существует класс неаналитических следов, продолжииых в нем. оо . Тоорома 1.». Для любого нетривиального пространствам/

'с,<4

существует такая последовательность { С^ч-З^р)), удовлетворяющая условию

йъ ~ У ~ -

что всякая последовательность

продолжима в этой

пространстве.

В § 2 получены условия продолжения следа в пространстве ^"'{а.лР^йа)' определявши последовательностью , на кото-

рую наложены'некоторые ограничения. В частности, для быстро убывавшей последовательности { а^,} , установлен критерий продолжения следа { в пространстве

Теопеиа 2.1. Если последовательность {&*.} такова, что для некоторого числа > 1

„ Л- мпл

Лт. (а^ П, - О,

■Ц. ехз

то существует такая постоянная К >а » ачвисящая только от , что всякая последовательность удовлетворяющая уоловию

где ^ = -и-

продолжила в пространстве (9).

Теорема 2.2. Пусть последовательность {аа} такова, что{а^} логарифмически выпукла и для некоторого числа <^>1

Ькч*^"* > (Б)

Тогда для продолжения следа в пространстве ^/^{^рл}^^,

необходимо и достаточно выполнение условия (13).

Отиотии, что для пространств V/°°{Л>Ч,Р."С'3 • определяе-

мых последовательностью{&п} , удовлетворяющей уоловии (15) о у,:

I < у, < г. , без уоловия логарифмической выпуклости последовательности (сь'п,1] теорема 2.2, вообще говоря, ее верна (см. пример 2.2 втой главы).Боли хе в неравенстве (15) , то условие логарифиичеокоЯ выпуклооти последовательности выполнено и поэтому справедлива

- 13 -

Теорема 2.3. Если для последовательности { выполнено условие

й И. = <? 1

то для продолжения слада { } в пространстве (9) необходимо и доотвточно выполнение условия (13).

В третьем параграфе изучены условия продолжения следа в пространствах Соболева бесконечного порядка, рассматриваемых на(->>»0-мерной полосе & * Со.ь]* ^, Э > * , т.е. в про-

странствах

^"К*,р]^- : а^д р< «}.(хб)

Здесь неотрицательная числовая последовательность , удовлет-

воряет следующим условиям:

а) Существует такая точка = что для всех п- = о,1...-, »

б) Последовательность ¿^р , если = 00 , если * определяет некзазилналитичоский класс Карлемана одного вещественного переменного, т.о. для нее выполнено урловие (П).

Эти ограничения на последовательность {в-п.-*} являются естественными, поокольну, как показано О.А.Дубинскии , они необходимы и достаточны для нетривиалыюсти пространства

У/ ~Ч , а [ и X) е : ^ (и0< ],

и потому предполагаются впредь выполненными.

В этом параграфе получены условия существования в пространстве (16) функции К. (4,.*,) таков, что

щ*) = Х> <х-> > м э°, ** 6 ^ (17)

Случай '¿КЧ*>) ^ С рассматривается аналогично.

Для пространств можно аналогично одномерному

случав рассматривать две постановки задачи о продолжении следа. Задача в первой постановке, как доказано в теореме 3.2, имеет толь-

- й -

ко тривиальное ревение. Для второй постановки задачи получены необходимое, а также достаточные условия продолжения следа (Г7) в пространстве (16) для произвольной последовательности {¿и.} и для последовательностей {^н.} , удовлетворяющих некоторый ограничениям. Теорема 3.1. Если последовательность функций I, ■■ , такова, что в пространстве \^00{а.пы,р](&) существует функция гс(.±,<*>) , удовлетворяющая условиям (Г?), то. имеет место

£ ^ кЬ&УъыХ*,-• (18)

Г /

Достаточное условие сформулируем здесь только для случая быстро убывающей последовательности {, .

Теорема 3.5. Пусть последовательность удовлетворяет

условию

> .....

для некоторого числа и логарифмически выпукла .

Тогда для существования функции ю (¿у^^^^й^ р}^, удовлетворяющей условиям (Г7), достаточно, чтобы

со V. ±. ±

'С

где

Г № I/--1')).

Теорема 3.6. Если последовательность удовлетворяет

условиям теоремы 3.5 и = С* для всех "п. и Ы , то

для существования функции к. О, л) е. \</ необходимо и достаточно выполнение условия (18), принимающего в атом случае вид

21 ,. /<</=<? ¿.¿«.к. ;

- 15 -

Глава П. Теоромы вложения для пространств Соболева бесконечного порядка.

Прежде всего следует отметить отличие теорий вложения для пространств Соболева бесконечного порядка и для классически* пространств Соболева.

Известно, что в теории вложения классических пространств Соболева находятся алгебраические соотношения между параметрами пространств, адекватные гладкости функций, принадлежащих этим пространствам.

В пространствах Соболева бесконечного порядка все функции бесконечно дифференцируемы и потому вопрос о гладкости не зознияает. В этой теории существенным являются не просто соотношения между параметрами рассматриваемых пространств, а к их асимптотическое поведение.

В этом направлении следует отметить универсальный критерий вложения, установленный Ю.А.Дубииским, выраженный в торминах норм операторов вложения и/^"1** с в процессе т-роо . в

виду отсутствия в настоящее время эффективного контроля поведения таких норм при -»«> несомненный интерес представляют легко проверяемые алгебраические условия вложения, выраженные череа. параметры рассматриваемых пространств. В связи со сказанным в настоящей главе предложен новый подход для сравнения пространств Соболева бесконечного порядка, позволивший в ряде случаев получить для них простые алгебраические критерии вложения и компактного вложения.

Сформулируем сначала два вспомогательные утверждения.

Утверждение I. Для вложения •

ЧГЧ^Р^Си с I(Е>)

достаточно, чтобы

с^а^-К^™ <20>

(здесь I * р < <*> , X > -I , (г - любая область).

Утверждение 2. Если О- - ограниченная область, то для кг"-пяктности влокения (19) достаточно, чтобы

¿Шь С« ■=* <2 . (21)

I Ы. \ —г оо

- 16 -

Будучи простыни в применении условия (20) и (21) являются очень ограничительными и требуют, в частности, для всех номеров, для которых йо , обращения в нуль и коэффициентов . Поэтому представляется естественный искать условия вложения в терминах регуляризованных последовательностей.

В первых четырех параграфах изучены условия вложения для пространств Соболева бесконечного порядка, определенных на одномерных областях 0- (отрезке," луче, пряной, окружности). Для них наиболее полное решение задачи удается получить для случая быстро убывающей послодовательности . Эти результаты приведены в первом пара-

графе.

Теорема 1.1.£сли последовательность {&„,} удовлетворяет условии (Б) и l&iJ} - логарифмически выпукла, то для вложения

V/'í^PA}^ с P,tJcw <22>

необходимо и достаточно выполнение условия (20).

Теорема 1.2. Если последовательность ■[&„.] удовлетворяет условиям теороиы 1.1 и область G- ограничена, то для компактности вложения (22) необходимо и достаточно выполнение условия (21).

Замечание. Если в условии (JL5) Z , то условие логариф-

мической выпуклости последовательности выполнено, т.е. в

теорэиах 1.1 и 1.2 его следует исключить.

Замечание. Если в условии (15) 1 <<£, < Z , то теоремы 1.1 и 1.2 без условия логарифмической выпуклости последовательности (а^1 j • вообще говоря, не рерны. В диссертации ото проиллюстрировано примерами.

Установленные критерии позволяют построить примеры несравнимых пространств W °° р, и W""{С»,, ?. t-J .

Если ze последовательность (ft.^} произвольна, то естественно регуляризовать её так, чтобы вновь полученная последовательность {Cl^j была положительна и определяла пространство, совпадающее с исходным. Предложенные способы построения такой последовательности зависят от вида области G- .

Во втором параграфе рассмотрен олучай области &■ — ■ Для нетривиальности пространства W^G-no Р> tj (.£ ) • показано Ю.А.Дубинеким, необходимо и достаточно, чтобы

^ =К• (23)

Пусть сначала з условии (23) К>с? • Введен последовательность

для которой, очевидно, (.ЛЛ,^)'1*?- СЦ,. п.* ■■■, "определим

сС .-4

а.

»V-

(25)

где - последовательность основных индексов при в.р.п.л.

последовательности {^п.^} -произвольная последователь-

ность положительных чисел, принимают!я значения в основных индексах

= * И

Теорема 2.1. Пусть для последовательности {.&>,,} выполнено условие (23) с К > о и последовательность ¿0.^*} определена формулой (25). Тогда имеет место равенство

И ДЛЯ ИЛ0К6НШ1 (¿¿) достаточно, чтобы

Я^С^Са, (27)

•И. —юо

„ СО /

Замечание. й теореме 2.1 положить О,^ , вообще

говоря, нельзя, так как показано суздстяование такой последовательности , удовлетворяющей условиям (¿3) и зи^р (^¿•¿"^ч)*00* для которой имоот место строгое вложение ь

Если в условии (¿3) К3 ° » "г,в'

йт. 0. - о , , „,

„ ^ и- ' (¿8)

■Ут, оо

ю последовательность {й^ J определяв!: следующим образом:

о?-

(С.если si^pC^^-n^-K^oo.

* 1 (29)

* пиьх, { Ji^t) ^(ф^ и ^ааг.я S^pQ^^K)"00.

где {^ij - последовательность основных индексов при в.р.п.л. последовательности 1аЦ1} > а последовательность определена гак so , как в теореме 2.1

Теорема 2.5. Если для последовательности {вшолнено условие (¿8) u {.Ct"3} определена формулой (2W, то для влокения (22) достаточно выполнение условия (27).

Ваиечанио. Положить ) в этой теореме .вообще

говоря, нельзя, так как показано существование такой последовательности удовлетворяющей условиям (2У) и для которой имеет меото строгое вдокеике °

v/~{(cOer, с w

В этой ке параграфе для пространств

являющихся подпространствами W^ {(^uP^Jcz), доказана Теорема 2.6. Если ~ юнечный отрезок и

/и.-»^ v п. / ->

СО

г'де {(Ъ^} определена формулой (29), то влояение

V/ с

компактное.

В третьем параграфе установлены условия вложения и кэмоантного влокения для пространств ^^Л^РЛ}^)! гДе Т - окруяность. Для этих пространств получены аналоги теорем 2.5 и 2.6, из которых в качестве следствия получается ранее известный результат С.1.!ан-дельбройта об условиях строгого вложения классов Карлемана периодических бесконечно дифференцируемых функций.

Четвертый параграф посвящен изучению условий вложения прост-

ранств р,"^(¡ц*) • При доказательства теорем вложения

пространств Соболева бесконечного порядка, рассматриваемых на всей прямой & и на окрузности т, существенно используется изъастное неравенство Колмогорова-Стейна

где Сък. ~ постоянные Фавара для всех п. и к. ).

Его аналог для функций, о предела иных на полуоси рассмот-

рен многими авторами. В частности, установлено,"что постоянные в неравенство (30) в случае * при -к- и растут. Для наших

исследований существенную роль играет оценка скорости их роста как по -к. , гак и по к . С.Б.Стбчкиным такая оценка для с установлена для норм производных в /.^(КЛ). Б этом параграфа показано, что такая же оценка справедлива и для норм в

. причем она более точна, чем получанные ранее З.И.Любк-чеи и В.И.Буренковым. Эта оценка позволяет установить следуювдй результат.

Теорема ^«1. Пусть последовательность {&■„,} удовлетворяет условию (28) и

"(сО^"4 • 0СЛИ $?р 00'

гда{кс.} - последовательность основных индексов при регуляризации (2*0 , &• пи'п'Ог ^ Взгда имеет место равенство

V/ р, *кл*) 13 V/ ?, ^ .

и для вложения (22) достаточно выполнение условия (27).

в пятом параграфе установлены условия вложения для пространств Соболева бесконечного порядка, определенных на многомерных областях. Подробное изложение результатов проведено для пространств ^°с{й'Лт,,РА}(тЧ)и показано, как аналогичные результаты шгуг быть получаны для пространств Соболева бесконечного порядка, определенных в областях или в произвольной ограниченной области &с.

>? > 2. . Методика получения условий вложения состоит в построении такой положительной матрицы по исходной матрица ,

чю пространство, определяемое ею, совпадает с исходным, т.е.

V Р, =* V/ Р, ^ст^. (31)

Предложено два способа построения таких матриц. Приводом результат, использующий один из них .

Теорема о.8. Пусть последовательность {.О^^}такова, что

(С, т.-?оа

Тогда имеет место равенство (31), в котором при р^ 1<х<с& последовательности } и {й-с^и} определены формулой (29), а г 4 , сА> (.О Л.

^Кт/* 1 , .,(.!) СО X К, ^<,2,...,

2..

и для вложения (19) достаточно, чтобы

■àm. СкииС»-^)'^ К

1С, оо

Глава 1У. Равномерная корректность семейства эллиптических задач.

Рассмотренные во П и III главах пространства Соболева бесконечного порядка являются энергетическими пространствами для нелинейных дифференциальных уравнений бесконечного порядка

. 1*1 * у

wi=o

где Ли (.Л, - нелинейные функции от Y .

Разрешимость таких задач основана на понятии равномерной корректности семейства задач для уравнений конечного порядка, приближающих исходную задачу.Ю,А.Дубинским получены условия равномерной корректности овмейства задач, рассматриваемых на торе, а также однородных краевых задач Дирихле, в ограниченной области Ç-cR9.

В порвоы параграфе получены условия равномерной корректности последовательности дифференциальных уравнений, рассматриваемых во всей пространстве . Оказалось, что эти условия существенно зависят от порядка (конечного или бесконечного) предельного уравнения, поэтому они исследуются раздельно для каждого случая. Для наглядности в автореферате ограничимся формулировкой полученных в работе результатов для модельных задач.

Пусть в рассматривается последовательность уравнений

Ь

где <ХСт.>° , ° для всех Уп. = г., ■ ■■ , р > I ~

некоторые действительные числа, -¿.^ - некоторые натуральные числа или бесконечность. В дальнейпем вместо ■£• т, будем пкоать * считая отсутствующие коэффициенты СЬ^^О . Энергетическим пространством для уравнения (32) является пространство

Пространство правых частей в уравнении (32) определяется как формально сопряженное к пространству V/"р} . Именно,

оо

где р'*р(р-0~\ ^

Определение б. Функция {(Я^^,,?} (называете«

реаениеи уравнения (32), если для всякой'функции ^{^„„р}^ выполняется равенство

™ (35)

В первом пункте этого параграфа доказана теорема 1.1, которая используется в последующих пунктах, а также представляет и самостоятельный интерес.

Теорема 1.1. Если для последовательностей и {й-*} вы-

полнены следующие соотношения:

&АН. = С (36)

И

&С* =К <=о (37)

I oil-» СК7

(в случае CL^ = ^ = <7 полагаем Л^ — О ), то пространство W00^^ рЗскЛ) плотно вложено в пространство

Во втором пункте изучены условия предельного перехода для последовательности уравнений (32).

Сначала рассмотрен случай предельного уравнения бесконечного порядка. Предполагаются выполненными следующие условия:

а) Для всякого при -vrv-»oo Oi • причем бесконечно много Q. а<> о .

б) Последовательность ^ = Sup удовлетворяет условию

(36).

в) Существует такая постоянная К > О , что для всех правых частей уравнений (32) выполнено условие

ОО р'

z: ^ji^jiж.

l«l=o Г

г) Последовательность функця* { ^t^Uj] при-m-*«© сходитоя

к функции A-tx-je-W^ia^p'} c.r,-'; » том смысле, что для воякой

ОО

< L I Lrfvd^

-zi a* I

—^ а.: w

lott- о R,

фпреяеленне 7. Семейство вадач (32) называется равномерно кор-

ректнш, если мнопоство их решений {и^С*)) имеет предельную точку в cu иоле сходимости в С00 , которая является реиениец предельной задачи.

Теорема 1.2. Если выполнены условия а)-г), то семейство* дифференциальных уравнений (32) равномерно корректно.

Заметим, что если последовательность совпадает с

{Л*} , то в теореме 2.1 условие б) ыояно заменить ка условие нетривнальности пространства W"°{£<x,p3 c^J , т.е.

_ X

Urn. = /С ^ виэ • (38)

В олучае, когда предельное уравнение имеет конечный порядок, вместо условий а) и г) постулируются следующие условия:

at) Для всякого «* при •т.-*-«« , причем

а^^О при И &<*.><> при toil" т..

rf) Правые части уравнений (32) такова,что для всякого =>< с т. при ■vvu-s-oo f в метрике Lp> (.R^) и для

любого £ >0 существует JLCC£) такое, что для, всех т. >

00 п'р'

|o<( = t*í Г

Теорема 1.3. Пусть выполнены условия aá), б ), в ), rá). ЗЬгда семейство решений уравнений (32) имеет слабо продельную точку M(x)eWp (.Й,^ , которая является решением уравнения

яКи&Г i)u;=2T(-i) a^D&^w..

|0íí =0 |о<|л<7

В тротьем пункте первого параграфа показано, что условие б) в теоремах 1.2 и 1.3 в некотором смысле окончательно, т.е. для определенного класса задач оно является.необходимым для предельного перехода. Кроме того, показано, что теорема I.I без условия (36), вообще говоря, невбрна.

Во втором параграфе рассматривается последовательность неоднородных краевых задач для не линз Иных дилере нциальных уравнений в • ограниченной области G-cR,v о границей Г:

М1=о

Л^Х^С-О , об'еГ , |с(40)

Для неё находятся условия, при которых шюкество решений вткх задач имоет предельную точку, являющуюся решением предельной задачи. (Напомним, что функция И^с*) называется решением задачи (39), (40), если она удовлетворяет условиям (40) и для кахдой щункции

1/00 е V р}^а [ад е : $&)<<*>}

выполняется равенстве (35).

В первой пункте этого параграфа доказана теорема 2.1 о плотности множества финитных функций в пространстве У/" р} (<}■)» которая используется для обоснования продельного перехода в последовательности задач (39), (40), а также представляет и самостоятельный интерес.

Во втором пункте изучены условия предельного перехода для последовательности краевых задач (39), (40), которые так же, как в предыдущем параграфе,зависят от порядка предельного уравнения.

Сначала досматривается случай предельного уравнения бесконечного порядка. Предполагаются выполненными следующие условия:

а) Для всякого при т.-*-оо -*■ Л^ , причем беско-' нечно иного (ЪоС>о.

б) Для всякого 6 >о существует тиков, что для всех

где »ЛС^-п^- в.р.п.л. последовательности

(22 ь^У ^ води X о-^и.^

ОО , вСЛИ 2

^ 141-Л"

(воли Л^^ут. ю полагаем их отношение равным 0).

в) для любого оз при т.-+•<*> граничные значения 'Н'с0гп,Сл';->-Л111;0-^Р^вномбрно на Г , и для любого последовательное «{'^сот.СО} продолмима внутрь области £ , т.о. для всякого УМ. существует функция ^^ (лО й V , р} (£)

такая, что

причам ^

•a^ll^K.ip-К

-WI г

г) Правые части L^a) уравнений (39) иаеат вид:

« 1«! о< л

гд0 ^^(^«¿p.CG-J , прячем

m. 1*'=° г

д) При т.—

^(jO^-^UjeW^p^ в той смысле, что <Г > —< "V> Для любой последовательности {.V^C-*)),

удовлетворяющей следующий условиям:

сл) б W" °°р] cw ,

(А)6W°°Í4p}(})

в смысле сходимости в (&) и, кроме того, для всякого ь >о существует номер такой, что для всех -т- » ...,

оо р

z ^(dv.H.c^rc е. 1*1-.// "

Теорема ¿.¿. ¿'ели выполнены условия а)-д), то семейство задач (39), (40) является равномерно корректным.

Далее рассмотрен случай предельного уравнения конечного порядка. При этом постулируются следующие условия;

at) Для всякого с* при й,^^—>■ Л ^ , причем

О.ы.^0 при И1>* и Л^х? при (с

б4) Для всякого & > о существует KvioC.fi) такое, чтодля 'вебх 'Уп. > ^

£ Í^J < 6 >

здесь последовательность {JUj/'n^.} определена так же, как в условии б) первого пункта этого параграфа.

в^ Для любого vvu граничные значения C-^'J допускают

продолкение внутрь области (г , т.е. для л^ого уп, существует

функция ^f^,

... • Кроме того,существует функция такая,

что для всех о /г. при mравно-ыерно в G- , и для любого £>о я всех С«>

|о<1«г»1 . Р

г^ Правые части уравнений (39)

таковы, что для всякого С* c при УП, -*-оа

в метрике Хрi(Jr) и Дяя всякого £ а всех т.

5 a^tcx' <

Творама '2.3. Если выполнены условия аЛ) - г4), то последовательность рввений {U^WJ задач (39), («)) имеет слабо преде ль- . ну» точку V/p (.Я) » являющуюся решением продельной

задачи Дирихле

ZLc-o'VCa«(D'iciP*VW-к(*j,

l«<i»o

J?u,wlr = Y^oV, лег, /со/*.

В третьем пункте показана окончательность условий б) u 6i) соответственно в теоремах 2.2 и 2.3. Выделен класс зидич,для которых эти условия являются необходимыми.

На примере показано, что условия предельного перехода, используемые в теоремах 2.2 и 2.3,являются моное ограничительный!, чем условия, установленные раное »З.А.Дублнским для однородном задачи Лирихле. Кроме того,приводятся примеру иллюстрируыцнс ripiu:e::u:i;io тсором второй главы диссертации для иронорки условия в) №о;;оми u.c.

- 27 -

Глава У. Дифференциальные уравнения бесконечного порядка с подчинёнными членами.

В этой главе предложен метод сравнения операторов бесконечного порядка, который позволил установить разреэимость ряда задач для дифференциальных уравнений бесконечного порядка, для которых ранее известными методами этого сделать не удавалось.

Известно, что сравнение двух дифференциальных операторов конечного порядка проводится по их порядку. Очевидно такой принцип сравнения дифференциальных операторов бесконечного порядка невозможен. . Отметим, однако, что в ограниченной области G- в случае дифференциальных операторов конечного порядка подчинённому оператору соответствует пространство Соболева, в которое компактно вложено пространство, соответствующее главному оператору. Такой подход положен в основу определения подчиненности одного дифференциального оператора бесконечного порядка другому.

Пусть G- с Ц^ - ограниченная область. На множестве бесконечно дифференцируемых на G функций рассматривается два оператора бесконечного порядка

■ 1 |е<1 = 0

i (.гО-^С-О'^^Сл.Л;', |cO|*|o<|.

Z /о<| «О

Определение 8. Дифференциальный оператор бесконечного порядка

называется главным по отношение к дифференциальному оператору бесконечного порядка L & (в дальнейшем называемому подчиненным), если пространство Wroo£CLt>(>р] , соответствующее оператору ¿tí компактно вложено в пространство pjfé) > соответствуйте

оператору /, ¿ .

3 первом параграфе изучена разрешимость налинейвых дифференциальных уравнений бесконечного порядка9-- содержали! подчиненные члены. Для »тих уравнений в ограниченной области в- о границей Г рае-сиатрака задача Дирихле: ¡_4Í C.v.) +

=£] С-i) '"Vi* CxJ Хутл) -Ü .

- 88 -

Предоохагакоя вшюлневвншг оледувцвв уоловия: и) Л* (л, fir) - ивпрерыввыо фуккцки аргумевтов л « G- в вов-вовшшос , |jfl«" |о/| , прячем для левых хе G-, f ^ , ^ опр» введет) яерввевотвэ

I jS лл м,) 0 т* Iо /jj;

W - постоянные, -некоторая чволовая по-

оягдователыхго».

б) Для авбых G я воововюхккх

Иг ■ ' ■ г, >п. р

|<х|«0

Z aJ*JP-K , nv-cii.....

И1-о

где cf^><7 , К>0 - ПООТОЯИЯЫв чволво

в) JS^Cx^j') - непрерывные фуикцвв о во юс аргументов x^G-В ЮвДОВНОШЫХ Ту , ЦП* 1*1 • В ДЛЯ ХвОЫХ опра-

ввдхию «вравенотво

•т. . 2И-

-о

|<*1-о с «"«»О

где - поотоявяая,!^^-^}- некоторая чяоховая поолодова-

тммоотв. о ^

г) Проотранотво W l^x^pJCG) ветрнвяальво, т.е.

Pi* Ш! 1 - в.р.п.л. пооледователввостя JA-ц. J1"*)

■ ,».OOf -I 1«|*гь

д) Проотраютао w 1а»<> Pi (.0) компактно вложено в проотранотво ^""{¿«.pJcty- (9*° уоловне обеопечивает подчиненное» оператор« L а. оператору Lt ).

в) Правая чаоть А-(а) уравневвя (41) прнвадлежнт пространству

W'"{a,,

я) Оператор ¡_ 4 , отобратаичпй проотравотж» \>/°°{л^р}(<г}

1 проотравотво ^/""'{а^^р'^ивпрврвано обратим.

») Для я»6их и^ос) е яянкоя реяеваямв вадоч:

шраведяява априорная оценка

|о4|»0 * г

Определение 9. Фувкпвя гс (х) е ^/{О^Р.}^ натогаетоя ретзвж-1В задача (41), <42), вояж для левой фувкцвя тгООв^^а^р^с; паолвяется равенство

2 < А<оь •«- £< Я« х>*тг>-

(сХ|"0 1*<1в0

1*41-0

Теорека 1.1. Еоаз выполнены уояовая а)-»), то вадача (4Ц(*2) -сеет оо крайней мере одно ренеяве оря ж»боЗ правой «ио?а

Отметим, что теороиа 1.1 верпа ж джя олусая, когда уракавкке >1) раооматряжаетоя аа ^ - нервом тора. Прячем вюото усдэвЕя ») доотаточво потребовать, чтоби ¿¿^ а

Далее в этом параграфе шкагаао, как, вопольеуя »еорека гаавя I, южно проверят» гиполяевие усхогяЗ д) я а) дяя операторов С4 I /, х . Кроме то», праведен првкор задачи Дярвгяе дяя двэдерея-(явлмога уравнения беоковочвого порядка, рзвре^яизот*. которой лвдует я* теоремы 1.1, во ее следует яа раэео гавестнкх рэвул»-гатов.

Во это ром параграфе изучается уояовия фредгоялаовой рввреая» юотя однородно! задачи Дирпае для яввейпого дяфферевцяалыгого ура»-ювяя беоконечном порядка, содержащего подчяяевЕме члены, раеоватр»-«емого в ограяячеявой облаотв £ в &о границей Г .

Пусть выполнены следующие условия:

а4) Существуют постоянные и последовательность

(Л*» о ] такие, что для всех ос« С- к для всех выполняется неравенства

б^) Существует число и последовательность { ><?}

такие, что для всех хе £ и для всех <х выполняется неравенство

(Д.со I

о

в<) Пространство "V/ нетривиально.

г4) Пространство V/°°{.&„<,^З((г) коыпактно вложено в простран-

г) о».

Л1) Правая чаоть уравнения (43) принадлежит пространству

Тоороыя 2.1. Если выполнены условия а^) - д4), то задача (43), (44) имеет ревение ^(»¡бУ^.г]^) при лвбоИ правой чаоти и^ЪГ-Ч^бУ. удовлетвори «чей следущему условие;

I £ ^ С ^ ¿^ С*) обх -о

дли всех ревений задачи

/.£С, Хбб-, («)

Я^ТГМЬ - О , /СО|«0,£..... (46)

В чаотности.еоли задача (45), (46) имеет только нулевое ревение, то задача (43), (44) имеет единственное ревение при лвбой правой чаоти (о-)-

- 31 -

Отметим, что теорема 2.I верна я для случая, когда уравнение (43) рассматривается на ^ -мерной торе, причем вместо условия в4) достаточно потребовать, чтобы пространство было бесконечно-мерным. В конце параграфа получена оценка на при выполнении которой задача (43), (44) имеет единственное реаение при любой правой части к {я) {(X,,.< •

-ак -

ПУБЛЛКАШМ ABlUi'A ПО Ttffi ДИСеШлЦИЛ

1. Балашова Г.С. Нйтривиалышсть некоторого класса функций и ризрешмость нелинейных дй]«1вро||Циалышх уравнений бссконочного порядка // Труди ЮЛ. Прикладные вопросы математики, Ы/И v., в. ЗьУ, с.И-13.

2, Балашва Г.С. Некоторые теоремы продолжения в пространстве Соболева бесконечного порядка и неоднородные краевые иадичи // ДАН СССР, iff/0 г., t.244, to в, О.12У4-1207.

Балашова Г.С. Некоторые теоремы илоконнн пространств бесконечно дифференцируемые Функции // ДАН ССС^, 1РУУ г., г.24'/, fc 6, o.iaoi-1804.

4. Балаиови Г.С. Некоторые теоремы вложении для пространств

// Труды toil. Прикладные иопрооы митомитики, IW80 г., в. С.48-»3.

t>. Билашова Г.С. О нитриаиишшоТй но которого класса дониций // Современные проблемы теории функций. Нзд.АзГУ, 1080 г.

fl. lialuolioVa (i.ii. Звшв extenalon Iheors.ju in the u^uca оГ Infinitely dlfferentlable iunotlsmu// Colloquiu ¿¡utherautlou iiocletutle Je nos Bolyal, IVflO, v. i5, ¡i. iVl-IVi.

V. Балашова Г.С. Поведение решений некоторых краевш аадач при неограниченном возрастании порядка уравнений // Дифф.уравнония, 1081 г., T.IV, to 2, С.2&6-260.

8. Балаиова Г.С. Теоремы вложения некоторых пространств бесконочно;и4 форенцируомис функций и нелинейны« уравнения с подчиненными членами // ДАН СССР, IvB2 Г., Т.263, Ь, с.ЮЗУ-ЮЗУ.

У. Балашова Г.С. Некоторые тиоромы продолжения в проотранотвах бесконечно дифференцируемых функций // Матом.сб., 1У82, т.118/160/, hi 8, с.ЗУ 1-885.

10.Балашова Г.С. Предельное поведение решений нелинейных эллиптических уравнений при неограниченном увеличении их порядка. Ненлассичоские задачи для уравнений математичиской физики. Новосибирск, 1082 г., с.23-26.

11.Балашова Г.С. ТЪоромы вложения банихоьых пространств бпеконично дифференцируемых функции // »¡атоц.аицитип, г., т.м, v ч, с. ЫЪ-ulci.

12.Hu.4ajObu Г.С. О следах оескинично дими^иицпруемих // Межвузовский тематически;: с"мj-пак, г., v 4(з, с.мо-чз.

13. Палашка Г.С. Уравнения бесконечного порядка о подчиненными членами и теоремы вложения // Ди-^ф. уравнения, 1934 р., ?.20, Й 12, с.2076-2087.

14. Балашова Г.С. йореми вложения банаишк пространств бесконечно диффврешшрувшк Функций // 1£удц Международной конференции по теории приближения функций. Киев, Шйг.

16. Балашова Г.С. Теоремы вложения для банаховых пространств бесконечно дц.;»,бренцир>бМ1л (¿уннция // ¿атем.сб., 1у8э р.,г. Ш(212), ¿г х, с.бо-ах.

10. Балиаовв Г.С. О продолжении бесконечно дифференцируемте функций // Изя. АН СССР, сер. матем., 1987 v., т.Ы, ,1« й, а. 1292-1308. i

17. Балашова Г.С. Теоремы вложения бшшховж пространств бесконечно > дя-'Клренцируемцх Функция нескольких переменных // Иатеи.заметки, 1990 Г., т.47, i.«. б, с.а-14.

18. Балашова Г.С. О теореиах вложения пространств Соболева бесконечного порядка // Доклады расширенных заседаний семинаре Л1Ш им. И.Н.Векуа, ХУ90 г., т.5, « 2, с.18-21.

10. Балашова Г.С. Теоремы продолжения и в ло ¡гения для пространств Соболева бесконечного порядка // ДАН СССР, 1991 г., 2,

с.267-270.

{('"¡"«'«¿¿"Л Ал Ik- , 2.2ь._Upa« /СС Ч"" 1J3-J

iiHiorpj^iia М "*М. b'pd.U'^ai.pMCfiHa», 13.