Пространства Соболева-Безиковича бесконечного порядка и разрешимость нелинейных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

\ и ин

- ь аир да

Московский Энергетический институт (Техниче ский унивэрсиге т)

Ка празах рукописи

ГРОШЕВ Лев Николаевич

ПРОСТРАНСТВА С0Б0ЛЕВА-БВЗИК0ВИЧА БЕСКОНЕЧНОГО ПОРЯДКА И РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАБНЕИШ

01.01.08 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических, наук

Москва 1994

/

Работа выполнена в Московском Энергетическом институте (Тех-, ническом университете) на кафедре Математического Моделирования, •

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор • Ю.А. Дубинский.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,.

профессор В.В. Жиков,

кандидат физико-математических наук,

доцент В.И.Пикулин.

Ведущая организация: Московский Физико-Технический Институт.

. Завдта диссертации состоится /¿-¿-¿/^¿¿У'

7 часов на заседании Специализироавнного / Советг

'1994 Г.

в 7 £ часов на заседании Специализироавнного / Совета К 053. 16.16 по присуаденша ученой степени кандидата физико-математических наук в Московском Энергетическом институте по адресу: 105836, г.Москва, ул.Красноказарменная, д.14, Ученый Совет МЭИ. 44 ? {¿/

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МЭИ.

Автореферат разослан "_" ' - '' .1994 г.

Учений секретарь сггециализирог? ясного совета,

доцент В.П.Григорьев

|0. ОУЬЧ-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ.

Актуальность тема. В диссертация изучаются дифференциальные уравнения бесконечного порядка в вещественной области почти периодические по всем переменном. Вводятся и изучаются свойства пространств Соболева бесконечного порядка почт:; периодических функций и устанавливается критерий нетривиальности этих пространств.

Ю.А.ДубинскиЕ и его ученики рассматривали различные краевые задачи для линейных и нелинейные дифференциальных уравнений . бесконечного порядка с коэффициентами степенного роста.

В работа* Ю.А.Дубинского впервые были изучены краевые задачи для регулярных уравнений бесконечного' порядка. В последующих его работах была построена теория пространств Соболева бесконечного. порядка и краевых задач с коэффициентами степенного порядка роста.

Интерес к таким задачам- объясняется • как развитием самой теории уравнений бесконечного порядка, так и наличием различных приложений (в частности, к задачам механики, теории упругости, квантовой теории и др.).

Теория функциональных пространств бесконечного порядка отличается от теории пространств конечного порядка Прежде acero тем, что фактически здесь речь вдет о бесконечно.' дифференцируемых, функциях, при этом нетривиален вопрос

о кэиустоте функциональных пространств бесконечного порядка.

Задача о нахождении решений краевых задач для уравнений бесконечного порядка содержательна, если соответствующие энергетические пространства нетривиальны.

Из сказанного ваше естественно вытекают вопросы о разрешимости уравнения бесконечного порядка в классе почти периодических функций и о нетривиальности пространств, возникающих при рассмотрении таких задач.

Цель работы.:

- установление критерия нетривиальности пространств бесконечного порядка;

- исследование функциональных, свойств этих пространств;

- исследование нелинейных эллиптических уравнений бесконечного порядка почти периодических по всем переменным; ,

- исследование почти периодических по всем переменным . и почти периодических по времени нелинейных параболических; уравнеюгй бесконечного порядка.

На/чная новизна. Введены и исследованы пространства Соболе-ва-Бегикогитча бесконечного порядка почти периодических функций. Установлен критерий их нетривиальности. Получены теоремы существования решений нелинейных уравнений бесконечного поря-дкг эллиптического и параболического типов.

Достоверность полученных результатов. обусловлена' корректной постановкой задач и строгими доказательствами. ■

Практическая значимость. Полученные результаты применимы для обоснования численных негодов и даяькзЯшего развития теории операторов бесконечного порядка.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинара КОИ по дифференциальным уравнениям ( рук. профессор С.А, Ломоп9 чл.-корр. РАН профессор С.И.Похожпев, профзссор Ю.А.Ду-б.чяский ); на 2-ой Всесоюзной конференции "Математическое моделирование: Нелинейные проблемы и вычислительная математика" ( 12-16 ноября 1990т.); Семинаре им. И.Г.Петровского.

Публикации. По теме диссертации опубликовано две работы.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литература. Работа занимает ¿17 страниц машинописного текста, список литературы содерак? 50 наименований.

Основное содержание работы.

Во введении дана общая характеристика работы, изложено общее содержание и сформулированы основные результаты, представленные к защите; дан краткий обзор литературы, связанней с темой диссертации.

В первой главе диссертации введены и исследовану свойства пространств Соболева- Безиковича бесконечного порядка почти периодических функций.

§§ 1-6 посвящены изложению в подходящем для

дальнейшего виде необходимых фактов теории " почти периодических функций. В частности § 3 посвящен компактификации Бора z определении почти периодических функций на компактификации Бора. : '

Центральное место занимают §§ 8-9. В них .определены прос- / гр-нства Соболева-Безиковича бесконечного порядка почти периодических функций и дан критерий нетривиальности этих прос--транств. • ' ' -

Пространства СоОолева-ЬеЗиковича бесконечного. порядка определяется следующим образом:. . • •

со - ; . '-

V^{aa,pa}(Rn) s {u(x) € APe(Rn):' p(u)'='l aa р^хГ® < «}. (1)

|a|=o в a

где aa > 0, 5 1-числовые последовательности, Л.

¡uf = lim 1/(22)" |u(X)|pte - норма в

вр т—оо г . к^

пространстве Безиковича, Кт= X € Rn.: |Xt| ^ Т, 1 = 1,. .¿П

Для этих пространств установлен , критерий нетривиальности :

ТзсремаЧ. Пространство W^{aa>pa} нетривиально и являет- . " ся бесконечномерным т. и т.т. , когда существует вектор' К~ ^.'""L)®"^01 такой, что

10-1=0

Этот критерий отличается от критерия, нетривиальности для пространств Vlu0{aa,pa}(R,>) , Ът{аа,ра}(С), где G с R" - ограниченная область в R". В § 9 исследуются . функциональные свойства . пространств BP(R"), W™jB(Ff). Оказалось, что эти пространства рав-

номерно выпуклы и, следовательно, рефлексивны. Равномерная выпуклость Вр(й") следует из того факта, что в нем выполнена неравенства Кларксона при 1 < р < <»,

В п.1.9.3 для исследования функциональных свойств пространств й^{аа,ра} используется понятие предела монотонной последовательности банаховых пространств, введенного Ю.А.Лубянским. Определение. Пространство

= ( х € П X : Цх|да = 11т ¡хЦ < со ]

Хда = 11т хт

т-«о т с тг>=1 ™ пи»,

называется пределом монотонной последовательности банаховых

пространств, где банаховы пространства Хт образуют монотонную

последовательность.

В соответствии с определением монотонного предела

,р} = Ига Г {а ,р}. (2)

а пью а

Следовательно, пространства Соболева-Бегиковича бесконечного порядка являются пределами монотонной последовательности банаховых пространств Соболева-Бегиковича конечного порядка. Из (2) получаем, что пространство 1 < Р < °°> банахо-

во с нормой

р(и) = [ 1аа |Р%!Рр ]* |а|=«> в

В этом же пункте строится норма пространства 10а~,р„}.

в ц, СЯ

где ра £ р, с помощью системы множеств, обладающих некоторыми специальными свойствами.

В п.1.9.4 - 1.9.5 исследуются свойства пространств ИГ'Ча^.р'}, К~°°{аа,р'}. Показано, что эти пространства равномерно выпуклы и равномерно гладки.

Глава II посвящена разрешимости нелинейных эллиптических

уравнений бесконечного порядка в пространствах W® la^.pi, 1 < р < оо, вида

со

J (-i)laluaAa(z,D?u) = Ш), ITI < ici|. (3) ¡a|=o

где коэффициенты удовлетворяют некоторым условиям

почти периодичности и условиям, позволяющим рассматривать уравнение (3) как уравнение с монотонным оператором с целью применения теоремы о разрешимости такого уравнения.

Параграф 1 посвящен нелинейным оллиптическим задачам конечного порядка. В п. 2.1.1 эллиптическое уравнение

1 I-dWdPAqU.dTu) = hue) (4)

|aj<m

сводится к уравнению с монотонньм оператором. При этом коэффициенты удовлетворяют условиям:

N

I. Aa(X,Çy) непрерывны по ^ í H т. Семейство функций.

Í Ae(X,£7H|£J'""+ 1)", U.Ç ) € Я" » К"™ \ равностепенно почти периодично (п.п. ) по ï ( R". Кроме того

lA^tt.ê )| ^ с [ £ 16TIP" + 1 j, |a| < m, p > 1. с > о- const. I7IQJ1

II. Для любых u,v ( Wm (Rn ) справедливо неравенство

p iB

2 M •[ Ae(X,D?U) - AJX.Db), D<*tU-V) ] £ C-IU-Vj^p^, |a|«n

где С > О - постоянная (I*jm р в означает норму в W™ а1Кг')), M - оператор среднего значения. В этиг условиях верна следующая

Теорема 2. Формальный дифференциальный оператор A CU), определенный формулой (2.1) с коэффициентами

ITI ^ lai• удовлетворяющими условиям I, II, определяет строго монотонный ограниченный ссмикепргрыинЛ оператор, действувдй!: из пространства Si™ (Rn) в сопряяенное пространство (W™ (Rn))*,

Р,в Р

причем оператор A(U) действует по формуле

(A(U),V)s - { AJX.D^UJ-D^V J, V(X) С «Г>В(Ю. (5)

|сфЗП

В п.ЗИЛ доказывается теорема существования для задачи (4).

Определежга. Функция U(x) € ЧГ* (й") называется решением

р ,в

уравнения (4), если для любой функции V(X) 6 VT в верно равенство:

[ A(U),V ]о = (ii,v)B, (о)

где A(U) = J M)''alDaAa(X,Dfu). |7| ^ га,

|a|on

( A(u),v ]/= J M { Aa(x,I)Tu),De,Y |a|«n

Теорема 3 Пусть функции |у| ^ га, удовлетво-

ряют условиям 1,11. Тогда задача (4) имеет единственное

решение U(x) € W™ „(Rn) в смысле равенства (б) для любой р ,в

правой части h(X) С W~? (Rn).

р ,я

П. 2.2.1 - 2.2.3 § 2 посвящены постановке и рззрекимости задачи для нелинейного эллиптического уравнения бесконечного порядка:

2 (-i)lalDaAa(x,D?u) = h(x), I7I * |a|. (?)

la|=o

Относительно вещественных функций прудполагается, что

I. Семейсгьо функций | (I Ja I®"1, (X.i^) € Rn « К а j раеносгеяегсго п.п. по

ы

X i If и непрерывно по i R Iia = dim < у : ¡7| <- |a| > -число всех частных производных до корялкч -i |a|.

II. Для любых х е R", . . где |а| = и, |7( < Ш,

ГЯ = 0,1,..., справедливы неравенства

| J Ав(1.£7) Г,а | < Ci{l а <|£аГ' + öjx))} inj,

где С > О - постоянная, р > 1 , Ci^ > Q - некоторая последовательность, Ö„(X) € Вр (Rn), причем

со

I U { a|elel(z)|''>^' < с».

|а|=гп

III. Для любых X ( R", , |а| = m выполнены неравенства коэрцитивное™

1 AJX.£T) > СaJEJ* - 1тш, |а|=ш |а|=га

со

С2 > О - постоянная, р > 1, 7m(x) € B^R"). J М <|7т(Х)|} < «>;

|al=n

IV. выполнено условие монотонности, т.е.

2 { Ао(х,ЦЛ - Аа(х.л7)>( еа - ло) » о ;

|а|=га

V. Пространство W^ taa,p}(Rn) - нетривиально.

Следующая теорема дает возможность свести задачу о разрешимости уравнения ' .

05

J (-i)lalDaAa(x.DTu) = h(x) (8)

|ü|=0

к операторному уравнению

A(u) = h,

где A(U) определен выражением (6).

Теорема 4. Формальный дифференциальный оператор, определенный равенством (6) с коэффициентами А |7| ^

о ,

<|0С|, удовлетворяющая! условиям. I, II, V, определяет нелиней-

ный ограниченный семинеггрерывный оператор A(U), отобража^кщй пространство W^ la^.p) в пространство W~TOlaa,p' прячем оператор A(U) действует по формуле оо

(A(u),v)a= VM f Aa(z,jjTu).J)a7 ],v(x) i ^ ma,p),|7|«|a|, (9)

|a|=o L J

В п.2.3 дано определение обобщенного решения и доказана теорема о разрешимости. Именно, рассматривается следующее уравнение:

да

\ (_1 ) 1а11)аАа(Х,1)Тш = MX) (10)

¡аьо

Определение. Функция U(X) (_ WB ,р> (Я") называется решением .урзвненяя (10), если для любой функции v(X) £ iaa,p}(Rn) справедливо равенство

(A(U),V)B = (tl.V)B, со

где A(u) = J (-1 )iabnAall,ü1u}.

Kl 1=0

Теорема 4. Пусть выполнены условия 1 - V, которым удо-

*

влетворяют функции Ла(Х,)Ц). Тогда для любой правой части tl(X) е. существует по крайней мере одно решение

U(X) € (Оа,р> задачи (10). Б случае строгой монотонности решение единственно -

Доказательство основано на том, что условия на коэффициенты Aa(X, F^) позволяют свести задачу И0) к. задаче (4), применение теоремы ?, и теорема о разрешимости уравнения с монотонным оператором.

Глава III посвящена нелянеЯнкм параболическим уравнениям, почти ■ периодическим по всем перемекшм; параболическим задачам, почти периодическим по t и прлмчнеяюо полугрупп нели-

нейних операторов к нелинейным параболическим задачам почти периодическим по пространственным переменным.

В параграф 1 изучаются нелинейные параболические уравнения конечного порядка. В области У = iu.'i'j » К" рассматривается задача Копи для нелинейного уравнения вида

^ + L(t,x,l))u s gf + £ )|a|DaAa(t,X,D'iu) = h(t,X), (12)

|а|«П

U(0,X) = О, Ж € Rn. (13)

Функции Aa(t,X,^) удовлетворяют следующим условиям:

I. Aa(t,X,S^,) непрерывны по £ Kw и t € 10,'IM и семейство функций | Aa(t,X.€T)(|ia|p"1+ 1)",. f 10,'l'J « К" » К*"" }

равностепенно п.п. по X € fC для всех iy € KN.

II.Справедливы неравенства

Ujt.x.E )| ^ К [ £ |СТГ-1 + 1 ]. |а| < ш, р > 1, К > о- conat.

) т (

III. Выполнено условие дефицитности (сильная эллиптичность), т.е. для лкхЗых u,v £ ¿"(O.TjW™ о) справедливы неравенства

I И {lAo(t,X,lj\t) - ^(t.X.l/M) IT(U-V) | » CD- |U-V^iPiS,

|a|<m

где CD > О - постоянная.

В ötux условиях, верна следующая теоръма:

Теорема 6. Зюрмалъкый дифференциальный оператор AU(t), определенный равенством

У (-1 )lalc"Aoa,x,üTu) (14)

|а|«зп

с. An(t,x,t.j,), удоадетьорякщими условиям 1 - III, определяет монотонкий, коерцнтнотий, семинепреривкыЯ огрзничеш-шЗ оператор

Au(1,). действующий из пространства lp(0,T;Vf „(Rn)) в прост-^ р*н

ранство Lp (O.IlWT в (Rn)), причем оператор AuC ) действует по формуле

т

I Au(t),Y)Bd*f J J' Aa(t,x,DTu) D"v I dt (15) |а)оп о

для любой функции у е Lp(0,T;Vím ).

р,в.

В п.3.1.3 введено и исследовано пространство W, которое определяется следующим образом

Я = { u(t,x) € L(O.T;/iB), gf € LP (O.T;*^,) }. Показано, что это банахово пространство с нормой

!u}w = IUI р Su' | . _m .

L «о -T;v i ь < о . t;w >

'в " n

- w

Показано такие, что W = C(0,T;W , , причем это вложение

р

непрерывно•

В гг.ЗИ.З приведена теорема существования решения задзчи (12). (13).

Р m

Определение. Функция U(t,X) í L (0,Т;1Я v) тякая, что

U'(t,X) € Lp(0,T¡W , _), называется решением задзчи (12),(13),

p ' p w

если для любой функции v(t,X) е I, (0,T;Wp а) справедливо интегральное тождество

Са',7)а + (Au(t),v)B= lh,YlB . т

где tu',Y)B = J"o IMu' • v)öt,

Uu(t),Y)Bd£f J £мх{ Aa(t,x.DTu).iTY )<n

; |a|«n

! и выполнено начальное условие

lira И С u(t,х)• y(х)} =0, V va) € <17)

i i-« * г*

Теорэма 7. Пусть выполнены условия I - III для функций A (t,X,D^U). Тогда для любой правой части ll(t,Z) t

г

р -m

1 (0,T;W , ) существует единственное решение U(t,X) € W за-р »в

дачи (12). (13).

Доказательство опирается на теорему 6, теорему о разрешимости задачи Ком для дафреренциально-олераторного уравнения.

В § 2 рассмотрена задача для нелинейного параболического уравнения бесконечного порядка.

В п.3.2.1 изучается дкфреренциальный оператор бесконечного порядка, определенный выражением

а>

^ + Au(t) = ^ + I (-1 )ialDaAJt,x,DTu), Щ S |а|. (18) |а|=о

Относительно вещественных "функций Aa(t,X,£,y) предполагается, что они удовлетворяют условиям I - IV, аналогичным условиям для функций Аа(Х,£^) из § 3 гл.П. В етих условиях справедлива следующая теорема.

Теорема 8. Дифференциальный оператор AU(t), определенный, фзрмулой (18) с ко&ффициентами Aa(t,x,£,y ), |а| , удов-

летворяющими условиям I, II, определяет ограниченный семинёп-рерывный оператор

Au(t) : L* (0,Т; W™ (аа,р)) - LP(c,Ts УГ^с^.р')) действующий по формуле

00 т

tAu(t),v)gd=' £ Го M i Aa(t,x,Dl'u)-D'Iv ]at, . (19) {С*. I —о" П

v(t,x) e Ъ (o,T; {аа,р}>. В п.3.2.2 сформулирована и доказана теорема существования.

-Ii)-

p

Определение, Функция U(t,X) € L (0,t; ) такая4

p

что U' (teX) € Ii (0,T; W'^ia^p')), называется perne леи уравнения

со a

^ + £ (-D^lrAjt.x.D^u), 171 « Ia|. (20) |a|=o

U(0,X) = и, О < t < I, (21)

P g,,

если для любой функции 7(t,X) е Ь (0,Т; *Bla<i,p)) справедливо тождество :

00

/*(u*,7)Bai; +• 1 ¿„(t.x.D^u).^ }dt = /¡(n.v^dt (22)

|a| =0

и выполнено начальное условие в следующем смысле

•Ilm IM u(t,x)-va)) = и. v у(х) < w"<.a ,р> (23)

t-ю °

Теорема Э. Пусть для функций Аа(1;,Х,£,у )> 171 £ » аы~

полнены условия I - IV. Тогда для любой правой части • ГЦЪ.Х) р'

€ Ъ (О,'Г; (.а ,р' >) существует единственное решение задачи

р

(20), (21), т.е. существует функция и(1:,2) 6 Ь (О.Т;*,(аа,р>)

оо

такая,что и'(1,Х) € Ь (0,Т; УГт^.р')), которая удовлетворяет Тождеству (22) и начальному условии (21) в смысле предельного . соотношения 123).

■Параграф 3 ' посвящен, исследованию первой краевой задачи, почти' периодической по г.

В цилиндре <4 = К « 0, 0 с К", с Соковой поверхностью У рассматривается первая краевая задача ■ оо

ЗУ + 2 ("1,|а,^Х(Х-т'и7и^ = 1Л (?"»)

^(я = М =0,1,... (35)

Ьункции Aa(t,x,£.^) удовлетворяют следующим условиям : I. Aa(t,x,t7 ) непрерывны по X, iy при почти всех t € R и семейство функций

И + 15а!Р~' Г'А^и.х,^ ) (t.x,i7 ) € R » G « rS равзо-степенно п.п. по t € R. Na= dim {7 : |7| < |al}, G R"- ограниченная область.

II. Для всех а, |а| = 0,1,.t € К, X е G и всех (у и

Па справедливо неравенство

| 2Aa(t,x,5T ) ^ j IgJ-'ir^l +0„.

|a|=m |a|=m

где С > О - постоянная, 2 О - постоянные, причем

+ б2+ ... <.оо ;

III. Для t € R х е G и любых i , выполнены неравенства

a Г

гоерцитивности

'IkJUx.Zy ) С. »C.Ja. |EJ" -b„. laj-m |a|=m

со

Сг > О, Ь > С - постоянные, причем Y Ът < а> ;

14 даго m

IV. Выполнено условие монотонности:

I { ( Aa(t,x,i7 ) - Aa(t.x,Tie) tjJ > о : |a|«m

t»

V. Пространство ir (Qo,p}(G) нетривиально. Задача (24), (25) рассматривается- в пространстве

BP(R; «"Чс^.рНС)) = {u(t,x

) :

со

: iui»,p= I a= MJDIuipP < -}•

|a|=o ь <0"

Определение. Функция ии.Х) € ВР(К; V» такая, что

/ со

и' (1,2) € Вр (К; Ш" 1а .р'НО)), называется решетам уравнения

а

\2&) .если V 7(г,г) € ВР(К; »"Ча^рН^)) справедливо тождество оо

и',у >) + £ < Аа(г,Х,ц1'и),иаУ> ) = 1А11< П.У >) (26)

|СХ|=0

Справедлива следующая теорема существования.

Теорема 10. Пусть выполнены условия I - V п.З для функций Тогда для любой правой части Й^.Х) € Вр' (Я; !Г°Чаа,р'Д1г)) уравнения (24) существует по крайней мере одна функция щг.Х), удовлетворяющая следующим условиям :

° / 1) ш.г;х) € Вр№; «"Ча^риО!), и' (х,х) е Вр (н: шГ^ю^.р'д«));

о

3) V € ВР(Н; ИК°°1аа,рни)) справедливо товдество (26).

В п.3.3.2 рассмотрена задача с вырождением. Именно, ' а

X ¡Я? + £ (-1 )к скАки,з,о1и) = ШХ.Х), 1 < К, к =0

а,± п = и, к = и,1,...; (г,х) € я « (-1,1).

дх

. • Для этой задачи установлена теорема существования. ■В параграфе 4 дается применение теории полугрупп нелинейных операторов к задаче:

то

зт! + ^ н)|а'1)\и,1,и''и) = (х.х) € ша'] « кг',(.г()

; 1а1=° . •• . . "

! "

) и(0,х) = ио(Х). (¿И)

оо

Оператор А (и) = £ (-1 ) 1а'ие,Ас1( г .х.и^и) имеет область определения

¡а|=о

Р(А) = | U(x) € Г íoa,p}(Rn), A(U) € tfOf) .

Под решением задачи (27), (28) понимается функция. U(t,X) такая, что

1) отображение' U(t,x) : (0,Т] B^tR1"1) непрерывно; '

3) U(t) € D(A) V X 3= 0 ;

3)отображение U(t,х) : [О,Г) jf(R") слабо непрерывно дифференцируемо по t ; '

4) A(u)(t,x) : СОД] -> В2(Rn) слабо непрерывно, причем норма | A(u) Jbj не возрастает по t .

В этих условиях верна следующая теорема существования и . единственности:

Теорема 11. Пусть функции Аа(Х,С^) удовлетворяют условиям I - IV (стр. 9-10). • Тогда существует единственное решение задачи (27), (38), т.е. существует единственная функция u(t,X), удовлетворяющая уравнению (27) и начальному условию (28), а также условиям 1) - 4).

Автор выражает благодарность профессору Ю.А.Кубинскому за внимание и поддержку при выполнении . работы.

Список работ, опубликованных по теме диссертации.

1.Грошев Л.Н. Разрешимость нелинейных эллиптических уравнений' бесконечного порядка в пространстве почти периодических функций. Сб. науян. тр. МЭИ, 192, ,1989г.,^о. 16-22.

2.Грошев Л.Н. Пространства ' почти периодических функций бесконечного порядка и теоремы о разрешимости нелинейных уравнений. ДАН СССР, 1990г.,т.314, № 5, с. 1048-1051. . V'/'..