Методы нелинейного анализа в теории функционально-дифференциальных включений дробного порядка

Петросян, Гарик Гагикович

Методы нелинейного анализа в теории функционально-дифференциальных включений дробного порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Петросян, Гарик Гагикович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Воронеж МЕСТО ЗАЩИТЫ

2014 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Методы нелинейного анализа в теории функционально-дифференциальных включений дробного порядка»

Автореферат диссертации на тему "Методы нелинейного анализа в теории функционально-дифференциальных включений дробного порядка"

На правах рукописи

МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОГО АНАЛИЗА В ТЕОРИИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ ДРОБНОГО ПОРЯДКА

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 6 НАР 2014

005545595 Воронеж-2014

005545595

Работа выполнена в Воронежском государственном педагогическом университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Обуховский Валерий Владимирович. Официальные оппоненты: Арутюнов Арам Владимирович,

доктор физико-математических наук, профессор, Российский университет дружбы народов, кафедра нелинейного анализа и оптимизации, заведующий кафедрой; Стенюхин Леонид Витальевич,

кандидат физико-математических наук, доцент, Воронежский государственный архитектурно-строительный университет, кафедра высшей математики, доцент.

Ведущая организация: МАТИ — Российский государственный технологический университет им. К. Э. Циолковского.

Защита состоится " 15" апреля 2014 года в 15 час. 10 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394693, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 335.

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан февраля 2014 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Гликлих Юрий Евгеньевич

ш^

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория дифференциальных уравнений дробного порядка берет свое начало от идей Лейбница и Эйлера, но лишь к концу XX века интерес к этой тематике значительно усилился, благодаря интересным приложениям в различных разделах прикладной математики, физики, инженерии, биологии, экономики и др. В 70 - 80-х годах большое развитие данное направление получило в работах А.А.Килбаса, С.Г. Самко, О.И. Маричева, И. Подлюбного, K.S. Miller'a, В. Ross'a и других исследователей. В последнее десятилетие исследования в области дробного анализа характеризуются "экспоненциальным" ростом, их проводят как наши соотечественники, так и зарубежные математики.

Геометрические и топологические методы функционального анализа, применяемые к дифференциальным уравнениям, восходят к именам А. Пуанкаре, JI. Брауэра, П.С. Александрова, Г. Хопфа, Ж. Jlepe, Ю. Ша-удера. В дальнейшем эти методы были развиты и продемонстрировали свою высокую эффективность в трудах М.А. Красносельского, С.Г. Крейна, H.A. Бобылева, Ю.П Борисовича, Г1.П. Забрейко, В.Г. Звягина,

A.И. Перова, А.И. Поволоцкого, Б.Н. Садовского, Ю.И. Сапронова, В.В. Стрыгина, Д.И. Рачинского, К. Deimling'a, L. Gorniewicz'a, J. Mawhin'a и других ученых.

Начиная со второй половины XX века, эти методы распространяются на. теорию дифференциальных включений. Развитие теории дифференциальных включений связано с тем, что они являются удобным аппаратом для описания управляемых систем различных классов, систем с разрывными характеристиками, изучаемых в различных разделах теории оптимального управления, математической физики, математической экономики и др. Различные задачи теории дифференциальных включений были изучены с помощью методов нелинейного и многозначного анализа в работах Ю.Г. Борисовича, Б.Д. Гельмана, А.Д. Мышкиса,

B.В. Обуховского, М.И. Каменского, А.И. Поволоцкого, Ю.Е. Гликли-

ха, В.Г. Звягина, A.B. Арутюнова, В.Г. Задорожного, А.И. Булгакова, Е.С. Жуковского, E.JI. Тонкова, A.A. Толстоногова, В.В. Филиппова, J.P. Aubin'a, А. Cellina, К. Deimling'a, L. Goriiiewicz'a, W. Kryszewski, P. Nistri, N.S. Papageorgiou, P. Zecca и других.

Одним из наиболее эффективных средств изучения разрешимости и существования оптимальных решений дифференциальных уравнений и включений оказывается теория топологической степени многозначных векторных полей, разработке которой были посвящены труды Ю.Г. Борисовича, Б.Д. Гельмана, А.Д. Мышкиса, В.В. Обуховского, А. Cellina, A. Granas'a, A. Lasota и других исследователей.

Настоящая работа продолжает исследования в этом направлении, в ней указанные методы применяются для изучения новых классов функционально-дифференциальных включений и уравнений дробного порядка в банаховом пространстве.

Цель работы. Применяя теорию топологической степени для уплотняющих многозначных векторных полей, исследовать задачи существования решений, описания их топологической структуры и управляемости для новых классов функционально-дифференциальных уравнений н включений дробного порядка в банаховом пространстве.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. С помощью методов нелинейного функционального анализа получены следующие основные результаты:

1. Исследована разрешимость нелокальной задачи Коши для полулинейного функционально-дифференциального уравнения дробного порядка в банаховом пространстве.

2. Доказана теорема о существовании решений н компактности множества решений для нелинейного функционально-дифференциального включения с дробной производной Капуто произвольного порядка с бесконечным запаздыванием и импульсными характеристиками в банаховом пространстве.

3. Доказана теорема о существовании решений и компактности множества решений для полулинейного функционально-дифференциального включения дробного порядка с бесконечным запаздыванием и импульсными характеристиками в банаховом пространстве.

4. Доказаны теоремы о существовании решений и компактности множества решений нелокальной задачи Коши для полулинейного функционально-дифференциального включения дробного порядка с конечным запаздыванием и импульсными характеристиками в банаховом пространстве.

5. Доказана теорема о существовании решений и компактности множества решений задачи управляемости для полулинейного функционально-дифференциального включения дробного порядка с бесконечным запаздыванием и импульсными характеристиками в банаховом пространстве.

6. Доказана теорема о существовании решений и компактности множества решений нелокальной задачи управляемости для полулинейного функционально-дифференциального включения дробного порядка с конечным запаздыванием и импульсными характеристиками в банаховом пространстве.

7. Рассмотрено приложение полученных результатов к задаче об управляемости процессом дробной диффузии.

Методы исследования. В диссертационной работе используются методы функционального анализа, теории многозначных отображений и теории дробного математического анализа.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты представляют интерес для исследований математической физики, дробной динамики и некоторых задач математической экономики.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2013 г.); на Воронежских весенних математических школах (Воронеж, 2011, 2012, 2013

гг.); на международных конференциях "Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения "(Тамбов, 2011, 2013 гг.); на международной молодежной научной школе "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач"(Воронеж, 2012 г.); на международных научно-методических конференциях студентов, аспирантов и преподавателей кафедры высшей математики ВГПУ (Воронеж, 2011, 2012, 2013 гг.); на международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л. Д. Кудрявцева: "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования."(Москва, РУДН, 2013 г.). Результаты диссертации докладывались на семинаре проф. Баскакова А.Г. (ВГУ, 2013).

Исследования, включенные в настоящую диссертацию, поддержаны грантами РФФИ № 11-01-00328 и № 12-01-00392.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[10]. Из совместно опубликованной работы [4] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Работы [2], [4], [7], [10] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Мино-брнауки РФ.

Автор глубоко признателен профессору В.В. Обуховскому за научное руководство и постоянное внимание.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, из которых первая, четвертая и пятая главы разбиты натри, два и три пункта соответственно. Объем работы 132 страницы. Библиография содержит 50 наименований.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы исследования и описывается краткое содержание работы.

В первой главе диссертации приводятся основные сведения из функ-

ционального анализа, теории многозначных отображений, теории дробного математического анализа и приводится модифицированная модель фазового пространства В, введенного Хейлом и Като.

Вторая глава посвящена задаче существования решения для полулинейного функционально-дифференциального уравнения с дробной производной в сепарабельном банаховом пространстве Е следующего вида:

Оах{€) = Ах{1) + /(¿,1(4), зн), г € [О, Г] (2.1),

с нелокальным начальным условием:

х(в) + д(х)(в) = 1?(0), в е [-Л,0] (2.2),

где Юа, 0 < а < 1, - дробная производная Римана-Лиувилля, д : С([—Л,Г]; Е) — С([-Л,0]; Я) и т? : [-А,0] Я - заданные функции, Х( е С([-Л, 0]; £), Н>0,Х( определено как х4(0) = + в), -к < в < 0. Предполагаются выполненными следующие условия. (Л) Л : £>(Л) С Е —* Е - линейный замкнутый оператор в Е, порождающий сильно непрерывную полугруппу ем, где £ > 0.

/: [0 ,Т] х Е У- С ([—к, 0]; Е) —► Е - нелинейное отображение, удовлетворяющее условиям:

(Л) /(-.¥>1^) " измеримая функция на [О,!1], для всех 6 Е х

С([-Л,0];Я);

(/г) /(*,-,•) - непрерывная функция на Е х С([-/г, 0]; £), для п. в.

«еМ;

(/з) условие подлинейного роста:

||/(4,а;,^)|| < 7?(4)(1 + ЦхЦе + ||^||с),п. в. t 6 [0,Г],

где т) : [0, Т] —<■ - суммируемая функция, С - С([-Н, 0], Е).

(/4) условие регулярности: существует суммируемая функция к : [0, Т] —» К+ такая, что для любого непустого ограниченного множества <3 С Е и для любого непустого ограниченного множества П С С

выполнено

xmt,Q,n))<k(t)(X(Q)+vm,

где х - мера некомпактности Хаусдорфа в Е, <¿>(0) = sup_^<9<0 x(f2(0)); = {q{6),q еП}- модуль послойной некомпактности в пространстве

С.

(gl) g : C([-h,T]\E) —► С - непрерывное отображение, преобразующее ограниченное множество в ограниченное.

(д2) существует суммируемая функция I : [-/i,0] —» К+, такая что:

x(g(D)(t)) < l(t)X(D(t)),

для любого t € [—/г,0], и для любого ограниченного множества D С C([-h,T]-,E).

(дЗ) для любого ограниченного множества D С C([—h,T]; Е), {д(-ф(-))\ф S D} - равностепенно непрерывное множество функций и семейство функций {eAtx, х € з(1>(0))} также равностепенно непрерывно.

(54) Нтмноо1!^ < 1-

($') â е С - заданная функция.

Определение 2.1 Интегральным решением задачи (2.1)-(2.2), мы будем называть функцию х е C([—h,T]]E) вида:

ti{t) - g{x)(t), te[-h,0};

емЩО) - g(x)(0)+

+rk f^ ~ s)a~leA(t~S)f(s'x(t)'Xs)ds' * € [0,Tl'

x(t) =

Пусть к = шах(е1о,п кЦ), I = тах(е[_Л,0] /(«), где к{-) - функция, заданная в условии (/4), а 1{-) - функция, заданная в условии (д2) и См > 0 -константа., такая что выполняется: ||ел(||* < С'{х\ где \\еАг\\х обозначает Х-норму оператора.

Теорема 2.1 При выполнении условий (А), (ö'), (/1Н/4), (gl)-(g4), а также: .

m:= тахШГ+ ^ fcj С(х)| < 1, (2.3)

множество решений задачи (2.1)-(2.2) непустое и компактное подмножество пространства C([—h,T];E).

В Третьей главе рассматривается следующая задача. Пусть Е -банахово пространство. Для разбиения отрезка [О, Т] точками О < t\ < ... < tm < Т, тп > 1 и функции с:[0,Т]-»В обозначим

с(ф = lim c{tk + h), c(ifc) = lim c(tk + h), h—* 0+ Л—»0—

для 1 < k < m.

Для целого N > 1 и a £ (jV - 1, TV], изучается следующая задача Коши:

cDay(t) 6 F(t, уи VNy(t)) п.в. t е [0, Т)\ {tlttm} , (3.1) V"y( 0) = Y0, (3.2)

1/(0) = V(0), 0 6 (-oo,0], (3.3)

где с£>а - дробная производная Капуто порядка а,

VNv(t) = Ш,У (!),...У^Ш

и F : [О, Т] х ß х —о Е - мультиотображение с непустыми выпуклыми компактными значениями. Здесь yt € В характеризует предысторию функции до момента t € [0, Г], то есть yt{6) = y(t + в), 0 6 (-оо, 0]. Начальные данные У0 = (у0, у1,..., г/'4'"1) заданы в EN и начальная функция ip € В такова, что </>(0) = у0. Предполагается, что сужение искомой функции у : (-оо, Т] —> Е на [0, Т] принадлежит пространству кусочно-дифференцируемых функций VCn-\{Q,T\- Е).

Будем полагать, что искомая функция и ее производные удовлетворяют в моменты i 1, ...,tm условиям импульсных воздействий:

= yW(ifc) + ll(yü\tk)), 0 < з < N - 1, k = 1, ...,тп, (3.4)

где 1]к : Е —+ Е - непрерывные импульсные функции, удовлетворяющие слудующим условиям:

(1{) функции XI : Е —> Е, I < к < т., О < з < N — I являются вполне непрерывными.

(Т2) функции Т3к, 1 < к < тп, 0 < j < N — 1 являются глобально ограниченными.

Обозначим / = [О, Т']\ - Рассмотрим мультиоператор Р :

I х В х Ем —+ Кь(Е), удовлетворяющий следующим условиям.

Мультифункция г?, у) : [0,Т] -+ Ку(Е) допускает сильно измеримое сечение для всех у) 6 В х Е**\

(Р2) Мультиотображение F(f, •, •) : В х Ем —» Ку(Е) - полунепрерывно сверху для п. в. £ е I;

(*з) Существует функция ю € /^'([0, Т]), р > такая, что:

И^М.у)!! := аир{||/||в : / 6 П^.у)} < Ш(4)(1 + |0|в + |Ы|£„),

для п. в. г 6 / и всех у) е В х Е1*.

№) Существует функция /г е Т]) такая, что для любых огра-

ниченых множеств !5сВи^с£,; = 0,1,..., ЛГ — 1, мы имеем:

лг-1 лг-1

п, Д д7)) < мшп) + п. в. г е /,

7=0 _)=0

где ^(П) = Бир9<0х(П(^)).

Пусть Се(—оо;Г] - линейное пространство функций г/ : (—оо;Т] —»

Е, таких, что у0 £ В и у = у\\а.?} € Т>См~1{[й, Т]\Е), с полунормой:

Нг/11сЕ(-оо;Г) = Мв + Ш\тс ■

Определение 3.1. Интегральным решением на (—сю,Т] задачи (3.1)-

£ 6 (-оо,0];

4 е [0,71,

где ф в Рг{у)-

Теорема 3.1. При выполнении условий (Гх) — и (Т\) — (Хг), множество решений задачи (3.1)-(3.4) на Сб(—со-, Т) - непусто и компактно.

Четвертая глава состоит из двух пунктов. В пункте 4.1 рассматривается существование решения для полулинейного функционально-дифференциального включения с дробной производной в банаховом пространстве Е следующего вида:

оау{ь) 6 Ау{г) + Уи Ут г е [о, т]\ {*ь..., ьт}, (4.1.1)

где Па, 0 < а < 1, - дробная производная Римана-Лиувилля, А : О (А) С Е —> Е - линейный замкнутый оператор в Е, порождающий сильно непрерывную полугруппу ем, £ > О, F : [О, Г] х В х Е Е - муль-тиотображение с непустыми выпуклыми компактными значениями удовлетворяющее условиям аналогичным условиям ^г), (^з), (^4). Начальная функция д € В, считается заданной (условие (г?)) и искомая функция удовлетворяет в моменты £ь...,£т условиям импульсных воздействий:

где Тк Е —* Е - непрерывные импульсные функции, удовлетворяющие условиям аналогичным условиям (2Гг), (2г)-

с начальным условием:

У{в) = т,е е (-оо, о],

(4.1.2)

у(ф = у(гк) + Тк(у{1к)), к = 1,..., т,

(4.1.3)

Определение 4.1.1. Интегральным решением на (-00, Т\ задачи (4.1.1)-(4.1.3), называется функция у S.Ce{—оо,Т] вида:

Ш te(-оо, 0];

y{t) = J еМ И0) + Ыу(Ш +

+ rkfeA(t~s)(t - s)"-^{s)ds, t 6 [0,T],

где ф e VF{y).

Обозначим JM = sup(6[0 T, ||еЛ(||М.

Теорема 4.1.1. При выполнении условий (A), (F1), (F2), (F3), (F4), О&), (11) - (22), и:

множество решений задачи (4.1.1)-(4.1.3) на Се{—оо;Г] - непусто и компактно.

В пункте 4.2 рассматривается существование решения для полулинейного функционально-дифференциального включения с дробной производной в банаховом пространстве Е вида (4.1.1), но с нелокальным начальным условием:

V(s) + 9(y)(s) = Ф), a е [-А, 0] (4.2.1)

где F : [О, Т] х VC([-h, 0]; Е) х Е -о Е - мультиотображение с непустыми выпуклыми компактными значениями.

Пусть Се\-Ь\Т] - линейное пространство функций у : [—/цТ] —> Е, с нормой:

1М1сН-А;Л= sup HfWIU-

«6 [-ft,г]

Мультиотображение F удовлетворяет условиям (Fl), (F2), (F4), и следующему условию

(F'3) Для каждого n € N, найдется функция wn € Ь°°([0, Т]), такая, что для любой функции у е CE[-h\ Т], удовлетворяющей оценке

y(t) =

||y||Cfi[-fc;T] ^ выполнено:

\\F(t,yuym\-==sup{\\f\\E-f ^F{t,yuy{t))}<wn{t) п.в. tel.

На импульсные функции lk мы накладываем условия {11), (Х'2). а на отображение д, и функцию ip следующие условия: (<р) <р € С - заданная функция;

Í9i) 9 '■ Се[—ЫТ] —> С - вполне непрерывное отображение; (д2) найдется такая последовательность {рп} , что для любого у € CE[~h;T], ||у|| < п, выполнено ||s(y)|| < Рп и при этом: Ншп^оо ^ < 1-

Определение 4.1.2. Интегральным решением па [—h,T] задачи (4.1.1), (4.2.1), (4.1.3), называется функция у £ CE[-h,T] вида:

4t)-g(y){t), í€[-ft,0];

елЧ^(0) - g(y)(0) + Hn<My(tk)))+

+тЬ f(f ~ s)a'1eA{t-s4(s)ds, t e [0, T], o

где ф(8) € PF(y).

Теорема 4.2.1. При выполнении условий (Л), (Fl), (F2), (^'3), (F4), Í9i) ~ {92), (v)i (21) — , (4.1.4) и асимптотического условия:

lira fc^ = 0, (4.2.5)

n—*оо 71

где ги„(-) - функции определенные в условии (F'3), множество решений задачи (4.1.1), (4.2.1), (4.1.3) наС£[-/г;Т] - непусто и компактно.

Пятая глава состоит из трех пунктов. В пунтс 5.1 рассматривается задача управляемости для системы, описываемой полулинейным функционально-дифференциальным включением с дробной производной в банаховом пространстве Е следующего вида:

Day(t)&Ay{t)+F(t,yt,y{t)) + Bu{t), t е [0,Tj\{íb...,fm}, (5.1.1)

с начальным условием (4.1.2), где функция управления и(-) рассматривается в Lp(í, U), р > 1 /а. где U - гильбертово пространство управлений. Оператор В : U —* Е предполагается ограниченным и линейным.

Определение 5.1.1. Интегральным решением на (—оо, Т] задачи (5.1.1), (4.1.2), (4.1.3), называется функция у 6 Се{—оо,Т] вида:

^(i), t € (—оо, 0];

eAt{m + Ztk<tUy(h))) +

+YbfeA{t-s4t-s)a-^(s)ds+ о

+rhhA{t~s)(t - s)a~1Bu(s)ds, t e [0,71,

где ф € VF(y) uu€ D>(I, U).

Наша основная задача управляемости может быть описана следующим образом. Для заданной начальной функции ■д(-) € В и заданного Xi 6 Е мы будем рассматривать существование решения у G Се(~оо, Т] и управления и € U) таких, что: y(t) = d(t), t € (—оо, 0] и

У{Т) = ц. (5.1.2)

Теорема 5.1.1. При выполнении условий (A), (Fl), (F2), (F3), (F4), (t?), (W), (XI) - (12), и

V- Г(а + 1) +-Г(ÏTÏ)-/ ( }

множество решений задачи (5.1.1), (4.1.2), (4.1.3), (5.1.2) на оо;Т] - непусто и компактно.

В пункте 5.2, с использованием асимптотических условий (F'3) и (4.2.5), доказывается аналогичный результат для нелокальной задачи управляемости.

В последнем пункте 5.3 дается приложение теоремы 5.1.1 к исследованию управляемости процессом дробной диффузии.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Петросян Г.Г. О существовании решения для дифференциального уравнения с дробной производной и нелинейным граничным условием /

Г.Г. Петросян // Современные методы теории краевых задач: материалы ВВМШ "Понтрягинекие чтения - XXII". - Воронеж: Издательство ВГУ.

- 2011. - С. 143.

[2| Петросян Г.Г. О нелокальной задаче Коши для функционально-дифференциального уравнения с дробной производной в банаховом пространстве / Г.Г. Петросян // Вестник ВГУ, серия: физика, математика.

- 2012. - №2, - С. 207-212.

[3] Петросян Г.Г. О задаче Коши для дифференциального включения с дробной производной и импульсными характеристиками в банаховом пространстве / Г.Г. Петросян // Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач. - Воронеж: издательско-полиграфичеекий центр "Научная книга". - 2012.- С. 24-29.

[4] Петросян Г.Г. О задаче Коши для функционально-дифференциального включения дробного порядка с импульсными характеристиками в банаховом пространстве / В.В. Обуховский, Г.Г. Петросян // Вестник ВГУ, серия: физика, математика. - 2013. - №1, - С. 192-209.

[5] Петросян Г.Г, О нелокальной задаче Коши для полулинейного функционально-дифференциального включения с дробной производной и импульсными характеристиками в банаховом пространстве / Г.Г. Петросян // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы ВЗМШ. - Воронеж: Издательство ВГУ. - 2013. - С. 185-187.

[6] Петросян Г.Г. О задаче управляемости для полулинейного функционально-дифференциального включения дробного порядка в банаховом пространстве / Г.Г. Петросян // Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования. - Москва: Типография РУДН. - 2013. - С. 316-317.

[7] Петросян Г.Г. О задаче управляемости для одного класса полулинейных функционально-дифференциальных включений дробного порядка в банаховом пространстве / Г.Г. Петросян // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. - 2013. - Т.18.

- вып. 5. - С. 2632-2634.

[8] Петросян Г.Г. О задаче управляемости для полулинейного функционально-дифференциального включения дробного порядка с импульсными характеристиками / Г.Г. Петросян // Современные методы теории краевых задач: материалы ВВМШ "Понтрягинские чтения - XXIV". -Воронеж: Издательство ВГУ. - 2013. - С. 145-147.

[9] Петросян Г.Г. О задаче Коши для функционально-дифференциального включения дробного порядка содержащего полунепрерывное снизу мультиотображение / Г.Г. Петросян // Некоторые вопросы анализа, алгебры, геометрии и математического образования. - Воронеж: Издательство "Наука-юнипресс". - 2013. - С. 123-125.

[10] Петросян Г.Г. О нелокальной задаче Коши для полулинейного функционально-дифференциального включения дробного порядка в банаховом пространстве / Г.Г. Петросян // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. - Т.18. - вып. 6. - 2013. - С. 3129-3143.

Работы [2], [4], [7], [10] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Подписано в печать 10.02.2014. Формат 60х84'/|б. Печать трафаретная. Гарнитура «Тайме». Усл. печ. л. 1. Уч.-изд. л. 0,93. Заказ 40. Тираж 100 экз.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Воронежский государственный педагогический университет» Отпечатано в типографии университета. 394043, г. Воронеж, ул. Ленина, 86.

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Петросян, Гарик Гагикович, Воронеж

04201457136

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На, правах рукописи

ПЕТРОСЯН ГАРИК ГАГИКОВИЧ

МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОГО АНАЛИЗА В ТЕОРИИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ ДРОБНОГО ПОРЯДКА

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата, физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Обуховский В.В.

Воронеж - 2013

Содержание

Введение 5

1 Предварительные сведения 14

1.1 Обозначения и некоторые сведения из анализа..............14

1.2 Обозначения и некоторые сведения из многозначного анализа ..............................................................21

1.3 Фазовое пространство..........................................31

2 О нелокальной задаче Коши для функционально-дифференциального уравнения с дробной производной в банаховом пространстве 33

3 О задаче Коши для функционально-дифференциального включения дробного порядка с импульсными характеристиками в банаховом пространстве 42

4 О задаче Коши для полулинейного функционально-дифференциального включения дробного порядка с импульсными характеристиками в банаховом пространстве 63

4.1 Случай бесконечного запаздывания............. 63

4.2 Случай нелокальной задачи................. 81

5 О задаче управляемости для полулинейного функционально-дифференциального включения дробного порядка с импульсными характеристиками в банаховом пространстве 90

5.1 Случай бесконечного запаздывания ............. 90

5.2 Случай нелокальной задачи управляемости.........107

5.3 Управляемость процесса дробной диффузии........121

Литература 125

Основные обозначения

Буквами X, У будем обозначать метрические пространства;

Пусть У — подмножество нормированного пространства Е, обозначим тогда:

P{Y) — множество всех непустых подмножеств в У; K(Y) — множество всех непустых компактных подмножеств в У; CviY) — множество всех непустых замкнутых выпуклых подмножеств в У;

Kv(Y) — множество непустых выпуклых компактных подмножеств в

У.

Буквами А, В будем обозначать линейные операторы; D{Á) — область определения оператора А; 1тА — область значения оператора А: КегА обозначим ядро оператора А;

А-1 обозначим оператор (однозначный или многозначный) обратный к оператору А.

Буквами F, Ф, G будем обозначать многозначные отображения; Г^ — график многозначного отображения.

Аббревиатуры "п н.с." и "п.в " обозначают "полунепрервное сверху" и "почти всюду" соответственно

Введение.

Теория дифференциальных уравнений дробного порядка берет свое начало от идей Лейбница и Эйлера, но лишь к концу XX века интерес к этой тематике значительно усилился, благодаря интересным приложениям в различных разделах прикладной математики, физики, инженерии, биологии, экономики и др. В 70 - 80-х годах большое развитие данное направление получило в работах А. А. Кил баса, С. Г. Самко, О. И. Мари-чева, И. Подлюбного, K.S. Miller'a, В. Ross'a и других исследователей. В последнее десятилетие исследования в области дробного анализа характеризуются "экспоненциальным" ростом, их проводят как наши соотечественники, так и зарубежные математики (см., например, монографии [23], [25], [31], [35], [40], [44], [48], [20], [50], статьи [41], [43], [45] и др.).

Геометрические и топологические методы функционального анализа, применяемые к дифференциальным уравнениям, восходят к именам А. Пуанкаре, JI. Бра.уэра, П.С. Александрова, Г. Хопфа, Ж. Лере, Ю. Ша-удера. В дальнейшем эти методы были развиты и продемонстрировали свою высокую эффективность в трудах М.А. Красносельского, С.Г. Крейна, H.A. Бобылева, Ю.Г. Борисовича. П.П. Забрейко, В.Г. Звягина, А.И. Перова, А.И. Поволоцкого, Б.Н. Садовского, Ю.И. Сапронова, В.В. Стрыгина, Д.И. Рачинского, К. Deimling'a, L. Gorniewicz'a, J. Mawhin'a и других ученых (см., например, монографии [5], [6], [7]).

Начиная со второй половины XX века, эти методы распространяются на теорию дифференциальных включений. Развитие теории дифференциальных включений связано с тем, что они являются удобным аппаратом для описания управляемых систем различных классов, систем с

разрывными характеристиками, изучаемых в различных разделах теории оптимального управления, математической физики, математической экономики и др. Различные задачи теории дифференциальных включений были изучены с помощью методов нелинейного и многозначного анализа в работах Ю.Г. Борисовича. Б.Д. Гельмана, А.Д. Мышкиса, В.В. Обуховского, М.И. Каменского, А.И. Поволоцкого, Ю.Е. Гликли-ха, В.Г. Звягина, A.B. Арутюнова, В.Г. Задорожного, А.И. Булгакова, Е.С. Жуковского, E.JI. Тонкова, A.A. Толстоногова, В.В. Филиппова, J.P. Aubin'a, A. Celliiia, К. Deimliiig'a, L. Gomiewicz'a, W. Kryszewski, P. Nistri, N.S. Papageorgiou, P. Zecca и других (см., например, монографии [1], [2], [26],[28], [38], [42], [47], статьи [3],[9], [46] и др.).

Проведем обзор содержания диссертации по главам.

В первой главе диссертации приводятся основные сведения из функционального анализа, теории многозначных отображений, теории дробного математического анализа и приводится модифицированная модель

фазового пространства В. введенного Хейлом и Като.

Dax{t) = Ax(t) + f(t,x(t),xt), te[0,T} (2.1),

с нелокальным начальным условием:

х(в) + д(х)(в) = Цв), бе [-М] (2-2),

где Da, 0 < а < 1, - дробная производная Римана-Лиувилля, д : C([—h, Т}] Е) —> C([-h, 0]; Е) и ■& : [-h, 0] -»• Е - заданные функции, Xt Е C([—h, 0]; Е), h > 0, xt определено как xt{9) = x(t + в), —h < 9 < 0.

Предполагаются выполненными следующие условия: (Л), (Д), (/г), (/з), (Л), (gl), (#2), (дЗ), (д4), (#).

Далее дается определение интегрального решения задачи (2.1)-(2.2) (определение 2.1), и доказывается (теорема 2.1), что при выполнении условий (А), (■&'), (/i)-(/zi), (gl)-(g4), (2.3), множество решений задачи (2.1)-(2.2) является непустым и компактным подмножеством пространства С{[-КТ]\Е).

В третьей главе рассматривается следующая задача. Пусть Е -банахово пространство. Для разбиения отрезка [0, Т] точками 0 < ti < ... < tm < Т. m > 1 и функции с : [0,Т] —> Е обозначим

с{ф = lim c(tk + h). c{tj;) = lim c(tk + h),

h—>0+ ' 0—

для 1 < к < m.

Для целого N > 1 и а £ (/V — 1,Л/"], изучается следующая задача Коши:

и ^ : [О ,Т] х В х Еы —о Е - мультиотображсиие с непустыми выпуклыми компактными значениями Здесь ус £ В характеризует предысторию функции до момента £ Е [0. Т], то есть уг{0) = у(Ь + в), в Е (—оо, 0]. Начальные данные У0 = (у0. ул,..., ум~]) заданы в Е^ и начальная функция ср Е В такова, что <р(0) = у°. Предполагается, что сужение искомой функции у : (—оо. Т] Е на [0, Т] принадлежит пространству кусочно-дифференцируемых функций

Предполагается, что искомая функция и ее производные удовлетворяют в моменты ¿1. условиям импульсных воздействий:

уЩ$)=уЫ{и)+11{уЫ{Ь)), 0 < 7 < N — 1, к = 1....,т. (3.4)

где Х3к : Е —> Е - непрерывные импульсные функции, удовлетворяющие условиям (Х1), (Х2).

Обозначим I = [0,Т]\{^1, ..Лт} ■ На мультиоператор Е : I х В х Ем —> Кь(Е), накладываются условия ), (^2), (^з), (^4).

Вводится пространство оо:Т] - линейное пространство функций

у : (—оо; Т] -> Е, таких, что у0 е В и у = 2/|[0,г] е ГСм~\[0,Т}-, Е), с полунормой НуНс.д.^г] = Ыв + ||у||рг .

c/}Q2/(í)eF(íll/í)v^(í)) пв te{0)T}\{th...,tm}

v/vy( 0) = Уо, =(р{е), 0 Е (—оо, 0],

С па

(3.1)

(3.2)

(3.3)

Затем дается определение интегрального решения задачи (3.1)-(3.4) (определение 3.1), и доказывается (теорема 3.1), что при выполнении условий (F\) — (F4) и (Ji) — {T'¿), множество решений задачи (3.1)-(3.4) на Се{—оо]Т) - непусто и компактно.

Day(t) е Ay(t) + F(t, Уи y(t)), t е [о, Т}\{¿ь ...,tm} , (4.1.1) с начальным условием:

у{в) = т, 0е(-оо,О], (4.1.2)

где DQ, 0 < а < 1, - дробная производная Римана-Лиувилля, А : D(A) С Е —> Е - линейный замкнутый оператор в Е, порождающий сильно непрерывную полугруппу е'4', t > 0. F : [0,Т] х В х Е —о Е - муль-тиотображение с непустыми выпуклыми компактными значениями удовлетворяющее условиям аналогичным условиям (F\), (F2), (-^з)> (^4)-Начальная функция $ £ В, считается заданной (условие ($)) и искомая функция удовлетворяет в моменты ti,...,tm условиям импульсных воздействий:

У(Ф = y(tk)+lk(y(tk)): к = 1,.... т, (4.1.3)

где Xk : Е —> Е - непрерывные импульсные функции, удовлетворяющие условиям аналогичным условиям (Х\), (X¿).

Далее дается определение интегрального решения задачи (4.1.1)-(4.1.3) (определение 4.1.1), и доказывается (теорема 4.1.1), что при выполнении

условий (Л), (F1), (F2), (F3), (F4), (0), (II)-(12), и (4.1.4) множество решений задачи (4.1.1)-(4.1.3) на Се{—со;Т] - непусто и компактно.

y(s)+g(y)(s) = v(s), se[-h,0] (4.2.1)

где F : [О, Т] х VC([—h, \ Е)хЕ Е - мультиотображение с непустыми выпуклыми компактными значениями.

Пусть Се[—Ь]Т\ - линейное пространство функций у : [—h\T] —> Е, с нормой:

\\У\\СЕ[-КГ] = S11P 11У(*)11Я-

ie[-hX]

Мультиотображение F удовлетворяет условиям (Fl), (F2), (F'3), (F4), на импульсные функции мы накладываем условия (II), (I'2), а на отображение д, и функцию </? условия (</?), (д\), (д2)-

Вводится определение интегрального решения задачи (4.1.1), (4.2.1), (4.1.3) (определение 4.2.1), и доказывается (теорема 4.2.1), что при выполнении условий (Л), (Fl), (F2), (F' 3), (F4), (gi) - (д2), (<р) , СП)-(I'2), (4.1.4) и асимптотического условия (4.2.5), множество решений задачи (4.1.1), (4.2.1), (4.1.3) на h\T] - непусто и компактно.

Пятая глава состоит из трех пунктов. В пункте 5.1 рассматривается задача управляемости для системы, описываемой полулинейным функционально-дифференциальным включением с дробной производной в банаховом пространстве Е следующего вида:

D°y(t) Е Ay(t) + F(t.yt.y(t)) + Bu(t), te[0,T}\{h,...,tm}, (5.1.1)

с начальным условием (4.1.2), где функция управления и(-) рассматривается в 17(1,11), р> 1/а, где V - гильбертово пространство управлений. Оператор В : и —> Е предполагается ограниченным и линейным.

Вводится определение интегрального решения задачи (5.1.1), (4.1.2), (4.1.3) (определение 5.1.1), и на основе него формулируется задача управляемости, которая может быть описана следующим образом. Для заданной начальной функции •#(•) Е Б и заданного х\ Е Е мы будем рассматривать существование решения у Е Се(~оо,Т] и управления и Е Ьр(1, II) таких, что: у(г) = т9(Ь), Ь Е (-оо, 0] и

у(Т)=х ь (5.1.2)

В конце пункта доказывается (теорема 5.1.1), что при выполнении условий (Л), (^1), (-Р2), (^3). (^4), (0), (ИО, (II) - (12), и (5.1.7), множество решений задачи (5.1.1), (4.1.2), (4.1.3), (5.1.2) на Се(—оо; Т] -непусто и компактно.

В пункте 5.2, с использованием асимптотических условий (Е'3) и (4.2.5), доказывается аналогичный результат для нелокальной задачи управляемости.

В последнем пункте 5.3 дается приложение теоремы 5.1.1 к исследованию управляемости процессом дробной диффузии.

Суммируя вышеизложенное, отметим, что с помощью методов нелинейного функционального анализа получены следующие новые результаты:

2 Доказана теорема о существовании решений и компактности множества решений для нелинейного функционально-дифференциального включения с дробной производной Капуто произвольного порядка с бесконечным запаздыванием и импульсными характеристиками в банаховом пространстве

3 Доказана теорема о существовании решений и компактности множества решений для полулинейного функционально-дифференциального включения дробного порядка с бесконечным запаздыванием и импульсными характеристиками в банаховом пространстве

4 Доказаны теоремы о существовании решений и компактности множества решений нелокальной задачи Коши для полулинейного функционально-дифференциального включения дробного порядка с конечным запаздыванием и импульсными характеристиками в банаховом пространстве

5 Доказана теорема о существовании решений и компактности множества решений задачи управляемости для полулинейного функционально-дифференциального включения дробного порядка с бесконечным запаздыванием и импульсными характеристиками в банаховом пространстве

6 Доказана теорема о существовании решений и компактности множества решений нелокальной задачи управляемости для полулинейного функционально-дифференциального включения дробного порядка с конечным запаздыванием и импульсными характеристиками в банаховом пространстве

7 Рассмотрено приложение полученных результатов к задаче об управляемости процессом дробной диффузии

Материалы диссертации докладывались на Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2013 г.); на Воронежских весенних математических школах (Воронеж, 2011, 2012, 2013 гг.); на международных конференциях "Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения "(Тамбов, 2011, 2013 гг.); на международной молодежной научной школе "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач11 (Воронеж, 2012 г.); на международных научно-методических конференциях студентов, аспирантов и преподавателей кафедры высшей математики ВГПУ (Воронеж, 2011, 2012, 2013 гг.); на международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения члена,-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л. Д. Кудрявцева: "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования."(Москва, РУДН, 2013 г.). Результаты диссертации докладывались на семинаре проф. Баскакова А.Г. (ВГУ, 2013).

Исследования, включенные в настоящую диссертацию, поддержаны грантами РФФИ № 11-01-00328 и № 12-01-00392.

Результаты диссертации опубликованы в работах [10]-[19]. Из совместно опубликованной работы [13] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Работы [11], [13], [16]. [19] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Ми-нобрнауки РФ.

Автор глубоко признателен профессору В.В. Обуховскому за научное руководство и постоянное внимание.

1 Предварительные сведения

1.1 Обозначения и некоторые сведения из анализа

Пусть X - метрическое пространство с метрикой доопределение 1.1.1. Множество 17 С X называется относительно компактным, если любая последовательность элементов этого множества содержит сходящуюся подпоследовательность. Если пределы указанных последовательностей принадлеэ/сат 17, то множество называется компактным,.

Определение 1.1.2. Множество А С X называется е-сетью (е > 0) для множества 17 С X, если для любой точки х Е 17 найдется хотя бы одна точка а Е А, такая, что рх(х, а) < е.

Определение 1.1.3. Множество и С. X называется выпуклым, если оно содержит наряду с любыми двумя точками х, у Е 17 их линейную комбинацию \х + (1 — \)у при любом А Е (0,1).

Множество со 17 всевозможных конечных линейных (или выпуклых) комбинаций гАе К > 0. А, = 1 и каждое хг принадле-

жит II, является наименьшим выпуклым множеством, содержащим 17, и называется выпуклой оболочкой множества 17. Множество со 17 — со 17 называется выпуклым замыканием множества 17.

Лемма Мазура (см. [2], стр. 84). Пусть - последователь-

ность элементов нормированного пространства, слабо сходящаяся к х. Тогда найдется двойная последовательность неотрицательных чисел

Г \ 1 оо оо

к=1 такая, что: (а) ^гк = 1 для всех г = 1,2,...;

(б) для каждого г = 1,2,... найдется номер ко — ко(г) такой, что Х,к = 0 для всех к > ко]

(в) последовательность выпуклых комбинаций

сходится к х по норме.

Определение 1.1.4. Точках Е X называется неподвижной точкой отображения / : X —X, если х = f(x).

Множество всех неподвижных точек отображения / обозначается Fix f.

Пусть £ - банахово пространство.

Определение 1.1.5 (см. [4], стр. 237). Отображение g : X —» £

называется компактным, если оно каждое ограниченное подмножество X переводит в относительно компактное подмножество £.

Определение 1.1.6 (см. [4], стр. 486). Отображение f : X —> £ называется ограниченным,, если для всякого ограниченного множества М С X множество f(M) ограничено в £.

Определение 1.1.7 (см. [4], стр. 218). Отображение f : X —» £ называется линейным, если для любых х, у Е X и любых а, ¡3 Е М выполнено:

Лемма 1.1.1 (см. [22], Теорема 38). Пусть I - компактное множество на числовой прямой М. Если последовательность функций {/,г} С Ер{1] £) сходится по норме пространства Ь'р(1,£) к функции /, то существует последовательность {/п,} , которая будет сходится к f почти всюду на I.

оо

f{ax + Py) = af{x) + Pf{y).

Определение 1.1.8 (см. [21], стр. 385). Выпуклое множество К элементов вещественной линейной системы, называется конус�