Непрерывные линейные обратные к операторам сужения аналитических функций и их производных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Иванова Ольга Александровна

НЕПРЕРЫВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАТНЫЕ К ОПЕРАТОРАМ СУЖЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРОИЗВОДНЫХ

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005537811

Ростон-на-Дону-2013

005537811

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Южный федеральный университет" на кафедре теории функций и функционального анализа.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент Мелихов Сергей Николаевич

Официальные оппоненты:

Шишкин Андрей Борисович

доктор физико-математических наук, профессор филиал ФГБОУ ВПО "Кубанский государственный университет в г. Славянске-на-Кубани" профессор кафедры математики, информатики и методики их преподавания

Шерстюков Владимир Борисович кандидат физико-математических наук, доцент ФГАО ВПО "Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ" доцент кафедры высшей математики

Ведущая организация:

ФГБ УН "Институт математики с вычислительным центром" УНЦ РАН (Уфа)

Защита состоится "14" октября 2013 г. в 17 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.208.29 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Южном федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8-а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южного федерального университета по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан " ^ "(Х/^Л^С^ЯО^ 1' Учёный секретарь диссертационного .

совета Д 212.208.29 Кряквин В. Д.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы. В настоящей работе решается проблема, которую в общей ситуации можно сформулировать следующим образом. Пусть Е и Р — локально выпуклые пространства; Т : Е —»• Р — линейный непрерывный оператор. При каких условиях существует линейный непрерывный правый обратный (коротко: ЛНПО) или линейный непрерывный левый обратный (коротко: ЛНЛО) к оператору Т? Задача о нахождении ЛНПО и ЛИЛО для бесконечномерных локально выпуклых пространств индивидуальна и се решение зависит от свойств конкретного оператора. Для различных классов пространств Е и Р (бесконечно дифференцируемых, голоморфных функций, распределений, пространств последовательностей) и операторовТ (дифференциальных операторов в частных производных, операторов свертки, представления рядами экспонент и их обобщений, продолжения бесконечно дифференцируемых функций) эта задача ставилась и решалась Л. Шварцем, А. Гротендиком, Б. С. Митягиным, Б. А. Тейлором, К. Швердтфегером, Р. Майзе, Д. Фогтом, Ю. Ф. Коробейником, М. Лангенбрухом, М. Тидтеном, У. Франкеном, 3. Моммом, X. Бонстом, С. Н. Мелиховым, А. В. Абаниным, Д. А. Абаниной и другими математиками.

Основным объектом изучения в данной работе является оператор сужения функций и их производных на дискретную последовательность точек. Он определен на некотором функциональном пространстве Е и отображает его в связанное с Е естественным образом пространство числовых последовательностей Р. С помощью теории двойственности к проблеме существования линейных непрерывных обратных к оператору сужения, например, сводится задача о существовании ЛНПО к оператору представления элементов различных функциональных пространств рядами экспонент или их обобщений. Опишем коротко историю задачи о существовании ЛНПО к оператору представления аналитических функций рядами экспонент. Пусть С — произвольная ограниченная выпуклая область в С; А(С) — пространство Фре-ше всех аналитических в О функций. В середине 60-х годов прошлого века А. Ф. Леонтьев доказал, что существует последовательность комплексных чисел (А^ек, |А^| | +оо, такая, что любую аналитическую в С? функцию /

оо

можно разложить в ряд ¡{г) = ^ сзеХ'г> абсолютно сходящийся в Л(С) (к /).

3 = 1

При этом А^, ; £ й, - простые нули специальной целой функции Ь экспоненциального типа с сопряженной диаграммой О {О — замыкание С в С).

В связи с неединственностью разложения функций / е А (С) в ряды ви-

00

да /(г) = возникает задача о линейном и непрерывном способе

3 = 1

определения коэффициентов Су. Отметим, что А. Ф. Леонтьев указал способ

оо

вычисления коэффициентов с, представлений /(г) = для функ-

ций /, аналитических на Но этот способ неприменим ко всем функциям/б А(С). Результаты А. Ф. Леонтьева о разложениях в ряды экспонент побудили Ю. Ф. Коробейника к построению теории представляющих систем. Если ввести пространство Фреше числовых последовательностей

оо

Ах := |с = (сД,(=м : ^ с^1' абсолютно сходится в

Л (С)}

оо

и оператор представления П : Лх —> А(С), (П(с))(,г) := ^ то проблема

У=1

коэффициентов трансформируется в сформулированную Ю. Ф. Коробейником задачу: когда сюръективный оператор П : Ах —>■ А (О) имеет ЛНПО, т. е. существует линейный непрерывный оператор Р : А{С) —> Ах такой, что П о Р(/) = /, / £ А(С)? Для показателей (А^),-ец(, являющихся нулями специальной целой функции, она была решена Ю. Ф. Коробейником и С. Н. Мелиховым

Известно 2, что сильное сопряженное к А(С!) пространство можно отождествить с некоторым пространством целых функций экспоненциального типа Е, а сильное сопряженное с А\ пространство — с некоторым пространством числовых последовательностей К^. Тогда оператором, сопряженным к оператору П, будет оператор сужения Д : Е —>• Кж, Д(/) := ли-

нейно и непрерывно отображающий Е в К^. Так как пространства Л(С) и Ах — рефлексивные пространства Фреше, то оператор П имеет ЛНПО тогда и только тогда, когда оператор И имеет ЛНЛО, т. е., когда существует линейный непрерывный оператор и : —> Е такой, что хо /?(/) = /, / <Е Е. Итак, с помощью теории двойственности задача о ЛНПО к оператору представления сводится к задаче о существовании ЛНЛО к оператору сужения на последовательность соответствующих показателей рядов экспонент, определенному на счетном индуктивном пределе весовых банаховых пространств целых функций. Общие результаты о ЛНЛО к оператору сужения на весовых (ЬВ)-пространствах целых функций были получены С. Н. Мелиховым 3. В настоящей диссертации для (ЬВ)-пространств целых функций, задаваемых радиальными весами с естественными ограничениями, получены аналитические реализации (в терминах внутренних свойств весов) абстрактных усло-

1 Коробейник Ю. Ф., Мелихов С. Н. Линейный непрерывный правый обратный для оператора представления и приложения к операторам свертки // Сибирский математический журнал. - 1993. - Т.34, №1. - С. 70-84.

2 Коробейник 10. Ф. Представляющие системы // Успехи матем. наук. - 1981. - Т.Зб, вып. 1. - С. 73-126.

3 Мелихов С. П. О левом обратном к оператору сужения на весовых пространствах целых функций // Алгебра и анализ. - 2002. - Т. 14, ХЧ. - С. 99-133.

вий из 3. Полученные результаты применены также к (¿¿?)-иространствам в нерадиальном случае, а именно, к пространствам целых функций, рост которых определяется уточненным порядком. Отмеченные выше результаты Ю. Ф. Коробейника и С. Н. Мелихова 1 перенесены на случай р-выпуклой области (р > 0).

С. Н. Мелиховым 4 был доказан критерий существования ЛНПО к оператору представления рядами из квазиполиномов функций, аналитических в ограниченной выпуклой области. Данная задача решена нами для оператора представления рядами из квазимономов.

Если оператор сужения задан на счетном индуктивном пределе банаховых пространств целых функций с ограничениями на их рост, то область его значений содержится в некотором (¿¿^-пространстве последовательностей, рост которых также определяется исходными весами. Если же он задан на пространстве всех функций, аналитических в открытом множестве С С С, и функции и их производные сужаются на дискретное подмножество О, то областью его значений является уже пространство всех последовательностей ш. В связи с этим возникает задача о наличии ЛНПО к такому оператору сужения. При ее решении привлекается теория последовательностей Айдсльхай-та в сопряженном к пространствам Фреше, и упомянутая выше проблема трансформируется в задачу о наличии ЛНПО у моментного оператора, задаваемого последовательностью Айдельхайта. По-видимому, первым в этом направлении является результат Б. С. Митягина 5 о том, что оператор „вычисления" производных бесконечно дифференцируемых функций на отрезке [—1,1] не имеет ЛНПО. Косвенным образом к данному направлению примыкают результаты польских математиков Ролевича, Бессаги, Пелчинского о дополняемых подпространствах пространств Фреше, изоморфных пространству и>. В работе приводятся критерии и (отдельно) достаточные условия того, что моментный оператор имеет или не имеет ЛНПО. Полученные результаты применяются к замкнутым дополняемым идеалам в пространстве А(С), где С — область в С, а также к задаче о ЛНПО к оператору свертки, действующему в пространстве целых функций экспоненциального типа. Ранее в работе 6 задача о существовании ЛНПО к оператору свертки решалась для пространства [1, сг) всех целых в С функций экспоненциального типа меньше а € (0, +оо], изоморфного сопряженному к пространству функций, аналитических в круге := {г € С : \г\ < а}. В диссертации аналогичный

4 Мелихов С. II. Продолжение? целых функций вполне регулярного роста и правый обратный для оператора представления аналитических функций рядами квазиполиномов // Матем. сб. - 2000. - Т. 191, Л*7. - С. 105-128.

5Митягип Б. С. Аппроксимативная размерность и базисы в ядерных пространствах // Успехи матем. наук. - 1961. - Т.16, вып. 4. - С. 63-132.

6Мерзляков С. Г. Правый обратный для оператора свертки в пространстве целых функций экспоненциального типа // Уфимск. матем. жури. — 2010. - Т. 3, вып. 4. - С. 85-87.

результат получен для пространства целых функций, изоморфного сильному сопряженному к пространству уже для произвольной односвязной области С С С. Отметим, что задача о существовании ЛНПО к оператору свертки в пространствах голоморфных функций решалась ранее в работах К. Швердфегера, Б. А. Тейлора, 3. Момма, Ю. Ф. Коробейника, С. Н. Мелихова, М. Лангенбруха (см. соответствующий обзор в 7).

Цели работы.

• Установить условия наличия линейного непрерывного левого обратного к оператору сужения, определенному на (ЬВ)-пространстве целых функций, заданном радиальными весами.

• Доказать условия существования линейного непрерывного левого обратного к оператору сужения на весовом (¿¿^-пространстве целых функций, рост которых определяется уточненным порядком.

• Доказать критерии существования линейного непрерывного правого обратного к оператору представления аналитических в /э-выпуклой области функций рядами по функциям Миттаг-Леффлера.

• Получить критерии наличия линейного непрерывного правого обратного к оператору представления рядами из квазимономов функций, аналитических в ограниченной выпуклой области в С.

• Доказать критерии существования линейного непрерывного правого обратного к моментному оператору, определяемому последовательностью Айдсльхайта в сопряженном к пространству Фреше. Применить их к описанию дополняемых идеалов в пространствах аналитических функций, оператору свертки в пространствах целых функций экспоненциального типа, оператору сужения бесконечно дифференцируемых функций и их производных на дискретную последовательность.

Методы исследований. В диссертационной работе используются методы функционального и комплексного анализа, теории целых функций вполне регулярного роста, субгармонических функций, конформных отображений, структурной теории пространств Фреше.

Научная новизна и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми, носят теоретический характер и могут найти применения к решению операторных уравнений, уравнений свертки в пространствах аналитических и бесконечно дифференцируемых функций, в

7 Коробейник Ю. Ф. О разрешимости в комплексной области некоторых классов линейных операторных уравнений. -Ростов-на-Дону: изд-во ЮФУ, 2009. - 251 с.

теории абсолютно представляющих систем, в задаче Коти для аналитических функций. Они могут быть использованы специалистами, работающими в ЮФУ, Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, Южном математическом институте ВНЦ РАН и РСО-А, Московском, Башкирском университетах, национальном исследовательском ядерном университете „МИФИ", а также в других ведущих российских и зарубежных научных центрах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на научном семинаре но анализу ЮФУ под руководством Ю. Ф. Коробейника и А. В. Абанина, на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова в Абрау-Дюрсо (2004, 2008 гг.), на Международной конференции "Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование" в Волгодонске (2007, 2009, 2011 гг.), на Международной конференции "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования" во Владикавказе (2008, 2010 гг.), на Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач"(2009, 2011 гг.), на Международной конференции молодых ученых "Математический анализ и математическое моделирование" во Владикавказе (2009, 2010 гг.), на Уфимской международной конференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения"(2011 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано четырнадцать работ, список которых приведен в конце автореферата. В совместных с научным руководителем публикациях [5]-[14] С. Н. Мелихову принадлежит постановка задач и указание метода исследования, а автору диссертации — проведение исследования и доказательство результатов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы и списка литературы, содержащего 92 наименования. Определения, теоремы, следствия, леммы и замечания имеют свою независимую нумерацию, содержащую номер главы, параграфа и результата. Общий объем диссертации — 131 страница машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, сформулированы основные результаты, которые выносятся на защиту.

Глава 1.

В первой части данной главы решается задача о существовании ЛНЛО к оператору сужения на нулевое множество специальной целой функции, определенному на счетном индуктивном пределе Е весовых банаховых пространств целых функций, задаваемых радиальными весами. Рассматривается

следующая ситуация. Пусть Wn := (1 — l/n)W, п > 1, где функция W удовлетворяет следующим условиям:

(Wl) W непрерывна и возрастает на [0,+оо); W(x) > 0, х G [0,+оо);

(W2) Функция Y := W о ехр непрерывно дифференцируема и выпукла на Y(x)

[О, +оо), lim —^- = +00;

®-»+оо X

W(x+Í) _ , W(x) ~~ х>

(W4) lim sup í¡™ = р G (0, +оо).

Положим W{z) := W(|z|),z G С. Зафиксируем к > 0. Далее L — специальная целая функция, рост которой определяется функциями Wn, п G N, следующим образом:

(LI) Vn ЗС > 0 : \L(z)\ < Сехр((1 + 1/n + k)W{z)), z е С;

(L2) Существует последовательность контуров js, s G N, содержащих внутри

К 7s)

себя 0, такая, что rs := inf |í| —> +оо, s —> оо; sup—— < +оо;

í67» seN rs

Vm G N inf inf IL(z)\e-^m+K)w^ > O,

seN ze7,

где /(7л) - длина контура 7S, s G N.

(L3) (Aj)j(=N ~~ последовательность всех (различных) нулей функции L, причем |Aj| < |AJ+i|, j G N, каждый из нулей Aj простой и

Vm G N inf |L/(Ai)|e_(1-1/m+,t)w(Aí) > 0.

jeN1 Jn

Для n G N определим весовые банаховы пространства целых функций Еп := {/ G Л(С)| ||/||„ := sup \f(z)\exp(-Wn(z)) < +00}

zeC

и положим Е := indi?Tí. Введем ассоциированные пространства числовых

п->

последовательностей:

к<30,« := {с = (cj)jsN G CN I \с\п := sup\c¡\exp(-Wn(A¿)) < +00},

jen

Кж := ind K^ n. При этом Л (С) обозначает пространство всех целых в С

п—> '

функций. На Е зададим оператор сужения R(f) := (f(^j))jeN, линейно и непрерывно отображающий Е в Ка0. Основным результатом данной главы является

Теорема 1.2.1 Пусть функция W удовлетворяет условиям (Wl) —(W4); к > 0; функция L удовлетворяет условиям (LI) — (L3); у = Y'. Следующие условия равносильны:

1) Оператор R : Е —> Кто имеет JIHJIO.

2) Выполняются утверждения а) и Ь):

a) к > 0,

b) ЗС > 1 : 2у о y-!(i) < у о y-^Ci) Лгл больших t > 0.

При доказательстве теоремы 1.2.1 были использованы общие результаты С. Н. Мелихова о существовании JIHJIO к оператору сужения на нулевое множество некоторой специальной функции L, сводящие решаемую задачу к проблеме существования двух специальных семейств субгармонических функций, удовлетворяющим равномерным локальным оценкам снизу и глобальным — сверху. Одно из них связано с индуктивной последовательностью (1 — 1 /n)W, п G N, а другое — с проективной последовательностью (1 + 1 /n)W, neN. Условия существования таких семейств для индуктивной последовательности были доказаны М. Лангенбрухом 8. Соответствующие условия для проективной последовательности установлены в теореме 1.1.4. Отмстим, что в §1.1 получен ряд вспомогательных результатов о существовании семейств, связанных с проективной последовательностью. Они имеют и самостоятельное значение: подобные семейства применяются в задачах о существовании ЛНПО к оператору представления рядами экспонент, к оператору свертки в пространствах аналитических функций, о расщепляемое™ 9-комплсксов на весовых пространствах интегрируемых функций (L2- комплексах).

Пусть функция W удовлетворяет условиям (Wl) - (W4). Тогда, как показано А. Ф. Леонтьевым 9, существует уточненный порядок р(г) —»■ р такой, что W{x) < хр(х\ х > 0, и существует последовательность (xn)„eN t +°Oi для которой выполняются равенства W{xn) = хРпХ"\ п G N. Следовательно, функции W(x) = хявляются (в описанном смысле) наибольшими, удовлетворяющими условиям (Wl) — (W4). Справедливо следующее

Следствие 1.2.1 Пусть W(x) := х>'(х\ где р(х) — уточненный порядок для порядка р > 0, функция L удовлетворяет условиям (LI) — (L3). Соответствующий оператор сужения R : Е -» Кж имеет ЛНЛО тогда и только тогда, когда к > 0.

Ранее следствие 1.2.1 было доказано 3 для случая р(х) = р > 0.

8Larjgendruc/i Af. The splitting condition for the weighted Э-coinplcx // Results in Mathematics. - 1992. - V. 22. - P. 560-597.

9 Леонтьев Л. Ф. Ряды экспонент. - M.: Наука, 1976. - 536 с.

В §1.3 приводится пример функции IV, удовлетворяющей условиям (\У1) — (\¥4), но не удовлетворяющей условию 2 Ь) теоремы 1.2.1. Для нее соответствующий оператор сужения Д : Е —> К^ не имеет ЛНЛО для любого к > 0.

В §§1.4 — 1.5 рассматриваются весовые пространства целых функций, определяемые не обязательно радиальными весами. Для последовательности (простых) нулей специальной целой функции доказаны (теорема 1.4.2) достаточные и (отдельно) необходимые условия существования ЛНЛО к оператору сужения в пространстве целых функций, определяемых с помощью уточненного порядка. А именно, пусть р(г) — уточненный порядок для порядкар > 0; Н(в), к(в) — р-тригонометрически выпуклые ограниченные 27г-периодические функции, тт[/1(0)+/1(0+7г//>)] > 0; [р(г), И(0)) — (ЬВ)-иространство всех целых (в С) функций не выше нормального типа при уточненном иорядкер(г) с индикатором, меньшим Н(в); Н(г) := /г(ащг)\г\р<-^\ К(г) := к(^г)\г\р^\ г € С; I - целая в С функция, обладающая следующими свойствами:

(Ы,) Уп ЭС > 0 : \Ь(г)\ < Сехр(Я(,г) + /п + К{г)), Чг 6 С.

(Ъ2р) Существует неограниченная возрастающая последовательность /7, > 0, такая, что для любого т £ N

Ы Ы \Ь(г)\ехр (-# Ы + Ы'^/т - К (г)) > 0.

(ЬЗр) (\j)jeN ~ последовательность всех (различных) нулей Ь, причем |А^| < |Ал.1|, 2 £ М, каждый из нулей А^ простой и для любого т £ N

|Ь'(А^)| ехр(-Я(А,-) + \Х^/т - К(Х^) > 0.

Для е„ 4 0, п —> оо, введем банаховы пространства числовых последовательностей:

^ \ ! I -

(с= (cj)jeN € CN |c|n := sup-—---< oo|,

n £ N; и положим Кx := indi^oo^.

n—> '

Определим оператор сужения R(f) := {f(^j))jeN, f £ [p{r),h{6)), линейно и непрерывно отображающий \p(r),h(6)) в К^.

Теорема 1.4.2 Пусть р(г) — уточненный порядок для порядка р > 0; функция L удовлетворяет условиям (Ll^) —(L3p); функции к(в), h(6) такие, как выше.

1) Если существует а > 0 такое, что h{6) — а, к(в) — а, в £ М, являются р-тригонометрически выпуклыми фуункциями, то оператор сужения R : \p(r), h{6)) К0о имеет ЛНЛО.

2) Если функция k{6) или h{ß) имеет хотя бы один интервал р-тригонометричности, то R не имеет JIHJIO.

Из теоремы 1.4.2 вытекают следующие результаты, установленные ранее в случае р(г) = р: в 10 для р > 1, h(9) = h, к(в) = к; в 3 для произвольного р > 0 (достаточные условия существования ЛИЛО у оператора R получены в 3 при более жестких предположениях, чем в теореме 1.4.2).

В §1.5 получены естественные применения результатов о ЛИЛО к оператору сужения к проблеме существования ЛНПО к оператору представления рядами экспонент функций из пространства [р*(г), h*(в)} в случае р > 1. При этом р(г) — сильный уточненный порядок для порядка р > 1; [р* (г), h* (в)} — пространство Фреше всех целых функций не выше нормального тина при уточненном порядке р*(г) с индикатором, не превосходящим Н*(в); р*(г) — сопряженный уточненный порядок (к р(г));

h*{6) = sup[Re(i ехр(г'0)) - |i|'7i(argi)].

tec

В случае р(г) = р > 0 сопряженное к [p{r),h{9)) пространство имеет различные реализации. Одна из них — пространство A(G) функций, аналитических в р-выпуклой области G. В §1.0 решается следующая задача, постановка которой побуждена работой Пусть G — ограниченная р-выпуклая область, 0 6 G; К — р-выпуклый компакт, 0 G К; A{G) — пространство Фреше всех функций, аналитических в G; ha(—9), Ьк{-в) — р-опорные функции G и К соответственно. Для последовательности (Aj)jgN £ CN, |Aj| —оо, введем пространство Фреше числовых последовательностей

A:={C=(Cj)jeNeCN :

OO

INI» := N exp((/iG(arg Aj) - l/n)|Ajf) < +oo, Vn e n}. i=i

oo

Положим e\(z) := Ep(Xz), A ,zGC, где Ef,(t) := £ ifc/r(l + k/p), ieC,-

k=О

oo

функция Миттаг-Леффлера. Ряд cje\j сходится абсолютно в A(G) тогда

j=i

oo

и только тогда, когда с 6 Л. Оператор представления П(с) := ^ Cje\ ли-

з=1

нейно и непрерывно отображает Л в A(G). Если последовательность {Xj)jeN такова, что оператор П : Л —> Л((7) сюръективен (т. е. (e^^jg^ является абсолютно представляющей системой в /1(G*)), то возникает естественная задача о существовании ЛНПО кП:А-> A(G). Она решена 1 для р = 1 в случае,

1IJ Aif_.7ff.YOf] С. П. Об одной некорректной задаче в теории рядов Дирихле // Интегро-дифференциальные операторы и их приложения. Вып.2, ДГТУ, Ростов-на-Дону. - 1У97. - С. 112-117.

когда (А^ем — нули некоторой специальной (1, /гд + /г/с)-интерполирующей функции. Мы переносим результаты работы 1 на случай р ф 1. Если внутренность компакта К пуста, то оператор представления не имеет ЛНПО. Для случая, когда внутренность К непуста, доказан критерий существования ЛНПО к П. Как и в он получен в терминах конформных отображений </? и ф единичного круга I) := {г £ С : \г\ < 1} наб и С\_0 (£) — замыкание И в С, С — расширенная комплексная плоскость) наС\К соответственно; у?(0) = 0; ф{оо) = оо (при этом при р > 1 делается дополнительное предположение о /9-выпуклости множеств уровня конформных отображений^ и ф).

Положим Бг := {г € С : < г}, г > 0; (5„ := у(-ОехР(-1/п))> ^п := \ ^ех11(1/п))> " € N. Справедлива

Теорема 1.6.2 Пусть внутренность К непуста и 0 € тЬК.

I) Для р ё (0,1) следующие утверо/сдения равносильны:

1) П : Л Л(<3) имеет ЛНПО.

2) а) вир \(р'{г)\ < оо и Ь) М \ф'{г)\ > 0.

|г|<1 N>1

II) Пусть р > 1. Тогда 1) =>2). Предполоо/сим, что множества уровня СИп и С \ п £ М, р-выпуклы. Тогда 1) 2).

При /9=1 условия о выпуклости множеств уровня, как в II), выполняются (это следует из леммы Шварца). При доказательстве теоремы 1.6.2 использовалась структурная теория пространств Фреше: теория линейно ручных операторов, критерий расщепляемости короткой точной последовательности пространств степенных рядов конечного типа, доказанный ранее Д.Фогтом.

Глава 2.

В настоящей главе доказываются критерии существования ЛНПО к оператору представления рядами из квазимономов функций, аналитических в ограниченной выпуклой области комплексной плоскости. Данная проблема является двойственной к задаче о существовании ЛНЛО к оператору сужения функций и их производных из некоторого весового пространства целых функций. Ранее аналогичные результаты были получены для операторов представления рядами экспонент 1 11 и рядами из квазиполиномов 4.

Пусть С — ограниченная выпуклая область в С, А(С) — пространство всех аналитических в б функций с топологией равномерной сходимости на компактах в б. Для множества М С С через IIм обозначим его опорную функцию: Нм{г) := зир11е(,г£), г Е С. Пусть К — выпуклый компакт в С. Зафиксируем целую (в С) функцию Ь экспоненциального типа с нулевым множе-

11 Коробейник Ю. Ф., Мелпхоп С. Н. Линейный непрерывный правый обратный для оператора представления и конформные отображения // Докл. РАН. — 1992. - Т. 323, - С. 826-829.

ством V(L) := (An)neN; m„ + 1 — кратность нуля A„, mn G N0 := N(J{0}. Бу-

(t — X + l

дсм считать, что |An| < |An+1|, n G N. Положим ln(t) := ---, n G N.

13 дальнейшем предполагается, что выполняются следующие условия:

(Ql) L — целая функция вполне регулярного роста с индикатором Нс(е'в) + Нк(е'9) (при показателе 1);

(Q2) lim supi7т—г fIn ™ax ^ Ч(Ли)| + HG(Xn) + HK{A„))) < 0; n-ioo \ |An| \ 0<k<mn k\(mn — k)\ )/

(Q3) lim = 0.

Jl->00 |An|

Положим e\tk(z) := zkeXz, eA := eA>0; A,z£C, k G N0. Введем пространство Фреше числовых последовательностей

Ai := |с = {cnk)neNfl<k<ran, Cnk G С | Vs G N

oo mn

p»(c) := X] ■ ехр(яс(Лn) - |A„|/s) < +oo|.

71=1 fc=0

Следуя Ю. Ф. Коробейнику2, определим оператор представления

oo тп

П(с) := Спке\„,к1 с е линейно и непрерывно отображающий Ах

п=1 к= О

в Оператор П : Ах ->■ Л(<2 + К) сюръсктивен 12. В теореме 2.1.1 дока-

зан общий результат о внутрь-продолжаемости для системы из квазимономов (их показатели (А„)ггец не обязательно являются нулями специальной целой функции Ь, как выше). Из теоремы 2.1.1 следует, что операторП : Ах —> А{С) также сюръективен. В настоящей главе решена задача о существовании ЛН-ПО к оператору П : Ах Л(С). Аналогичная задача решалась в работе 1 в частном случае, когда нули целой функции Ь простые; в этом случае ряд

ос тп

^ &пк£\п,к является рядом экспонент. Основным результатом данной гла-

п=1 к-0

вы является

Теорема 2.1.2 Пусть функция Ь удовлетворяет условиям ((^1) — (QЗ).

(I) Если компакт К совпадает с точкой, то оператор П : Ах —>■ Л(С) ие имеет ЛНПО.

(II) Пусть выпуклый компакт К в С отличеи от точки; у — конформное отобраэ/сеиие единичного круга := {г € С : \г\ < 1} па (7, ф — конформное отображение С\В наС\К такое, чтоф(оо) = оо. Следующие утверждения равносильны:

12 Шрийфель И. С. Абсолютно - представляющие системы в пространствах аналитических функций: Дисс. на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. — Ростов н/Д. — 1985. — 97 с.

(i) Оператор П : Ai —> A(G) имеет ЛНПО.

(ii) Существует целая (в С2) функция Q такая, что Q(z,z) = L(z), z е С, и Vn Зт ЗС > 0 : V/x, гёС

\Q{ß, z)| < С exp(HG{fi) ~ \ß\/m + HK{z) + \z\/nj.

(iii) sup |<p'{z)\ < +00 и inf \ip'{z)\ > 0.

|z|<l l2l>1

(III) Если функция Q такая, как в (ii), то оператор

TW (г^Т^nfQQ(t,t,f) ■ шУт"]к) f ) N , / e A(G),

\(тп)! \ J tmn~k t=A„/n6N, 0<k<m„

является ЛНПО к П : Ai —> A(G).

(IV) Если T : A(G) ->• Ai — ЛНПО к П : Ai A(G), то существует единственная функция Q, как в (ii), для которой

/ 1 , / \ (тп—k) \

Т(Я := (т-ЦтС* (nQ(t,tJ) ■ Z„(f)) ) , f G A{G).

V(?7Z„)! "V ' t=\JneN, ü<k<,nn

Здесь Qq — интерполирующий функционал, заданный некоторой целой функцией двух комплексных переменных, с определенными оценками сверху ее модуля, введенный С. Н. Мелиховым 4. Он является аналогом интерполирующей функции А. Ф. Леонтьева.

Утверждение (I) и равносильность (i) и (iii) ранее были доказаны 1 для случая простых нулей. Утверждение (III) для простых нулей установлено в 3. Подобная теорема в случае кратных нулей была доказана в работе 4 для оператора представления рядами из квазиполиномов. При ее доказательстве был применен метод продолжения исходной функции L вполне регулярного роста до функции двух переменных Q(ß, z) (с оценками сверху ее модуля) такой, что на диагонали "/х = г" она совпадает с L(z). Этот метод был использован нами и при доказательстве теоремы 2.1.2.

В §2.2, как следствие, мы получаем условия существования ЛНЛО к инъек-

тивному оператору сужения П'(/) = (/^(А„)) , линейно и ненре-

V / n€N, 0<fc<i)!n

рывно отображающему (¿¿^-пространство

[1 ,HG) := {/ Е Л(С)| За G N :■ ||/||. := sup ^ffl |jg|/j) < +-}, в соответствующее (¿_В)-пространство числовых последовательностей: К<Я '■= = (bnfc)neN,0<fc<m„) Кк € С :

3s G N : |6|s := sup

«€N exp(#G(An) - |A„|/s)

Глава 3.

В предыдущих главах был исследован оператор сужения (или сопряженный к нему) на некоторую последовательность точек, определенный на (LB)-пространствах Е целых функций с ограничениями на их рост. Он действовал в пространство последовательностей F, рост которых также ограничен исходными весами. В главе 3, в частности, рассматривается уже оператор R сужения на дискретную последовательность, определенный на пространстве всех функций, аналитических на открытом множестве G в С: := (/^'(Aii))nsN, n<fc<mr,-b / 6 Областью значений оператора

R является пространство из всех числовых последовательностей. R задается последовательностью дельта-функций и их производных, т. е. некоторой последовательностью линейных непрерывных функционалов на A(G). Она является последовательностью Айдельхайта в A(G)'. В связи с этим в главе 3 применяется теория последовательностей Айдельхайта в сопряженном к пространству Фреше и решается задача в более общей постановке (в терминах последовательностей Айдельхайта).

Определение 3.3.1 5 Пусть Е — пространство Фреше, ipj е Е', j 6 N. Последовательность (ifj)jeN называется последовательностью Айдельхайта (в Е'), если для любого а £ из существует х € Е такое, что ¡Pj(x) = a,j для любого j £ N.

Пусть из — пространство всех числовых последовательностей, топология которого задается последовательностью преднорм Гк(х) := max |хп|,

х = (яп)пек 6 ш, к € N. Если Е — пространство Фреше, (^Pj)jeN Я Е' — последовательность Айдельхайта в Е', то оператор Д : х >->• (^¿(х))^ линейно и непрерывно отображает Е на из, и возникает естественный вопрос о существовании ЛНПО к оператору й : £ и (й мы называем моментным оператором). Далее Е — пространство Фреше с фундаментальной неубывающей последовательностью преднорм рп, п € N.

В §3.2 доказываются два абстрактных критерия существования ЛНПО к моментному оператору Д : Е —»■ из, а в §3.3 — достаточное условие того, что Д не имеет ЛНПО. Из него, в частности, вытекает

Следствие 3.3.1 Если в пространстве Фреше Е существует непрерывная норма, то для любой последовательности Айдельхайта в Е' момент-ный оператор не имеет ЛНПО.

Из следствия 3.3.1 вытекает результат Б. С. Митягина о том, что линейный непрерывный (сюръективный) оператор Т : С°°([—1,1]) —>■ из,

1 <п<к

/ > (/(п)(0))пеи, не имеет ЛНПО.

В §3.4 рассматриваются пространства Фреше без непрерывной нормы. Справедлива

Теорема 3.4.1 Пусть Е — пространство Фреше. Следующие утвер-оюдения равносильны: Существует последовательность Айдельхай-та в Е' такая, что моментный оператор имеет ЛНПО; (¡1) В Е

не существует непрерывной нормы.

В §3.5 мы применяем результаты §§3.2-3.3 к оператору сужения всех функций, аналитических в открытом множестве (7 С С, и их производных на дискретную последовательность в й. Пусть А{С) — пространство Фреше всех аналитических в С функций. Как обычно, последовательность гп £ называется дискретным подмножеством С7, если УК <= (7 3N £ Ш Уп > N гп 0 К. (Символ К (= С означает, что К — компактное подмножество С.) Последовательность (гп,тп)пеП, где ( ~п)п: 'I дискретное подмножество ('. а ш„ 6 К, называется кратным многообразием в й.

Пусть (гп,тп)пек — кратное многообразие в С. Введем оператор сужения Я : А(С) со, Я(/) = (/^Н^тОЭпем, 0<А;<т„-.1. Имеет место

Теорема 3.5.3 Пусть С — открытое подмножество <С, {гп, тп)пец — кратное многообразие в С. ЛНПО к В, существует тогда и только тогда, когда С имеет бесконечное число компонент связности и каждая компонента связности множества (7 содержит не более конечного числа точек гп, п е N.

Теорема 3.5.3 применяется к описанию замкнутых дополняемых идеалов в А{С!). Основной результат §3.0 содержится в теореме З.С.1. Пусть Z(I) — множество нулей идеала I.

Теорема 3.6.1 Пусть й — область в С. Замкнутый собственный идеал I топологически дополняем в пространстве А(С1) тогда и только тогда, когда мпоэ/ссство Z(I) конечно.

В §3.7 этот результат применен к задаче о ЛНПО к оператору свертки в пространстве целых функций экспоненциального типа. С. Г. Мерзляко-вым 0 доказано, что оператор свертки, действующий в пространстве [1,(т) всех целых в С функций экспоненциального типа меньше а (0 < а < со) имеет ЛНПО тогда и только тогда, когда его аналитический символ в круге Дг := {г € С : \г\ < а} имеет не более конечного числа нулей. Отметим, что [1, ет) топологически изоморфно (посредством преобразования Лапласа) сильному сопряженному к пространству А(Оа). В этом параграфе аналогичный результат получен для пространства целых функций экспоненциального типа Ра, изоморфного (с помощью преобразования Лапласа р) сильному сопряженному к пространству Л(С7) уже для произвольной одно-

связной области С С С. Пусть в : А{С1) -> А(С)" — канонический изоморфизм, Т : P¿ -> Л(С)" — сопряженное к Т : Л((?)' -> Рс отображение, тогда х : в'1 о Т' — линейный топологический изоморфизм Р^ на Л(С). Для 5 6 P¿ определим оператор свертки 5* : Ра Р<з следующим образом: 5 * Р(,г) := + и;)), г е С, Р £ Рс. Функция называется аналитическим символом оператора 51*. Справедлива

Теорема 3.7.1 Пусть Б е P¿\ {0}. Оператор свертки Б* : Ра -»■ Рз имеет ЛНПО тогда и только тогда, когда функция х{3) имеет в С не более конечного числа нулей.

При доказательстве применяется теория двойственности, сводящая задачу о существовании ЛНПО к оператору свертки в Ра к проблеме дополняемости соответствующего замкнутого идеала в Л(С?), решенной в §3.0.

В §3.8 мы доказываем условия существования ЛНПО к моментному оператору Я : С°°(П) -»• ш, / н-> где — последовательность Ай-дсльхайта в С°°(П)' (П — открытое подмножество Ж^) в терминах носителей функционалов ] € N.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Мелихову Сергею Николаевичу за постановку задач, ценные советы и постоянное внимание к работе.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Иванова О. А. О правых обратных, определяемых последовательностями Айдельхайта // Современные методы теории краевых задач. Материалы весенней математической школы "Понтрягинские чтения — XX" , Воронеж: ВГУ. - 2009. - С. 70-71.

[2| Иванова О. А. О проблеме моментов в пространстве Фрешс без непрерывной нормы // Математический анализ и математическое моделирование. Труды международной конференции молодых ученых, Владикавказ. - 2010. - С. 94-95.

[3] Иванова О. А. Об операторе сужения на индуктивных пределах весовых пространствах целых функций // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки. - 2011. - № 5. - С. 1519.

[4] Иванова О. А. Об операторе сужения на весовых пространствах целых функций, определяемых уточненным порядком // Комплексный анализ и дифференциальные уравнения. Сборник тезисов VI Уфимской международной конференции, Уфа. - 2011. - С. 74-75.

[5| Иванова О. А., Мелихов С. Н. Левый обратный к оператору сужения на весовых (¿^-пространствах целых функций // „Комплексный анализ.

Теория операторов. Математическое моделирование". Владикавказ, изд-во ВНЦ РАН и PCO-А. - 200G. - С. 35-47.

[G] Иванова О. А., Мелихов С. Н. О дополняемости собственных замкнутых идеалов в пространстве аналитических функций // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова, Ростов-на-Дону. - 2008. - С. 109.

[7] Иванова О. А., Мелихов С. Н. О представлении аналитических функций рядами из квазимономов // „Исследования по современному анализу и математическому моделированию". Владикавказ, изд-во ВНЦ РАН и РСО-А. - 2008. - С. 30-37.

[8] Иванова О. А., Мелихов С. Н. О последовательностях Айдельхайта для пространств Фреше без непрерывной нормы // Современные методы теории краевых задач. Материалы весенней математической школы "Понтрягинские чтения - XXI Воронеж: ВГУ. - 2010. - С. 100-101.

[9] Иванова О. А., Мелихов С. Н. О правых обратных, определяемых последовательностями Айдельхайта // Владикавк. Мат. Журн. - 2010. - Т.12, вып. 2. - С. 24-30.

[10] Иванова О. А., Мелихов С. Н. О непрерывной линейной зависимости решения проблемы моментов от правой части // Современные проблемы математики и её приложения в естественных науках и информационных технологиях. Сб. тезисов междунар. конф. - Харьков: "Апостроф". - 2011. - С. 101-102.

[11] Иванова О. А., Мелихов С. И. О линейной непрерывной зависимости решения проблемы моментов от правой части // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы Воронежской зимней математической школы, Воронеж: ВГУ. - 2011. - С. 151-152.

[12] Иванова О. А., Мелихов С. Н. Замечание о правом обратном к оператору свертки в пространстве целых функций экспоненциального типа // „Исследования по математическому анализу и дифференциальным уравнениям". Владикавказ, изд-во ВНЦ РАН и РСО-А. - 2011. - С. 127-129.

[13] Иванова О. А., Мелихов С. Н. О коэффициентах рядов по функциям Миттаг-Леффлера для аналитических функций // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки. -2012. - № С. - С. 21 26.

[14] Мелихов С. Н., Иванова О. А. О левом обратном к оператору сужения на некотором весовом пространстве целых функций // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова. - Ростов-на-Дону. - 2004. - С. 129.

Сдано в набор 15.08.2013. Подписано в печать 15.08.2013. Формат 60x84 1/16. Цифровая печать. Усл. печ. л. 1,0. Бумага офсетная. Тираж 110 экз. Заказ 1508/01.

Отпечатано в ЗАО «Центр универсальной полиграфии» 340006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 140, телефон 8-918-570-30-30

www.copy61.ru e-mail: info@copy61.ru

южный федеральный университет

На правах рукописи

04201362072

Иванова Ольга Александровна

НЕПРЕРЫВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАТНЫЕ К ОПЕРАТОРАМ СУЖЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРОИЗВОДНЫХ

01.01.01. — вещественный, комплексный и функциональный

анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физ.-мат. наук, доцент С. Н. Мелихов

Ростов-на-Дону, 2013

Оглавление

Введение 4

1 ЛНЛО к оператору сужения на весовых пространствах целых функций 24

1.1 Специальные семейства плюрисубгармонических функций 24

1.2 Критерий существования ЛНЛО к оператору сужения . . 38

1.3 Пример функции IV, для которой ЛНЛО не существует . . 49

1.4 Оператор сужения на весовых пространствах целых функций, определяемых уточненным порядком ......... 52

1.5 Применения к представлениям рядами экспонент и оператору свертки.......................... 58

1.6 О коэффициентах рядов по функциям Миттаг-Леффлера

для аналитических функций................. 61

2 О представлении аналитических функций рядами из квазимономов 79

2.1 Критерии существования и формула для Л НПО к оператору представления ...................... 79

2.2 Критерии для оператора сужения .............. 96

3 ЛНПО к оператору сужения на функциональных пространствах 100

3.1 Основные определения и понятия ..............100

3.2 Условия существования ЛНПО к моментному оператору . 102

3.3 Достаточное условие того, что моментный оператор не имеет ЛНПО ............................106

3.4 О последовательностях Айдсльхайта для пространств Фре-

ше без непрерывной нормы..................108

3.5 Применение к оператору сужения функций из .... 110

3.6 О дополняемых идеалах в пространстве аналитических функций.............................113

3.7 Применение к задаче о ЛНПО к оператору свертки в пространстве целых функций экспоненциального типа.....115

3.8 Применение к оператору сужения функций из . . . 117

Литература 123

Введение

Актуальность темы. В настоящей работе решается проблема, которую в общей ситуации можно сформулировать следующим образом. Пусть Е и ^ — локально выпуклые пространства; Т : Е —>• Р — линейный непрерывный оператор. При каких условиях существует линейный непрерывный правый обратный (коротко: ЛНПО) или линейный непрерывный левый обратный (коротко: ЛНЛО) к оператору Т?

Задача о нахождении ЛНПО и ЛНЛО для бесконечномерных локально выпуклых пространств индивидуальна и ее решение зависит от свойств конкретного оператора. Для различных классов пространств Е и .Р (бесконечно дифференцируемых, голоморфных функций, распределений, пространств последовательностей) и операторов Т (дифференциальных операторов в частных производных, операторов свертки, представления рядами экспонент и их обобщений, продолжения бесконечно дифференцируемых функций) эта задача ставилась и решалась Л. Шварцем, А. Гротендиком, Б. С. Митягиным, Б. А. Тейлором, К. Швердтфегером, Р. Майзе, Д. Фогтом, Ю. Ф. Коробейником, М. Лангенбрухом, М. Тидтеном, У. Франкеном, 3. Моммом, X. Бонетом, С. Н. Мелиховым, А. В. Абаниным, Д. А. Абаниной и другими математиками.

Основным объектом изучения в данной работе является оператор сужения функций и их производных на дискретную последовательность точек. Он определен на некотором функциональном пространстве Е и отображает его в связанное с Е естественным образом пространство числовых последовательностей Р. С помощью теории двойственности к проблеме существования линейных непрерывных обратных к оператору сужения, например, сводится задача о существовании ЛНПО к оператору представления элементов различных функциональных пространств рядами экспонент или их обобщений. Опишем коротко историю задачи о существовании ЛНПО к оператору представления аналитических функ-

ций рядами экспонент. Пусть С — произвольная ограниченная выпуклая область в С; А{С) — пространство Фреше всех аналитических в С функций. В середине 60-х годов прошлого века А. ф. Леонтьев доказал, что существует последовательность комплексных чисел (А^)^^, |А^| ^ +оо, такая, что любую аналитическую в С функцию / можно разложить

оо

в ряд /(г) = £ с,-еА'"г, абсолютно сходящийся в А(С) (к /). При з=1

этом 3 Е Ш, — простые нули специальной целой функции Ь экспоненциального типа с сопряженной диаграммой О {О — замыкание С в С). В

связи с неединственностью разложения функций / Е А(С) в ряды вида

00

/(г) = ^ с^е^2 возникает задача о линейном и непрерывном способе 3=1

определения коэффициентов Отметим, что А. Ф. Леонтьев указал

00

способ вычисления коэффициентов с^ представлений /(г) = ^ с3ех^

3=1

для функций /, аналитических на С. Но этот способ неприменим ко всем функциям / Е А{С). Результаты А. Ф. Леонтьева о разложениях в ряды экспонент побудили Ю. Ф. Коробейника к построению теории представляющих систем. Если ввести пространство Фреше числовых последовательностей

оо

Ах := |с = (с^еи : ^^ сз^У абсолютно сходится в А(С) |

3=1

и оператор представления

оо

ША^^С), (П(с))(г)

3=1

то проблема коэффициентов трансформируется в сформулированную Ю. Ф. Коробейником задачу: когда сюръективный оператор П : А^ —У А(С) имеет ЛНПО, т. е. существует линейный непрерывный оператор Р : А{С) К\ такой, что П о Р(/) = /, / Е Л(С)? Для показателей (А^ем, являющихся нулями специальной целой функции, она была решена Ю. Ф. Коробейником и С. Н. Мелиховым [23].

Известно [13], что сильное сопряженное к А (С) пространство можно отождествить с некоторым пространством целых функций экспоненциального типа Е, а сильное сопряженное с Л1 пространство — с некоторым

пространством числовых последовательностей К^. Тогда оператором, сопряженным к оператору П, будет оператор сужения R : Е —К^, R(f) := {f(\j))jen, линейно и непрерывно отображающий Е в К^. Так как пространства A(G) и Ai — рефлексивные пространства Фре-ше, то оператор П имеет ЛНПО тогда и только тогда, когда оператор R имеет JIHJIO, т. е. когда существует линейный непрерывный оператор х : Еж Е такой, что я о R(f) = f, f Е Е. Итак, с помощью теории двойственности задача о ЛНПО к оператору представления сводится к задаче о существовании ЛНЛО к оператору сужения на последовательность соответствующих показателей рядов экспонент, определенному на счетном индуктивном пределе весовых банаховых пространств целых функций.

Общие результаты о ЛНЛО к оператору сужения на весовых (LB)-пространствах целых функций были получены С. Н. Мелиховым [33]. В настоящей диссертации для (ЬБ)-пространств целых функций, задаваемых радиальными весами с естественными ограничениями, получены аналитические реализации (в терминах внутренних свойств весов) абстрактных условий из [33]. Полученные результаты применены также к (£5)-пространствам в нерадиальном случае, а именно, к пространствам целых функций, рост которых определяется уточненным порядком. Отмеченные выше результаты Ю. Ф. Коробейника и С. Н. Мелихова [23] перенесены на случай р-выпуклой области (р > 0).

В работе [32] был доказан критерий существования ЛНПО к оператору представления рядами из квазиполиномов функций, аналитических в ограниченной выпуклой области. Данная задача решена нами для оператора представления рядами из квазимономов.

Если оператор сужения задан на счетном индуктивном пределе банаховых пространств целых функций с ограничениями на их рост, то область его значений содержится в некотором (¿.^-пространстве последовательностей, рост которых также определяется исходными весами. Если же он задан на пространстве всех функций, аналитических в открытом множестве G С С, и функции и их производные сужаются на дискретное подмножество G, то областью его значений является уже пространство всех последовательностей ш. В связи с этим возникает задача о наличии ЛНПО к такому оператору сужения. При ее решении привлекается теория последовательностей Айдельхайта в сопряженном

к пространствам Фреше, и упомянутая выше проблема трансформируется в задачу о наличии ЛНПО у моментного оператора, задаваемого последовательностью Айдельхайта.

По-видимому, первым в этом направлении является результат Б. С. Митягина о том, что оператор „вычисления" производных бесконечно дифференцируемых функций на отрезке [—1,1] не имеет ЛНПО [37]. Косвенным образом к данному направлению примыкают результаты польских математиков Ролевича, Бессаги, Пелчинского [71], [53] о дополняемых подпространствах пространств Фреше, изоморфных пространству и. В работе приводятся критерии и (отдельно) достаточные условия того, что моментный оператор имеет или не имеет ЛНПО. Полученные результаты применяются к замкнутым дополняемым идеалам в пространстве А((7), где С? — область в С, а также к задаче о ЛНПО к оператору свертки, действующему в пространстве целых функций экспоненциального типа. Ранее в работе [36] задача о существовании ЛНПО к оператору свертки решалась для пространства [1 ,а) всех целых в С функций экспоненциального типа меньше а Е (0,+оо], изоморфного сопряженному к пространству функций, аналитических в круге Дг := {г £ С : < сг}. В диссертации аналогичный результат получен для пространства целых функций, изоморфного сильному сопряженному к пространству А{Сг) уже для произвольной односвязной области С С С. Отметим, что задача о существовании ЛНПО к оператору свертки в пространствах голоморфных функций решалась ранее в работах К. Швердфегера [72], Б. А. Тейлора [73], 3. Момма [67], Ю. Ф. Коробейника [17], [23], [18], С. Н. Мелихова [35], [64], М. Лангенбруха [61] (см. соответствующий обзор в [20, глава 3]).

Цели работы:

• Установить условия наличия линейного непрерывного левого обратного к оператору сужения, определенному на (¿¿^-пространстве целых функций, заданном радиальными весами.

• Доказать условия существования линейного непрерывного левого обратного к оператору сужения на весовом (¿¿^-пространстве целых функций, рост которых определяется уточненным порядком.

• Доказать критерии существования линейного непрерывного правого

обратного к оператору представления аналитических в р-выпуклой области функций рядами по функциям Миттаг-Леффлера.

• Получить критерии наличия линейного непрерывного правого обратного к оператору представления рядами из квазимономов функций, аналитических в ограниченной выпуклой области в С.

• Доказать критерии существования линейного непрерывного правого обратного к моментному оператору, определяемому последовательностью Айдельхайта в сопряженном к пространству Фреше. Применить их к описанию дополняемых идеалов в пространствах аналитических функций, оператору свертки в пространствах целых функций экспоненциального типа, оператору сужения бесконечно дифференцируемых функций и их производных на дискретную последовательность.

Методы исследования. В диссертационной работе используются методы функционального и комплексного анализа, теории целых функций вполне регулярного роста, субгармонических функций, конформных отображений, структурной теории пространств Фреше.

Научная новизна и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми, носят теоретический характер и могут найти применения к решению операторных уравнений, уравнений свертки в пространствах аналитических и бесконечно дифференцируемых функций, в теории абсолютно представляющих систем, в задаче Коши для аналитических функций. Они могут быть использованы специалистами, работающими в ЮФУ, Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, Южном математическом институте ВНЦ РАН и РСО-А, Московском, Башкирском университетах, национальном исследовательском ядерном университете „МИФИ", а также в других ведущих российских и зарубежных научных центрах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на научном семинаре по анализу ЮФУ под руководством Ю. Ф. Коробейника и А. В. Абанина, на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова в Абрау-Дюрсо (2004, 2008 гг.), на Международной конференции "Теория операторов,

комплексный анализ и математическое моделирование" в Волгодонске (2007, 2009, 2011 гг.), на Международной конференции "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования" во Владикавказе (2008, 2010 гг.), на Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач"(2009, 2011 гг.), на Международной конференции молодых ученых "Математический анализ и математическое моделирование" во Владикавказе (2009, 2010 гг.), на Уфимской международной конференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения "(2011 г.).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в [79]-[92]. В совместных с научным руководителем публикациях [83]—[92] С. Н. Мелихову принадлежит постановка задач и указание метода исследования, а автору диссертации — проведение исследования и доказательство результатов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы и списка литературы, содержащего 92 наименования. Определения, теоремы, следствия, леммы и замечания имеют свою независимую нумерацию, содержащую номер главы, параграфа и результата. Общий объем диссертации — 131 страница машинописного текста.

Обзор главы 1.

В первой части данной главы решается задача о существовании JIH-JIO к оператору сужения на нулевое множество специальной целой функции, определенному на счетном индуктивном пределе Е весовых банаховых пространств целых функций, задаваемых радиальными весами.

Рассматривается следующая ситуация. Пусть Wn := (1 — l/n)W, п > 1, где функция W удовлетворяет следующим условиям:

(Wl) W непрерывна и возрастает на [0,+оо); W(x) > 0, х G [0, +оо);

(W2) Функция Y := W о ехр непрерывно дифференцируема и выпукла

Y(x)

на [0, +оо), lim -= +оо;

ж-4+oo х

(W3) lim, = 1;

х—»+оо

(W4) limsupi^ = pE(0,+oo).

In X

x—>+oo

Положим W(z) := VF(|z|), z E С. Зафиксируем к > 0. Далее L — специальная целая функция, рост которой определяется функциями Wn, п Е N, следующим образом:

(LI) Vn ЗС > 0 : \L{z)\ < Сехр((1 + 1/п + k)W{z)), z е С;

(L2) Существует последовательность контуров s Е N, содержащих внутри себя 0, такая, что

Къ)

rs := inf \t\ —> +00, s —> 00; sup —— < +00;

r3

Vm E N inf inf \L{z)\e-{1-1/m+K)w{z) > 0,

seN 7S

где ¿(7s) — длина контура s E N.

(L3) (A;)jGn — последовательность всех (различных) пулей функции L, причем |Л_у| < |AJ+i|, j Е N, каждый из нулей Xj простой и

Vm Е N inf |L/(A7)|e~(1_1/TO+K^A^ > 0.

Введем теперь весовое (ЬВ)-пространство Е целых функций и соот-ветствуютций последовательности (А„)пек оператор сужения R, определенный на пространстве Е. Для п Е N определим весовые банаховы пространства целых функций

Еп := {/ Е А(С)| H/IU := sup \f(z)\exp(-Wn(z)) < +00}

z<EC

и положим Е := ind Еп. Введем ассоциированные пространства числовых последовательностей:

Коо,п '■— \с = {cj)jeN Е Сп I \с\п := sup \cj\ ехр(-И^(А_,)) < +оо),

>

Коо := ind АГэо,п-

При этом А(С) обозначает пространство всех целых в С функций.

На Е зададим оператор сужения R(f) := (/(A;))jgn, линейно и непрерывно отображающий Е в К00.

Основным результатом данной главы является

Теорема 1.2.1 Пусть функция Ш удовлетворяет условиям ("\А/1) — (\¥4); к, > 0; функция Ь удовлетворяет условиям, (Ь1) — (ЬЗ); у = У. Следующее условия равносильны:

1) Оператор Я : Е —» К^ имеет ЛНЛО.

2) Выполняются утвероюдсиия а) и Ь):

a) к > 0,

b) ЗС > 1 : 2у о У-1^) <у о У~1(а) для больших £ > 0.

При доказательстве теоремы 1.2.1 были использованы общие результаты С. Н. Мелихова [33] о существовании ЛНЛО к оператору сужения на нулевое множество некоторой специальной функции Ь, сводящие решаемую задачу к проблеме существования двух специальных семейств субгармонических функций, удовлетворяющим равномерным локальным оценкам снизу и глобальным — сверху. Одно из них связано с индуктивной последовательностью (1 — 1/п)\¥, п е М, а другое — с проективной последовательностью (1 + 1 /п)]^, п € N. Условия существования таких семейств для индуктивной последовательности были доказаны М. Лангенбрухом [60]. Соответствующие условия для проективной последовательности установлены в теореме 1.1.4. Отметим, что в §1.1 получен ряд вспомогательных результатов о существовании семейств, связанных с проективной последовательностью. Они имеют и самостоятельное значение: подобные семейства применяются в задачах о существовании ЛНПО к оператору представления рядами экспонент, к оператору свертки в пространствах аналитических функций (см., например, [66], [63], [33], [35], [34]), о расщепляемости д-комплексов на весовых пространствах интегрируемых функций (¿Лкомплексах) [60].

Пусть функция ТУ удовлетворяет условиям ("\/У1) — (\У4). Тогда, как показано А. Ф. Леонтьевым [27], существует уточненный порядок р{г) —)■ р такой, что Ш(х) < хр^х\ х > 0, и существует последовательность (жп)т1ем Т +оо, для которой выполняются равенства УУ(хп) = ХпХ"^, пеМ. Следовательно, функции УУ{х) = хр^ являются (в описанном смысле) наибольшими, удовлетворяющими условиям (\У1) — (\¥4). Справедливо следующее

Следствие 1.2.1 Пусть W{x) := хр^х\ где р(х) — уточненный порядок для порядка р > О, функция L удовлетворяет условиям (Ll) — (L3). Соответствующий оператор суо/сения R : Е —» К^ имеет JIHJIO тогда и только тогда, когда к > 0.

Ранее следствие 1.2.1 было доказано в [33] дл