Спектральные и фредгольмовы свойства линейных операторов в банаховых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

белорусский государственный университет

■ Р Г Б ОД

ДК 517.984 1 О ЯР 1906

Еровенко Валерий Александрович

СПЕКТРАЛЬНЫЕ И ФРЕДГОЛЬМОВЫ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.01-математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Минск-1695

Работа выполнена на кафедре функционального анализа Белорусского государственного университета.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профеосор доктор физико-математических наук, профессор доктор физико-математических наук, професоор

Забрепко П.П.

Лянце В.Э. Слисарчук В.Е.

Оппонирующая организация - Международный математический центр имени Стефана Банаха Математического института Польской Академии Наук.

Защита оостоится "1" " января 1996 г. в 10 часов на заседании Совета по защите диссертаций Д 02.01.07 при Белорусском государственном университете по адресу: 220050. Минок. пр.Ф.Скорины, 4, БГУ» главный корпус.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белорусского государственного университета.

Автореферат разослан декабря 1995 г.

Ученый оекретарь совета по защите диссертаций д.Ф.-м.н., профессор

В.)!.Корзюк

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации. Диссертационная работа посвящена современной математической проблеме спектрального анализа -теории существенных спектров ограниченных и замкнутых линейных операторов. В ней изучается структура спектра и существенных спектров, определяемых различными фредгольмовыми свойствами операторов. Эта проблема имеет фундаментальный характер, поскольку ее решение, с одной стороны, позволяет получить качественные характеристики существенных спектров конкретных классов линейных операторов, а с другой стороны, указывает на алгоритмы и точные Формулы нахождения спектра и существенных спектров этих операторов.

Почти во всякой физической задаче, которую можно сформулировать с помощь» линейных операторов, объектом основного Физического интереса служи? спектр рассматриваемого оператора. Достаточным подтверждением этого служит использование термина спектр как в физическом, так и в математическом смысле. В последние десятилетия в опектральной теории операторов активно изучаются подмножества спектра, называемые существенными спектрами. Это связано с определенными свойствами существенных спектров, полезными для приложений. В первую, очередь, это относится к различным видам устойчивости и их полной ■ вычислимости для некоторых дифференциальных и интегральных операторов. Рассматриваемые в диссертации задачи относятся к спектральной теории нееамосопряженных операторов, которая находится в стадии становления. Сложность и своеобразность таких математических задач состоит в отсутствии общих эффективных методов' их решения. Даже ранее применявшиеся методы оказываются непригодными для исследования таких операторов. Поэтому, дальнейшая разработка вопросов спектральной теории несамосопряженных операторов остается актуальной темой математических исследований. Различные вопросы спектральной теории операторов рассматривались в работах А.Б.Анто-невича, Ю.М.Березанского, А.А.Дезина, Г.Миолина, В.А.Ильина, А.Г.Кос-тюченко, В.Э.Лянце и в работах зарубежных авторов Я.Земанека, М.Ист-хэма, Х.Конвея, А.Тейлора, Л.Фиалкова, П.Халмоша, В.Эванса и других.

Спектр тесно связан о понятием обратимости и определяется сравнением оператора о единичным умножением на скаляр. Осл бляя условия обратимости оператора мы приходим к понятиям нормально разрешимых, полуфредгольмовых (полунетеровых), Фредгольмовых (не-теровых) операторов. Интересные результаты по абстрактной теории

фредгольмовых операторов в банаховых пространствах были получены в работах С.М.Никольского (1943) и Ф.Аткинсона (1951). Существенный прогресо в развитии этой теории был достигнут благодаря фундаментальным работам И.Ц.Гохберга - М.Г.Крейна (1957) и Т.Като (1958).

С нормальной разрешимостью, полуфредгольмовостью, фредгольмо-востью и др. связаны различные существенные спектры. Впервые название "существенный спектр" появилось в работе (Hartman P., Vintner А. Ашег. J. Math. 1950, V.72, Р.545-552). Ф.Хартман и А.Уитнер изучали существенный спектр обыкновенных самосопряженных дифференциальных операторов второго порядка. Современное состояние теории существенных спектров, как самостоятельного направления, во многом определилось благодаря работам Г.Рота (1958', Ф.Вольфа (1959), Ф.Бра-удера (1961), М.Шехтера (1971) по дифференциальным операторам и Л.Кобурна (1966), С.Берберяна (1969), К.ГуотаФсона (1972), К.Оберея (1974) по ограниченным линейным операторам. Непосредственно к этому актуальному направлению спектральной теории операторов относится настоящая работа. В диссертации подробно рассмотрены традиционные проблемы теории, обобщенные для новых классов линейных операторов. Кроме того, проведено систематическое исследование всех существенных спектров различных классов обыкновенных дифференциальных операторов, которое позволило получить новые результаты в спектральной теории возмущенных операторов.

Связь работы о научными программами, темами. Диссертационная работа - часть выполненой на кафедре функционального анализа БГУ темы "Операторные уравнения в Функциональных пространствах" (1986-1990, Планы АН СССР и АН БССР, План Минвуза СССР, N 01860060981) и темы "Дифференциальные и операторные уравнения в топологических векторных пространствах" (1991-1995, План АН Беларуси, Республиканская программа в области математики, N 01910055396).

Цель и задачи исследования. Целью диссертации является модификация ранее известных методов исследования и их дальнейшее развитие для решения задач, связанных о проблемами спектральной теории операторов. В приложениях к дифференциальным операторам цель работы состоит в развитиии такого подхода в теории существенных спектров, который позволяет решить новые задачи спектральной, теории.

Научная новизна полученных результатов. В работе найден новый подход к некоторым традиционным проблемам спектральной теории, использующий всестороннее рассмотрение всех существенных спектров.

Получены неулучшаемые результаты, связанные о классической теоремой Вейля для самосопряженных операторов, в которой утверждается» что существенный спектр оператора состоит из всех точек спектра за исключением собственных значений конечной геометрической кратности. Теорема Вейля о существенном спектре доказана для новых классов несамосопряженных линейных операторов. Эти теоремы обобщают известный результат Кобурна для гипонормальных операторов на квазигипонормальные и другие класса операторов.

Решена обобщенная задача Оберея о существенном опектре для аналитических Функций от ограниченных операторов. А именно, доказано, что теорема Вейля выполняется для аналитических Функций от кзазигипонормальных операторов. А также получены необходимые и достаточные условия выполнимости теоремы Вейля для аналитических Функций от операторов, удовлетворяющих этой теореме.

Доказаны теоремы о совпадении спектров и существенных спектров квазиподобных операторов, дающие ответ на вопросы Клэри, и теоремы о непрерывности спектра и существенных спектров для специальных классов ограниченных линейных операторов.

Получены теоремы о совпадении существенных спектров для различных классов несамосопряженных обыкновенных дифференциальных операторов о достаточно гладкими коэффициентами в шкале Лебеговых пространств на полуоси Ьр(а,«), -«<а<*о*

Найдены явные Формулы для точного вычисления воех существенных спектров для различных обыкновенных дифференциальных операторов о постоянными коэффициентами, дифференциальных операторов Эйлера в банаховых пространствах Ьр для воех р, и для ограниченных операторов Чезаро в банаховых пространствах и Ьр, 1<р^оо.

Используя эти результаты доказаны новые теоремы об инвариантности существенных спектров при различных возмущениях оператора, обобщающие классическую теорему Вейля, и показана их эффективность в вычислении существенных спектров и спектра обыкновенных дифференциальных операторов с почти постоянными коэффициентами и других классов линейных дифференциальных операторов.

Практическая значимость полученных результатов. Работа имеет теоретическое значение. Спектральная теория органически связана о задачами математической Физики, из которой она возникла. Теорья существенных спектров служит местом концентрации методов и идей различных разделов современной математики. Полученные в диссертации результаты в дальнейшем могут быть попользованы в общей теории ли-

нейных операторов и применены к решению конкретных задач теории дифференциальных уравнений.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту. Развиваемое направление в спектральной и фредгольмовой теории операторов опирается на следующие основные результаты автора:

1. Получены обобщения классической теоремы Вейля о существенном спектре на новые специальные классы линейных операторов, являющиеся исчерпывающими для рассматриваемых операторов. Даны ответы на аналогичные вопросы для аналитических Функций от некоторых кла-ооов ограниченных линейных операторов в банаховых пространствах,

2. Решены известные задачи теории суиес .-венных спектров, связанные с совпадением существенных спектров и спектра квазиподобных операторов и различными вопросами непрерывности спектра и существенных спектров ограниченных линейных операторов.

3. Впервые в максимальной общности найдены точные Формулы и выявлены общие закономерности для всех существенных спектров различных классов обыкновенных дифференциальных операторов в широкой шкале Лебеговых пространств. Это позволило доказать новые теоремы об инвариантности существенных спектров для этих дифференциальных операторов, обобщающие классическую теорему Вейля.

Личный вклад соискателя. Все приведенные в диссертации основные результаты получены соискателем самостоятельно.

Аппробация результатов диссертации. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Республиканских конференциях математиков Беларуси (1980 и 1992 - Гродно), на Всесоюзных школах по теории операторов в функциональных пространствах (1978 и 1982 -Минск, 1983 - Рига, 1984 - Тернополь, 1986 - Челябинск, 1987 - Тамбов, 1990 - Ульяновск), на научном семинаре по спектральной теории операторов МГУ под рук. проф. А.Г.Костюченко (1983), на конференциях "Понтрягинские чтения" (1990 - Кемерово, 1994 - Воронеж), на конференции "Еругинские чтения" (1995 - Гродно), на научных семинарах по Функциональному анализу БГУ под рук. проф. Я.В.Радыно (1980-1995) и на Международной конференции "Функциональный анализ и уравнения с чаотными_ производными", посвященной памяти Н.И.Бриша- (1994-Минск).

Опубликованносгь результатов. По теме диссертации автором опубликовано 40 работ. Основные результаты диссертации содержатся в статьях автора [1-15], приведенных в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав с аннотациями, содержащих по шесть разделов, и списка литературы, Общий объем работы - 183 страницы. Список литературы содержит 308 наименований.

Основное содержание

Во введении дана краткая характеристика того направления исследований, к которому относится настоящая работа, и сформулированы основные результаты диссертации.

Первая глава носит вспомогательный и базисный характер. В ней излагаются необходимые в дальнейшем понятия и Факты из общей спектральной и Фредгольмовой теории линейных операторов в банаховых пространствах. В математической литературе встречаются различные классификации точек и подмнохеотв спектра. Это связано о потребностями в спектральной теории, привлекаемой к решению соответствующих задач. Все эти классификации либо, в том или ином омыоле, отражают различные свойства оператора, не имеющего ограниченного обратного, либо связаны о определенными свойствами устойчивости подм-ножестй спектра, например» при возмущениях, при отображениях и т.д. В первой главе впервые предпринята попытка оравнить различные подходы к классификации точек спектра. Наряду о извеотными Фактами в ней описаны спектральные свойства этих подмножеств при переходе к сопряженному оператору, при расширении и сужении оператора, при отображении спектров и для прямой суммы операторов. Формулируя некоторые результаты мы сохраняем нумерацию утверждений дисоертации.

В разделе 1.1 для операторов, наиболее часто встречающихся в иллюстративных примерах и контрпримерах, а именно операторов левого и правого одностороннего сдвига в 1° для всех р, üpigo, вычислены подмножества первичной классификации точек спектра, включающей точечный непрерывный <гл, остаточный сг_ спектры (см. Пример 1.4).

Р v Г

В разделе 1.2 исследуется тонкая структура спектра в терминах состояний Тейлора-Халберга оператора и его оопряженного. Согласно этой классификации различаются следующие возможности для области значений R(T> и обратного Т"1 линейного оператора Г: X X, где X - нормированное пространство: I. R(T)=X; II. KCTVX, но Е(Т)=Х; III. ЙТ) *Х: Ii Т"1 существует и ограничен; 2. Т"1 существует и неограничен; 3. Г1 не сущеотвует. Состоянием оператора Т называется комбинация римских и арабских чисел этой классификации, например, о (Т):=

=<\«C: T-\I«3>'. В разделе 1.3 рассматривается обобщенная классификация точек спектра по Халмошу. Она включает аппроксимативно точечный спектр сг._(Т):=<Х«С:оуиеотвует последовательность (х_)сХ такая,

ор II

что. 1ХП»=1 и lim Id-Mjx^oy = <\«С: T-\IO, дефектный спектр сг^Т>:=<\*С: E(T-?J)*X> = Т-\1«Ш> и аппроксимативно дефектный спектр cra<1CT>R(T-XI)*X> = <Х*0: Т-\1*»1>.'

Замечание i.ie Для ограниченного линейного оператора Т, действующего на комплексном банаховом пространстве X, Т«В(Х), справедлив<? следующее включение для границы спектра «7(T)saap(T)ncracj(T).

Теорема i.s Пусть Т«В(Х), где X - комплексное банахово пространство. Тогда для сопряженного оператора Т и спектров <7р, о^, <?ар, crad справедливы следующие равенства и включения

0p(T')=crd(T). сгр(Т)^(Т). crap(T')=crad(T>. <rap(T)=(?ad(T'). Кроме того, если пространство X - рефлексивное, то <гр(Т)=сг^(Т ).

Раздел 1.4 посвящен алгебраической классификации точек спектра, использующей левые и правые (топологические) делители нуля, и ее связи о первичной классификацией точек спектра, тонкой отруктурой спектра и классификацией по Халмошу для ограниченных линейных операторов в банаховом и гильбертовом пространствах. Оператор Т«В(Х) называется левым (.правым) делителем нуля, если найдется оператор A« В(Х), А*0, такой, что ТА=0 (АТ=0>. Множество всех левых (правых) делителей нуля обозначается D^ (Df). Оператор Т«В(Х) называется левым i правым) топологическим делителем нуля, если найдется последовательность операторов (Ап)еВ(Х) такая, что иАпв=1 и ТАп-»0 (АпТ-«0). Множество левых (правых) топологических делителей нуля обозначается Z^ (соответственно, Zr).

Следствие i.e • Пусть >Т«В(Ю, где X - комплексное банахово пространство. Тогда

<7р(Т> = <\*С: Т-М « Dj>, cd(T) = T-\I * Df>. сгар(Т) = Т-\1 « Z^, о (d(T) = Т-М в Zr>.

Множество комплексных чисел таких, что T-XI не имеет левого (правого) обратного в В(Х) называется левым сг, „Аправым a .

left ^^ right

спектром оператора Т>Б(Х). Справедливо включение сг„(Т)а7, „,(Т) и

OP t

aad(T)£crright(T). а для с ераторов, определенных на. гильбертовом

пространстве Н, -выполняется равенство. В частности, если Т«В(Н) -

нормальный оператор, то a(T)=or (T)=cr. j(T)=cr, ,ЛТ)=о . . .(Т).

ар afl left right

Спектральные свойства ограниченных операторов изучаются в разделе 1,5, в том числе, теоремы об отображении спектров, спектры су-

жения, расширения и прямой суммы операторов. В нем оодержитоя спектральный анализ операторов, использующий подъем и спуск Тейлора, это соответвенно, аас(Т):=т1п<п>0:ЖТп)=ЖТги1». ¿е8<Т):=тш{т;>0:К(Тт)= =К(ТП1*1». и минимальный модуль Като, определяемый следующим образом Т> :=1 гтГ< к Тх»/<1( х»ЖТ>): х«В(Т). х*Я(Т)>'. Эти понятия и факты из общей теории линейных операторов необходимы в дальнейшем при решении задач теории существенных спектров. Обозначим через А(с(Т)) семейство всех Функций комплексной переменной, кусочно аналитических на спектре о(Т) оператора Т«В(Х>.

Теорема 1.0 Пусть Т«В(Х), где X - комплексное банахово пространство, и {еА(аСТ)). Тогда

ко т) е <7р(гст)>. г(аа(Т)> 5 о6тт)).

Г(<7ар(Т)> £ *ар(ГСТ)>' Г(ое<5(Т)) 5 °а#(Т))' Если ц« ар(1ХТ)) (соответственно, с^СКТ)). сгвр(Г(Т». о^ЧП'П))

и ни на одной компоненте спектра сКТ), го существует о№С(Т)

такое, что й ос«сгр(Т). (соответственно, авсг^СТ), сгар(Т), сг^СТ»,

г.л, в случае, верны обратные включения.

Теорема 1.13 Пусть Т«В(Х) и замкнутые подпространства Хх, Ха комплексного банахова пространства X приводят оператор Т.' Тогда сгр(Т) « сгр(Т|Х1> у сгр(Т|Ха), ога(Т) - <г<3(Т|Х1) и <7^Т|Х2>.

^аЛ'У у сг*р(Т|Ха)' аа№ ' и

Замкнутый линейный оператор Г«С(Х>, где X - банахово пространство, называется полуфредгольмовым, еоли ИТ) замкнута и пи1(Т):= = <Лт<х«КТ): Тх=0> или ¿еКТ):» <1МХ/КТ)) конечен. Множество всех таких операторов обозначается через 8-Ф(Х>. Множество воех полуфре-дгольмовых операторов Т о пиКТХ» (соответственно, <1еГ(ТХ«с) обозначается через Ф+(Х) (Ф~(Х)). Замкнутый линейный оператор Т«С(Х) называется Фредгольмсвым. еоли КТ) замкнута и обе характеристики ш1(Т) и <М(Т) конечны. Множество всех таких операторов обозначается через Ф(Х), а их индекс равен 1П<3(Т) = пи1(Т)-<Зе1ЧТ). В разделе 1.6 рассмотрены различные базовые фредгольмовы и полуфредголь-мовы свойства замкнутых линейных операторов в банаховом пространстве, используемые при исследовании существенных опектров, которым посвящены следующие главы.

Содержательное наполнение и развитие любой новой теории связано о решением задач, поставленных плодотворно работающими в этой разделе математики авторами. Во второй главе получены ответы на вопросы, связанные о нерешенными задачами теории существенных спект-

ров, изучавшимися в работах Г.Зейля, Л.Кобурна, К.Оберея, С.Клэнси. Результаты этих авторов обобщены на более широкие классы ограниченных линейных операторов. Для этого пришлось воспользоваться новыми методами, отличными от применяемых этими авторами. Отметим, что в классической, по постановке, задаче Вейля о существенном спектре удалось получить для соответствующих классов линейных операторов предельные результаты, т.е. не улучшаемые, по крайней мере, для известных классов ограниченных операторов.

.Пусть X - комплексное банахово пространство и Т - замкнутый линейный оператор в X, Т«С(Ю. Рассмотрим следующие подмножества комплексной плоскости С: ,

д^Т):» ЙТ-М>1УТ-\1)>, Ф+(Т):= -и^СТ): пиКТ-МХяУ.

Ф~(Т>:« <\«д1(Т): <1еКТ-МХасУ, д2(Т):= Ф+(Т)иФ~(Т)=е-Ф(Т>,

Дд(Т):= Ф+(Т)пФ~(Т)=Ф(Т). д4(Т):= -С^СГ): 1жКТ-М>«0У»Фо<Т>.

Дд(Т);= <Х«д4(Т): проколотая окрестность точки X лежит в <?(Т)>.

Подмножество комплексной плоскооти д1(Т) называется областью нормальной разрешимости оператора Т, соответственно, дв(Т)=8-Ф(Т)-областью полуфрздгольновости оператора Т. д3<Т)=Ф(Т) - область» <Ьредгольмовости оператора Т. д4(Т)=Ф0(Т) - областью ¡Ьоедгопьновости нулевого индекса, оператора Т. Каждое из следующих подмножеств спектра. сг(Т):= СЧрСГ),

сгек(Т):= С\дк(Т>. к=1.2,3,4,5, с£г<Т>:= С\Ф+(Т) и сг~г<Т):= С\Ф"(Т),

называется существенным спектром оператора Т. Для этих спектров приняты следующие названия: <?е1(Т)- существенный спектр Голдберга, сгег(Т)- существенный спектр Каю, с*г(Т)~ существенный спектр Вольфа, <7ез(Т)- существенный спектр Фредгольма, <7е4(Т)~ существенный спектр Вейля (существенный спектр Шехтера) и сг „(Т)- суще-

со

ственный спектр Браудера. Очевидно, что существенные спектры удовлетворяют следующим включениям:

0е1(Т> с ®е2(Т) с <4(Т) с ^ > с сГе4<Т) с "ез(Т> с С,(Т)-В разделе 2.1 сформулированы основные свойства наиболее ^асто

встречающихся в приложениях семи существенных спектров и на примерах и контрпримерах показаны их различия,

Примеры операторов, -.лектр и существенные спектры которых точно вычисляются в различных банаховых пространствах, важны по многим причинам. Одна из которых - это возможность проверить некоторые полезные предположения или закономерности, которые трудно прослеживаются в общей постановке. В разделе 2.2 для трех ограни-

ченных операторов Чезаро, определенных на банаховых пространствах lp, LP(0,1), Lp(0,no), для обозначаемых, соответственно, С0, Сг,

С , и задаваемых следующим образом:

С0х(п) := CL/ín+i)] х(к)- п=о.1.г.....

Cj'xd) := (1/t) íl x(s)ds и Cx(t) := (1/t) J* x(s>ds. вычислены все существенные спектры.

Теорема гл Для существенных спектров дискретного оператора Чезаро С0(р):=С0, определенного на банаховом пространстве lp, i<ps<n,

°ei(co> = °е2(Со) = <7ег<со) = с'ез(Со) = 1 =а/2>.

cre4(C0) = cre5(C0) - aiС0) = <\*С: |X-q/2|sa/2>,

где Q=p/(p-i) для 1<р<то и а=1 для р=оа Для точек лежащих внутри

круга <\еС: I 1 <с/2У. оператор CQ-\I фредгольмов и ind(C0-\I)=-l.

Теорема г.г Для существенных спектров оператора Чезаро С1 (р) = С^, определенного на банаховом пространстве LP(0,1). 1<рь'«я»

= ^«V- ^.г.з.4.9. aL(Ci] = cfea(Co) н *(Ci> = Для точек X. лежащих внутри круга I Л.-а/21 оператор Сх-

-XI Фредгольмов и indCCj—Х1)=1_.

Т«орема г.з Для существенных спектров оператора Чезаро СХр) = С . определенного на банаховом пространстве Lp(0,®), i<pí«v

el то es та да

В разделе 2.3 доказана справедливость теоремы Вейля о существенном спектре для различных классов ограниченных линейных операторов. Следуя Берберяну, обозначим через пг00(Т)=п^ога(Т) - множество изолированных собственнах значений конечной геометрической кратности, т.е. (XnuHT-MXm для Х--я00(Т). Используя обозначение Гу-стэфсонз, обозначим символом гг^9(Т) множество изолированных собственных значений конечной алгебраической кратности, т.е. \«rr**9(T) если спектральный проектор Р^, соответствующий изолированной точке спектра \«сг(Т), имеет конечный ранг.

В 1909 г. Г.Вейль (Weyl H. Rend. Cire. Mat. Palermo. 1909, V.27, P.373-392) исследовал поведение спектра оператора Т при возмущении компактными операторами и доказал, что еоли Т«В(Н) и самосопряжен, то для него справедливо равенство с(Т>\гг00СТ) = гг<<?(Т+К): К - ком-пактныйУ. Для существенного спектра Вейля сг^СТ):=<?е4(Т) опер-тора Т«С(Х> выполняется равенство <?ew<Т) = п <<7(Т+Ю: К - компактный), поэтому, классический результат Вейля для самосопряженных и нормальных операторов Т можно записать в виде <rewCT) = cf(T)\fr00(T). Сле-

дуя Кобурну, говорят, что теорема Вейля выполняется для оператора. Т, если для него справедливо равенство

cr€w(T) = сгСТЛл^Т), (1)

т.е. когда существенный спектр Вейля c?ew(T) оператора Т - это вое точки спектра сг(Т) за исключением изолированных собственных значений конечной геометрической кратности,

П.Халмоа в своей книге ("Гильбертово пространство в задачах", М.: Мир. 1970, с. 106) пишет: "Чтобы распространить удачную теорию, естественно слегка ослабить некоторые ее предположения, надеясь, что ослабление результатов тот будет небольшим". Рассмотрим некоторые классы операторов, обобщающих понятие нормальности. Оператор Т«Б(Н), где Н - гильбертово' пространство, н^ывается квазинормальным, если Т(Т*Т)=(Т*Т)Т; гипонормальным, если Т*Т-ТТ*20, что эквивалентно «Т*хб & «Тхи для всех х«Н; паранормальным, если iTx»2 s аТгхи• »хн для всех х«Н; нормалоидным, если r(T)=nTii.

Начиная о пионерской работы (Coburn L.A. Michigan Math. J. 1966. V.13, P.285-288), в которой было'доказано равенство (1) для гипонор-мальных операторов и операторов Теплица, теорема Вейля изучалаоь многими авторами. Однако, известно не так уж много конкретных классов операторов для которых доказана справедливость теоремы Вейля. Кроме упомянутой работы Кобурна, теорема Вейля о существенном опе-ктре доказана, например, для спектральных операторов конечного типа и для паранормальных операторов.

Теорему Вейля можно обобщить на другие классы операторов. Оператор Т«В(Н) называется квазигипонормальным, если iT*Tx«siiT2xii для

ь

всех х«Н; к-паранормальным или оператором класса (N,k), если нТхяз

к !е-1

£»Т xit • itxil для всех х«Н, где квазигипонормальным порядка к, если «^^xisiT3^! для всех х«Н, где к>1. Для этих и определенных выше классов операторов справедливы включения -Сквазинормаль-ные> с <гипонормальные> с <квазигипонормальные>" с <паранормальные>' с {k-паранормальныеУ <= -(норма лоидны<_>' и {квазинормальныеУ с <ква-зигипонормальные порядка к>. Включения для всех классов операторов являются собственными. Основные результаты этого раздела содержатся в следующих теоремах.

Теорема г.в Если Т квазиптонормальный оператор порядка к, определенный на комплексном гильбертовом пространстве Н, Т«В(Н), то для него выполняется теорема Вейля о существенном спектре.

Теорема гло Если Т - к-паранормальный оператор, определенный на комплексном гильбертовом пространстве Н, Т^В(Н), то для не-

го справедлива теорема Вейля о существенно» спектре, т.е.

Получены наиболее общие утверждения о теореме Вейля для описанных классов операторов, так как в работе (Gustafson К. Miohi-gan Hath. J. 1972. V.19, P.71-81) на контрпримере показано, что для нормалоидных и конвексоидных операторов теорема Вейля не выполняется. Доказательства» для рассматриваемых в этом разделе операторов, существенно отличаются от известных ранее, т.е. хотя основные Формулировки обобщаются на более широкие классы операторов, методы их доказательства, по сущеотву, новые.

Отметим связь теоремы Вейля оо следующей характеристикой существенного спектра Браудера сг д(Т) для оператора Т«€(Х), который можно представить в виде с^СТ) = <7(Т)\я^э(Т).

Замечание г. 17 Пусть Т«С(Х). где Х- комплексное банахово пространство, тогда включение <т(Т)\сг„ЛТ)егг (Т) эквивалентно равен-

cW w

сгву с?еу(Т) = <7е^(Т). а включение rr^CDctfCDNcr^CD эквивалентно равенству гг00(Т) =

В работе (Obérai K.K. Illinois J. Math. 1977, V.21, P.84-90) сформулирован вопрос: "Существует ли гипонормальмый оператор Т такой, что теорема Вейля не выполняется для Т2 ?". Ответ на этот вопрос отрицательный, так как Т2 - паранормальный оператор, как квадрат паранормального оператора, хотя он, вообще говоря, и не гипонорма-льный. Вопрос Х.Оберея можно обобщить следующим образом: "Для ка-кюс операторов Т, удовлетворяющих, теореме Вейля, эта теорема выполняется и для операторов f(T>, где f - аналитическая на спектре Функция ?". В разделе 2.4 дается ответ на этот вопрос для класса квазигипонормальных операторов и даны соответствующие необходимые и достаточные условия для общих классов линейных операторов.

Теорема г.14 Пусть для оператора Т«В(Х), где X - комплексное банахово пространство, выполняется теорема Вейля. Оператор f(T>« В(Х), где f«A(c(T)) такая аналитическая Функция, что fiWConst ни на одной компоненте спектра ст(Т), удовлетворяет теореме Вейля тогда и только тогда, когда f(<?ew(T»=<7ev/f(T» и п00ШT»=rr^9(f(T».

Отметим, что в общем олучае георема об отображении существенного спектра Вейля не верна (Замечание 2.23). Для изолоидных операторов» т.е. таких, у которых изолированные точки спектра ail) являются собственными значениями оператора Т, в следующей теореме решена задача из работы (Isuchi К„ Izuchi Y. Rep. Fac. Eng. Kanagawa

Univ. 1980. n18, P.l-3), уточняющая предыдущую теорему.

Теорема b.is Пусть Т«В(Ю, где X - комплексное банахова пространство, и f«ACcr<T>) такая аналитическая Функция, что f(X)*Const ни на одной компоненте спектра сг(Т). Если оператор Т - толоидный и удовлетворяет теореме Вейля, т.е. <?е¥(Т)=с'(Т)\я00(Т), то для того, чтобы для оператора f(T)«B(X) выполнялась теорема Вейля необходимо и достаточно справедливости равенства f(<rew(T))=<rew(f(T)).

Ha контрпримере (Замечание 2.29) можно показать, что условие Т - .изолоидный оператор" в этой теореме существенно. Для некоторых классов операторов, удовлетворяющих теореме Вейля, она переносится и на аналитические функции от этих операторов.

Теорема але Пусть Т«В(Н), где Н - комплексное гильбертово пространство, и f«A(cr(T» - аналитическая функция такая, что f(\)f Const ни на одной компоненте спектра <i(T). Если Т- квазигипонормос льный оператор, то тогда для Функции от оператора f(T) выполняется теорема Вейля сг^СКТ» = <7(f(T))\rr00(f<T)).

Из того, что Т - квазигипонормальный оператор, вообще говоря, в отличие от гипонормального оператора, не следует, что Т-М, квазигипонормален, что создает определенные трудности в доказательстве. Более того, оператор Т гипонормален тогда и только тогда, когда для всех \еС оператор Т-М квазигипонормален (Замечание 2.24).

В разделе 2.5 изучаются вопросы о совпадении существенных

спектров подобных и квазиподобных операторов. Понятие "подобие"

одно из основных в теории матриц. Оно естественно распространяется

на линейные ограниченные операторы. Операторы Т. «В(Х,) и Т «В(Х„)

11 а а

называются подобными, Т^ Та, если существует такой обратимый оператор Р«В(Х1,Х2>, нто РТГ = Т2Р,

Теорема г.17 Пусть У.х и Х2 - комплексные банаховы пространства. Для существенных спектров подобных операторов Т^ВО^) и Т£« B(Xg), Т^ Т£, справедливы равенства

°ek(Ti) = ^=1 ,г,з,4,0, и с^Су - <4(Т£).

Если попытаться найти для некоторых довольно широких классов операторов модель, более или менее, напоминающую классическую каноническую Форму, то, как заметил Б.СекеФальви-Надь, окажется, что подобие не всегда бывает полезным. Его роль в случае бесконечномерных пространств играет более слабое чем подобие понятие - квазиподобие, которое в конечномерном случае совпадает с ним. Оператор У^ВШ^Ц), где Н, ,Н„- гильбертовы пространства, называется квазиобратным, если

он инъективен, N(Y)=<0):, и имеет плотную область значений, У(Н1)=Н2, Операторы T^BŒj) и Т2«В(Н2) называются квазиподобными, Tt~ Т2, если существуют квазиобратные операторы X^BCHg,^) и Y«B(H1,Hg) такие, что справедливы равенства Т1Х=ХТ2 и УТг =TaY.

Вообще говоря, квазиподобие, в отличие от подобия, не сохраняет спектр и существенные спектры. Хотя, если T,S«B(H), T~S, то тогда пересечение спектров не пусто, tf(T)ntf(S)*0 (Следствие 2.16). В работе (Hoover T.B. Illinois J. Math. 1972, V.16, P.678-686) построен пример двух квазиподобных операторов взвешенного сдвига А и В таких, что <7(А)=<Х«С: IMil> и сКВМОУ. Известно, что пересечение существенных спектров Фредгольма, cfef:=c,e3» двух квазиподобных операторов не пусто. Так в примере Гувера <7е^(А)=сКА) и ,<ге^(В)=а<В>.

Основные результаты этого раздела связаны о решением глубоких задач, поставленных в работе (Clary S. Proo. Amer. Math. Zoo. 1975, V.53, P.88-90). Так на сформулированный там вопроо: "Совпадает ли спектг'' у квазиподобных паранормальных операторов?' дан положительный ответ для класса квазигипонормальных операторов.

Теорема гло Если квазиподобные операторы T,SeB(H), T~S, где H - комплексное гильбертово пространство, квазигипонормальные, то их спектры совпадают, cr(T)=<7(S).

Другой вопрос С.Клэри сформулировал так: "Равны ли существенные спектры у квазиподобных гипонормальньгх операторов?" Для существенных спектров Вейля дан положительный ответ.

Теорема г.го Пусть Н- комплексное сепарабельное гильбертово пространство. Если T.S^BCH) - квазиподобные квазигипонормальные операторы, то их существенные спектры Вейля равны, <7.,,(T)=^„(S).

GW "W

Хорошо известен пример Хакутани последовательности нильпотен-тных операторов, спектр которых состоит только из нуля, и которая сходится по норме к оператору, спектр которого заполняет единичный круг. Этот пример показывает, что спектр <?(•), как функция ограниченного оператора, имеет точки разрыва. Раздел 2.6 посвящен исследованию непрерывности спектра, существенных спектров и связанным с этим вопросам. Первые результаты по непрерывности спектра были получены в работе (Newburgh J.D. Duke Math. J. 1951, V.18, P.165--176). Ньюбэр доказал, что если последовательность операторов (Тп) сходится к Т в В(Н) и для всех z&oCFJ найдется вещественное число К>0 такое, что ll(Tn-sD_1 lliK-r((Tn-zI)~*>, Vn, го <?(Tn)- о(Т). В частности, это справедливо для операторов Тп, удовлетворяющих условию роста (Gj), т.е. n(T -M)-1li < l/d(\,cr(Tn)), ÂetfiT^, что эквивалент-

Ы

но тому, что оператор (Tn-XD~x нормалоидный для всех \*?а(Тп), и(Тп -XI)-1« = гКТд-М)"1). Аналогичный результат справедлив и для ква-зигипонормальных операторов. Заметим, что. хотя <гипонормальные> с ■(класса (G1>>, классы квазигипонормальных операторов и операторов класса (G^ не связаны собственными включениями.

Теорема г.21 Пусть ТП,Т«В(Н), где Н - комплексное гильбертово пространство. Если последовательность квазигипонормальных операторов (Тп) сходится к оператору Г, Тп Т, то сг(Тп) - сг(Т),

Эту теорему можно обобщить на существенно квазигипонормаль-ные операторы для существенных спектров Фредгольма (Теорема 2.22) и для существенных спектров;Вейля (Следствие 2.23).

Значительный прогреос в исследовании поведения спектров и существенных спектров операторов при малых возмущениях достигнут благодаря работам Конвея-Моррела (Conway J,В., Morrel В,В. Proo. Roy. Irish. Acad. 1981, V.81A, Р.55-63). Они нашли достаточные условия непрерывности спектра о и существенных спектров "сгег, аез и cre4=c/ew ограниченных операторов, определенных на банаховом пространстве, являющиеся необходимыми в сепарабельных гильбертовых пространствах, которые описываются в терминах Фредгольмовой структуры точек спектра и расположения компонент.спектра. Так например, спектральная Функция о непрерывна в операторе Чезаро C0«B(lp), 1<р<®, и операторе Чезаро С «B(LP(0,1)), 1<р£ю. В следующей теореме получен критерий непрерывности существенного спектра Браудера ^i/^o'eg-

Теорема г.ез Пусть X - комплексное банахово пространство и оператор Т«В(Х). Если ое^(Т)=<7еу(Т) и существенный спектр Вейля cew непрерывен в Т, .го тогда существенный спектр Браудера. о^ непрерывен в Т, а если X - сепарабельное комплексное гильбертово прострет-, нство, то верно обратное утверждение.

Отметим, что если Н - комплексное сепарабельное гильбертово пространство, то из непрерывности о в ТеВ(Н) следует равенство <7ew(T)=<7eb(T) (Лемма 2.36). Однако, на контрпримере можно показать, что из непрерывности <?ew в Т£В(Н), вообще говоря, не следует, что .of (Т)-«г ЬСТ> (Замечание 2,38). Кроме того, из непрерывности а^ в Т«В(Н) следует непрерывность а в Т, хотя обратное не верно (Замечание 2.39), Используя критерии непрерывности о и с*еЬ можно получить новое утверждение о теореме Вейля.

Теорема 2.2-4 Пусть Н - комплексное сепарабельное гильбертово пространство I пусть спектр а или существенщй спектр Браудера

непрерывны в операторе Т«В(Н). Тогда оператор Т удовлетворяет теореме Вейля, cfew(T)=a(T)\fr00(T), в том и только том случае, если выполняется одно из следующих условий:

1. область значения RCT-M) замкнута для всех k^n^d),

2. минимальный модуль у(.Т-Х1)>0 для любого Х^п^СГ),

3. минимальный модуль yCT-XI) разрывен в каждом X^rt^CD,

4. спуск desCT-XlXro для каждого \«гг00(Т).

Теорему Вейля можно обобщить на другие существенные спектры следующим образом. Следуя Густафсону, говорят, что теорема Вейля выполняется для существенного спектра а^. оператора Т. еоли сге^(Т)= = cf(T)\fr00(T). Соответствующие критерии для существенного спектра Фредгольма <7ер=стез и существенного спектра Като ces-f:=cre2 получены в следующей теореме.

Теорема г.гэ Пусть X - комплексное банахово пространство.

Для того, чтобы оператор Т«В(X) удовлетворяя теореме Вейля для существенного спектра Фредгольма необходимо и достаточно, чтобы выполнялось любое из следующих двух условий:

I. минимальный модь'ль КТ-л1> разрывен в каждом Х«сг(Т)пФ(Т),

II. справедливо вклююние сг(Т)пФ(Т) 2 öct(T),

и чтобы выполнялось одно из условий 1-4 теоремы 2.24.

Для того, чтобы оператор Т«В(Х) удовлетворял теореме Вейля для существенного спектра Като <?es_f необходимо и достаточно, чтобы выполнялось любое из следующих двух условий;

III. Т-М имеет конечный подъем и спуск для каждого к^с(Т)ов-Ф(Т},

IV. справедливо включение а(Т)пе-Ф(Т) s oail),

и чтобы выполнялось одно из условий 1-4 теоремы 2.24.

Определенный итог в изучении существенного спектра самосопряженных обыкновенных дифференциальных операторов подведен в монографии (MUller-Pfeiffer Е. Spectral theory of ordinary differential operators. N.Y.: Jonh Wiley & Sons. 1981). В третьей главе впервые, в такой общей постановке, точно вычисляются и исследуются зсе существенные спектры конкретных классов несамосопряженных обыкновенных дифференциальных операторов во всех банаховых пространствах Lp(a,in) для любого р. 1£р£<*> и любого а, -да£а<то. * На примерах различных классов обыкновенных дифференциальных операторов демонстрируются возможности применяемого автором метода исследования, состоящего в систематическом изучении одновременно всех существенных спектров в различных шкалах банаховых пространств. Этот метод поз-

воляет использовать все полезные свойства различных существенных спектров. Максимальная общность в исследовании достигается как за очет всестороннего рассмотрения всех соответствующих дифференциальных операторов, от минимального до максимального, так и за очет изменения Лебеговых пространств, зависящих от показателя суммируемоо-ти р и от интервала изменения независимой переменной. Такой подход позволил явно найти эффективные формулы для нахождения всех существенных спектров конкретных классов дифференциальных операторов, в том числе возмущенных. Эти результаты используются для доказательства новых теорем об инвариантности существенных спектров, обобщающих классическую теорему Вейля (из упоминавшейся работы 1909 г.), а именно, равенство c?ew(A+B)=dew(A) для самосопряяенного оператора А, возмущенного самосопряя&нным компактным оператором В.

Рассмотрим Формальную дифференциальную операцию

т := ak(t)1)k> (2> где D:=d/dt и коэффициенты э^ - комплекснозначные функции вещественной переменной на 1с(-<в,*<п), такие, что а^С^Ш, o<k<n, an(t)*0. l/a^L^I). Пусть AClo(_(I) - множество комплекснозначных функций абсолютно непрерывных на каждом компактном подинтервале из I.

Максимальный опера.тор Т(т,р,1), соответствующий т,р и I, задается на банаховом пространстве LP(I) для 1£р£я> следующим образом: ИТСт.р.1)] := <f: f^^AC^Ü), f,TfeLp(I)> и Т(т.рД)Г := тГ для f^DCT(r,p,I)]. Обозначим через Тг(т,р,1> сужение максимального оператора Т(т,р,1) на множество Функций f из D[T(r,p,I)], имеющих компактный носитель в intl. Минимальный оператор Т0(т,р,1), соответствующий т,р и I. задается как минимальное замкнутое расширение оператора Тг(т,р,1) для lipC», т.е. Т0(т,р,1) := Тг(т,р,1), и определяется через банаховый сопряженный Т(т*,р'.1> для 1<р^<я, т.е. Т^(т,р,1>:= =Т (т ,р',1), где т - Формально сопряженное к т (2) дифференциальное выражение вида r*g:= (-D^D^a^Dg).

В разделе 3.1 выявлены общие свойства существенных спектров минимальных, максимальных и "промежуточных" обыкновенных дифференциальных операторов о достаточно гладкими коэффициентами в банаховых пространствах Lp(a,<n), i<p<<», и доказана их независимость от граничной точки полуоси а, -<»<a<w. Основные результаты этого раздела содержатся в следующих двух теоремах, которые обобщают соответствующие! результаты, полученные для гильбертова пространства в работе (Evsns V.D., Levis R.T.. Zettl A. Leot. Notes Math. 1983, N1032. P.123-160). Эти теоремы являются базовыми для всей главы.

Теорема э.1 Пусть 5(т,р,[а,ооС>>. -«КаС«* замкнутый линейный дифференциальный оператор, определенный в банаховом пространстве 1р(а. <п), являющийся расширением минимального Т0(т,р,са.®:>) и сужени-

ем максимального Т(г,р.са.<»:>) операторов, Т0(т,р,са,теэ) с 5(г,р.са.<яэ) с с Т(т,р,га,<л?). Тогда существенные спектры е^СЗСт.р.га,«?)], к=»1,з,з, <?|2[8(т.р,са,та>)] совпадает,

сге1[$(т,рла,сто)] = <7ед[$(т.р,са,<*о)]. и, крот того, для к=1,г,э

сгек[Т0(т,р.са,<хо)] = <гекС5(т.р,са,«о)] = сгек[Т(т.рла.ао)].

с^2СТ0<т.р,(а,<п))] = ог|г[б( т,р.са,«о)] = <7*2[Т(т,р,са.«э>]. Для существенных спектров Вейля и Браудера минимального и максимального операторов в Ьр(а,го), 1<р<со, справедливы равенства СТ0<т,р,[а,<п)>] = сг[Т0(т,р,са,<яэ)], к«4,з, <ге1<[Т(г,р,са,ссо>] = (?[Т<г,р.[а,ою)]. к=4,з. Кроме того, если Т0<т,р,са,го>) * БСт.рда.тоэ) * Т(т,р,са,«о) и существенные спект,. . Вейля этих операторов не заполняют все С, го тогда <ге4[Т0(т,р,са.<яэ)] * сге4[3(т,р.са,<о)] * ав4[Т(г,р,(а.«о)].

Вторая теорема об инвариантности существенных опектров относительно сдвига полуоси используется в дальнейшем для нахождения спектров различных дифференциальных операторов. Для иооледования оуще-отвенных спектров в ней применяется аналог принципа расщепления И.М. Глазмана для дифференциальных операторов в банаховых пространствах.

Теорема з.г Пусть 8(г,р„са„<вЭ>, -от<а<<л, замкнутый линейный дифференциальный оператор, определенный в банаховом пространстве Ьр(а,<»>, 1<р<оч, такой, что Т0(т,рла,«5) с БСт.р.са.осО) с Т(г,р,са.а£>), и пусть 5(т.р,сЬ,«о> - замкнутый линейный оператор, определенный аналогично для любого Тогда для существенных спектров о^

к=1,г,з, и операторов 5(т,р.га,о£>) и 5(т,р,сЬ,о0) имеем сгек[й(т.р,[а,со)] = сге1<[5(т,рдЬ.®о)]. к=1,г,з, сг|а[8(т.р,[а,та))] = сг|2[5(Т.Р,СЬ.со))]. А для существенного спектра Ве йля минимального и максимального операторов справедливы следующие равенства

<?е4 СТ0(г,р,[а,<хо)] = сге4СТ0(т.р,сЬ,<яэ)3, (?е4[Т(т,р,[а,соо)] = <7е4[Т(т„р, tb.ro>)]. *

Основной результат раздела 3.2 содержится в теореме, в которой найдены точные Формулы для всех существенных спектров обыкновенных дифференциальных операторов, порожденных дифференциальной операцией т (2) с постоянными коэффициентами в банаховых пространствах

Lp(a,«) для всех p. isp&b и любой граничной точки полуоси а,-*л<а<сь

Теорема эл Пусть Sir.p.ta.ao). -<и<а<аь замкнутый линейный дифференциальный оператор, определенный в LD(a.oo), i<ps®, являющиеся продолжением минимального Т0(т,р,са,<л>) и сужением максимального Т(т.рла,оп>> операторов о постоянными коэффициентами. Тогда существенные спектры v-независимы и вычисляется по формулам

crekCS(T;p,ca,«o)] = <7*2[S(T,p.ia,«o)3 = <Р(\): Re\=0}, к=1,г.з, а для существенных спектров G^, k=4,s, и спектра а минимального и максимального операторов справедливы равенства

«7екСТ0(т.р.1а,«э)] = сг[То(т,р,са.«0)] = <Р(Х): Re\*0>, к-4дз. сгек[Т(т.р.са.<«э)] = сг[Х(т,р,са.<*о)] = <Р(\): Re\<0>, k=4,s, где Р - полином, определенный по Формуле P(t>:= a^t^.

Так например, если r:=Dn=<<I/<it>п, то тогда оущеотвенный спектр Фредгольма <7еэ дифференциального оператора S(Dn,p,ta,«o), для всех р, таких, что i£p£<o. и любого а, -«<а<«, явно вычисляется, в завиои-мооти от п, следующим образом <?„,[S(Dn,p,ta,«o)]= lm\=0. Re\^0> для n=(X mod 4), = <ЛС: Re\=0> для n=i<mod 2), « <Л«С: 1пЛ=0, КеЛ<0> для n=2(mod 4) (Замечание 3,6),

Классический метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений Эйлера, задаваемых формальной дифференциальной операцией

. w:=^0aktkDk, (3)

где ак - комплексные чиола, э^О и D:=d/dt, соотоит в сведении этого уравнения к дифференциальному уравнению о постоянными коэФФици ентами. В разделе 3.3 подобная процедура, о использованием соответствующего изометрического преобразования, применяется для нахождения существенных спектров дифференциальных операторов Эйлера, порожденных ы (3), в банаховых пространствах lAa,®), i£ps<», о<а<®.

Теорема э.9 Для минимального T0(w,p,ca,oo>> и максимального Т(ш,р,са,«о) дифференциальных операторов Эйлера, порожденных в банаховом пространстве LAa.ro), o<a<«i, ispsw. Формальной дифференциальной операцией о (3) и замкнутого дифференциального оператора S(w,p,ca,«o) такого, что T0(w,p,ta,«o) «= S(w,p,ta,oo3) <= T(w,p,ta,ao), существенные спектры р-зависимы и вычисляются по формулам

<7ek[S(u,p,ta,oD)] = cr^gCSiw.p.ca,®))] = <Q(\): ReX=0>, k=i,г,э, creki.T0(w,p,ca,«3)] « c[T0<u.p.[a,eo)] = <Q(\): Rе\*0>. k=4,s, crekCT(w,p,[a.ooa)] = a[T(w,p.ca.<a>>] = <Q(\): ReX<0>. k=4,s. • где Q - полинс-M, задаваемый равенством

C(t):= aQ + E^j. ak П^ tt-((l/p)+j)]. (4)

В отличие or обыкновенных дифференциальных операторов о постоянными коэффициентами, существенные спектры дифференциальных операторов Эйлера не являются р-независимыми. Например, для простейшего олучая w:=tD=t(d/dt) существенный спектр Фредгольма дифференциального оператора Эйлера S(tD,p,ca,co>) для каждого p. ispsco. и любого а, о<а<(о, совпадает о прямой, завиоящей от р. <r„[S(tD» p,ia.oü)j={-(l/p)+ir: -ог/гСюУ (Замечание 3.8).

В этом разделе получены также явные Формулы для нахождения спектра и существенных спектров дифференциальных операторов о постоянными коэффициентами и дифференциальных, операторов Эйлера о сингулярным левым концом и двумя сингулярными концами на интервале изменения переменной.

Теоремы о существенных спектрах дифференциальных операторов, доказанные в разделах 3.2 и 3.3, обобщают результаты Балолева-Гаме-лина и Голдберга. Отметим интересную работу (Balslev Е., Gamelin T.W. Pacific J. Ma*\ 1964, V.14, P.755-776), в которой исследуется существенный спектр Фредгольма. Полученные в этих* разделах результаты дают полную картину всех существенных спектров для рассмотреных дифференциальных операторов во всех Лебеговых пространствах.

В разделе 3.4 получены необходимые и достаточные условия относительной компактности возмущающих дифференциальных операторов, . при которых существенные спектры соответствующих дифференциальных операторов инвариантны. Обозначим через В(ър,(а,ад) (соответственно, . В^.рда.ио)) для -«<a<co, максимальный (минимальный) дифференциальный оператор, порожденный в Lp(a,<»>, isp<®» формальной дифференциальной операцией о переменными коэффициентами

П := ^ bk(t)Dk, (5)

где Ь^С^Га.да), oskincw. n<p?:=n-i для 1<р<® и 1крэ:=п-а для p=i.

Теорема з.е Максимальный оператор В(*?,р,са,<пэ) (.минимальный оператор В0(т?,р,са,<«>>)>, порожденный в Lp(a,w>, -™<a<w, i£p<<*>, дифференциальной операцией п (5), является Т( T.p.ta.wo)- компактным (соответственно, Т0(т,р,са,<*о)- компактным), где t - дифференциальная операция с постоянными коэффициентами, тогда и только тогда, когда ■ (а.то> и выполняются условия

lim IbbXt) lpdt = 0, osksnep). V (6)

s> 14

Кроме того, в этом случае для соответствующих максимальных и минимальных. дифференциальных операторов выполняется равенства T(r+i?,p»ta,aD) = Т(т,р,са,та)) + Bin.p.ta.co),

T0(r-t-i?,p,ta,ej?) = T0(r,p„ta,«ö) + BQ(i?.p,[a,®5).

Теорама остается верной, если вместо дифференциального выражения т о постоянными коэффициентами рассмотреть дифференциальное выражение т о переменными коэффициентами a^t), удовлетворяющими дополнительными условиями 1/ап, ajeL^e,«), osksn. (Замечание 3.9).

Пользуясь базовыми результатами раздела 3.1, Формулами для существенных спектров дифференциальных операторов о постоянными коэффициентами раздела 3.2 и общей теоремой об инвариантности существенных спектров плотно определенных замкнутых операторов при относительно компактных возмущениях, справедливой для и сг^» к=г,з,4. можно точно вычиолить существенные спектры относительно компактно возмущенных дифференциальных операторов.

Теврема з.а Пусть коэффициенты b^, oiksncp?, в дифференциальной операции с переменными коэффициентами т (5) удовлетворяет условиям (6) теоремы 3.8. Тогда для существенных спектров минимального Т0(т-и?.р.[а.«<о), максимального Т(т+т?,р,са,<юэ) операторов, где т (2) -дифференциальная операция с постоянными коэффициентами, и замкнутого линейного дифференциального оператора S(т+п,р,са,»о) такого, что Т0(т+гг,р.[а.ао) <= S(T+*},p.ta.«Q) <= ТСт+ч.Р.са.ао). определенных в банаховом пространстве Lp(a,<n), -®<а<«, 1ф<ось справедливы равенства

<7e)(;[S(r+i?,P,ca,«c))]=<r|2CS(T+'7,p,(a,fflü)]=<P(X): ReX=0>, k=i ,г,з,

сге1с[Т0(т+т}.р,[а,90)]=сг[Т0(г+-тг,Р.1а,во)]=-(Р^\): ReXäOy, к=4,з, <7ek[T(T+'}.P.ta,ao)]=ötT(T+'},p,[a,«o)]=<P(X): ReXüOb k=4,s, где P - полином соответствующий дифференциальной операции т.

Рассмотрим ситуацию, когда порядок возмущающей дифференциальной операции равен п, т.е. порядку невозмущенного дифференциального оператора. Пусть

• 1 := т + bn(t)Dn •»- bk(t)Dk, (7)

где т - Формальная дифференциальная операция с постоянными коэффициентами а^ (2), Ь^ « Ла,оо), к=од,...,асрз,п; псрэ := ri-i для i<p<« и пср> := n-a для p=i.

Теорема з.ю Пусть коэффициенты Ь^ в дифференциальной операции 1 (7) удовлетворяет условиям: bn, 1/( an+bn)«L®^а,«), lim J?+1|bb(t)|pdt = 0. k=o,i.....гкр>,п,

О 14

и пусть в дифференциальной операции т коэффициент 0^=0, когда p=i. Тогда для существенных спектров максимального Т(1.р,са.«о) и минимального TQ< 1,р,са,®5) дифференциальных операторов, порожденных дифференциал ?н<'*й операцией 1 в банаховом пространстве Lр(а,<»>, -™<а

С™, и замкнутого линейного дифференциального оператора S(l,

р,са,«о) такого, что Т0(1,р»са,®э) с S(l,p,ca,«j) с T(l.p,ta,«o), выполняются следующие равенства

<7ek[S(l,p,(a,oo)] = cr|aCS(l.p,ta,ao>] =» <Р(\): ReX-ОУ, к=1,2,з. aek[T0Cl,p,ta,<xi))] = crCT0(l,p,ta.«o)] = -(PCX): ReX>0>. к=4.з, <?ektT( 1,р,са,®)>]. = <7[Т(1,р.га,<яэ>3 = Шк): ReX<0>'. к=4,з, где Р - полином, соответствующий дифференциальной ог&рации т.

Для Формулировки соответствующего аналога этой теоремы в олу-чае возмущенных дифференциальных операторов Эйлера, рассмотрим Формальную дифференциальную операцию вида

г := и + Z^g3 bk<t)tkDk. (8)

где « - дифференциальная операция Эйлера (3), bk « сЧа,<л), о<а<«я, о<к<тсрэ; тсрэ:=п для 1<р<а> и т<рэ:=п-г для р=1.

Теорема з.и Пусть коэффициенты Ьк в дифференциальной операции г (3) у до отворяют условиям: b_, 1/( a_+bn) «ЬД а, то), b«L? (а,со),

п п п п 1 ос

lim J|s ^|bk(t)|pdt = 0, k=o,i.....тсрэ.

Тогда для максимального Т(г,р,са,<п5) и минимального TQ(г,р,са,®о) дифференциальных операторов, порожденных, возмущенной дифференциальной операцией Эйлера г в банаховом пространстве LpCa,oo), о<а<«* и замкнутого линейного дифференциального оператора S(r,p,ca, <вэ) такого, что T0(r,p,ta,«i>> с S(r,p,ca,o£>) <= Т(г.р,са,<я5), справедливы следующие равенства для существенных, спектров

се1<[5(г,р,сэ.®))] = S(r.p.ca,*£>)] =<Q(X): КеХ^ОУ, k=i ,г,з, <7ек[Т0(г»р,са.ш))] = ¿[Т0(г.рда,«э)] = <Q(\): Re\z0>. к=4,з. aekCT(r,p,ta,«>)] = a[T(r,p,ta,«o>] = <Q(X): ReX<0>'. к=4,з. где Q - полином определенный по Формуле (4).

Теоремы этого раздела обобщают результаты полученные в (Goldberg S. Unbounded linear operators. N.Y.: McGraw-Hill, 1966) для существенного спектра Голдберга и результаты Балолева-Гамелина.

В разделе 3.5 применяется другой подход к исследованию существенных спектров возмущенных дифференциальных операторов о почти постоянными коэффициентами, опирающийся на базовые результата раздела 3.1. Новый класс возмущений можно условно назвать "относительно малые на бесконечности". Это аналог метода расщепления для существенных спектров несамосопряженных операторов. Основы метода расщепления для самосопряженных операторов изложены в известной монографии Н.М.Глазмана. Этот метод позволяет для некоторых классов дифференциальных операторов игнорировать поведение коэффициентов

вне окрестностей особых точек, в том числе бесконечно удаленных.

Сформулируем, например, теорему о существенных спектрах дифференциальных операторов о относительно малыми возмущениями, порожденных Формальной дифференциальной операцией вида

ji т + bk(t)Dk = ^о (ak+bk(t))Dk, (9) где ак - комплексные числа и bk«C (а,<л), о^к^п.

Теорема злз Пусть для коэффициентов Ьк в дифференциальной операции м (9) 1/(а+br>, b^L^a,®), osk<n, b^L? (е,<я) и

Ii nW4i-l4 Л К ЮС

lim J^iMtt^dt = 0, Oiksru

5 '♦00 ö л

Тогда для существенных спектров минимального Т0(м.Р.са.а£>), максимального T(/J,p,ca,«>) дифференциальных операторов, порожденных в банаховом пространстве Lp(a,m>, -®<а<со, дифференциальной опе-

рацией V, и замкнутого линейного дифференциального оператора SCm.p. ia,«£>), являющегося расширением минимального и сужением максимально оператора, справедливы равенства

öektS(^,p,ta,<x£))] = cr|2[S(fJ,p,[a,«o)] = (Р(\>: ReX=0>, k=i£,3, <7ек[Т0(м,р,[а,»£.)] = <7[T0((J,p.[a,oo)] = <Р(Х): ReXüO*, k=4,s, crek[T(^.p,ca,.Bi)] = сг[Т(м,Рла,соэ>] = <P(X): ReXsO>, k=4,s, где P - полином, соответствующий т. P<t):= aktK

Аналогичным образом обобщается теорема о существенных спектрах для дифференциальных операторов Эйлера (Теорема 3.14), для дифференциальных операторов в 1Ла,™), если их можно представить как сопряженные к исследованным дифференциальным операторам в L1(a,oo), В разделе 3.6 доказывается существенность спектра самосопряженных дифференциальных операторов о периодическими коэффициентами высшего порядка. В этом разделе предложен новый подход к доказательству самосопряженности дифференциальных операторов о перио-. дическими коэффициентами четного порядка ' (Лемма 3,14 и 3.15). Для рассмотрения идейной части доказательства достаточно ограничиться четвертым порядком. Рассмотрим Формально самосопряженное дифференциальное выражение lf:= ljf+^f, lJf(x):=<s(x»rl[r(x)f' (х)3 и l2f(x):=<s(x)y"1i-(p(x)f'(x)>'+a(x)f(x)]. где е(х)>0, г(х»0. р(х> и <j(x)- вещественные периодические Функции периода 1; г(х), р(х> имеют непрерывные производные второго и первого порядков соответственно; s(x) и г(х) - непрерывные Функции. Основной результат этого раздела содержится в следующей теореме.

Теор'ма злз Максимальный дифференциальный оператор L, порожденный Финально самосопряженной дифференциальной операцией

0 периодическими коэффициентами blj +1а в гильбертовом пространстве с весом, L2(k,s(x)), самосопряжен и его существенный спектр, непрерывный спектр и спектр совпадает, <гф1Ш= ... =<?eg( L) =cfQ(L) =■<?(L).

Для доказательства самосопряженности L иопользуетоя общий результат абстрактной теории линейных операторов. А именно, показывается, что максимальный дифференциальный оператор Ц, порожденный является самосопряженным, а максимальный оператор Lg, порожденный 12, является Ц-ограниченным с относительной границей отрого меньше единицы.

В заключение, пользуясь возможностью, автор выражает глубокую благодарность проф. Я.В.Радано за поддержку и внимание к работе.

Выводы

Диссертация содержит новые научно обоснованные теоретические результаты в спектральной и фредгольмовой теории различных классов ограниченных и замкнутых линейных операторов, в банаховых пространствах. Совокупность полученных результатов позволила развить нал»

равление, опирающееся на комплексное исследование всех существенных спектров и дающее новый подход к решению ряда традиционных задач спектральной теории и их обобщений. Хорошие возможности такого подхода продемонстрированы в приложении к спектральным задачам некоторых классов обыкновенных дифференциальных операторов.

Основные работы автора по теме дисоерташи

1 Еровенко В.А. О непрерывном спектре возмущенного дифференциального оператора в Доклада АН БССР - 1978 - Т.22. Nil - С.965--966.

2 Еровенко В.А. О спектре возмущенного периодического дифференциального оператора четвертого порядка * Доклады АН БССР.-1980,- Т.24, N6 - С.485-438.

3 Еровенко В.А. О самосопряженности одного дифференциального оператора о периодическими коэффициентами и ДиФФеренц. уравнения- 1983.- Т.19, нЗ- С.380-387.

4 Еровенко В.А. Существенный спектр Вейля кв'азигипонормальных операторов порядка k t Доклады АН БССР,- 1984 - Т.28, n7.- С.592 -595.

5 Еровенко В.А. К вопросу Обераи о существенном спектре « Доклады АН БССР.- 1984.- Т.28, n!2.- С.1068-1071.

6 Еровенко В.А. 06 отображении существенного спектра Вейля » Доклады АН БССР.- 1985.- Т.29, Nil - 6969-971.

7 Еровенко В,А. 0 существенном спектре квазиподобных операторов » Доклады АН БССР- 1986.- Т.ЗО. n4- С.301-303.

8 ' Еровенко В.А, Теорема Вейля о существенном спектре для к-пара-

нормапьшх операторов » Известия АН БССР. Сер. Физ.-мат. наук-1986 - н5 - С.30-35.

9 Еровенко В.А. Непрерывность спектра некоторых классов операторов I Доклады АН БССР- 1986 - Т.30, к8- С.681-684.

10 Еровенко В.А. О существенном спектре Функций от линейных операторов в банаховом пространстве к Вестник Белорусского университета. Сер.1.- 1987.- n2.- С.50-54.

11 Еровенко В.А. Существенный спектр операторов Чезаро в Доклады АН БССР,- 1987 - Т.31. n9 - С.784-787.

12 Еровенко В.А. Существенный спектр дифференциальных операторов в банаховом пространстве » Доклады АН Беларуси.- 1992.- Т.36, N6 - С.490-493.

13 Еровенко В.А. Существенный спектр дифференциального оператора Эйлера « Доклады АН Беларуси- 1994,- Т.38. н1- С.21-26.

14 Еровенко В.А. Об инвариантности существенных спектров обыкновенных дифференциальных операторов в Лебеговых пространствах » Доклады АН Беларуси- 1995.- Т.39, n2- С.26-30.

15 Еровенко В.А. О некоторых свойствах существенного спектра Бра-удера ограниченных операторов t Доклады АН Беларуси,- 1995,-Т.39. N4.- С.27-30.

♦ Резюме

Еровенко Валерий Александрович

Спектральные и фредгольмовы свойства линейных операторов в банаховых пространствах

Ключевые слова: Фредгольмс^ оператор, полуФредгольмов оператор, дифференциальный оператор, опектральная теория, существенный спектр.

В спектральной и Фредгольмовой теории операторов развито направление, опирающееся на всестороннее исследование, всех существенных спектров. Это позволило решить известные задачи теории существенных спектров для новых классов несамооопряженных операторов, для аналитических Функций от ограниченных линейных операторов, для квазиподобных операторов, а также, для ограниченных операторов при малых возмущениях. В приложении к дифференциальным операторам получе-

ны общие результаты, о помощь» которых найдены эффективные формулы для вычисления всех существенных спектров различных классов обыкновенных дифференциальных операторов и доказаны новые теоремы об инвариантнооти этих спектров.

Рээюме

Еравенка Валерый Аляксандрав1ч Спектральные i Фтдголыхави улоопвас-иг лХнейюгх аператарау у банахавых просторах .

Клочовыя словы: Фрэдгольмау аператар, пауфрэдгольмау аператор, дыферэнцыяльны аператар, спектральная тэория, 1стотш^споктр.

У спектральная i фрэдгольмавай toopiu аператарау раопрацаванн напрамак, звязаны з усебаковым даследаваннем yoix хототных спектрау. Гэга дазвол1ла рашыць вядомыя традыцыйшя задачи гэоры! 1сто-

V V

тных спектрау дзеля новых специальных класау несамаспалучальных аператарау. д-еля аналиычных Функцый^ад абмежаваних лшейних аператарау дзеля квазшадобных аператарау. а таксама, дзеля абмеаава-них аператарау при малых а делениях. У дадатках да диФерэнцияльных аператарау атрымаии агульныя вынМ, з дапамогай як1х знойдены эфе-

• V ** м

ктыуныя Формулы дзеля выл1чвання yoix icTOTnux спектрау розных класау эвычайнкх дыферэнцыяльных аператарау i дакаэаны новыя тэарэмы, аб iHBapHHHTHacui гэтых спектрау.

Summary

Erovenko Valeri Spectral and Frcdholn properties of lln&ar operators in Bmach spaces

Key words: Fredholn operator, semi-Fredholra operator, differential operator, spectral theory, essential spectrum.

The object of this thesis is to constract the direotion in spectral and Fredholm theory concerning with a full investigation of the all essential spectrums. By means of this we solved vellknown problems of the essential spectral theory for new olasses nonself-adjoint operators, for analytic functions of bounded linear operators, for quasisimlar operators, end so for bounded operators under small perturbations. In applications to the differential operators is obtained effective formulas for calculating all essential spectrum of different classes ordinary differential operators and is pruved the invariance theorems for this spectrums.