Фредгольмовы функционалы с непрерывной симметриейи их возмущения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

г Го 01

2 5 71Г.1

САПРОНОВА Татьяна Юрьевна

Фредгольмовы функционалы с непрерывной симметрией и их возмущения

Специальность 01.01.01 — математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ВОРОНЕЖ 2000

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

доктор физ.-мат. наук, профессор Борисович Ю.Г.

доктор физ.-мат. наук, профессор Садовский Б.Н. кандидат физ.-мат. наук, доцент Лобода А. В.

Челябинский государственный университет

Защита состоится 77 ноября 2000 г. в 15 часов 20 минут на заседании диссертационного совета К 063.48.09 в Воронежском государственном университете по адресу: 394693, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 314.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан 2000 г.

Ученый сёкретарь

диссертационного совета ^

К 063.48.09 Задорожний В. Г.

ВШ, 6-/, оя

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В диссертации рассмотрен класс гладких фредгольмовых функционалов на гладких банаховых многообразиях, который, как известно, включает в себя большинство функционалов классического вариационного исчисления и многие функционалы теории оптимального управления. Фредгольмовость означает конечномерность ядра и коядра ковариантной производной Фреше (второго кодифференциала) от градиента (первого кодифференциала) функционала в произвольной точке. Предполагается совпадение размерностей ядра и коядра второго кодифференциала (в каждой точке). Фредгольмовость дает возможность точной локальной конечномерной редукции (сведения локального анализа поведения функционала к анализу поведения гладкой функции на окрестности нуля конечномерного пространства) 1.

Для нелокальной редуцируемости требуется выполнение дополнительных условий. Например, для функционалов на линейных банаховых пространствах достаточно потребовать коэрцитивность функционала или его градиента в сочетании с выпуклостью по прообразу редуцирующего отображения 2.

Отдельные варианты точных нелокальных конечномерных редукций развивались в работах Н.А.Бобылева, К.Конли, Э.Цендера, С.В.Болотина, Ю.И.Сапронова, А.В.Гнездилова, С.Л.Царева и др. Однако для функционалов на многообразиях пока не разработаны условия глобальной конечномерной редуцируемости, эффективные для приложений. Некоторый прогресс имеется в случае разрушения непрерывных симметрии: на окрестности компактной морсовской критической орбиты допускается редукция возмущенного функционала к его сужению на квазипнвариантное подмногообразие, близкое к критической орбите.

Понятие квазнинвариантного подмногообразия, введенное в работе [7] автора диссертации, возникло на стыке таких известных понятий, как критическая орбита, критическое подмногообразие (по Ботту), инвариантное подмногообразие (для динамической системы)

1 Красносельский М А , Бобылев H.A.. Мухамадиеэ Э.М. 06 одной схеме исследования вырожденных экстремалей фупкиионалов классического вариационного исчисления.// Доклады АН СССР. 1975.- Т.240. вып.З.- С.530-533.

'^Сапронов Ю.И., Царев С.Л. Глобальное сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах// Матем. заметки. - 2000. - Т. 5S, Аг- 5. - С. 745-754.

и ключевая функция (для гладкого функционала). Каждое квазиинвариантное подмногообразие представляет интерес в первую очередь тем, что критические точки сужения функционала на такое подмногообразие одновременно являются критическими и для функционала в целом. Свойства критических точек при этом сохраняются (при выходе в объемлющее многообразие).

Благодаря этому обстоятельству, метод квазиинвариантных подмногообразий представляется весьма полезным и перспективным для анализа критических точек гладких функционалов на гладких функциональных многообразиях.

Тема диссертации частично соприкасается с теорией эквивари-антных краевых задач механики и геометрии, разработкой которой занимались В.А. Треногин, Б.В. Логинов, H.A. Бобылев, Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, Дж. Марсден, Д. Сетинжер, А. Вейнстейн, У. Козель, Т. Барч, В. Кравцевич, В. Марзантович, А.Ю. Борисович и многие другие математики, и с общим симметрийно-группо-вым анализом дифференциальных уравнений (Л.В. Овсянников, Н.Х. Ибрагимов, A.M. Виноградов, В.Ф. Зайцев, П. Олвер и др.).

В диссертации использованы элементы анализа гладких G—инвариантных функций на конечномерных многообразиях, развитого в работах В.И.Арнольда, С.М. Гусейн-Заде, В. Поэнару, С.Т.С. Уолла, Д. Сирсмы, JI. Мишеля и др., а также элементы теории Ботта (по критическим многообразиям) в виде современной теории Морса для боттовских интегралов (А.Т. Фоменко, В.В. Шарко и др.).

Цель работы. Основная цель диссертационной работы — разработка и апробация нового подхода к построению и изучению экстремалей фредгольмова функционала, полученного гладкой деформацией (возмущением) G—инвариантного фредгольмова функционала, на малой окрестности фиксированной критической (для невозмущенного функционала) орбиты положительной размерности.

Методика исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы нелинейного функционального анализа (теория нелинейных фредгольмовых уравнений на гладких банаховых многообразиях), вариационного исчисления на гладких многообразиях, теории групп Ли и анализа гладких G—инвариантных функций.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные ре-

зультаты диссертации являются новыми.

1. Теорема о структурной устойчивости компактной критической орбиты симметричного функционала при симметричном возмущении функционала.

2. Теорема о превращении компактной критической орбиты в квазиинвариантное подмногообразие функционала при разрушении его симметрии.

3. Теорема о структурной устойчивости компактного квазиинвариантного подмногообразия при возмущении функционала.

4. Теоремы о существовании и асимптотическом представлении ветви изолированных экстремалей при разрушении симметрии функционала.

5. Описание канонических алгебраических форм первого и второго кодифференциалов функционала Дирихле на многообразии петель класса С2 в группе 50(3).

6. Описание и вычисление индексов Морса критических орбит функционала Дирихле на многообразии С2—петель в 50(3).

7. Описание рождения ветви критических 50(2)—орбит петлеобразных траекторий лагранжева волчка.

8. Описание канонической формы первого кодифференциала функционала Дирихле на многообразии двумерных сфероидов в 50(3) и оценка снизу индекса Морса функционала Дирихле на критическом сфероиде через индекс Морса редуцированного функционала.

Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации подкрепляют теоретическое обоснование метода фредгольмовых функционалов в вариационном исчислении на гладких многообразиях и, в частности, дают обоснование и развитие методу квазиинвариантных подмногообразий (основу метода составляет утверждение о том, что возмущение фредгольмова индекса ноль б —инвариантного гладкого функционала сохраняет вблизи каждой невозмущеннои компактной морсовской критической орбиты диффеоморфное орбите квазиинвариантное подмногообразие (сама критическая орбита, разумеется, исчезает в момент разрушения, симметрии)).

Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях нелинейных проблем классической механики и математической физики, связанных с вариационным подходом.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференциях "Понтрягннскис чтения" [1], [4], на международной конференции "Стохастический и глобальный анализ" [3], на 3 Международном симпозиуме по небесной и классической механике [6], на Воронежской зимней математической школе [10], на международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" [9], на международной конференции "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения" [12], на семинаре кафедры алгебры и топологических методов анализа ВГУ (руководитель — профессор Ю.Г.Борисович) и на семинаре по функциональному анализу НИИМ ВГУ (руководители — проф. Звягин В.Г. и проф. Баскаков А.Г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [12].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, разбитых на 15 параграфов, и списка цитируемой литературы из 87 наименований. Общий объем диссертации — 107 стр.

Краткое содержание работы

В первой главе изложены элементы общей теории фредгольмо-вых функционалов (включая симметричные функционалы) и доказана теорема о структурной устойчивости компактной критической орбиты.

Пусть М — гладкое банахово многообразие, вложенное как гладкое подмногообразие в аффинное банахово пространство Е, V — гладкий функционал на М, гладко продолженный на Е (продолжение обозначено тем же символом V).

Накладываются следующие два условия: (I) задана такая пара линейных пространств Е, Н (первое из них банахово, а второе гильбертово), что Е аффиино и непрерывно вложено в а Е линейно и непрерывно вложено в Н, Т(Е) плотно в Н\ (II) задано гладкое отображение / : Е —такое, что %{х)И = (/(х), к) Ух £ Е е Т(Е). ((-, •) - скалярное произведение в Н).

Отображение / называется градиентом V: / = дга<1 V.

Определение 1. Подмногообразие М в Е называется Н— дополняемым, если для любой точки а 6 М имеет место разложение в

б

прямую сумму Т(Е) = Та(М) ф Na(M), в которой

1) Та{М) — подпространство в Т(Е) касательных к М векторов в точке а, a Na(M) = {у £ Т(Е) : (у, h) = О Wi е Та(М)} (нормальное подпространство в Е);

2) N„(M) гладко зависит от а £ М в метрике Е (множество

IJ {(a, N(¡(Л/))} является гладким подрасслоением тривиального а&М

расслоения М х Т(.Е) над М).

Подмногообразие М в Е называется НF — дополняемым, если оно Н—дополняемо и в любой точке а £ М задано разложение в прямую ортогональную (в метрике (•,■}) сумму F = Та(М) © NU(M), в которой

1)Tu(M)f]T(E) = Tn(M), Ña(M)f\T(E) = Na(M)

(Т„(М) и Na(M) — касательное и нормальное подпространства к М в F);

2) Ти(М) и NU(M) гладко зависят от а £ М в метрике Е (множества U {(а, Та(Л/))} и U {(а, Na(AÍ))} является гладким подрассло-

аем а ел/

ениями тривиального расслоения М х F над М).

С каждым многообразием М, являющимся ЯР—дополняемым подмногообразием в Е, связана пара гладких пучков ортогональных проекторов Па и Па, действующих соответственно из Т(Е) на Та(М) и из F на Та(М). _ .

Векторное поле = ПДдгай V(a)) и операторное поле

П„ • ^f(a) называются, соответственно, первым и вторым кодиффе-ренциалами V на М, обозначаемыми VF(a) и V2V(a) (оператор V2V{a) действует из Т„(М) в fa(M) ).

Определение 2. Пусть О — область в банаховом многообразии Л/, являющемся НЕ—дополняемым подмногообразием в аффинном банаховом пространстве Е. Гладкий функционал V на М называется фредгольмовьш индекса к на области О, если его второй кодифференциал в каждой точке х £ О является фредгольмовьш оператором индекса к.

Пусть задана связная группа Ли G и зафиксирован гладкий гомоморфизм Т : G —> О(Н) (0(Н) — группа ортогональных пре-' образований гильбертова пространства Н). Гомоморфизм Т задает ортогональное действие G на Н. Предполагается, что Е, F, М и V

инвариантны относительно данного действия. Из инвариантности V следует эквивариантность его первого и второго кодифференциалов: fTg = Tgf (f = W),V2V(Tax) = T3V2V(x)Г"1 V(g,x) € G х М.

С каждой критической точкой а связывается следующая пара линейных пространств: Оа — касательное пространство в точке а к ее орбите, Na - ядро второго кодифференциала V на М в точке а.

Определение 3. Критическая орбита orb(a) называется мор-совской, если Na = Оа.

Индексом Морса морсовской критической орбиты orb(a) называется максимальная размерность подпространства в Та(М), на котором отрицательно определен второй кодифференциал (обозначается Ind(V, а)).

Теорема 1. При условии фредгольмовости индекса нуль функционала V его каждая компактная критическая морсовская орбита является структурно устойчивой: при гладких симметричных параметрических возмущениях h\, A G Rm, ho = 0, функционала V вблизи невозмущенной критической орбиты с индексом Морса I имеется критическая морсовская орбита для Уд = V + hx (при всех достаточно малых X) с тем же индексом Морса I.

Для обоснования утверждения о неизменности индекса используется теорема С.Л.Царева 3 об устойчивости индекса Морса фред-гольмова функционала.

Во второй главе показано, что при нарушающих симметрию возмущениях вблизи распадающихся компактных критических орбит остаются диффеоморфные орбитам квазиинвариантные подмногообразия возмущенного функционала.

Пусть J : N —> R1 — гладкий функционал, N — гладкое банахово многообразие (без края), К — гладкое подмногообразие N (без края).

Определение 4. Подмногообразие К называется квазиинвариантным, если существует такая гладкая ретракция р : О(К) —> К, где О(К) — окрестность К в N, что каждая точка а £ К является критической для сужения J|p-i(a).

3Царев С.Л. Устойчивость индекса Морса невырожденной критической точки гладкого фред-гольмова функционала// Сб. статей студентов и аспирантов матем. факультета ВГУ. - Воронеж: Изд. ВГУ, 2000. - С. 57-61.

Пусть с. и —■ модельные линейные банаховы пространства для N и К.

Теорема 2. Если К — квзиинвариантное подмногообразие N и подпространство Е1 дополняемо (существует такое подпространство 3-2 С Е, что Е = Е1ФЕ2,), то найдутся такие окрестность О(К) С О(К) подмногообразия К в N и открытое множество И'' С Н-2, что четверка (0(К), К,\¥,р) является гладким локально тривиальным расслоением с базой К, стандартным слоем IV и проекцией р.

В случае, когда существует прямое дополнение Е2 к Ех, определение квазиинвариантного подмногообразия можно переформулировать следующим образом.

Определение 5. Подмногообразие К называется квазиинвариантным, если некоторая окрестность К в N гладко расслаивается над К и каждая точка а € К является ?сритической точкой для сужения где р — проекция расслоения.

Если каждая точка а € К является морсовской критической точкой сужения J\p-^(a), то К называется морсовским квазиинвариантным подмногообразием. Для всех точек связного морсовского квазиинвариантного подмногообразия К индекс Морса J\p-^^a) будет постоянным и это постоянное значение называется индексом Морса квазиипвариантного подмногообразия К (обозначается 1пд.{У, К)).

Теорема 3. При условии фредголъмовости индекса нуль функционала V его каждая компактная морсовская критическая орбита является структурно устойчивой: при гладком параметрическом возмущении А £ Г1т, Ло = 0, функционала V вблизи невозмущенной критической орбиты с индексом Морса I имеется диф-феоморфное ей морсовское квазиинвариантное подмногообразие для Уд = V-\-к\ (при всех достаточно малых А) с тем же индексом Морса I.

Теорема 4. При условии фредголъмовости индекса нуль функционала V его каждое компактное морсовское квазиинвариантное подмногообразие является структурно устойчивым: при гладком,

параметрическом возмущении А 6 К'", /г0 = 0, функционала У вблизи невозмущенного квазиинвариантного подмногообразия с индексом Морса I имеется диффеоморфное ему морсовское квазиинвариантное подмногообразие для У\ — V + /¿л (при всех достаточно малых X) с тем же индексом Морса I.

Пусть У(х,е) — гладкое семейство гладких фредгольмовых функционалов на Е, Ь С М — компактная морсовская критическая орбита Уо с индексом Морса I. При достаточно малых е вблизи Ь существует квазиинвариантное подмногообразие Ьг функционала К- — диффеоморфное Ь (Ьц — Ь) с индексом Морса I. При этом существует фс : Ь —> Ь, — гладкое семейство гладких диффеоморфизмов, такое, что фо — гд : Ь .—> Ь (суперпозиция 1К(£) = Ус{Фс{0) называется ключевой функцией). Если б Ь — критическая точка И^, то ^(^о) £ Ьс — критическая точка К, поэтому поиск бифурцирующих (из точек орбиты) экстремалей К вблизи Ь сводится к исследованию функции

Теорема 5. Для функции \Уе(£) имеет место следующее представление: = \У0 + Е?=1 е,У,(0 + о(|г|), где = - сопзЬ,

Теорема 6. Пусть ао £ £ — морсовская критическая точка ин-- я

декса т функции И^^сг0) = £ оЛЖО' а° — некоторая фикси-

¿=1

рованная точка из К'г\{0}, £ £ Тогда при всех достаточно малых 6 6 И функг1,ионал У^ао имеет изолированную морсовскую критическую точку а{8) = ао + 0(6) € Ь(,ао индекса т + I.

В третьей главе рассмотрен гладкий фредгольмов функционал в виде интеграла Дирихле У(/) — | / |/(£)|2сЙ на банаховом многообразии С2-петель / : [0,1] —» 50(3), /(0) = /(1) = I (в группе Ли 50(3)). Многие функционалы энергии из классической механики (например, из динамики твердого тела) можно рассматривать как возмущения интеграла Для продолжения У(/) на аффинное

банахово пространство Е петель в Ма1(3,3) сохраняется то же обозначение У.

Скалярное произведение матриц всюду в диссертации определено стандартным соотношением: {А, В) := |гг(Лт ■ В).

Определение 6. Косо симметрические матричные функции Q и h, где fl(t) f~l(t) ■ f{t) и h(i) ~ f~\t) ■ h(t), называются соответственно угловой скоростью и перенесенным (в алгебру Ли) касательным вектором к М в /.

Через Mf обозначается множество всех касательных векторных полей к М в /. Очевидно, что h(t) £ Tj^G. Множество всех перенесенных касательных векторов обозначается М/.

Теорема 7. Для градиента функционала V имеет место следующее представление gradV(f) — —fCl(f).

Теорема 8. Петля / является экстремалью функционала (1) тогда и только тогда, когда Cl(f) = const.

Угловая скорость критической петли постоянна и является решением уравнения ехр(Х) = I. Экстремали интеграла Дирихле имеют

вид/(0 = 5-1^(05,Лег) SeSO(3), Uk(t) = ехр(^.),

£к =

t О -2тгк 0^ 2тгк О О ООО

Очевидно, что множество всех критических петель естественно разбивается на классы — критические орбиты: Ок = {д б М : дЦ) = 5 е 50(3)}.

Орбита О к при кф 0 диффеоморфна двумерной евклидовой сфере 52 и, в частности, является двумерным подмногообразием в М. В случае к = 0 орбита вырождается в одноточечное множество.

Многообразие петель М является подмногообразием в аффинном банаховом пространстве

Е = {/ : [0,1] —* Ма1(3,3), /(0) - /(1) = /,/€ С2},

которое непрерывно вложено в банахово пространство

Р = {/: [0,1] — ЛГа£(3,3), / £ С0},

а пространство Г непрерывно вложено в гильбертово пространство Я = ¿2([0,1],Ма<(3,3)). При этом 1) Т{Е) = {/г : [0,1] —» Маг{3,3), /г(0) = Л(1) = 0, к € С2} и 2) дгайУУ) = -/.

Нетрудно заметить, что

Т)(М) - {Л : [0,1] —♦ Ма*(3,3), к б С0, /-1(0Л(0 е 5о(3) V*}

и

ЛГ/(М) = {/г : [0,1] —> Ма£(3,3), Л е С0, € 5М(3,3) V*}.

Многообразие М является дополняемым. Проекторы П/ и П/, действующие на 7/(М) и Т/(М), задаются соответствием

Теорема 9. Для дифференциала отп угловой скорости имеет место следующее представление: §у(/)/г = [О, Л] + Л.

Теорема 10. Для второго кодифференциала функционала V на критической петле / имеет место представление

гс?е Ь/ - оператор левого группового сдвига: Ь/Ь := //г, ад,пХ = ([•,•] — коммутатор матриц).

На петле / = ехр{ЬУ/) имеет место следующее представление второго кодифференциала (перенесенного в алгебру Ли матричных петель): V2V(/) = ~~ (щт + а<1\у 27^ • Задача о вычислении индекса Морса петли / сводится к отысканию отрицательных собственных значений этого оператора и отвечающих им собственных векторов (в диссертации приведены соответствующие вычисления). о Пусть и = 1],П."), Щ = И^ЦО, 1], И»), И^ = И^ЦО, 1],К"),

цг*= №| П {/г(0) = /г(1) = 0}.

Теорема 11. Оператор 7 = + В где В : И^1 —> И^1 — косо-симметпрический в метрике ¿2 оператор, обладает полной ортпнор-мированной в 1,2 системой собственных векторов, принадлежащих

Щ .

Второй кодифференциал (перенесенный в алгебру Ли матричных петель в ¿о(3)) удовлетворяет условиям этой теоремы (если в качестве К™ рассмотреть пространство кососимметричных матриц эо{ 3)).

Теорема 12. Индекс Мор со. петпли f — exp(t\V) равен сумме размерностей всех собственных подпространств, отвечающих отрицательным собственным значениям оператора — (jjp + adw ,

о

действующего из W2 ([0,1], so(3)) б £-2([0,1], so(3)).

Таким образом, для вычисления индексов Морса геодезических петель необходимо найти все отрицательные собственные значения этого оператора и их кратности.

Теорема 13. Критические орбиты интеграла Дирихле на многообразии петель M являются морсовскими.

Теорема 14. Индекс Морса критической орбиты интеграла Дирихле для петли exp(tSk) равен 2(|/с| — 1) при к -ф- 0 и равен нулю при к = о.

В качестве модельного примера, в котором используется изложенная выше схема исследования критических точек возмущенных функционалов, рассмотрен функционал действия в случае Лагранжа из динамики твердого тела:

1 1 V(f, е, А) = V0(f) + е /(Wl2 + u22)dt + Л / /33, о о

где ^

W) = !/(/. f)dt = \j («л2 + W22 + W3 2)Л, о о

/ G M = {g € С2([0,1], 50(3)) : д(0) - 5(1) = /},

а Ш), ол, <х»з — элементы кососимметрической матрицы П = /-1/-

Множество критических точек функционала Vo распадается на критические орбиты Lk = {5"1i/i:(i)5 : 5 е 50(3)}, Uk{t) = eftl, G Z, каждая из которых (кроме Lg) дпффеоморфна сфере 52. Вектор ш — (ь>1,Ш2,из)Т, канонически соответствующий матрице п = nS~lHS, S 6 50(3), равен (Я = (гтг)"1^)-

Порождающая функция представляет собой сужение на L\ главной части тейлоровского разложения (по параметрам возмущения)

функционала V, равное е(о;12 + u-22)dt + А / /33dt (с учетом того, что

о

i7(i) = const для / € L\).

Множество К\ = {ÍÍ = /_1/ : / € Ь{\ представляет собой двумерную сферу радиуса 27Г в пространстве кососимметрических матриц, поэтому элементы матрицы Í2 в диссертации выражены через сферические координаты: wj = 2л- eos <р sin 9, ш2 — 2ir sin <р sin в, — 2ъ eos 0 (при f2 ф ±2itH (/ ф е±2"и)).

В диссертации установлено, что в этой области орбиты Ь\ нет морсовских критических точек, но есть морсовская критическая 50(2)—орбита порождающей функции в виде окружности, которая сохраняется при малых вариациях параметров возмущения (то есть вблизи К\ имеется морсовская критическая окружность (S0(2)—орбита) функционала У).

Для петель e2"Ht и e~27rHt вводится другая параметризация: = 27rcos<¿>siii0, lü2 = 2тт eos в, ыз = 2тт sin <р sin в, посредством которой показано, что петли е2*!!l и e~2l,Hl являются "точками старта" ветвей изолированных критических точек функционала V.

В четвертой главе рассмотрен функционал Дирихле

dtds

дз'

на банаховой группе Ли М. "сингулярных сфероидов"

{/ € С2+\1С^О(3)), /(Ж) = /},

где К. — кольцо в И2 с центром в начале координат, ограниченное окружностями радиусов п и г2, 0 < Г\ < т2 < оо.

Здесь используется та же схема, что и в "одномерном" случае. Множество М. является подмногообразием в аффинном банаховом пространстве £ = {/:£ —» Ма*(3,3), }{дК) = /,/ 6 С2^}. Пространство Е непрерывно вложено в банахово пространство непрерывных матричных функций Р = {/ : К. —> Л/^¿(3,3), / € С0+7}, пространство Р непрерывно вложено в гильбертово пространство Я = Ь2(К,МаЬ{3,3)), Т{Е) = {Л : К —► Ма£(3,3), Л(9АС) = 0,Л 6 С2+7}, Т/(М) = {Л|Г1Ъ. : К. —♦ 5о(3), к € С2+\ Ь.{дК) = 0}, Т;(М) = {к\Г1Ь. : 1С — £о(3), Н е С0^}.

Ортогональный проектор П/ : Е —> Т/(А4) действует, как и в "одномерном" случае, по формуле к ¿(/г — /Л,7/). Функционал V инвариантен относительно действия группы С = 50(3) на Н, заданного формулой Тд(/) = 9~1}д-

Теорема 15. Для первого кодифференциала функционала V в полярных координатах имеет место представление

где

Ur~f дг' ду

Вычисление экстремалей функционала V сводится к поиску решений уравнения V1Vr(/) = 0. Для удобства в вычислениях производится замена области 50(3) значений "сфероидов" на 53. Известно, что существует двулистное накрытие Р : 53 —* 50(3), являющееся локальным диффеоморфизмом, такое, что Р{—х) = Р{х) 4. Отображение Р порождает (как оператор суперпозиции) сюръективное отображение Р : £ —> М, где С = {g\g 6 С2+т(/С, 53), f(d¡C) = {±е0}}.

Рассмотрим функционал

где g(r,<p) = g(r cos (p,r sin (р), g € С, 0 < (p < 2тг, r\ <r <

Теорема 16. Функционалы U и V связаны следующим соотношением : Ü(g) = \V(P(g)).

Непосредственным следствием последней теоремы является

Теорема 17. Для производных функционалов U uV верно соотношение Щ — l^j о Щ .

Следовательно, каждой экстремали g функционала Ü соответствует экстремаль Р(д) функционала V, поэтому можно перейти к поиску решений уравнения V1Ü(д) = 0 (первый кодифференциал сохраняет свой вид).

Для построения частных решений последнего уравнения можно рассмотреть преобразование а >—► х(а), где

z(o)(r, ip) = cosa(r)eo + cos sin a(r)ei + sin <p sin a(r)e2,

«Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современнал геометрия: методы и приложения. М.: Наука. 1986. - 760 с.

а € C2+7([ri,r2],R), a(r\) = жт, а(г2) = тгп, m £ Z, n е Z.

Первый кодифференциал функционала Ü(x) в точке х имеет вид

VlÜ(x) = -x(ei cos <р + e2sin ip) ^a'(r) + ra"(r) - - cos a(r)sin a(r)j .

Таким образом,'поиск экстремалей при д — х(а) сводится к поиску решений интегрируемого уравнения а' + ra" — £ cos a sin а = 0.

Теорема 18. Пусть ао — критическая точка функционала W, заданного намножестве

Лтл = {а€ C2+7([ri,r2],R) : <*(п) = тгт, а(г2) = 7гп, т,п € Z)

соотношением W{ct) — U(x(a)). Тогда точка х(ао) является критической для функционала U и имеет место оценка

Ind(Ü,x{a0))>Ind{W,a0).

Автор искренне благодарит профессора Ю.Г.Борисовича за научное руководство данной работой, поддержку и замечания.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Сапронова Т.Ю. Разложения Морса для функционалов действия на группах матричных петель.// Понтрягинские чтения - VII. Тезисы докладов школы. - Воронеж, ВГУ. 1996. - С.160.

[2] Сапронова Т.Ю. О разрушении компактных критических орбит инвариантных фредгольмовых функционалов при несимметричных возмущениях// Труды математического факультета. Новая серия. - Воронеж, ВГУ. 1997. N2. - С.54-58.

[3] Sapronova T.Yu. Morse indexes and multiplicities of critical orbits for invariant functionals.// Stochastic and global analysis. 1997. -Voronezh, VSU. Abstr. int. conf. - P.56-57.

[4] Сапронова Т.Ю. О разрушении критических орбит функционалов при несимметричных возмущениях.// Понтрягинские чтения -VIII. Тезисы докладов школы. - Воронеж, ВГУ. 1997. - С.196.

[5] Борисович Ю.Г., Сапронова Т.Ю. Спектральный подход к вычислению индексов Морса критических орбит интеграла Дирихле на многообразии С2—петель в группе 50(3).// Труды математического факультета. Новая серия. - Воронеж, ВГУ. 1998. N3. -

[6] Сапронова Т.Ю. О разрушении критических многообразий б-инвариантного функционала действия при несимметричных возмущениях.// Третий международный симпозиум по классической и небесной механике. Тезисы докладов. - Великие Луки, 23-28 августа 1998г. - С.143-145.

[7] Сапронова Т.Ю. Квазиинвариантные подмногообразия фред-гольмовых функционалов.// Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета ВГУ.- Воронеж, 1999.- С.150-

[8] Сапронова Т.Ю. Бифуркации экстремалей из точек критической орбиты при разрушении непрерывной симметрии.// Труды математического факультета. Новая серия. - Воронеж, ВГУ. 1999 N4.

- С. 101-107.

[9] Сапронова Т.Ю. О квазиинвариантных подмногообразиях в гладких функционалов.// Дифференциальные и интегральные уравнения. Тез. Межд. научн. конф. - Челябинск: Челяб. гос. ун-т. 1999.

- С.98.

[10] Сапронова Т.Ю. Асимптотический анализ ветвей критических точек при разрушении непрерывной симметрии.// Современный анализ и его приложения. Воронежская зимняя математическая школа. Тез. - Воронеж, 2000. - С.149-150.

[11] Сапронова Т.Ю. О методе квазиинвариантных подмногообразий в теории фредгольмовых функционалов. // В кн.: Топологические методы нелинейного анализа. - Воронеж, ВГУ. 2000. - С.107-124.

[12] Сапронова Т.Ю. К теории квазиинвариантных подмногообразий фредгольмовых функционалов.// Международная конференция "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения". Тез. - Воронеж, ВГУ. 2000. - С.176-177

С.9-14.

155.

17

Заказ Ю 2000 г. Тир&'б'экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ.