Параметризация каустик фредгольмовых функционалов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Параметризация каустик фредгольмовых функционалов

Специальность 01.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ВОРОНЕЖ 2003

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук,

профессор Сапронов Юрий Иванович

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук,

профессор Азизов Томас Яковлевич

доктор физ.-мат. наук, профессор Мухамадиев Эргашбой Мирзоевич

Ведущая организация: Челябинский государственный

университет

Защита состоится 13 января 2004 г. в 15 часов 40 минут на заседании диссертационного совета К 212.038.05 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 314.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " \ О " декабря 2003 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета К 212.038.05

доктор физ.-мат. наук, профессор / Гликлих Ю.Е.

2004-4

23865

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Аналитические и топологические методы изучения экстремалей гладких параметрических семейств гладких функционалов V{x,\) на банаховых многообразиях представляет интерес как для общей теории особенностей гладких функционалов, так и для "соседних" областей науки — теории управления, теории фазовых переходов в кристаллах и родственных материалах, теории бифуркаций решений вариационных краевых задач и т.д.

В бифуркационном анализе экстремалей выделяются следующие две важнейшие задачи: 1) описание геометрического строения каустик1 ( бифуркационных диаграмм функций) и 2) описание bif—раскладов, соответствующих компонентам связности дополнения к каустике (в базе произвольной деформации).

Решение этих задач достаточно продуктивно осуществляется на основе схем конечномерной редукции2,3.

Первый шаг в локальном изучении особых экстремалей — определение и вычисление мод бифуркации {е; }™=1, что в конечном итоге дает возможность представления любой ветви бифурцирующих

п

экстремалей в форме £3е3 + о(£), где £ = ... ,£„)т — критическая точка ключевой функции (зависящая от закритического приращения управляющего параметра).

Вслед за построением бифуркационных мод возникает задача построения и анализа нормальной формы ключевой функции. Основу для ее решения дают схемы конечномерных редукций и

'Каустика Е семейства функционалов V(x, Л) — это совокупность тех управлений А, при которых V(, Л) имеет вырожденную критическую точку (в достаточно малой окрестности нуля)

'Красносельский М.А , Бобылев Н А , Мухамаднев Э М Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления// ДАН СССР -1978. - Т 240, N 3 - С 530-533.

'Сапронов Ю И Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах// Успехи ма-тем. наук. - 1996. - Т 51, выя. 1. - С.101-132. . ___

конструкции теории особенностей гладких функций4.

Таким образом, локальную параметризацию каустики (бифуркационной диаграммы функций) в конечнократной особой точке для гладкого параметрического семейства гладких фредгольмо-вых функционалов в принципе можно производить посредством схем конечномерной редукции. Однако данный подход, при всех своих достоинствах, требует в практических применениях, во-первых, выполнения условия версальности, гарантирующего конечную определенность ключевой функции, и, во-вторых, весьма трудоемких вычислений (при приближенном построении канонического отображения пространства управляющих параметров на базу ограниченной миниверсальной деформации генотипа особенности).

В диссертации предложен прямой подход к построению параметризации каустики, свободный от условия версальности и требующий существенно меньше вычислений. Этот подход основан на теории Релея - Шредингера5 возмущений симметричных линейных операторов.

Классический алгоритм Релея - Шредингера в своем первоначальном виде был создан Лордом Релеем (1894) при исследовании колебаний твердых тел, а затем обобщен Шредингером (1926) при разработке методов вычисления энергии возмущенной квантовой системы. Впоследствии этот алгоритм развивался физиками Лен-нардом - Джонсом, Вигнером, Бриллюэном и др., а также математиками — Реллихом, Секефальви - Надем, Като, Блохом, Фри-дрихсом и др. Первая наиболее полная математическая разработ-

4Арнольд В И , Варченко А Н , Гусейн-Заде С М Особенности дифференцируемых отображений Классификация критических точек каустик и волновых фронтов. М.- Наука, 1982 -304 с Особенности дифференцируемых отображений Монодромия и асимптотики интегралов. М . Наука, 1984 - 336 с

'Фридрихе К. Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1969 - 232 с.

......--ч

4 гоми«»».? :

* ?»« ш ег- I

ка была дана Ф. Реллихом (1936), применившим принцип сведения (редукции) к соответствующей задаче построения асимптотических разложений собственных векторов и собственных значений для операторов в конечномерном пространстве (для точечного спектра).

На идее редукции спектральной задачи для самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве (с точечным спектром) к аналогичной задаче в конечномерном пространстве основан и известный "метод промежуточных задач" Ароншайна - Вейнстейна.

Следует подчеркнуть, что подавляющая совокупность работ была посвящена случаю однопараметрического пучка операторов. Так, Реллих рассматривал лишь отдельные примеры операторных пучков с двумя параметрами, вскрывающие трудности переноса теории на случай многопараметрических пучков.

Некоторые аспекты многопараметрических спектральных задач изучали Ф. Аткинсон, С.Г. Крейн, В.П. Трофимов, Т.Я. Ази-зов, А.Г. Баскаков и др.

Подход к решению задач теории возмущений для общих операторных пучков (с дискретным спектром), основанный на методе Ляпунова - Шмидта, развивался в работах В.А. Треногина.

Изучение гладких операторных пучков методами теории особенностей гладких отображений было начато В.И. Арнольдом.

В данной работе изложены теоретические основы нового подхода, разработанного автором диссертации, и описаны некоторые его применения.

Основной объект изучения — абстрактный гладкий фредголь-мов функционал V, заданный на банаховом пространстве Е с условием, что он имеет в нуле конечнократную особенность. Как обычно, гладкой деформацией особенности V в нуле называется любое включение функционала V в гладкое Л—параметрическое семей-

ство гладких функционалов У{х, А), У(х, 0) = У(х), определенных на некоторой окрестности нуля в Е, \ И — некоторая окрестность нуля в пространстве значений управляющего параметра.

Цель работы — изучение подходов к разработке алгоритмов параметризации каустик гладких семейств фредгольмовых функционалов на банаховых многообразиях, требующих меньше вычислительных затрат по сравнению с алгоритмами, основанными на переходе к ключевым функциям.

Методика исследования. В диссертации использованы метод Релея - Шредингера из теории возмущений линейных симметричных операторов и метод квазиинвариантных подмногообразий6 фредгольмовых функционалов.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные результаты работы являются новыми.

1. Разработан новый подход к выводу формул Релея - Шредингера и предложено новое обощение алгоритма Релея - Шредингера в случае возмущения кратного собственного значения и многомерного или бесконечномерного параметра.

2. Разработан новый подход к решению задачи параметризации каустики, требующий меньше вычислительных затрат по сравнению с традиционными подходами.

3. Получены приложения нового подхода к изучению каустик в случаях одномерных и двумерных особенностей фредгольмовых функционалов и в конкретных краевых задачах, подтвердившие его эффективность.

Практическая и теоретическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при изучении бифуркаций экстремалей функционалов

6 Сапронова Т.Ю О методе квазпинвариаитных подмногообразий в теории фредгольмовых функционалов // В кн • Топологические методы нелинейного анализа - Воронеж: ВГУ, 2000 - С.107-124.

вариационного исчисления и при изучении фазовых переходов в физических средах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях: "Дифференциальные уравнениям и динамические системы" (Суздаль, 2002), "Диф-ферециальные и интегральные уравнения. Математические модели" (Челябинск, 2002), на Воронежской зимненей математической школе (Воронеж, 2000, 2001 гг.); а также на семинарах отдела нелинейного анализа НИИМ ВГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [8].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 11 параграфов и списка литературы, включающего 72 наименования. В тексте работы находится 1 иллюстрирующий рисунок. Общий объем диссертации - 95 страниц.

Краткое содержание работы

В первой главе приведены основные понятия теории фредголь-мовых функционалов на линейных пространствах (параграф 1.1), на многообразиях (параграф 1.2) и приведены в удобном для использования в последующих главах виде формулировки некоторых известных утверждений, используемых в последующих главах.

В параграфе 1.3 кратко описана схема конечномерных редукций.

Семейство функционалов V : Е х Л —> И, гладкое (в диссертации рассматриваются функционалы и отображения класса С00) по совокупности переменных (х,А) € Е х Л (Е - аффинное банахово пространство, Л - область банахова (обычно конечномерно-

го) пространства), а также любой содержащийся в этом семействе функционал А) : Е —► Л. называются допустимыми (фредголъ-мовыми), если выполняются следующие условия:

1.2.1. Заданы банахово пространство .Р и гильбертово пространство Н такие, что Е непрерывно вложено в Р, Р непрерывно вложено в Н, и Е плотно в Н.

1.2.2. Существует семейство фредгольмовых отображений нулевого индекса / : Е х Л —► Р, гладкое по совокупности переменных (х, Л) € Е х Л и такое, что V А € Л отображение /(•,А) является градиентом функционала У"(-,А) относительно пространства Н, т. е. V х € Е, V Л. 6 ТХЕ

(/(х,Х),к)н = ~(х,Х)к.

Говорят, что допустимый функционал обладает градиентной реализацией в тройке пространств {Е, Р, Н}.

В дальнейшем

/(х, А) = дгадУ(х, А).

В описанных условиях множество решений уравнения

А) = О

совпадает с множеством критических точек функционала У(-,А).

Конечномерной редукцией V на открытом подмножестве О С X называется тройка {р, ц?,ЛГ}, в которой N — гладкое конечномерное многообразие (без края), р — гладкая субмерсия из О на Л/, — гладкое отображение из Л/" в О, секущее р (то есть р о = при условии выполнения следующих требований : 1) ср(£) — единственная критическая точка сужения V |р-1(£), € М, 2) </>(£) — невырожденная критическая точка V € Л/", что означает

невырожденность второго дифференциала

£2 {V 1р_1(о) МО) (Л, Л), Л 6 т*{) (р-ЧО), 8

как квадратичной формы на линейном пространстве. Функция

называется ключевой для функционала V.

Отображение ¡р устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами критических точек ключевой функции IV и функционала V. При этом соответствующие друг другу критические точки одновременно являются либо вырожденными, либо нет. В случае минимума V |р-1(о) в нуле соответствующие критические точки имеют одинаковые значения индекса Морса.

Таким образом, анализ экстремалей функционала А) вблизи нуля сводится к анализу ветвления критических точек функции При этом имеем: Е(У) = Е(И^). При практическом применении этой схемы во многих случаях достаточно ограничиться первыми несколькими членами разложения У/ в ряд Тейлора. Во многих локальных задачах это производится при помощи специальным образом выбранной ритцевской аппроксимации:

где {еь ..., е„) — некоторый линейно независимый набор функций

из Е (базис аппроксимации). Экстремалям £ = (£ь £п) функции

_ п -

IV соответствуют точки х — £ называемые ритцевскими ап-

3=1

проксимациями экстремалей V.

Основные результаты диссертации собраны во второй главе. В диссертации рассматриваются функционалы вида

У(х,\) = Ц>{х,6)-{д,х), 6 еПт (1)

((•,•) — скалярное произведение в гильбертовом пространстве Н, А = (8,д) ), /(*,А) = /0(х,6)-д.

В теории упругих систем слагаемое вида выражает на-

чальное несовершенство системы, а в теории кристаллов — воздействие внешнего физического поля.

Точка а е Е называется параболической для ^(-,6), если существует к е Е, к ф 0, такое, что — 0. Другими словами, а — спектральное значение операторного пучка А(х, 6) = ^{х, 6) (при фиксированном 5).

Итак, наличие вырожденной критической точки а при заданном значении параметра А означает одновременность следующих двух событий: 1) точка а является параболической и 2) точка а является критической для функционала V. Так как второй дифференциал (1) не зависит от д, то описание каустики целесообразно начать с описания параболических множеств Те (множеств всех параболических точек при различных 6).

Предположим, что часть множества V ■= иV С Е х Ит

б

(это множество также называется параболическим) удалось задать системой гладких параметрических уравнений

2 € Z {2 — область в некотором банаховом пространстве). Тогда, очевидно, соответствующая часть каустики функционала (1) определяется следующей системой параметрических уравнений:

В согласии с вариационным принципом, собственные значения и векторы симметричного оператора Л(е), е — {х, 8) 6Е £ {Е — открытое подмножество в ¿хИ"1), являются, соответственно, критическими значениями и критическими точками квадратичной формы (/г), рассмотренной на пересечении <т единичной сферы в

«

(3)

H с E, где

We{h) = ±{A(e)h,h). (4)

Для наименьшего собственного значения имеет место следующее представление:

а(е) = 2 mf W¿h) (5)

ЛбО(ео)

(О(ео) — окрестность во в а). Функция а(<5) является гладкой, что вытекает из следующего утверждения:

Теорема 1. ео 6 о — простой собственный вектор

Aq, то при достаточно малых е вблизи ео на а существует единственный простой собственный вектор е(е) оператора А(е), этот вектор гладко зависит от £ и допускает следующее асимптотическое представление (формула Релел - Шредингера для собственного вектора):

е(е) = е0+ £1(е)е0 + о(е), (6)

£\е) = -V^iic-) - ß(e)I), (7)

где

м(е) = ((^i(£)eo,e0), = ^о1т,0(<7)'

Ai(e) — главная линейная часть в операторном пучке R(e) := А(е) — Ао (А\ — линейный оператор £ —► L{E, F)).

Из теоремы 1 и соотношения (5) получаем представление для возмущенного собственного значения (формулу Релея - Шредингера для собственного значения):

а{е) = ц(е) + о(е), ц{е) = <(Ai(e)e0, е0). (8)

Теорема 2. Если ео € <т — простой собственный вектор Ао, то дискриминантное множество Dskr(W)7 квадратичного функционала W на а определяется уравнением

_ <*(0 = 0, (9)

7Двскриминантное множество Dskr — совокупность управлений Л, при которых V(, А) имеет критическую точку на нулевой поверхности уровня

где а(е) задается соотношениями (5), (8) (при достаточно малых е вблизи ео на сг).

В параграфе 2.2 выписаны поправочные коэффициенты для более высоких порядков и приведена теорема 3, обобщающая теорему 1 на случай поправок второго порядка.

Далее исследуется случай dim N > I, N :— Ker Aq. Вновь рассматривается квадратичный функционал (4) и его сужение Ws¿ := We\at, где aa := S°° Г\ Es, E, — span {s, E П NA}. Очевидно, что для e(s, s) := arg(Ws¿) (здесь arg(WSi€) — решение задачи W,ie(t))) —► inf, v G as) справедливо равенство e(s,0) = s.

По теореме 1 (см. (6) - (7)) имеем

е(з,е) = (1 + £\а,е))з + о(е). (10)

Операторный коэффициент £x(s,e) вычисляется на основе параметрических формул Релея - Шредингера (6).

Пусть Sn~l = ÍV П a, a(s, е) - We(e(s, е)).

Теорема 4. Пусть квадратичный функционал Wt задан формулой (4) и пусть e(s,e) := arg(Ws¿), где Ws¿ WF\a^. Тогда параболическое множество исходного функционала Vq совпадает с образом дискриминатного множества Dskr(a) функции a(s,s), s € S"-1, полученным при вложении e¿ : s —* e(s,e) сферы в а или, что эквивалентно, с Dskr{Wt\ut) — дис-

криминантным множеством семейства сужений We на подмногообразия М€ = et{Sn~l) (квазиинвариантные сфероиды) в сг.

Теорема 5. В случае параметризации (окрестности подмногообразия N С\а) вида

h = e(s, v) := - \v\2 s + v, v € Я00-", seS7"1, \v\H < 1 для функции

а{з,е) '■= 2 inf W£(e(s, и))

имеет место следующее представление:

a(s, е) = (Л(1)(ф, s) + о(е).

В параграфе 2.5.2 выписаны асимптотические формулы для (спектральной) функции а(з, г) в случае особенностей одномерной сборки и многомерной складки.

Теорема 6. Пусть слагаемое Уо(х, 6) в (1) имеет следующий вид:

Щх, 6) = \{А{6)х, х) + П<4>(х, х, х, х) + о(||х|||), (11)

где А(<5) = Ао+ £ Вк6к, 0,^(х,у, — симметричная 4—линейная к=1

форма, и пусть

&\тКегАа = 1, КегА0 = Зрап(е0), /Зт := {Втео, е0) Ф 0. (12)

Тогда имеется параметризация множества в виде

6\ = 61,

...... ■■■)

¿п-1 = ¿п-1>

6т = + •

д = (V ВА - Втф1 + 7(2>(*))) *+

+ ^)(а:) + 0"(1р11 + Ю,

где8 = {6ъ ... ,6т-х)Т, хеЕ,

0к := (Вке0, е0}, ы(3)(х) := дтай Ф\х),

7(2,(х):={^)ео,ео). Теорема 7. Пусть слагаемое Уо(х,8) в (1) имеет вид

А(8) = Aq + £ Bk6k, Ct^3\x,y,z) — симметричная 3—линейная t=i

форма, и пусть àimKerAo = п. Тогда параболическое множество функционала Vq совпадает с образом (полученным при вложении s —► e(s,e) единичной сферы (в а), см. теорему 4) дискри-

минантного множества некоторого гладкого (8, х) — параметрического семейства a(s, 6, х) функций на представимого в виде

(ß(s),8) + 6f2(3)(x, s, s) + o(6, x),

где

ß(s) = (A(s), ... ,ßm(s))T, ßk(s) := {Bks,s).

Заключительная (третья) глава посвящена приложению основных результатов диссертации к исследованию краевой задачи на отрезке для уравнения Дуффинга (параграф 3.1) и краевой задачи для ОДУ четвертого порядка с квадратичной нелинейностью (параграф 3.2).

Пусть

УбАх) = / (у - + + X + 9») Л, (13)

Е = {хЦ) € С2{[0,1], И) : ®(0) = х(1) = 0}, = {*(*) е С([о, 1], и)}, п = о, 1], и).

Теорема 8. Каустика функционала (13) допускает параметризацию (см. (3):

8 = 3 (е1х2) + о(\\х\\2Е),

? = А0(*)-3(е?,г2>г + г3 + о(М|), | (14)

хеЕ.

Пусть

У^М = \\((£)' - а (!) V* + £ + „) А.

Е = {®(0 е С4([0, тг],11) : х(0) = х(0) - х(тг) = £(тг) = 0}, ^ = {®(0 6 С([0,1],Я)}, Н = Ьг({о, 1],Н).

Теорема 9. При локализации управляющих параметров а = 5 + 0 = 4 + ^2 параболическое множество функционала совпадает с образом (полученным при вложении з —> е($,е) единичной окружности 5(1) в а) дискриминантного множества (6, х) — параметрического семейства а(<р, 6, х) функций на Б™, пред-ставимого в виде

. 2

-¡I

где

<Н

+ <ЗД2 + 6{г, з2) + о(5,х),

з = соБ(<р)е1 + 81п(<^)е2, е^ = л/2 эш Ы, к = 1,2, 0 < < 2тг,

Л

= / (5) I«!2 = (х>*2> = ]хз2

о 4 ' о о

Автор искренне и глубоко благодарен профессору Ю. И. Сапронову за научное руководство, внимание и поддержку.

Публикации автора по теме диссертации

1. Чемерзина Е.В. Об одной схеме вариационного подхода в теории возмущений Релея - Шредингера /Е.В. Чемерзина // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета ВГУ / Воронеж: ВорГУ, 2000. - С.70-74.

•2. Чемерзина Е.В. К вариационному методу в теории возмущений линейных операторов / Е.В. Чемерзина // Воронежская зимняя школа. Современный анализ и его приложения. Тезисы докладов / Воронеж: ВорГУ, 2000. - С.174-175.

3. Чемерзина Е.В. Прямой подход к описанию каустик фред-гольмовых особенностей / Е.В. Чемерзина // Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели. кладов межд. научной конференции / Челябинск: Чел! у/V ■"

4. Чемерзина Е.В. Обобщенные формулы Релея Шредингера и каустики функционалов с параметрами /Е.В. Чемерзина // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов / Владимир: ВладГУ, 2002. - С.141-142.

5. Чемерзина Е.В. О каустике параметрических семейств фред-гольмовых функционалов / Е.В. Чемерзина // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференции (ВЗМШ). Воронеж: ВорГУ, 2003. - С.279-280.

6. Чемерзина Е.В. Параметризация бифуркационной диаграммы функций в случае одномерного и двумерного вырождения / Е.В. Чемерзина //Сборник трудов молодых ученых математического факультета ВГУ / Воронеж: ВорГУ, 2003. - С.128-138.

7. Чемерзина Е.В. Об одном обобщении алгоритма Релея - Шредингера в случае кратного собственного собственного значения / Е.В. Чемерзина // Математические модели и операторные уравнения / Воронеж: ВорГУ, 2003. - Вып. N2. - С.140-146.

8. Чемерзина Е.В. Каустики гладких параметрических семейств фредгольмовых функционалов / Е.В. Чемерзина // Воронеж: ВГУ. НИИ математики. Препринт N9. Ноябрь, 2003. - 47с. -(http://www.main.vsu.ru/~matfak/events/chemer/).

Заказ № 752 от 27.11. 2003г Тираж 100 экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

С.111.

Список основных обозначений

Введение.

I. Элементы локального анализа фредгольмовых функционалов

1. Фредгольмовы функционалы на линейных пространствах

1.1. Фредгольмовы операторы.

1.2. Фредгольмовы функционалы.

1.3. Локальный анализ фредгольмовых функционалов

2. Фредгольмовы функционалы на многообразиях

2.1. Функционалы на банаховых многообразиях с бесконечномерными римановыми оснащениями

2.2. Критические орбиты и квазиинвариантные подмногообразия.

3. Бифуркационые диаграммы функционалов.

4. Редуцирующие схемы.

4.1. Схема Пуанкаре.

4.2. Нелокальная схема Ляпунова - Шмидта

4.3. Ритцевская аппроксимация ключевой функции

4.4. Схема Морса - Ботта

4.5. Общая редуцирующая схема.

II. Алгоритм Релея — Шредингера и параметризация каустик

1. Алгоритм Релея - Шредингера и его обобщение

1.1. Параболические множества функционалов

1.2. Построение спектрального множества.

1.3. Случай простого собственного значения

2. Вычисление асимптотик более высокого порядка . . . 643. Возмущение кратного собственного значения.

4. О параметризации квазиинвариантного сфероида

5. Примеры параметризации каустик.

5.1. Пример 1 (через вычисление детерминанта)

5.2. Пример 2 (по новой схеме).

5.3. Фредгольмовы функционалы с простейшими особенностями.

Аналитические и топологические методы изучения экстремалей гладких параметрических семейств гладких функционалов на банаховых многообразиях представляет интерес как для общей теории особенностей гладких функционалов V(x,t), так и для "соседних" областей науки — теории управления, теории фазовых переходов в кристаллах и родственных материалах, теории бифуркаций решений вариационных краевых задач и т.д.

В бифуркационном анализе экстремалей выделяются следующие две важнейшие задачи: 1) описание геометрического строения каустик (бифуркационных диаграмм функций) и 2) описание bif—раскладов, соответствующих компонентам связности дополнения к каустике (в базе деформации).

Решение этих задач достаточно продуктивно осуществляется на основе схем конечномерной редукции [8], [17], [23], [43].

Первый шаг в изучении любой особенности — определение и вычисление мод бифуркации {е;}"=1, что в конечном итоге дает возможность представления любой бифурцирующей экстремали в форме

Е6-е> + о(0, (0.1)

3=1 где £ = (£i, . ,£п)т — критическая точка ключевой функции (зависящих от закритического приращения управляющего параметра).

В анализе обычных критических точек моды бифуркации чаще всего определяются как собственные функции главной части оператора Гессе (производной Фреше градиента) в заданной критической точке.

Вслед за построением бифуркационных мод в полный рост встает задача построения и анализа нормальной формы ключевой функции. Основу для ее решения дают схемы конечномерных редукций [8], [17], [43] и конструкции теории особенностей гладких функций [3].

Таким образом, локальную параметризацию каустики (бифуркационной диаграммы функций [3]) в конечнократной особой точке для гладкого параметрического семейства гладких фредгольмовых функционалов в принципе можно производить посредством схем конечномерной редукции. Однако данный подход, при всех своих достоинствах, требует в практических применениях, во-первых, выполнения условия версальности, гарантирующего конечную определенность ключевой функции, и, во-вторых, весьма трудоемких вычислений (при приближенном построении канонического отображения пространства управляющих параметров на базу ограниченной миниверсальной деформации генотипа особенности).

В работе [53] был предложен прямой подход к построению параметризации каустики, свободный от условия версальности и требующий существенно меньше вычислений. Этот подход основан на теории Релея - Шредингера [48], [32], [38] возмущений симметричных линейных операторов или, более точно, на алгоритме Релея

Шредингера вычисления возмущенных простых собственных значений и собственных векторов, разложенных в степенные ряды по малым приращениям управляющих параметров, а также на методе квазиинвариантных подмногообразий, ранее разработанном в [44].

Классический алгоритм Релея - Шредингера в своем первоначальном виде был создан Лордом Релеем (1894) [69] при исследовании колебаний твердых тел, а затем обобщен Е. Шредингером (1926) [71] при разработке методов вычисления энергии возмущенной квантовой системы. Впоследствии этот алгоритм развивался физиками Леннардом - Джонсом, Вигнером, Бриллюэном [32] и др., а также математиками — Реллихом, Секефальви - Надем, Ка-то, Блохом, Фридрихсом и др. (см. [48]). Первая наиболее полная математическая разработка была дана Ф. Реллихом (1936), применившим принцип сведения (редукции) к соответствующей задаче построения асимптотических разложений собственных векторов и собственных значений для операторов в конечномерном пространстве (для точечного спектра).

На идее редукции спектральной задачи для самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве (с точечным спектром) к аналогичной задаче в конечномерном пространстве основан и известный "метод промежуточных задач" Ароншайна - Вейнстейна

N1).

Следует подчеркнуть, что подавляющая совокупность работ была посвящена случаю однопараметрического пучка операторов. Так, Реллих рассматривал лишь отдельные примеры операторных пучков с двумя параметрами, вскрывающие трудности переноса теории на случай многопараметрических пучков.

Некоторые аспекты многопараметрических спектральных задач изучали Ф. Аткинсон [59], С.Г. Крейн, В.П. Трофимов [26], Т.Я. Азизов [1], А.Г. Баскаков [4] и др.

Подходы к решению задач теории возмущений для общих операторных пучков (с дискретным спектром), основанные на методе Ляпунова - Шмидта, развивались в работах В.А. Треногина [13].

Изучение гладких операторных пучков методами теории особенностей гладких отображений было начато В.И. Арнольдом [2].

В данной работе изложены теоретические основы нового подхода, разработанного автором диссертации, и описаны некоторые его применения.

Как уже отмечалось, целью нового подхода является непосредственное изучение каустики в рамках исходного функционального пространства управлений.

Отметим, что аналогичная цель (описание гиперповерхности особых точек) ставилась в работе [9] при изучении фазовых пространств с особенностями для динамических уравнений типа Соболева.

Диссертация состоит из введения и трех глав.

1. Азизов Т.Я. Основы теории линейных операторов с индефинитной метрикой / Т.Я. Азизов, И.О. Иохвидов. - М.: Наука, 1986. - 352 с.

2. Арнольд В.И. О матрицах, зависящих от параметров / В.И. Арнольд // Успехи матем. наук. 1971. - Т. 26, вып. 2. - С.101-114.

3. Арнольд В.И. Особенности дифференцируемых отображений. Монодромия и асимптотика интегралов / В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Г>сейн Заде. - М.: Наука, 1984. - 336 с.

4. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов / А.Г. Баскаков. Воронеж: ВорГУ, 1987. - 164 с.

5. Бардин Б.С. Локальная теория существования периодических волновых движений бесконечной балки на нелинейно упругом основании / B.C. Бардин, С.Д. Фурта // Актуальные проблемы классической и небесной механики. М.:"Эльф",1998. - С.13-22.

6. Бергер М.С. Теория ветвления в случае нелинейных эллиптических дифференциальных уравнений и систем / М.С. Бергер // Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения; Под ред. Келлер Дж.Б., Антман С.М. М.: Мир, 1974. -С.71-128.

7. Бобылев Н.А. Леммы Морса для функционалов вариационного исчисления / Н.А. Бобылев, Ю.М. Бурман // Функц. анализ и его прил. 1991. - Т.25, iVQ3. - С.1-11.

8. Бобылев Н.А. Геометрические методы в вариационных задачах / Н.А. Бобылев, С.В. Емельянов, С.К. Коровин. М.: Магистр, 1998. - 658 с.

9. Бокарева Т.А. Сборки Уитни фазовых пространств некоторых полулинейных типа Соболева / Т.А. Бокарева, Г.А. Свиридюк // Матем. заметки. 1994. - Т.55, iVQ3. - С.3-10.

10. Болотин С.В. Периодические решения системы с гироскопическими силами / С.В. Болотин // Прикл. матем. и механ. -1987. Т.51, вып.4. С.686-687.

11. Борисович Ю.Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере-Шаудера / Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, Ю.И. Сапронов // Успехи мат. наук.- 1977.- Т.32 Вып.4.- С.3-54.

12. Брекер Т. Дифференцируемые ростки и катастрофы / Т. Бре-кер, Л. Ландер. М.: Мир, 1977. - 208 с.

13. Ваинберг М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М.М. Вайнберг, В.А. Треногин. М.: Наука, 1968. - 528 с.

14. Гулд С. Вариационные методы в задачах о собственных значениях / С. Гулд. М.: Мир, 1970. - 328 с.

15. Заваровский Ю.Н. О методе Ляпунова Шмидта для вариационных задач с параметром / Ю.Н. Заваровский; Воронеж.гос.ун-т. - Воронеж, 1961. - 13 с. - Деп. в ВИНИТИ, iVa 478 - 82.

16. Зачепа В.Р. Локальный анализ фредгольмовых уравнений / В.Р. Зачепа, Ю.И. Сапронов. Воронеж: ВорГУ, 2002. - 185 с.

17. Иллс Дж. Основания глобального анализа / Дж. Иллс // Успехи мат. наук. 1969. - Т.24, '№• 3. - С.157-210.

18. Иллс Дж. Фредгольмовы структуры / Дж. Иллс // Успехи мат. наук. 1971. - Т.26, №■ 6. - С.213-240.

19. Кадченко С.И. Новый метод вычисления первых собственных значений дискретных несамосопряженных операторов / С.И. Кадченко //В кн.: Уравнения соболевского типа. Челябинск: Чел-ГУ. 2002. - С.42-59.

20. Клингенберг В. Лекции о замкнутых геодезически / В. Клин-генберг. М.: Мир, 1982. - 416 с.

21. Красносельский М.А. Применение вариационных методов в задаче о точках бифуркации / М.А. Красносельский // Мат. сборник. 1953. - Т.ЗЗ, 3. - С.199-214.

22. Красносельский М.А. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления /М.А. Красносельский, Н.А. Бобылев, Э.М. Муха-мадиев // ДАН СССР. 1978. - Т. 240, №■ 3. - С.530-533.

23. Красносельский М.А. Приближенное решение операторных уравнений / М.А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрей-ко, Я.Б. Рутицкий, В.Я. Стеценко. М.: Наука, 1969. - 456 с.

24. Красносельский М.А. Бифуркационные значения параметров в вариационных задачах / М.А. Красносельский, Э.М. Мухама-диев, А.В. Покровский // ДАН СССР. 1980. - Т. 225, №■ 2. -С.282-286.

25. Крейн С.Г. О голоморфных оператор функциях нескольких комплексных переменных / С.Г. Крейн, В.П. Трофимов // Функциональный анализ и его приложения. - 1969. Т. 3, вып. 4. - С.85-86.

26. Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / С. Ленг. М.: Мир, 1967. - 204 с.

27. Милнор Дж. Теория Морса / Дж. Милнор. М.:Мир, 1965. -184 с.

28. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике / С.Г. Михлин. М.: Наука, 1970.

29. АНтропольский Ю.О. Доотпдження коливанъ в системах з роз-подшеними параметрами (асимптотичш методи) /Ю.О. Мггро-польский, Б.1. Мосеенков. Видавництво Кшвського ушверси-тету, 1961. - 123 п.

30. Мотт Н. Волновая механика и ее применения /Н. Мотт, И. Снеддон. М.: Наука, 1966. - 428 с.

31. Мухамадиев Э.М. О группах гомологии критических точек гладких функций / Э.М. Мухамадиев // Докл. АН Тадж. ССР. -1983. Т. 26, 9. - С.553-557.

32. Постников М.М. Введение в теорию Морса / М.М. Постников. М.: Наука, 1971. - 567 с.

33. Постон Т. Теория катастроф и ее приложения / Т. Постон, И. Стюарт. М.: Мир, 1980. - 608 с.

34. Пуанкаре А. Избранные труды (в 3 т.). Том 2: Новые методы небесной механики. Топология. Теория чисел / А. Пуанкаре. -М.: Наука, 1972. - 1000 с.

35. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике / К. Ректорис. М.: Мир, 1980. - 608 с.

36. Рид М. Методы современной математической физики: Т. 4. Анализ операторов / М. Рид, Б. Саймон. М.: Мир, 1982. - 428 с.

37. Садовничий В.А. О классической формуле первого регуляри-зованного следа оператора Лапласа с нечетным потенциалом на сфере / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский // Труды сем. им И.Г.Петровского. 1996. Вып. 19. - С.37-72.

38. Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции и локальный анализ фредгольмовых уравнений. Диссертация на соискание степени доктора физ.-мат. наук / Ю.И. Сапронов. Воронеж, 1991. -231 с.

39. Сапронов Ю.И. Нелокальные конечномерные редукции в вариационных краевых задачах / Ю.И. Сапронов // Матем. заметки. 1991. - Т.49, iVQ 1. - С.94-103.

40. Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах / Ю.И. Сапронов // Успехи мат. наук. 1996. -Т.51. - Вып.1. - С.101-132.

41. Сапронова Т.Ю. О методе квазиинвариантных подмногообразий в теории фредгольмовых функционалов / Т.Ю. Сапронова // В кн.: Топологические методы нелинейного анализа. Воронеж: ВорГУ, 2000. - С.107-124.

42. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов / Г.А. Свиридюк // Успехи матем. наук. 1994. Т. 49, вып. 4.- С.47-74.

43. Сидоркин А.С. Доменная структура в сегнетоэлектриках и родственные материалы / А.С. Сидоркин. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. - 240 с.

44. Треногин В.А. Уравнение разветвления: потенциальность, бифуркации, симметрия / В.А. Треногин, Н.А. Сидоров, Б.В. Логинов // ДАН СССР. 1989. - Т.309, №■ 2. - С.286-289.

45. Фридрихе К. Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве / К. Фридрихе. М.: Мир, 1969. - 232 с.

46. Хуссаин М.А. О двухмодовых бифуркациях равновесий упругой балки с квадратичной упругой силой / М.А. Хуссаин // Математические модели и операторные уравнения. Том 2. Воронеж: ВорГУ, 2003. С.132-139.

47. Царев С.Л. О глобальной распрямляемости гладких функций с единственной критической точкой / С.Л. Царев // Труды матем. факультета ВГУ. Воронеж: ВорГУ, 1996. - N- 1 (новая серия).- С.92-96.

48. Царев С.Л. Глобальное сравнение эквивариантных конечномерных редукций для гладкого G-инвариантного функционала / C.JL Царев // Труды матем. факультета ВГУ. Воронеж: Вор-ГУ, 1998. - №■ 3 (новая серия). - С.73-76.

49. Царев С.Л. Один вариант леммы Морса и его приложения к нелинейным вариационным задачам / С.Л. Царев //В кн.: Топологические методы нелинейного анализа. Воронеж: ВорГУ, 2000. - С. 132-136.

50. Чемерзина Е.В. Об одной схеме вариационного подхода в теории возмущений Релея Шредингера / Е.В. Чемерзина // Сб. статей аспирантов и студентов матем. факультета ВГУ. - Воронеж: ВорГУ, 2000. - С.70-74.

51. Чемерзина Е.В. Обобщенные формулы Релея Шредингера и каустики функционалов с параметрами / Е.В. Чемерзина // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тез. докладов / Владимир: Влад-ГУ, 2002. С. 141-142.

52. Чемерзина Е.В. Об одном обобщении алгоритма Релея Шредингера в случае кратного собственного собственного значения / Е.В. Чемерзина // Математические модели и операторные уравнения / Воронеж: ВорГУ, 2003. Том 2. - С. 140-146.

53. Чемерзина Е.В. О каустике параметрических семейств фредгольмовых функцианалов / Е.В. Чемерзина // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференции (ВЗМШ). Воронеж: ВорГУ, 2003. С.279-280.

54. Чемерзина Е.В. Параметризация бифуркационной диаграммы функций в случае одномерного и двумерного вырождения / Е.В. Чемерзина // Сборник статей молодых ученых математического факультета ВГУ / Воронеж: ВорГУ, 2003. С.128-138.

55. Чемерзина Е.В. Каустики гладких параметрических семейств фредгольмовых функционалов / Е.В. Чемерзина // Воронеж: ВорГУ. НИИ математики. Препринт N9. Ноябрь, 2003. 47 с. — (http://www.main.vsu.ru/ ^matfak/events/chemer/).

56. Atkinson F.V. Multiparameter Spectral theory / F.V. Atkinson // Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968). P.l-27.

57. Banach S. Uber mehrdeutige stetige Abbildungen / S. Banach, S. Mazur // Studia Math. S. 1934. - P.174-178.

58. Bott R. Nondegenerate critical manifolds / R.Bott // Ann. of Math. Ser. 2. 1954. 60, N2. - P.248-261.

59. Conley C.C., Zehnder E. The Birkhoff-Lewis fixed point theorem and a conyecture of V.I.Arnol'd / C.C. Conley, E. Zehnder E.// Invent. Math, 1983. V.73. P.33-49.

60. Ляпунов A.M. Sur les figures d'equilibre peu differentes des el-lipsoides d'une masse liquide homogene donee d'un mouvement de rotation, p.l / A.M. Ляпунов // Зап. Акад. наук, С.-Петербург, 1906.

61. Marsden J.E. Qualitative Methods in Bifurcation Theory / J.E. Marsden // Bull. Amer. Math. Soc. 1978. - V.84, №■ 6.

62. Marsden J.E. On the Geometry of the Liapunov-Schmidt Procedure / J.E. Marsden // Lecture Notes in Mathematics. N.-Y.: Springer-Verlag, 1979, - V. 755. - P.77-82.

63. Morse M. The Critical Points of a Function of n Variables / M. Morse // Trans. Am. Math. Soc. 1931. - V. 33. - P. 72-91.

64. Morse M. The calculus of variations in the large / M. Morse. -New York, 1934.

65. Nashed M.Z. Global invertibility in nnolinear functional analysis / M.Z. Nashed, J.E. Hernander // Fixed point theory and applications. Word Scientific Publishing, River Edge, NJ. 1992. - P.229-247.

66. Rayleigh Lord. The Theury of Sound / Lord Rayleigh. 1894.

67. Schmidt E. Zur Theorie linearen und nichtlinearen Integralgle-ichungen, Theil 3: Uber die Auflosung der nichtlinearen Integral-gleichungen und Verzweigung ihrer Losungen / E. Schmidt // Math. Ann. 1908. - V.65. - P.370-399.

68. Schrddinger E. Ann. der Phys. 80, 437. 1926.

69. Tromba A. A Sufficient Condition for a Critical Point of a Functional to be a Minimum and its Application to Plateau's Problem / A. Tromba // Matematische Annalen. 1983. - V. 263 - P.303-312.