Главные подмодули и инвариантные подпространства аналитических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ПИСЬМЕННЫЙ РОМАН ГЕННАДЬЕВИЧ

Главные подмодули и инвариантные подпространства аналитических функций

01.01.01 вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 2010

003492487

Работа выполнена на кафедре математики и методики ее преподавания Славянского-на-Кубани государственного педагогического института

Научный руководитель: доктор физико-математических наук.

профессор Шишкин Андрей Борисович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук.

профессор Мелихов Сергей Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор Хабибуллин Булат Нурмисвич

Ведущая организация: Московский педагогический государственный университет

Защита состоится «16» марта 2010 г. в 15 часов 45 мину! на заседании диссертационного совета Д212.208.29 но физико-математическим наукам в Южном федеральном университете но адресу: 344090. г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова. 8А. факультет математики, механики и компьютерных наук ЮФУ. ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южного федерального университета но адресу: г. Ростов-на-Дону. ул. Пушкинская. 148.

Автореферат разослан «10» февраля 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д212.208.29

В.Д. Кряквин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Пусть Q — односвязная область в С; Я = H(fl) пространство функций, аналитических в Q. наделенное топологией равномерной сходимости на компактах; D оператор дифференцирования действующий в Н. Подпространство W С Я называется инвариантным (D-инвариантным), если DW С W. Корневым подпространством оператора D, отвечающим собственному значению А € С. называется непустое подпространство

х.

\J{f£H:(D-X)"f=Q}CH.

Элементы корневых подпространств принято называть корневыми элементами оператора D.

Говорят, что замкнутое инвариантное подпространство W С Я допускает спектральный синтез, если замыкание линейной оболочки корневых элементов оператора D, лежащих в IV. совпадает с W. Задача спектрального синтеза для оператора D состоит в нахождении условий, при которых замкнутое инвариантное подпространство W С Я допускает спектральный синтез.

Инвариантные подпространства 1Г С Я оператора дифференцировании возникают естественным образом в той части комплексного анализа, которая имеет дело с задачами аппроксимации аналитических функций линейными комбинациями экспонент и которая возникла в классической теории рядов Дирихле. Задача спектрального синтеза для оператора D в комплексной области представляет собой перенос на аналитические функции известной задачи Бсрлинга о гармоническом синтезе на вещественной прямой. Впервые задача спектрального синтеза для оператора D была сформулирована в 1947 г. JI. Шварцем в его известной монографии о периодических в среднем функциях.

Центральная тема спектрального синтеза для оператора дифференцирования задача аппроксимации для однородного сверточного уравнения: можно ли каждое решение такого уравнения аппроксимировать линейными комбинациями элементарных решений. Уравнения свертки и. в частности, уравнения бесконечного порядка, дифференциально-разностные уравнения с постоянными коэффициентами были предметом изучения многих математиков: Дж. Ритт., Полна, Валирон, А.Ф. Леонтьев. А.О. Гсльфонд, JI. Эрсн-прайс, Д. Диксон. Ю.Ф. Коробейник. И.Ф. Красичков-Тсрновский и др. Это объясняется, с одной стороны, прикладными задачами и, с другой стороны, тем, что многие чисто теоретические вопросы сводятся к изучению уравнений свертки.

Систематические исследовании по спектральному синтезу для оператора дифференцирования В инициированы в 1971 г. И.Ф. Красичковым-Тсрновским. Дальнейшее развитие задачи связано с переходом к оператору кратного дифференцирования Б'1. Первые шаги в этом направлении сделаны С.Г. Мерзляковым (1983). Более общие результаты получены А.Б. Шишкиным и И.Ф. Красичковым-Тсрновским (1989). В начале 1990-х годов появилась серия работ И.Ф. Красичкова-Тсрновского. в которых исследуется задача спектрального синтеза для дифференциального оператора тг(В) — О7 +а1.0'г-1 +... + а^Вп с постоянными коэффициентами. В 2004 г. А.Н. Чернышёв получаст первые результаты при переходе к дифференциальному оператору бесконечного порядка с постоянными коэффициентами:

= а)

к~ О

где 7г((,') — целая функция минимального типа при порядке

р --- 1. Возможность спектрального синтеза для оператора тг{О) доказана (А.Н. Чернышевым) при наложении на функцию тг весьма ограничительных условий:

a) существует уточненный порядок р(г) р, 0 < р < 1 такой, что функция тг является целой функцией вполне регулярного роста при этом уточненном порядке;

b) индикатриса роста функции тг при уточненном порядке р(г) всюду положительна;

c) г''(г| вогнутая функция;

(1) для любого г' > 0 найдутся положительные константы р. Н' такие, что вне некоторого множества кружков, линейная плотность которого не превосходит в', выполняются оценки

И01 > Р.

г(0-т(0

-" (А;

е-с

< ¿И01

равномерно по лежащем в круге - < Ы.

Пусть 5 линейный непрерывный функционал на Н. Подпространство = {/ е й: (5,^(1))/) = 0,к = 0,1,...} называется главным тг(£))-инвариантным подпространством, порождаемым функционалом 5.

Объект и предмет исследования. Настоящее исследование посвящено спектральному синтезу для дифференциального оператора бесконечного порядка с постоянными коэффициентами (1), действующего в Н = Н(0.у) х ... х Н(0,„). Объектом исследования являются главные тг(£>)-инвариантные подпространства.

Цель работы. Исследовать на допустимость главными ^(¿^-инвариантными подпространствами в Я спектрального синтеза.

Методы исследования. Основной метод решения задач спектрального синтеза в комплексной области метод анпуллторных подмодулей, развитый в работах И.Ф. Красичкова-Терновского в 70-х годах XX века. Этот метод предполагает переход от задачи спектрального синтеза к эквивалентной двойственной задаче задаче локального описания подмодулей целых функций.

Научная новизна. Доказана возможность спектрального синтеза для оператора при наложении на функцию 7г только условий а) и Ь)

(стр. 4).

Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты относятся к области фундаментальных исследований но математике, носят теоретический характер и дополняют многочисленные исследования задач спектрального синтеза в комплексной области и локального описания аналитических функций.

Достоверность результатов. Все научные результаты, содержащиеся в диссертации, обеспечиваются математической строгостью проведенных доказательств, с привлечением различных научных методов, как новых, так и хороню известных, используемых в теории функций, в абстрактной алгебре и функциональном анализе и, следовательно, являются достоверными.

Личный вклад соискателя. Диссертация является самостоятельным научным исследованием. Доказательства всех основных положений получены соискателем. В совместной работе научному руководителю принадлежат постановка задач и намеченная методика их решения.

Научные положения, выносимые на защиту.

(1) Факторизационная теорема (теорема 1.2.2).

(2) Аппроксимационная теорема (теорема 1.3.1).

(3) Положительное решение задачи спектрального синтеза по отношению к главным 7г(/))-инвариантным подпространствам (теорема 2.5.2).

Апробация работы. Основные результаты диссертации излагались на семинаре по теории функций в Славянском-на-Кубани государственном педагогическом институте (руководитель А.Б. Шишкин. Славянск-на-Кубани, 2005 2009 гг.). в ходе работы Воронежской зимней математической школы (Воронеж, 2007 г., 2009 г.), на «Уфимской международной математической конференции, посвященной памяти А.Ф. Леонтьева» (Уфа, 2007 г.). на международной математической конференции «Теория операторов. Комплексный анализ и математическое моделирование» (Волгодонск, 2007 г.). на кафедре математического анализа южного федерального университета (ноябрь 2009 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] [7].

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа изложена на 104 страницах машинописного текста и состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 79 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируется цель работы, дается литературный обзор по изучаемому вопросу, приводится краткое содержание диссертации.

Первая глава посвящена исследованию проблемы аппроксимации целых функций многочленами в весовых пространствах целых функций.

В параграфе 1.1 доказываются промежуточные результаты (теоремы 1.1.1 и 1.1.2). В доказательствах рассмотрен случай нулевого порядка. Для случая 0 < р < +оо аналогичные результаты получены И.Ф. Красичковым-Тсрновским (1966). Для полноты изложения, теоремы 1.1.1 и 1.1.2 формулируются в общей ситуации 0 < р < +оо.

Выберем неотрицательную функцию д, определённую на луче £ > 0. Считаем, что она возрастает, дифференцируема в окрестности +ос и

1ип 1-ос, Ьш —у— - р < +00.

«-*■(-зс 1п£ ц(0

Последовательность комплексных чисел Г {-),} называется й-близкой к последовательности Л = {А,}, если — А,| < I — 1,2,.... Множество С называется а-удаленным от множества Р, если ¡п£ — г\ > о |~| для

любой точки г £ С. Символом 0{х) обозначаем произведение функции, модуль которой ограничен сверху положительным числом, на х. Множеством кружков Е называется объединение счетной совокупности кружков е,: = {z:\z-hi] < р,;} (г 1,2,...), причем предполагается, что в ограниченной части комплексной плоскости может содержаться лить конечное число кружков е*. Множество кружков Е центрировано множеством Р, если каждая точка Р принадлежит по крайней мерс одному кружку множества Е и каждый кружок множества Е содержит но крайней мерс одну точку из Р. Переменной линейной плотностью множества кружков Е называется функция Ре{г) (г > 0)- линейной плотностью

множества Е называется величина р£ = Нш,._,+Хр£(г).

Теорема 1.1.1 Пусть целая функция /(л) удовлетворяет условию

Г.— 1п Л//(г)

Ьт -< с (0 < с < 4 оо). 2)

Г-ТХ ^(г)

д(г) целая функция с последовательностью корней Г = {7,:} (г = 1,2,...), й-близкой к последовательности корней Л = {Л;} (г = 1,2,...) функции /(г)\ С„ некоторое множество, а-удаленное от Л. Если

— lnln MJr)

lim —-< +оо

г->+ос ln fi(r)

(3)

и О < < а < 1, то существует число I < +оо, зависящее от f(z) и g(z), такое, что при |г| > I, z 6 G„

ln Ш\ - ln \f(z)\ = Op(^;)(p+ -^-J-) M|2|),

Vcrf

a —

1 -d.

если p N, и

ln\g(z)\-\n\f(z)\-Re

(av-af)z"+ £

о<,\,<И

7»

A,

0„

d"

-L

л(М)>

i -d.

если р £ N. Здесь, как обычно, р = [р\. а/ коэффициент при старшем члене многочлена P(z) - а4 ... в представлении Адамара

f(z) = z'" exp{P(z)} Д (1 - ^ J ехр

■... +

Р \А;

Теорема 1.1.2 Пусть /(г) целая функция, удовлетворяющая условию (2), и 0 < а < 1. О < /3 < 1. Тогда любой целой функции д(г), удовлетворяющей условию (3), с последовательностью корней Г = {-у,} (г = 1,2,...), д-близкой (0 < д < к последовательностм корней А = {Л,} (г = 1,2,...) функции /(г), можно поставить в соответствие множество кружков Ед со свойствами:

1) множество Е;/ центрировано множеством Г и Л,

2) линейная плотность множества Ея не превосходит (З6.а\

3) при г £ Е;/

1п|5(2)|-1п|/(г)|=0р(с)

А-а

ад sin то

MN)

если р $ N, и

\п\д(г)\-\п\1(г)\-Ке {ая-ч)г»+ £ (¿У-

V

0<А,<М

если р 6 N.

Доказательство для случая р = О проводится по классической схеме, разработанной И.Ф. Красичковым-Тсрновским. Теорем 1.1.1 и 1.1.2 достаточно. чтобы доказать теорему о расщеплении. Не исключено, что оценки из этих теорем можно уточнить, если опереться на результаты исследований Б.Н. Хабибуллина по зависимости возмущения субгармонической функции от возмущения ассоциированной с ней меры.

В параграфе 1.2 доказывается теорема о расщеплении. Теорема о расщеплении является развитием известной теоремы И.Ф. Красичкова-Терновского на случай уточненного порядка р(£). при этом охватывается ситуация с нулевым порядком.

Две функции /ь /> комплексной переменной называются ц-эквивалентными (в обозначениях /1 ~ /2), если существует множество кружков Е Уе,; нулевой линейной плотности такое, что

Пусть А = {А,;} последовательность отличных от нуля комплексных чисел с единственной предельной точкой в бесконечности, п(£) = п(£: А)

считающая функция, р = [р], С(2,р: А) = Дб каноническое про-

изведение. Справедлива следующая теорема о расщеплении: Теорема 1.2.1 Если

где интегрируема по Риману, равна нулю в некотором полуинтервале [0, ¿о) и подчинена условию ^Ит < с (0 < с < +оо), то поиедова-

телъностъ А можно разбить на две подпоследовательности А — {а,;} и В = {Ь,} таким образом, что

Ь1/1 (г)| - 1п |/2 (г)| = о (¿ф|)), г - оо, г 0 Е.

(3)

при р & N,

G(z,p; A)enzP ~ G(z,p; B)e~az"

при p S N и некотором a £ С.

Для случая ß{t) = t эта теорема доказана И.Ф. Красичковым-Тернов-ским (1966).

Из теоремы о расщеплении и факторизационной теоремы Адамара для целых функций конечного порядка легко получить следующую фактори-зационную теорему:

Теорема 1.2.2 Если целая функция f удовлетворяет условию

-— In In Mr (г)

hm —¡-< +oo,

r^+x lnyu(r)

а последовательность Л = {А,} ее нулей удовлетворяет условию (3), то функцию / можно представить в виде произведения двух ¡i-эквивалентных множителей / = /1/2, где fi ~ /2.

В статье B.C. Азарина (1973) эта теорема доказана для случая fi(t) t>\ р > 0. В дальнейшем результат B.C. Азарина неоднократно развивался, например. в статьях Б.Н. Хабибуллина и P.C. Юлмухамстова. Доказательство B.C. Азарина является альтернативным и опирается не на теорему о расщеплении, а на его результаты по аппроксимации субгармонических функций логарифмами целых функций. Приводимое в диссертации доказательство является более прозрачным и простым, так как является внутренним и не требует обращения к теории субгармонических функций.

Параграф 1.3 посвящен доказательству аппроксимационной теоремы. Аипроксимационная теорема является развитием аналогичного утверждения И.Ф. Красичкова-Терновского (1992). Необходимым инструментом для доказательства аппроксимационной теоремы является факторизационная теорема.

Пусть 7г целая функция минимального типа при единичном порядке; а произвольная положительная и дифференцируемая в окрестности +оо функция такая, что для достаточно больших t выполняется неравенство a'(t)t > a(t) и существует предел

,. ß'(a(t))a'(t)t

ß обратная к функции а; ^ обратная к функции ß. Если существуют константы 6, А > 0 и окружности |с| — удовлетворяющие условиям

О < гк+ь rk +00, 1, k > +00,

Гк

на которых выполняются оценки

• 6ß(<p{rk)) < /8(|тг(гье*)|) < Aß (iß (rjt)),

то оказывается справедливой следующая аппроксимационная теорема: Теорема 1.3.1 Пусть h\(6),.. ,,hn(ß) - ограниченные 2п-периоди-ческие тригонометрически выпуклые функции; ..., tpn, <t>i,..,, Фп целые функции порядка не выше 1, индикаторы hVl (6),..., hVu(9), hi>,($), • • •, которых при порядке 1 удовлетворяют условиям:

/iv-, (0), Аф, (в) < Aj(0),К-М, < Kifl)-Если существует целая функция F, для которой

где f = F о ж, то найдется последовательность многочленов Рь. со следующими свойствами:

1) последовательность рк — Pi -о ж сходится к f равномерно на компактах;

2) выполняются равномерные по к оценки

< const ехр{/гД0)|г|}, j = 1,..., п.

Заметим, в частности, что теорема 1.3.1 остается справедливой, если функция 7Г удовлетворяет условиям а) и Ь) (стр. 4).

Вторая глава посвящена интерпретации полученных результатов в терминах задачи спектрального синтеза.

В первых четырех параграфах второй главы изложена схема двойственного перехода и основанное на этой схеме доказательство теоремы двойственности.

X

Пусть 7г(z) ~ cizk целая функция минимального типа при порядно

ке 1, отличная от константы. Пусть Qi,...,fi„ выпуклые области в С; Н„ = H(QV) пространство функций, аналитических в f^, с топологией равномерной сходимости на компактах; Я топологическое произведение Hi х • ■ • х Н„. Символом тr(D) обозначим линейный дифференциаль-

X k

ный оператор бесконечного порядка Дбйствующий на элементы

f — (fi, ...,/„) S Я покомпонентно. Результат действия оператора ir(D) на элемент пространства Hv лежит в Ни. При этом оператор ir(D) является линейным и непрерывным.

Собственным значением оператора тг(В) называется число Л 6 С, удовлетворяющее уравнению (тг(В) — А)/ = 0 при каком-либо ненулевом / = £ Н- Алгебраическим спектром оператора тг(О) называется

совокупность всех собственных значений этого оператора. Корневым подпространством оператора тг(1)), соответствующим собственному значению А £ С. называется подпространство Н, состоящее из элементов, каждый из которых при некотором к € N удовлетворяет уравнению (7г(£>) — Х)к/ = 0. Подпространство IV С Н называется инвариантным, если выполняется импликация / 6 IV ^л(D)f € IV.

Говорят, что замкнутое инвариантное подпространство Ш С Н допускает спектральный синтез, если оно совпадает с замыканием в Н линейной оболочки корневых элементов оператора тг(£>), содержащихся в IV.

Задача спектрального синтеза для оператора 7г(£)): найти условия, при которых замкнутое инвариантное подпространство IV С Н допускает спектральный синтез.

Решение поставленной задачи связано с переходом к эквивалентной двойственной задаче задаче локального описания. Пусть Я* • сильное сопряженное к пространству Н„. Обозначим Т„ преобразование, которое каждому функционалу 5 € Н* ставит в соответствие целую функцию экспоненциального типа <^(С) = {£, ехре,"::); Рг полный образ отображения Ти. Так как является односвязиой областью в С, то отображение Ти : Н* —> Р„ взаимно однозначно: оно индуцирует в Р„ отделимую локально выпуклую топологию. Оператор умножения на функцию тг((,') является непрерывным отображением из Р в Р. Это позволяет рассматривать Р как топологический модуль над кольцом С[тг] многочленов от 7г над полем С.

Множество и С. С будем называть тт-симметричным, если найдется множество УСС такое, что и тг—1 (V). Функция аналитическая на открытом тг-симмстричном множестве и С С, называется ж-симметрич-ной. если она представляется в виде Фол-, где Ф некоторая функция, аналитическая в точках множества тг(Ц).

Пусть А € С, А тг-слой 7г_1(А), л подмножество А, 0(и>) - кольцо ростков функций, аналитических в окрестностях ы. декартово про-

изведение О(и) х • • ■ х 0(и;) п копий 0(о;), Ок(и>) кольцо ростков тг-сим-мстричных функций, аналитических в окрестностях и;. Множество 0"(и;) рассматриваем как модуль над кольцом 07

Пусть I замкнутый подмодуль в Р. 1(А) подмодуль 0;г(А)-модуля 0"(А), состоящих из ростков п-функций. аналитических в окрестностях А и представимых в виде ^с,^'- в окрестности каждого конечного подмножества тг-слоя А.Здесь с, --симметричные функции, аналитические в тг-симметричных окрестностях А, ¡р^ £ I.

Подмодуль I допускает локальное описание (в другой терминологии является обильным), если справедлива импликация:

реР,<р€ ДА) УА е С <р € /.

Задача локального описания: найти условия, при которых замкнутый подмодуль I С Р допускает локальное описание.

Переход от задачи спектрального синтеза к задаче локального описания лежит в основе большинства известных работ по спектральному синтезу в комплексных областях и вызывает значительные трудности. Известно несколько схем двойственного перехода. В настоящем исследовании используется общая схема двойственного перехода, разработанная А.Б. Шишкиным. Двойственный переход разбивается на три отдельных шага. Два из них связаны с классическими задачами теории аналитических функций, и лишь один с общей теорией двойственности.

Пусть IV замкнутое инвариантное подпространство в Н. Это подпространство допускает спектральный синтез, если оно совпадает с замыканием в Я подпространства, натянутого на множество УЛеС (IV П Е(А)), где Е(А) корневое подпространство оператора п(О), соответствующее собственному значению А. Пусть £(Х) совокупность всех линейных комбинаций элементов вида

г7'ехр„Сг, э =0,1,.... Се 7г-1(А),

где

ехр„Сг = (О^^О, ехр О^^О).

1/-1 II — и

Если для любого А € С корневое подпространство Е(А) совпадает с замыканием £(А) в топологии Н множества £(А), то задача спектрального синтеза равносильна так называемой задаче индуктивного описания: найти условия, при которых замкнутое инвариантное подпространство IV совпадает с замыканием в Н подпространства, натянутого па множество

У (1Ф'П£(А)).

Лес

С другой стороны, задача локального описания не предполагает тоио-логизации локальных модулей 0"(А). Отступим от этого правила и будем считать, что локальный модуль О"(А), А £ С, наделен локально выпуклой топологией, в которой он как модуль над кольцом А) является топологическим. Получаем возможность говорить о замкнутых (97Г(А)-1ЮДМодулях

в 0"(А). Обозначим через /(А) минимальный замкнутый подмодуль О^(А)-модуля 0"(А), содержащий подмодуль / СР. Так как О" (А) топологический модуль, то /(А) совпадает с замыканием /(А) в топологии 0"(А). Возникает новая задача --• задача проективного описания: найти условия, при которых оказывается справедливой импликация

/еР, / е/(Х)УАеС=>/€/.

Может случиться так, что все подмодули в Оя(Л)-модулях Оп(А) будут замкнуты. Тогда задача проективного описания ничем не отличается от задачи локального описания.

Постановка задач индуктивного и проективного описания приводит к разбиению двойственного перехода на три отдельные части:

1) от спектрального синтеза к индуктивному описанию,

2) от индуктивного описания к проективному описанию,

3) от проективного описания к локальному описанию.

Переход 1) связан с изучением корневых подпространств дифференциального оператора и выполнен в параграфе 2.2.

Пусть А £ С, А — тг-слой 7г-1(А). £ £ А. Элементы вида г-'ехрД.г, ( £ А, являются корневыми элементами оператора тг(О) (соответствующими собственному значению А). Имеет место следующее утверждение:

Предложение 2.2.1 Корневое подпространство Е(А) оператора тг(£)), соответствующее собственному значению А £ С, совпадает с замыканием в Н подпространства Е{А), натянутого на множество всех элементов вида

г3 ехр„ Сг> 7 = 0,1,..., и = 1,..., п. ( е А.

Из доказанного предложения вытекает следующий результат:

Предложение 2.2.2 Замкнутое инвариантное подпространство IV С Н допускает спектральный синтез тогда и только тогда, когда оно допускает индуктивное описание.

Предложение 2.2.2 сводит задачу спектрального синтеза к вопросу допустимости замкнутым инвариантным подпространством в Н индуктивного описания.

Переход 3) использует замкнутость подмодулей в тонологизированных локальных модулях и основан на предложении типа леммы Круля и выполнен в параграфе 2.3.

Справедливо следующее предложение:

Предложение 2.3.2 Пусть I замкнутый С[тг¡-подмодуль в Р. Для любого А £ С локальный подмодуль /(А), ассоциированный с п-слоем А = тг-1(А), замкнут в топологии 0(А).

Из этого предложения вытекает следующий результат:

Предложение 2.3.3 Замкнутый С{тт]-подмодулъ I С Р является обильным тогда и только тогда, когда он допускает проективное описание.

Переход 2) осуществляется в рамках общей теории двойственности и выполнен в параграфе 2.4. Этот переход описан А.Б. Шишкиным (1998).

Зафиксируем замкнутое подпространство IV С Я и рассмотрим его ан-нулятор V С Н*. По свойствам поляр V замкнутое подпространство в Я*. Основой для перехода от задачи индуктивного описания к задаче проективного описания служит следующее утверждение: для того чтобы замкнутое подпространство Цг С Н допускало индуктивное описание, необходимо и достаточно, чтобы его аннулятор V С Н* допускал проективное описание.

Замкнутое подпространство I = Т(У) С Р является замкнутым С[7г]-подмодулсм в Р. Этот подмодуль обозначается Ап IV и называется анну-ляторным подмодулем инвариантного подпространства IV. Опираясь на сформулированное выше утверждение, доказывается

Теорема двойственности. Залкнутое инвариантное подпространство И-' С Н допускает спектральный синтез тогда и только тогда, когда его аннуляторный подмодуль Ап IV С Р является обильным.

Замкнутый С[~]-подмодуль в Р называется главным, порожденным элементом (р = (р^) € Р. если он совпадает с замыканием в Р множества элементов вида пр — {г<*р„), где г € С[тг]. В параграфе 2.5 вопрос обильности главных С[7г]-нодмодулей в Р допускает исчерпывающее решение, основанное на приведенных в первой главе исследованиях по проблеме аппроксимации целых функций многочленами в весовых пространствах целых функций.

Справедливо следующее утверждение

Теорема 2.5.1 Главные С[тг\-подмодули в Р обильны.

Это утверждение оказывается справедливым, например, если функция 7г удовлетворяет условиям а) и Ь) (стр. 4).

Теорема 2.5.1 допускает простую интерпретацию в терминах задачи спектрального синтеза.

Пусть 5 - (5„) фиксированный линейный непрерывный функционал на Я; И7? главное тг(0)-инвариантнос подпространство в Я, порождаемое функционалом 5.

Справедливо следующее утверждение

Теорема 2.5.2 Для любого 5 € Н* главное тг(О)-инвариантное подпространство И7? допускает, спектральный синтез.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

/. Издания, рекомендованные ВАК МО РФ для публикаций материалов кандидатских диссертаций по математике:

[1] Письменный, Р.Г. О разложении целой функции конечного порядка на эквивалентные множители / Р.Г. Письменный // Известия Саратовского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Т. 9. № 1. С. 19 30.

II. Остальные публикации:

[2] Письменный. Р.Г. Инвариантные подпространства дифференциального оператора бесконечного порядка / Р.Г. Письменный. A.B. Шишкин // Воронежская зимняя мат. школа : тез. докл. Воронеж : ВорГУ. 2007. С. 247 248.

|3] Письменный. Р.Г. Инвариантные подпространства дифференциального оператора бесконечного порядка / Р.Г. Письменный. A.B. Шишкин /7 Тез. докл. междунар. мат. конф. посвященной памяти А.Ф. Леонтьсва.Т. 3.

Уфа : ИМВЦ; 2007. С. 36 37.

|4] Письменный, Р.Г. Факторизационная теорема / Р.Г. Письменный // Вестник Адыгейского государственного университета. Серия "Естественно-математические и технические науки". Майкоп : Изд-во АГУ. Вып. 9.

2008. С. 27 33.

[5] Письменный, Р.Г. Теорема двойственности / Р.Г. Письменный // Дни науки: Сборник материалов научно-практической конференции преподавателей и студентов. Славянск-на-Кубани : СГПИ. 2008. С. 50 53.

[6| Письменный. Р.Г. О плотности тг-симметричных многочленов / Р.Г. Письменный // Воронежская зимняя мат. школа : тез. докл. Воронеж: ВорГУ 2009. С. 137 138.

[7] Письменный. Р.Г. Аппроксимация тг-симметричными многочленами / Р.Г. Письменный // Современная математика и проблемы математического образования: труды Всероссийской заочной научно-практической конференции. Орел : ОГУ, 2009. С. 86 89.

Подписано в печать 08.01.2010 г. Формат 60x84/16. Бумага типографская. Гарнитура "Тайме". Объем 1 усл.пл. Тираж 100 экз. Заказ Л*5 3.

Отпечатано в Издательском центре СГПИ 353563 г. Славянск-на-Кубани ул. Коммунистическая, 2

Введение

Глава 1. Полиномиальная аппроксимация целых функций экспоненциального типа

1.1 Теоремы сравнения.

1.1.1. Обозначения и основные результаты

1.1.2. Доказательство теоремы 1.

1.1.3. Доказательство теоремы 2.

1.2 Теорема о расщеплении.

1.2.1. Основная лемма.

1.2.2. Доказательство теоремы о расщеплении

1.3 Аппроксимационная теорема.

1.3.1. Формулировка теоремы.

1.3.2. Промежуточные результаты.

1.3.3. Доказательство аппроксимационной теоремы

Глава 2. Интерпретация результата в терминах задачи спектрального синтеза

2.1 Схема двойственного перехода.

2.1.1. Оператор тг(D).

2.1.2. Постановка задачи спектрального синтеза

2.1.3. Постановка задачи локального описания

2.1.4. Двойственность

2.2 Спектральный синтез и индуктивное описание

2.2.1. Индуктивное описание

2.2.2. Пространство М\.

2.2.3. Спектральные вопросы.

2.2.4. Спектральный синтез и индуктивное описание

2.3 От локального описания к проективному описанию

2.3.1. Проективное описание.

2.3.2. Пространство N\.

2.3.3. Локальные вопросы.

2.3.4. Локальное и проективное описания.

2.4 Теорема двойственности.

2.4.1. Принцип двойственности.

2.4.2. Схема двойственности.

2.4.3. Теорема двойственности.

2.5 Главные С[7г]-подмодули в?.

2.5.3. Обильность главных С[тг]-подмодулей в Р

2.5.4. Связь с задачей спектрального синтеза

1. Пусть Q, ~ односвязная область в С; Н = H(Q) — пространство функций, аналитических в Q, наделенное топологией равномерной сходимости на компактах; D — оператор дифференцирования действующий в Н. Подпространство W С Н называется инвариантным (относительно оператора D), если DW С W. Корневым подпространством оператора D, отвечающим собственному значению А 6 С, называется непустое подпространство оо

J{feH:(D-\)nf = 0}CH.

71=1

Элементы корневых подпространств принято называть корневыми элементами оператора D. Говорят, что замкнутое инвариантное подпространство W С Н допускает спектральный синтез, если замыкание линейной оболочки корневых элементов оператора D, лежащих в W, совпадает с W. Задача спектрального синтеза для оператора D состоит в нахождении условий, при которых замкнутое инвариантное подпространство W С Н допускает спектральный синтез.

Инвариантные подпространства W С Н возникают естественным образом в той части комплексного анализа, которая имеет дело с задачами аппроксимации аналитических функций линейными комбинациями экспонент и которая возникла в классической теории рядов Дирихле. Задача спектрального синтеза для оператора D в комплексной области представляет собой перепое на аналитические функции известной задачи Берлинга о гармоническом синтезе на вещественной прямой [72]. Впервые задача спектрального синтеза для оператора D была рассмотрена в 1947 г. JI. Шварцем в его известной монографии о периодических в среднем функциях [78].

Систематические исследования по спектральному синтезу для оператора дифференцирования инициированы в 1971 г. И.Ф. Кра-сичковым-Терновским в -статьях [16] - [18]. К этим работам примыкают работы В.А. Ткаченко [47], С.Г. Мерзлякова [36], Б.Н. Хабибуллина [53], Р.С. Юлмухаметова [71], С.И. Калинина [9], А.Н. Абузяровой [1] и др.

Центральная тема спектрального синтеза для оператора дифференцирования — задача аппроксимации для однородного уравнения свертки (ядра оператора свертки): можно ли каждое решение такого уравнения аппроксимировать линейными комбинациями элементарных решений (линейными комбинациями корневых элементов оператора D). Уравнения свертки и, в частности, уравнения бесконечного порядка, дифференциально-разностные уравнения с постоянными коэффициентами были предметом изучения многих математиков: Дж. Ритт [77], Полиа [76], Валирон [79], А.Ф. Леонтьев [28] - [30], А.О. Гельфонд [4], JI. Эренпрайс [74], [75], Д. Диксон [73], Ю.Ф. Коробейник [10] - [14], И.Ф. Красичков-Терновский [16] - [18], О.В. Епифанов [5] - [8], В.В. Моржаков [37], [38], С.Н. Мелихов [32], [33] и др. Это объясняется, с одной стороны, прикладными задачами и, с другой стороны, тем, что многие чисто теоретические вопросы сводятся к изучению уравнений свертки.

Пусть S — произвольный линейный непрерывный функционал на Н, f е Н, S * / — свертка функционала S и функции /. Для любого компакта К С £1 при достаточно малом |/i| ряд £~о сходится равномерно на К к сдвигу f(z + h). Поэтому

5 * /) (h) = (5, f(z + h))=J2 n\

71=0

Отсюда вытекает, что ядро оператора свертки f S*f совпадает с подпространством Ws С Я, определяемым следующим образом:

Ws := {/ G Я : (5, Dkf) = 0, к = 0,1,.}.

Оператор дифференцирования D : Я —»• Я является линейным и непрерывным. Значит, для любого к G N функционал действующий на элементы из Я по правилу (S^k\ f) := (S,Dkf), является линейным и непрерывным функционалом на Я. Его ядро является замкнутым подпространством в Я. Отсюда вытекает, что определенное выше подпространство Ws является замкнутым подпространством в Я. Если / е Ws, то для любого к G Z+ выполняются равенства

Это означает, что Df € Ws- Следовательно, подпространство Ws является замкнутым и инвариантным относительно оператора D. Допускает ли это подпространство спектральный синтез? Аналитический ключ к решению этой задачи представляет собой следующую аппроксимационную теорему: пусть Н(в) — ограниченная тригонометрически выпуклая функция, ip, Ф — целые функции экспоненциального типа с индикаторами h^Q), Лф(#) < h(9). Если существует целая функция /, для которой ftp — Ф, то найдется последовательность многочленов pk, сходящаяся к f равномерно на компактах, для которой выполняется равномерная по к оценка \pk{z)v(z)\ < const exp{h(9)\z\}.

Справедливость этого аналитического факта вытекает из теоремы 4.4, доказанной И.Ф. Красичковым-Терновским [16]. В статье [19, теорема 1] этот результат распространяется на случай, если с/р, Ф — векторные функции.

Одно из направлений развития задачи спектрального синтеза связано с переходом к произвольным дифференциальным операторам: оператору кратного дифференцирования

Dq : Я H\f /М

34], [35], [60], [62], [20]; дифференциальному оператору с постоянными коэффициентами тг(D) = Dq + aiL»9"1 + . + aqD°

21] - [24]; дифференциальному оператору с постоянными коэффициентами dk к—О где оо тг(с) = к=0 целая функция минимального типа при порядке р = 1 [56] - [58]. При этом формулировка аналитического факта несколько меняет свою форму: функция / и многочлены pk заменяются композициями /о7г и Pfc0 7r соответственно. Первый шаг в этом направлении сделан в работе А.Б. Шишкина [61, теорема 1]. В этой работе показано, что аналитический факт остается справедливым, если 7Г одночлен zn. В работе [23, предложение 3.1] этот результат распространен на случай 7Г — многочлен.

Естественная постановка задачи спектрального синтеза в условиях многих комплексных переменных предполагает замену одного оператора 7r(£>i,., Dn) системой операторов tti(£>I, ., Dn),., 7Г9(£>ь .,Dn).

Отметим, что в условиях многих переменных к настоящему моменту получены относительно законченные результаты лишь по задаче спектрального синтеза для системы операторов частного дифференцирования Di,. ,Dn (см., например, [25], [26], [63], [67] и [66]).

Другое направление развития задачи спектрального синтеза связано с переходом к более общим операторам 7Г*, сопряженным умножению на функцию 7Г. Формулировка аналитического факта продолжает свою трансформацию: </?, Ф — у лее целые функции конечного порядка. Это направление инициировано исследованием случая 7t(z) = z в работе В.А. Ткаченко [47]. Ситуация 7t(z) = zn исследована в работе А.Б. Шишкина [62, теорема 6.5]. Распространение этого результата на случай 7Г — многочлен осуществлено в [23, предложение 3.3] в векторной ситуации.

В диссертации рассматривается случай, частично исследованный ранее А.Н. Чернышевым: 7г — целая функция минимального типа при порядке р = 1. При этом рассмотрена векторная ситуация. Показано, что если функция 7г имеет вполне регулярный рост и всюду положительный индикатор при некотором порядке < 1, то аналитический факт (точнее его векторный аналог) остается справедливым. В частности, подпространство

Ws := {/ <= Я : (5, тr(D)kf) = 0, к = 0,1,.} для любого линейного непрерывного функционала S на Н допускает спектральный синтез.

2. Основной метод решения задач спектрального синтеза в комплексной области — метод аннуляторных подмодулей, развитый в работах И.Ф. Красичкова-Терновского еще в 1971 году. Этот метод предполагает переход от задачи спектрального синтеза к эквивалентной двойственной задаче — задаче локального описания подмодулей целых функций.

Пусть fii,., Г2П — выпуклые области в С; Hv = H{£lu) — пространство функций, аналитических топологией равномерной сходимости на компактах; Н — топологическое произведение Н\ х • • • х Нп. Символом tt(D) обозначим линейный дифференциальный оператор бесконечного порядка действующий на элементы / = (/i, •., fn) £ Н покомпонентно k(D) — линейный непрерывный оператор, действующий из Н в Н. Пусть Н* = Щ х . х Н* — сильное сопряженное к пространству Н. Обозначим Т преобразование, которое каждому функционалу S = (Su) Е Н* ставит в соответствие n-функцию </? — где фЛС) = ~~ целая функция экспоненциального типа.

Пусть Р — полный образ отображения Т. Отображение Т является линейным топологическим изоморфизмом пространства Н* на пространство Р. Оператор умножения на функцию 7Г(£) является непрерывным отображением из Р в Р. Это позволяет рассматривать Р как топологический модуль над кольцом С[7г] многочленов от 7г над полем С.

Множество U С С будем называть 7Г- симметричным, если найдется множество У С С такое, что U = 7Г1(У). Функция </?, аналитическая на открытом 7г-симметричном множестве U С С, называется 7г- симметричной, если она представляется в виде Ф о 7Г, где Ф — некоторая функция, аналитическая в точках множества

О (и) ~ кольцо ростков функций, аналитических в окрестностях

7Г (U).

Пусть ЛеС, Л — 7г-слой 7г 1(А), со — подмножество А, и, On{uj) — декартово произведение 0(и>) х • • • х О(со) п копий 0(u>), Ov(w) — кольцо ростков 7г -симметричных функций, аналитических в окрестностях и. Множество Оп(ш) рассматриваем как модуль над кольцом

Пусть I — замкнутый подмодуль в Р, w — конечное подмножество Л. Обозначим 1(и) минимальный подмодуль О7г(о;)-модуля Оп(и), включающий I. Ясно, что I{oj) состоит из всевозможных конечных сумм ьида а € (ЛгИ, <р® G I.

Если С о>2, ТО 1{ш2) с I(ui). Пересечение f| J(w) С 0»(А) wCA является 07Г(Л)-подмодулем в Оп(А) и называется локальным подмодулем /, ассоциированным с iv-слоем А, и обозначается /(А). Согласно этому определению, локальный подмодуль /(А) С Оп(А) исчерпывается ростками n-функций, аналитических в окрестностях А и представимых в виде ^ в окрестности каждого конечного подмножества w С I Здесь q — 7г-симметричные функции, аналитические в ^-симметричных окрестностях A, ip^ 6 I.

Подмодуль I допускает локальное описание (является обильным), если справедлива импликация: eP.^G 7(A) VA G С =>ip el.

Задача локального описания состоит в нахождении условий, при которых замкнутый подмодуль I С Р допускает локальное описание.

Задача локального описания имеет самостоятельное значение и может исследоваться вне зависимости от спектрального синтеза.

Вместе с тем, связь этой задачи с задачей спектрального синтеза в комплексной области имеет для последней решающее значение. Теоремы двойственности, осуществляющие переходы от одной задачи к другой, лежат в основе всех современных исследований по спектральному синтезу в комплексной области. Например, задача спектрального синтеза в отношении подпространства W$ эквивалентна задаче локального описания главного подмодуля С Р, определяемого как замыкание в Р множества

PV : р е С[ж}, <p(Q :=T(S)}.

Постановка и детальное исследование задачи локального описания для случая 7t{z) = z осуществлены в статьях И.Ф. Красич-кова-Терновского [16], [17]. К этим работам примыкает работа А.Н. Абузяровой [1]. Дальнейшие исследования по локальному описанию связаны с переходом к случаю тх(z) = zq. Первое исследование этой задачи осуществлено А.Б. Шишкиным в работах [61], [62] (см. также [20]).- Случай тг(z) = zq + aizq~l + . + aq исследован в работах [21] - [23].

В работе А.Н. Чернышева [58] впервые рассмотрен случай: п= 1, iv(z) — целая функция минимального типа при порядке р — 1. Обильность главных С [7г]-подмодулей в Р доказана им в предположении, что целая функция 7Г удовлетворяет следующим дополнительным условиям:

1) существует уточненный порядок р(г) —> р: 0 < р < 1 такой, что функция 7г является целой функцией вполне регулярного роста при этом уточненном порядке;

2) индикатор h{9) функции 7Г при уточненном порядке р{т) всюду положителен;

3) гр№ — вогнутая функция;

4) для любого е' > 0 найдутся положительные константы /3, h' такие, что вне некоторого множества кружков, линейная плотность которого не превосходит е', выполняются оценки

ИС)1 > Р,

-(О-К).^) ^'(01 равномерно по лежащем в круге — < Ы.

В настоящей работе рассмотрен случай: п > 1, ir(z) — целая функция минимального типа при порядке р = 1. Полученная аппроксимационная теорема позволяет доказать, в частности, обильность главных С[7г]-подмодулей в Р, при наложении на функцию 7г только двух первых из перечисленных выше дополнительных условий.

3. Рассмотрим основное содержание диссертации. Первая глава состоит из трех параграфов. Параграф 1.2 содержит развитие известной теоремы И.Ф. Красичкова-Терновского о расщеплении на случай уточненного порядка p(t) (теорема 1.2.1). При этом охватывается ситуация с нулевым порядком.

Выберем неотрицательную функцию р, определённую на луче t > 0. Считаем, что она возрастает, дифференцируема в окрестности Н-оо и

V МО V lim ^^ = +оо, lim . . = p < +oo. ' i^+oo In it t-*+oo fj,[t)

Две функции fi, /2 комплексной переменной называются р-эквивалентными (в обозначениях /1 ~ /2), если существует множество кружков Е = Ue^ нулевой линейной плотности такое, что n\fi{z)\-\n\f2(z)\ = o(p(\z\)), z~>oo, z<£E.

Пусть A = {А;} — последовательность отличных от нуля комплексных чисел-с единственной предельной точкой в бесконечности, n(t) = n(t; Л) — считающая функция, р = [/?]

G(Z,p-A) = YIg(J.>P) каноническое произведение. Справедлива следующая теорема о расщеплении: если где u(t) интегрируема по Риману, равна нулю в некотором полуинтервале [0, to) и подчинена условию < с (0 < с < +оо), то последовательность Л можно разбить на две подпоследовательности А = {«г} и В — {6г} таким образом, что при р £ N и некотором а£С.

Для случая fi(t) = t эта теорема доказана в работе И.Ф. Краси-чкова-Терновского [15, теорема 4.2].

Из теоремы о расщеплении и факторизационной теоремы Ада-мара для целых функций конечного порядка легко получить следующую факторизационную теорему: если целая функция f удовлетворяет условию а последовательность Л = {Ai} ее нулей удовлетворяет условию (0.1.1), то функцию f можно представить в виде произведения двух /л -эквивалентных множителей f = /1/2, где fi ~ /2.

0.1.1)

C(ziP]A)~G(z:P-B) при р £ N,

G{z,p- A)eazP ~ G{z,p- B)e~azP +00

В статье B.C. Азарина [2] эта теорема доказана для случая =tp,p> 0. В дальнейшем его результат неоднократно развивался, например, в статьях Б.Н. Хабибуллина [48], [50] и Р.С. Юл-мухаметова [65], [68]-[70]. Доказательство B.C. Азарина является альтернативным и опирается не на теорему о расщеплении, а на его результаты по аппроксимации субгармонических функций логарифмами целых функций. Приводимое ниже доказательство является более прозрачным и простым, так как является внутренним и не требует обращения к теории субгармонических функций.

Доказательство теоремы о расщеплении опирается на два промежуточных результата (теоремы 1.1.1 и 1.1.2). Их доказательству посвящен параграф 1.1.

Последовательность комплексных чисел Г = {7г-} называется d-близкой к последовательности А = {А^}, если ^ — Aj| < г — 1, 2,. Множество G называется а-удаленным от множества Р, если inf \h — z\ > a \z\ heP1 ' для любой точки z £ G. Символом 0(х) обозначаем произведение функции, модуль которой ограничен сверху положительным числом, на х. Множество кружков Е центрировано множеством Р, если каждая точка Р принадлежит по крайней мере одному кружку множества Е и каждый кружок множества Е содержит по крайней мере одну точку из Р.

Пусть р — 0. Тогда оказываются справедливыми две следующие теоремы. Для случая 0 < р < +оо аналогичные теоремы доказаны в статье И.Ф. Красичкова-Терновского [15, терема А, теорема В].

Теорема 1. Пусть целая функция f(z) удовлетворяет уеловию

- In Mfir) ^ /л lim -< с (0 < с < +oo), r->+oo fi[r) g(z) — целая функция с последовательностью корней Г = {7^} d -близкой к последовательности корней Л = {Аг-} функции f(z); Gcr — некоторое множество, а-удаленное от Л. Если In In MJr) lim —-< +00 r

In ll{r) и 0 < уз^ < cr < 1, то существует число I < +оо, зависящее от f(z) и g(z), такое, что при \z\ > I, z G Ga ln\g(z)\-ln\f(z)\=°^»(\z\). a l-d

Теорема 2. Пусть f(z) — целая функция, удовлетворяющая условию

In Mf(r) lim -/ < с (0 < с < +оо), r->+oo jj,{rj uO<a<l, О<!0<1. Тогда любой целой функции g(z), удовлетворяющей условию

In In Mg(r) lira "V""/9 'y < +00, r-*+oo In /i(r J с последовательностью корней Г = {7^} d -близкой (0 < d < к последовательности корней Л = {А^} функции f(z), можно поставить в соответствие множество кружков Е3 со свойствами:

1) Eg центрировано множеством Г (J А,

2) линейная плотность Ед не превосходит j3da2,

3) При Z £ Eg

Доказательства теорем 1 и 2 проводится по классической схеме, разработанной в [15]. Этих теорем достаточно, чтобы доказать теорему о расщеплении. Вместе с тем оценки из этих теорем можно уточнить, если опереться на результаты исследований зависимости возмущения субгармонической функции от возмущения ассоциированной с ней меры (см., например, [49], [54]).

Теорема о расщеплении является необходимым инструментом для доказательства аппроксимационной теоремы (теорема 1.3.1) — ключевой теоремы первой главы. Она доказана в параграфе 1.3. Отметим, что аппроксимационная теорема является развитием предложения 3.1 из статьи И.Ф. Красичкова-Терновского [23].

Вторая глава состоит из пяти параграфов и посвящена интерпретации полученных результатов в терминах задачи спектрального синтеза.

В первых четырех параграфах изложена схема двойственного перехода и основанное на этой схеме доказательство теоремы двойственности, утверждающей эквивалентность задачи спектрального синтеза для дифференциального оператора бесконечного порядка 7v(D) и задачи локального описания замкнутых С[7г]-подмодулей (п. 2.4.3).

В работе А.Б. Шишкина [63] развивается общий метод, позволяющий осуществлять двойственные переходы в задачах спектрального синтеза даже в условиях многих переменных. Следуя идеям из этой работы, двойственный переход разбивается на три отдельных шага. Два из них связаны с классическими задачами теории аналитических функций, и лишь один — с общей теорией двойственности. Специфика исследуемого двойственного перехода целиком определяется счетиостью слоев отображения 7Г : С —»■ С. При этом на функцию тт налагаются минимальные требования — минимальность типа при порядке р = 1.

Центральная теорема второй главы — теорема 2.5.1, которая утверждает, что главные С[7г]-подмодули в Р обильны. Стержнем доказательства является аппроксимационная теорема 1.3.1.

В конце второй главы (п. 2.5.2) приведена интерпретация основного результата по локальному описанию в терминах задачи спектрального синтеза. Возможность такой интерпретации предоставляет теорема двойственности (п 2.4.3).

Пусть S = (S,,) — фиксированный линейный непрерывный функционал на Я. Рассмотрим замкнутое 7г(.0)-инвариантное подпространство Ws С Я, определяемое следующим образом:

Ws:={feH: (S, тг (D)kf) = 0, к = 0,1,.}.

Из обильности главных С [7г]-подмодулей в Р следует положительное решение задачи спектрального синтеза в отношении подпространства Ws для любого S G Я* (теорема 2.5.2). Если тг — многочлен, то пространство Ws совпадает с ядром оператора 7Г-свертки или, другими словами, совпадает с подпространством решений однородного уравнения 7г-свертки [24]. Теорема 2.5.2 для этого случая доказана И.Ф. Красичковым-Терновским [24, теорема 3.2].

Значимость 7г(£))-инвариантных подпространств такого вида в большой степени определяется тем, что запас всех замкнутых 7г(.0)-инвариантных подпространств в Я исчерпывается пересечениями (возможно бесконечными) подпространств типа Ws. Так из теоремы Хана-Банаха вытекает, что любое замкнутое 7Г(D)-инвариантное подпространство W С Я можно представить в виде где W0 — аннулятор W в сопряженном пространстве Я*. Если 7Г — многочлен, то любое замкнутое 7г(1))-инвариаптное подпространство W С Н является подпространством решений системы однородных уравнений тг-свертки. Известно, например, что при 7г(£) = С любое замкнутое инвариантное подпространство, допускающее спектральный синтез, совпадает с множеством решений системы однородных уравнений свертки, содержащей не более двух уравнений [1], [51], [52], [53].

4. Основные результаты диссертации излагались на семинаре по теории функций в Славянском-на-Кубани государственном педагогическом институте (Славянск-на-Кубани, 2005 - 2009 гг.), в ходе работы Воронежской зимней математической школы (Воронеж, 2007, 2009 гг.), на «Уфимской международной математической конференции, посвященной памяти А.Ф. Леонтьева» (Уфа, 2007 г.), на международной математической конференции «Теория операторов. Комплексный анализ и математическое моделирование» (Волгодонск, 2007 г.), на кафедре математического анализа южного федерального университета (Ростов-на-Дону, 2009 г.).

5. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [39] - [45]. В совместных работах А.Б. Шишкину принадлежат постановка задач и намеченная методика их решения.

Автору приятно выразить признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Андрею Борисовичу Шишкину за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

1. Абузярова, Н.Ф. Об одном свойстве подпространств, допускающих спектральный синтез /Н.Ф. Абузярова // Мат. сб.- 1999. Т. 190, № 4. - С. 3-22.

2. Азарин, B.C. О разложении целой функции конечного порядка на сомножители, имеющие заданный рост / B.C. Азарин // Мат. сб. 1973. - Т. 90, № 2. - С. 229-230.

3. Ганнинг, Р. Аналитические функции многих комплексных переменных / Р. Ганнинг, X. Росси. — М. : Мир, 1969. — 315 с.

4. Гельфонд, А.О. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и асимптотические периоды целых функций / А.О. Гельфонд // Тр. МИАН. — 1951. — Т. 38. С. 42-67.

5. Епифанов, О.В. Нормальная разрешимость одного класса дифференциальных уравнений бесконечного порядка / О.В. Епифанов, Ю.Ф. Коробейник // Мат. сб. — 1971. — Т. 84(126), № 3. С. 378-405.

6. Епифанов, О.В. Разрешимость уравнения свертки в выпуклых областях / О.В. Епифанов // Мат. зам. — 1974. — Т. 15, № 5. С. 787-796.

7. Епифанов, О.В. К вопросу об эпиморфности оператора свертки в выпуклых областях / О.В. Епифанов // Мат. зам. — 1974.- Т. 16, № 3. С. 415-422.

8. Епифанов, О.В. Критерий эпиморфности свертки в произвольных областях комплексной плоскости / О.В. Епифанов // Мат. зам. 1982. - Т. 31, № 5. - С. 695-705.

9. Калинин, С.И. К вопросу об аппроксимации решения однородного уравнения свертки посредством элементарных /С.И. Калинин // Мат. зам. 1982. - Т. 32, № 2. - С. 199-211.

10. Коробейник, Ю.Ф. Существование аналитического решения дифференциального уравнения бесконечного порядка и характер его области аналитичности / Ю.Ф. Коробейник // Мат. сб. 1969. - Т. 80(122), № 1(9). - С. 52-76.

11. Коробейник, Ю.Ф. Уравнения свертки в комплексной области / Ю.Ф. Коробейник // Мат. сб. 1985. - Т. 127(169), № 2(6).- С. 173-197.

12. Коробейник, Ю.Ф. Нетривиальные разложения нуля по абсолютно представляющим системам. Приложения к операторам свертки / Ю.Ф. Коробейник // Мат. сб. — 1991. — Т. 182, № 5.- С. 661-680.

13. Коробейник, Ю.Ф. О разрешимости уравнения свертки в некоторых классах аналитических функций /Ю.Ф. Коробейник // Мат. зам. 1991. - Т. 49, № 2. - С. 74-83.

14. Коробейник, Ю.Ф. О. правом обратном для оператора свертки, действующего в пространствах ростков на связных множествах в С / Ю.Ф. Коробейник // Мат. сб. — 1996. — Т 187, № 1. С. 55-82.

15. Красичков, И.Ф. Сравнение целых функций конечного порядка по распределению их корней /И.Ф. Красичков // Мат. сб.- 1966. Т. 70(112), № 2. - С. 198-230.

16. Красичков-Терновский, И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. I. Спектральный синтез на выпуклых областях / И.Ф. Красичков-Терновский // Мат. сб. — 1972. Т. 87(129), №4. - С. 459 -489.

17. Красичков-Терновский, И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. II. Спектральный синтез на выпуклых областях / И.Ф. Красичков-Терновский // Мат. сб. — 1972. Т. 88, № 1. - С. 3-30.

18. Красичков-Терновский, И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. III. О распространении спектрального синтеза /И.Ф. Красичков-Терновский // Мат. сб. 1972. - Т. 88, № 3. - С. 331 -362.

19. Красичков-Терновский, И.Ф. Спектральный синтез аналитических функций на системах выпуклых областей / И.Ф. Красичков-Терновский // Мат. сб. — 1980. Т. 111(153), № 1. - С. 3-41.

20. Красичков-Терновский, И.Ф. Спектральный синтез оператора кратного дифференцирования / И.Ф. Красичков-Терновский, А.Б. Шишкин // Докл. АН СССР. 1989. -Т. 307, № 1. - С. 24-27.

21. Красичков-Терновский, И.Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. I. Теорема двойственности / И.Ф. Красичков-Терновский // Мат. сб. — 1991. — Т. 182, № 11. С. 1559-1588.

22. Красичков-Терновский, И.Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. II. Метод модулей / И.Ф. Красичков-Терновский // Мат. сб. — 1992. — Т. 183, № 1. С. 3-19.

23. Красичков-Терновский, И.Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. III. Обильные подмодули / И.Ф. Красичков-Терновский // Мат. сб. 1992. - Т. 183, № 6. - С. 55-86.

24. Красичков-Терновский, И.Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. IV. Синтез / И.Ф. Красичков-Терновский // Мат. сб. 1992. - Т. 183, № 8. - С. 23-46.

25. Красичков-Терновский, И.Ф. Спектральный синтез и локальное описание для многих пременных / И.Ф. Красичков-Терновский // Мат. сб. 1999. - Т. 63, № 4. - С. 101-130.

26. Кривошеев, А.С. Комплексный анализ и операторы свертки / А.С. Кривошеев, В:В. Напалков // УМН. 1992. - Т. 47, № 6(288). - С. 3-58.

27. Левин, Б.Я. Распределение корней целых функций / Б.Я. Левин. — М. : Гостехиздат, 1956. — 632 с.

28. Леонтьев, А.Ф. Ряды полиномов Дирихле и их обобщения / А.Ф. Леонтьев // Тр. МИАН. 1951. - Т. 39. - С. 93-118.

29. Леонтьев, А.Ф. Ряды экспонент / А.Ф. Леонтьев. — М. : Наука, 1976. 536 с.

30. Леонтьев, А.Ф. О суммировании ряда Дирихле с комплексными показателями и его применениии / А.Ф. Леонтьев // Труды математического института им. В.А. Стеклова. — 1971. — Т. 112. С, 300-326.

31. Леонтьев, А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент / А.Ф. Леонтьев. — М. : Наука, 1983. — 175 с.

32. Мелихов, С.Н. Линейный непрерывный правый обратный для оператора представления и приложения к операторам свертки / С.Н. Мелихов, Ю.Ф. Коробейник // Сибирский математический журнал. 1993. - Т 34, № 1. - С. 70-84.

33. Мелихов, С.Н. О линейном непрерывном правом обратном для оператора свертки на пространствах ростков аналитических функций на выпуклых компактах в С / С.Н. Мелихов, 3. Момм //. Известия вузов. Математика. — 1997. — № 5. — С. 38-48.

34. Мерзляков, С.Г. Инвариантные подпространства оператора кратного дифференцирования / С.Г. Мерзляков // Мат. зам.- 1983. Т. 33, № 5. - С. 701-713.

35. Мерзляков, С.Г. О подпространствах аналитических функций, инвариантных относительно оператора кратного дифференцирования / С.Г. Мерзляков // Мат. зам. — 1986. — Т. 40, № 5. С. 635-639.

36. Мерзляков, С.Г. Спектральный синтез для оператора дифференцирования на системах криволинейных полос / С.Г. Мерзляков // Мат. сб. 1995. - Т. 186, № 5. - С. 85-102.

37. Моржаков, В.В. Об эпиморфности оператора свертки в выпуклых областях из Сп / В.В. Моржаков // Мат. сб. — 1987.- Т. 132(174), № 3. С. 352-370.

38. Моржаков, В.В. Об уравнениях свертки в пространствах функций, голоморфных в выпуклых областях и на выпуклых компактах в Cn / В.В. Моржаков // Мат. зам. — 1974.- Т. 16, № 3. С. 431-440.

39. Письменный, Р.Г. Инвариантные подпространства дифференциального оператора бесконечного порядка / Р.Г. Письменный, А.Б. Шишкин // Воронежская зимняя мат. школа : тез. докл. — Воронеж : ВорГУ, 2007. С. 247-248.

40. Письменный, Р.Г. Инвариантные подпространства дифференциального оператора бесконечного порядка / Р.Г. Письменный, А.Б. Шишкин // Тез. докл. междунар. мат. конф. посвященной памяти А.Ф. Леонтьева. Т. 3. — Уфа: ИМВЦ, 2007. С. 36-37.

41. Письменный, Р.Г. Факторизационная теорема / Р.Г. Письменный // Вестник Адыгейского государственного университета.Серия "Естественно-математические и технические науки". — Майкоп: изд-во АГУ. — Вып. 9. — 2008. — С. 27-33.

42. Письменный, Р.Г. Теорема двойственности / Р.Г. Письменный // Дни науки: Сборник материалов научно-практической конференции преподавателей и студентов. — Славянск-на-Кубани, СГПИ. 2008. - С. 50-53.

43. Письменный, Р.Г. О плотности ^-симметричных многочленов / Р.Г. Письменный // Воронежская зимняя мат. школа : тез. докл. Воронеж: ВорГУ, 2009. - С. 137-138.

44. Письменный, Р.Г. Аппроксимация 7г-симметричными многочленами / Р.Г. Письменный // Современная математика и проблемы математического образования: труды Всероссийской заочной научно-практической конференции. — Орел: ОГУ, 2009. С. 86-89.

45. Письменный, Р.Г. О разложении целой функции конечного порядка на эквивалентные множители / Р.Г. Письменный // Известия Саратовского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. — Т. 9, № 1. - С. 19-30.

46. Робертсон, А. Топологические векторные пространства / А. Робертсон, В. Робертсон. — М. : Мир, 1967. — 259 с.

47. Ткаченко, В.А. Спектральная теория в пространствах аналитических функционалов для операторов, порождаемых умножением на независимую переменную / В.А. Ткаченко // Мат. сб. 1980. - Т. 112(154). - С. 421-466.

48. Хабибуллин, Б.Н. Разложение целых функций на эквивалентные множители / Б.Н. Хабибуллин // В сб. статей "Вопросы аппроксимации функций вещественного и комплексного переменных". Уфа. БФАН СССР. - 1983. - С. 161-181.

49. Хабибуллин, Б.Н. Сравнение субгармонических функций поих ассоциированным мерам / Б.Н. Хабибуллин // Мат. сб. — 1984. Т. 125(167), № 4(12). - С. 522-538.

50. Khabibullin, B.N. Decomposition of entire functions of finite order into equivalent factors / B.N. Khabibullin // Ten Papers in Russian. Transl., II. Ser., AMS, 1989, V. 142, P. 61-72

51. Хабибуллин, Б.Н. Замкнутые идеалы голоморфных функций с двумя порождающими / Б.Н. Хабибуллин // Мат. зам. — 2004. Т. 76, № 4. - С. 604-609.

52. Хабибуллин, Б.Н. Замкнутые подмодули голоморфных функций с двумя порождающими / Б.Н. Хабибуллин // Функциональный анализ и его приложения. — 2004. — Т. 38, № 1. -С. 65-80.

53. Хабибуллин, Б.Н. Спектральный синтез для пересечения инвариантных подпространств голоморфных функций / Б.Н. Хабибуллин // Мат. сб. 2005. - Т. 196, № 3. - С. 119142.

54. Хабибуллин, Б.Н. Variation of subharmonic function under transformation its Riesz measure / Б.Н. Хабибуллин, Е.Г. Куда-шева // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. 2007. - T. 3, № 1. - C. 61-94.

55. Хермандер, JI. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных/ JI. Хермандер. — М. : Мир, 1968. — 433 с.

56. Чернышев, А.Н. Спектральный синтез для бесконечного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. Теорема двойственности / А.Н. Чернышев. — М. : ВИНИТИ, Деп. 31.05.99. № 1732 -В99.

57. Чернышев, А.Н. Спектральный синтез для бесконечного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами.Теорема двойственности / А.Н. Чернышев // Труды ФОРА. 2001, № 6. - С. 75-87.

58. Чернышев, А.Н. К вопросу о полиномиальной аппроксимации целых функций // Изв. вузов Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Приложение. — 2004, № 1.

59. Чернышев, А.Н. Спектральный синтез для дифференциального оператора бесконечного порядка с постоянными коэффициентами : дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Чернышев Андрей Николаевич. — Армавир, 2004. — 100 с.

60. Шишкин, А.Б. Вопросы двойственности, связанные с задачей спектрального синтеза для оператора Dq. Современные проблемы математического анализа / А.Б. Шишкин. — М. : МОПИ, 1987. С. 117-133. - Деп. в ВИНИТИ 22.06.87. № 4489.

61. Шишкин, А.Б. Локальное описание замкнутых подмодулей в специальном модуле целых функций экспоненциального типа / А.Б. Шишкин // Мат. зам. 1989. - Т. 46, № 6. - С. 94-100.

62. Шишкин, А.Б. Спектральный синтез для оператора, порождаемого умножением на степень независимой переменной / А.Б. Шишкин // Мат. сб. 1991. - Т. 182, № 6. - С. 828848.

63. Шишкин, А.Б. Спектральный синтез для систем дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Теорема двойственности / А.Б. Шишкин // Мат. сб. — 1998. — Т. 189, № 9. С. 143-160.

64. Эдварде, Р. Функциональный анализ. Теория и приложения / Р. Эдварде. М. : Мир, 1969. - 1672 с.

65. Юлмухаметов, Р.С. Аппроксимация субгармонических функций / Р.С. Юлмухаметов // Analysis Mathematica. — 1985. — Т. 11, № 3. С. 257-282.

66. Юлмухаметов, Р.С. Однородные уравнения свертки / Р.С. Юлмухаметов // Препринт : Инст. мат. с ВЦ БНЦ УрО АН СССР, Уфа, 1990. С. 15.

67. Юлмухаметов, Р.С. Однородные уравнения свертки / Р.С. Юлмухаметов // ДАН СССР. 1991. - Т. 316. - С. 312315.

68. Юлмухаметов, Р.С. Расщепление целых функций с нулями в полосе / Р.С. Юлмухаметов // Мат. сб. — 1995. — Т 186, № 7. С. 147-160.

69. Юлмухаметов, Р.С. Разложение целых функций на произведение двух функций эквивалентного роста /Р.С. Юлмухаметов // Мат. сб. 1996. - Т 187, № 7. - С. 139-160.

70. Юлмухаметов, Р.С. Решение проблемы JI. Эренпрайса о факторизации / Р.С. Юлмухаметов // Мат. сб. — 1999. — Т 190, № 4. С. 123-157.

71. Юлмухаметов, Р.С. Спектральный синтез в ядре оператора свёртки в весовых пространствах / Р.С. Юлмухаметов // Алгебра и анализ. 2009. - Т. 21, № 2. - С. 264-279.

72. Beurling, A. On the synthesis of bounded functions / A. Beurling // Acta Math. 1949. - V. 81, № 3-4. - P. 225-238.

73. Dickson, D.G. Infinit order differential equations / D.G. Dickson // Proc. Amer. Math. Soc. 1964. - V. 15, № 4. - P. 638-641.

74. Ehrenpreis, L. Mean periodic functions / L. Ehrenpreis // Amer. J. Math. 1955. - V. 77, № 2. - P. 293-326.

75. Ehrenpreis, L. Fourier analysis in several complex variables / L. Ehrenpreis. — New-York: Wiley-Intersci. publishers. 1970. — 215 p.

76. Polya, G. Eine verallgemeinerung des Fabryschen Zuckensatzes / G. Polya // Nach. Gesell Sch. Wissensck. Gottingen. — 1927. P. 187-195.

77. Ritt, J.E. On a general class of linear homogeneous differential equations of infinite order with constant coefficients / J.E. Ritt // Trans. Amer. Mathem. Soc. 1917. — V. 18. — P. 27-49.

78. Schwartz, L. Theorie g6nerale des fonctions moyenne-periodiques / L. Schwartz // Ann. Math. 1947. - V. 48. - P. 857-929.

79. Valiron, G. Sur les solutions des Equations differentielles lin6ares d'order infinit et &coefficiens constants / G. Valiron // Ann. Ec. Norm. Sup. 1929. - V. 46. - P. 25-53.