Спектральный синтез для дифференциального оператора бесконечного порядка с постоянными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Чернышев Андрей Николаевич

Спектральный синтез для дифференциального оператора бесконечного порядка с постоянными коэффициентами

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону - 2004

Работа выполнена на кафедре математического анализа Армавирского государственного педагогического университета.

Научный руководитель:

Официальные опоненты:

Ведущая организация:

кандидат физико-математических наук, доцент Шишкин Андрей Борисович.

доктор физико-математических наук, профессор Мелихов Сергей Николаевич,

доктор физико-математических наук, профессор Хабибуллин Булат Нурмиевич.

Московский физико-технический институт (госуниверситет).

Защита состоится октября 2004 г. в 16.50 на заседании

диссертационного совета К212.208.06 по физико-математическим наукам в Ростовском государственном университете по адресу: 344090, г.Ростов-на-Дону, ул.Зорге, 5, механико математический факультет РГУ, ауд. 239.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ростовского государственного университета по адресу: г.Ростов-на-Дону, ул.Пушкинская, 148.

Автореферат разослан 10 сентября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета К212.208.06, кандидат физико-математических наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы исследования. Пусть Я — односвяз-

ная область в С; Н — Н(С1) — пространство функций, аналитических в Q, наделенное топологией равномерной сходимости на компактах; D : Н —* II | / f — оператор дифференцирования. Подпространство W С Н называется инвариантным относительно оператора D, если DW С W. Корневым подпространством оператора D, отвечающим собственному значению А 6 С, называется непустое подпространство {/€/?: (D — Л)п/ = 0, n£ N}. Элементы корневых подпространств принято называть корневыми элементами оператора. Говорят, что замкнутое инвариантное относительно оператора D подпространство W С Н допускает спектральный синтез, если замыкание линейной оболочки корневых элементов, лежащих в W, совпадает с W. Задача спектрального синтеза для оператора D состоит в нахождении условий, при которых замкнутое инвариантное подпространство W С Н допускает спектральный синтез.

Инвариантные подпространства W С Н оператора дифференцирования возникают естественным образом в той части комплекс -ного анализа, которая имеет дело с задачами аппроксимации аналитических функций линейными комбинациями экспонент и которая возникла в классической теории рядов Дирихле. Задача спектрального синтеза для оператора D в комплексной области представляет собой перенос на аналитические функции известной задачи Берлин-га о гармоническом синтезе на вещественной прямой. Впервые задача спектрального синтеза для оператора D была сформулирована в 1947г. Л. Шварцем в его известной монографии1 о периодических в среднем функциях.

Центральная тема спектрального синтеза для оператора дифференцирования — задача аппроксимации для однородного свер-точного уравнения: можно ли каждое решение такого уравнения "Schwartz L. // Ann. Math. 1947. V. 48. P. 857 - 929.

■jr-агУ 11 ' 1 I. ■■

*«£. UAU'»V

¿v'T.'iA

аппроксимировать линейными комбинациями элементарных решений. Уравнения; свертки и, в частности, уравнения бесконечного порядка, дифференциально-разностные уравнения с постоянными коэффициентами были предметом изучения многих математиков: Дж. Рит, Полна, Валирон, Р. Боас, Л. Эренпрайс, Д. Диксон, А. Мартино, А.О. Гельфонд, А.Ф. Леонтьев, Ю.Ф. Коробейник, И.Ф. Красичков-Терновский, В.В. Напалков, О.В. Епифанов, СВ. Знаменский и др. Это объясняется, с одной стороны, прикладными задачами и, с другой стороны, тем, что многие чисто теоретические вопросы сводятся к изучению уравнений свертки.

Систематические исследования по спектральному синтезу для оператора дифференцирования инициированы в 1971 г. И.Ф. Кра-сичковым-Терновским2. Первое исследование задачи спектрального синтеза для оператора кратного дифференцирования проведено С. Г. Мерзляковым. Более полное исследование ¿^-инвариантные подпространства получили в работах А.В. Шишкина и И.Ф. Красичкова-Терновского. В работах И.Ф. Красичкова-Тернов-ского исследована более общая задача — задача спектрального синтеза для дифференциального оператора

с постоянными коэффициентами.

Все известные результаты получены для дифференциальных операторов конечного порядка. Настоящее исследование посвящено спектральному синтезу для дифференциального оператора бесконечного порядка.

Цель работы. Исследовать с позиций спектрального синтеза замкнутые подпространства в Н инвариантные относительно диф-

'Красичков-Терновсхий И.Ф. // Магеы. сб. 1972. Т. 87(129), № 4. С. 459 - 489.

ферснциального оператора

бесконечного порядка с постоянными коэффициентами. Здесь

*(0 = 1>с*

— целая функция минимального типа при порядке р =1. Привести, по возможности, общие примеры положительного решения задачи спектрального синтеза для этого оператора.

Используемый метод. Основной метод решения задач спектрального синтеза в комплексной области — метод аннуляторных подмодулей, развитый в работах И.Ф. Красичкова-Терновского в 70-х годах XX века. Этот метод предполагает переход от задачи спектрального синтеза к эквивалентной двойственной задаче — задаче локального описания подмодулей целых функций.

Подобно тому, как при исследовании решений однородных дифференциальных уравнений конечного или бесконечного порядка основным инструментом являются характеристические функции, так и при исследовании инвариантных подпространств роль инструмента выполняют аннуляторные подмодули инвариантных подпространств — специальные классы целых функций, связанные с рассматриваемыми инвариантными подпространствами и обладающими алгебраической структурой подмодулей в модуле целых функций экспоненциального типа над кольцом многочленов. Каждому инвариантному подпространству определенным образом ставится в соответствие его аннуляторный подмодуль. Аннуляторные подмодули подпространств, допускающих спектральный синтез, обладают специальными аналитико-алгебраическими свойствами и называются обильными.

Содержание основных результатов и их новизна. Глава 1 содержит изложение схемы двойственного перехода и основанное

на этой схеме доказательство теоремы двойственности, утверждающей эквивалентность задачи спектрального синтеза для дифференциального оператора и задачи локального описания замкнутых подмодулей в специальном топологическом модуле целых функций (Гл. 1, п. 1.4.3).

В параграфе 1.1 осуществлены постановка задачи спектрального синтеза для оператора постановка задачи локального описания, а также изложена общая схема, лежащая в основе перехода от одной задачи к другой. Параграфы 1.2 и 1.3 посвящены реализации схемы двойственности в рассматриваемых условиях. Параграф 1.4 содержит доказательство теоремы двойственности.

Основное содержание второй главы посвящено доказательству теоремы о секвенциальной плотности многочленов в специальном весовом пространстве целых функций. В конце второй главы приведена интерпретация основного результата по локальному описанию в терминах задачи спектрального синтеза. Возможность такой интерпретации предоставляет теорема двойственности, доказанная в первой главе.

Параграфы 1.1-1.2 посвящены доказательству теоремы о секвенциальной плотности многочленов в специальном весовом пространстве целых функций. Основное содержание параграфа 2.3 посвящено доказательству обильности главных подмодулей в специальном модуле целых функций. В этом же параграфе приведена интерпретация основного результата по локальному описанию в терминах задачи спектрального синтеза.

Диссертация содержит следующие результаты, представленные к защите.

1. Связь задачи спектрального синтеза и задачи локального описания замкнутых подмодулей в специальном топологическом модуле целых функций — теорема двойственности.

2. Теорема о секвенциальной плотности многочленов в специ-

альном весовом пространстве целых функций (теорема 2.2.1).

3. Обильность главных подмодулей (теорема 2.3.1).

4. Положительное решение задачи спектрального синтеза по отношению к подпространствам вида

где 5 — фиксированный линейный непрерывный функционал на Н.

Полученные в диссертации результаты являются новыми.

Апробация работы. Основные результаты диссертации излагались на семинаре по теории функций в Армавирском государственном педагогическом университете (руководитель А.Б. Шишкин) в 1998 - 2003гг., в ходе региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых в Башкирском государственном университете (Уфа, 2003 г.) и на научном семинаре кафедры математического анализа (руководитель Ю.Ф. Коробейник) в апреле 2004 г. Отдельные результаты докладывались на научно-практической конференции "Развитие непрерывного педагогического образования в новых социально-экономических условиях на Кубани" (Армавир, АГПИ, 2000г.), на научно-практической конференции "Неделя науки" (Славянск-на-Кубани, Славянский-на-Кубани гос. пед. институт, 2000 - 2002гг.), на первой Международной научной конференции "Функционально - дифференциальные уравнения и их приложения" (сентябрь 2003 г., Дагестанский государственный университет), на межрегиональном семинаре "Современные проблемы математики и информатики" (октябрь 2003, Армавирский гос. пед. университет).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[7].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 62 наименования. Общий объем диссертации — 103 страницы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Первая глава содержит изложение схемы двойственного перехода и основанное на этой схеме доказательство теоремы двойственности.

Пусть 7г(г) = ск*к — целая функция минимального типа при порядке р = 1, отличная от константы. Пусть П -- выпуклая область в С\Н = Н{П) — пространство функций, аналитических в Г2, с

топологией равномерной сходимости на компактах. Символом 7г(£))

00

обозначим дифференциальный оператор бесконечного по-

рядка с постоянными коэффициентами. Результат действия тт(0)/ оператора 7т(Д) на элемент / & Н лежит в Н. Это позволяет рассматривать 7г(1>) как оператор, действующий из Н в Н. При этом оператор тг(.0) : Н —» Н является линейным и непрерывным3.

Собственным значением оператора 7г(Р) называется число удовлетворяющее уравнению при какой-

либо ненулевой функции / б Н. Алгебраическим спектром оператора тт{0) называется совокупность всех собственных значений этого оператора. Корневым подпространством оператора 7г(2Э),со-ответствующим собственному значению называется подпро-

странство Н, состоящее из элементов, каждый из которых при некотором п € N удовлетворяет уравнению (т(-О) — А)п/ = 0. Подпространство IV С Н называем инвариантным, если выполняется импликация

/ 6 Н => тг(£>)/ е Н.

Говорят, что замкнутое инвариантное подпространство W допускает спектральный синтез, если оно совпадает с замыканием в Н линейной оболочки корневых элементов оператора 7г(£>), содержащихся в Ж.

'Коробейник Ю.Ф. // Магем. об. 1968. Т. 75(117), Л» 2. С. 225 - 234.

Задача спектрального синтеза для оператора 7r( D): найти условия, при которых замкнутое инвариантное подпространство W С H допускает спектральный синтез.

Решение поставленной задачи связано с переходом к эквивалентной двойственной задаче. Пусть H* — сильное сопряженное к пространству Я. Обозначим Т преобразование Лапласа. Оно каждому функционалу S € H* ставит в соответствие целую функцию </з(£) = (S,exp£z) экспоненциального типа.. Пусть Р — полный образ отображения Т. Так как Í2 является односвязной областью в С, то отображение взаимно однозначно; оно индуцирует

в Р отделимую локально выпуклую топологию. Оператор умножения на функцию является непрерывным отображением из Р в Р. Это позволяет рассматривать Р как топологический модуль над кольцом С[7г] многочленов от тг над полем С.

Пусть Л € С, À — 7Г-слой 7Г_1(А). Функция с, голоморфная в окрестности 7г-слоя Л называется ж-симметричной, если в некоторой окрестности 7Г-слоя À она представляется в виде С о ir, где С — некоторая функция, голоморфная в окрестности точки Л. Обозначим — кольцо ростков функций, голоморфных в окрестностях 7Г-слоя Â, Ол(\) — кольцо ростков функций, 7Г-симметричных в окрестностях 7Г-слоя Л. Рассматриваем 0(Л) как модуль над кольцом

Пусть I — замкнутый С[7г]-подмодуль в Р, /(Л) — подмодуль 0„(Л)-модуля O(À), состоящий из ростков функций, голоморфных в окрестностях Â и представимых в виде конечной суммы ^ fi в окрестности каждого конечного подмножества тг-слоя Л. Здесь с, — 7Г-симметричные в окрестностях Л функции, <pt € I. Подмодуль I допускает локальное описание (в другой терминологии — является обильным), если справедлива импликация

<реР,<ре I(\) VA е С =>• у е /.

Задача локального описания состоит в нахождении условий, при ко-

торых замкнутый подмодуль /СР' допускает локальное описание.

Переход от задачи спектрального синтеза к задаче локального описания лежит в основе большинства известных работ по спектральному синтезу в комплексной области и вызывает значительные трудности. Известно несколько схем двойственного перехода. В настоящем исследовании используется общая.схема двойственного перехода, разработанная А.Б.Шишкиным4, находящая применение и в условиях многих переменных.

Пусть W — замкнутое инвариантное подпространство в Н. Это подпространство допускает спектральный синтез, если оно совпадает с замыканием в Н подпространства, натянутого на множество

— корневое подпространство оператора 7r(D), соответствующее собственному значению А. Пусть £(А) — совокупность экспоненциальных полиномов вида

]v\*(z)expC*¿>C* € зг-1 (Л),

где rfc — многочлены. Если для любого А 6 С корневое подпространство совпадает с замыканием в топологии Н множества задача спектрального синтеза равносильна так называемой задаче индуктивного описания: найти условия, при которых замкнутое инвариантное подпространство W совпадает с замыканием в Н подпространства, натянутого на множество Ua€C П£(А)).

С другой стороны, задача локального описания не предполагает топологизации локальных модулей 0(Х). Отступим от этого правила и будем считать, что локальный модуль О(А), А € С, наделен локально выпуклой топологией, в которой он как модуль над кольцом 0„(А) является топологическим. Получаем возможность говорить о замкнутых подмодулях в О(А). Обозначим через /(А) минимальный замкнутый подмодуль Off(A)-модуляО(А), содержащий подмодуль / СР. Так как О(А)-топологический модуль, то /(А) совпадает с замыканием в топологии Возникает новая задача 4Шишкин А.Б. // Матем. сб. 1998. Т. 189, .ТО. С. 143 - 160.

— задача проективного описания: найти условия; при которых оказывается справедливой импликация

f еР, f е 7(Х) VA е С => / е J.

Может случиться так, что все подмодули в 0„-(Л)- модулях 0(\) будут замкнуты. Тогда задача проективного описания эквивалентна задаче локального описания.

Постановка задач индуктивного и проективного описания приводит к разбиению двойственного перехода на три отдельные части:

1) от спектрального синтеза к индуктивному описанию,

2) от индуктивного описания к проективному описанию,

3) от проективного описания к локальному описанию.

Переход 1) связан с изучением корневых подпространств дифференциального оператора и выполнен в параграфе 1.2.

Пусть Л € С, Л --- 7Г-слой 7Г_1(А), £ € Â. Экспоненциальные одночлены.вида z*expÇz, Ç (Е Â, являются корневыми элементами оператора v(D) (соответствующими собственному значению А). Имеет место следующее предложение

Предложение 1.2.1 Корневое подпространство Е(А) оператора 7r(D), соответствующее собственному значению А € С, совпадает с замыканием в Н подпространства £(А), натянутого на множество всех экспоненциальных одночленов вида

z3 ехр Çz, Ç € Â.

Из этого предложения вытекает следующий результат

Предложение 1.2.2 Замкнутое инвариантное подпространство W Ç H допускает спектральный синтез тогда и только тогда, когда оно допускает индуктивное описание.

Предложение 1.2.2 сводит задачу спектрального синтеза к вопросу допустимости замкнутым инвариантным подпространством в Н индуктивного описания.

Переход 3), рассмотренный в параграфе 1.3, использует замкнутость подмодулей в топологизированных локальных модулях и основан на предложении типа леммы Круля.

Справедливо следующее предложение

Предложение 1.3.2 Пусть I - замкнутый С[7г] -подмодуль в Р. Для любого А € С локальный подмодульассоциированный

с я-слоем А = 7Г_1(А), замкнут в топологии 0(А).

Из этого предложения следует

Предложение 1.3.3 Замкнутый С[я]-подмодуль I С Р является обильным тогда и только тогда, когда он допускает проективное описание.

Переход 2) осуществляется в рамках общей теории двойственности. Этот переход изучен в указанной выше работе А.Б. Шишкина. Зафиксируем замкнутое подпространство IV С Н и рассмотрим его аннулятор V С Н*. По свойствам поляр V — замкнутое подпространство в Н*. Основой для перехода от задачи индуктивного описания к задаче проективного описания служит следующее утверждение: для того чтобы замкнутое подпространство Й'С Н допускало индуктивное описание, необходимо и достаточно,- чтобы его аннулятор V С Н" допускал проективное описание.

Замкнутое подпространство I — Т(У) С Р является замкнутым С[7г]-подмодулем в Р. Этот подмодуль обозначается Ап IV и называется аннуляторпым подмодулем инвариантного подпространства W. Опираясь на сформулированное выше утверждение, в параграфе 1.4 доказывается основной результат этой главы

Теорема двойственности. Замкнутое инвариантное подпространство [V С Н допускает спектральный синтез тогда и только тогда, когда его аннуляторный подмодуль Ап IV С Р является обильным.

Основное содержание второй главы посвящено доказательству теоремы о секвенциальной плотности многочленов в специаль-

ном весовом пространстве целых функций. В конце второй главы приведена интерпретация основного результата по локальному описанию в терминах задачи спектрального синтеза.

Обозначим М(г) максимум модуля функции зг на круге < Г. Пусть М-1 (г) — обратная к М(г) функция. Обозначим д(г) произвольную выпуклую по переменной 1пг неубывающую функцию 1И+ К+ такую, что для всех достаточно больших г, г' выполняются неравенства

Мг) < М-\г) < РМ(г), |р(г) - д(г')| < Цг - г'\ (1)

при некоторых

Функция /*(|А|) является субгармонической. Существование такой функции является принципиальным для всех последующих исследований. Вместе с тем, наличие выпуклой по переменной 1пг функции д(г), удовлетворяющей требуемым неравенствам, для любой функции минимального типа при порядке р = 1 остается под вопросом. Удается доказать ее существование лишь при некоторых дополнительных условиях на функцию 7Г. Для случая многочлена степени д роль функции /х(г) может выполнить функция Г'.

Пусть - неотрицательная субгармоническая на всей комплексной плоскости функция такая, что при некоторых А, В > О для любого выполняется неравенство

^(А)<Лр(|А|) + В.

Выберем произвольную убывающую последовательность по-

ложительных чисел. Предполагаем, что Поло-

жим

Обозначим Р(фт) семейство целых функций <р 6 Н(С), удовлетворяющих условию

АеС ехр{^т(Л)} <

Пространство Р(фт) является банаховым с нормой

При этом Р(ф i) Э Р(ф2) Э...Э Р(фт) =>...

00

Обозначим Т7^ пересечение Q Р(фт), наделенное топологией

т=1

проективного предела банаховых пространств Р(фт) относительно отображений вложения Vm : Р(фт)- Рассмотрим вопрос аппроксимации элементов пространства Vy полиномами. Основной результат по полиномиальной аппроксимации составляет теорема

Теорема 2.2.1 Пусть ф > 0 — субгармоническая на С функция, удовлетворяющая неравенствам

ф{\)<А11{\Х\) + В, \Ф(А) - £ СМ(|А| + |Л - А'|)|А - А'|

при всех достаточно больших по модулю А, А' 6 С и некоторых A,B,C> 0. Тогда многочлены секвенциально плотны в пространстве Т^ф.

Отметим, что доказательство теоремы 2.2.1 получено по схеме доказательства теоремы 12.3 из статьи А.С. Кривошеева и В.В. Напалкова 5 и опирается на результат Р.С. Юлмухаметова6 по аппроксимации субгармонических функций функциями вида 1п|/(г)|, где / — целая, и на аппроксимационную теорему Н. Сибони7.

Выполнение начальных условий теоремы 2.2.1 требует наложения на выбор целой функции дополнительных ограничений:

1) функция 7Г имеет вполне регулярный рост при некотором уточненном порядке р(г), удовлетворяющем условиям р(г) —♦ р, г —*

— вогнутая функция;

2) индикатриса роста hn{0) функции 7Г всюду положительна.

•Кривошеее A.C., Напалков В.В. // УМН. 1992. Т. 47, № 6(288). С. 3 - 58. 'Юлмухаметов P.C. // Anal. Math. 1985. V. 11,» 3. P. 257 - 282. TSibony N. // Ann. Inst. Fourier 1976. V. 28, № 2. P. 71 - 99.

При этих условиях справедливы следующие предложения. Лемма 2.3.1. Для всех достаточно больших г > 0 при некоторых d,D>0 выполняются неравенства

#(1пг) < M-1(r) < D^(lnr),

где М-1 — функция обратная к функции M(r) = max|7r(i)|, ф —

функция обратная к функции

Лемма 2.3.2. Для всех достаточно больших г,/ > 0 при некотором L> 0 выполняется неравенство

Таким образом, при наложении на функцию тг дополнительных ограничений 1) и 2), функция 0(1пг) удовлетворяет неравенствам (1). Следовательно, в теореме 2.2.1 под функцией ц(г) можно понимать функцию

Перейдем к рассмотрению главного результата по локальному описанию. Замкнутый С[7г]-подмодуль в Р называется главным, порожденным элементом <р & Р, если он совпадает с замыканием в Р множества элементов вида г<р, где г 6 СЭД. Вопрос обильности главных С[7т]-подмодулей в Р допускает исчерпывающее решение, основанное на приведенных в параграфе 2.2 исследованиях по проблеме аппроксимации целых функций многочленами в весовых пространствах целых функций

Пусть tp 6 Р, I — главный С[тг]-подмодуль в Р, порожденный элементом <р. Для доказательства обильности I достаточно убедиться в выполнимости импликации обильности

feP, / б /(Л) VA е С => fei.

Лемма 2.3.7 Если / G Р и / 6 /(А) длялюбого А € С, то существует целая 7Г 'Симметричная функция g такая, что / = gip.

Лемма 2.3.8 Если д — целая ж-симметричная функция, то существует целая функция G такая, что д = Сож.

Дальнейшие рассуждения связаны с применением теоремы 2.2.1 в конкретной ситуации. Зафиксируем произвольную целую функцию экспоненциального типа. Предположим, что функция представляется в виде <?(£) == <3(7г(С)), где С?(А) — это некоторая целая функция. Рассмотрим неотрицательную субгармоническую на С функцию

где.а(в) = Мехр{-(1 - в2)"1}. « € (-1.1), <*(«) = О, И >1,М

нормировочная постоянная, обеспечивающая выполнимость равенства

(¡и— элемент площади, h > 0. Возможность применения теоремы 2.2.1 предоставляют следующие леммы.

Лемма 2.3.5 При некоторых А,В > 0 для любых достаточно больших по модулю А € С выполняется неравенство

Лемма 2.3.6 Функция ф(Х) при некотором С > 0 и достаточно больших по модулю А, А' € С удовлетворяет условию

Опираясь на леммы 2.3.5 2.3.8 и на теорему 2.2.1, получаем центральный результат по локальному описанию в нашем исследовании.

Теорема 2.3.1 Главные С[и\-подмодули в Р обильны.

Доказательство теоремы 2.3.1 потребовало наложения на целую функцию 7Г весьма ограничительного условия:

ф{Х)<А(г(\Х\) + В.

№(А) - < Ст + |А - А'|)|А - А'|.

3) для любого е7 > 0 найдутся положительные константы р, Л' такие, что вне некоторого множества кружков {Ск : к = 1,2,...}, линейная плотность которого не превосходит г1, выполняются оценки.

К(01>р,

АО-АО

-7/(0

< JHOI

(2)

равномерно по лежащем в круге [£ — CI Л'.

Наложение на выбор функции 7Г ограничения 3) связано с методом доказательства, в котором возникает необходимость обращения функции 7Г в кругах фиксированного радиуса. Точнее, при доказательстве теоремы 2.3.1 существенным образом используется

Лемма;2.3.3.:.Пусть £ — фиксированная точка, лежащая-вне множества кружков {C/t : к — 1,2,...} линейной плотности, не превосходящей é > 0, вне которого выполняются оценки (2). Тогда в некоторой окрестности тонки £ функция 7Г является однолистной; Обратная функция 7Г_1 определена по крайней мере в круге |í — тг(С)| < \ph' и ее значения в этом круге лежат в круге

Отметим,.что запас целых функций, удовлетворяющий условиям 1) - 3) не пуст. Всем этим условиям удовлетворяет, например, функция 7г(С) = sin — cos

Теорема 2.3.1 допускает простую интерпретацию в терминах задачи спектрального синтеза. Пусть S G Н* — фиксированный-линейный непрерывный функционал. Преобразование Лапласа функционала S является целой функцией экспоненциального типа и содержится в пространстве Р. Рассмотрим подпространство определяемое следующим образом

Подпространство является замкнутым -инвариантным подпространством в Н. Выясняя строение аннуляторного подмодуля этого подпространства, получаем следующее

Предложение 2.3.1 Аннуляторный подмодуль /5 = Т(\Уд) подпространства совпадает с главным С[тг] -подмодулем в Р с образующей (р.

Доказанное предложение сводит задачу спектрального синтеза для инвариантных.подпространств типа.И^ к исследованию главных С[тг]--подмодулей в Р. Следующая теорема справедлива в предположении, что функция тг удовлетворяет условиям 1) - 3).

Теорема 2.3.2 Для любого Б € Н* замкнутое 7г(0)-инвариантное подпространство допускает спектральный синтез.

При 7г(С) = С введенное подпространство И^ совпадает с ядром оператора свертки или, другими словами, с множеством решений однородного уравнения свертки. Теорема 2.3.2 в этой ситуации доказана И.Ф. Красичковым-Терновским8. Если 7г(£) = £',то подпространство совпадает с множеством решений однородного уравнения д-свертки. В этой ситуации теорема 2.3.2 доказана С.Г. Мерзляко-вым9. Если 7г(С) - многочлен, то подпространство совпадает с множеством решений однородного уравнения тг-свертки. Аппрок-симационная задача для однородного уравнения -свертки решена И.Ф. Красичковым-Терновским10.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю А.Б. Шишкину за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

'Красвчков-ТерновскиЯ И.Ф. // Матем. сб. 1972. Т. 88, Л> 1. С. 3 - 30. 'Мерзляков С.Г. // Матем. заметки. 1986. Т. 40, Л» 5. С. 635 - 639. '"Красичков-Териовскяй И.Ф. // Матем. сб. 1992. Т. 183, Л» 6. С. 55 - 86.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Чернышев А.Н. Спектральный синтез для бесконечного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. Теорема двойственности. М.: ВИНИТИ, Деп. 31.05.99. № 1732 - В99.

[2] Чернышев А.Н. Спектральный синтез для бесконечного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. Теорема двойственности // Труды ФОРА, № б, 2001. - С. 75 - 87.

[3] Чернышев А.Н. Инвариантные подпространства бесконечного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами // Материалы первой Международной научной конференции, 22

- 26 сентября 2003 г. — Махачкала, издательство ДГУ, 2003. — С. 119 - 122.

[4] Чернышев А.Н. Спектральный синтез для бесконечного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике: Тезисы докладов 30 - 31 октября 2003 г. - Уфа: РИО БашГУ, 2003. - 156 с.

[5] Чернышев А.Н. Полиномиальная аппроксимация целых функций в специальном весовом пространстве // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике: ТОМ I - МАТЕМАТИКА. - Уфа: БашГУ, 2003.

- 200 с.

[6] Чернышев А.Н. Спектральный синтез для дифференциального оператора бесконечного порядка с характеристической функцией минимального типа. Теорема двойственности // Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов. Вып. 1 / Сост. Н.Г. Дендеберя, С.Г. Манвелов. — Армавир: Редакционно-издательский центр АГПУ, 2004. — 82 с.

[7] Чернышев А.Н. К вопросу о полиномиальной аппроксимации целых функций // Изв. вузов Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Приложение. 2004. № 1.

» 166 34

Подписано в печать 15.06.2004 г. Формат 60x84/16. Бумага типографическая. Гарнитура «Тайме». Объем 1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 32.

Отпечатано в Издательском центре СГПИ г. Славянск-на-Кубани ул. Коммунистическая, 2

Введение

Глава 1. Схема двойственности

1.1 Постановка задач. Схема двойственности.

1.1.1. Оператор tt(D).

1.1.2. Постановка задачи спектрального синтеза

1.1.3. Постановка задачи локального описания

1.1.4. Двойственность

1.2 Спектральный синтез и индуктивное описание

1.2.1. Индуктивное описание

1.2.2. Пространство М\

1.2.3. Спектральные вопросы.

1.2.4. Спектральный синтез и индуктивное описание

1.3 От локального описания к проективному описанию

1.3.1. Проективное описание.

1.3.2. Пространство N\.

1.3.3. Локальные вопросы.

1.3.4. Локальное и проективное описания.

1.4 Теорема двойственности.

1.4.1. Принцип двойственности.

1.4.2. Схема двойственности.

1.4.3. Теорема двойственности.

Глава 2. Локальное описание и спектральный синтез

2.1 Аппроксимационные теоремы.

2.1.1. Аппроксимация субгармонических функций

2.1.2. Полиномиальная аппроксимация целых функ

2.2 Полиномиальная аппроксимация целых функций в специальном весовом пространстве.

2.2.1. Функция М1(|Л|).

2.2.2. Функция /л(\Х\).

2.2.3. Пространство Тф.

2.2.4. Полиномиальная аппроксимация.

2.3 Главные С[7г]-подмодули в Р.

2.3.1. Условия на выбор функции тт

2.3.2. Промежуточные оценки.

2.3.3. Обильность главных С[7г]-подмодулей в Р

2.3.4. Связь с задачей спектрального синтеза

1. Пусть О — односвязная область в С; Н = H(Q) пространство функций, аналитических в наделенное топологией равномерной сходимости на компактах; D : Н —У H\f —> f - оператор дифференцирования. Подпространство W С Н называется инвариантным относительно оператора Z), если DW С W. Корневым подпространством оператора D, отвечающим собственному значению Л £ С, называется непустое подпространство {/ Е Н : (D — А)п/ = 0, п 6 N}.Элементы корневых подпространств принято называть корневыми элементами оператора. Говорят, что замкнутое инвариантное относительно оператора D подпространство W С Н допускает спектральный синтез, если замыкание линейной оболочки корневых элементов оператора D, лежащих в W, совпадает с W. Задача спектрального синтеза для оператора D состоит в нахождении условий, при которых замкнутое инвариантное подпространство W С Н допускает спектральный синтез.

Инвариантные подпространства W С Н оператора дифференцирования возникают естественным образом в той части комплексного анализа, которая имеет дело с задачами аппроксимации аналитических функций линейными комбинациями экспонент и которая возникла в классической теории рядов Дирихле. Задача спектрального синтеза для оператора D в комплексной области представляет собой перенос на аналитические функции известной задачи Берлинга о гармоническом синтезе на вещественной прямой [43]. Впервые задача спектрального синтеза для оператора D была сформулирована в 1947г. JI. Шварцем в его известной монографии о периодических в среднем функциях [51].

Центральная тема спектрального синтеза для оператора дифференцирования - задача аппроксимации для однородного еверточного уравнения: можно ли каждое решение такого уравнения аппроксимировать линейными комбинациями элементарных решений. Уравнения свертки и, в частности, уравнения бесконечного порядка, дифференциально-разностные уравнения с постоянными коэффициентами были предметом изучения многих математиков: Дж. Рит [50], Полиа [49], Валирон [54], Р. Боас [44], JI. Эренпрайс [46], [47], Д. Диксон [45], А. Мартино [48], А.О. Гель-фопд [4], А.Ф. Леонтьев [22] - [24], Ю.Ф. Коробейник [10], [11], И.Ф. Красичков-Терновский [12] - [14], В.В. Напалков [29], [21], О.В. Епифанов [5], С.В. Знаменский [6] [8] и др. Это объясняется, с одной стороны, прикладными задачами и, с другой стороны, тем, что многие чисто теоретические вопросы сводятся к изучению уравнений свертки.

Систематические исследования по спектральному синтезу для оператора дифференцирования инициированы в 1971 г. И.Ф. Красичковым-Терновским в статьях [12] - [14]. К этим работам примыкают работы В.А. Ткаченко [31], С.Г. Мерзлякова [28], С.И. Калинина [9], А.Н. Абузяровой [1] и др.

Дальнейшие исследования по спектральному синтезу в комплексной области связаны с переходом от оператора дифференцирования к оператору кратного дифференцирования Dq : Н —> H\f —» Первое исследование задачи спектрального синтеза для оператора кратного дифференцирования проведено С. Г. Мерзляковым [26], [27]. Более полное исследование Dq инвариантные подпространства получили в работах А. Б. Шишкина [34], [36] (см. также [15]) и в работе И.Ф. Красичкова-Терновского [19]. Последняя работа и работы [16], [17], [18] посвящены более общей задаче — задаче спектрального синтеза для дифференциального оператора 7r(D) = Dq + a\Dq~l + . + aqD°с постоянными коэффициентами. В работе [19] показано, например, что для выпуклой области инвариантной относительно поворота на угол у, задача спектрального синтеза для оператора 7t(D) равносильна, задаче спектрального синтеза для оператора кратного дифференцирования Dq.

Настоящее исследование посвящено спектральному синтезу для дифференциального оператора бесконечного порядка

00 тг(Я) = к=О с постоянными коэффициентами, где

00 n(o = Y^ckck к~0 целая функция минимального типа при порядке р = 1.

Хочется отметить, что направление математики, связанное с разработкой теории линейных дифференциальных операторов бесконечного порядка открыто в 60-ых годах XX века Ю.Ф. Коробейником (см., например, [10]). В частности, Ю.Ф. Коробейник нашел точные условия применимости таких операторов к различным классам аналитических функций и обосновал представимость любого непрерывного линейного оператора в пространстве функций, аналитических в круге, в виде дифференциального оператора бесконечного порядка. Для важного класса операторов бесконечного порядка с постоянными коэффициентами им исследованы граничные свойства аналитических решений неоднородного уравнения, задача Коши, представление и свойства беско-нечнодифференцирумых решений и т.д. В данной работе дифференциальный оператор бесконечного порядка с постоянными коэффициентами исследуется с точки зрения задачи спектрального синтеза.

2. Основной метод решения задач спектрального синтеза в комплексной области - метод аннуляторных подмодулей, развитый в работах И.Ф. Красникова-Терновского еще в 1971 году. Этот метод предполагает переход от задачи спектрального синтеза к эквивалентной двойственной задаче — задаче локального описания подмодулей целых функций.

Пусть Н* — сильное сопряженное к пространству Н. Обозначим Т преобразование, которое каждому функционалу S Е Н* ставит в соответствие целую функцию экспоненциального типа </?(£) = (5, exp (z). Пусть Р — полный образ отображения Т. Так как Q является односвязной областью в С, то отображение Т : Н* —>• Р взаимно однозначно [12, §2]; оно индуцирует в Р отделимую локально выпуклую топологию. Оператор умножения на функцию 7г(£) является непрерывным отображением из Р в Р. Это позволяет рассматривать Р как топологический модуль над кольцом С[7г] многочленов от 7г над полем С.

Пусть Л (Е С, Л — 7Г-СЛОЙ 7Г1(А). Функция с, голоморфная в окрестности 7г-слоя Л называется 7г-симметричной, если в некоторой окрестности Л имеет место представление с = С о 7г, где С некоторая функция, голоморфная в окрестности точки Л. Обозначим О(А) — кольцо ростков функций, голоморфных в окрестностях 7Г-СЛ0Я А, 07Г(А) — кольцо ростков функций, 7г-симметричных в окрестностях 7г-слоя А. Рассматриваем 0(А) как модуль над кольцом Отг(А).

Пусть / — замкнутый <С[7г]-подмодуль в Р, /(А) — подмодуль Оя-(А)-модуля 0(A), состоящий из ростков функций, голоморфных в окрестностях А и представимых в виде конечной суммы c№i в окрестности каждого конечного подмножества 7г~слоя А. Здесь q — 7г-симметричные в окрестностях А функции, (рг 6 /.

Подмодуль / допускает локальное описание (является обильным), если справедлива импликация р е P,ip е /(Л) VA е С (р е /.

Задача, локального описания состоит в нахождении условий, при которых замкнутый подмодуль / С Р допускает локальное описание.

Задача локального описания имеет самостоятельное значение и может исследоваться вне зависимости от спектрального сип-теза. Вместе с тем, связь этой задачи с задачей спектрального синтеза в комплексной области имеет для последней решающее значение. Теоремы двойственности, осуществляющие переходы от одной задачи к другой, лежат в основе всех современных исследований по спектральному синтезу в комплексной области.

Постановка и детальное исследование задачи локального описания для случая 7i(z) = z осуществлены в статьях И.Ф. Красич-кова-Терновского [12], [13]. К этим работам примыкает работа А.Н. Абузяровой [1]. Дальнейшие исследования по локальному описанию связаны с переходом к случаю п(z) = zq. Первое исследование этой задачи осуществлено А.Б. Шишкиным в работах [35], [36] (см. также [15]). Случай it(z) = zq + a\zq~l + . . . + aq исследован в работах [16] - [18].

Во всех известных исследованиях слои отображения тт : С —> С являются конечными. Это относится и к изученным ситуациям в условиях многих комплексных переменных. Отметим, что в условиях многих переменных к настоящему моменту получены относительно законченные результаты лишь по задаче спектрального синтеза для системы операторов частного дифференцирования D\,.,Dn и двойственной задаче — задаче локального описания C[zi,., ^-подмодулей целых функций (см., например, [37], [20] и [41J, [42], [21]). Настоящее исследование отличается от всех известных счетпостью слоев рассматриваемого отображения.

3. Рассмотрим основное содержание диссертации.

1. Абузярова Н.Ф. Об одном свойстве подпространств, допускающих спектральный синтез // Мат. сб. 1999. Т. 190, Ш 4. С. 3 - 22.

2. Азарин B.C. О лучах вполне регулярного роста целой функции // Матем. сб. 1969.Т. 79 (121). № 4. С. 463 476.

3. Ганнинг Р., Росси X. Аналитические функции многих комплексных переменных. М. : Мир, 1969.

4. Гельфонд А.О. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и асимптотические периоды целых функций // Тр. МИАН. 1951. Т. 38. С. 42 67.

5. Епифанов О.В. Об эпиморфизме свертки в выпуклых областях // ДАН СССР 1974. Т.217. № 1. С. 18 19.

6. Знаменский С.В., Козловская Е.А. Критерий эпиморфности оператора свертки с точечным носителем в пространстве функций, голоморфных на связном множестве в С // Докл. РАН. Математика. Т.368, №6, 1999

7. Знаменский С.В., Знаменская Е.А. Сюръективность оператора свертки с точечным носителем в пространстве функций,голоморфных на произвольном множестве в С // Докл. РАН. 2001. Т. 376. № 5. С 588-590.

8. Калинин С.И. К вопросу об аппроксимации решения однородного уравнения свертки посредством элементарных // Мат. заметки. 1982. Т. 32, № 2. С. 199 211.

9. Коробейник Ю.Ф. О решениях дифференциального уравнения бесконечного порядка, аналитических в некруговых областях // Матем. сб. 1966. Т. 71(113), № 4. С. 535 544.

10. Коробейник Ю.Ф. О решении некоторых функциональных уравнений в классах функций, аналитических в выпуклых областях // Матем. сб. 1968. Т. 75(117), № 2. С. 225 234.

11. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. I. Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. сб. 1972. Т. 87(129), № 4. С. 459 -489.

12. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. II. Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. сб. 1972. Т. 88, № 1. С. 3 30.

13. Красичков -Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. III. О распространении спектрального синтеза // Матем. сб. 1972. Т. 88, № 3. С. 331 362.

14. Красичков-Терновский И.Ф., Шишкин А.Б. Спектральный синтез оператора кратного дифференцирования // Докл. АН СССР. 1989. Т. 307, № 1. С. 24 27.

15. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. I. Теорема двойственности // Матсм. сб. 1991. Т. 182, № 11. С. 1559 1588.

16. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. II. Метод модулей // Матем. сб. 1992. Т. 183, № 1. С. 3 19.

17. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. III. Обильные подмодули // Матем. сб. 1992. Т. 183, № 6. С. 55 86.

18. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. IV. Синтез // Матем. сб. 1992. Т. 183, № 8. С. 23 46.

19. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез и локальное описание для многих пременных // Матем. сб. 1999. Т. 63, № 4. С. 101 130.

20. Кривошеев А.С., Напалков В.В. Комплексный анализ и операторы свертки // УМН. 1992. Т. 47, № 6(288). С. 3 58.

21. Леонтьев А.Ф. Ряды полиномов Дирихле и их обобщения // Тр. МИАН. 1951. Т. 39.

22. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М. : Наука, 1976. 536 с.

23. Леонтьев А.Ф. О суммировании ряда Дирихле с комплексными показателями и его применениии // Тр. матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 1971. Т. 112. С. 300 326.

24. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент // М. : Наука. 1983. 175 с.

25. Мерзляков С.Г. Инвариантные подпространства оператора кратного дифференцирования // Мат. заметки. 1983. Т. 33, № 5. С 701 713.

26. Мерзляков С.Г. О подпространствах аналитических функций, инвариантных относительно оператора кратного дифференцирования // Матем. заметки. 1986. Т. 40, JY° 5. С. 635 639.

27. Мерзляков С.Г. Спектральный синтез для оператора дифференцирования на системах криволинейных полос // Мат. сб. 1995. Т. 186, № 5. С. 85 102.

28. Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982. - 240 с.

29. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. М. : Мир, 1967.

30. Ткаченко В.А. Спектральная теория в пространствах аналитических функционалов для операторов, порождаемых умножением на независимую переменную // Матем. сб. 1980. Т. 112(154). С. 421 466.

31. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. М.: Мир, 1980. 304 с.

32. Хермандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. М. : Мир, 1968.

33. Шишкин А.Б. Вопросы двойственности, связанные с задачей спектрального синтеза для оператора Dq . Современные проблемы математического анализа / М. : МОПИ, 1987. Деп. в ВИНИТИ 22. Об. 87. № 4489. С. 117 133.

34. Шишкин А.Б. Локальное описание замкнутых подмодулей в специальном модуле целых функций экспоненциального типа // Матем. заметки. 1989. Т. 46, № 6. С. 94 100.

35. Шишкин А.Б. Спектральный синтез для оператора, порождаемого умножением на степень независимой переменной // Мат. сб. 1991. Т. 182, № 6. С. 828 848.

36. Шишкин А.Б. Спектральный синтез для систем дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Теорема двойственности // Матем. сб. 1998. Т. 189, №9. С. 143 -160.

37. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М. : Мир, 1969.

38. Юлмухаметов Р.С. Асимптотическая аппроксимация субгармонических функций // ДАН СССР, 1982. Т. 264. С. 839 -841.

39. Юлмухаметов Р.С. Аппроксимация субгармонических функций // Anal. Math. 1985. Т. 11. № 3. С. 257 282.

40. Юлмухаметов Р.С. Однородные уравнения свертки // ДАН СССР, 1991. Т. 316. С. 312 315.

41. Юлмухаметов Р.С. Однородные уравнения свертки // препринт Инст. мат. с ВЦ БНЦ УрО АН СССР, Уфа, 1990. С. 15.

42. Beurling A. On the synthesis of bounded functions // Acta Math. 1949. V. 81, № 3-4. P. 225 238.

43. Boas R.P. Differential equations of infinite order // J. Indian Math. Soc. 1950. V. 14. №. P. 15 20.

44. Dickson D.G. Infinit order differential equations // Proc. Amer. Math. Soc. 1964. V. 15, № 4. P. 638 641.

45. Ehrenpreis L. Mean periodic functions // Amer. J. Math. 1955. V. 77, № 2. P. 293 326.

46. Ehrenpreis L. Fourier analysis in several complex variables. -New-York: Wiley-Intersci. publishers. 1970.

47. Martineau A. Equations differentielles d'order infini // Bull. Soc. Math. France 1967. V. 95. P. 109 154.

48. Polya G. Eine verallgemeinerung des Fabryschen Ziickensatzes //Nach. Gesell Sch. Wissensck. Gottingen. 1927. P. 187 195.

49. Ritt J.E. On a general class of linear homogeneous differential equations of infinite order with constant coefficients // Trans. Amer. Mathem. Soc. 1917. V. 18, P. 27 49.

50. Schwartz L. Theorie generale des fonctions moyenne-periodiques // Ann. Math. 1947. V. 48. P. 857 929.

51. Sibony N. Approximation polynomiale ponderee dans un domaine d'holomorphic de C" // Ann. Inst. Fourier 1976. V.26. №2. P. 71-99.

52. Taylor B.A. On weighted polynomial approximation of entire function // Pacific J. Math. 1971. V. 36. P. 523 539.

53. Valiron G. Sur les solutions des e'quations differentielles line'ares d'ordcr infinit et a'coefficiens constants // Ann. Ec. Norm. Sup. 1929. V. 46. P. 25 53.

54. Чернышев A.H. Пространство аналитических функционалов // Сб.: Развитие непрерывного педагогического образования в новых социально-экономических условиях Кубани (Сборник тезисов), Армавир, 1996. С. 83 85.

55. Чернышев А.Н. Спектральный синтез для бесконечного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. Теорема двойственности. М.: ВИНИТИ, Деп. 31.05.99. № 1732- В99.

56. Чернышев А.Н. Спектральный синтез для бесконечного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. Теорема двойственности // Труды ФОРА, № 6, 2001. С. 75- 87.

57. Чернышев А.Н. Инвариантные подпространства бесконечного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами // Материалы первой Международной научной конференции, 22 26 сентября 2003 г. — Махачкала, издательство ДГУ, 2003. - С. 119 - 122.

58. Чернышев А.Н. Полиномиальная аппроксимация целых функций в специальном весовом пространстве // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике: ТОМ I МАТЕМАТИКА. - Уфа: БашГУ, 2003. - 200 с.

59. Чернышев А.Н. К вопросу о полиномиальной аппроксимации целых функций // Изв. вузов Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Приложение. 2004. № 1.