Кратная полнота собственных и присоединенных элементов оператора кратного дифференцирования тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ЛОКАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ ЗАМКНУТЫХ ПОДМОДУЛЕЙ

§1.1. Постановка задачи локального описания

§ 1.2. Локальные вопросы

§1.3. Критерий обильности

§ 1.4. Устойчивость

§1.5. Главные подмодули

ГЛАВА 2. СПЕКТРАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ ДЛЯ МАТРИЧНОГО

ОПЕРАТОРА КРАТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

§2.1. Постановка задачи спектрального синтеза

§2.2. Спектральные вопросы

§2.3. Двойственность

§2.4. Однородное уравнение g-свертки

§2.5. Системы однородных уравнений ^-свертки

Пусть G - выпуклая область в С; Я = H{G) - пространство голоморфных функций на G, с топологией равномерной сходимости на комdq пактах; q - фиксированное целое положительное число; Dq - ---оператор кратного дифференцирования в Я. Собственным значением оператора Dq называется комплексное число Л, удовлетворяющее уравнению (Dq - Xq )/ = 0, при каком-либо ненулевом /еЯ. Совокупность всех собственных значений оператора Dq называется его алгебраическим спектром. Корневым подпространством оператора Dq, соответствующим собственному значению Л, называется подпространство Я, состоящее из элементов /, каждый из которых при некотором удовлетворяет уравнению (Dq - Яр)к/ = О.

При всяком ЛеС экспонента еЛг <= Н удовлетворяет уравнению (Dq - Лq)f = 0. Значит, алгебраический спектр оператора Dq совпадает с С. Корневые элементы этого оператора, соответствующие собственному значению ЛеС имеют вид где гю - многочлены, Л - совокупность всех комплексных решений уравdzq е(2,Л) = ]Г r„(z)e»\ тел т где rk(z) = yYJak jzm'j - многочлены. Подбирая многочлены gk, степени

Jm О т, из условия

Элемент e0(z,X) = Лг является собственным элементом называются присоединенными к нему элементами. За счет выбора многочленов gk цепочка присоединенных элементов может иметь любую конечную длину т.

Пусть W - замкнутое подпространство в Я, инвариантное относительно оператора Dq. Корневые элементы оператора Dq, содержащиеся в подпространстве W, обладают важным свойством: элемент em(z,A),

Хф О, принадлежит инвариантному подпространству W тогда и только тогда, когда выполняются включения

Таким образом, всякий корневой элемент оператора D4, лежащий в инвариантном подпространстве W является либо собственным, либо присоединенным элементом этого оператора. элемент e(z) можно представить в виде оператора Dq. Элементы e0(z,A)efV, el(z,X)eWem(z,A)eW.

Согласно MJB, Келдышу [1], [2], система собственных и присоединенных элементов оператора Dq, лежащих в W, называется п-кратно полной в W, если любая система из п элементов fx,.,fn может быть представлена как предел линейных комбинаций N 1

Ы k iV

Задача о кратной полноте состоит в определении условий, при которых любая система из п элементов инвариантного подпространства W может быть представлена как предел линейных комбинаций собственных и присоединенных элементов оператора D9> лежа-щихв W.

Задача о кратной полноте является частной по отношению к более общей задаче, постановку которой рассмотрим ниже.

Пусть Gj,j = 1- совокупность выпуклых областей в комплексной плоскости; Я; = H(Gj) - пространство голоморфных функций на ; <? = (#1,- фиксированный набор целых положительных чисел;

Dq' dq> dzqi оператор кратного дифференцирования в Н j; Н - топологическое произведение Н1х.хНп;

Dqi О

Dq

О . Dq"

- оператор, действующий в Н, по правилу:

Dqi . . 0 fi Dqifi

0 . . Dq" fn Dq"fn

Dqf

Пусть р = Собственным значением оператора Dq называется комплексное число, удовлетворяющее уравнению (Dq -Ap)f = 0, при каком-либо ненулевом / е Н. Совокупность всех собственных значений оператора D4 называется его спектром. Корневым подпространством оператора Dq, соответствующим собственному значению Л, называется подпространство Н, состоящее из элементов, каждый из которых при некотором N удовлетворяет уравнению

Dq ~Лр)к/ = 0.

Пусть W - инвариантное относительно оператора Dq подпространство Н.

Задача спектрального синтеза для оператора Dq состоит в нахождении условий, при которых W совпадает с замыканием в Н линейной оболочки системы корневых векторов оператора

Dq.

Спектр оператора Dq совпадает с С, а корневые элементы этого оператора, соответствующие собственному значению ЯеС имеют вид

Ф)

Ф) • • •

Ф) где rj m - многочлены, - ;гу-слой ж~\Лр), жf - отображение, осуществляемое мономом zq'. Если ЛеС, то слой Лу исчерпывается элементами вида e)kPi* = {ekX)plq> , к = 0,.,p-lt отдельные из которых совпадают. Это позволяет представить элемент е{£) в другом виде e(z) = ri0)(z)em(z,Xplq) + -.+ r{p-l\z)e{p-x\z^plq), где emi ,kz sf/t^z V 0

•« • — • • • • ее"лг/ч"г 0

Vj - многочлены. Как и в скалярном случае можно показать, что любой корневой элемент оператора Dq, соответствующий собственному значению Я е С, допускает представление в виде def ( р-1 где v е N U {0}, g й) 0 0 к) о « £ = g(j ] - многочлены

5-1

Элемент e0(z,Z) = \gw(k)e(k)(z,A) является собственным элемено том оператора . Элементы def fp-1 ej(ztX) = Di

V*=o называются присоединенными к нему элементами. За счет выбора многочленов gjk) цепочка присоединенных элементов может иметь любую конечную длину т.

Присоединенный элемент ev(z,A) принадлежит инвариантному подпространству W тогда и только тогда, когда выполняются включения e0(z,A)eW, ex{z,X)^Wey(z,A)efF.

Таким образом, всякий корневой элемент оператора D4, лежащий в инвариантном подпространстве W, является либо собственным, либо присоединенным элементом этого оператора. Отсюда вытекает, что при п = \ задача спектрального синтеза и задача о кратной полноте эквивалентны, так как обе они вырождаются в задачу о полноте собственных и присоединен

При п> 1 задача спектрального синтеза - более общая. Действительно, пусть G, = . = Gn = G, W - замкнутое подпространство Я = H(G), инdq вариантное относительно оператора D4 -—. Тогда W" =Wx.xW clz замкнутое подпространство топологической степени Н = Н", инвариантное относительно оператора

Dq . . 0

0 . . Dq

Легко видеть, что задача спектрального синтеза для этого оператора, поставленная по отношению к инвариантному подпространству W" с Н, эквивалентна задаче о п -кратной полноте, поставленной по отношению к инвариантному подпространству W с Я.

Систематические исследования по спектральному синтезу в комплексной области инициированы И.Ф. Красичковым-Терновским. Его работы [3] - [9] по спектральному синтезу для операторов дифференцирования и покомпонентного дифференцирования являются отправными для всех последующих исследований в этом направлении. Задача спектрального синтеза для оператора покомпонентного кратного дифференцирования вытекает естественным образом из задачи спектрального синтеза для оператора покомпонентного дифференцирования и задачи спектрального синтеза для оператора кратного дифференцирования [10] - [20].

Спектральный синтез при n = q = \, W - пространство решений однородного уравнения свертки, изучался, в [21] - [27]. Для этих работ характерны ограничения типа оценок снизу для характеристической функции уравнения свертки. Эти ограничения отсутствуют в [3] - [5]. В этих работах случай n-q-\ исследован наиболее полно. Доказано, в частности, что пространство решений однородного уравнения свертки допускает спектральный синтез на любой выпуклой области.

Задача спектрального синтеза для оператора покомпонентного дифференцирования (случай п> 1, .~qn~\) рассматривалась в статьях [6], [7], [8], [9], [28]. В этих работах вскрывается и широко используется связь задачи спектрального синтеза с задачей локального описания замкнутых подмодулей. Задача локального описания имеет самостоятельное значение (см. [6], [7]), она затрагивает вопросы спектральной теории операторов, вопросы весовой аппроксимации многочленами (см. [29], [30]). В [6], [7] задача локального описания решается в общей постановке. Статья [6] содержит критерий обильности, т.е. необходимое и достаточное условие того, что замкнутый подмодуль допускает локальное описание. Это условие сводится к сочетанию двух условий - устойчивости и насыщенности, которые изучаются в [7]. Работы [8], [9], [28] содержат приложения к спектральному синтезу.

Перейдем к изложению основных результатов диссертации. Первая глава посвящена задаче локального описания.

Пусть Pj=P(Gj) - топологический C[z] -модуль целых функций экспоненциального типа, ассоциированный с Gy9 Р - топологическое произведение />(G1)x---xP(G„); C[ZЦ - совокупность всех диагональных матриц вида ф*) . 0

R = r{Zq) ■■

0 . r(zq*)

Г € C[z].

Отображение C[z]-»C[Z9] г -»R = r(Zq) является взаимно однозначным. Оно индуцирует в С[Z9] кольцевую структуру. Элементы / = (/,) из

Р трактуем как матрицы-столбцы, а элементы R из C[Zq] трактуем как левые мультипликаторы Р, с обычным матричным произведением, в качестве операции умножения на элементы из Р. Это позволяет рассматривать Р как топологический модуль над кольцом C[Z?].

Пусть Л е С; р = НОК^,); s, - фиксированные корни из единицы; nj - отображение, осуществляемое мономом z4'; - ;гу-слой я~}(Ар); Л=(Л1,.,Л„)', 0(ЛР) - кольцо ростков функций, аналитических в точке Лр; 0{Л}) - кольцо ростков функций u(Zj), аналитических в точках множества Л]; О (Л) = 0(Л1) х. х 0{Лп) - абелева группа матриц-столбцов и - (Uj(Zj)), иj е 0{Xj); Ор(Л) - кольцо диагональных матриц вида

C0irx(zx) . О С-сож= . . . ,сеО(Лр), О . с°жп(zn) с умножением, определяемым соотношением С1хСг = (с1хс2)°я, с нулевой и единичной матрицами, в качестве нулевого и единичного элементов, соответственно. Отметим, что элемент с о jtJ диагонали матрицы С определен в окрестности множества Д ,. и принадлежит кольцу 0(Aj). Отсюда

S»/ 1-W вытекает, что элементы О(Л) допускают умножение на элементы Ор(А). г*

Это позволяет рассматривать группу О(Л) как модуль над кольцом О (А).

Пусть / - множество в Р. Для любого АеС множество I порождает локальный подмодуль 1(A) с О (Я), состоящий из всевозможных конечных сумм вида С(1)/(1) +. + c{m)fim\ fu) е /, С{/) е Ор(А) .

Задача локального описания состоит в определении условий, при которых замкнутый C[Zq]-подмодуль /еР можно однозначным образом восстановить по набору {1(A)} , А е С, всех его локальных подмодулей. Элемент /е Р локально принадлежит I, в обозначениях / е / , если loc el (А) при любом Л. Подмодуль /€ Р называется обильным, если он содержит все элементы из Р, локально ему принадлежащие, то есть справедлива импликация: еР,/е/=>/е/. loc

Из определения обильных подмодулей следует, что только они допускают однозначное восстановление по своим наборам локальных подмодулей; таким образом, задача локального описания сводится к задаче: найти условия, при которых заданный подмодуль I является обильным.

Параграф 1.1 содержит постановку задачи. В параграфе 1.2 проведена характеризация локальных подмодулей. В параграфе 1.3 выводится критерий обильности, т.е. точное, необходимое и достаточное условие того, что заданный подмодуль в Р, допускает локальное описание. Как и в случае оператора покомпонентного дифференцирования, обильность эквивалентна выполнению двух условий - устойчивости и насыщенности. Исследование условия устойчивости содержатся в параграфе 1.4. В параграфе 1.5 доказывается обильность главных подмодулей в Р и автоматическое выполнение условия насыщенности для замкнутых подмодулей в Р ранга 1.

Вторая глава содержит приложение к задаче спектрального синтеза результатов первой главы.

Раскроем содержание второй главы. В параграфах 2.1- 2.3 рассмотрена двойственность задач спектрального синтеза и локального описания. Доказано, в частности, что подпространство инвариантное относительно оператора D4 допускает спектральный синтез тогда и только тогда, когда его аннуляторный подмодуль является обильным. В параграфе 2.4 подвергнуто исследованию пространство решений однородного уравнения q-сторонней свертки. В параграфе 2.5 рассмотрены некоторые системы однородных уравнений #-сторонней свертки, пространства решений которых допускают спектральный синтез. Отметим, что результаты второй главы получены главным образом благодаря теореме доказанной И.Ф. Кра-сичковым-Терновским [3, теорема 4.4]. Ее аналог играет ключевую роль при решении вопросов насыщенности, а значит, обильности рассматриваемых подмодулей.

Диссертация содержит следующие результаты, представленные к защите.

1. Точное, необходимое и достаточное условие положительного решения задачи локального описания для замкнутого C[Z?] -подмодуля в Р (критерий обильности).

2. Эквивалентность условий обильности и устойчивости для замкнутых подмодулей в Р ранга 1.

3. Связь задачи локального описания замкнутых подмодулей в Р и задачи спектрального синтеза для оператора Dq.

4. Исследование однородного уравнения q -сторонней свертки.

5. Точное необходимое и достаточное условие положительного решения задачи спектрального синтеза для систем однородных уравнений q -сторонней свертки, с характеристическими функциями, образующими систему ранга 1.

6. Положительное решение задачи спектрального синтеза для некоторых систем однородных уравнений q -сторонней свертки.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [35]

41].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю А.Б. Шизшшну за постановку задачи и полезные консультации.

1. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений. Доклады АН СССР, 1951. Т. 77, №1. С. 11-14.

2. Келдыш М.В., Лидский В.Б. Вопросы спектральной теории несамосопряженных операторов. Труды IV Всесоюзного математического съезда. Л.: Изд-во АН СССР, 1963. Т. 1, С. 101-120.

3. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. 1. Спектральный синтез на выпуклых областях//Мат. сб. 1972. Т. 87, №4. С. 459-489.

4. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. II. Спектральный синтез на выпуклых областях // Мат. сб. 1972. Т. 88, №1. С. 3-30.

5. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез аналитических функций на системах выпуклых областей // Мат. сб. 1980. Т. 3, №1. С. 3-41.

6. Красичков-Терновский И.Ф. Локальное описание замкнутых идеалов и подмодулей аналитических функций однрй переменной 1 // Известия АН СССР. Серия матем. 1979. Т. 43, №. С. 44-66.

7. Красичков-Терновский И.Ф. Локальное описание замкнутых идеалов и подмодулей аналитических функций одной переменной 2 // Известия АН СССР. Серия матем. 1979. Т. 43, №2. С. 309-341.

8. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез на системах выпуклых областей. Распространение синтеза // Мат. сб. 1980. Т. 112(154), №1(5). С. 94-114.

9. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез на системах неограниченных выпуклых областей // Мат. сб. 1980. Т. III, №3. С. 384401.

10. Мерзляков С.Г. Инвариантные подпространства оператора кратного дифференцирования//Мат. заметки. 1983. Т. 33, Вып. 5. С. 701-713.

11. Мерзляков С.Г. О подпространствах аналитических функций, инвариантных относительно оператора кратного дифференцирования // Мат. заметки. 1986. Т. 40, Вып. 5. С. 635-639.

12. Красичков-Терновский И.Ф., Шишкин А.Б. Спектральный синтез оператора кратного дифференцирования // Доклады АН СССР. 1989. Т. 307, №1. С. 24-27.

13. Шишкин А.Б. Локальное описание замкнутых подмодулей в специальном модуле целых функций экспоненциального типа // Мат. заметки. 1989. Т. 46, №6. С. 94-100.

14. Шишкин А.Б. Спектральный синтез для оператора, порождаемого умножением на степень независимой переменной // Мат. сб. 1991. Т. 182, №6. С. 828-848.

15. Шишкин А.Б. Спектральный синтез для систем дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Теорема двойственности//Мат. сб. 1998. Т. 189, №9. С. 143-160.

16. Шишкин А.Б. Спектральный синтез для систем дифференциальныхоператоров с постоянш»ти коэффициентами // Доклады АН РАН. 1997. Т. 355, №1. С. 28-30.

17. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. 1. Теорема двойственности//Мат. сб. 1991. Т. 182, №11. С. 60-77.

18. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. 2. Метод модулей И Мат. сб. 1992. Т. 183, №1. С. 3-19.

19. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. 3. Обильные подмодули//Мат. сб. 1992. Т. 183, №6. С. 5586.

20. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. 4. Синтез // Мат. сб. 1992. Т. 183, №8. С. 23-46.

21. Гельфонд А.О. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами бесконечного порядка и асимптотические периоды целых функций // Тр. Матем. ин-та им. В.АСтеклова. 1951. № 38. С. 42-67.

22. Леонтьев А.Ф. Ряды полиномов Дирихле и их обобщения // Тр. Матем. ин-та им. ВА.Стеклова. 1951. № 39. С. 1-215.

23. Леонтьев А.Ф. О представлении функций последовательностями полиномов Дирихле//Мат, сб. 1966. Т.70, № 1. С. 132-144.

24. Ritt J.E. Oil a general class of linear homogeneous differential equations of infinite order with constant coefficients // Trans. Amer. Mahtem. Soc. 1917. V. 18. P. 27-49.

25. Polya G. Eine verallgemeinerung des Fabryschen Zuckensatzes //Nachr. Gesell Sch. Wissensck. Gottingen. 1927. P. 187-195.

26. Valiron G. Sur les solutions des e'quations differentielles line'ares d'order infinit et a'coefficiens constants // Ann. Ec. Norm. Sup. 1929. T. 46. P. 25-53.

27. Dickson D.G. Jnfinit order differetial e'quations // Proc. Amer. Maht. Soc. 1964. V. 15, № 4. P. 638-641.

28. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез на системах выпуклых областей. Распространение синтеза // Мат. сб. 1980. Т. 112, №5. С. 94-114.

29. Никольский H.JI. Избранные задачи весовой аппроксимации и спектрального анализа // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 1974. №70.

30. Никольский Н.К. Инвариантные подпространства в теории операторов и теории функций // Сб. матем. анализа. Итоги науки 1974. № 12. С. 199-412.

31. Себастьян-и-Сильва Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложении // Математика. 1957. 1:1. С. 6077.

32. Азарин B.C. О разложении целой функции конечного порядка на сомножители, имеющие заданный рост // Мат. сб. 1973. Т.90, №2. С. 229-230.

33. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: Гос. изд. техн. литературы. 1956.

34. Дьедонне Ж., Шварц Л. Двойственность в пространствах (F) и (LF) // Математика. 1958. 2:2. С. 77-107.

35. Казарьянц А.Б. О совокупности всех подмодулей одного локального модуля // Развитие непрерывного педагогического образования в новых социально-экономических условиях на Кубани. Тезисы докладов. -Армавир. АГПИ. 1997. С. 63-64.

36. Казарьянц А.Б. Критерий обильности для подмодулей аналитических функций специального вида. // Армавир. 1998. 23 С. Деп. в ВИНИТИ 21.10.98, №3060-В98.

37. Казарьянц А.Б. Шишкин А.Б. Общее решение одного однородного уравнения типа свертки. // Развитие непрерывного педагогического образования в новых социально-экономических условиях на Кубани. Тезисы докладов. Армавир. АГПИ. 1999. С. 191-192.

38. Казарьянц А.Б. Общее решение одного однородного уравнения типа свертки. // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук. Нальчик. 2001. Т.5, №2. С. 23-28.

39. Казарьянц А.Б. К вопросу о кратной полноте собственных и присое