Дифференциальные операторы с периодическими комплекснозначными коэффицентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ . з

ГЛАВА I. О СПЕКТРЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ШШЛЕКСНОЗНАЧНЫМИ

KD ЭФФЩИЕНТАМИ

§ I. О семействе операторов

§ 2. О спектре операторов Т и L

ГЛАВА П. О СПЕКТРАЛЬНЫХ ОСОБЕННОСТЯХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ШРИОДИЧЕСКИМИ ГОШШЕКСНОЗНАЧ

НЫМИ ДОЭШЦИЕНТАМИ

§ I. О проекторах оператора 'V.

§ 2. О спектральных особенностях оператора

Г. ее

§ 3. О спектральных особенностях оператора

ГЛАВА Ш. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ Ш«ЕРЕНЦИАЛЬШХ ОПЕРАТОРОВ С ПЕРИОДШЕСКИМИ КОМШГЕКСНО

ЗНАЧНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТА.

§ I. О методике построения спектрального разложения

§ 2. Теоремы разложения

Сингулярные несамосопряженные дифференциальные операторы до последнего времени не были предметом исследования. Ввиду того» что абстрактная теория несамосопряженных операторов и теория самосопряженных операторов не дает никакого утверждения о спектральном разложении операторов с комплекснозначными коэффициентами, то такие операторы исследуются непосредственно. Одним из интересных случаев является случай дифференциальных операто ров с периодическими комплекснозначными коэффициентами*

В настоящей диссертации исследованы спектр, спектральные особенности, а также построено спектральное разложение, отвечаю»» щее замкнутому дифференциально^ оператору 'J1 , который порождается в пространстве ^ t~ дифференциальным выражением

CD fa = Рк^) С*-'*,")) с периодическими комплекснозначными коэффициентами.

По этому поводу есть работы Рофе-Бекетова Ф.С. [l2] , Мак-Гарвея [7]-[9j » Серова М.Н. [13] —[Х5/ , Гасымова М.Г. [3 а ,б] Ткаченко В.й. [l7j .

В работах Мак-Гарвея [7] - [9] и Рофе-Бекетова Ф.С. [12] доказано, что оператор Т7 имеет чисто непрерывный спектр, который совпадает с множеством тех значений Я , для которых уравнение l<f)-Z<J (2) имеет решение, ограниченное на всей оси -о^ ^х ^ <х> . oUi (А(Л)-гаЕ)=о дри ^

Если обозначим через оператор, порожденный в пространстве //^(О)1) дифференциальным выражением (I) и граничными условиями (К) . L-6 tic) х fd^ttfio) (3) то спектр оператора Т7 совпадает с объединением спектров операторов при -6 еСО^ЧГ]или, другими словами, с множеством корней характеристического уравнения

4) где Jtl] -матрица монодромии уравнения (2) и совпадает с матрицей Вронского для системы фундаментальных решений уравнения (2) при Х~ 1 . Следовательно, спектр состоит из аналитических кривых, расположенных в плоскости X . Спектр уравнения

- fVpiMp Р^Ч'Т-Ч - *> <*сто (5) подробно изучен в работах Серова (K^SjJя уточнен в работе

Рофе-Бекетова [12] . Основные результаты этих работ следующие:

I) Пусть КеР-0 , где Р- . о

Тогда характеристическое уравнение (4) имеет вид

ХСЖТ ; Т - Ы б[ы7 zTT-td] р c(--i р (6) z где F(X) -целая функция. Отсюда следует выводы: а) спектр состоит из конечного или бесконечного количества дуг, содержащихся в полосе

- 5

I 1»я\ < tomi и простирается вправо до бесконечности: б) собственные значения X^tt) операторов [oH^ffi) дважды покрывают спектр оператора / ♦ Именно в) спектр не может содержать замкнутых кривых. 2) Пусть Тогда характеристическое уравнение имеет вид if(l) = tos^- fp) где У I?.) " целая функция. Отсюда следует, что а) спектр содержит одну неограниченную компоненту, асимптотически приближающуюся к параболе л = >где и, возможно, несколько простых замкнутых контуров; б) никакой контур не может содержаться внутри другого; в) никакие два контура не имеют более одной общей точки; г) несколько компонент могут, вообще говоря, образовать цепочку, когда каждая следующая компонента имеет общую точку с предыдущей, но такая цепочка не может быть замкнутой.

Работа Гасъшова/За] посвящена исследованию спектра и разложения по собственным функциям дифференциального оператора ft , порожденного дифференциальным выражением в пространстве t~ в предположении, что коэффициент

•а имеет вид

ОС

7) и РВД ^

Л h-t h I

8) сходится. Очевидно, что fytx-) является периодической функцией на (-со joo) и допускает голоморфное продолжение на верхнюю полуплоскость. Оказывается, что спектр оператора А является чисто непрерывным и заполняет полуось /' оР <*>) , а на непрерывном спектре могут быть спектральные особенности I порядка, которые обязательно совпадают с числами вида • Для обобщенных собственных функций, отвечающих спектральным особенностям, можно ввести понятие обобщенных нормировочных чисел [ | • Доказывается, что по ним можно эффективно восстановить {•

Напомним некоторые определения, используемые в дальнейшем.

Определение I. Пусть S означает -поле боре лев ских подмножеств комплексной плоскости. Пусть Т7 - линейный оператор, область определения и область значений которого содержатся в /3 -пространстве X . Тогда оператор называется спектральным, если он замкнут и существует такая регулярная счетно-аддитивная спектральная мера В » определенная на И , что

I) [Т1) Э- Е(<£)Х 9 если G? ограничена,

И) ыт)

Ш) Спектр сужения

Т/е U) X определенного на множестве

Ъ(Г)п Ек удовлетворяет условию

S(rr/E^)x)cS 7 ёеЪ

Спектральная мера Е называется разложением единицы оператора Т-.

Определение 2. Спектральный оператор 'Т с разложением единицы Ё называется спектральным оператором скалярного типа, если и - существует

U^n и llEleLQx хе S) (Т)

7 ;

Большой интерес представляет нахождение такого условия на коэффициенты выражения (I), чтобы оператор ^ был спектральным оператором.

Этому вопросу посвящены работы Мак-Гарвея [7] -£э] .Мы сейчас приведем основные результаты этих работ, доказанные в конце [8] для уравнения П-го порядка. Остальные результаты являются сложными и не очень эффективными.

Теорема. Пусть ТC^J - оператор, порожденный в пространстве ^ (- <*>, о°) выражением 1

Если Ои - $ о и существует постоянная С О такая, что

Ч £ loo то T^fej - спектральный оператор скалярного типа.

Пусть Tfa J - оператор в пространстве порожденный операцией где 0L - действительное число.

Теорема. Пусть спектр оператора 7^С^о) имеет Ш. ограниченных компонент. Тогда не более чем при Уп. значениях параметра Л. оператор Т C'Qt) не будет спектральным.

Если м- <оо , то число значений Ои , при которых '[^J не спектральный, бесконечное и число нуль является единственной предельной точкой этого множества. В частности, при любом Ое- ^ о оператор *Гспектральный тогда и только тогда, когда спектр оператора не имеет ограниченных компонент.

Из работы Гасымова [з] и из этой теореш следует Замечание I. Если Cjr,tx) удовлетворяет условиям (7) и (8), то при любом (ft О оператор ^ГС^ои) спектральный.

В работе Ткаченко [17] рассматривается оператор L , порожденный в пространстве (г о°( о°) выражением с периодическими комплекснозначными коэффициентами, и доказывается, что если ^-^Фо при Ze S С&) (где F (2) функвС1 ция Ляпунова), т.е. если все собственные значения операторов простые при всех -6€£of9>lf] , то оператор L унитарно эквивалентен оператору умножения на треугольную матрицу.

Настоящая диссертация состоит из трех глав. В первой главе исследован спектр оператора Т и получены следующие результаты.

Теорема 1.4. Спектр оператора Т состоит из конечного числа связных кривых, если а) порядок уравнения (2) нечетный ( П-Sac-i ); б) порядок уравнения (2) четный ( 2м. ) и 1

§ R e pj^Ootx. о

Обозначим соответственно через L и дифференциальные операторы, полученные при

Этот случай исследован более подробно. Положим где 2n - собственное значение оператора L-e . При этих обозначениях доказывается следующая теорема.

Теорема 1.5. При -t^Ojir все собственные значения оператора простые, иначе говоря, компоненты f^ спектра взаимно не пересекающиеся аналитические дуги.

Очевидно, что концы Q есть ЯпСо) и Собственные значения операторов L0 и Ljf могут оказаться двухкратными. Тогда две кривые, скажем, и Гп+1 , соединяются друг с другом концами. Соединение двух кривых мы не относим к пересечению.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию спектральных особенностей оператора т .

Спектральными особенностями назовем те точки спектра, в окрестностях которых нарушается равномерная ограниченность проекторов. Работа Гасымова [3] показывает, что существует достаточно широкий класс периодических коэффициентов, при которых оператор Т имеет спектральные особенности.

Основные результаты второй главы диссертации следующие.

Теорема 2.2. Для того чтобы точка Я € $(Т^ сSffJбыла спектральной особенностью оператора Т , необходимо и достаточно, чтобы оператор в точке 2 имел присоединенную функцию.

Теорема 2.3. Оператор Т имеет конечное число спектральных особенностей, если а) порядок уравнения (2) нечетный ); б) порядок уравнения (2) четный и t о

В этой главе одномерному оператору Шредингера L посвящен отдельный параграф (§ 2,3), Из теорем 2.2 и 1.5 сразу получается следующее

Утверждение 2.1. Для того чтобы Я было спектральной особенностью оператора L * необходимо и достаточно, чтобы Л являлось кратным собственным значением операторов bo или Ljr и в точке Л It, или имел присоединенные функции.

В § 2.3 доказывается дополнительная теорема (другого типа) о спектральных особенностях. Для этого введем обозначения

FU1где fCX/lJ и PC*!*) решение уравнения удовлетворяющее условиям

Y10, Я)-о, ; &(t>,i)-t, ff'to,i)=o

Пусть X - корень уравнения f3'(2}-L/'0 кратности hU) • Если 2 - не корень, то .

Аналогичные функции для уравнений соответственно обозначим через

Mitt)? ?

Положим mill- тлч / 7 к L

Теорема 2.4. Следующие утверждения эквивалентны

I) 2 является спектральной особенностью оператора L » г) ,

Третья глава посвящена спектральному разложению оператора Т7 . В работе Мак-Гарвея , несмотря на глубокий анализ, не найдены условия на коэффициент, при которых одномерный оператор Шредингера L был спектральным. Поэтому оставался открытым вопрос, можно ли построить спектральное разложение для оператора L » а также для оператора ^ с любыми периодическими комплексными коэффициентами.

В третьей главе сформулирован положительный ответ на этот вопрос. В теореме о разложении используются следующие обозначения.

Пусть tj%(X}l)y- ' 7 tfy, tx, А) - фундаментальные решения уравнения (2). Положим tn-t) и, С»'1-) , , it c„-i) tf и?-* -■ U

Нетрудно видеть, что A -6) является характеристическим определителем оператора 7J • Обозначим через А к дополнение 0LhlK -го элемента определителя А [у> t) , Пусть, аналогично,

ZtMjZiLx,*),- ■■fZntx.i)

- фундаментальные решения сопряженного уравнения и Ск - допол-шие г*.

Пусть точки hiltf" "? являются спектральными особенностями оператора порядков £x7Lj.i ' "'■» соответственно. Положим

Kk(*,D--f 0 при

L при /Я'Я^ где S" - достаточно маленькое положительное число нение Cin к "*го элемента характеристической матрицы оператора } з m=ю - Z- ^ Чт - (£ емка)) (^мыыМмк) к--, '*"■'/ где

- <7°

- финитная функция из С~ •

А = 4-, с<а,*/ = f(JL 4- с* A^h и К-^" ^ ^ / * множество индексов тех спектральных особенностей, которые находятся в /Хр) teU/ъЩ ti-lj&j- — 1 . Тогда теорема о разложении имеет такой вид.

Теорема. Для каждой финитной непрерывной функции J имеет место следующее спектральное разложение хм- $ (j- [ Miidth^IMli^L f ZhlzirJ o(U)AW

10) J n где MK (x) - слагаемые, которые соответствуют спектральным особенностям.

Ряд в формуле (10) сходится по норме для любых 0L и

Используя выше введенные обозначения, спектральное разложение для оператора L можно записать в виде х)- Л. f фг Г h-1 р где /о (Я) - \jV-F4l)

Нетрудно видеть, что еояи / , то разложение (II) совпадает с разложением, предложенным в книге Титчмарша 16 . В самосопряженном случае (т.е. когда fy сх) действительная периода^ ческая функция) несколькими методами получено спектральное раз* ложение оператора / .

В работе Гельфанда [4] очень изящно доказывается теорема о разложении для самосопряженного уравнения любого порядка и даже для уравнения с частными производными.

Но при применении этого метода в несамосопряженном случае встречаются некоторые сложности. В первом параграфе третьей главы объясняется, что при прямом применении этого метода появляются трудности, которые невозможно преодолеть» Там же объясняется, как можно использовать этот метод. В дальнейшем, преодолевая технические трудности, получим спектральное разложение.

Г I А В А I

О СПЕКТРЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОШЛЕЮНОЗНАЧНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМ

Первая глава состоит из двух параграфов. В первом параграфе изучаются некоторые свойства операторов 7J (-6 9 которые порождаются в пространстве 1i) дифференциальным выражением f'+p^f* - -+ r»Lx)cif d.D и граничными условиями

У V)- & у (О) =

1*2) где f3KLx) zi> у - периодические комплекснозначные функции. Результаты этого параграфа носят вспомогательный характер и используются в дальнейшем в этой и других главах.

Во втором параграфе исследован спектр оператора Т^ > который порождается в пространстве 4г дифференциальным выражением (I.I), и подучены следующие основные результаты.

Спектр; оператора Т состоит из конечного числа связных кривых» если а) порядок выражения (I.I) нечетный ( n-3,jt-i ) 9 б) порядок выражения (I.I) четный и о f

J* f)xC*Jобос ф О

Обозначим соответственно через L и L^ дифференциальные операторы, полученные при

1.3) где (pix) - периодическая комплексная функция.

Во втором параграфе этот случай исследован более подробно и получен следующий результат.

При -t'tOjff все собственные значения оператора Lt продетые, иначе говоря, компоненты спектра оператора L не пересекаются друг с другом,

1. Беляев О.А. Одномерный оператор Шредингера с переодическим комдлекснозначным потенциалом, ДАН СССР, 250, 6, 1980, с. 1292-1296.

2. Гельфанд И.М. Разложение по собственным функциям уравнения с периодическими коэффициентами, ДАН СССР, 73, 6,.1950, с III7-II20.

3. Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, т.З, "Мир", М., 1974.

4. Кесельман Г.М. О безусловной сходимости разложений по собственным функциям некоторых дифференциальных операторов, Изв. ВУЗов СССР, Математика, № 2, 1964, с.82-93.

5. Лс. C&t/ty i). Ope-z&tats bonntnuicnq with it•j&HbZ&tton One. RtptzstniarfiOH ^keoz^MS, J7 Of мли-ih, owd. Of pi. ¥? 196Л, 5CG-410

6. C&bt/ey £>. Ptziuziccioon z^su/4s fot peuodcc qLljJ^ZX&ntbQlA Ореъжбоъъ. X <2/ (Utd Clfplli7 J96T?щМс. Ca,z/Vf $), ЩупшЛа? optbedoti Woth pWodUt СМЦсаШ^ ' 6/71 c-">>°°) • J? °4 кссМ/ cmql&%C$ алоС of pi- и, sp a

7. Михайлов Б.П. О базисах Рисса в (0}lJ , ДАН СССР, 144, 5,1962, с.981-984.

8. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы.- М.: Наука, 1969.

9. Рофе-Бекетов Ф.С. О спектре несамосопряженных дифференциальных операторов с периодическими коэффициентами, ДАН СССР, 152,6, 1963, с I3I2-I3I5.

10. Серов М.И. О некоторых свойствах спектра несамосопряженного дифференциального оператора второго порядка, ДАН СССР, 131, 1,1960, с. 27-30.

11. Серов М.И. О спектре одного несамосопряженного оператора, Уч.зап. Елабуж.пед.ин-та, т. УП, 1959.

12. Серов М.И. Асимптотическое поведение спектра линейного дифференциального оператора с периодическими коэффициентами, Уч.зап.Елабуж.пед.ин-та, т.УШ,1960.

13. Титчмарш Е.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, т.2. М.: ИЛ, 1961.

14. Ткаченко В.А. К спектральному анализу одномерного оператора Шредингера с периодическим комплекснозначным потенциалом. ДАН СССР, т.155, * 2, с.289-291.

15. Шкаликов А.А. О базисности собственных функций обыкновенного дифференциального оператора, УМН, том 34, вып. 5 (209), с. 235-236.