Осцилляционные интегралы и их приложения к решению задачи Коши для уравнений типа Шредингера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

п о ил - '» ДПР 199>*

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ом. М.ВЛОМОНОСОВА

Факультет Вычислительной математики и кибернетики

На оравах рукописи УД К 517.5 +517.95

КУРКИЕВ Ахмет Бесланович

ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ТИПА ШРЕДИНГЕРА

Специальность 01.01.02 - дифференциальные

уравнения

Автореферат диссертации за соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА - 1994

Работа выполнена на факультете вычислительной математики и кибернетика Московского государс таенного университета имени М.В.Ломоносова.

НАУЧНЫЙ руководгажь

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ

доктор физико-математическшс наук К.И. ОСКОЛКОВ

часов

- доктор физико-математических наук, профессор КОНДРАТЬЕВ Б.А.

- кандидат физико-математических наук ФИДИНОВСКИЙ A.B.

- Саратовский государственный университет.

Защита состоится "У- SL* ouib&kb 1ээУг. в 44

30

ЗБШАЯ ОРГАНИЗАЦИЙ

_мщут на заседании специализированного Совета

К.053.05.87 в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119699, Москва, Воробьевы горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики., аудитория (п $.

С диссертацией молшо ознакомиться в библиотеке факультета ШеК МГУ.

Автореферат разослан

Ученый секретарь Совета доцент

199

г.

Говоров В.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТЖА РАБОТЫ Актуальность теш диссертации

Разработка идей и методов решения многих уравнений в частных производных тесно связаны с исследованиями осциллирующих интегралов. Различные задачи теории чисел, теории уравнений в частных производных, теории вероятностей, квантовой механики,. акустики и оптики приводят к необходимости исследовать осциллирующие интегралы при больших значениях параметра.

Методы, основанные на преобразовании Фурье, применяются к изучению многих уравнений в частных производных. Введение интегральных операторов Фурье позволяет распространить эти методы на уравнения в частных производных с переменными коэффициентами. Применение интегральных .^операторов Фурье в качестве преобразований подобия позволяет йриводить псевдодифференциальные операторы к более простому виду. Идеи и методы, основанные на использовании псевдоднфференциальных операторов и интегральных операторов Фурье и изучении волновых фронтов распределений, получили в последнее время в математической литературе название "микролокальный анализ". Он был создан в 60-х -70-х годах в фундаментальных работах В.П.Маслова, Дк.Кона, Л.Ниренберга, Ю.В.Егорова, Л.Хермандера и других.

Осциллирующие интегралы имеют многочисленные приложения в различных областях математики и физики. В последнее десятилетие теория особенностей исключительно тесно связана с исследованиями осциллирующих интегралов.

Исследованиями свойств одного класса осциллирующих интегралов и приложений этих интегралов для построения решений задачи Коши для уравнений типа Шредингера занимались Оскол-

КОВ К.И., Архипов Г.И., Stein Е.М. И »aInger S.

Цель работы - представление обобщенного решения задачи Кош для уравнений типа Шредингера с периодическими и непериоди- . ческими начальными данными в виде суммы главного члена-осцшиья-ционного интеграла для непериодического случая и его дискретного аналога - тригонометрического ряда - в периодическом случае, и остаточного слагаемого, обладающего лучшими функциональными свойствами, нежели главный член. А также, доказательство ограниченности осцилляционного интеграла с кубическим многочленом в показателе экспоненты, представляющего собой обобщенное решение задачи Коши для уравнения Шредингера с дифференциальным оператором третьего порядка.

Научная новизна. Для обобщенного решения задачи Коши для уравнений типа Шредингера с непериодическими начальными данными получено представление в виде суммы главного члена, представляющего собой осцилляционный интеграл, и остаточного слагаемого, обладавшего лучшими функциональными свойствами, нежели главный член. В случае с периодическими начальными данными представление обобщенного решения задачи Коши для уравнения Шредингера Ь дифференциальными операторами 2-го и 3-го порядков в виде суммы главного члена-тригонометрического интеграла, - и остаточного слагаемого уточнено в том смысле,что уточнен класс функций, к которому принадлежит остаточное слагаемое. В целом, речь идет о выделении характерных особенностей решения задачи Коши для уравнений типа Шредингера. В основе предлагаемого алгоритма лежит аппроксимация исходной задачи Коши такой, у которой коэффициенты дифференциального оператора зависят только от времени и действительнозначны (коэффициент при старшем члене может быть и комплексно зкачным).

При построении решений задачи Коши для уравнений типа Шредингера используется один класс осцилляционных интегралов (интегралов И.М.Виноградова) и юс дискретный аналог -ряды И.М.Виноградова.

Понятие ряда и интеграла И.Ы.Виноградова было введено Осколновым К.И.

Ограниченность осцилляционного интеграла-с .кубическим многочленом в показателе экспоненты доказана с помощью представления ядра интегрального оператора в терминах функции Эйри.

Общая методика исследования. При обосновании содержащихся в диссертации утверадений использовались факты теории обыкновенных дифференциальных уравнений, линейной алгебры, теории чисел, теории возмущений, тригонометрических рядов,' асимптотических методов, теории почти-периодических функций.

Практическая и теоретическая ценность. Предлагаемый способ можно рассматривать как расширение методов теории возмущений для изучения многих уравнений в частных производных, а также глобальных и локальных свойств решений этих уравнений. Доказанная ограниченность осцилляционного интеграла с кубическим многочленом в показателе экспоненты может быть использована для исследования осцилляционных интегралов с многочленом произвольного порядка в показателе экспоненты.

Апробация работы. По результатам диссертации делались сообщения на Всесоюзной конференции молодых ученых на механико-математическом факультете в Д991 г., на научно-исследова-гельском семинаре в Математическом институте им.В.А.Стеклова РАН, на научно-исследовательских семинарах кафедры оптимального управления факультета ВМиК МГУ под руководством докторов

ф.-.м. наук Б.С.Кашина, К.И.Осколкова, 'М.С.Никольского, В.И.Елагодатских, Н.Л.Григоренко, в Лундском Университете (Швеция, 1992 г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах

[I] , И .

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех глав. Объем работы составляет 95 страниц машинописного текста. В библиографии приведено 31 название научных работ.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор, общая постановка задачи и описание основных результатов, содержащихся в диссертации.

В параграфе I первой главы приводятся вспомогательные результаты и даются определения, которые встречаются далее в диссертации.

Пусть ^ (ос} - комплекснозначная функция вещественной переменной с периодом "1 по ос. , т.е. ^(ое^^э^+ч^)

суммируемая на периоде, 4

0

коэффициенты Фурье ^ (ос.) . Будем считать также, что

V - натуральное, У ъ-Ъ , а .......} - ве-

щественные переменные. Дается понятие ряда И.Ц.Виноградова: рядом М.Виноградова или V - рядом называется тригонометрический ряд

к*-60

Сумма V - Ряда в тех точках [з^г, • -- Хч) вещест-

гУ

венного Г -мерного пространства с. , где она определена, является функцией переменных (.сс.^ х^.-ухч) и называется продолжением Виноградова ( V - продолжением степени Г )функции . Рассматривается задача Коши для уравнения Шредингера с переменными коэффициентами:

. чЧх.о)

где для данного вектора СС=(ССГ , —/ ОСЛ/ С*-0) с комплексными координатами через 1_»(_5с( Ъ) обозначен следующий алгебраический многочлен:

Через Ьх- и обозначены следущие дифференциальные

операторы

Функция ^[схГ) в задаче (I) - комплекснозначная и периодическая с периодом Л и принадлежит [_11С0,/0 » а коэффициенты ОС зависят от переменных х. и :

0С| - комплекснозначные функции, определенные в по-

лосе -&°<зс.<.&о , |-Ь1£ Т и периодические по ее. с периодом I

Далее, ищется обобщенное решение задачи (I) в классе регулярных функций , принадлежащих 1_»2"Со,<)

по переменной 'ОС, при каждом фиксированном -к е [-т, Т] Это означает выполнение для функции УС*-^) двух требова-

ний:

а) для произвольной бесконечно-дифференцируемой функции скалярное произведение

(у, сое.) ¿ос. -

абсолютно непрерывная функция -Ь- на отрезке и для почти всех

где Сои* (Х/'Ь), О-х.]) - формально сопряженный оператор для Ь(с>и , т.е.

(х^ ¿-О,*, к-;

б) начальное условие (рс.,0) выполняется в

смысле предела ■ Ч7^ ос,V) при в

т.е. < ^

В частном случае, когда коэффициенты дифференциального оператора [_, [оо, 0 ос) зависят только от времени "Ь-решение задачи (I) находится легко. Обозначим коэффициенты

= . При этом предполагается, что ОС - суммируемые функции, сС.*^),.......у принимают лишь

вещественные значения на отрезке ("Ц 4 Т :

; 1Ц4Т) (2)

(функция <£. о а) может быть комплекснозначной).

В этих условиях получим для обобщенного решения У х^)

следущую формулу:

о

В общем случае, когда коэффициенты ОС^ (%-,-к) дифференциального оператора зависят от и "Ь и представляют собой комплекснозначные функции в полосе ю ' |-Ц< Т" (т >о) , периодические по X с периодом I и "достаточно гладкие", задача (I) аппроксимируется такой , у которой коэффициенты оператора 1-» зависят только от времени "Ь- и выполнены условия (2). Тогда обобщенное решение задачи (I) может быть представлено в виде:

, (3)

где главный член Уо (я^) - носитель особенностей решения и V - продолжение, а "остаточное" слагаемое £(о^-Ь} обладает лучшими функциональными свойствами, чем главный член и при каждом фиксированном "Ь € С~Т,Т I принадлежит

классу по переменной ос, , т.е. абсолютно непре-

рывна на периоде ос. е. С о, < ) и

о

Второй параграф первой главы посвящен уточнению обобщенного решения (3) для случая Г = 2, т.е. когда степень диф-

ференциального оператора и в задаче (I) равна 2. Другими словами, уточнено решение задачи Коши доя уравнения Шредин-гера

' + ОЦСх^эсЛ ОСДХ,^^ (4)

ЧЧх.о) = ^Сх)

при тех же условиях, что и при решении задачи (I) из первого параграфа. Обобщенное решение (3) задачи 14) уточнено в том смысле, что функция <5Тзс/Ь) уже принадлежит классу

» г-е» Щ® Фиксированном "Ь е /

а при фиксированном ОС. е. С о,-!)

В третьем параграфе рассмотрен случай V- Ъ , т.е. когда степень дифференциального оператора равна 3. В атом

случае формулы получаются более громоздкими, чем в предцдущем. Поэтому для удобства вычислений решается следущая задача Коши для уравнения Шредингера:

[ 44^,0)^ О) . (5)

Обобщенное решение (3) задачи (5) уточнено таким образом, что остаточное слагаемое принадлежит не классу

У* , как в общем случае из первого параграфа, а классу » т'е- при фиксированном ^ е С-Т, Т1 /

- II -

а при- фиксированном X. в Со, -1}

Вторая глава посвящена решению задачи Коши для уравнения Шредингера в непериодическом случае, т.е. когда коэффициенты дифференциального оператора 1_» и начальные условия в задаче Коши непериодические. В § I приводятся вспомогательные сведения для доказательства основного результата главы, сформулированного в § 2 и доказанного в § 3. Рассмотрим интеграл

—1(6) - ьо

преобразование Фурье некоторой комплекснозначной функции

Значение интеграла (6) будем рассматривать как функцию (там, где она определена), зависящую от исходной функции

и Г вещественных переменных ____у00^} •

Эти функции называются Г -мерными продолжениями Виноградова функции ^(х) , или коротко V - интегралами и обозначаются

К.И.Осколковш была поставлена задача об обобщении, при определенных условиях, данного результата на непериодический случай, т.е. на случай непериодических коэффициентов дифференциального оператора 1_1 0 о.} и непериодическое

го начального условия в задаче (I). Одним из условий, при которых это возможно, является принадлежность коэффициентов CLjiXfb') дифференциального оператора L(oc, Dai) к классу равномерно почти-периодических или почти-периодических по Бору функций. (Иногда его называют классом непрерывных почти-периодических или обыкновенных почти-периодических функций).

Обозначим через Е. множество всех сумм вида

а через F - множество почти-периодических функций. Следуя Г.Бору, замыканием множества Ф функций tf(cc)

[_vo coj) будем называть множество И (4=0 » полу-чащееся из Ф присоединением к нему всех функций, которые можно аппроксимировать равномерно для всех 31 функциями этого множества ф . Основная теорема почти-периодических функций утверждает, что множество F представляет собой как раз замыкание множества Е , т.е. F= HIE) .

Пусть коэффициенты tt^ дифференциального

оператора D о^) в задаче (I) зависят от переменных

X и "Ь и являются комплексно значными функциями из класса Ь^г А К (Е) » определенными в полосе ,

Ьх. г

|-ЬКТ . • Здесь L^ - пространство функций f [xJ) , суммируемых в среднем квадратичном на любом компакте;

L ил,

пространство бесконечно-дифференцируемых функций /(*.)£ Ичое., все производные которых также принадлежат . А комплек-

снозначную функцию ^(х) (начальное условие) возьмем из ■класса L, [г*0/ • В этих условиях ищется обобщенное

решение задачи

в классе регулярных функций Ч^Х^-Ц) ' , принадлежащих ^ ъ«) по переменной ОС. при каждом фиксированном -Ье1г^1|ТЗ . Это означает выполнение следующих требований для №1,-Ь) :

а) для любой бесконечно-дифференцируемой функции / скалярное произведение

' С % «•) Ч'Сх.-Ь) е(х)(1 х. -

абсолютно-непрерывная функция на отрезке

|-Ь\< Т , и для почти всех 4;

где * -формально-сопряженный

оператор для Ь,^О-СХ.-Ц ,СХ^Л) , т.е.

в) начальное условие НЧ^/О) = £ С3^.) выполняется в смысле предела при -Ь —» О в

ИЧЧх/Е) - ^сх)|(2= ( Д^-Ю <Ц)

Принципиально схема доказательства в непериодическом случае аналогична периодическому.

- 14 -

Третья глава посвящена исследованию одного специфического осцилляционного интеграла. Получено условие ограниченности для осцилляционного интеграла с кубическим многочленом.

Этот интеграл можно представить в терминах обобщенного решения следующей задачи Коши для уравнения Шредингера:

где КХ) = £ j.'A ¿-г.

оС.А

- произвольный

многочлен с вещественными коэффициентами <С \ , L =1,2,3. Обобщенное решение задачи (7) имеет вид

. (8)

-■ВО

Специфика данного случая состоит в том, что ядро интегрального оператора, соответствующего (8), выражается в терминах функции Эйри, асимптотикой которой мы и пользуемся при оценке (8). В первой главе формулируется результат Л .Карлесона, обобщению которого и посвящена третья глава.

Теорема I. Пусть функция cfl'X) - финитная,

т(Л)~ -J ^^ - преобразование Фурье.

Предположим, что j f(oc) = OiV-W^ . Тогда

>■ cf (х) равномерно. А если функция :f(x)6 Нуг_ (класс функций Гельдера с показателем 1/Z), то последователь-

ность- £ ^ ^ ограничена, но не обязана сходиться.

Во втором параграфе сформулирован и доказан основной результат главы

Теорема 2. Пусть начальная функция $(х) в задаче (7) имеет компактный носитель и принадлежит классу И Т/^ .Тогда обобщенное решение (8) задачи (7) является ограниченным решением на компакте Ег .

Доказательство теоремы 2, в свою очередь, основано на следующей лемме.

Лемма. Рассмотрим интеграл

- оо

Пусть ^(.х) - финитная функция из класса К-гу^ и 1С -произвольный компакт в Е.2, . Тогда

В заключение автор выражает искреннюю благодарность и признательность своему научному руководителю К.И.Осколкову, а также Д.Б.Силину за постоянное внимание к работе. Я весьма признателен сотрудникам кафедры оптимального управления факультета ШиК МГУ за доброжелательную и теплую атмосферу, которая помогала мне в работе над диссертацией и способствовала успешному завершению работы.

- 16 -

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Дуркиев А.Б. Интегралы и ряды И.М.Виноградова в задаче Коши для уравнения Шредингера.1^к.деп.в ВИНИТИ. M.I99I.

2. Куркиев А.Б. Условие ограниченности осцшыяционных интегралов С КубИчесКЕМ многочленом, Analysis Mathematioa,

Г9 (1993).

т.р -¿ОС Зак._2

Предприятне «ПАТЕНТ». Москва, Г-59, Бережковская наб., 24