Осилляционные интегралы и их приложения к решению задачи Коши для уравнений типа Шредингера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА

Факультет Вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи УДК 517.5 +517.95

КУРКИЕВ Ахмет Беслаыович

ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ТИПА ШРЕДИНГЕРА

Специальность 01.01.02 - дифференциальные

уравнения

Автореферат диссертации за соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА - 1994

Paßora выполнена на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ

ОШЩМШЫЕ ОППОНЕНТЫ

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

¿L iL«

- доктор физико-математических наук К.й.ОСКОЛКОВ

- доктор физико-математических наук, профессор КОНДРАТЬЕВ Б.А.

- кандидат физико-математических наук ФИЛИНОВСКИЙ A.B.

- Саратовский государственный университет.

199^ г. в. 1К

Защита состоится часов З'О мингт на заседании специализированного Совета К.053.05.87 в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, аудитория (п % £

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ШиК МГУ.

Автореферат разослан

Ученый секретарь Совета доцент

г.

Говоров В.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы диссертации

Разработка идей и методов решения многих уравнений в частных производных тесно связаны с исследованиями осциллируйцих интегралов. Различные задачи теории чисел, теории уравнений в частных производных, теории вероятностей, квантовой механики,. акустики и оптики приводят к необходимости исследовать осциллирующие интегралы при больших значениях параметра.

Методы, основанные на преобразовании Фурье, применяются к изучению многих уравнений в частных производных. Введение интегральных операторов Фурье позволяет распространить эти методы на уравнения в частных производных с переменными коэффициентами. Применение интегральных операторов Фурье в качестве преобразований подобия позволяет приводить псевдодифференциальные операторы к более простому виду. Идеи и методы, основанные на использовании псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье и изучении волновых фронтов распределений, получили в последнее время в математической литературе название "микролокальный анализ". Он был создан в 60-х -70-х годах в фундаментальных работах В.П.Маслова, Дк.Кона, Л.Ниренберга, Ю.В.Егорова, Л.Хермандера и других.

Осциллирующие интегралы имеют многочисленные приложения в различных областях математики и физики. В последнее десятилетие теория особенностей исключительно тесно связана с исследованиями осциллирующих интегралов.

Исследованиями свойств одного класса осциллирующих интегралов и приложении этих интегралов для построения решений задачи Коши для уравнений типа Шредингера занимались Оскол-

КОВ К.И., Архипов Г.И., Stein Е.М. и TTalnger S.

Цель работы - представление обобщенного решения задачи Коши для уравнений типа Шредингера с периодическими и непериода- . ческими начальными данными в виде суммы главного члена-осц&лля-ционного интеграла для непериодического случая и его дискретного аналога - тригонометрического ряда - в периодическом случае, и остаточного слагаемого, обладающего лучшими функциональными свойствами, нежели главный член. А также, доказательство ограниченности осцилляционного интеграла с кубическим многочленом в показателе экспоненты, представляющего собой обобщенное решение задачи Коши для уравнения Шредингера с дифференциальным оператором третьего порядка.

Научная новизна. Для обобщенного решения задачи Коши для уравнений типа Шредингера с непериодическими начальными данными получено представление в виде суммы главного члена, представлящего собой осцилляционный интеграл, и остаточного слагаемого, обладавшего лучшими функциональными свойствами, нежели главный член. В случае с периодическими начальными данными представление обобщенного решения задачи Коши для уравнения Шредингера 6 дифференциальными операторами 2-го и 3-го порядков в виде суммы главного члена-тригонометрического интеграла, - и остаточного слагаемого уточнено в том смысле,что уточнен класс функций, к которому принадлежит остаточное слагаемое. В целом, речь идет о выделении характерных особенностей решения задачи Коши для уравнений типа Шредингера. В основе предлагаемого алгоритма лежит аппроксимация исходной задачи Кош такой, у которой коэффициенты дифференциального оператора зависят только от времени и действительнозначны (коэффициент при старшем члене может быть и комплекснозначным).

При построении решений задачи Кош для уравнений типа Шредингера используется один класс осцилляционных интегралов (интегралов И.Н.Виноградова) и их дискретный аналог -ряды И.М.Виноградова.

Понятие ряда и интеграла И.М.Виноградова было введено Осколковым К.И.

Ограниченность осцилляционного интеграла-с .кубическим многочленом в показателе экспоненты доказана с помощью представления ядра интегрального оператора в терминах функции Эйри.

Общая методика исследования. При обосновании содержащихся в диссертации утверждений использовались факты теории обыкновенных дифференциальных уравнений, линейной алгебры, теории чисел, теории возмущений,, тригонометрических рядов,' асимптотических методов, теории почти-периодических функций.

Практическая и теоретическая ценность. Предлагаемый способ можно рассматривать как расширение методов теории возмущений для изучения многих уравнений в частных производных, а также глобальных и локальных свойств решений этих уравнений. Доказанная ограниченность осцшшяционного интеграла с кубическим многочленом в показателе экспоненты может быть использована для исследования осцилляционных интегралов с многочленом произвольного порядка в показателе экспоненты.

Апробация работы. По результатам диссертации делались . сообщения на Всесоюзной конференции молодых ученых на механико-математическом факультете в Д991 г., на научно-исследовательском семинаре в Математическом институте им.В.А.Стеклова РАН, на научно-исследовательских семинарах кафедры оптимального управления факультета ВМиК МГУ под руководством докторов

ф.-.м. наук Б.С.Кашина, К.И.Осколкова, М.С.Никольского, В.И.Епагодатских, Н.Д.Григоренко, в Лундском Университете (Швеция, 1992 г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах

[I] , И .

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех глав. Объем работы составляет 95 страниц машинописного текста. В библиографии приведено 31 название научных работ.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор, общая постановка задачи и описание основных результатов, содержащихся в диссертации.

В параграфе I первой главы приводятся вспомогательные результаты и даются определения, которые встречаются далее в диссертации.

Пусть £ - комплекснозначная функция вещественной переменной с периодом 1 по X , т.е.

суммируемая на периоде, 4

£ (■*) = ^ ^ ¿ОС- 0= 0,±Л}... ) -

о

г

коэффициенты Фурье (ос.) . Будем считать также, что

V - натуральное, к* ъ-Ъ , а сс^......., - ве-

щественные переменные. Дается понятие ряда И.М.Виноградова: рядом И.М.Виноградова или V - рядом называется тригонометрический ряд

Сумма V - РЭДа в тех точках [х-г,----/ '-^-О вещественного Г -мерного пространства Е*" , где она определена, является функцией переменных (^^ос-г-«, ■■■¡^■■у) и называется продолжением Виноградова ( V - продолжением степени Г )функции . Рассматривается задача Коши для уравнения Шредингера с переменными коэффициентами:

rue для данного вектора 0С=(0Lr 1 —с комплексными координатами через LCot, ъ) обозначен следующий алгебраический многочлен:

+ ОЦЧ: + 0Со

Через Dec. и Ь*. обозначены следующие дифференциальные операторы

. _ h _ ■

Функция ^(сс) в задаче (I) - комплекснозначная и периодическая с периодом Л и принадлежит L^C0, <) , а коэффициенты 0L зависят от переменных сс. и "t :

CCj (х,-^) - комплекснозначные функции, определенные в полосе -< < оо , |tl < Т и периодические по сс, с периодом I .

Далее, ищется обобщенное решение задачи (I) в классе регулярных функций У (3c.,t) , принадлежащих L^CO/i) попеременной ЗС. при каждом фиксированном -L е Т] Это означает выполнение для функции f (ос.¡4:) двух требова-

ний:

а) для произвольной бесконечно-дифференцируемой функции ^(х)f ^ (х) скалярное произведение

абсолютно непрерывная функция 4> на отрезке Щ ¿Т* ? и для почти всех -Ь

где - формально сопряженный оператор

для L . т.е.

c^aitx^ihycJ; DtSC4

j=S J

б) начальное условие t3^ выполняется в

смысле предела Ч'У'а^-Ь} при -"»О в L^Co/l)

В частном случаю, когда коэффициенты дифференциального оператора L> (ос, Doc) зависят только от времени "Ь решение задачи (I) находится легко. Обозначим коэффициенты

OLXx^bC^), ¿ЛЬ), OLr.+ Cx&^t.r-M

CLripCjty-irltya. -i . При этом предполагается, что OL - суммируемые функции, сСч (-t),.......j cCr.< (i) принимают лишь

вещественные значения на отрезке |"Ц 4 Т :

; JiliT) (2)

(функция <£. 0

может быть комплекснозначной). В этих условиях получим для обобщенного решения У {{-• я^-Ь)

следующую формулу':

-I о

В общем случае, когда коэффициенты (ос. ^ дифференциального оператора 1-» зависят от сс. и ~Ь и представляют собой комплекснозначные функции в полосе -е® < &о |-Ц < Т (т > о) , периодические по X с периодом I и "достаточно гладкие", задача (I) аппроксимируется такой , у которой коэффициенты оператора 1-* зависят только от времени ■Ь и выполнены условия (2). Тогда обобщенное решение задачи (I) может быть представлено в виде:

* (з)

хде главный член - носитель особенностей решения

и V - продолжение, а "остаточное" слагаемое об-

ладает лучшими функциональными свойствами, чем главный член и при каждом фиксированном "Ь ^ С~Т|Т!] принадлежит

классу

по переменной си. , т.е. абсолютно непрерывна на периоде 'Ос. & С < ) и

А '

о

Второй параграф первой главы посвящен уточнению обобщенного решения (3) для случая Г = 2, т.е. когда степень диф-

ференциального оператора в задаче (I) равна 2. Другими

словами, уточнено решение задачи Коши для уравнения Шредин-гера

ОД = + ос ос0[х ,-ь) ч>^

4)

НЧх.о) = ^Сос)

при тех же условиях, что и при решении задачи (I) из первого параграфа. Обобщенное решение (3) задачи Н) уточнено в том смысле, что функция уже принадлежит классу

*\А(г. » г,е* ИРИ фиксированном

а при фиксированном СС. е. С о, -()

В третьем параграфе рассмотрен случай К*= Ъ , т.е. когда степень дифференциального оператора [_1 равна 3. В этом случае формулы получаются более громоздкими, чем в предыдущем. Поэтому для удобства вычислений решается следующая задача Коши для уравнения Шредингера:

[ ^ СХ, о) - £ С^) . (5)

Обобщенное решение (3) задачи (5) уточнено таким образом, что остаточное слагаемое £ (Х/"^) принадлежит не классу ^ » как в общем случае из первого параграфа, а классу > г-е- при: фиксированном 4: е Г-Т^ТЯ /

- II -

а при фиксированной осе. Со, л)

Вторая глава посвящена решению задачи Коши для уравнения Шрвдингера в непериодическом случае, т.е. когда коэффициенты дифференциального оператора 1_» и начальные условия в задаче Коши непериодические. В § I приводятся вспомогательные сведения для доказательства основного результата главы, сформулированного а § 2 и доказанного в § 3. Рассмотрим интеграл

-ъо

преобразование Фурье некоторой комплекснозначной функции ^^ ' а И о

Значение интеграла (6) будем рассматривать как функцию (там, где она определена), зависящую от исходной функции ^х) и У вещественных переменных (.ос,^—/^у) • Эти функции называются Г -мерными продолжениями Виноградова функции ^(х} , или коротко V - интегралами и обозначаются

К.И.Осколковш была поставлена задача об обобщении, при определенных условиях, данного результата на непериодический случай, т.е. на случай непериодических коэффициентов дифференциального оператора (а? О а.) и непериодическо-

го начального условия в задаче (I). Одним из условий, при которых это возможно, является принадлежность коэффициентов

дифференциального оператора и(бс,£>ао) к классу равномерно почти-периодических или почти-периодических по Бору функций. (Иногда его называют классом непрерывных почти-периодических или обыкновенных почти-периодических функций).

Обозначим через Е. множество всех сумм вида к.=ч

а через Р - множество почти-периодических функций. Следуя Г.Бору, замыканием множества Ф функций ^(х) [-•ъо будем называть множество И (Ф) » полу-

чащееся из Ф присоединением к нему всех функций, которые можно аппроксимировать равномерно душ всех 31 функциями этого множества ф> . Основная теорема почти-периодических функций утверждает, что множество Р представляет собой как раз замыкание множества Е , т.е.

Р-К1Е).

Пусть коэффициенты О^х,^) дифференциального оператора , Ь в задаче (I) зависят от переменных

X и "Ь и являются комплексно значными функциями из класса О^г. П Н (Е) » определенными в полосе , ШлТ .. Зцесь ь^ - пространство функций ^(х.) , суммируемых в среднем квадратичном на любом компакте;

и .¿»с.

пространство бесконечно-дифференцируемых функций /(ж.)е все производные которых также принадлежат • А комплек-

сно значную функцию (начальное условие) возьмем из

класса . В этих условиях ищется обобщенное

решение задачи

в классе регулярных функций ЧЧ^'Ц) » принадлежащих

^^ попеременной СС. при каждом фиксированном . Это означает выполнение следующих требований для :

а) для любой бесконечно-дифференцируемой функции Ц2^ / скалярное произведение

( е.)Ч»сх,-Ь)г-Сх)^х -

абсолютно-непрерывная функция на отрезке

|-Ц<. Т , и для почти всех 4;

где (^00 * (.X ^; Ь ос ) - формально-сопряженный оператор для 1_л(, т.е.

О*. С^УС- , Б-О, ...УГ}

в) начальное условие НЧ*/^"^3^) выполняется в смысле предела ЧЧ^е.,^) при -У —» О в

2_ /9

II- ¿с*)^ ( Л^ВД ¿а.) -го(^о)

Принципиально схема доказательства в непериодическом случае аналогична периодическому.

- 14 -

Третья глава посвящена исследованию одного специфического осцшигяционного интеграла. Получено условие ограниченности для осцшшщионного интеграла с кубическим многочленом.

Этот интеграл можно представить в терминах обобщенного решения следующей задачи Коши для уравнения Шредингера:

Г^ад* р^ччад;, (?)

[ Ч/(х,о)= ,

где КА) = ¿Д

- произвольный

многочлен с вещественными коэффициентами оС. I » Ь =1,2,3.

Обобщенное решение задачи (7) имеет вид

- ЪО

Специфика данного случая состоит в том, что ядро интегрального оператора, соответствующего (8), выражается в терминах функции Эйри, асимптотикой которой мы и пользуемся при оценке (8). В первой главе формулируется результат Л.Кардесона, обобщению которого и посвящена третья глава.

Теорема I. Пусть функция - финитная,

Т И) - 3 сСос. - преобразование Фурье.

— »<»

Предположим, что ^(х.) . Тогда

^ О) равномерно. А если функция Нуг_

(класс функций Гельдера с показателем 1/2), то последователь-

ность £ ^ ^ ограничена, но не обязана сходиться.

Во втором параграфе сформулирован и доказан основной результат главы

Теорема 2. Пусть начальная функция ^ (.х) в задаче (7) имеет компактный носитель и принадлежит классу И .Тогда

обобщенное решение (8) задачи (7) является ограниченным решением на компакте £

Доказательство теоремы 2, в свою очередь, основано на следующей лемме.

Лемма. Рассмотрим интеграл

г к

~ оо

Пусть с^х) - финитная функция из класса Нг/^ и К -про-

I- 5

извольный компакт в Е. . Тогда

КВ заключение автор выражает искреннюю благодарность и признательность своему научному руководителю К.И.Осколкову, а также Д.Б.Силину за постоянное внимание к работе. Я весьма признателен сотрудникам кафедры оптимального управления факультета ВЛиК МГУ за доброжелательную и теплую атмосферу, которая помогала мне в работе над диссертацией и способствовала успешному завершению работы.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Куркиев А.Б. Интегралы и ряды И.Ы,Виноградова в задаче Кош для уравнения Шредингера. Бук.деп.в ВИНИТИ. M.I99I.

2. Куркиев А.Б. Условие ограниченности осцилляционных интегралов с кубическим многочленом, Analysis Mathematics а,

19 (1993).

Тир ■i00 За к. /-3-5"

Предприятие «ПАТЕНТ». Москва, Г-59, Бережковская наб., 24