Групповой анализ и редукция уравнения Шредингера для нескольких связанных осцилляторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ5 иа 1 3 ШН 1395

на правах рукописи

ГАРМИНОВИЧ Наталья Александровна

РУППОВОЙ АНАЛИЗ И РЕДУКЦИЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ НЕСКОЛЬКИХ СВЯЗАННЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ

01.01,02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

Воронеж 1995

Работа выполнена на кафедре математического анализа Российского государственного педагогического университета им. А.И.Герцена

Научный руководитель

- доктор физико-математических наук, профессор Зайцев В.Ф.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор Малышев Ю.В.

- доктор физико-математических наук, профессор Репников В.Д.

Ведущая организация

- Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится 27 июня 1995 года в ~часов на заседании диссертационного совета К 063. 48. 09 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Воронежском государственном университете /394693, Воронеж, Университетская пл., 1, математический факультет, ауд.ЗУ^/.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан "2£ " ишл. 1995 года. Ученый секретарь

диссертационного совета

В.Г.Задорожнай

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Ряд задач теоретической физики приводит к необходимости интегрирования линейного уравнения Шредингера с квадратичным гамильтонианом и коэффициентами, зависящими от времени. Например, такая необходимость возникает при рассмотрении задач квантовой теории лазера, фотостатики лазерного излучения, релаксации когерентного света в слабо поглощающих средах и других вопросах квантовой оптики; при изучении столкновений тяжелых'частиц: молекул, кластеров, ядер и т.п.

Поиски точных решений задачи Кош для нестационарного линейного уравнения Шредингера с квадратичным гамильтонианом через решение стационарного уравнения Шредингера и траектории соответствующей классической задачи представляет принципиальный интерес. Он связан с поисками способов аналитических продолжений фейнмановских представлений на случай комплексных траекторий и обусловлен необходимостью развития аналитических методов решения задач колебательного возбуждения молекул.

В 1969 году В.С.Поповым и А.М.Переломовым было получено точное решение задачи Коши для уравнения Шредингера, описывающего одномерный осциллятор с переменной частотой под действием внешней силы, которое с помощью преобразований координат и функций выражается через решения обыкновенных дифференциальных уравнений с краевыми и начальными условиями.

Г.В.Дубровским в 1986 году впервые была поставлена аналогичная задача о многомерном осцилляторе переменной частоты в толе действия внешней силы с переменной функцией связи коорди-ит, подчиняющейся естественным граничным условиям. Потенциал тмеет вид:

1етодом фейнмановских интегралов было найдено точное выражение ия Б -матрицы через решение классической задачи о связанных юцилллторах с граничными условиями. Однако вопрос о нахождении юлновой функции и соответствующего преобразования координат и чтений, позволяющих свести задачу Коши для многомерного урав-

нения Шредингера к соответствующей задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений /ОДУ/, здесь не рассматривался.

Учитывая важность этого вопроса с точки зрения установления связи квантовой и классических механик в многомерных задачах, техники континуальных интегралов, многочисленных приложений, его решение представляет большой,интерес. Этот интерес вызван также тем, что широко применяемый для отыскания частных решений линейного дифференциального уравнения с частными производными метод разделения переменных самым тесным образом связан с групповыми свойствами дифференциальных уравнений.

Как известно, систематическое применение групп для исследования дифференциальных уравнений было начато и обосновано во второй половине прошлого века С.Ля и А.Беклувдом; в работах Л.В.Овсянникова, Н.Х.Ибрагимова и других исследователей теория непрерывных групп, получила полное развитие.

Определение инфинитезимальных групп линейного' уравнения Шредингера поовящены работы У.Нидерера и Бойера. Наиболее полное описание максимальных групп кинематической инвариантности /МВД/ линейного уравнения Шредингера с квадратичным гамильтонианом дано У.Нидерером в 1974 году. Однако теорема МКИ позволяет определить инфинитезимальное преобразование только для случаев определенной зависимости потенциала от времени и поэтому не может быть использована для решения поставленной задачи.

Переход от системы Е в систему Е , сохраняющий дифференциальную структуру и изменяющий потенциал, описывается преобразованием эквивалентности. Известные из работ Л.В.Овсянникове и В.Н.Шаповалова преобразования эквивалентности для нестационарного уравнения Шредингера не учитывают начальные условия и поэтому не позволяют решить поставленную задачу Коши.

Таким образом, возникают нетривиальные вопросы сводимости линейного уравнения с частными производными к наперед заданному виду и исследования линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, которые не исследованы систематически.

Все вышеизложенное обусловливает необходимость изучения решения задачи Коши для нестационарного уравнения Шредингера с групповой точки зрения.

Цель работы заключается в построении аппарата для нахождения аналитического решения задачи Коши для нестационарного уравнения Шредингера с квадратичным гамильтонианом, установления связи квантовой и классических механик, симметрийном описании класса линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго-порядка.

Методика исследования. В диссертации развит один из возможных подходов к вопросу о разделении переменных в уравнении Шредингера, решения которого должны удовлетворять поставленным начальным условиям, основанный на изучении групп Ли эквивалентности уравнения; исследования обыкновенных дифференциальных уравнений проводятся методами .дискретно-группового анализа.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми, В числе наиболее важных следует отметить:

1. Конструктивное доказательство теоремы о наиболее общей группе преобразований эквивалентности, сводящих задачу Коши для нестационарного уравнения Шредингера с квадратичным гамильтонианом к решению преобразованной задачи Коши для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами.

2. Построение метода точных решений квантовой задачи для к - попарно связанных осцилляторов через решения задач классической механики для свободных осцилляторов с переменной частотой без внешней силы и с внешней силой, минуя технику фейнмановского функционального интегрирования. Для одной пары связанных осцилляторов найден явный вид матрицы перехода, позволявшей "развязать" осцилляторы и выписать решение поставленной задачи через величины, относящиеся к классическому осциллятору.

3. Определение координат оператора симметрии нестационарного уравнения Шредингера через соответствующие координаты уравнения Шредингера для гармонических осцилляторов, свободной частицы.

4. Для класса линейных ОДУ второго порядка определены функ-даональные представления образующих дискретной группы преобразований и доказано, что задаваелйя ими груша максимальна в классе преобразований Беклунда.

5. Доказана теорема о строении дискретной группы преобразо-заний; описана структура счетного множества параметров-функций, им которых уравнение решается точно.

Теоретическая и тактическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в теории линейных дифференциальных уравнений, групповом анализе, применяться в конкретных исследованиях по нахождению точных решений задачи Коиш для уравнения Шредингера с квадратичным гамильтонианом, при этом вид (функций, определяющих специфику потенциала, задается требованиями пользователя. Полученные в диссертации результаты также могут служить материалом для чтения спецкурса по групповому анализу дифференциальных уравнений для математических специальностей ВУЗов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались:

- на Герценовских чтениях в Российском государственном педагогическом университете / СПб. 1994 г. /;

- на семинаре по дифференциальным уравнениям и математической физике / Руководитель - профессор Н.М.Матвеев; СПб, 1991 г. ,

- на семинаре по современному групповому анализу / Руководитель - профессор В.Ф.Зайцев; СПБ, 1994 /;

- на семинаре по дифференциальным уравнениям / Руководятел] профессор В.Ф.Волкодавов: Самара, 1994 г. /;

- на заседаниях кафедры математического анализа РГПУ им. А.И.Герцена.

Публикации. Содержание работы изложено в трех научных публикациях.

В статье С 11 профессору Г.В.Дубровскому принадлежит общая постановка задачи и руководство.

Структура исследования. Диссертационная работа изложена на 84 страницах и состоиг из введения /25 е./, гл.1 "Групповой анализ задачи Коши для нестационарного уравнения Шредингера с квадратичным гамильтонианом" /25 е./, гл.П "Дискретно-групповой анализ линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка" /22 е./, заключения, в котором обобщены выводы по раздела!

1иссертации /3 е./. За основным текстом следует библиографический список, содержащий 55 наименований и список научных публикаций.

Во введении показана актуальность математического иссдедова-шя; дается исторический обзор и краткий; анализ литературы по ис-¡ледуемым в работе вопросам, аннотация основного содержания диссертации .

Основной целью первой главы является определение условий, 1ри которых уравнение Щредангера, описывающее столкновение много-?ерных осцилляторов с линейным и квадратичным нестационарным взаи-юдействием, допускает разделение переменных и имеет решение при Ь —в виде произведения собственных функций асимптотичес-их гамильтонианов.

Первая глава состоит из четырех параграфов.

В §1.1 формулируется постановка задачи: уравнение

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

(2)

начальные условия:

начальные условия:

(з)

где Н^^Ч^'-д:) - полиномы Эрмита; - волновая функ-

ция К - пространственных координат /считаем для удобства, что компоненты вектора X - координаты отдельных осцилляторов Х1, 0С2, ... эск/. При этом зависимость функций -(t), C-^-t), co^-fc") полагается произвольной и удовлетворяющей лишь естественным граничным условиям: функции -^("f) . симметричны по времени и исчезают при —- ;

функции Ч>Дзс) являются собственными функциями асимптотических гамильтонианов Ц_= где И — 4г + а ,

+ ?ао + 2 2

М^Л'СГ) = со^С*) ; ......п,

Решение задачи Кош (2, 3) находится сведением уравнения (2") к эквивалентной ещ совокупности К - одномерных стационарных урав нений Шредингера, определяющей начальное условие задачи (3) . Для этого в §1.2 определяются преобразования эквивалентности, об' разующие группу.

Конструктивный подход, позволяющий вычислить допускаемую группу, основывается на критерии инвариантности и дифференциально-алгебраической трактовке дифференциального уравнения как поверхности в продолженном на производные от по X и Ь пространстве переменных 2 =/•£ з; -у Л/")

* ' .1 ' ' 1 » ОС' ' Зс. х ' ' *

Инвариантность задачи Коши для уравнения ^

У), (4)

удовлетворяющего начальному условию

* = (5)

относительно группы преобразований эквивалентности (3 по потенциалу V , допускаемой данным уравнением (4) , где Ь - ее

алгебра операторов вида X ~ ^^ + 1 Эх + Э^

доказывается, следуя Л.В.Овсянникову, в следующей лемме:

Лемма. Решение задачи Коши (4, 5) является инвариантным относительно группы эквивалентности, допускаемой уравнением (41) тогда и только тогда, когда для любого оператора X е отображение ^ удовлетворяет соотношению:

Из леммы следует, что решение данной задачи (2, 3) может быть построено просто применением преобразования эквивалентности координат, функции и свободного члена к начальное многообразию -уравнению и начальному условию.

Введение дополнительных требований к матрице перехода и преобразованиям координат, учитывающим начальное условие задачи, позволяет найти искомое преобразование. Это преобразование описывается в следующей теореме.

Теорема 1. Группа эквивалентности уравнения Шредингера с потенциалом, содержащим линейные и квадратичные слагаемые, произвольно зависящие от времени, задается преобразованием координат

(6)

и функции

А -'/2 Г

~ -ос2 - Ви. +

2гл - ^ М (.г?

(7)

где ЧиЛ^Л - функция времени, ^[^(-Ь)] - орто-

норглированная матрица определяются из условия:

где . Чп.^ - решение однородной краевой и неоднородна

начальной задачи Коши для ОДУ. Зависимость элементов матрицы от переменных величин со.(£), С-^-Ь] задается требованиями:

V)

Ч > *

(О

со2 в:* в:1

4 в:; = Ks s„,,

где - символ Кронекера.

§1.3 посвящен решению задачи Коши для уравнения Шредингера, описывающего взаимодействие двух квантовых осцилляторов. Определен явный вид матрицы перехода, являющейся матрицей вращения .. / Со?, iút \

г А

ЗД Со* ,

элементы которой - специфические функции времени:

= Y ™ct%[¿ С (t)/(cozZ - аэ,г ) ] и преобразования координат, исходя из формулы (7)с учетом начальных условий, решение задачи Коши определяется равенством:

с i г гЛ

zt ^ + 2Í

г.

+(6bs X(tVас4 + ■ fc, Ш)) ^, ~ ^ ) + (" V

+ ОС, -Ce*

vi

+ i

2/ ^

+ vt,

-1 * са -г

- % Чг + ^ + 1 -^.я:,). . (8)

Величины ^^("Ь). ^У^)» определяются из следующих од-

нородной и неоднородной задач Коши для ОДУ:

l^r.

- 11 -= o > ^ — —

где (^b^V^-fezíSV волновая функция начального состояния для совокупности двух классических осцилляторов, а величины Q (.ty, S^-t) определяются из условий:

Q 20*0 = ■ ^Ж)+^ - Щ ■ ,

Пг co^-Coí + W 2 ОД,

= f^Coi^Jt ъ&уьпчц ,

SfCfc) = - iiC-t) ■ + ^(fc) • Coi ад).

Показано, что функция Tf(xí,oc2, i) является решением задачи Кош при i —.

Знание группы эквивалентности позволяет найти координаты оператора симметрии данного уравнения через известные координаты эквивалентного уравнения. В §1.4 доказывается следующая теорема.

Теорема 1.2. Оператор алгебры Ли, допускаемый уравнением Щэедингера для совокупности независимых осцилляторов, равен сумме операторов, допускаемых уравнениями Шредингера для каждого осциллятора.

В силу теоремы подобия точечных групп и теоремы 1.2 по формулам преобразования координат при преобразовании подобия определены координаты оператора симметрии уравнения Шредингера для пары связанных осцилляторов Х^, ^ через коор-

динаты оператора инвариантности для совокупности двух уравнений 1федингера, описывающих два классических гармонических осциллятора ^rO* ^ - 1,1 • и для совокупности

уравнений Шредингера, описывающих движение свободных частиц.

Найденная в первой главе редукция задачи (2, 3) к задаче Коши для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка /ЛОДУ-2/ с переменными коэффициентами позволяет найти потенциал исходного уравнения Щредингера, при котором его решение представимо в заданном дифференциальном кольце. Определение конструктивного способа построения сетки разрешимых случаев класса ЛОДУ-2 и является целью исследования второй главы диссертации. Для этого используется аппарат дискретно-группового анализа.

Как известно /В.Ф.Зайцев/, дискретной группой преобразования эквивалентности /ДГЦ/ называется любое множество обратимых преобразований замкнутое на выбранном классе диффе-

ренциальных уравнений.

Рассматривается класс линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка в канонической форме

г"+ ^(3^21=0 (9)

с функцией - параметром -^С-^). Дискретная группа на нем определяется как множество преобразований, оставляющих класс инвариантным, то есть

: -- [V + = о],

или в виде алгебраического представления действия ДТП: ^ —»

Теорема 2.2.Образующие задают дискретную группу пре-

образований, максимальную в классе преобразований Беклунда, и имеют следующие функциональные представления:

X = 5 " Л 3. : ^эс ^ -- ^я:)

2 ~ чл/Т-\д/

ос ■=. - обращение интеграла - ^

то есть - первообразная функции -^(рФ

*

/V/

2 = г

ос- ас. ^ - обращение интеграла ^ ^(рс^Ыас .

Обратные преобразования координат и функции определяются из системы уравнений:

: ¿ЦЧГ) —> ^(ОС) =

4 • сЦЯГОх)) '

яг - Т'^х) - Обращение интеграла ^яг2о(сг= ос ;

Я": —

= ~ обР^™6 интеграла ^ о(Л эс

Следствие. Решения ОДУ (9) , полученные из Нд^ преобразованиями класса Беклунда, образуют счетное множество.

Заметим, что линейные уравнения класса (94) с функцией -параметром -^(рс"). удовлетворяющие соотношениям Р (Г (ос)) = ос,

переводятся "в себя" с точностью до несущественного параметра и являются инвариантами образующих X и дискретной группы преобразований.

Строение дискретной группы описывается следующей теоремой: Теорема 2.3. Дискретная группа, допускаемая уравнением (9),

имеет строение О,« = & = Е^ и является ос-

новной для класса •

Для целей исследования особенно существенным является тот факт, что методы дискретно-группового анализа позволяют прогнозировать не только разрешимость уравнения, но и представимость его решений в некотором классе функций.

В §2.2 определяется алгебраическое представление образукь цей X дискретной группы О^ , связывающее 5-тое количество патов. Граф имеет вид:

- 14 -

оС.. с ск. о

Л Л ) ■ V Л х: а* V \/

-Ьо А-

-7Г

( I I )

V

Аргументы потенциалов обозначаются ^ , знак и номер аргумента соответствует знаку и номеру функции ^ (яг ) ( ]Ъ (ЯГ )):

т-=1 ^ а I '41 (тн

Г -а > >

■ означает начало шагов с по. . { ^

Так, если т - Л , то = = V ^

если 14 т. г. Б

то р I а

если т = Б , то РвЙ = ЧГ,

При преобразовании ЗС 5 Гт-

т

если т -1 , то

П.

если

В качестве нулевых потенциалов рассматривается множество функций - параметров , решения которых известны, и выражений вида:

а а.

^ = уб&л- б'ес,)

•о * ~2 '

где с^о"), - произвольные непрерывные функции <и0 , е й.

Применяя найденную ДТП, получаем счетное множество уравнений вида (.9), интегрируемых в квадратурах при любой заданной «(я:»4) или ,

Анализ полученных формул с точки зрения дифференциальной позволяет утверждать следующее:

Теорема 2.4. Функции , полученные из функций по формулам алгебраического представления образующих, определенные на множестве аргументов Я^ - точных функций аргументов ЧГ^ , являются либо степенными, либо дробно-рациональными функциями яг2 или. его трансцендента.

В §2.4 приводятся примеры потенциалов уравнений и их решений, полученные по формулам алгебраического и функционального представления образующих X и 51.

В §2.5 рассматривается обратная редукция, то есть преобразование, повышающее размерность уравнения, от ОДУ к УЧП. Устанавливается, что груша преобразований эквивалентности, связывающая множество решений уравнений с частными производными через множество решений обыкновенных дифференциальных уравнений, принадлежащих орбите дискретной группы эквивалентности, является дискретной группой эквивалентности на классе уравнений с частными производными.

Число решений уравнений с частными производными, заданное на аргументах се3 как 'функциях переменных , которые являются решениями обыкновенных дифференциальных уравнений, определяется порядком ДТП.

Справедливо следующее утверждение:

Группа,, построенная на линейном уравнении Шредингера, имеет три образующие непрерывную и две дискретных X и 5?» , независимых друг от друга и разбивающие множество разрешимых уравнений на подклассы, связанные отношениями эквивалентности.

Граф такой группы имеет вид:

(,НГЭ)

Следствие. Дискретная группа эквивалентности действует на классе задач Кош для уравнения Щредингера с квадратичным гамильтонианом и разбивает множество решений такой задачи на непересекающиеся подмножества эквивалентности по ДТП.

Для построения точного решения задачи .Хоши для линейного уравнения Шредингера с гамильтонианом, содержащим линейные и квадратичные слагаете и удовлетворяющего поставленным начальным условиям, предлагается алгоритм.

Основные положения диссертации отражены в следующих работах:

1. Гарминович H.A., Дубровский Г.В. О точном решении одного уравнения в частных производных // Дифференциальные уравнения с частными производными.-СПб.:РГПУ, 1992.-С.155-158.

2. Гарминович H.A. Группа эквивалентности и разделение переменных в нестационарном уравнении Шредингера // Проблемы математики в физических и технических задачах: Межвед. сб. науч.тр. ШГИ. - М., 1994. - С.62-65.

3. Гарминович H.A. Дискретно-групповой анализ линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.-СПб.: РГПУ, 1994.-11 с. - Деп, в ВИНИТИ от 28.11.94.-№2728-В 94.

Заказ 194 от 25.5.95 г. Тар. 100 экз. Формат 60 X 90 1/16, Объем. I п.л. Офсетная лаборатория ВЕУ.