Циклические g-цепочки Дарбу тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 514.74, 514.8, 517.962.24

Смирнов Сергей Валерьевич ЦИКЛИЧЕСКИЕ д-ЦЕПОЧКИ ДАРБУ

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2005 г.

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и топологии Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент И. А. Дынников

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН,

профессор И. А. Тайманов

кандидат физико-математических наук А. В. Пенской

Ведущая организация:

Математический институт им. В. А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 9 декабря 2005 г. в 16 ч. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 9 ноября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 в МГУ доктор физико-математических наук, профессор В. Н. Чубариков

ZOO& А

'HOG

Общая характеристика работы Актуальность темы

Вторая половина двадцатого века была ознаменована появлением в математической и физической литературе большого количества публикаций, имеющих отношение к теории одномерного оператора Шредингера. Уравнение Шредингера

естественным образом возникающее во многих физических и механических задачах, оказывается связанным со многими разделами математики, активно развивавшимися во второй половине прошлого века. Отметим некоторые из этих связей.

Хорошо известно, что уравнение Кортевега-де Фриза

является одним из представителей бесконечной иерархии эволюционных уравнений, описывающих изоспектральные деформации уравнения Шредингера (1), т.е. такое изменение потенциала и со временем при котором собственные значения оператора Ь остаются неизменными1. Таким образом, теория КдФ (и их высших аналогов) есть в точности теория изоспектральных симметрий вида Ьг = [Ь, А], где А — некоторый линейный дифференциальный оператор, для оператора Шредингера.

Веселое и Шабат2 реализовали эту идею для дискретных симметрий оператора Шредингера следующим образом. Оператор Шредингера можно представить в виде произведения Ь = АА+ двух операторов первого порядка: А = + /(х) и его формально сопряженного = + /(¡г); имея такую факторизацию, можно построить новый оператор Ъ = А+А, который связан с изначальным оператором Шредингера с помощью преобразования Дарбу:

'Б А.Дубровин, В. Б Матвеев, С. П Новиков. Нелинейные уравнения типа Кортевега-де Фриза, конечноэонкые линейные операторы и абелевы многообразия. УМН, 31 (1976), вып. 1 (187), 55-136; В. Б. Захаров, С В. Манаков, С П. Новиков, Л. П. Питаевский. Теория солитонов: метод обратное задачи. М.,Наука, 1980; Дж. Л. Лэм. Введение в теорию солитонов. М.,Мир, 1983.

2 А. П. веселов, А. Б. Шабат. Одевающая цепочка и спектральная теория оператора Шредингера. Фукк. Анализ, 27 (1993), вып. 2, 1-21.

(1)

щ = иххх + 6ии:

A+L = LA+.

Веселое и Шабат рассмотрели последовательность чуть более общих преобразований оператора Шредингера L = L\

L\ —t Li • ■ • Lr+1,

где Lj и Lj+i — aj связаны преобразованием Дарбу (a;- — некоторые константы); при этом функции определяющие факторизацию, удовлетворяют следующей системе нелинейных дифференциальных уравнений, иногда называемой одевающей цепочкой:

(fi + M = ff-fhi + 4- (2)

При каждом таком преобразовании спектр оператора Шредингера сдвигается на ay, поэтому рассмотрение циклического замыкания Lr+\ = L\ при

условии a = + с*2 Н-----h ar = О приводит к дискретной изоспектральной

симметрии оператора Шредингера. Оказывается, что потенциалы оператора Шредингера, допускающие такую изоспектральную симметрию, являются конечнозонными, а соответствующая система (2) является вполне интегрируемой бигамильтоновой системой при нечетном г. Таким образом, теорию одевающей цепочки можно рассматривать как теорию дискретных изоспек-тральных симметрий оператора Шредингера.

В.Адлером3 была отмечена замечательная связь одевающей цепочки с классическими вопросами теории обыкновенных дифференциальных уравнений: если а > 0, то при г = 3,4 одевающая цепочка сводится к четвертому и пятому уравнениям Пенлеве соответственно.

При г = 1 оператор цепочки L = L\ является гармоническим осциллятором, поскольку соответствующее операторное соотношение превращается в точности в соотношение Гейзенберга АА+ = А+А -I- а. Хорошо известно, что спектр гармонического осциллятора дискретен, а его собственные функции выражаются через полиномы Эрмита и потому образуют полное семейство в гильбертовом пространстве квадратично интегрируемых функций на прямой. Веселовым и Шабатом4 была высказана гипотеза о том, что в общем случае одевающей цепочки при нечетном г > 1 потенциал оператора Шредингера L = L\ имеет "осцилляторо-подобную" асимптотику на бесконечности: 2 2

Подобное асимптотическое поведение потенциала гарантировало бы дискретность спектра оператора Шредингера, однако, его обоснование для общих

3V. Б. Adler. Nonlinear chain« and Painlevi equation!. Phynca (D), 73 (1994), 335-351.

4Сн. сноску С)

значений параметров a¡ является открытой задачей. Вопрос о полноте системы собственных функций представляется еще более трудным, поскольку требует изучения трансцендентов Пенлеве и их высших аналогов.

Бурное развитие аналитического аппарата во второй половине девятнадцатого века дало мощной толчок развитию теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории уравнений в частных производных; этим, вероятно, объясняется то обстоятельство, что теория дифференциальных уравнений разработана существенно больше, чем теория разностных, несмотря на то, что работа с последними не требует использования столь обширного аналитического инструментария. Кроме того, этому, видимо, способствовали господствовавшие до появления квантовой теории представления о непрерывности мира. Однако, в последней четверти двадцатого века сперва возник, а затем стал стремительно нарастать интерес к проблеме дискретизации (или квантования) тех или иных давно известных структур или систем. В частности, было введено разностное уравнение КдФ, был рассмотрен дискретный оператор Шредингера L,

{Ьф)п = ^АЖ-г + Впфп + 1, (3)

изоспектральные деформации которого задаются уравнениями

Г {AJt = Ап{Вп-1 - Вп) \ (Bn)t = Вп(Ап+1 - К) '

сводящимися к цепочке Тоды5.

Одним из проявлений общего интереса к проблеме дискретизации явилось появление на рубеже 80-90-х годов прошлого века в литературе (главным образом, физической) большого количества публикаций, посвященных дискретизации гармонического осциллятора. Самая простая модель разностного гармонического осциллятора, предложенная Атакишиевым и Сусловым®, получается из модели обычного гармонического осциллятора заменой дифференциальных операторов рождения А+ и уничтожения А в разностными операторами первого порядка; при этом оператор Шредингера L становится дискретным вида (3).

Другая модель разностного осциллятора берет свое начало в работах Би-денхарна и Макфарлэна7, где было предложено рассматривать "д-соотноше-

*См. сноску (')

•Н. М. АтаКИШИЕВ, С. К. СУСЛОВ. Модель гармонического осциллятора на решетке. Современный групповой анализ: методы и приложения. Баку, Элм, 1989, 17-20.

7L. С. BiEDENHarn. The quantum group SU,(1) and a ^-analogue of the boson operators. J. Phyi. A: Math. Gen., 22 (1989), L873-878; A. J. Macfarlane. On analogues of the quantum harmonic oscillator and the quantum group 51/(2),. J Phys. A. Math. Gen., 22 (1989), 4581-4588.

ние Гейзенберга", т.е. операторное соотношение вида

АА+ = qA+A + а

где q ф 1 — некоторое действительное число. Атакишиев, Суслов, Франк и Вольф8 подробно изучили два принципиально различных по своим свойствам координатных представления g-осциллятора разностными операторами на целочисленной решетке: представление А = а + ЬТ, где Г — оператор элементарного сдвига вправо, приводит к неограниченному g-осциллятору, а представление А = аТ'1 + ЬТ — к ограниченному. Рассматривались также и другие реализации g-осциллятора9.

В диссертации рассматривается циклическая цепочка разностных операторов, в которой соседние операторы связаны ^-преобразованием Дарбу (такая цепочка является обобщением описанных выше моделей разностного гармонического осциллятора и дискретным аналогом одевающей цепочки Веселова-Шабата). В нашем случае (в отличии от системы Веселова-Шабата) удается установить асимптотику коэффициентов операторов цепочки на бесконечности, которая гарантирует дискретность их спектров и полноту семейства собственных функций.

Цель работы

Целью работы является реализация циклической g-цепочки Дарбу ограниченными разностными операторами в гильбертовом пространстве квадратично суммируемых последовательностей и исследование ее связи с одевающей цепочкой Веселова-Шабата.

Научная новизна

Все результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Построена реализация циклической g-цепочки Дарбу четной длины ограниченными разностными операторами на одномерной решетке Z.

'H. М. Атакишиев, С.К.Суслов. Разностные аналога гармонического осциллятора, ТМФ, 85 (1990), вып 1,64-73; H M Атакишиев, С. К Суслов Об одной реализации g-гармонического осциллятора, ТМФ, 87 (1991), вып. 1,154—156; N. Atakishiyev, A. Frank, К. Wolf. A simple difference realization of the Heisenberg «-algebra. J. Math. Phys, 35(7), 1994, 3253-3260.

•P.P.Kulish, E. V. Damaskinsky. On the q oscillator and the quantum algebra ju,(l,l). J. Phys. A. Math. Gen., 23 (1990),L415-L419; M. Chaichian, H. Grosse, P. Presnajder. Unitary representations of the «-oscillator algebra. J Phys. A. Math Gen., 27 (1994), 2045-2051, A. lorek, A. r.uffing, J.wess. A «-deformation of the harmonie oscillator. Z Phys. C., 74, (1997), 369-377, N. M. Atakishiyev, E. I. Jafarov, Sh. M. Nagiev, K. B. Wolf. Meixner oscillators. Rev. Мех. Fis., 44 (1998), 235-244.

Доказано, что операторы цепочки имеют чисто дискретный спектр, а соответствующие собственные векторы, которые могут быть найдены по схеме Дарбу, образуют полное семейство в гильбертовом пространстве £г(2) квадратично суммируемых последовательностей.

2. Показано, что циклическое замыкание ^-цепочки Дарбу длины г со сдвигом в не может быть реализовано ограниченными разностными операторами, если в ^ 0 или з ^ г.

3. Показано, что решение циклической д-цепочки длины г = 2 сходится к решению одевающей цепочки Веселова-Шабата и описан численный

" эксперимент, свидетельствующий о наличии подобной сходимости и при

г = 6,10.

4. Для циклической дискретной одевающей цепочки (случай д = 1), сумма изоспектральных сдвигов которой равна нулю, построено зависящее от параметра представление нулевой кривизны. Для цепочки длины г = 2 выписан полный набор первых интегралов.

Основные методы исследования

У В работе используются некоторые стандартные методы теории интегриру-

емых систем: построение зависящего от параметра представления нулевой кривизны (дискретного аналога представления Лакса), преобразования Дар-

I бу, дискретные изоспектральные симметрии.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут быть использованы для дальнейшего построения дискретных аналогов классических интегрируемых систем и изучения их свойств.

Апробация результатов

Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре "Геометрия, топология и математическая физика" кафедры высшей геометрии и топологии механико-математического факультета МГУ (Москва, 2004 г.), на семинарах института теоретической физики имени Л. Д. Ландау (Черноголовка, Россия, 2003 г.) и отдела физики университета "11ота-ПГ' (Рим, Италия, 2004 г.) и на международных конференциях "Геометрия,

интегрируемость и квантизация" (Варна, Болгария, 2002 г.), "Асимптотические теории и уравнения Пенлеве" (Анже, Франция, 2004 г.) и "Симметрии в нелинейной математической физике" (Киев, Украина, 2005).

Публикации

Основные результаты опубликованы в трех работах, список которых приведен в конце автореферата [1-3].

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения и трех глав; полный объем диссертации 105 страниц, список литературы включает 39 наименований.

Краткое содержание работы

Основным объектом, изучаемым в диссертации, является циклическая q-цепочка Дарбу.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 Последовательность разностных операторов Lj, j = 1,2,... на одномерной целочисленной решетке, связанных соотношением

Lj = AjAj - otj = qA^Aj-i,

где Aj = а+ЬТ, T — оператор элементарного сдвига вправо: (Тф){п) = ip(n+ 1), q и aj — некоторые константы, а А* — оператор, формально сопряженный к А], называется q-цепочкой Дарбу. Такая цепочка называется циклической, если найдутся такие числа г 6 N и s е Z, что операторы Lj и Lj+r связаны соотношением

Lj+r = T-'LjT'

для всех j = 1,2,— При этом число г называется периодом или длиной цепочки, a s — ее сдвигом.

Первая глава носит вводный характер: она содержит подробное описание модели гармонического осциллятора и обзор некоторых результатов Весело-ва, Шабата и Адлера10, необходимые для дальнейшего изложения.

Вторая глава посвящена детальному описанию некоторых дискретных моделей, являющихся частными случаями циклической g-цепочки Дарбу:

10См. сноски (а) и (»)

уже упомянутых выше разностного осциллятора, g-осциллятора и дискретной одевающей цепочки.

Содержанием первого параграфа является разностный осциллятор, т.е. в нашей терминологии циклическая д-цепочка Дарбу длины г = 1, без сдвига (s = 0) и с q = 1. Соответствующий оператор L — L\ определен на дискретной полупрямой N (соотношение Гейзенберга нельзя реализовать операторами, определенными на всей решетке Z), его дискретный спектр образует бесконечную арифметическую прогрессию, а соответствующие собственные функции выражаются через полиномы Шарлье и потому образуют полное семейство в пространстве квадратично суммируемых последовательностей

4, AW11-

Второй параграф посвящен дискретной одевающей цепочке — циклической g-цепочке Дарбу произвольной длины г, без сдвига (я = 0) и с q = 1. По-1 добная дискретизация, предложенная Спиридоновым, Жедановым и Вине12

' является чересчур наивной в силу следующего соображения. Имеет место

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1 Пусть а = аН-----Ьаг — сумма изоспектралъных сдвигов дискретной одевающей цепочки. Тогда при а ф 0 эта цепочка не имеет решений, определенных на всей целочисленной решетке; если все otj одновременно положительны (или отрицательны), то дискретная одевающая i цепочка обладает 2г-параметрическим семейством решений, определенных на дискретной полупрямой N (соответственно, —N/

Действительно, случай а ф 0, который в непрерывном случае интересен хотя бы тем, что приводит к уравнениям Пенлеве, при такой дискретизации не имеет никакого дискретного аналога, поскольку решения цепочки Веселова-Шабата определены по обе стороны от нуля в отличии от решений дискретной одевающей цепочки. Тем не менее, при а = 0 дискретная одевающая цепочка обладает некоторыми свойствами, аналогичными интегрируемости цепочки Веселова-Шабата.

"Н.М. Атакишиев, С К.Суслов. Модель гармонического осциллятора на решетке. Современный групповой анализ- методы и приложения. Баку, Элм, 1989, 17-20; S P.novikov, I.A. Taimanov. Difference analogs of the harmonic oscillator. Appendix П in: S. P. novikov, A. P. veselov. Exactly solvable two-dimensional Schrtdinger operators and Laplace transformations. Solitont, Geometry, and Topology: on the Crouroai, ed. V. M. Buchataber, S. P. Novikov. AMS Trans. Ser. 2,179 (1997), 109-132.

"V. spiridonov, L. vlnet, A. Zhedanov. Difference Schrödinger operators with linear and exponential discrete spectra. Lett. Math Phys, 129 (1993), 67-73; V Spiridonov, A. Zhedanov, L. vinet. Periodic reduction of the factorization chain and the Hahn polynomials. /. Phyt. A: Math. Gen., 27 (1994), L669-L675; V Spindonov, A. Zhedanov. Discrete reflectionlees potentials, quantum algebras and g-orthgonal polynomials. Ann Phys , 237 (1995), 126-146.

Дискретная одевающая цепочка эквивалентна следующей системе разностных уравнений на коэффициенты операторов Ау.

Г a){n) + b](n) = a^(n) + Ь]_г(п - 1) + а,-\ а,(п)Ъ3{п - 1) = - 1 )Ь^(п - 1) ' W

Дискретную одевающую цепочку можно рассматривать как частный случай дискретной системы на графе (в терминологии Бобенко и Суриса13). Действительно, рассмотрим клеточное разбиение Со UCi UC2 ориентируемой двумерной поверхности Г и каждой вершине v € С\ (т.е. нульмерной клетке) припишем "поле" X(v). Будем говорить, что на графе С\ задана дискретная система, если каждой двумерной клетке С = v\vi ...vp 6 С2 сопоставле- 1

но некоторое уравнение Fc{X{v\), X{v¿),Х(ур)) — 0, связывающее поля, соответствующие всем вершинам клетки С. Циклическая дискретная одевающая цепочка длины г задана на двумерной решетке Z х Z, профактори- < зованной по одномерной решетке rZ, т.е. является дискретной системой на цилиндре: каждой вершине (n, j) сопоставлен вектор (аДп), fcj(n)).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 14 Будем говорить, что дискретная система на графе допускает представление нулевой кривизны в GLm(С), если каждому ориентированному ребру v,vk € Ci сопоставлена матрица V¿* 6 GLm(C) для , некоторого т > 1 так, что выполнены следующие свойства:

1- Ца = У*1 для каждого ребра vtvk 6 Сх;

«

2. для каждой двумерной клетки С = «1^2 •.. vp € С2 матричное равенство

V12V23.....Vp-hpVpl = I,

где I — единичная матрица, выполнено тождественно в силу уравнения

Fc(X(Vi),X(V2),...X(vp)) = Q.

Представление нулевой кривизны называется зависящим от параметра, если все матрицы Уц. дополнительно зависят от некоторого параметра А.

Результатом второго параграфа является следующая

13 А. I. Bobenko, Yu В. Suris. Integrable systema on quad-graphe. Int. Math. Ra. Notiee», 11 (2002) 573-611.

мСм. сноску (").

ТЕОРЕМА 1 Циклическая дискретная одевающая цепочка (4) длины г допускает представление нулевой кривизны в С1<2(®)> зависящее от параметра, при любом г, если а = 0.

СЛЕДСТВИЕ 1 Пусть ребру п —► п + 1 соответствует матрица изА, а ребру ] j + 1 — матрица Тогда для всех натуральных п имеет

место матричное равенство

где п) := • ■ • ]¥1>п, а величины

1;г (И^А)) = /2,0 + /2,1 А + • ■ ■ + /2,2гЛ2' .

являются производящими функциями для первых интегралов дискретной одевающей цепочки при а = 0.

Для дискретной одевающей цепочки длины 2 эта конструкция позволяет найти недостающий первый интеграл, построив таким образом независимое семейство первых интегралов максимальной размерности, и, фактиче-> ски, свести задачу к динамике вдоль некоторой плоской кривой.

^ Третий параграф посвящен описанию различных моделей ^-осциллятора.

В третьей главе содержатся основные результаты диссертации, получен-^ ные в работах [1, 2, 3). В первом параграфе введено понятие циклической

д-цепочки со сдвигом (ранее в литературе рассматривались замыкания без сдвига, хотя Дынников и Новиков15 отметили возможность факторизовать оператор Шредингера в обратном порядке, что фактически эквивалентно цепочке со сдвигом з = г), указаны симметрии циклической д-цепочки, связанные с изменением направления обхода "дискретной окружности" и изменением ориентации на "дискретной прямой" Ъ и доказано следующее

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2 Операторы циклической д-цепочки Дарбу длины г со сдвигом з неограничены, если в ^ 0 или в ^ г.

Второй параграф посвящен описанию построения общего решения одевающей цепочки длины г = 2 со сдвигом з = г/2 = 1, принадлежащего Дынникову.

"С.П.Новиков, И.А.Дынников. Дискретные спектральные симметрии маломерных дифференциальных операторов и разностных операторов на правильных решетках и двумерных многообразиях. УМН, 52 (1997), вып. 5(317), 175-234.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3 При г = 2 = 2s, ai,c*2 > о, 0 < g < 1 общее решение задачи циклической q-цепочки имеет вид: ai(n) = 6i(n) = y/rj^i,

a2(n) = еу/Ы-ь hin) = sfmü, где e = ±1,

lcn- 2Kg-"-"'* + Cn+tg-2"-2^-1 _ 1 Cn+i ~ 2Kgn+^ + c„q2n+^+1 (l-g-2("+V))(l-g-2(n+¥-+l)) ' Vn 2 (1 - g2(»+*>))(l - g2(n+*>+D) '

(5)

<p — произвольный параметр, а параметр к удовлетворяет ограничениям

<ЫЧ~в<2к< min(cMgfl+l+cM_ig"9~1,cMge-1+cM_1g-i+1), <р i Z,

и 2к = + c^-ig-', если tp € Z (в этом случае дроби (5) следует сократить на (1 - g2(n+v)) при п = (р(mod 2) и на (1 - g2<n+v+1)) при п = <fi + l(mod2)), гдев = <р- [ф\ - \.

Ранее Атакишиевым, Франком и Вольфом16 было получено лишь некоторое частное решение (их модель g-осциллятора в нашей постановке соответствует случаю д ф 1, г = 2, s = 1, ai = аг).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4 В случае г — 2, а\ — а? операторы Lj + построенные по указанным решениям, сходятся при д —> 1 к оператору гармонического осциллятора в следующем смысле. Положим <р = 0, € = -1, д = ехр(-^-Л2), х = nh, Т = ехр(Л^) и будем считать п вещественным в формулах (5), а оператор Lj — разностным оператором на всей прямой R. Тогда для f £ С2(Ж) будем иметь

Аналогично, в случае ai ф с*2 оператор Lj сходится к

dI2 (aj + aj+i)2 2 _ £j _ (aJ ~ ai+i)(a3 + 3ai+i) dx2 + 16 * 2 4(a} + aJ+1)2x2

где aJ+2 = a

В третьем параграфе сформулирована и доказана основная

ТЕОРЕМА 2 Для произвольных четного г, положительных ai,...,ar, 0 < g < 1 циклическая q-цепочка при s = г/2 имеет г-параметрическое семейство решений. При этом для всех j оператор Lj ограничен и имеет только

"Си. сноску (')

дискретный спектр {А^о> А;д,...} в промежутке [0, ||2/,||), вычисляемый по схеме Дарбу:

Aj,o = О, А,-+i,fc+i = g(Aj,fc + aj), \j+r,k =

Для каждого j собственные функции операторов L}, также вычисляемые по схеме Дарбу.

= О, i,*+i = Ati>j,k,

образуют полное семейство в £г(2).

Для произвольных четного т, отрицательных а\,..., аг, q > 1 циклическая q-цепочка при s — т/2 имеет г-параметрическое семейство решений. При этом для всех j оператор Lj ограничен и имеет только дискретный спектр {Aj,o, А;д,...} в промежутке [—агу, ||£у[|), вычисляемый по схеме Дарбу: ^

А;,0 = —01], \-l,k-hl — --aj~li Xj-T,k —

Для каждого j собственные функции операторов L}, также вычисляемые по схеме Дарбу:

Ajipj.o = О, ф]-i,A+i = Aj-i^k, образуют полное семейство в £i(Z).

Кроме того, в третьем параграфе описан численный эксперимент, показывающий, что при г = 6,з = г/2 = 3, а;+з = а} (и при s — г/2 = 5, aJ+ 5 = aj) также имеет место сходимость операторов циклической g-цепочки к операторам одевающей цепочки Веселова-Шабата при q —у 1. Следует отметить, что для известных ранее частных случаев q-цепочки со сдвигом s ф г/2 (или q ф 1) подобная сходимость не наблюдается.

Четвертый параграф посвящен обсуждению различных подходов к интегрируемости разностных систем и, в частности, циклической q-цепочки.

Благодарности

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю канди-нату физико-математических наук доценту И. А. Дынникову за постановку задачи и доктору физико-математических наук, профессору А. П. Веселову за детальное обсуждение результатов работы и многочисленные полезные замечания.

Список литературы

[1] И. А. Дынников, С. В. Смирнов. Точно решаемые циклические д-цепочки Дарбу. УМН, 57 (2002), вып. 6(354), 183-184.

В данной статье С. В. Смирнову принадлежит доказательство теоремы, о существовании решения циклической q-цепочки, а И. А. Дынникову принадлежит постановка задачи и ее решение для цепочек длины 2.

[2] С.В.Смирнов. Циклические g-цепочки Дарбу. Алгебра и Анализ, 13 (2003), вып. 5, 228-253.

[3] S.Smirnov. Exactly solvable periodic Darboux g-chains. Proc. Vol. of the Fourth International Conference on Geometry, Integrability and Quantization, ed. I. Mladenov, G. Naber. Coral Press, Sofia, 2003, 296-302.

Ял)о£А -М0&

Издательство ЦПИ при механико-математическом

факультете МГУ им. М.В. Ломоносова.

Подписано в печать 2 €,Ю.05

Формат 60x90 1/16. ' Усл. печ. л. С\ ¿5"

Тираж 100 экз. Заказ 32

Введение

1 Некоторые непрерывные модели

1.1 Гармонический осциллятор.

1.1.1 Формально-алгебраическая теория.

1.1.2 Координатное представление.

1.2 Цепочка Дарбу.

1.2.1 Спектральные свойства.

1.2.2 Одевающая цепочка Веселова-Шабата.

• 1.2.3 Цепочка длины 2.

1.2.4 Одевающая цепочка и уравнения Пенлеве.

1.2.5 Гамильтонова структура одевающей цепочки.

1.2.6 Полная интегрируемость при а =

2 Дискретизация

2.1 Разностный осциллятор.

2.2 Дискретная одевающая цепочка.

2.2.1 О существовании решений циклической цепочки.

2.2.2 Представление нулевой кривизны

2.2.3 Замыкания малой длины при а = 0.

2.3 д-осциллятор.

2.3.1 Спектральные свойства.

2.3.2 Собственные состояния ^-осциллятора.

2.3.3 Координатные представления.

2.3.4 Ограниченный ^-осциллятор

3 Циклическая д-цепочка

3.1 ^-цепочка Дарбу.

3.1.1 Спектральные свойства.

3.1.2 Симметрии ^-цепочки.

3.1.3 Ограничены ли операторы д-цепочки?.

3.1.4 Цепочки со сдвигом 5 = г/2.

3.2 Цепочка длины 2.

3.2.1 Общее решение.

3.2.2 Асимптотика коэффициентов.

3.2.3 Сходимость к непрерывной модели.

3.3 Цепочки произвольной длины.

3.3.1 Формулировка основной теоремы.

3.3.2 Существование решений.

3.3.3 Локальная асимптотика решений.

3.3.4 Асимптотика решений для произвольных параметров а^

3.3.5 О сходимости к непрерывной модели при г ^ 4.

3.4 Интегрируема ли циклическая цепочка?.

3.4.1 Одномерный случай.

3.4.2 Трехмерная совместность разностных уравнений на двумерной решетке.

3.4.3 Случай ^-цепочки

Вторая половина двадцатого века была ознаменована появлением в математической и физической литературе большого количества публикаций, имеющих отношение к теории одномерного оператора Шредингера. Уравнение Шредингера естественным образом возникающее во многих физических и механических задачах, оказывается связанным со многими разделами математики, активно развивавшимися во второй половине прошлого века. Отметим некоторые из этих связей.

Хорошо известно, что уравнение Кортевега-де Фриза является одним из представителей бесконечной иерархии эволюционных уравнений, описывающих изоспектральные деформации уравнения Шредингера (1), т.е. такое изменение потенциала и со временем £, при котором собственные значения оператора Ь остаются неизменными. Действительно, если считать, что деформация собственной функции ф задается условием ^ = Аф, где А — некоторый линейный дифференциальный оператор третьего порядка (рассмотрение операторов первого и второго порядков приводит к тривиальной деформации потенциала со временем), то нетрудно убедиться в том, что зависимость потенциала от времени описывается уравнением которое легко сводится к уравнению Кортевега-де Фриза. Рассмотрение операторов А более высокого порядка приводит к высшим уравнениям КдФ, т.е. к уравнениям вида (2) более высокого порядка по х (см., например, обзор [9] или книги [11, 14]). Таким образом, теория КдФ есть в точности теория изо-спектральных симметрий вида = [Ь, А] для оператора Шредингера.

В работе [7] Веселов и Шабат реализовали эту идею для дискретных симметрий оператора Шредингера следующим образом. Оператор Шредингера

1)

Щ = иХхх + 6гш: X щ = [Ь,А],

2) можно представить в виде произведения Ь = АА+ двух операторов первого порядка А = + и его формально сопряженного А+ = — ¿4-/(ж); имея такую факторизацию, можно построить новый оператор Ь = А+А, который связан с изначальным оператором Шредингера с помощью преобразования Дарбу:

А+Ь = ЬА+.

Подобные преобразования замечательны тем, что, как отметил еще Дарбу, все решения нового уравнения Шредингера Ьф = Хф могут быть получены из решений уравнения Ьф = Хф. Веселов и Шабат рассмотрели последовательность чуть более общих преобразований оператора Шредингера Ь = Ь\

Ь\ —Ь2 —у —у • • • —^ где Ь} и 1 — а$ связаны преобразованием Дарбу (щ — некоторые константы); при этом функции fj, определяющие факторизацию, удовлетворяют следующей системе нелинейных дифференциальных уравнений, иногда называемой одевающей цепочкой:

Л + Л-+1), = Л?-//и + «г (3)

Легко видеть, что при каждом таком преобразовании спектр оператора Шредингера сдвигается на поэтому рассмотрение циклического замыкания Ьг+1 = Ь\ при условии а = а\ + с*2 + • • • + аг = 0 приводит к дискретной изоспектральной симметрии оператора Шредингера. Оказывается, что потенциалы оператора Шредингера, допускающие такую изоспектральную симметрию, являются конечнозонными, а соответствующая система (3) является вполне интегрируемой бигамильтоновой системой при нечетном г. Таким образом, теорию одевающей цепочки можно рассматривать как теорию дискретных изоспектральных симметрий оператора Шредингера.

Работа [7] также посвящена изучению свойств одевающей цепочки при с^- > 0. Показано, что такое циклическое замыкание полностью определяет дискретный спектр всех операторов, входящих в цепочку: спектр каждого из этих операторов представляет собой набор из г арифметических прогрессий.

Другим обстоятельством, побуждающим к дальнейшему изучению свойств одевающей цепочки и связанных с этим вопросов, является замеченная В. Адлером [21] замечательная связь одевающей цепочки с классическими вопросами теории обыкновенных дифференциальных уравнений: если а > 0, то при г = 3 одевающая цепочка сводится к четвертому уравнению Пенлеве, а при г = 4 (и некоторых дополнительных ограничениях на спектральные параметры щ) — к пятому уравнению Пенлеве. Это наблюдение позволило

Адлеру, в частности, легко описать рациональные решения четвертого уравнения Пенлеве.

Легко заметить, что при г = 1 оператор цепочки Ь = Ь\ является гармоническим осциллятором, поскольку соответствующее операторное соотношение превращается в точности в соотношение Гейзенберга АА+ = А+А + а. Хорошо известно, что спектр гармонического осциллятора дискретен, а его собственные функции выражаются через полиномы Эрмита и потому образуют полное семейство в гильбертовом пространстве квадратично интегрируемых функций на прямой. Дискретность спектра при этом следует из общего факта теории одномерного оператора Шредингера об отсутствии непрерывного спектра у оператора, потенциал которого растет на бесконечности как положительная степень х, а полнота системы собственных функций определяется полнотой системы полиномов Эрмита.

В работе [7] высказывается гипотеза о том, что в общем случае одевающей цепочки при нечетном г > 1 потенциал оператора Шредингера Ь = Ь\ имеет "осцилляторо-подобную" асимптотику на бесконечности:

Подобное асимптотическое поведение потенциала гарантировало бы дискретность спектра оператора Шредингера, однако, его обоснование для общих значений параметров а^ является открытой задачей. Вопрос о полноте системы собственных функций представляется еще более трудным, поскольку требует изучения трансцендентов Пенлеве и их высших аналогов.

Бурное развитие аналитического аппарата во второй половине девятнадцатого века дало мощной толчок развитию теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории уравнений в частных производных; этим, вероятно, объясняется то обстоятельство, что теория дифференциальных уравнений разработана существенно больше, чем теория разностных, несмотря на то, что работа с последними не требует использования столь обширного аналитического инструментария. Кроме того, этому, видимо, способствовали господствовавшие до появления квантовой теории представления о непрерывности мира. Однако, в последней четверти двадцатого века сперва возник, а затем стал стремительно нарастать интерес к проблеме дискретизации (или квантования) тех или иных давно известных структур или систем. В частности, было введено разностное уравнение КдФ, был рассмотрен дискретный оператор Шредингера Ь, сР'х^ и(х) = ~юг + изоспектральные деформации которого задаются уравнениями

Г = Ап{Вп. 1 - Вп) X (Вп\ = Вп{Ап+1 - Ап) ' сводящимися к цепочке Тоды [9, 11].

Одним из проявлений общего интереса к проблеме дискретизации явилось появление на рубеже 80-90-х годов прошлого века в литературе (главным образом, физической) большого количества публикаций, посвященных дискретизации гармонического осциллятора (см. [2, 26, 31, 29, 3, 4, 36, 24, 28, 30, 33, 25]). Самая простая модель разностного гармонического осциллятора, предложенная Атакишиевым и Сусловым [2], получается из модели обычного гармонического осциллятора заменой дифференциальных операторов рождения А+ и уничтожения А в соотношении Гейзенберга разностными операторами первого порядка; при этом осцилляторная алгебра, порожденная операторами А, А+ и Ь = АА+, по-прежнему остается изоморфной алгебре зи(2), а оператор Шредингера Ь становится дискретным вида (4). Формально-алгебраический спектр, задаваемый соотношением Гейзенберга, по-прежнему будет арифметическим, а система собственных векторов является полной в соответствующем гильбертовом пространстве (как показано в [33], такую модель возможно построить лишь на пространстве квадратично суммируемых функций на полупрямой М), поскольку они выражаются через полиномы Шарлье.

Другая модель разностного осциллятора берет свое начало в работах Би-денхарна [26] и Макфарлэна [31], где было предложено рассматривать соотношение Гейзенберга", т.е. операторное соотношение вида дА+А + а (5) где д ^ 1 — некоторое действительное число. Биденхарн и Макфарлэн, независимо построив в 1989-ом году реализацию квантовой группы 5С/9(2) с помощью ^-осциллятора, были заинтересованы, главным образом, в формально-алгебраической теории (хотя, в работе [31] было упомянуто некоторое координатное представление); однако, годом позже Атакишиев и Суслов [3] изучили координатное представление д-осциллятора (5), связанное с д-полиномами Эрмита, взяв в качестве операторов рождения и уничтожения разностные операторы первого порядка на целочисленной решетке: А = аТ~1 + 6Т, где Т — оператор элементарного сдвига вправо. Еще через год Атакишиев и Суслов [4], рассматривая операторы вида А = а + ЪТ, построили другое координатное представление ^-осциллятора, которое оказалось связанным с многочленами Стилтъеса-Вигерта. Как и в случае гармонического осциллятора, ^-соотношение определяет формально-алгебраический "фоковский" спектр оператора Ь = АА+ (в данном случае он состоит из одной "квантовой" арифметической прогрессии и лежит в ограниченном интервале), а оператор Ь является неограниченным оператором на гильбертовом пространстве £2(2) квадратично суммируемых последовательностей на "дискретной" прямой. Однако, в отличии от случая гармонического осциллятора, характер спектра такого ^-осциллятора до конца не изучен.

В 1994-ом году Атакишиев, Франк и Вольф в своей работе [24] продолжили рассмотрение модели ^-осциллятора из [3], в которой ^-соотношение Гейзенберга было реализовано симметричными разностными операторами А = аТ~х + 6Т и его формально сопряженным А+. Преимущество этой модели состоит в том, что оператор Ь оказывается ограниченным самосопряженным оператором на £2^)) отличающимся от компактного на постоянный оператор: Ь = К + с1, где I — тождественный оператор, а с — некоторая константа. Согласно общим теоремам функционального анализа (см. [12]) такой оператор обладает чисто дискретным спектром, а его собственные функции образуют полное семейство.

В упомянутых выше работах были построены также и другие варианты дискретизации гармонического осциллятора: Атакишиев и Суслов [3] рассмотрели разностный гармонический осциллятор, собственные состояния которого выражаются через полиномы Кравчука; в работе [25] была предложена модель разностного осциллятора, связанная с полиномами Мейкснера. В работах [28, 30] рассмотрена модель ^-осциллятора на квантовой плоскости: соотношение (5) реализовано ^-разностными операторами, т.е. линейными операторами первого порядка относительно д-разностной производной:

М - /С?-1®) =

В диссертации изучается циклическая д-цепочка Дарбу, т.е. цепочка разностных операторов £2, • • •, удовлетворяющих соотношениям

Ц = ~ = где о>]+г = а], Ь]+г = Ь^ для некоторого г.

Диссертация разделена на три главы. Первая глава содержит подробное описание модели гармонического осциллятора и обзор некоторых результатов Веселова и Шабата [7] и Адлера [21], необходимые для дальнейшего изложения. Вторая глава посвящена детальному описанию некоторых дискретных моделей — разностный осциллятор [2, 33], ^-осциллятор [26, 31, 3, 4, 36, 33, 24], дискретная одевающая цепочка [38, 37] (т.е. последовательность разностных операторов второго порядка, связанных преобразованиями Дарбу), являющихся частными случаями ^-цепочки Дарбу. Показано, что в случае а = аз Ф 0 циклическая дискретная одевающая цепочка не имеет решений, определенных на всех целочисленной решетке и что ее в этом случае можно (как и в случае разностного гармонического осциллятора [33]) реализовать лишь неограниченными операторами, определенными на "полупрямой" N. Построено зависящее от параметра представление нулевой кривизны в 2, Е) для циклической дискретной одевающей цепочки в случае см = 0, приводящее к первым интегралам. Для цепочки длины 2 эта конструкция позволяет найти недостающий первый интеграл, построив таким образом независимое семейство первых интегралов максимальной размерности, и, фактически, свести задачу к динамике вдоль некоторой плоской кривой.

В третьей главе содержатся основные результаты диссертации, полученные в работах [10, 16, 35]. В первом параграфе введено понятие циклической д-цепочки со сдвигом, т.е. такой д-цепочки Дарбу, у которой — Т~3Ь^Т8 для некоторого целого з, называемого сдвигом цепочки. Изучены цепочки двух типов: в первом в качестве аналогов операторов рождения и уничтожения А и А+ берутся операторы вида а + ЬТ, а во втором — вида аТ~1 + ЬТ. Показано, что операторы цепочки первого типа неограничены, если в ^ г или я ^ 0 (что обобщает наблюдение Новикова и Тайманова [33] о неограниченности ^-осциллятора) и что при четном г цепочка первого типа со сдвигом 5 = г/2 сводится к цепочке второго типа с нулевым сдвигом. Доказано, что если все изоспектральные сдвиги с^- положительны, то формально-алгебраический спектр каждого из операторов циклической д-цепочки, т.е. дискретный спектр, определяемый операторными соотношениями, состоит из г различных ^-арифметических прогрессий.

Во втором параграфе третьей главы приведено принадлежащее Дынни-кову явное описание общего решения ^-цепочки длины г = 2 со сдвигом 5 = 1 (ранее Атакишиевым, Франком и Вольфом [24] были найдены лишь частные решения этой задачи). Показано, что при ах = ос^ > 0 операторы ^-цепочки сходятся к гармоническому осциллятору, а при положительных ах ф — к операторам одевающей цепочки Веселова-Шабата длины 2.

В третьем параграфе сформулирована и доказана основная теорема: циклическая д-цепочка первого типа четной г со сдвигом й = г/2 имеет г-параметрическое семейство решений для произвольных положительных с^-и 0 < д < 1 (или для отрицательных и д > 1); при этом все операторы Lj цепочки ограничены и имеют чисто дискретный спектр, который может быть найден по схеме Дарбу (т.е. совпадает с формально-алгебраическим спектром, задаваемым операторными соотношениями). Кроме того, описан численный эксперимент, показывающий, что при г = 6,10, = а^+г/2 Для всех .7 = 1,., г/2 решение циклической ^-цепочки сходится к решению одевающей цепочки длины г/2.

1. В. Э. Адлер, А. Б. Шабат, Р. И. Ямилов. Симметрийный подход к пробле-ме интегрируемости. ТМФ, 125(3), 2000, 355-424.

2. Н. М. Атакишиев, К. Суслов. Модель гармонического осциллятора на решетке. Современный групповой анализ: методы и приложения. Баку,Элм, 1989, 17-20.

3. Н. М. Атакишиев, К.Суслов. Разностные аналоги гармонического ос- циллятора, ТМФ, 85 (1990), вып. 1, 64-73.

4. Н. М. Атакишиев, К. Суслов. Об одной реализации д-гармонического осциллятора, ТМФ, 87 (1991), вып. 1, 154-156.

5. Г. Бейтмен, А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М., На- ука, 1966.

6. А. П. Веселов. Интегрируемые отображения. УМН, 46 (1991), вып. 5(281), 3-45.

7. А. П. Веселов, А. Б. Шабат. Одевающая цепочка и спектральная теория оператора Шрёдингера. Функ. Анализ, 27 (1993), вып. 2, 1-21.

8. В. В. Голубев. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.-Л.,ГИТТЛ, 1941.

9. Б. А. Дубровин, В. Б. Матвеев, П. Новиков. Нелинейные уравнения ти- па Кортевега-де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевымногообразия. УМН, 31 (1976), вып. 1 (187), 55-136.

10. И. А. Дынников, В. Смирнов. Точно решаемые циклические ^-цепочки Дарбу. УМН, 57 (2002), вып. 6(354), 183-184.

11. В. Е. Захаров, В. Манаков, П. Новиков, Л. П. Питаевский. Теория со- литонов: метод обратной задачи. М., Наука, 1980.103

12. А. Н. Колмогоров, В. Фомин. Элементы теории функций и функцио- нального анализа. М., Наука, 1972.

13. Л.Д.Ландау, Е. М.Лифшиц. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М., Наука, 1974.

14. Дж. Л.Лэм. Введение в теорию солитонов. М.,Мир, 1983.

15. П.Новиков, И.А.Дынников. Дискретные спектральные симметрии маломерных дифференциальных операторов и разностных операторовна правильных решетках и двумерных многообразиях. УМН, 52 (1997),вып. 5(317), 175-234.

16. В. Смирнов. Циклические д-цегючки Дарбу. Алгебра и Анализ, 13 (2003), вып. 5, 228-253.

17. П. К. Суетин. Классические ортогональные многочлены. М., Наука, 1976.

18. Функциональный анализ. Сер. Справочная Математическая Библиотека. М., Наука, 1964.

19. П.Халмош. Гильбертово пространство в задачах. М.,Мир, 1970.

20. А. Б. Шабат, Р. И. Ямилов. Симметрии нелинейных цепочек. Алгебра и Анализ, 2 (1990), вып. 2, 183-208.

21. V. Е. А(11ег. ЫопНпеаг спатз апс! Рат1еуё е^иа^^оп8. РНузгса (В), 73 (1994), 335-351.

23. V. Е. АсПег, А. Р. Уезе1оу. СаисЬу ргоЫет Гог т1е§гаЫе сИзсгеЪе е^иа^^опз оп ^иао!-§^арЬз. Ас1а АррИсапйае МаНгетаЫсае, 84, 2004, 237-262.

24. N. АйаЫзЫуеу, А. Ргапк, К. \Уо1Г. А 81тр1е с№п"егепсе геаНза^юп оГ Ше Не1зепЬег§ ^-а1§еЬга. 3. МаШ. РНуз, 35(7), 1994, 3253-3260.

25. N. М. АЪаИзЫуеу, ЕЛ.ЛаГагоу, 5Ь. М^а§1еу, К.В.\Уо1Г. Ме1хпег озсШа^огз. Кеь. Мех. Ргз., 44 (1998), 235-244.

26. Ь. В1ес1епЬагп. ТЬе ^иап^;ит §гоир 811 ч{2) апс! а д-апа1о§ие оГ 1Ье Ьозоп орега^огз. 3. РНуз. А: МаЬН. Сеп., 22 (1989), Ь873-878.Литература 105

27. А. I. ВоЬепко, Уи. В. 8ипз. 1п1е§гаЫе зуз^етз оп ^иас^-§^арп8. 1пЬ. МаНъ. Кез. ЫоЫсез, 11 (2002), 573-611.

28. М. СЪакЫап, Н. Сгоззе, Р. Ргезпа^ег. 11ш1;агу гергезепЪаЪюпз оГ Ше д- озсШаЪог а1§еЪга. 3. РНуз. А: Ма1Н. Сеп., 27 (1994), 2045-2051.

29. Р. Р. КиНзЬ, Е. V. Батазктзку. Оп Л е # озсШайог апс! ЪЬе диапйит а1§еЬга ,1). 3. РНуз. А: МаНь. Сеп., 23 (1990), Ь415-Ь419.

30. А. Ьогек, А. ЯиШп§, Л. "УУезз. А д-йеГогтаМоп оГ Л е Ьагтошс озс111а!;ог. 1. РНуз. С, 74, (1997), 369-377

31. А. 3. МасГаг1апе. Оп ^-апа1о§иез оГ Ъпе ^ иап^;ит Ьагтоп1с озсПЫог апс! Ше Яиап1;ит §гоир 513(2)ч. 3. РНуз. А: МаЬН. Сеп., 22 (1989), 4581-4588.

32. V. Зртсктоу, Ь. У1пе1;, А. 2Ьес1апоу. ВиЧГегепсе 8сЬг6с11п§ег орега!;ог8 шИ Ппеаг апс! ехропеп{па1 сИзсге1;е зрес!га. ЬеН. Ма1Н. РНуз, 129 (1993), 67-73.

33. V. Зршсктоу, А. 2Ьес!апоу, Ь. У1пе1. РегюсИс гейисИоп оГ Ше Гас1;оп2а1;1оп сЬа1п апс! Ше НаЬп ро1упогта1з. 3. РНуз. А: МаШ. Сеп., 27 (1994), Ь669-Ь675.

34. V. 8р1пс!опоу, А. 2Ьес!апоу. О1зсге1;е геЙесИопЬзз а1§еЬгаз апс! д--огШ§опа1 ро1упот1а1з. Апп. РНуз., 237 (1995), 126-146.

35. Л.\Уе158. РегюсИс йхес! ро1п!з оГ ВасЫипс! 1;гап8Гогта1;1опз апс! ЬЬе Кс!У йоп. З.МаЬН. РНуз., 27(11) (1986), 2647-2656.