Методы конструирования на основе преобразования Дарбу точно решаемых моделей в квантовой механике тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Самсонов Борис Федорович

МЕТОДЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ НА ОСНОВЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДАРБУ ТОЧНО РЕШАЕМЫХ МОДЕЛЕЙ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Томск - 1998

Работа выполнена в лаборатории математической физики и на кафедре квантовой теории поля Томского государственного университета

Научный консультант: заслуженный деятель науки РФ доктор физико-математических наук профессор В.Г. Багров

Официальные оппоненты: Ведущий научный сотрудник ФИРАН

доктор физико-математических наук, профессор В.И. Манько Профессор кафедры теоретической физики Новосибирского государственного университета доктор физико-математических наук В.Г. Сербо Заведующий кафедрой математического анализа Томского государственного университета

доктор физико-математических наук, профессор И.А. Александров

Ведущая организация: Лаборатория теоретической физики

Объединенного института ядерных исследований, г. Дубна

Защита состоится " ^¿(й^/О^г^ 1998г. в 14 час. на заседании диссертационного совета Д 063.53.07 по защите диссертаций на соискание ученой степень доктора физико-математических наук при Томском государственном университет« по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета

Автореферат разослан " 1 1998г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук доцент

Общая характеристика работы

В диссертации развивается новое направление в конструировании точно решаемых моделей в нерелятивнстской квантовой механике, основанное на идеях, впервые высказанных Дарбу, Имшенецким, Дельсартом - метод операторов преобразования типа Дарбу применительно к уравнению Шредингера

Актуальность темы

Нерелятивистская квантовая механика является одной из важнейших моделей, построенных для описания явлений природы, а уравнение Шредингера по праву считается одним из фундаментальнейших достижений физики этого столетия. Его роль в построении современной физической картины мира невозможно переоценить. Именно поэтому задача отыскания точных или приближенных решений этого уравнения с заданным потенциалом весьма быстро трансформировалась в задачу отыскания и классификации потенциалов, допускающих точные решения. Наибольший прогресс в этой области связан с открытием метода обратной задачи квантовой теории рассеяния. Этот метод принципиально позволяет сконструировать потенциал с любыми наперед заданными свойствами, его определяющими, и развит к настоящему времени вплоть до качественной теории управления спектрами1. Однако, практически реализуемым до конца является случай вырожденного ядра интегрального оператора Гельфанда-Левитана-Марченко. Оказывается, что в этом случае тот же потенциал можно получить и при помощи более простого дифференциального оператора преобразования типа Дарбу.

Уравнение Шредингера является не только одним из основных уравнений квантовой механики. Его универсальность проявляется, в частности, в том, что это уравнение является одним из основных элементов при решении нелинейных эволюционных уравнений, возникающих в самых разных науках. Этим, в частности, и обусловлено активное развитие метода обратной задачи квантовой теории рассеяния, позволившее адаптировать его к решению нелинейных эволюционных уравнений. Операторы преобразования типа Дарбу оставляют инвариантным нулевое значение коэффициента отражения частицы, рассеиваемой на данном потенциале, и поэтому порождают цепочки безотражательных потенциалов, из которых конструируются солитонные решения нелинейных эволюционных уравнений.

Другим важным применением операторов преобразования типа Дарбу является

'Захарьев Б.Н. Уроки квантовой интуиции. ОИЯИ: Дубна, 1996.

их использование при конструировании суперзарядов и парасуперзарядов в суперсимметричной квантовой механике. Суперсимметричная квантовая механика была впервые введена Виттеном2 в качестве модели квантовой теории поля, иллюстрирующей проблему нарушения суперсимметрии на квантовом уровне. С тех пор она развилась в отдельную область, нашедшую применение в теории атомов, статистической механике, физике твердого тела, квантовой теории поля.

Таким образом, актуальность тематики данной работы не вызывает сомнений.

Цель работы

Цель диссертационной работы состоит в разработке методов конструирования на основе преобразования Дарбу точно решаемых моделей в квантовой механике и применению их к исследованию когерентных состояний.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту

1. Разработан метод конструирования точно решаемых потенциалов нестационарного уравнения Шредингера, обобщающий метод преобразования Дарбу стационарного уравнения и названный "нестационарным преобразованием Дарбу". Проведено его систематическое изучение. Установлена его связь с известными методами, такими как метод факторизации и преобразование Дарбу нелинейных эволюционных уравнений и с интегральными методами, основанными на решении уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко.

2. Установлена суперсимметрия и парасуперсимметрия нестационарного уравнения Шредингера.

3. Произведено обобщение преобразования Дарбу на операторы высших порядков по производным и введено понятие полностью приводимой цепочки преобразований.

4. Построена суперсимметричная квантовомеханическая модель, проявляющая свойства, присущие как моделям с точной суперсимметрией, так и моделям

2Witten Е. Nucí. Phys. В. - 1981. V. 185. - Р. 513.

со спонтанно нарушенной суперсимметрией и описываемая квадратичной супералгеброй.

5. Для стационарного случая доказана теорема о факторизации оператора преобразования Дарбу N-го порядка операторами первого порядка.

6. Установлено, что для стационарного уравнения Шредингера интегральные операторы преобразования, соответствующие решению уравнения Гельфан-да-Левитана-Марченко с вырожденным ядром, получается определенным предельным переходом из некоторой цепочки преобразований Дарбу.

7. Получены обширные классы новых стационарных и нестационарных точно решаемых потенциалов, выражающихся через элементарные функции, и решений уравнения Шредингера для них. В частности, а) ангармонические регулярные и сингулярные в нуле потенциалы с зависящей от времени частотой; б) ангармонические сингулярные стационарные потенциалы с эквидистантным и квазиэквидистантным спектрами; в) кулоновоподобные стационарные потенциалы; г) изоспектралыше стационарные потенциалы типа Морса; д) ангармонические стационарные потенциалы с эквидистантным и квазиэквнднстантпым спектрами; е) сферически-симметричные потенциалы с заданным расположением уровней дискретного спектра.

8. Получено новое существенно более простое по сравнению с известными выражение для солитонных стационарных н нестационарных потенциалов.

9. Построен классический аналог преобразования Дарбу, отличающийся тем, что геометрическое квантование полученной классической системы приводит к голоморфному представлению квантовой системы, преобразованной по Дарбу. Установлено, что преобразованию Дарбу на классическом языке соответствует преобразование потенциала Кэлеровой метрики, при котором функция Гамильтона и кривизна исходного фазового пространства изменяются таким образом, что уравнения движения остаются неизменными.

0. Получены системы когерентных состояний для потенциалов ангармонического осциллятора с эквидистантным и квазиэквидистантным спектрами, сингулярных осцилляторных потенциалов с квазиэквидистантным спектром, солитонных стационарных и нестационарных потенциалов, ангармонических регулярных и сингулярных в нуле осцилляторов с переменной частотой.

1. Показано, что в качестве алгебры динамической симметрии одномерной квантовомеханической системы с квадратичным гамильтонианом может вы-

ступать супералгебра osp(2/2). Получены суперкогерентные состояния нерелятивистской свободной частицы и гармонического осциллятора.

12. В рамках суперсимметричной квантовой механики построены суперкогерентные состояния сингулярного осциллятора.

Научная новизна и личный вклад автора

Все перечисленные выше результаты являются новыми и получены лично автором

Апробация диссертации и публикации

Результаты работы докладывались на:

- Международной конференции "Quantum Systems: New Trends and Methods", Минск, 1994;

- Международных конференциях "Quantum Field Theory and Gravity", Томск, 1994, 1997;

- III и V Всероссийских школах-семинарах "Секреты квантовой и математической интуиции", Дубна, 1994, 1997;

- 7 и 8 Международных ломоносовских конференциях "Problems of Fundamental Physics", Москва, 1995, 1997;

- 8 Международной конференции "Методы симметрии в физике", посвященной 80-летию со дня рождения профессора Я.А. Смородинского, Дубна, 1997;

- Международной конференции "Геометризация физики III", Казань, 1997;

- Семинаре лаборатории теоретической физики Объединенного института ядерных исследований, Дубна, 1997;

- Семинаре лаборатории теоретической физики института математики СО РАН, Новосибирск, 1998;

- Городских семинарах по теоретической физике в Томске.

По теме диссертации опубликовано 24 работы в отечественной и зарубежной научной периодике.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка цитированной

литературы, содержащего 421 библиографическую ссылку и иллюстрирована 34 рисунками. Общий объем диссертации составляет 242 страницы текста, набранного на компьютере шрифтом кегля 12.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертации я дано описание ее структуры.

В начале первой главы рассмотрены основные конструкции операторов преобразования и дано определение оператора преобразования Дарбу. Затем рассмотрены общие свойства преобразования Дарбу нестационарного уравнения Щре-дингера. Далее получены новые классы нестационарных точно решаемых потенциалов.

В первом параграфе рассмотрено преобразование первого порядка. Одной из отличительных особенностей нашего подхода является привлечение методов операторов преобразования, введенных в работах Дельсарта и Лионса3, к определению оператора преобразования Дарбу. Будем говорить, что оператор Ь, определенный на решениях уравнения Шредингера, является оператором преобразования для этого уравнения, если он удовлетворяет операторному уравнению

где йод = - исходный и преобразованный гамильтонианы. Оператор

Ь, определяемый уравнением (1), преобразует всякое решение ф(х^) исходного уравнения Шредингера с гамильтонианом 1>0 в решение (возможно нулевое)

- ка) = (гд{ - ^)Ь,

(1)

преобразованного уравнения Шредингера

(гд, - Аг)¥?(х, г) = 0, г 6 [а, Ь].

(2)

Если гамильтонианы Л0 и /ц отличаются на некоторую функцию

А(х,<) = к0- Ль

то уравнение (1) можно записать в виде коммутаторного уравнения

= А(х,{) Ь.

^еЬ-аН .1., [лога Д.Ь. СогптеШ. \Iath. Не1у. - 1957. - V. 32. - Р. ИЗ.

С точки зрения операторов преобразования, оператор, использованный в оригинальных работах Дарбу, является дифференциальным оператором преобразования. Поэтому мы предлагаем всякий дифференциальный оператор преобразования называть оператором преобразования Дарбу.

Такое определение отличается от определения, введенного ранее В. Б. Матвеевым4. В основе определения В.Б. Матвеева лежит формула для вычисления разности потенциалов исходного и преобразованного уравнений

ДУ = 2(\пи)хх (3)

и свойство ковариантности уравнения Шредингера относительно данного преобразования. Отметим, что аналогичная формула и свойство ковариантности появляются и в обратной задаче квантовой теории рассеяния. С другой стороны, эта формула, как показано в диссертации, является следствием нашего определения преобразования Дарбу, в то время как, очевидно, обратное утверждение не является справедливым. Поэтому, наше определение, с одной стороны, носит более общий характер, а с другой, ограничивает класс преобразований Дарбу только дифференциальными операторами преобразования. Тогда преобразование, называемое В.Б. Матвеевым "бинарным преобразованием Дарбу", не является с нашей точки зрения преобразованием Дарбу. Кроме того, в случае нестационарного уравнения Шредингера функция и в (3) является комплекснозначной. Поэтому вещественными будут лишь потенциалы, определяемые функциями и вида

и = ехр [г (А(1)х + В (г))] Ф (х,г),

где А, В, Ф - произвольные вещественнозначные функции, что, как показано в диссертации, является серьезным ограничением на класс допустимых преобразований. По-видимому именно этим объясняется тот факт, что данное преобразование не применялось к нестационарным решениям уравнения Шредингера, исключая случай нулевого потенциала, порождающего решения уравнения Кадомцева- Петвиашви ли.

В этом параграфе введено также понятие функции преобразования, как функции, полностью определяющей оператор преобразования и преобразованное уравнение.

В простейшем случае оператора первого порядка оператор преобразования Дарбу имеет вид:

Ь = ^(1){-их/и + дх) = ¿,(0и-

и 1 их дх

4МаСуееу V. В., ЭаПе М.А. ОагЬоих ЦапэГогтаиопя ап<1 воШста. Исл' Уогк: вргшвег, 1991.

Здесь

= ехр[2 J си1т(\пи)хх]

и операторные определители являются дифференциальными операторами, которые получаются при разложении определителя по последнему столбцу с функциональными коэффициентами записанными перед операторами дифференцирования.

Разность потенциалов исходного и преобразованного уравнений Шредингера является вещественнозначной функцией

А — (1п |«|2)1Г,

если функция преобразования и = и{х,Ь) удовлетворяет условию вещественности нового потенциала

(1пи/й)ггг = 0.

Во втором параграфе, на основе полученного в предыдущем параграфе условия вещественности потенциала преобразованного уравнення Шредингера, получен потенциал наиболее общего вида исходного уравнения, для которого это уравнение имеет хотя бы одно решение пригодное для использования в качестве функции преобразования. Он имеет следующий вид:

у°(х'*)= 2р " + 2/з Х + Тг~а Т

и определяется произвольными функциями /, з и а одной переменной 2 и произвольной функцией ф = ФЦ), £ = /2(1}х + >'(*)'•

В работе показано, что полученный ранее5 в результате анализа уравнения Кадомцева-Петвиашвили потенциал, является частным случаем данного потенциала. Установлен также общий вид потенциала преобразованного уравнения Шредингера.

В следующем параграфе рассматриваются преобразования более высоких порядков по производной. Прямыми вычислениями показано, что в качестве оператора второго порядка можно взять произведение операторов первого порядка, если вронскиан соответствующих функций преобразования отличен от нуля. Для оператора преобразования М-го порядка, являющегося произведением операторов первого порядка дано обобщение на нестационарный случай известной формулы

5ВоШ М., РетртеШ Г., Рс^геЬкоу А.К., РоЦгапоУ М.С. - 1пуегее РгоЫешэ. - 1991. - V. 7 - Р.

Крама-Крейна

щ и2 . ■ ИЛ/ 1

и 1г • "пх дх

и«") щ (/V) ■ и* д»

где иг, и2, ..., и к - произвольные линейно независимые решения исходного уравнения Шредингера и через \¥(и1, и?,..., ицг) обозначен определитель Вронского (вронскиан) функций щ,и2,. ■ ■ Функция обеспечивает вещественность

потенциала преобразованного уравнения Шредингера. На функции преобразования и; при этом необходимо наложить дополнительное условие

В следующем параграфе на примере уравнения Шредингера для свободной частицы рассматривается связь преобразования Дарбу с алгеброй симметрии исходного уравнения. Установлено условие, при котором операторы симметрии факто-ризуются операторами преобразования Дарбу. Данное свойство обобщает известный метод факторизации на нестационарное уравнение Шредингера. В ограниченном виде оно ранее обсуждалось в работе6.

В пятом параграфе обсуждается преобразование обратное преобразованию Дарбу. Установлено, что интегральное преобразование, введенное В.Б. Матвеевым (см. сноску на стр. 8), является обратным преобразованию Дарбу. Установлена область определения обратного оператора как линейного оператора, определенного на решениях уравнения Шредингера. Введенное преобразование отличается от полученного в указанной работе тем, что оно дает вещественный потенциал.

В следующем параграфе произведено разложение всего пространства решений исходного Та и преобразованного Т\ уравнений Шредингера в прямые суммы двух подпространств - бесконечномерного и двумерного, 'Год = 7'од ® ^од. Подпространства устроены так, что оператор преобразования Дарбу действует из бесконечномерного ТЦ в бесконечномерное Т° и из двумерного Г0' в двумерное Т}. Поэтому при помощи этих операторов устанавливается взаимно однозначное соответствие между пространствами решений исходного и преобразованного уравнений. Пространства ТЦ и Т? преобразуются биоднознатао друг в друга при помощи операторов Ь и ему сопряженного ¿+, а пространства Г01 и Т^ являются линеалами (при необходимости нужно рассмотреть замкнутые линеалы), обрадованными функциями и, и' и V, г/. Функции и а и' удовлетворяют дифференциальному уравнению

6Агаева Р.Г. Современный групповой анализ. Методы и приложения. Баху: "Элм". 1989, С.

второго порядка Vе Ьи = 0, а функции v и и' аналогичному уравнению 22+г> = 0. При этом V = (£.1 гг)-1 6 Ть и функции и' и и' восстанавливаются по функциям и

1 ии J т

Это позволяет установить структуру гильбертова пространства на решениях преобразованного уравнения и различить, так называемые, случаи точной и спонтанно нарушенной суперсимметрии.

В седьмом параграфе установлена суперсимметрия и парасуперсимметрия нестационарного уравнения Шредингера. Решающим фактором для этого является то, что введенное ранее преобразование Дарбу дает вещественный потенциал. В этом случае эрмитов супергамильтониан

\ о Й1

определяет суперсимметричное нестационарное уравнение Шредингера

объединяющего в единую конструкцию исходное и преобразованное уравнения. Операторы преобразования Дарбу участвуют в конструировании операторов симметрии этого уравнения, определяемых как обычно, как операторы, переводящие одно решение данного уравнения в другое его решение. При этом взаимно сопряженные суперзаряды

и оператор симметрии

0 V 0 зЬ ) ' = -г(И+ + а) = + а\{1)А образуют простейшую супералгебру 5/(1/1),

[ео,Ро] = [с?,ао] = о,

{Qo,QZ}=iQo -а/, д^ = (Й+)2=0.

Здесь а - собственное значение оператора симметрии гдЦ исходного уравнения Шредингера, — а)и = 0. В этом параграфе введено также понятие полностью приводимой цепочки преобразований Дарбу. Такая цепочка порождается N линейно независимыми решениями исходного уравнения Шредингера и\,иг,..

являющимися также собственными функциями некоторого оператора симметрии г5°> г9°и/с = а^к, этого уравнения такими, что все вронскианы \У(ия, ..., ир), <7 < р = 1,..., Л' сохраняют знак при изменении переменной х внутри заданного интервала, на котором решается указанное уравнение и удовлетворяют условию вещественности (4). Она порождает цепочку точно решаемых эрмитовых гамильтонианов —*...—* кн, цепочку операторов симметрии да —► д1 —»...—► </" и приводит к полной системе сохраняющихся суперзарядов (2РЯ, сконструированных при помощи операторов преобразования Дарбу и Ь^, сплетающих уравнения Шредингера с гамильтонианами /¿р и /г,. Условие полной приводимости цепочки приводит к следующей нелинейной алгебре

Я*.рЯр,я = N + I > я > р >

п

йр,р+пЯр,р+п+т = П(£» ~ Ор+0б|>+п,р+п+т. р + П + Ш<Л'+1 ¡=1

п

Зр-п-т,рер_„,р = П(00 ~ ар+;-02р-п-т,р-п, р-п - тп >0, р < ЛГ + 1, 1=1

п

йр,р+„йр,р+п2р,р+п = - Ор+.)2р,р+п, Р + П< N+1,

1=1

п, т — 1,2,...

и соотношения эрмитово сопряженные этим. Все остальные произведения любых двух суперзарядов равны нулю.

В восьмом параграфе введенное преобразование Дарбу применяется для конструирования новых нестационарных точно решаемых потенциалов. Вначале рассмотрен, в качестве исходного, нулевой потенциал. Рассмотрены все возможные потенциалы, которые можно получить, выбирая всевозможные решения уравнения Шредингера с нулевым потенциалом в разделенных переменных в качестве функции преобразования. Затем рассмотрены гармонический и сингулярный осцилляторы с переменной частотой. Приведем в качестве примера один из потенциалов, полученных для гармонического осциллятора с переменной частотой и/ = и»(<):

1, , 1 V1 ,■>( их & \

О = ^- — созЬ-^- + ] .

Здесь [¡к и - параметры потенциала, 7 и <5 - вещественная и мнимая части функции е, являющейся некоторым (комплексным) решением классического уравнения движения для гармонического осциллятора: ¿'(4) + 4ш2(^е(<) = 0, подчиненным условию её—ек = г/2. При ш — 0 этот потенциал становится нестационарным солитон-ным потенциалом, приводящим к решению уравнения Кадомцева-Петвиашвили. В

Рис. 1: Потенциал, получаемый при помощи функций Эйри, в различные моменты времени.

качестве иллюстрации приведем также график потенциала, полученного при помощи функции Эйри (см. рис. 1.)

В последнем параграфе этой главы получена новая форма известного N-cоли-тонного решения уравнения Кадомцева- Петвиашвили. Такая возможность основана на существовании замкнутого выражения для определителя Вронского, составленного из гиперболических функций, полученного в диссертации. Этот определитель выражается через гиперболические косинусы,

= ]П Вк cosh 7*. ¡t= i

Для параметров Вь и '¡к приведены явные выражения. Предлагаемое решение отличается большей простотой по сравнению с известными.

Во второй главе рассмотрены интегральные преобразования.

В первом параграфе введено элементарное интегральное преобразований, приводящее к вещественному потенциалу.

Во втором параграфе рассмотрена суперпозиция интегрального и дифференциального преобразований, приводящая к преобразованию, названному в монографии В.Б. Матвеева и М.А. Салль "бинарным преобразованием Дарбу" (см. сноску на стр. 8). Полученное преобразование обобщено на случай N функций преобразования.

В третьем параграфе отмечено, что в тех случаях, когда ядро оператора преобразования лежит за пределами области определения этого оператора, можно ввести изометрические операторы, сохраняющие величину скалярного произведения.

Такие операторы используются в дальнейшем при конструировании суперкогерентных состояний.

Третья глава посвящена стационарному уравнению Шредингера, которое рассматривается как частный случай нестационарного.

В первом параграфе установлено, что если осуществить цепочку, специальным образом подобранных преобразований Дарбу, то ее результирующее действие совпадет с действием интегрального оператора преобразования, соответствующего вырожденному ядру уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко.

Во втором параграфе дано уточнение и новое доказательство известной теоремы о факторизации оператора преобразования Дарбу Л'-го порядка операторами преобразования Дарбу первого порядка:

Теорема. Действие всякого нетривиального оператора Ь1-^ эквивалентно результирующему действию некоторой цепочки к{< Лг) преобразований Дарбу первого порядка.

В третьем параграфе рассмотрены одевающие цепочки. Этот параграф носит исключительно обзорный характер и не содержит оригинальных результатов.

В четвертом параграфе получены новые классы стационарных точно решаемых потенциалов и решений уравнения Шредингера для них. В частности, получена новал формула для .ЛГ-солитонного потенциала; проанализированы особенности спектральной задачи на полуоси с N уровнями дискретного спектра, расположенными произвольным наперед заданным образом, получены для нее решения Йоста и функция Йоста; получены новые семейства регулярных и сингулярных в нуле потенциалов с эквидистантным и квазиэквидистантным спектром, для некоторых из которых проведен подробный анализ решений уравнения Шредингера; показана возможность использования функций дискретного спектра исходной спектральной задачи в качестве функций преобразования, приводящих к сингулярным потенциалам и новым спектральным задачам; рассмотрены новые кулоновоподобные потенциалы и потенциалы подобные морсовскому. Практически для всех новых потенциалов приведены функции дискретного спектра. Приведем в качестве примера семейство точно решаемых потенциалов со спектром атома водорода

^(х) = —2г/х - 16г3х(хг - \)Q-l{xz) + 32Л4д"2(гг),

<Э(х) = 1 + 2х + 2х2 + С ехр(2г), С 6 (-оо, -1) и (0, оо).

Здесь г заряд ядра атома. В качестве иллюстрации приведем также графики к-ямных потенциалов, полученных из потенциала гармонического осциллятора (см. рис. 2). Для удобства сравнения графики потенциалов V = у^^ 4- 5к, где к совпадает с номером кривой, смещены вверх на 5 единиц. Дискретный спектр

5 4 3

Рис. 2: ¿-ямные потенциалы I/'*'*"1"1'

этих потенциалов отличается от спектра гармонического осциллятора отсутствием уровней Е — киЕ=к-\-1.

В четвертой главе рассмотрены когерентные состояния преобразованных систем. Существуют различные определения когерентных состояний, приводящие к одинаковому результату для гармонического осциллятора и, как правило, к различным результатам для других систем. В тех случаях, когда для исходной системы известны когерентные состояния определенные каким-либо образом, то подействовав на них оператором преобразования мы получим когерентные состояния преобразованной системы = Ь\ф.).

В первом параграфе рассмотрено преобразование Дарбу когерентных состояний.

Когерентные состояния определяются как собственные состояния оператора уничтожения, являющегося интегралом движения рассматриваемой системы. Под операторами уничтожения и рождения, а и а+, будем понимать любые два интеграла движения, образующие алгебру Гейзенберга-Вейля [а,а+] = 1. Будем предполагать, что представление этой алгебры в гильбертовом пространстве На неприводимо.

У нас может возникнуть три возможности. В первом случае функция преобразования и = ф0 £ На и Н\(Щ = {¡р : 9 = Ьф, ф 6 НЦ}. В этом случае преобразованный гамильтониан не содержит в своем спектре уровня энергии основного состояния исходного гамильтониана, оператор преобразования дает все гильбертово пространство преобразованного уравнения Шредингера и конструируемая суперсимметричная модель будет иметь точную суперсимметрию. Во втором случае и £ Но и = {¡р : <р = Ьф, ф € Н0}, спектры исходного и преобразованного уравнений Шредингера будут совпадать и конструируемая здесь суперсимметрия

будет спонтанно нарушена. В третьем случае и £ Я0, Н\ = {у : ^ = Ьф, ф 6 Н0} и Н\ = //11фксг//+. В этом случае преобразованный гамильтониан содержит дополнительный уровень дискретного спектра по сравнению с исходным гамильтонианом, оператор преобразования преобразует исходное гильбертово пространство в подпространство Н\ С #1 и конструируемая суперсимметрия будет точной.

В первом и втором случаях на всем пространстве Нх можно определить оператор М = 1гх. В третьем случае пространство Но отображается не на все гильбертово пространство Н\ а лишь на его подпространство Н\. Поэтому обратный оператор М определен на пространстве Н\.

При этих предположениях на пространстве Ну (а в третьем случае на Н\) можно определить операторы а = ЬаМ и а+ = Ьа+М, которые реализуют представление алгебры Гейзенберга-Вейля ад}. Кроме того, если для исходного гамильтониана /¡о известна система когерентных состояний фг, афг = гфг, фг в Н0(Л), то функция <рг = МгЬфг будет собственной функцией оператора уничтожения а и ее можно интерпретировать как когерентное состояние преобразованного гамильтониана /¡1. В силу неприводимости представления алгебры Гейзенберга- Вейля эти состояния образуют полную (а точнее переполненную) систему состояний в соответствующих неприводимых пространствах.

Пусть теперь в некоторой области £> С С изменения переменной г для состояний фг известна мера реализующая разложение единицы в пространстве Н0

1 = 1\ф,)(ф,\аф). (5)

Тогда соответствующее разложение для пространства Н\ (или Н\) примет вид

1 = (Л, _ С)-1/I ?.)(¥?. I М*),

э

где С является собственным значением оператора /¡1, соответствующим собсбвен-ной функции у — [¿1(<)й]-1 и по построению /цуз / 6 Н\ (или Н\).

В некоторых случаях разложение единицы для преобразованной системы можно записать в прежнем виде

1 = 1\<р,)(<?. 1«Ч*), (6)

с

где | - нормированный на единицу вектор, соответствующий преобразованной функции когерентного состояния и - новая мера. В этом параграфе показано, что в некоторых случаях мера может быть выражена через исходную меру Отметим, что это разложение будет справедливо во всем гильбертовом пространстве состояний для первых двух из указанных выше вариантов. В третьем варианте оно будет выполняться в пространстве Н\. Для всего гильбертова

пространства Jit разложение единицы будет выглядеть следующим образом:

1 = J I Ч>г)(Ч>г I I Vo)(Vo I •

D

Кроме того, новое разложение единицы позволяет построить голоморфное представление для преобразованной системы.

Пусть в пространстве Но задан полный ортонормированный дискретный базис (Но предполагается сепарабельным):

ШФк) = <U, =

n

Разложение когерентного состояния | фг) по этому базису выглядит следующим образом:

= Noi^anZ^lip,,), с0= 1, ап = П„,

п

где а„ - некоторые коэффициенты и Noz ~ (Фо\Фг) - нормировочный коэффициент. В тех случаях, когда Noz зависит только от разложение единицы (5) приводит к некоторой проблеме моментов

У F0 (2) = Л/о„, Л/0п = (ral)~\ х 6 (а, 6),

где Fo(i) = Soi^llA'ozl2 н функция ffo(x) определяет меру dfi: ¿¡l = (l/2)g0(x)dxd<j> в полярных координатах комплексной плоскости г = ^/хехр(г^).

При помощи разложения единицы (5) известным образом строится голоморфное представление исходной квантовой системы7. В частности, например, ортонормированный базис в голоморфном представлении выглядит следующим образом: фп (z) — anzn. При этом скалярное произведение в пространстве голоморфных функций ф(г) таких, что

jD<Tla dfx(z) <оо

определено при помощи меры dft и функции /0 = In |Л'ог|-2

(фа(г)Шг)) = jf е-Л&(*Ш*)<*/Ф),

В тех случаях, когда область D является кэлеровым многообразием, функция /о имеет смысл потенциала кэлеровой метрики. Кэлерова метрика определяет в D дифференциальную 2- форму и, следовательно, скобку Пуассона, превращая D в фазовое пространство некоторой классической системы. Квантовомеханическим

7Переломов A.M. - Обобщенные когерентные состояния и их применение. М.: Наука, 1987.

наблюдаемым ставятся в соответствие классические функции, определенные в D как ковариантные символы Березина8.

Пусть теперь оператор к0 факторизован операторами преобразования Дарбу: L+L = ho — а. Тогда преобразованный гамильтониан h\ определится соотношением: LL+ ~ /i] — а. При помощи оператора преобразования L получаем ортонорми-рованный базис собственных функций преобразованного гамильтониана h1:

\<рп) = NnL\ipn), Nn = (En-a)~1/2.

Оператор L+ осуществляет преобразование в обратном направлении |фп) = NnL+\fn). Совокупность векторов {Iv'n)}< определяемых при помощи оператора Z, образует полную систему в пространстве Н\ (или Н{)

ЕЫЫ = 1. (г)

п

Нормированный на единицу вектор когерентного состояния определяется оператором L:

Ы = NlzL^) = NuN0,'£anz"L\1>n) =

Tl

п п

Здесь

ЛТ/ = - <*Ш, N = Ы*,) = Nq*N0zNu,

К = N-lN0an, . Ь0 = 1.

Проблема отыскания меры dv сводится к "преобразованной" проблеме моментов

J xnFi (х) dx = NlMon = Мы, х 6 (о, Ь).

du{z) = (lß)gi(x)dxdi, ai(x) = }M02Nu\~2Fi(x).

Далее в работе показано, что если функция N~2 зависит от л линейно, Лг~2 = п -(-7, то решение преобразованной проблемы моментов Fi(x) выражается через решение исходной проблемы моментов Fo(x) следующим образом:

Fl(x) = x^a-1 J%a-<F0 (у) dy

при условии, что xF\ (х) —> 0 при х —► а.

Имея новое разложение единицы (6) строим голоморфное представление для преобразованной системы. Вектор состояния из пространства Hi(R) (или

®Березин Ф.А. Метод вторичного квантования. М.: Наука, 1986.

H}(R)) определяется своими Фурье-коэффициентами с„ относительно базиса {|ipn}}: = c„|v>„). В представлении когерентных состояний он определяется функцией

<ре (г) = (9ilv> = N Е = N9 (z) .

ii

Функция <p(z) = ~l^nbncnzn определяет голоморфное представление вектора \ip).

Имея два вектора \<ра) и |<рь) определяем их скалярное произведение в пространстве голоморфных функций <fi(z) таких, что

J е~'Чу (z)\di/(z) <00

еличины этого произведе:

(<Л.Ы = (Va ~ fDe~hP* WfiW^W'

из условия независимости величины этого произведения от используемого представления

Здесь функция

Л=1п|7УГ =/о+1п „

Е0 - о

при тех же предположениях, что и для исходной системы, может трактоваться как кэлеров потенциал преобразованного многообразия. В этом случае мы вновь можем определить дифференциальную 2-форму и скобку Пуассона, получая тем самым классическую систему, соответствующую квантовой системе преобразованной по Дарбу. Эту новую классическую систему можно трактовать как преобразование Дарбу исходной классической системы. Ее геометрическое квантование приводит к голоморфному представлению преобразованной квантовой системы.

Голоморфное представление ортонормированного базиса задается функциями

<рп (г) = = ЛГ'^оа^".

Второй параграф посвящен изложению необходимых для дальнейшего известных свойств когерентных состояний исходных квантовых систем, для которых нами получены когерентные состояния и носит справочный характер.

В третьем параграфе получены и исследованы когерентные состояния для ангармонических осцилляторных гамильтонианов с квазиэквидистантным спектром следующего вида:

Ь[2к) =-д2х +У}2к\х)+1/2, У1щ(х) = х2/4 - 3/2 + 8&2[<3г2*!_1(х)/Ч2Ь(аг)1г - Щ2к - 1)Ч2к.г(х)/Ч2к(х), Для этих потенциалов получены следующие когерентные состояния:

<рг(х, i)=exp ("J" у" + ¿К

ЯиП + х _

,?2 к(х)

(8)

/(г,х) = У|ехр(у)ег/(^, г = Се-\ С € С,

с интегралом нормировки

2 к

2 ( —11*

Функция (8) выражена через интеграл вероятностей ег{с(г). Однако, явные выражения для функции (¿зг(х,£) содержат только элементарные функции. В частности, при к = О мы получаем гармонический осциллятор со сдвинутым на единицу вверх началом отсчета энергии. При к = 1 функция (8) имеет вид

= К', [г2 + ехР + - £ - | + ¡и

где

Л/, = [{2*)^ (1 + (1 - zzf)\-Ч2, * = Се-', С € С. - нормировочный коэффициент.

В четвертом параграфе исследуются когерентные состояния для изоспектраль-но деформируемых ангармонических осцилляторных потенциалов с эквидистантным спектром вида

Уг{х) = х2/4 - 3/2 + 2х<2?(х) ехр(-х2/2) + 2а?(х) ехр(-х2),

Эти потенциалы имеют следующую систему когерентных состояний: ¥>»0М) = Мф,(х,г) = (2х)-,/4(гС)-1/2ехр (-\zz-\x*) х х ехр(хг-|г2)+у|С # 0, г = Се-' с нормировочным коэффициентом

{<Рг | 4>г) = (гг) 1

Для иллюстрации на рис. 3 приведена плотность вероятности обнаружить частицу в когерентном состоянии одного из изоспектральных гамильтонианов (С = 2) в различные моменты времени на фоне потенциальной ямы.

В пятом параграфе рассмотрены когерентные состояния односолитонного потенциала Ц(г) = —2а2зеск(ах + 6), а > 0, имеющего единственный уровень дискретного спектра, Е = —а2, положение которого не зависит от значения параметра 6. Для когерентных состояний данного потенциала получено следующее выражение:

ч>,(:= -§(2тг)"1/4(1 + Н)~3>2 [х + 2гг + 2а(1 + И)Щах)] х х ехр + г)2 - (1 + И)~Цх/2 + ¿г)2) , г 6 С.

Рис. 3: Плотность вероятности обнаружить частицу в когерентном состоянии одного из изоспектральных гамильтонианов (С = 2) с осцилляторным спектром.

Интеграл нормировки для этой функции имеет вид:

В шестом параграфе изучаются когерентные состояния для преобразованного сингулярного осциллятора. Здесь исследованы как состояния, получаемые при помощи оператора трансляции на группе симметрии, так и состояния, собственные для оператора сдвига по спектру. Кроме того рассмотрены случаи точной и спонтанно нарушенной суперсимметрии, получен классический аналог квантовой системы, преобразованной по Дарбу. Этим конкретным примером проиллюстрированы общие рассуждения и формулы, развитые в первом параграфе этой главы.

В седьмом параграфе рассмотрены когерентные состояния ангармонических осцилляторных гамильтонианов с переменной частотой.

Восьмой параграф посвящен построению когерентных состояний сингулярных ангармонических гамильтонианов с переменой частотой.

Пятая глава посвящена суперкогерентным состояниям.

Суперкогерентные состояния являются обобщением на случай суперпространства обычных когерентных состояний. Здесь их также можно определять разными способами. Кроме того, в суперсимметричной квантовой механике используются два подхода - - матричный и суперполевой. В данной главе рассмотрены оба эти подхода.

В первом параграфе рассматривается матричный формализм. Суперкогерентные состояния определяются как собственные состояния матричного оператора уничтожения.

Все, до сих пор развитые конструкции суперкогерентных и парасуперкогерент-ных состояний, основаны на традиционном построении суперсимметрии, когда в качестве функции преобразования выбирается функция основного состояния исходного гамильтониана. В этом случае большинство гамильтонианов (форм- инвариантные потенциалы) изменяются несущественно. В частности, потенциал гармонического осциллятора лишь приобретает сдвиг на некоторую постоянную величину и имеет ту же систему когерентных состояний, что и исходный потенциал. В данном параграфе рассмотрены более общие конструкции суперкогерентных состояний, использующие оператор преобразования более общего вида.

Рассмотрим следующие операторы

2 = 2а", е+ = 2+сг+, V = Мсг+, Ра = аМсг+, 7?0+ = а+Ма+. (10)

Здесь Ь и М взаимно обратные операторы и а, а+ - обычные операторы уничтожения и рождения.

Операторы (10) входят в нечетный сектор супералгебры. Их антикоммутаторы выражаются через четные операторы (9):

где I - единичная матрица второго порядка. Остальные антикоммутаторы равны нулю. Коммутаторы четных и нечетных операторов выражаются через нечетные операторы

будет собственной для супероператора уничтожения Л и ее можно трактовать как суперкогерентное состояние супергамильтониана И.

Во втором параграфе рассмотрен суперполевой формализм. При построение гильбертова суперпространства квадратично интегрируемых функций (координатное представление), необходимы обобщения на случай суперпространства понятий меры Лебега и интеграла Лебега, которые к настоящему времени не развить

(9)

{а,а+} = {<2,?>} = /, {е,7>„} = А =

остальные коммутаторы равны нулю. Функция

в должной степени. Однако, в рассматриваемом случае, когда суперпространство конструируется из двух экземпляров гильбертова пространства, эту трудность можно обойти. В данном параграфе на примере свободной нерелятивистской частицы и гармонического осциллятора, гамильтонианы которых являются элементами супералгебры озр(2/2), установлена структура гильбертова суперпространства на решениях уравнения Шредипгера; определены операторы суперспмметрии, реализующие нетипичное представление алгебры овр(2/2); исходя из оператора трансляции на супергруппе 05р(2/2), получены суперкогерентные состояния; с их помощью построена нерелятивистская модель свободной частицы, фазовым пространством которой является ЛА = 1 единичный супердиск. Операторы

Л'±=2(а±)2, Л'о = а+а~ + а~а+, В = (1/4) (вде - ддв), 14 = У/2а±0, \Ч± = 2а£дв,

где

а* = (1/2)№т^{-1дх + 1х12)\,

и фигурирующие здесь величины в и дд = являются операторами левого умножения па грассманову переменную в и левого дифференцирования по этой переменной, представляют собой операторы симметрии (точнее суперсимметрии) су-псрсимметричного уравнения Шредингера

¿0,41 («, г, в,в) = (г, х, о,о), ь = -д1 = 1-1и + + Ко

и образуют нетипичное представление алгебры овр{2/2) в некотором специальным образом сконструированном гильбертовом суперпространстве.

Суперкогерентные состояния получаются применением оператора трансляции

Д(;,а) =ехр(гЛ'+-Ьа7+)

к вакуумному состоянию и имеют вид

Фга(г,х,М) = ДГ'ехр(гЛ'+ + аУ+) Ф°(г,х,М) = я(т/>г(х,4) + л/2аб'Л(х,г))

где

, 12 1 + <7

<рг(х, I) = а*фг(х, г) = ———-Т-Фг(х, г),

Цст + И) '

1 — 2 », , , I

' = ! + ? * = 1 + И<1-

Функция фг[х,1) является когерентным состоянием свободной частицы, полученным применением оператора трансляции для алгебры 1) к вектору младшего веса фа(х^) представления веса к0 = 1/4, и а:,2) аналогичное состояние (не нормированное на единицу) для представления веса к1 = 3/4. В данном случае (нетипичного представления) когерентные состояния для алгебры овр(2/2) являются также ц когерентными состояниями алгебры озр(1/2) и параметризованы одним комплексным параметром г 6 С, |г| < 1, и одним грассмановым а. Поскольку г принадлежит единичному кругу соответствующее супермногообразие, реализованное в терминах координат (г, а), называется N = 1 единичный супердиск и обозначается9 Т'-1'1' = 05р(2/2)/{/(1/1), где подгруппа (/(1/1) образована генераторами Л'0, В и \¥±. Отметим, что

{ф. |х| фг) = |х| р.) = 0, {фг |р| фг) = |р| V»,) = О

где р = —1д/дх. Мы учли здесь, что фг(х) является четной функцией а >рг(х) -нечетной. Выражая хир через операторы а*

х - 2р1 + 11 (а+ - а~) , р=-(а++сг),

можно выразить хв и рО через генераторы супералгебры

р0 = + К_), х<? = 2гРв + гуД(У+ - VI). %/2

С помощью выражения для = (Фго-^Фга) находим средние значения этих величин в состояниях Фга:

{рв)га = Роа, {хО)га = (2р0* + Х0) 5,

где

1-2 «'(1 + ^) 1о =--т=-т-—. Ро =

^(1-22)' 2^(1-22)' Если теперь перейти от переменных 2 и г к ро и хо, полагая

__>Ро + х0/2

гра — ха/2'

то можно установить, что траектория частицы в нечетном секторе представляет собой прямую линию, а в четном секторе, вследствие выполнения условий

(».аМ««,) =0, {Фга \р\ Ф2а) = О,

9Е1 СгааесЫ А. М., №ек> Ь.М Сотт. Mat.li. РЬуэ. 1996. - V. 175. - Р. 521.

гастица находится в покое.

Исходя из разработанных ранее конструкций, в третьем параграфе рассмотрена суперсимметрия сингулярного осциллятора: построено гильбертово супер-гространство; получено представление супералгебры в этом суперпространстве; толучены суперкогерентпые состояния; вычислена мера, реализующая разложение ушницы по суперкогерентным состояниям в гильбертовом суперпространстве; по-:троено суперголоморфное представление.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Основные работы, опубликованные по теме диссертации:

1. Samsonov B.F. On the equivalence of the integral and the differential exact solution generation methods for the one- dimensional Schrodinger equation. // J. Phys. A: Math. Gen. - 1995. - V. 28. - P. 6989-6998.

2. Bagrov V.G., Ovcharov I.N., Samsonov B.F. Games with the Schrodinger equation. // J. Moscow Phys. Soc. - 1995. - V. 5. - No 3. - P. 191-213.

3. Bagrov V.G., Samsonov B.F. Supersymmetry of a nonstationary Schrodinger equation. // Phys. Lett. A - 1996. V. 210. - P. 60-64.

4. Bagrov V.G., Samsonov B.F. Coherent states for anharmonic oscillator Hamilto-nians with equidistant and quasi-equidistant spectra. //J. Phys. A: Math, and Gen. - 1996. - V. 29. - P. 1011-1023.

5. Samsonov B.F. New features in supersymmetry breakdown in quantum mechanics. // Mod. Phys. Lett. A. - 1996. - V. 11. - No 19. - P. 1563-1567.

6. Samsonov B.F. Time-dependent parasupersymmetry in quantum mechanics. // Mod. Phys. Lett. A. - 1996. - V. 11. - No 26. - P. 2095-2104.

7. Bagrov V.G., Samsonov B.F. Darboux transformation and elementary exact solution of the Schrodinger equation. // Pramana J. Phys. - 1997. - V. 49. -No 6. - P. 563-580.

8. Samsonov B.F. Supersymmetry and supercoherent states of a nonrelativistic free particle. // J. Math. Phys. 1997. - V. 38. - No 9. - P. 4492-4503

9. Samsonov B.F. Distortion of a phase space under the Darboux transformation. // J. Math. Phys. 1998. - V. 39. - No 2. - P. 967-975.

10. Bagrov V.G., Samsonov B.F. Time-dependent supersymmetry in quantun: mechanics. // Proceedings of the 7th Lomonosov conference "Problems oi Fundamental Physics". - Moscow: - 1997. - P. 54- 61.

И. Багров В.Г., Самсонов Б.Ф. Преобразование Дарбу, факторизация, суперсим метрия в одномерной квантовой механике. // Теор. и мат. физ. - 1995. - Т 104. - С. 356-367.

12. Багров В.Г., Самсонов Б.Ф. Когерентные состояния ангармонических осцил ляторов с квазнэквидистантным спектром. - ЖЭТФ. - 1996. - Т. 109. - Вып 4. - С. 1105-1117.

13. Самсонов Б.Ф. Когерентные состояния солитонных потенциалов. // ЯФ. 1996. - Т. 59. - No 4. - С. 753-759.

14. Багров В.Г., Самсонов Б.Ф. Преобразование Дарбу уравнения Шредингера // Физ. элементар. частиц и атом. ядра. -1997. -Т. 28. - Вып. 4. - С. 951-1012

15. Багров В.Г., Самсонов Б.Ф., Шекоян Л.А. Преобразование Дарбу для песта, ционарного уравнения Шредингера. // Изв. вузов, физика. - 1995. - Т.38. - N< 7. - С. 59-65.

16. Самсонов Б.Ф., Овчаров И.II. Преобразование Дарбу и точно решаемые по тенциалы с квазиэквидистантным спектром. // Изв. вузов, физика. - 1995. Т.38. - No 8. - С. 3-10.

17. Самсонов Б.Ф., Овчаров И.Н. Преобразование Дарбу и неклассические орто тональные многочлены. // Изв. вузов, физика. - 1995. - Т. 38. - No 4. - С 59-65.

18. Самсонов Б.Ф., Овчаров И.Н. Некоторые свойства преобразований Дарб; высших порядков. // Изв. вузов, физика. - 1995. - Т. 38. - No 7. - С. 3-8.

19. Самсонов Б.Ф. Об эквивалентности интегральных и дифференциальных ме тодов генерации точно решаемых потенциалов уравнения Шредингера. / Изв. вузов, физика. - 1995. - Т. 38. - No 3. - С. 95-102.

20. Самсонов Б.Ф. Суперсимметрия нерелятивистской свободной частицы. / Изв. вузов, физика. - 1996. - Т. 39. - No 2. - С. 99-100.

21. Самсонов Б.Ф., Самсонов И.Б. Точно решаемая, полностью приводимая, па расуперсимметричная модель квантового осциллятора. // Изв. вузов, физике - 1996. - Т. 39. - No 10. - С. 84-87.

22. Самсонов Б.Ф. Преобразование Дарбу когерентных состояний для плоскости Лобачевского. // Изв. вузов, физика. - 1997. - N0 9. - С. 29- 36.

23. Багров В.Г., Самсонов Б.Ф. Шекоян Л.Л. Когерентные состояния нестационарных солитонпых потенциалов. // Изв. вузов, физика. - 1998. - N0 1. - С. 84-90.

24. Багров В.Г., Самсонов Б.Ф. Голоморфное представление когерентных состояний сингулярного осциллятора и их преобразование Дарбу. // Изв. вузов, физика, 1998. - N0 2. - С. 46-53.

Заказ N52 Тираж £00 экз. УОП ТГУ, Томск, 29, Никитина, 4