Преобразование Дарбу функции Грина уравнения Дирака и одномерные точно решаемые релятивистские модели тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Поздеева Екатерина Олеговна

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДАРБУ ФУНКЦИИ ГРИНА УРАВНЕНИЯ ДИРАКА И ОДНОМЕРНЫЕ ТОЧНО РЕШАЕМЫЕ РЕЛЯТИВИСТСКИЕ МОДЕЛИ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЗАЬаоо^-

Москва 2008

003455682

Работа выполнена в Институте химической физики им. H.H. Семенова Российской академии наук.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор В.Г. Багров

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор Г.В. Ефимов

доктор физико-математических наук,

профессор Д.В. Гальцов

Ведущая организация:

Институт ядерных исследований РАН, г. Москва.

Защита диссертации состоится "JjL_" декабря 2008 г. в /¿^Рчж. на заседании диссертационного совета Д 720.001.01 в Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований, г. Дубна Московской области.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института ядерных исследований.

Автореферат разослан ноября 2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 720.001.01

кандидат физико-математических наук р^^^^^/А.Б. Арбузов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации

Изучением одномерного уравнения Дирака занимаются в таких областях современной физики, как одномерная суперсимметрия, одномерные ядерные модели, при анализе вопросов существования связанных состояний, изучении киральной симметрии трехмерного уравнения Дирака в безмассовом пределе, построении прозрачных потенциалов, исследовании спектральных свойств операторов, обусловленных их суперсимметричной структурой, а также при решении релятивистской проблемы туннелирования.

При построении большинства точно решаемых моделей для одномерного уравнения Дирака используется замкнутое соотношение между уравнением Дирака и суперсимметричной парой уравнений Шрёдингера. Нахождение же точных решений уравнений Шрёдингера, в свою очередь, основывается на хорошо проверенной алгебраической суперсимметричной технике, непосредственно связанной с техникой преобразований Дарбу.

В 1882 г. Г. Дарбу на основе решений одномерного уравнения Штурма-Лиувилля нашел формулы, позволяющие конструировать новые точно решаемые потенциалы уравнения Штурма-Лиувилля и соответствующие решения. В 1954 г. М. Крум сконструировал цепочки преобразований Дарбу п-ого порядка уравнения Шрёдингера. Современная концепция преобразований Дарбу принадлежит В. Б. Матвееву, обобщившему в 1979 г. результаты Дарбу-Крума применительно к бесконечным иерархиям линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

В настоящее время метод преобразований Дарбу обобщен на случай одномерного двухкомпонентного стационарного уравнения Дирака с произвольным матричным потенциалом. Одной из задач диссертации является систематическая разработка техники преобразований Дарбу и детальный анализ свойств преобразований Дарбу одномерного нестационарного уравнения Дирака с обобщенным матричным потенциалом.

В 2004 г. метод преобразований Дарбу (суперсимметричные преобразования) был применен С. В. Сакумаром к функциям Грина краевой задачи уравнения Шрёдингера с постоянной массой. При этом была получена формула для интеграла разности преобразованной и исходной функций Грина. Одной из задач диссертации является исследование преобразования Дарбу функции Грина краевой задачи уравнения Дирака и получение формул полного следа от разности преобразованной и исходной функций Грина. Интересной является также задача распространения аналогичной техники на функции Грина уравнения Шрёдингера с эффективной массой.

Границы применения преобразований Дарбу как метода анализа физических систем, решения спектральных задач (акустики океана), нахождения новых точно решаемых и интегрируемых моделей, включая космологические, расширяются.

Важное значение для понимания многих явлений в физике твердого тела и атомного ядра имеет изучение свойств релятивистской частицы, движущейся в одномерном периодическом потенциале. Этой задаче посвящен ряд работ, в которых для периодических продолжений точно решаемых потенциалов двухкомпонентного уравнения Дирака конструируются функции Ляпунова, позволяющие вычислить зонную структуру спектров. Одной из задач диссертации является приложение данной техники к Дарбу-преобразованному четырехкомпонентному уравнению Дирака, позволяющему выявить когерентно-швингеровское взаимодействие при каналировании нейтральных частиц спина 1/2 в кристалле.

Данная диссертация посвящена преобразованию Дарбу функции Грина краевой задачи одномерного уравнения Дирака, нахождению формул полного следа от разности преобразованной и исходной функций Грина, обобщению формул Сакумара на случай преобразования Дарбу функции Грина краевой задачи одномерного уравнения Дирака и построению на основе метода преобразования Дарбу точно решаемых одномерных моделей. В данной работе идеи метода сплетающих операторов применены для развития техники преобразования Дарбу одномерного нестационарного уравнения Дирака с эрмитовым матричным потенциалом общего вида (включающего в себя в

качестве частных случаев скалярный, псевдоскалярный и векторный потенциалы). Подробно исследованы свойства преобразования Дарбу нестационарного уравнения Дирака. С помощью техники преобразований Дарбу нетырехкомпонентного уравнения Дирака сконструирован ряд новых тензорных потенциалов четырехкомпонент-ного уравнения Дирака. Для каждого потенциала цепочки сконструирована функция Ляпунова, позволяющая определить соответствующую зонную структуру.

Цель работы

1. Генерация ряда новых точно решаемых тензорных потенциалов одномерного четырехкомпонентного уравнения Дирака с помощью преобразований Дарбу

2. Нахождение функций Ляпунова и изучение зонной структуры цепочки периодически продолженных точно решаемых тензорных потенциалов, сконструированных на основе метода преобразования Дарбу стационарного четырехкомпонентного уравнения Дирака.

3. Обобщение метода преобразования Дарбу на одномерное нестационарное уравнения Дирака с произвольным матричным эрмитовым потенциалом. Получение явных выражений для оператора преобразования и потенциала преобразованного уравнения.

4. Изучение основных свойств преобразования Дарбу одномерного нестационарного уравнения Дирака.

5. Построение преобразования Дарбу функции Грина краевой заг дачи одномерного стационарного уравнения Дирака с потенциалом общего вида.

6. Конструирование формул полного следа от разности преобразованной и исходной функций Грина, обобщение формулы Са-кумара на случай двухкомпонентного стационарного уравнения Дирака.

з

Т. Построение преобразования Дарбу функции Грина краевой задачи и обобщение формулы Сакумара на случай одномерного уравнения Шрёдингера с эффективной массой.

Научная новизна и практическая ценность диссертации

Впервые техника преобразований Дарбу применена к функциям Грина регулярной краевой задачи одномерного стационарного уравнения Дирака.

Впервые систематически разработана техника преобразований Дарбу и детально проанализированы свойства преобразований Дарбу одномерного нестационарного уравнения Дирака с обобщенным матричным потенциалом.

Впервые техника преобразований Дарбу применена для одномерного четпырехкомпонентпого стационарного уравнения Дирака, имеющего максимально адаптированный вид к конкретным физическим задачам.

Преобразование Дарбу нестацинарного уравнения Дирака может найти применение в теории солитонов, а также в релятивистской квантовой механике, математической физике.

Точно решаемые модели четырехкомпонентного одномерного уравнения Дирака могут найти применение при изучении движения релятивистских частиц в электромагнитных полях, наноструктур и изучении каналирования частиц в кристаллах.

Предложенный метод построения функции Грина может быть использован для теоретических расчетов различных процессов квантовой электродинамики и для решения спектральных задач в ядерной физике.

Положения, выносимые на защиту

• Преобразование Дарбу функции Грина регулярной краевой задачи одномерного стационарного уравнения Дирака:

— конструирование преобразования Дарбу функции Грина краевой задачи одномерного стационарного уравнения Дирака с матричным эрмитовым потенциалом общего вида;

- нахождение формул полного следа от разности преобразованной и исходной функций Грина;

- обобщение теоремы Сакумара для случая одномерного стационарного уравнения Дирака.

• Обобщение метода операторов преобразования Дарбу на одномерное нестационарное уравнение Дирака:

- построение матричного оператора преобразования Дарбу одномерного нестационарного уравнения Дирака с эрмитовым потенциалом общего вида и изучение его основных свойств;

- исследование преобразования Дарбу нестационарного уравнения Дирака со скалярным потенциалом, нахождение условий, при которых тип преобразованного потенциала совпадает с исходным;

- построение интегрального преобразования одномерного нестационарного уравнения Дирака с эрмитовым потенциалом, индуцированного преобразованием Дарбу этого уравнения.

• Применение техники преобразований Дарбу для случая четы-рехкомпонентного одномерного стационарного уравнения Дирака

- генерация семейства новых точно решаемых (2п — 1)- со-литонных гамильтонианов;

- генерация ряда новых точно решаемых тензорных потенциалов уравнения Дирака;

- построение функции Ляпунова для каждого периодического продолжения сгенерированного тензорного потенциала.

Апробация

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах: International Workshop Classical and Quantum Integrable Systems (January 21-24, Protvino, Russia 2008); XXXVIII

международной конференции Физика взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (27-29 мая, Москва 2008); XVII-th International Colloquium Integrable Systems and Quantum Symmetries (June 19-21, Prague, Czech Republic 2008); международной конференции Математическая физика и ее приложения (8-13 сентября, Самара 2008); XXXVI международной конференции Физика взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (Москва, 2006); семинарах Лаборатории теоретической физики и Лаборатории информационных технологий Объединенного института ядерных исследований (Дубна, 2007).

Основные результаты диссертационной работы отражены в 9 публикациях.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Ее объем составляет 107 страниц, включает 8 рисунков и библиографию из 135 наименований.

Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулирована цель и задачи диссертационной работы, проанализирована новизна и практическая ценность полученных в диссертации результатов, представлены положения, выносимые на защиту, описана структура диссертации.

В первой главе метод преобразования Дарбу применяется к одномерному четырехкомпонентному уравнению Дирака. Цепочками преобразований Дарбу сгенерированы точно решаемые гамильтонианы (г = 1~5) вида

параметр первого преобразования в цепочке. Сконструированные гамильтонианы связаны между собой соотношениями сплетения.

Исследуется структура спектров и собственных функций гамильтонианов Получены значения дискретных уровней энергии.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

H¡p — —iai~ ± £„/? ± ink th(fcx)7,

(1)

Для каждого периодизованного тензорного потенциала вида £п/3+ ¿7пк 1апЬ (к:г) приведены функции Ляпунова

£>„(£) = 2[соз(2^а)Ап(р,Ь) - (Ы}/р) зт(2ра))Вя(р,к), (2)

ii=th(b), а = Т/2, р = у/Е2~ т2 (3)

где Т — период. В общем случае (п принимает произвольные значения)

Im$n(y,t i) Mn(Mi)

Л„ =-, jyn =---, (4J

cj

_ (—1)"Г(14-iv)T(\ + n — iu) ( . . 1-iKl2

ф"= r(i - iV)T(n - ,V) lF(-n'* + * -—))>

F(—n, n -f 1; 1 — гг/; - гипергеометрическая функция, ь» =

Установлено, что преобразование Дарбу одномерного четырех-компонентного уравнения Дирака позволяет сгенерировать достаточно реалистичное взаимодействие — когерентно-швингеровское.

Во второй главе на основе техники сплетающих операторов построено преобразование Дарбу одномерного нестационарного уравнения Дирака с самосопряженным потенциалом общего вида

V = ш(х, t)I + (т + S{x, t))a3 + ф, t)ah (5)

где (Тз, <Ti - матрицы Паули, I - единичная матрица, ui(x, t), S(x, t), q(x, t) - функции от x и t,m- масса частицы.

Найден общий вид оператора преобразования первого порядка и преобразованного потенциала нестационарного уравнения Дирака, отличающийся от общего вида преобразованного потенциала в стационарном случае

L = А(дх - их(х, t)u~x(x, t)) (б)

Vx = iAtA'1 -чАхА~1 + A([1,ux(x,t)u-1(x,t)} + VQ)A-1, (7) 7 = icr2, [A, 7] = 0, (8)

где A - матричная функция от i и t, и(х, t) - решение исходного матричного уравнения Дирака с потенциалом Vq.

Подробно исследуются свойства преобразования Дарбу одномерного нестационарного уравнения Дирака. Исследуются условия, при которых преобразование Дарбу позволяет из скалярного потенциала (когда ц;(х, ¿) = 0, д(х, I) = 0) сконструировать снова скалярный потенциал. На основе свойств преобразования Дарбу строится преобразование, позволяющее сконструировать точно решаемый потенциал интегрального вида и соответствующие решения уравнения Дирака

X

У2 = [7, и(/¿ийх' + СО" V] 4- Ко, (9)

10

X

X = Ь2аф = —Ь^Ьф — и(! и^ийх' + С\)~1и\фх — ихи~1ф), (10)

хо

где С\ - эрмитова матрица.

В третьей главе рассматривается преобразование Дарбу функции Грина регулярной краевой задачи одномерного двухкомпонент-ного стационарного уравнения Дирака.

Выводятся формулы полного следа от разности преобразованной (?1(а;,а:,Е) и исходной С?о(х, х, Е) функций Грина:

Ьг¡Ьа{С1{х,х,Е)-С,{х,х,Е))йх = ^¿г ' (П)

tr J (Gi (х, х, Е) - Go(x, х, E))dx —

Ж{ф,ф} tr(ip(pT)

rrrf - , , , (12)

<p, ф - решения исходного уравнения Дирака. Спиноры ф, ф являются решениями преобразованного уравнения Дирака:

ф = Lip, ф — Ьф, L = дх — ихи~1, (13)

где и = (щ(х),и2(х)) - матричная функция преобразования сконструированная из спиноров щ(х) и и,2(х), являющихся решениями исходного уравнения Дирака при Е = Ai и Е = А2 соответственно.

Теорема Сакумара обобщается на случай функций Грина уравнения Дирака с самосопряженным потенциалом общего вида ь , ,

tr¡Gx{x,x,E) - G0(x,x,E)dx^ —^ + (14)

и на случай уравнения Шрёдингера с эффективной массой.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Методом преобразований Дарбу сгенерирована цепочка точно решаемых тензорных потенциалов четырехкомпонентного уравнения Дирака.

2. Для каждого периодического продолжения потенциалов цепочки найдены аналитически выраженные алгебраические конструкции, отвечающие за устойчивость решений стационарного уравнения Дирака с периодическими потенциалами.

3. Методом преобразований Дарбу сконструировано двупарамет-рическое семейство точно решаемых дираковских гамильтонианов. Получены соотношения сплетения между различными членами этого семейства.

4. Метод преобразования Дарбу обобщен на одномерное нестационарное уравнение Дирака с самосопряженным потенциалом общего вида. Найдено, что оператор преобразования и потенциал преобразованного уравнения определяются зависящей от времени матричной функцией преобразования, которая является одним из матричных решений исходного нестационарного уравнения Дирака.

5. Исследованы свойства преобразования Дарбу одномерного нестационарного уравнения Дирака.

- Установлено, что, в отличие от стационарного уравнения Дирака, взаимнооднозначное соответствие между пространствами решений исходного и преобразованного уравнений отсутствует. Но при определенных условиях можно установить взаимнооднозначное соответствие между ядрами операторов преобразования Дарбу и сопряженного к нему оператора преобразования.

- Найдены условия, при которых посредством преобразования Дарбу одномерного нестационарного уравнения Дирака из скалярного потенциала генерируется снова скалярный потенциал.

6. На основе исследованных свойств преобразования Дарбу построено преобразование, с помощью которого конструируются точно решаемые потенциалы интегрального вида нестационарного уравнения Дирака. Найден соответствующий вид решений. Сформулированы условия, при которых интегральное преобразование позволяет сгенерировать из скалярного потенциала снова скалярный потенциал. С помощью преобразования Дарбу и интегрального преобразования сконструированы новые точно решаемые потенциалы одномерного нестационарного уравнения Дирака.

7. Рассмотрено преобразование Дарбу функции Грина регулярной краевой задачи одномерного стационарного двухкомпонентного уравнения Дирака.

8. Получены формулы полного следа от разности преобразованной и исходной функций Грина регулярной краевой задачи одномерного стационарного двухкомпонентного уравнения Дирака.

9. Теорема Сакумара обобщена на случай преобразования Дарбу регулярной краевой задачи уравнения Дирака с самосопряженным матричным потенциалом общего вида и на случай преобразования Дарбу регулярной краевой задачи уравнения Шрёдин-гера с эффективной массой.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ

1. А. А. Печерицын, Е. О. Поздеева, Б. Ф. Самсонов, Преобразование Дарбу нестационарного уравнения Дирака. Известия вузов. Физика, 4, 34-41 (2005).

2. Е. О. Поздеева. Применение метода преобразования Дарбу и исследование волновых функций релятивистских частиц со спином 1/2 при движении в периодическом потенциале Пеиыя-Теллера. Математика и ее приложения, 3, 39-50 (2006).

3. Е. О. Поздеева, Метод преобразования Дарбу для исследования волновых функций релятивистских частиц при каналирова-нии в кристалле, Поверхность, 3, 66-71 (2007).

4. Е. Pozdeeva, Darboux transformation of the Green Fuction for the Dirac Equation with the General Potential. Int. J. Mod. Phys. A, 23, 247-258 (2008).

5. E. Pozdeeva, Connection between the Green functions of the super-symmetric pair of Dirac Hamiltonians, J. Phys. A, 41, 145208145217 (2008).

6. E. Pozdeeva, A. Schulze-Halberg, A trace formular for Dirac Green's functions related by Darboux transformations, J. Phys. A, 41,265201265214 (2008).

7. E. Pozdeeva, A. Schulze-Halberg, The Formula for Green's Functions of Effective Mass Schrodinger equations and Nth —Order Darboux Transformations, Int. J. Mod. Phys. A, 23, 2635-2647 (2008).

8. E. О. Поздеева, Новое двупараметрическое семейство точно решаемых дираковских, ТМФ, (2009), принята к печати [arXiv: 0807.1422 (hep-th)].

9. Е. О. Поздеева, Когерентно—швингеровское взаимодействие из преобразований Дарбу. Поверхность, 4, 1-4 (2009), принята к печати [arXiv: 0708.4000 (hep-th)].

Ф-т 60x84/8. Уч.-изд.л. 0,7 Зак.№ 21941 Тираж 100 экз. Бесплатно

Отпечатано на компьютерной издательской системе Издательский отдел Института ядерных исследований Российской академии наук 117312, Москва, проспект 60-летия Октября, 7а

Введение

Одномерное четырёхкомпонентное уравнение Дирака

1.1 Одномерное четырехкомпонентное уравнение Дирака

1.2 Преобразование Дарбу одномерного четырехкомпо-нентного уравнения Дирака.

1.3 Точно решаемый гамильтониан взаимодействия нейтральной массивной частицы спина 1/2 с электрическим полем.

1.4 Цепочка преобразований.

1.5 Функции Ляпунова.

1.6 Физическая интерпретация.

1.7 Односолитонные гамильтонианы.

1.8 Многосолитонные форм-инвариантные гамильтонианы

1.9 Структура спектров и собственных функций гамильтонианов

Преобразование Дарбу нестационарного уравнения

Дирака

2.1 Суперсимметрия.

2.1.1 Квадратичная суперсимметрия.

2.1.2 Суперсимметрия одномерного нестационарного уравнения Дирака.

2.2 Преобразование Дарбу нестационарного уравнения Дирака. Оператор преобразования Дарбу.

2.3 Преобразование Дарбу нестационарного уравнения Дирака со скалярным потенциалом.

2.4 Свойства преобразования Дарбу.

2.5 Интегральное преобразование, связанное с преобразованием Дарбу

2.6 Примеры .'.

3 Преобразование Дарбу функции Грина регулярной краевой задачи одномерного двухкомпонентного стационарного уравнения Дирака

3.1 Теорема Саку мара.

3.2 Обобщение теоремы Сакумара на случай уравнения Шредингера с эффективной массой.

3.3 Функция Грина регулярной краевой задачи одномерного уравнения Дирака

3.4 Преобразование Дарбу функции Грина регулярной краевой задачи одномерного стационарного уравнения Дирака.'.

3.5 Формулы полного следа.

3.6 Преобразование Дарбу функции Грина уравнения Дирака с псевдоскалярным потенциалом.

3.7 Обсуждение.

3.8 Формула Сакумара для уравнения Дирака

3.8.1 Формула Сакумара для уравнения Дирака

3.8.2 Пример

Метод конструирования аналитически решаемых уравнений с помощью операций дифференцирования из уравнений, которые уже имеют аналитические решения, называется методом преобразования Дарбу[1, 2]. В настоящее время метод преобразования Дарбу [1, 3] широко применяется для построения квантово-механи-ческих моделей, допускающих точные аналитические решения [4, 5, 6, 7, 8].

Идея метода была предложена французким математиком Га-стоном Дарбу. В 1882 г. Г. Дарбу на основе решений одномерного уравнения Штурма-Лиувилля нашел формулы, позволяющие конструировать новые точно решаемые потенциалы уравнения Штурма-Лиувилля и соответствующие решения [1, 2]. В 1926 г. было сформулировано уравнение Шредингера [9] и метод преобразований Дарбу был применен для построения точное решаемых задач квантовой механики.

Значительный вклад в дальнейшее развитие метода был сделан М. Крумом. В 1954 г. М. Крум сконструировал цепочки преобразований Дарбу n-ого порядка уравнения Шредингера [10], независимо от метода факторизаций. Впервые (1873 г.) метод фак-торизаций был предложен Ф. Г. Фробениусом [11, 12], однако, распространение получил как метод факторизаций Шредингера [13, 14, 15].

Современная концепция преобразований Дарбу принадлежит В.Б. Матвееву, обобщившему и переформулировавшему в 1979 году результаты Дарбу—Крума применительно к бесконечным иерархиям линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и некоторым их обобщениям (например, дифференциально-разностным и матричным), включая нелинейное уравнение Шредингера, уравнения Кортевега-де Фриза, Кадомцева—Петвиашвили и многие другие [16, 17]. Многочисленные конкретные реализации метода [16, 17] суммированы в монографии [18].

Отметим, что в неявном виде результаты математических работ [16, 18, 19] содержат случаи стационарного и нестационарного двухкомпонентного уравнения Дирака. Результаты, полученные В. Б. Матвеевым, сводятся при определенных упрощениях к преобразованию Дарбу уравнения Дирака свободной частицы. В 1982 г. М. А. Салль рассмотрел преобразование Дарбу уравнения афинной решетки Тода, в том числе и в представлении Лакса [19]. Двухкомпонентное уравнение Дирака может быть получено из уравнения двухмерной некоммутативной решетки Тода в представления Лакса [18, 19]. В явном виде систематическая разработка техники преобразований Дарбу—Крума для одномерного двухкомпонентного стационарного уравнения Дирака представлена в работах [20, 21, 22, 23], где проведен детальный анализ свойств преобразований Дарбу одномерного стационарного уравнения Дирака с потенциалом общего вида. Одной из задач диссертации является разработка в явном виде техники преобразований Дарбу одномерного нестационарного уравнения Дирака с обобщенным матричным потенциалом и детальный анализ свойств полученного преобразования.

Кроме того, метод преобразований Дарбу может быть применен не только к квантово-механическим уравнениям, но и к соот-венствующим функция Грина. К настоящему времени метод преобразований Дарбу (суперсимметричные преобразования) применен к функциям Грина краевой задачи уравнения Шредингера с постоянной массой, получена формула интеграла разности преобразованной и исходной функций Грина [24]. В диссертации рассматривается преобразование Дарбу функции Грина регулярной краевой задачи, получены формулы полного следа (интеграла следа) от разности преобразованной и исходной функций Грина уравнения Дирака. Интересной является также задача распространения аналогичной техники на функции Грина краевой задачи уравнения Шредингера с эффективной массой.

В 1984 г. была обнаружена связь метода преобразований Дарбу с суперсимметричной квантовой механикой [25, 26, 27]. Суперсимметрия играет важную роль в современной математической и теоретической физике. Суперсимметричная квантовая механика [28, 29, 30] является лабораторией суперсимметричной квантовой теории поля [31] и эффективным инструментом для изучения физических систем [32, 33, 34]. Суперсимметричная квантовая механика нашла применение для изучения двухкомпонентного уравнения Дирака в случае атома водорода [35], анализа взаимосвязи между потенциалами, используемыми в ядерной физике [36, 37], для исследования систем электронов в магнитных полях [38, 39].

Важное значение для понимания явлений в физике твердого тела и атомного ядра имеет изучение свойств релятивистской частицы, движущейся в одномерном периодическом потенциале [40, 41, 42]. Этой задаче посвящен ряд работ, в которых рассматривалось релятивистское обобщение классической модели Кронига—Пенни [40, 43]. Одним из видов периодического движения частиц является каналирование.

Методом компьютерного моделирования [44] в 60-х гг. прошлого столетия было открыто каналирование [45] заряженных частиц и ионов. С тех пор для исследования каналирования широко применяется методы компьютерного моделирования, например, метод Монте-Карло [46]. Кроме методов компьютерного моделирования существуют методы теоретического исследования, основанные на квантово-механических моделях, например, модель Линхарда [47] и ее дальнейшее развитие [48].

В работах [49, 50] на основе условий квазипериодичности была построена функция Ляпунова двухкомпонентного уравнения Дирака с точно решаемым потенциалом. На основе функции Ляпунова можно вычислить зонную структуру спектра. В диссертации аналогичная техника приложена к дарбу-преобразованному четырехкомпонентному уравнению Дирака [51, 52], позволяющему выявить когерентно-швингеровекое взаимодействие при кана-лировании нейтральных частиц спина 1/2 в кристалле.

Диссертация посвящена преобразованию Дарбу функции Грина регулярной краевой задачи одномерного уравнения Дирака, нахождению формул полного следа (интеграла от следа) от разности преобразованной и исходной функций Грина, обобщению формул Сакумара на случай преобразования Дарбу функции Грина регулярной краевой задачи одномерного уравнения Дирака и построению на основе метода преобразования Дарбу точно решаемых одномерных моделей. В диссертации общие идеи метода операторов преобразования применены для развития техники преобразования Дарбу одномерного нестационарного уравнения Дирака с самосопряженным матричным потенциалом общего вида (включающего в себя в качестве частных случаев скалярный, псевдоскалярный и векторный потенциалы), подробно исследованы свойства этого преобразования. Цепочкой преобразований Дарбу сконструирован ряд новых точно решаемых тензорных потенциалов. Для каэюдого потенциала цепочки построена функция Ляпунова, позволяющая определить соответствующую зонную структуру спектра.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Заключение

В настоящей диссертации получены следующие результаты.

1. Методом преобразований Дарбу сгенерированы скалярный и тензорный потенциалы одномерного четырехкомпонентного уравнения Дирака. Найдена их физическая интерпретация.

2. Методом преобразований Дарбу сгенерирована цепочка точно решаемых тензорных потенциалов уравнения Дирака. Построены функции Ляпунова для каждого потенциала цепочки.

3. Для каждого периодического продолжения потенциалов цепочки найдено аналитически выраженные через элементарные функции алгебраические конструкции, отвечающие за устойчивость решений стационарного уравнения Дирака с периодическими потенциалами.

4. Методом преобразований Дарбу сконструировано двупара-метрическое семейство точно решаемых дираковских гамильтонианов. Получены соотношения сплетения между различными членами этого семейства.

5. Метод преобразования Дарбу обобщен на одномерное нестационарное уравнение Дирака с самосопряженным потенциалом общего вида. Найдено, что оператор преобразования и потенциал преобразованного уравнения определяются зависящей от времени матричной функцией преобразования, которая является одним из матричных решений исходного нестационарного уравнения Дирака.

6. Исследованы свойства преобразования Дарбу одномерного нестационарного уравнения Дирака.

- Установлено, что, в отличие от стационарного уравнения Дирака, взаимнооднозначное соответствие между пространствами решений исходного и преобразованного уравнений отсутствует. Однако при определенных условиях можно установить взаимнооднозначное соответствие между ядрами операторов преобразования Дарбу и сопряженного оператора преобразования.

- Найдены условия, при которых посредством преобразования Дарбу одномерного нестационарного уравнения Дирака из скалярного потенциала генерируется снова скалярный потенциал.

7. С помощью исследованных свойств преобразования Дарбу построено преобразование, на основе которого конструируются точно решаемые потенциалы интегрального вида нестационарного уравнения Дирака. Найден соответствующий вид решений. Сформулированы условия, при которых интегральное преобразование позволяет сгенерировать из скалярного потенциала снова скалярный потенциал.

8. Рассмотрено преобразование Дарбу функции Грина регулярной краевой задачи одномерного стационарного двухкомпо-нентного уравнения Дирака.

9. Получены формулы полного следа от разности преобразованной и исходной функций Грина регулярной краевой задачи одномерного стационарного двухкомпонентного уравнения Дирака. Показана их эквивалентность.

10. Дано обобщение теоремы Сакумара о следе разности исходной и преобразованной Шредингеровских функций Грина на случай одномерного уравнения Дирака.

11. Теорема Сакумара обобщена на случай преобразования Дарбу регулярной краевой задачи уравнения Шредингера с эффективной массой.

В заключение считаю своим долгом выразить глубокую признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору В. Г. Багрову за постановку задач и целенаправленное научное руководство, а также поблагодарить своих коллег, соавторов и друзей за полезные обсуждения, помощь и поддержку при выполнении данной работы. Работа частично поддержана грантом Фонда некоммерческих программ "Династия".

1. G. Darboux, Compt. Rend. Acad. Sci Paris, 94, 1343; ,1456 (1882) physics/9908003].

2. G. Darboux, Compt. Legons sur la theorie дёпёга1е des surfaces et les application geometriques du calcul infinitesimate, Paris: Guatier-Villar et Fils, 522 (1889).

3. H.C. Rosu, Proc. Symmetries in Quantum Mechanics and Optics, Spain, Serv. de Publ. Univ. Burgos., 301 (1999) arXiv:quant-ph/980956].

4. C.V. Sukumar, J. Phys. A, 18, L697 (1985).

5. C.V. Sukumar, J. Phys. A, 18, L57 (1988).

6. В.Г. Багров, Б.Ф. Самсонов, ГЩ 104, 356 (1994).

7. В.Г. Багров, Б.Ф. Самсонов, ЭЧАЯ, 28, 951 (1997).

8. В.Г. Багров, Б.Ф. Самсонов Преобразование Дарбу и точно решаемые задачи в квантовой механике, Лекционные заметки. Казань, 9 (2000).

9. Э. Шредингер, Избранные труды по квантовой механике, М.: Наука (1976).

10. М. Crum, Quat. J. Math., 6, 121 (1955) physics/9908019].

11. F.G. Frobenius, J. fur Math., 76, 214 (1873).

12. F.G. Frobenius, J. fur Math., 77, 245 (1874).

13. E. Schrodinger, Proc. Roy. Irish. Acad. A, 46, 9 (1940).

14. E. Schrodinger, Proc. Roy. Irish. Acad. A, 47, 53 (1941).

15. E. Schrodinger, Proc. Roy. Irish. Acad. A, 47, 183 (1941).

16. V.B. Matveev, Lett. Math. Phys., 3, 213 (1979)

17. V.B. Matveev, Lett. Math. Phys., 3, 217 (1979)

18. V.B. Matveev and M.A. Salle, Darboux Transformations and Solitons, Berlin, Springer (1991).

19. M.A. Salle, Theor. Math. Phys., 185 513 (1982).

20. L. M. Nieto, A.A. Pecheritsin and B.F. Samsonov, Ann. Phys., 305, 151 (2003).

21. Б.Ф. Самсонов, A.A. Печерицын, Изв. ВУЗов. Физика, 11, 48 (2000).

22. Б.Ф. Самсонов, А.А. Печерицын Изв. ВУЗов. Физика, 1, 74 (2002).

23. Б.Ф. Самсонов, А.А. Печерицын Изв. ВУЗов. Физика, 1, 14 (2002).

24. C.V. Sukumar, J. Phys. A: Math. Gen., 37, 10287 (2004).

25. A.A. Адрианов, Н.Б. Борисов, М.В. Иоффе, ТМФ, 61(1), 17 (1984).

26. А.А. Адрианов, Н.Б. Борисов, М.В. Иоффе, ТМФ, 61(2), 183 (1984).

27. A.A. Andrianov, N.V. Borisov, M.J. Ioffe, Phys. Lett B, 181, 141 (1986).

28. E. Witten, Nucl. Phys. B, 185, 513 (1981).

29. E. Witten, Nucl. Phys. B, 202, 253 (1982).

30. H. Nicolai, J. Phys. A: Math. Gen., 9, 1497 (1976).

31. E.Witten. J. Diff. Geom17, 661 (1982).

32. A. Schulze-Halberg, Int. J. Mod. Phys. A, 22, 1735 (2007).

33. A. Schulze-Halberg, Int. J. Mod. Phys. A, 21, 4853 (2006).

34. D.-Y. Song and J.K. Klauder, J. Phys. A, 38, 5831 (2005).

35. C.V. Sukumar, J. Phys. A: Math. Gen., 18, L697 (1985).

36. D. Baye, Phys. Rev. Lett., 58, 2738 (1987).

37. D. Baye, Phys. Rev. Lett., 73, 2789 (1987).

38. A. Khare, J. Mahanara, Nucl. Phys. B, 244, 409 (1984)

39. F. Cooper, A. Khare and U. Sukhatme, Phys.Rept, 251, 267 (1995).

40. H.J. Bruce, B.H.J. McKellar and G.J. Sterpheson, Phys. Rev. C, 35, 2262 (1987).

41. B. Mendez, F. Domingues-Adame, J. Phys. A: Math. Gen., 24, 331 (1991).

42. S. Albeverio, F. Gesztesy, R. Hoegh—Krohn R, H. Holden, Solvable models in quantum mechanics. New York: Springer, 452 (1988).

43. B.H.J. McKellar, G.J. Stephenson, Phys. Rev. A., 36, 2566 (1987).

44. M.T. Robinson , O.S. Oen, Phys. Rev., 132, 2385 (1963).

45. R.S. Nelson, M.W. Thompson, Phil. Mag., 8, 1677 (1963).

46. А.Г. Кадменский , Г.А. Иферов , А.Ф. Тулинов, Тр. VВсесо-юз. совещ. по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами. М. 20 (1974).

47. Д. Линхард, УФЕ, 99, 249 (1969).

48. А.Ф. Тулинов, В.В.Самарин, А.Г. Кадменский, ЭЧАЯ,М, 822 (2003).

49. V.G. Bagrov, A.A. Pecheritsin, Е.О. Pozdeeva, B.F. Samsonov, Соттип. Nonlin. Scien. and Num. Simul, 9, 13 (2004).

50. B. F. Samsonov, A. A. Percheritsin, E. O. Pozdeeva and M. L. Glasser, Eur. J. Phys., 24, 435 (2003).

51. Е.О. Поздеева, Математика и ее приложения, 3, 39 (2006).

52. Е.О. Поздеева, Поверхность, 3, 66 (2007).

53. Е.О. Поздеева, Когерентно—швингеровское взаимодействие из преобразований Дарбу. Поверхность, 4 (2009), принята к печати arXiv: 0708.4000 (hep-th)].

54. Е.О. Поздеева, Новое двупараметрическое семейство точно решаемых дираковских, ТМФ (2009), принята к печати arXiv: 0807.1422 (hep-th)].

55. А.А. Печерицын, Е.О. Поздеева, Б.Ф. Самсонов, Изв. ВУЗов. Физика, 4, 34 (2005).

56. Е.О. Поздеева, Суперсимметричное обобщение одномерного нестационарного уравнения Дирака, Новейшие проблемы теории поля, Казань, 5, 188 (2006).

57. Е.О. Поздеева, Преобразование Дарбу нестационарного уравнения Дирака Материалы международной научной студенческой конференции "Студент и научно—технический прогресс". Физика. Новосибирск, 181 (2004).

58. Е.О. Поздеева, В.Г. Багров, А.А. Печерицын, Точно решаемые потенциалы нестационарного уравнения Дирака, Труды Всероссийской конференции студентов и молодых ученых "Перспективы развития фундаментальных наук". Томск, 150 (2004).

59. Е.О. Поздеева, Математика и ее приложения, 2, 91 (2005).

60. Е. Pozdeeva, Int. J. Mod. Phys. A, 23, 247 (2008).

61. E. Pozdeeva, J. Phys. A, 41, 145208-145217 (2008).

62. E. Pozdeeva, A. Sehulze-Halberg, J. Phys. A, 41, 265201265214 (2008).

63. E. Pozdeeva, A. Sehulze-Halberg, Int. J. Mod. Phys. A, 23, 2635 (2008).

64. F. Cooper, A. Khare, R. Musto and A. Wipf, Ann. Phys., 187, 1 (1988).

65. G.J. Clerk and B.H.J. McKeller, Phys. Rev. B, 47, 6942 (1993).

66. F.A.B. Countinho and Y. Nogami Phys. Lett. A, 124, 211 (1987).

67. N.D. Sen Gupta, Phys. Lett. A, 135, 427 (1989).

68. U. Percoco, V.M. Villalba, Phys. Lett. A, 141, 221 (1989).

69. C.L. Roy, Phys. Rev. A, 47, 3417 (1993).

70. G.J. Clerk, B.H.J. McKeellar, J. Phys. A: Math. Gen., 25, L864l1992).

71. Y. Nogami, F.M. Toyama, Phys. Rev. A, 45, 5258 (1992).

72. F.M. Toyama, Y. Nogami, Z. Zhao, Phys. Rev. A, 47, 8971993).

73. Y. Nogami, F.M. Toyama, Phys. Rev. A, 47, 1708 (1993).

74. C.L. Roy, F.M. Toyama, Phys. Lett. A, 189, 345 (1994).

75. Channeling: theory, observation and application. Ed. by D.V. Morgan, London: Academic Press (1973).

76. В.И. Высоцкий, P.H. Кузьмин, УФК, 162, 2 (1992).

77. В.А. Рябов, Эффект каналирования, М.: Энергоиздат1994).

78. Теория излучения релятивистских частиц. Под ред. В.А. Бордовицина, М.: Физматлит (2002).79. "Channeling 2006" http://www.lnf.infn.it/conference/channe-ling2006.

79. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Квантовая электродинамика, М.: Наука (1989).

80. A. Anderson, Phys. Rev. А, 43, 4602 (1991).

81. A.V. Yurov, Phys. Lett. A, 225, 51 (1997).

82. Th.F. Moutard, C. R. Acad. Sci., Paris 80, 729 (1875).

83. M.J. Ablowitz and H. Segur, Solitons and the Inverse Scattering Transform, Philadelpia: SIAM (1981).

84. C.V. Sukumar, J. Phys., A 18 2917 (1985).

85. A.A. Suzko, Int. J. Mod. Phys. A, 12, 277 (1997).

86. V.G. Bagrovand B.F. Samsonov, Theor. Math. Phys., 104, 3561995).

87. Y. Nogami and F.M. Toyama, Phys. Rev., A 47, 1708 (1992).

88. Y. Nogami and F.M. Toyama, Phys. Rev., A 57, 93 (1998).

89. И.С. Гранштейн и И.М. Рыжик, Таблицы интегралов, ряды и произведения. М.: Наука (1971).

90. V.V. Fedorov, E.G. Lapin, S.Y. Semenikhin, Physica, В 297 293 (2001).

91. V.V. Fedorov, E.G. Lapin, S.Y. Semenikhin, Appl Phys., A 74 Suppl. 1] s91 (2002).

92. В.В. Федоров, В.В. Воронин, Динамическая дифракция и оптика нейтронов в нецентросимметричных кристаллах. Поиск ЭДМ нейтрона: новые возможности, СПб.: Изд-во ПИЯФ (2004).

93. Н.А. Власов, Нейтроны, М.: Наука (1973).

94. В.К. Игнатович, УФН, 150, 144 (1986).

95. F. Partovi and E.L. Lomon, Phys. Rev. D, 5 1192 (1972).

96. J.F. Donoghue, Phys. Lett.B, 643, 165 (2006).

97. Л.Д. Ландау и E.M. Лифшиц, Квантовая механика, М.:Наука (1974).

98. G. Poschl and Е. Teller, Z. Phys., 83, 143 (1933).

99. V. Matveev and P. Gaillard Wronskian additional formula and its applications, Preprint 02-31 of Max-Planck Institut fur Mathematik in den Naturwissenschaften Leipzig, Bonn, 1-17 (2002), http://www.mpim-bonn.mpg.de.

100. T.T. Khachidze and A.A. Khelashvili, Supersymmetry in the Dirac equation for generalized Coulomb potential, arXiv:hep-th/0701259.

101. T.T. Khachidze and A.A. Khelashvili, Algebraic derivation of spectrum of the Dirac Hamiltonian for arbitrary combination of Lorentz-scalar and Lorentz-vector Coulomb potentials, arXiv:hep-th/0612199.

102. A. Schulze-Halberg, Int. J. Mod. Phys. A, 21, 1359 (2006).

103. D.-Y. Song, J.K. Klauder, J. Phys. A, 36, 8673 (2003).

104. D.-Y. Song, J.K. Klauder, J. Phys. A, 38, 5831 (2005).

105. B.F. Samsonov, Phys. Lett, A 558, 105 (2006).

106. D.J. Fernandez С. and E. Salinas-Hernandez, Phys. Lett., A 338, 13 (2005).

107. S.P. Maydanyuk, Ann. Phys., 316, 440 (2005).

108. Q.-H. Park, H. J. Shin, M. A., Physica D, 157, 1 (2001).

109. Qiu-Yan Li, Zheng-Wei Xie, Lu Li, Zai-Dong Li, Jiu-Qing Liang, Ann. Phys., 312, 128 (2004).

110. A.B. Юров, С.Д. Верещагин, ТМФ, 139, 404 (2004) arXiv: hep-th/0502099].

111. A.B. Юров, С.Д. Верещагин, Матпемат. модел18, 111 (2006).

112. С.Д. Верещагин, Вестник РГУ,, 4, 19 (2006).

113. A.V. Yurov, V.A. Yurov, S.D. Vereshchagin, Can we escape from the big rip in the achronal cosmic future? arXiv:astro-ph/0503433.

114. A.M. Гудименко, А.Д. Захаренко, Письма в ЖЭТФ, 31, 1 (2006).

115. А.И. Гудименко, К.Г. Купцов, Письма в ЖЭТФ, 31, 60 (2006).

116. D. Gomez-Ullate, N. Kamran, R. Milson, J. Phys. A: Math. Gen., 37, 10065 (2004).

117. C.V. Sukumar, J. Phys., 21, L455 (1988).

118. В.Ф. Марченко, Обратная задача рассеяния, Харьков, Изд. ХГУ (1960).

119. Б.М. Левитан, И.С. Саргсян, Введение в спектральную теорию, М., Наука (1970).

120. В. Thaller, The Dirac Equation. Berlin: Springer, 357 (1992).

121. Y. Nogami, F.M. Toyama, Phys. Rev. A, 47, 1708 (1993).

122. Б.М. Левитан, И.С. Саргсян, Операторы Штурма— Лиувилля и Дирака, М.: Наука (1988).

123. B.F. Samsonov, J. Negro, J. Phys. A, 37, 10115 (2004).

124. B.F. Samsonov, J. Phys. A, 28, 6989 (1995).

125. A. Sehulze-Halberg, Cent. Eur. J. Phys., 6(1), 153 (2008).

126. Б.Ф. Самсонов, A.M. Пупасов, Изв. ВУЗов. Физика, 10, 1020 (2005).

127. Р.П. Старовойтова, В.Н. Понаморева, Функция Грина., Томск: Изд. ТГУ (1984).

128. Ф.М. Морс, Г. Фешбах, Методы теоретической физики, 1, М.: ИЛ (1958).

129. Д. Иваненко, А. Соколов, Классическая теория поля, М.: Гостехиздат (1951).

130. Н.Н. Боголюбов, Д.В. Ширков, Квантовые поля, М.: Наука (1980).

131. К. Ициксон, Ж.-Б. Зюбер, Квантовая теория поля, 1, Н.: ИО НФМИБ (2000).

132. Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский, Статистическая физика, 2, М.: Физматлит, 2000.

133. B.F. Samsonov, C.V. Sukumar, A.M. Pupasov, J. Phys. A, 38, 7557 (2005).

134. E. Kamke, Differentialgleichungen Losungsmethoden und Losungen, B.G. Teubner: Stuttgart (1983).