Преобразование Дарбу одномерного стационарного уравнения Дирака тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Печерицын Алексей Анатольевич

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДАРБУ ОДНОМЕРНОГО СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ДИРАКА

Специальность 01.04.02 — Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск - 2004

Работа выполнена на кафедре квантовой теории ноля Томского государственного университета.

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук,

профессор кафедры квантовой теории поля Томского государственного университета Самсонов Б.Ф.

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук,

профессор кафедры теоретической физики Томского государственного университета Бордовицын В.А.

Доктор физико-математических наук, директор Института прикладной информатики Томского государственного педагогического университета Осетрин К.Е.

Ведущая организация: Объединенный институт ядерных исследова-

ний

Защита состоится 18 марта 2004 г. в 14.30 часов на заседании Диссертационного совета Д 212.267.07 в Томском государственном университете по адресу 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан " и " (рМ/ШЛ 2004 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета, доктор физико-математических наук, ст. научный сотрудник Ивонин И.В.

1 Общая характеристика работы

1.1 Актуальность темы

Точные решения основных уравнений квантовой механики, таких как уравнение Шредингера, Клейна-Гордона, Дирака играют важную роль в теоретической физике. Они необходимы не только для контроля результатов численных расчетов. Имеется немало примеров того, что на их основе удается достичь более глубокого понимания физической сущности рассматриваемой модели. Кроме того, в последнее время практикуется аппроксимировать потенциалы уравнения Шредингера, не обладающие точными решениями, точно решаемыми потенциалами, что расширяет область применимости точно интегрируемых моделей (например, до применения в квантовой теории информации, [1]). Особо необходимо отметить возможность применения точно решаемых потенциалов одномерных уравнений Шредингера и Дирака для получения решений нелинейных уравнений (см., например,

[2]). В связи с этим развитие методов получения точных решений указанных уравнений является актуальным.

Значительный прогресс в этом направлении достигнут в нерелятивистской квантовой механике. Открытие метода обратной задачи рассеяния

[3] позволило значительно увеличить число точно решаемых потенциалов уравнения Шредингера и сделало возможным развитие качественной теории управления спектрами [4].

Несмотря на то, что метод обратной задачи развит также и для уравнения Дирака [5], в релятивистском случае подобного прогресса пока не наблюдается, в то время как потребность в этом существует в физике высоких энергий. Основной целью настоящей работы является обобщение методов получения точно решаемых нерелятивистских моделей на случай уравнения Дирака.

Эффективным способом конструирования уравнений, имеющих точное решение, является метод операторов преобразования [5] и, в частности, метод операторов преобразования Дарбу. Впервые подобные преобразования изучались Дарбу [6] и впоследствии многократно переоткрывались. Например, как показано в [7, 8], метод факторизации Шредингера [9] и суперсимметричная квантовая механика, предложенная Виттеном [10], являются, по существу, иными формулировками метода Дарбу.

Конструирование новых точно решаемых потенциалов для стационарного и нестационарного уравнений Шредингера с помощью преобразования

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

СЛ1стсрйгрГ II п

О» цШм1и

Дарбу рассматривалось многими авторами (см., например, [11] и приведенные там ссылки). Преобразование Дарбу одномерного уравнения Дирака изучено значительно менее подробно. По-видимому, впервые оператор преобразования Дарбу для уравнения Дирака с векторным и скалярным потенциалами был построен в [12]. Кроме того, в работах Матвеева и Салля [2] изучалось преобразование Дарбу для ряда систем дифференциальных уравнений первого порядка. Доказанные в [2] общие теоремы были использованы в [13] для исследования прозрачных потенциалов одномерного безмассового уравнения Дирака и в [14] для изучения преобразования Дарбу одномерного нестационарного уравнения Дирака с электромагнитным потенциалом. Отметим также работу [15], в которой для отыскания частного решения уравнений обратной задачи используются дифференциальные операторы преобразования, аналогичные операторам преобразования Дарбу.

Данная диссертация посвящена применению общих идей метода операторов преобразования для развития техники операторов преобразования Дарбу одномерного стационарного уравнения Дирака с самосопряженным потенциалом общего вида и подробному исследованию свойств этого преобразования

1.2 Цель работы

1. Обобщение метода операторов преобразования Дарбу на системы дифференциальных уравнений, такие как одномерная система Дирака и матричное уравнение Шредингера и исследование основных свойств полученных преобразований;

2. Изучение особенностей преобразования Дарбу для скалярного и псевдоскалярного потенциалов и связей между преобразованиями Дарбу уравнений Дирака и Шредингера;

3. Исследование свойств цепочек преобразований Дарбу первого порядка и их замыканий в одно преобразование более высокого порядка;

4. Обобщение формул, полученных для системы Дирака, на цепочки преобразований Дарбу матричного уравнения Шредингера.

1.3 Научная новизна

Впервые метод матричных операторов преобразования применен для получения операторов преобразований Дарбу для уравнения Дирака с самосо-

пряженным потенциалом общего вида и исследованы их основные свойства. Показано, что развитая техника не является более сложной, чем аналогичные методы для уравнения Шредингера, что открывает широкие возможности ее применения в задачах рассеяния релятивистских частиц, в теории солитонов и в других областях, где требуются точные решения одномерного стационарного уравнения Дирака.

1.4 Основные результаты работы

1. Произведено обобщение метода операторов преобразования Дарбу на одномерное стационарное уравнение Дирака. Показано, что преобразование Дарбу первого порядка порождается функцией преобразования и, которая является матричной собственной функцией исходного гамильтониана.

2. Подробно исследованы частные случаи псевдоскалярного и скалярного потенциалов. Найдены условия, при которых преобразованный потенциал остается потенциалом того же типа, что и исходный. Показано, что в данном случае преобразование Дарбу индуцирует соответствующие преобразования систем уравнений Шредингера, к которым сводится система Дирака.

3. Приведены многочисленные примеры новых точно решаемых потенциалов уравнения Дирака, сгенерированные из потенциалов свободной частицы и дираковского осциллятора, а также из скалярного кулонов-ского потенциала. Ряд полученных потенциалов не имеет аналогов в мировой литературе. Предложено релятивистское обобщение метода конструирования точно решаемых периодических потенциалов.

4. Подробно изучены цепочки преобразований первого порядка и их замыкания в один оператор более высокого порядка. Получено релятивистское обобщение детерминантных формул Крума-Крейна, значительно облегчающее проведение конкретных расчетов.

5. Дано обобщение детерминантных формул Крума-Крейна на цепочки преобразований Дарбу для матричного уравнения Шредингера

1.5 Научная и практическая ценность

Результаты диссертации представляют интерес для специалистов в области релятивистской квантовой механики, математической физики, точ-

ных решений дифференциальных уравнений. В частности, установленные детерминантные формулы, реализующие цепочки преобразований, делают данный метод применимым для практического построения потенциалов по известным экспериментальным данным рассеяния, что является важным в атомной и ядерной физике. Аналогичные результаты для матричного уравнения Шредингера открывают новые возможности в решении многоканальной обратной задачи рассеяния.

Метод построения точно решаемых периодических потенциалов, в силу своей простоты, может иллюстрировать основные особенности релятивистской зонной структуры на элементарном уровне и поэтому может найти применение в учебном процессе.

Научной ценностью обладают результаты, устанавливающие связь между преобразованиями Дарбу для уравнений Дирака и Шредингера, позволяющие лучше понять сущность известных методов. Полученные новые точно решаемые потенциалы могут найти применение, например, в соли-тонной теории, а новые точно решаемые периодические потенциалы могут быть использованы в различных моделях с периодическими структурами, например в задачах физики твердого тела.

1.6 Основные положения диссертации, выносимые на защиту

1. Построение матричного оператора преобразования Дарбу для одномерного стационарного уравнения Дирака с самосопряженным потенциалом общего вида и изучение его основных свойств; получение, на основе разработанного подхода, новых потенциалов, допускающих точные аналитические решения.

2. Исследование преобразования Дарбу уравнения Дирака с псевдоскалярным и скалярным потенциалами, нахождение условий, при которых преобразованный потенциал остается потенциалом того же типа, что и исходный; подробный анализ конкретных примеров новых точно решаемых потенциалов; исследование связи между преобразованиями Дарбу для системы Дирака и уравнения Шредингера.

3. Изучение цепочек преобразований первого порядка и их замыканий в один оператор более высокого порядка; получение релятивистских обобщений детерминантных формул Крума-Крейна, реализующих цепочки преобразований.

4. Обобщение формул Крума-Крейна на матричное уравнение Шредин-

гера.

1.7 Апробация работы.

Материалы диссертации докладывались на X Ломоносовской конференции по физике элементарных частиц (Москва, 2001), XI международной конференции "Общая теория относительности и гравитация" (Томск, 2002), международной конференции "Progress in Supersymmetric Quantum Mechanics" (Valladolid, Spain, 2003), международном семинаре "Supersym-metries and Quantum Symmetries" (Дубна, 2003). Основные результаты диссертации опубликованы в 9 статьях.

1.8 Структура и объем диссертации

Диссертация объемом 123 страницы печатного текста состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы в 101 наименование.

2 Содержание работы

Во введении обоснована актуальность работы и сформулированы ее цели.

Глава 1 посвящена преобразованию Дарбу первого порядка для одномерного стационарного уравнения Дирака. В разделе 1 Главы 1 общий метод операторов преобразования применен для построения матричного оператора преобразования для данного случая.

Одномерное стационарное уравнение Дирака имеет вид

Здесь 7 ~ i(T2, с 1,2,3 — стандартные матрицы Паули, дх = d/dx, Vq — вещественный самосопряженный матричный потенциал. Функция ф является двухкомпонентным спинором, ф — фъ)* (значок t означает транспонирование).

Оператором преобразования Дарбу уравнения Дирака, по аналогии с определением данным в [5] (комментарии см. [8]), назовем дифференциальный оператор, удовлетворяющий соотношению сплетения

Lho = hiL. (2)

для двух дираковских гамильтонианов Ло и Л1 = *удх + У\. Если известны решения 1р(х) уравнения (1) и оператор L, то функция <р = Ьф является решениям уравнения Дирака с гамильтонианом h1.

Исходя из соотношения сплетения (2), показывается, что простейший дифференциальный оператор преобразования имеет

Ь = А(дх-ихи~1),

VI = А{У0 + 7и1и-1 - и^-^А-1 - 7АХА~1.

(3)

(4)

Здесь А и и — невырожденные матрицы второго порядка. Матрица А подчинена условию

в то время как и удовлетворяет уравнению

уих + уйи — иК, Л = с^(А1,А2),

(б)

где А1 и Х1 вещественные постоянные интегрирования. Столбцы и1 и и2 матрицы и являются решениями уравнения (1) с собственными значениями Ах и Аг- Поэтому если известны решения уравнения (1), то известны и решения уравнения (6).

В частности, матрицу А можно положить равной единичной матрице, тогда выражения (3) и (4) принимают наиболее простой вид

-1

Ь = дх — ихи~ 4 = ^0 + [т, "х"-1]

(7)

(8)

и являются релятивистскими аналогами формул для оператора преобразования Дарбу и преобразованного потенциала уравнения Шредингера [8]. Оператор преобразования L и преобразованный потенциал полностью определяются матричнозначной функцией и, поэтому она называется функцией преобразования.

В разделе 2 Главы 1 доказывается, что преобразованный потенциал Vi, определяемый выражением (4), будет самосопряженным, если функция преобразования и выбрана вещественной, а матрица А имеет вид

А = соя у{х) ■ I + бш у{х) • 7,

(9)

где у(х) — некоторая вещественная функция. Поскольку матрица А вида (9) определяет гладкое ортогональное преобразование гамильтониана h1 с А = / и его свойства хорошо изучены [5], можно ограничится случаем А = 1.

В разделе 3 Главы 1 показывается, что при Е ф Ах, Агвзаимно-одно-значное соответствие между пространствами решений исходного и преобразованного уравнений Дирака реализуется оператором преобразования Дарбу Ь и ему формально сопряженным оператором Ь+. Если Е — А^г, то решениями преобразованного уравнения являются столбцы VI и 1>2 матрицы V = (и+)-1. Вторые линейно-независимые решения и^г преобразованного уравнения для этих энергий можно восстановить по известным решениям исходя из условия, что определитель Вронского системы Дирака, ЦТ^,^ = для этих решений равен единице. Таким.образом, вза-

имно-однозначное соответствие между пространствами решений существует для всех значений Е.

В разделе 4 Главы 1 доказано, что операторы Ь и Ь+ факторизуют следующие полиномы от дираковских гамильтонианов к0 и к\

Раздел 5 Главы 1 посвящен изучению оператора Ь, как оператора в гильбертовом пространстве. Показано, что если и

Е € 8рес(Ло), то Е 6 врес(Л1). Таким образом, весь спектр гамильтониана к\ можно найти, проанализировав величины Ах и Аг и функцию преобразования и. Далее найдены квазиспектральные разложения замкнутых расширений операторов Ь и ХЛ и их области определения.

Скрытая квадратичная суперсимметрия уравнения Дирака, связанная с преобразованием Дарбу, обсуждается в разделе 6 Главы 1. Соответствующая супералгебра образована следующими матрицами 4-го порядка.

Исиользуя свойства операторов Ь и Ь+, можно доказать соотношения коммутации и антикоммутации этих операторов

[е, щ = и] = о, д2 = (е+)2 = о, (13)

{а, е+} = яа++=(п- Аг • г){п - а2 • /). (м)

Соотношения (13) - (14) совпадают с коммутационными и антикоммутационными соотношениями квадратично-деформированной супералгебры здш(2), появляющейся в обычной суперсимметричной квантовой механике и связаной с цепочками из двух преобразований Дарбу.

Глава 2 посвящена исследованию преобразования Дарбу для потенциалов частного вида: псевдоскалярного

В этих выражениях m — масса частицы, 9о(®) и Зо(х) — вещественные функции [16, 17]. Найдены условия, при которых применение преобразования Дарбу к уравнению Дирака с потенциалом вида (15) или (16) дает потенциал, который является потенциалом того же типа, что и исходный.

В разделе 1 Главы 2 исходный потенциал предполагается псевдоскалярным. Показано, что преобразованный потенциал также будет псевдоскалярным, если одна из компонент функции преобразования и равна нулю. Это возможно, если При функция преобразования дается

выражением

<">

и формулы для преобразованного потенциала и решения преобразованного уравнения принимают вид

Ц = -Л2сг3 + д1(Т1, Чх = ^ = (1пиИ)', (18)

«22

Роль массы в преобразованном уравнении играет величина — Лг- Аналогичные соотношения имеют место для

"Уравнение Дирака с псевдоскалярным потенциалом можно свести к системе двух уравнений Шредингера, связанных между собой суперсимметричными преобразованиями [17]. Поэтому преобразование Дарбу уравнения Дирака, порождаемое функцией (17), индуцирует преобразование этой системы уравнений, которое совпадает с цепочкой из двух преобразований Дарбу уравнения Шредингера с функциями преобразования

Преобразование Дарбу уравнения Дирака со скалярным потенциалом рассматривается в разделе 2 Главы 2. Преобразованный потенциал будет скалярнвш, если функцию преобразования й сконструировать из спиноров

соответствующих собственным значениям

А, = А<°\ А2 = -А(0). Формулы для преобразованного потенциала и решения преобразованного уравнения имеют вид

\Гг = (т + 51)<7Ь 5Х = 50 + (1п й«)' - (1п«ц)'. (20)

<Р =

(21)

Уравнение Дирака со скалярным потенциалом (16) также можно привести к суперсимметричной паре уравнений Шредингера [16]. Преобразование (20) - (21) индуцирует преобразования Дарбу соответствующих уравнений Шредингера, порождаемые функциями

Примеры новых точно решаемых потенциалов уравнения Дирака, полученных с помощью преобразования Дарбу, приведены в разделе 3 Главы 2. В качестве исходных рассматривались потенциалы свободной частицы, дираковского осциллятора, а также скалярный кулоновский потенциал. Получены потенциалы как специального (скалярного и псевдоскалярного), так и общего вида. Некоторые примеры воспроизводят результаты работ [16, 17], однако ряд приведенных потенциалов не встречается в мировой литературе.

Раздел 4 Главы 2 посвящен обобщению на уравнение Дирака метода построения точно решаемых периодических потенциалов, предложенного в [18] для уравнения Шредингера. В рамках этого метода точно решаемый потенциал, полученный с помощью преобразования Дарбу, рассматривается, как определенный на ограниченном интервале, и периодически продолжается за пределы этого интервала.

В разделе 4 рассматривается периодические продолжение скалярного и псевдоскалярного потенциалов

полученных с помощью преобразования Дарбу из потенциала свободной частицы. Линейно-независимые решения уравнений Дирака с потенциалами (22) и (23) находятся по формулам (21) и (19). Это позволяет вычислить функции Ляпунова для периодически продолженных потенциалов и исследовать их зонный спектр. Отметим, что функции Ляпунова для построенных потенциалов выражаются через элементарные функции. Ранее единственной известной моделью, обладающей таким свойством, являлась классическая модель Кронига-Пенни [19].

(22) (23)

= -естз + Я2(х)аи ф(х) = ус = \/т2 - е2 ,

В Главе 3 изучаются цепочки преобразований Дарбу, построенные по известным п матричным решениям уравнения (6), соответствующим различным матричным собственным значениям Л*. Оператор ¿-кратного преобразования Дарбу, к = 1,2,..., п определяется следующим образом

Этот оператор порождается функциями

В разделе 1 Главы 3 показано, что действие оператора Ц,п на спинор определяется формулой

где введены сттетгетотттие летепминанты

/п 9п /12 912

/я1 /г.2

,(7.-1) /п2

9п1 9п1

вЙГ4

(28)

Щ1ь9и---,1п,9п,Ф) -

^(/1,51,...,/«,^)

JU

9и

Л") Jni

Ут

Ф1 %1>2

<Г1}

(29)

где ъ = 1,2. Аналогичные детерминантные формулы имеют место и для преобразованного потенциала

В разделе 2 Главы 3 получены другие представления формул для оператора и преобразованного потенциала которые аналогичны приведенным в работах [2,15]. Полиномиальная супералгебра, связанная с цепочками преобразований Дарбу, находится в разделе 3 Главы 3.

Раздел 4 Главы 3 посвящен рассмотрению преобразования Дарбу для матричного уравнения Шредингера. Для него матричный оператор преобразования и формула для преобразованного потенциала имеют вид

ь = а* - /, (зо)

У1=Уо-29/, } = (Ш)и-\ (31)

Функция Ы является матричной собственной функцией гамильтониана Hq, соответствующей матричному собственному значению Л = diag(Ai,..., Ад). Рассмотрены цепочки преобразований Дарбу матричного уравнения Шре-дингера. Для оператора N-кратного преобразования и преобразованного потенциала найдены детерминантные формулы, аналогичные (28) и (29), которые реализуют обобщение формул Крума-Крейна (см., например, [11]) на матричное уравнение Шредингера.

В заключении подведены итоги и сформулированы основные выводы диссертации.

3 Список работ по теме диссертации

[1] Самсонов Б.Ф., Печерицын А.А. Преобразование Дарбу одномерного стационарного уравнения Дирака // Известия ВУЗов, Физика. - 2000. - Т. 43. - С. 48 - 54.

[2] Самсонов Б.Ф., Печерицын А.А. Преобразование Дарбу для одномерного стационарного уравнения Дирака с псевдоскалярным потенциалом // Известия ВУЗов, Физика. - 2002. Т. 45. - С. 14 - 19.

[3] Самсонов Б.Ф., Печерицын А.А. Преобразование Дарбу для одномерного стационарного уравнения Дирака со скалярным потенциалом // Известия ВУЗов, Физика. - 2002. Т. 45. - С. 74 - 79.

[4] Debergh N., Pecheritsin A.A., Sarasonov B.F., Van Den Bossche B. Dar-boux transformations of the one-dimensional stationary Dirac equation // Journal of Physics A. - 2002. - V. 35. - P. 3279-3287.

[5] Bagrov V.G., Pecheritsin A.A., Samsonov B.F. Exactly solvable potentials for the one-dimensional stationary Dirac equation. Frontiers of Particle Physics. Proceedings of the 10th Lomonosov Conference on Elementary Particle Physics (Moscow, 23 - 29 August 2001) Editor A. Sudenikin, World Scientific. Singapore. New Jersey. London. Hong Kong. 2003. p. 319 - 325.

[6] Nieto L.M., Pecheritsin A.A., Samsonov B. F. Intertwining technique for the one-dimensional stationary Dirac equation // Annals of Physics. -2003. - V. 305. - P. 151 - 189.

[7] Samsonov B.F., Petcheritsin A.A., Pozdeeva E.O., Glasser M.L. New exactly solvable periodic potentials for the Dirac equation // European

Journal of Physics. - 2003. - V. 24. - P. 435-441.

[8] Bagrov V.G., Pecheritsin A.A., Pozdeeva E.O., Samsonov B.F. Exactly solvable pseudoscalar periodic Dirac potentials from Darboux transformations and underlying nonlinear supersymmetry. // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulations. - 2004. - V. 9. P. 13-23.

[9] Samsonov B.F. Pecheritsin A.A. Chains of Darboux Transformations for the Matrix Schrodinger Equation. Journal of Physics. A. - 2004. -V. 37. - P. 239-250.

Список литературы

[1] Pershin Yu.V., Shevchenko S.N., Vagner I.D., Wyder P. Electronic transport through a nuclear-spin-polarization-induced quantum wire// Phys. Rev. B. - 2002. - V. 66. - P. 035303-1 - 035303-5.

[2] Matveev V., Salle M. Darboux Transformations and solitons. - New York: Springer, 1991. - 120 p.

[3] Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. - М.: Наука. 1984.

- 239 с.

[4] Захарьев Б.Н. Уроки квантовой интуиции. -Дубна: ОИЯИ, 1996. - 299 с.

[5] Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака.

- М.: Наука, 1988. - 431 с.

[6] Darboux G. Legons sur la theorie generale des surfaces et les application geometriques du calcul infinitesimale. - Paris: Guatier-Villar et Fils, 1889.

- 522 p.

[7] Андрианов А.А., Борисов Н.В., Иоффе М.В., Эйдес М.И. Суперсимметричная квантовая механика: новый взгляд на эквивалентность квантовых систем // ТМФ - 1984. - Т. 61. - С. 17-28.

[8] Багров В.Г., Самсонов Б.Ф. Преобразование Дарбу, факторизация, суперсимметрия в одномерной квантовой механике // ТМФ - 1995. -Т. 104. - С. 356-367.

[9] Schrodinger E.A. A method of determining quantum-mechanical eigenvalues and eigenfunctions // Proc. Roy. Irish. Acad. A. - 1940. - V. 46.

- P. 9-16.

[10] Witten E. Dynamical breaking of supersymmetry // Nucl. Phys. B. -1981. - V. 185. - P. 513-554.

[11] Багров В. Г., Самсонов Б. Ф. Преобразование Дарбу уравнения Шре-дингера // Физика элементарных частиц и атомного ядра. - 1997. -Т. 28. - С. 951-1012.

[12] Anderson A. Intertwining of exactly solvable Dirac equations with one-dimensional potentials // Phys. Rev. A -1991. - V. 43. - P. 4602-4610.

[13] Stahlhofen A.A. Supertransparent potentials for the Dirac equation // J. Phys. A. - 1994. - V. 27. - P. 8279-8290.

[14] Yurov A.V. Darboux transformation for the Dirac equation with (1+1) potentials // Phys. Lett. A. - 1997. - V. 225. - P. 51-59.

[15] DaskalovV.B., Khristov E.Kh. Explicit formulae for the inverse problem for the regular Dirac operator // Inverse Problems. - 2000. -V. 16 - P. 247-258.

[16] Nogami Y., Toyama F.M. Supersymmetric aspects of the Dirac equation in the one dimension with a Lorentz scalar potential // Phys. Rev. A.

- 1993. - V. 47. - P. 1708-1714.

[17] Nogami Y., Toyama F.M. Reflectionless potentials for the one-dimensional Dirac equation: Pseudoscalar potentials //Phys. Rev. A. -1998. - V. 57. - P. 93-97.

[18] Samsonov B. F. On periodic continuation of soliton potentials beyond a bounded interval // Eur. J. Phys. - 2001. - V. 22. - P. 305-313.

[19] McKellar B. H. J. and Stephenson G. J. Relativistic quarks in one-dimensional periodic structures // Phys. Rev. G. - 1987. - V. 35 -P. 2262-2271.

Отпечатано на участке оперативной полиграфии Редакционно-издательского отдела ТГУ Лицензия ПД №00208 от 20 декабря 1999 г.

Заказ № 03 от " 08 " М<Ло.(гЯ 2004 г. Тираж 100 экз.

2966

Введение

1 Преобразование Дарбу одномерного стационарного уравне ния Дирака

1.1 Оператор преобразования Дарбу.

1.2 Условие самосопряженности преобразованного потенциала

1.3 Взаимно-однозначное соответствие между пространствами решений

1.4 Факторизация полиномов дираковского гамильтониана

1.5 Оператор преобразования Дарбу как оператор в гильберто вом пространстве.

1.6 Скрытая квадратичная суперсимметрия уравнения Дирака

2 Преобразование Дарбу для потенциалов частного вида

2.1 Псевдоскалярный потенциал.

2.1.1 Преобразование Дарбу для псевдоскалярного потенциала

Ф 2.1.2 Соотношения между преобразованиями Дарбу уравнений Дирака и Шредингера

2.2 Скалярный потенциал.

2.2.1 Преобразование Дарбу для скалярного потенциала

2.2.2 Связь с преобразованиями Дарбу уравнения Шредингера.

2.3 Примеры

2.3.1 Прозрачные потенциалы.

2.3.2 Дираковский осциллятор.

2.3.3 Скалярный кулоновский потенциал

2.4 Периодические потенциалы.

2.4.1 Зонная структура релятивистского периодического по тенциала.

2.4.2 Построение периодического скалярного потенциала

2.4.3 Периодический псевдоскалярный потенциал

3 Цепочки преобразований Дарбу

3.1 Обобщение формул Крума-Крейна.

3.1.1 Оператор преобразования n-го порядка.

3.1.2 Преобразованный потенциал.

3.2 Другие формы записи результирующего действия цепочки преобразований.

3.2.1 Замена операции дифференцирования умножением на собственное значение.

3.2.2 Понижение порядка определителей.

3.3 Полиномиальная супералгебра, связанная с цепочками преф образований

3.4 Цепочки преобразований Дарбу матричного уравнения Шре-дингера.

3.4.1 Основная лемма.

3.4.2 Преобразование векторов.

3.4.3 Преобразование потенциала.

Точные решения основных уравнений квантовой механики, таких как уравнения Шредингера, Клейна-Гордона, Дирака и т.д., играют важную роль в современной теоретической физике. Имеется немало примеров того, что на их основе удается достичь более глубокого понимания физической сущности рассматриваемой модели. Кроме того, в последнее время практикуется аппроксимировать потенциалы уравнения Шредингера, не обладающие точными решениями, точно решаемыми потенциалами, что расширяет область применимости точно интегрируемых моделей (например, до применения в квантовой теории информации [1]). Особо необходимо отметить возможность применения точно решаемых потенциалов одномерных уравнений Шредингера и Дирака для получения решений нелинейных уравнений (см., например, [2]). В связи с этим развитие методов получения точных решений указанных уравнений является актуальным.

В нерелятивистской квантовой механике в последние годы достигнут значительный прогресс в этом направлении. Открытие метода обратной задачи рассеяния [3, 4, 5] позволило значительно увеличить количество точно решаемых потенциалов уравнения Шредингера (см. например, [6] -[8]) и сделало возможным развитие качественной теории управления спектрами нерелятивистских квантовых систем [9] - [11]. Хотя метод обратной задачи рассеяния развит также и для уравнения Дирака [12] - [18], в релятивистском случае подобный прогресс пока не наблюдается. Данная работа имеет свой основной целью частично ликвидировать этот пробел.

Эффективным методом конструирования уравнений, имеющих точное решение, является преобразование Дарбу. Впервые преобразования такого типа исследовались Имшенецким [19] и были систематически изучены Дарбу [20] - [22], после чего стали носить его имя. Впоследствии они многократно переоткрывались. Например, метод факторизации Шредингера [23]-[25], подробно исследованный в [26]—[28], является иной формулировкой преобразования Дарбу (см. обсуждение в [29]). Суперсимметричная квантовая механика, предложенная Виттеном [30, 31], также связана с преобразованием Дарбу, так как операторы, сплетающие отдельные компоненты супергамильтониана, являются преобразованиями Дарбу исходного уравнения Шредингера [32]. Отметим также, что часть результатов, получаемых методом обратной задачи, можно воспроизвести с помощью преобразования Дарбу. В частности, в случае вырожденного ядра, когда решения уравнения Гельфанда - Левитана - Марченко [4, 5] можно получить в замкнутом виде, интегральные преобразования метода обратной задачи эквивалентны частному случаю обобщенных преобразований Дарбу [29, 33]. Таким образом, метод преобразования Дарбу дает в некотором смысле универсальный подход к построению точно решаемых моделей [32, 29].

Конструирование новых точно решаемых потенциалов уравнения Шредингера с помощью преобразования Дарбу рассматривалось неоднократно (см., например [34] - [36]). Кроме того, это преобразование имеет многочисленные приложения к решению нелинейных уравнений математической физики [2, 37]. Применение метода преобразования Дарбу к нестационарному уравнению Шредингера и связанным с ним нелинейным уравнениям рассмотрено в работах [38, 39, 35].

Для уравнения Дирака наиболее распространенным методом генерации точно решаемых потенциалов является метод обратной задачи рассеяния [40] - [44]. Суперсимметрия уравнения Дирака рассматривалась в работах [45] - [49]. Отметим также цикл работ [50] - [52], в которых точные решения уравнения Дирака находятся с помощью точечных канонических преобразований.

Преобразование Дарбу одномерного уравнения Дирака изучено значительно менее подробно. По-видимому, впервые матричный дифференциальный оператор преобразования Дарбу уравнения Дирака с векторным и скалярным потенциалами был построен в работе Андерсона [53]. Однако определяющие уравнения для оператора преобразования были записаны автором в компонентах, поэтому итоговые выражения получились громоздкими и неудобными для анализа. Следует также отметить работу [54], в которой для отыскания частного решения уравнений обратной задачи используются дифференциальные операторы преобразования, аналогичные операторам преобразования Дарбу.

Другой подход к преобразованию Дарбу развивался в работах Матвеева и Салля [55, 56, 2]. В рамках этого подхода оно определялось как инвариантное матричное преобразование для ряда систем дифференциальных уравнений первого порядка. Основным объектом изучения являлись нелинейные уравнения, ассоциированные с этими системами, но полученные в этих работах результаты справедливы и для одномерного уравнения Дирака.

Доказанные в [2] общие теоремы были использованы в работе [57] для изучения прозрачных потенциалов одномерного безмассового уравнения Дирака. В результате был получен потенциал нового типа, связанные состояния которого погружены в непрерывный спектр. В работе [58] с помощью аналогичного подхода рассматривалось преобразование Дарбу одномерного нестационарного уравнения Дирака с электромагнитным потенциалом.

Общим недостатком всех указанных выше работ является то, что в них рассматриваются потенциалы специального вида, а также не исследованы полностью свойства преобразования Дарбу, такие как условие эрмитовости преобразованного потенциала или соотношение между спектрами исходного и преобразованного гамильтонианов.

Данная диссертация посвящена систематическому исследованию преобразования Дарбу одномерного стационарного уравнения Дирака с самосопряженным потенциалом общего вида. В ней решаются следующие основные задачи:

1. обобщение метода операторов преобразования Дарбу на системы дифференциальных уравнений, такие как одномерная система Дирака и матричное уравнение Шредингера, включающее получение явных выражений для оператора преобразования и потенциалов преобразованных уравнений;

2. исследование основных свойств найденных преобразований, таких как условие эрмитовости преобразованного потенциала, соответствие между пространствами решений исходного и преобразованного уравнений, позволяющее проследить изменение спектра, свойство факторизации операторами преобразования некоторого полинома от оператора Дирака, анализ операторов преобразования, как операторов, действующих в гильбертовом пространстве;

3. изучение особенностей преобразования Дарбу для скалярного и псевдоскалярного потенциалов и связей между преобразованиями Дарбу уравнений Дирака и Шредингера;

4. исследование цепочек преобразований Дарбу первого порядка и их замыкания в одно преобразование более высокого порядка;

5. обобщение формул, полученных для системы Дирака, на цепочки преобразований Дарбу матричного уравнения Шредингера.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. В первой главе из соотношения сплетения для двух дираковских гамильтонианов ho и hi выводятся формулы для матричного дифференциального оператора преобразования первого порядка и потенциала преобразованного уравнения. Показано, что оператор преобразования определяется функцией преобразования, которая является матричной собственной функцией исходного гамильтониана ho. Затем находится условие эрмитово-сти преобразованного потенциала и устанавливается взаимно-однозначное соответствие между пространствами решений исходного и преобразованного уравнений Дирака. Доказывается, что оператор преобразования Дарбу L и формально сопряженный ему оператор Ь+ факторизуют полиномы от гамильтонианов ho и h\. Далее оператор преобразования Дарбу рассматривается как оператор гильбертова пространства и обсуждаются вопросы

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [59]-[65].

В заключение я считаю своим долгом выразить глубокую признательность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Б.Ф. Самсонову и доктору физико-математических наук, профессору В.Г. Багрову за полезные обсуждения и всестороннюю помощь в работе.

Заключение

В настоящей диссертации получены следующие основные результаты.

1. Произведено обобщение метода операторов преобразования Дарбу на одномерное стационарное уравнение Дирака. Показано, что оператор преобразования и потенциал преобразованного уравнения определяются функцией преобразования и, которая является матричной собственной функцией исходного гамильтониана ho, соответствующей матричному собственному значению Л = diag(Ai, А2). Установлено взаимно-однозначное соответствие между пространствами решений исходного и преобразованного уравнений Дирака, позволившее сделать вывод о том, что спектр преобразованного оператора может отличаться от спектра исходного не более, чем двумя уровнями. Показано, что оператор преобразования L и ему сопряженный L+ факторизуют квадратичную функцию от операторов Дирака ho и hi и обнаружена его скрытая квадратичная суперсимметрия. Оператор преобразования проанализирован, как оператор действующий в гильбертовом пространстве. Найдены квазиспектральные разложения для операторов L и L+.

2. Подробно исследованы важные частные случаи псевдоскалярного и скалярного потенциалов. Найдены условия, при которых преобразованный потенциал остается потенциалом того же типа, что и исходный. Показано, что в данном случае преобразование Дарбу индуцирует соответствующие преобразования систем уравнений Шредингера, к которым сводится система Дирака.

3. Приведены многочисленные примеры новых точно решаемых потенциалов уравнения Дирака, сгенерированные из потенциалов свободной частицы и дираковского осциллятора, а также из скалярного кулоновского потенциала. Ряд полученных потенциалов не имеет аналогов в мировой литературе. Предложено релятивистское обобщение метода конструирования точно решаемых периодических потенциалов. Подробно исследованы периодические скалярный и псевдоскалярный потенциалы. В частности, для них найдено простое выражение для функции Ляпунова через элементарные функции, и показано, что использование этих потенциалы для моделирования зонной структуры в релятивистском случае является не более сложным, чем в нерелятивистском.

4. Подробно изучены цепочки преобразований первого порядка и их замыкания в один оператор более высокого порядка. Получено релятивистское обобщение детерминантных формул Крума-Крейна, значительно облегчающее проведение конкретных расчетов. Установлены условия, при которых полученные выражения сводятся к опубликованным в литературе ранее. Установлено свойство факторизации операторами преобразования высоких порядков некоторого полинома от дираковских гамильтонианов, приводящее к скрытой полиномиальной суперсимметрии уравнения Дирака.

5. Рассмотрено преобразование Дарбу матричного уравнения Шредингера. Построен матричный оператор преобразования первого порядка и получен преобразованный потенциал, которые, как и в случае уравнения Дирака, определяются матричной собственной функцией исходного гамильтониана. Изучены цепочки преобразований Дарбу и доказаны теоремы, обобщающие формулы Крума-Крейна также и на данный случай.

1. Pershin Yu.V., Shevchenko S.N., Vagner 1.D., Wyder P. Electronic transport through a nuclear-spin-polarization-induced quantum wire // Phys. Rev. B. - 2002. - V. 66. - P. 035303-1 - 035303-5.

2. Matveev V., Salle M. Darboux Transformations and solitons. New York: Springer, 1991. - 120 p.

3. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спктральную теорию. -М.: Наука, 1970. 671 с.

4. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: Наука. 1984. - 239 с.

5. Марченко В.Ф. Обратная задача рассеяния. Харьков: Изд. ХГУ, 1960. - 268 с.

6. Abraham Р.В., Moses Н.А. Changes in potentials due to changes in the point spectrum: anharmonic oscillators with exact solution // Phys. Rev. A. 1980. - V. 22. - P. 1333-1340.

7. Luban M., Pursey D.L. New Schrodinger equation for old: Inequivalence of the darboux and Abraham Moses constructions // Phys. Rev. A. -1986. - V. 33. - P. 431-436.

8. Purscy D.L. New families of isospectral Hamiltonians // Phys. Rev. A. -1986. V. 33. - P. 1048-1055.

9. Захарьев Б.Н. Уроки квантовой интуиции. Дубна: ОИЯИ, 1996. -299 с.

10. Захарьев Б.Н., Чабанов В.М. Качественная теория управления спектрами, рассеянием, распадами (уроки квантовой интуиции) // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1994. - Т. 25. - С. 1561-1597.

11. Chabanov V.M., Zakhariev B.N. Theory of resonances and bound-state management // Phys. Rev. A. 1994. - V. 49. - P. R3159-R3161.

12. Гасымов М.Г., Левитан Б.М. Обратная задача для системы Дирака // ДАН СССР. 1966. - Т. 167. - С. 967-970.

13. Гасымов М.Г. Обратная задача теории рассеяния для системы уравнений Дирака порядка 2п // Труды Моск. Мат. общ-ва. 1968. Т. 19. С. 41-12.

14. Фролов И.С. Обратная задача рассеяния для системы Дирака на всей оси // Дан СССР. 1972. - Т. 207. - С. 44-47.

15. Grosse Н. New solitons connected to the Dirac equation // Phys. Repts. 1986. - V. 134. - P. 297-304.

16. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. М.: Наука, 1988. - 431 с.

17. Hinton D.B., Jordan А.К., Klaus М., Shaw J.К. Inverse scattering on the line for the Dirac system // J. Math. Phys. 1991. - V. 32. - P. 3015-3030.

18. Khater A.H., Abdalla A.A., Callebaut D.K., Ramady A.G. Rational reflection coefficients in the inverse scattering for a Dirac system // Inverse Problems. 1999. - V. 15. - P. 241-251.

19. Имшенецкий В.Г. Распространение на линейные уравнения вообще способа Эйлера для исследования всех случаев интегрируемости одного частного вида линейных уравнений второго порядка // Зап. Имп. Акад. Наук. 1882. - Т. 42. - С. 1-21.

20. Darboux G. Sur la representation spheric des surfaces // Compt. Rend. Acad. Sci. Paris 1882. - V. 94. - P. 1343 - 1345.

21. Darboux G. Sur une proposition relative aux equation lineaires // Compt. Rend. Acad. Sci. Paris 1882. - V. 94. - P. 1456 - 1459.

22. Darboux G. Lemons sur la theorie gdn6rale des surfaces et les application g6om6triques du calcul infinit6simale. Paris: Guatier-Villar et Fils, 1889. - 522 p.

23. Schrodinger E. A method of determining quantum-mechanical eigenvalues and eigenfunctions // Proc. Roy. Irish. Acad. A. 1940. -V. 46. - P. 9-16.

24. Schrodinger E. The factorization of hypergeometric equation // Proc. Roy. Irish. Acad. A. 1941. - V. 47. - P. 53-54.

25. Schrodinger E. Further studies on solving eigenvalue problems by factorization // Proc. Roy. Irish. Acad. A. 1941. - V. 47. - P. 183-206.

26. Infeld Т.Е. On a new treatment of some eigenvalue problems // Phys. Rev. 1941. - V. 59. - P. 737-747.

27. Hull H., Infcld Т.Е. The factorization method, hydrogen intensities and related problems // Phys. Rev. 1948. - V. 74. - P. 905-909.

28. Infield Т.Е., Hull H. The factorization method // Rev. Mod. Phys. 1951. - V. 53. - P. 21-68.

29. Багров В.Г., Самсонов Б.Ф. Преобразование Дарбу, факторизация, суперсимметрия в одномерной квантовой механике // ТМФ 1995. -Т. 104. - С. 356-367.

30. Witten Е. Dynamical breaking of supersymmetry // Nucl. Phys. B.1981. V. 185. - P. 513-554.

31. Witten E. Constraints on supersymmetry breaking // Nucl. Phys. B.1982. V. 202. - P. 253-316.

32. Андрианов A.A., Борисов H.B., Иоффе M.B., Эйдес М.И. Суперсимметричная квантовая механика: новый взгляд на эквивалентность квантовых систем // ТМФ 1984. - Т. 61. - С. 17-28.

33. Samsonov B.F. On the equivalence of the integral and the differential exact solution generation methods for the radial Schrodinger equation // J. Phys. A. 1995. - V. 28 - P. 6989-6998.

34. Багров В.Г., Шаповалов А.В., Широков И.В. Методы генерации интегрируемых потенциалов уравнения Шредингера и нелокальные симметрии // Изв. ВУЗов, Физика 1991. - № 9 - С. 19-25.

35. Багров В. Г., Самсонов Б. Ф. Преобразование Дарбу уравнения Шредингера // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1997. -Т. 28. - С. 951-1012.

36. Fernandez С. D.J., Mielnik В., Rosas-Ortis О., Samsonov B.F. New supersymmetric deformations of periodic potentials //J. Phys. A. 2002.- V. 35. P. 4279-4283.

37. Sukumar С. V. Supersymmetric quantum mechanics and the inverse scattering method // J. Phys. A. 1985. - V. 18. - P. 2937 - 2955.

38. Матвеев В.Б., Салль М.А. Нелокальные аналоги уравнений Кортевега- де Фриза и Кадомцева Первиашвили // ДАН. - 1981. - Т. 261. -С. 533-537.

39. Багров В.Г., Самсонов Б.Ф., Шекоян JI.A. Преобразования Дарбу для нестационарного уравнения Шредингера // Изв. ВУЗов, Физика -1995. ДО 7. - С. 59-65

40. Адамян М.Н. О возмущениях потенциала в радиальном уравнении Дирака, приводящих к умножению спектральной плотности на многочлен // Теор. и мат. физ. 1975. - Т. 22. - С. 236-243.

41. Nogarni Y., Toyama F.M. Transparent potential for the one-dimensional Dirac equation // Phys. Rev. A. 1992. - V. 45. - P. 5258-5261.

42. Toyama F.M., Nogami Y., Zhao Z. Relativistic extension of the Kay-Moses method for constructing transparent potentials in quantum mechanics // Phys. Rev. A. 1993. - V. 47. - P. 897-902.

43. Nogami Y., Toyama F.M. Reflectionless potentials for the one-dimensional Dirac equation: Pseudoscalar potentials //Phys. Rev. A. 1998. - V. 57. - P. 93-97.

44. Toyaina F.M., Nogami Y. Harmonic oscillator in relativistic quantum mechanics // Phys. Rev. A. 1999. - V. 59. - P. 1056-1062.

45. Hughes R.J., Kostelecky V.A., Nieto M.M. Supersymmetric quantum mechanics in a first-order Dirac equation // Phys. Rev. D. 1986. -V. 34. - P. 1100-1107.

46. Cooper F., Khare A., Musto R., Wipf A. Supersymmetry and the Dirac equation // Annals of Physics 1988. - V. 187. - P. 1-28.

47. Beckers J., Debergh N. Supersymmetry, Foldy-Wouthusen transformation, and relativistic oscillators // Phys. Rev. D. 1990. -V. 42. - P. 1255-1259.

48. Martinez у Romero R.P., Moreno M., Zentella A. Supersymmetric properties and stability of the Dirac sea // Phys. Rev. D. 1991. - V. 43. - P. 2036-2040.

49. Nogami Y., Toyama F.M. Supersymmetric aspects of the Dirac equation in the one dimension with a Lorentz scalar potential // Phys. Rev. A. -1993. V. 47. - P. 1708-1714.

50. Alhaidari A.D. Graded extension of so(2,1) Lie algebra and the search for the exact solutions of the Dirac equation by point canonical transformations // Phys. Rev. A. 2002. - V. 65. - P. 042109-1 -042109-8.

51. Alhaidari A.D. Solution of the Relativistic Dirac-Morse Problem // Phys. Rev. Lett. 2001. - V. 87. - P. 210405-1 - 210405-1.

52. Alhaidari A.D. Relativistic extension of shape-invariant potentials //J. Phys. A. 2001. - V. 34 - P. 9827-9833.

53. Anderson A. Intertwining of exactly solvable Dirac equations with one-dimensional potentials // Phys. Rev. A 1991. - V. 43. - P. 4602-4610.

54. Daskalov V.B., Khristov E.Kh. Explicit formulae for the inverse problem for the regular Dirac operator // Inverse Problems. 2000. -V. 16 - P. 247-258.

55. Салль M.A. Преобразования Дарбу для неабелевых и нелокальных уравнений типа цепочки Тоды // ТМФ. 1982. - Т. 53. - С. 227-237.

56. Салль M.A. L-A пары с рациональной зависимостью от спектральных параметров. Преобразование Дарбу // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1987. Т. 161. С. 72-75.

57. Stahlhofen А.А. Supertransparent potentials for the Dirac equation // J. Phys. A. 1994. - V. 27. - P. 8279-8290.

58. Yurov A.V. Darboux transformation for the Dirac equation with (1+1) potentials // Phys. Lett. A. 1997. - V. 225. - P. 51-59.

59. Самсонов Б.Ф., Печерицын А.А. Преобразование Дарбу одномерного стационарного уравнения Дирака // Изв. ВУЗов, Физика. 2000. -Т. 43. - С. 48 - 54.

60. Debergh, N., Pecheritsin, А.А., Samsonov, B.F., Van Den Bossche, B. Darboux transformations of the one-dimensional stationary Dirac equation // J. Phys. A. 2002. - V. 35. - P. 3279-3287.

61. Nicto L.M., Pecheritsin A.A., Samsonov B. F. Intertwining technique for the one-dimensional stationary Dirac equation // Ann. Phys. 2003. -V. 305. -P. 151 - 189.

62. Самсонов Б.Ф., Печерицын A.A. Преобразование Дарбу для одномерного стационарного уравнения Дирака с псевдоскалярным потенциалом // Изв. ВУЗов, Физика. 2002. Т. 45. - С. 14 - 19.

63. Самсонов Б.Ф., Печерицын А.А. Преобразование Дарбу для одномерного стационарного уравнения Дирака со скалярным потенциалом // Изв. ВУЗов, Физика. 2002. Т. 45. - С. 74 - 79.

64. Samsonov B.F., Petcheritsin A.A., Pozdeeva E.O., Glasser M.L. New exactly solvable periodic potentials for the Dirac equation // Eur. J. Phys. 2003. - V. 24. - P. 435-441.

65. Samsonov B.F. Pecheritsin A.A. Chains of Darboux Transformations for the Matrix Schrodinger Equation. J. Phys. A. 2004. - V. 37. - P. 239-250.

66. Рид M., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. - 357 с.

67. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 5. М.: Физматгиз, 1959.- 655 с.

68. Данфорд Н, Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Т. 2.- М.: Мир, 1966. 1063 с.

69. Beckers J., Debergh N., Gotti С. On generalized Darboux transformations and symmetries of Schrodinger equations // Helv. Phys. Acta. 1998. -V. 71. - P. 214-232.

70. Bagchi B.K. Supersymmetry in Quantum and Classical Mechanics. New York: Chapman and Hall, 2001. - 240 p.

71. Thaler B. The Dirac Equation. Berlin: Springer, 1992. - 357 p.

72. Toyama F.M., Nogami Y., Coutinho F.A.B. Behavior of wavepackets of the "Dirac oscillator": Dirac representation versus Foldy-Wouthuysen representation // J. Phys. A 1997. - V. 30. - P. 2585-2595.

73. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1971. - 1108 с.

74. Soff G., Muller В., Rafelski J., Greiner W. Solution of the Dirac equation for the scalar potentials and its implications in atomic physics // Z. f. Naturforsch. A. 1973. - V. 26. -P. 1389-1396.

75. Benvegnu S. Relativistic point interaction with Coulomb potential in one dimension // J. Math. Phys. 1997. - V. 38. - P. 556-570.

76. Dominguez-Adame F. Dirac particles in the potential — l/|x| // Am. J. Phys. 1990. - V. 58. - P. 886-888.

77. Choon-Lin Ho, Khalilov V. R. Fractional fermion number in a (l+l)-dimensional Dirac equation with a scalar Coulomb field // Phys. Rev. D. 2000. - V. 63. - P. 027701-1-027701-2.

78. Mendez B. and Dorningues-Adame F. A simple numerical method for the determination of relativistic one-dimensional band structures //J. Phys. A. 1991. - V. 24. - P. L331-L336.

79. McKellar В. H. J. and Stephenson G. J. Relativistic quarks in one-dimensional periodic structures // Phys. Rev. C. 1987. - V. 35 - P. 2262-2271.

80. McKellar В. H. J. and Stephenson G. J. Klein paradox and the Dirac-Kronig-Penney model // Phys. Rev. A. 1987. - V.36. - P. 2566-2569.

81. Glasser M. L. A class of one-dimensional relativistic band models Am. J. Phys. 1983. - V. 51. - P. 936-939.

82. Samsonov B. F. On periodic continuation of soliton potentials beyond a bounded interval // Eur. J. Phys. 2001. - V. 22. - P. 305-313.

83. Crum M.M. Assotiated Sturm-Liouvillc systems // Quart. J. Math., Ser 2. 1955. - V. 6. - P. 121-126.

84. Крейн М.Г. О континуальном аналоге одной формулы Кристоффеля из теории ортогональных многочленов // ДАН СССР. -1957. Т. 113. - С. 970-973.

85. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М: Наука, 1967. - 576с.

86. Daskalov V. В. On the inverse problem for the regular Sturm-Liouville operator // Inverse Problems 1996. -V. 12. - P. 207-217.

87. Beckers J. Debergh N. Lie structures in parasupersymmetric quantum mechanics. I. The standard supersymmetrization procedure //J. Math. Phys. 1991. - V. 32. - P. 1808-1814.

88. Andrianov A.A., Ioffe M.V., Spiridonov V.P., Vinet L. Parasupersymmetry and truncated supersymmetry in quantum mechanics // Phys. Lett. B. 1991. - V. 272. - P. 297-304.

89. Ньютон P. Теория рассеяния волн и частиц. М: Мир, 1969. - 608 с.

90. Sparenberg J.-M., Вауе D. Supersymmetry between phase-equivalent coupled-channel potentials // Phys. Rev. Lett. 1997. - V. 79. -P. 3802-3805.

91. Sparenberg J.-M., Baye D., Imatishi B. Coupled-reaction-channel calculations of the 160 + 170 and 160 + 17F charge symmetric systems // Phys. Rev. C. 2000 - V. 61. - P. 054610-1 - 054610-10.

92. Lccb H., Sofianos S.A., Sparenberg J.-M., Baye D. Supersymmctric transformations in coupled-channel systems // Phys. Rev. C. 2000 -V. 62. - P. 064003-1 - 064003-5.

93. Calogero F., Degasperis A. Nonlinear evolution equations solvable by inverse spectral transform // Lett. Nuovo Cimento B. 1977. - V. 39. -P. 1-53.

94. Gibbons J., Hermsen Th. A generalization of the Calogero-Moser system // Physica. D. 1984. - V. 11. - P. 337-348.

95. Krichever I., Babelon O., Billey E., Talon M. Spin generalization of the Calogero-Moser system and the matrix KP equation // Am. Math. Soc. Transl. 1995. - V. 170. - P. 83-119.

96. Goncharenko V.M., Veselov A.P. Monodromy of the matrix Schrodinger equations and Darboux transformations //J. Phys. A. 1998. - V. 31. -P. 5315-5326.

97. Samsonov B.F., Stancu Fl. Phase equivalent chains of Darboux transformations in scattering theory // Phys. Rev. C. 2002 - V. 66. - P. 034001-1 - 034001-12.

98. Samsonov B.F., Stancu Fl. Phase shift effective range expansion from supersymmctric quantum mechanics // Phys. Rev. C. 2003 - V. 67. -P. 054005-1 - 054005-6.

99. Гельфанд И.М., Ретах B.C. Детерминанты матриц над некоммутативными кольцами // Функц. ан. и его приложения. 1991. - Т. 25. - С. 13-25.