Преобразование Дарбу и когерентные состояния тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

г з ^

'О ¡1 * J ^ " / / X) 7" %]

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Шекоян Ланджик Антонович ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДАРБУ И КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ

01.04.02 - теоретическая физика

/

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители: доктор физико-математических наук, профессор В. Г. Багров доктор физико-математических наук, профессор Б. Ф. Самсонов

Томск - 1999

Содержание

Введение 2

1 Глава 11

1.1 Преобразование Дарбу первого порядка................12

1.2 Преобразование Дарбу порядка N......................15

1.3 Об эквивалентности преобразования Дарбу для стационарного и нестационарного уравнений Шредингера 22

1.4 Один класс потенциалов баргмановского типа .... 25

2 Глава 35

2.1 'Полуограниченный оператор симл^трии *..............36

2.2 Преобразование когерентных состояний ..............40

2.3 Преобразование Дарбу когерентных состояний свободной частицы..........................................45

2.4 Определение мер при разложении единичного оператора по когерентным состояниям......................48

2.5 Голоморфное представление.....................52

3 Глава 56

3.1 Типы потенциалов ... - ..........................56

3.2 Когерентные состояния..................................62

4 Глава 77

4.1 Когерентные состояния сингулярного осциллятора . 77

4.2 Преобразованные когерентные состояния..............84

Заключение 92

Список литературы 94

Введение

В настоящее время известны различные аналитические методы интегрирования дифференциальных уравнений, возникающих в теоретической физике, и получены их решения для многих частных случаев.

Например, на основе метода разделения переменных, связанного с отысканием полного набора операторов симметрии, являющихся интегралами движения, в [1] перечислены все внешние поля допускающие точные аналитические решения для уравнений Клейна-Гордона и Дирака. Для целого ряда случаев в [2] проинтегрировано уравнение Шредингера методом И-разделения переменных. Преобразование Кумера-Циувший [3]-[6] является наиболее общим преобразованием, допускающим приведение дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами к уравнению наперед заданного вида того же порядка. Наиболее полное исследование уравнений Шредингера, сводящихся этим преобразованием к уравнению для гипергеометрических функций, содержится в [7, 8]. Сравнительно недавно был предложен новый метод точного решения линейных дифференциальных уравнений — метод некоммутативного интегрирования [9]. Этот метод применен в [10]-[11] к уравнениям Шредингера и Клейна-Гордона. Отметим также, что существуют задачи промежуточные между точно решаемыми и точно нерешаемыми [12]-[14].

Среди методов точного интегрирования квантовой механики особое место занимают методы конструирования точно решаемых потенциалов стационарного уравнения Шредингера. В случае нестационарного уравнения Шредингера они гносеологически проистекают из аналогичных процедур для стационарного случая, суть которых заключена в следующем.

Рассматривается соотношение сплетания ЬЩ = НЬ. связывающее два гамильтонина, Я0 = -д2х + У0(х) и Н = —Ъ\ + У(х), оператором преобразования Ь, переводящим решения одного уравнения Шредингера в решения другого. Связь потенциалов У(х) и Уо(х) оказывается зависящей от вида оператора преобразования.

Известны различные методы конструирования точно решаемых потенциалов уравнения Шредингера. К ним относятся факторизация, преобразование Абрахама-Мозеса, методы суперсимметричной квантовой механики и преобразование Дарбу.

Метод факторизации впервые был применен к решению задач квантовой механики Шредингером [15]. В дальнейшем им пользовался Дирак [16]. Инфельд и Холл [17] развили этот метод для широкого класса дифференциальных уравнений второго порядка с граничными условиями. Миелник [18] разработал модифицированный метод факторизации, который дает возможность построить класс одномерных стационарных потенциалов, имеющих спектр гармонического осциллятора.

Подход Абрахама и Мозеса [19] тесно связан с методом обратной задачи рассеяния в квантовой механике [22] и, в частности с уравнением Гельфанда,-Левитана-Марченко [20]-[22]. Модификации этого метода рассматривались в [23, 24].

Суперсимметричная квантовая механика, впервые введенная Виттеном [25], использовалась в работе Генденштейна [26] для нахождения спектра уравнения Шредингера. В [27] было сделано прямое обобщение простой суперсимметричной конструкции на многомерный случай, которое, по существу, сводится к эквивалентности двух матричных систем, но не устанавливает спектральных связей между скалярными гамильтонианами.

Классический метод Дарбу [28] основан на применении дифференциального оператора первого порядка в качестве оператора

преобразования Ь. Крам [29] обобщил преобразование Дарбу на случай операторов более высокого порядка по производным и его работа стимулировала интерес к этому методу в обратной задаче квантовой теории рассеяния. Оно играет важную роль в солитон-ной теории [30, 31, 32]. Крейн [33] и Фаддеев [22] рассмотрели этот метод для трехмерной обратной задачи, предполагая сферическую симметрию потенциала. Дейфт [34] провел основательное исследование метода и интерпретировал его как пример исследования более общей коммутативной формулы, что связывает метод Дарбу с методом операторов обобщенного сдвига [35]-[37]. Предпринимались попытки обобщения этого метода на трехмерный случай [38], но они не получили дальнейшего развития. Многомерное преобразование Дарбу для матричных гамильтонианов рассмотрено в [39]. В работах [40, 41] показано, что эта техника преобразования может быть существенно расширена, что приводит к новым, весьма нетривиальным результатам.

Важно отметить, что все вышеизложенные методы отнюдь не являются независимыми.

Преобразование сплетающее отдельные компоненты супергамильтониана [27], является лРреобразованием Дарбу исходного уравнения Шредингера. В работе [42] рассматривается связь суперсимметричной квантовой механики с обратной задачей квантовой теории рассеяния в свете преобразования Абрахама-Мозеса. Эквивалентность интегрального и дифференциального методов конструирования точно решаемых потенциалов установлена в [43]. В [44], исходя из общей концепции операторов преобразования, введенных Дельсартом [45], определен оператор преобразования Дарбу порядка N. Показано [44, 46], что этот оператор всегда представим в виде произведения N операторов преобразования Дарбу первого порядка, исследована связь данного преобразования с методом факториза-

ции, введены операторы суперзаряда М-го порядка по производной, установлено, что эти опрераторы совместно с супергамильтонианом образуют супералгебру У-го порядка.

Возвращаясь к нестационарному уравнению Шредйнгера, отметим работы [47, 48], где предложено обобщение интегрального преобразования Абрахама-Мозеса на нестационарный случай, основанное на методе "одевания" [49] линейных дифференциальных операторов. Для указанных работ характерно присутствие неопределенного параметра в конечных формулах. Интегральное преобразование как обратное дифференциальному получено в [50]. В работе [51] для нестационарного гармонического осциллятора рассматриваются операторы преобразования, факторизующие некоторый интеграл движения. Обобщение преобразования Дарбу для нестационарного уравнения Шредйнгера можно найти в [48, 32]. Однако в этих работах совершенно не рассматривается условие вещественности получаемого потенциала, что ограничивает применение этих методов в квантовой механике.

В некоторых работах [52, 53] приводятся процедуры генерации нового уравнения весьма частного характера. Однако, следует ^ *

отметить достаточно общий метод решения нестационарного уравнения Шредйнгера на основе точно решаемых стационарных задач с использованием специально выбранных операторов канонического калибровочного преобразования [54].

Когерентные состояния находят самое разнообразное применение в физике и математике [55, 56]. Они строились и изучались еще Шредингером [57] для исследования связи между классическим и квантовым гармоническими осцилляторами. Затем их свойства основательно изучались Клаудером [58]-[60], Глаубером [61]-[63] и Манько с соавторами [55], [64]-[67]. В работах [68]-[71] концепция когерентных состояний обобщена на произвольные гамильтонианы.

Существует несколько подходов в определении когерентных состояний, приводящих к одинаковому результату для гармонического осциллятора и, как правило, к различным результатам для других систем.

Когерентные состояния можно определить как состояния, минимизирующие соотношение неопределенностей для какой-нибудь пары одновременно неизмеримых физических величин. Такой подход для многих одномерных квантовомеханических задач рассмотрен в цикле работ Ниэто с сотрудниками [72]-[78].

Их можно также определять, как собственные состояния оператора уничтожения а, который совместно с оператором рождения а+ подчинен стандартным коммутационным соотношениям алгебры Гейзенберга-Вейля: [а, а+] = 1 [55, 79].

Наиболее строгое с математической точки зрения определение когерентных состояний связано с алгеброй и группой динамической симметрии рассматриваемой системы [61, 62], [80]-[82].

Другой подход [55, 83, 84], так же широко использующий теоретико-групповые методы, в случае представлений дискретной серии некомпактных полупростых групп Ли основан на отыскании общих собственных векторов у полной системы взаимно коммутирующих понижающих по спектру операторов.

К настоящему времени накоплено значительное количество точно решаемых потенциалов [85], [46]. Мы можем отметить только работы [86]-[90], посвященные исследованию когрентных состояний новообразованных систем. Во всех случаях кардинальной проблемой является проблема полноты системы этих состояний в гильбертовом пространстве решений уравнений Шредингера.

Таким образом, мы видим, что развитие методов конструирования на основе преобразования Дарбу точно решаемых нестационарных потенциалов уравнения Шредингера и исследования его

решений, чему посвящена настоящая работа, является актуальной задачей.

Первая глава диссертации посвящена построению общего формализма преобразования Дарбу ]У-го порядка. Она отражает содержание работ [91]-[93].

В преамбуле первой главы определяется оператор преобразования Дарбу как дифференциальный оператор 7У-го порядка по пространственной переменной, реализующий соотношение спле-тания

- = (¿^ -

йод = - ^о^ОМ), УлтОМ) = ЖМ) + Аы(х^).

где Адг(х,{) — некоторая достаточно гладкая функция. Вводится оператор формально сопряженный оператору Эти операторы осуществляют преобразование решений уравнения Шре-дингера с гамильтонианом /10 в ршения уравнения с гамильтонианом /гдт и обратно.

В разделе 1.1 анализируется преобразование первого порядка; определяется функция преобразования как решение исходного уравнения Шредангера, удовлетворяющая условию, вещественности

л

потенциала, определяющую опретор преобразования Дарбу и разность потенциалов устанавливается соответствие между постранствами решений исходного и преобразованного уравнений Шредингера.

В разделе 1.2 рассматривается преобразование Дарбу ]У-го порядка и для него доказывается теорема о приводимости. Далее конструируется нестационарная суперсимметричная квантовая механика с операторами суперзарядов (2, <2+, оператором симметрии <5 и супералгеброй з\(1/1)\ [2,5] = = 0, {2, £+} =

В разделе 1.3 обсуждается эквивалентность стационарного и нестационарного преобразования Дарбу первого порядка, происте-

кающую из условия вещественности на функцию преобразования [101]. Устанавливается тот факт, что эта эквивалентность в общем случае не имеет места для преобразования Дарбу произвольного порядка.

В разделе 1.4 в рамках развитого формализма рассматривается стационарное преобразование Дарбу порядка /V, как частный случай нестационарного, для построения потенциалов баргманов-ского типа с наперед заданным расположением N уровней дискретного спектра.

Во второй главе изучаются когерентные состояния потенциалов солитонного типа. Её результаты содержатся в работах [94] -[97].

В преамбуле второй главы приводятся известные сведения о когерентных состояниях свободной частицы. Приводится определение Клаудера когерентных состояний, на которое опирается дальнейший анализ.

В разделе 2.1 приводится вид потенциала солитонного происхождения, полученный преобразованием Дарбу первого порядка. Доказывается , что симметричный оператор симметрии свободного уравнения Шредингера, до = Ь+Ь, имеет чисто непрерывный

спектр и самосопряжен в существенном. С его помощью вводятся 1/2 -1/2

операторы д0 и д0 , которые индуцируют два типа когерентных состояний: рг и Показано, что существование мер, реализующих разложение единичного оператора по этим состояниям, связано с разрешимостью некоторой проблемы моментов на комплексной плоскости. Доказаны две теоремы о существовании и единственности мер.

В разделе 2.2 рассматривается преобразование Дарбу когерентных состояний свободной частицы.

В разделе 2.3 доказываются две теоремы, которые, согласно

определению когерентных состояний, позволяют определить две системы когерентных состояний потенциалов солитонного типа.

В разделе 2.4 реализованы различные голоморфные представления гильбертова пространства решений уравнения Шредингера с потенциалом солитонного типа. Для каждого представления найдены голоморфные реализации операторов Ь и 1Л.

В третьей главе [98] получен широкий класс потенциалов ангармонических осцилляторов применением преобразования Дарбу к гамильтониану гармонического осциллятора с переменной частотой.

В разделе 3.1 анализируется алгебра симметрии зсЬ(1,1) гармонического осциллятора. Установлено, что преобразования группы БСН^ 1,1), имеющей алгебру зск( 1,1), не нарушают условия вещественности для потенциала. Это позволяет классифицировать пространство 5с/г(1,1) относительно присоединенного представления Ас1 группы 5СЛГ( 1,1). Пространство 5с/г(1,1) разбивается на пять орбит. Такое разбиение позволяет получить широкий класс решений уравнения Шредингера методом II - разделением переменных, что, в свою очередь, предоставляет разнообразный выбор функций преобразования для конструирования различных типов ангармонических осцилляторов.

В разделе 3.2 доказана теорема о факторизации дифференциального, порядка 2М по пространственной переменной, оператора симметрии уравнения гармонического осциллятора. Для различных типов потенциалов доказано, что преобразование Дарбу когерентных состояний исходной системы приводит к системе когерентных состояний для преобразованного гамильтониана. Явно определены меры, реализующие разложение единицы по этим состояниям. Показано, что гильбертовы пространства решений рассмотренных систем могут быть реализованы как гильбертовы пространства голо-

морфных функций.

Четвертая глава [99] посвящена построению и изучению гамильтонианов ангармонических сингулярных осцилляторов, полу-ченых применением преобразования Дарбу к сингулярному осциллятору.

В разделе 4.1 исследуется алебра динамической симметрии сингулярного осциллятора, 5и(1,1) ~ 5/(2, К). Методом Я-разделения переменных получен дискретный базис гильбертова пространства состояний этой системы. Исследованы два типа когерентных состояний: когерентные состояния, полученные оператором сдвига на группе, и когерентные состояния Бару та-Джирарделло.

В разделе 4.2 соответствующим выбором функций преобразования получены ангармонические сингулярные осцилляторы. Найдены меры, осуществляющие разложение единичного оператора по двум типам когерентных состояний.

В заключении кратко сформулированы основные результаты, полученные в диссертации и выносимые на защиту.

1 Глава

Преобразование Дарбу нестационарного уравнения Шредингера

Запишем нестационарное уравнение Шредингера в виде

D0ip(x, t) = 0, а = idt - Ло, h = - *)> dt = d/dt, 2m = ft = l, д2х = дх-дх, дх = д/дх. (1.1)

Будем считать, что переменные ж и i принимают все вещественные значения, а функции ф(х^), решения уравнения (1.1), являются достаточно гладкими относительно обоих аргументов. Если мы рассмотрим действие некоторого дифференциального оператора от двух переменных х и t на функции ф(х,£), то все производные по t могут быть выражены в этом операторе при помощи уравнения

(1.1) через производные по х. В связи с этим введем следующее Определение. Оператор L^ вида L^ = £ b\N\x,t)dlx, удо-

г'=О

влетворяющий условию

[L^\D0] = L^Do - D0lW = AN(x,t)tiN\ (1.2)

где Afl[(x,t) — некотором достаточно гладкая функция, назовем? оператором преобразования Дарбу порядка N для уравнения (1.1). Если мы определим оператор DN = Dq + An(x,î), то соотношение

(1.2) можно перписать в виде

lWD0 = DnLW. (1.3)

Отсюда ясно, что оператор переводит решения ф(х^) уравнения (1.1) в решения <p(x,t) = L^N^