Краевые задачи для уравнений Эйлера-Дарбу с условиями сопряжения на характеристике и нехарактеристической линии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

§ 1. Некоторые сведения о решениях известных краевых задач для уравнения Эйлера-Дарбу

§ 2. Две задачи Дарбу с краевыми условиями на перпендикулярных характеристиках

Глава II. ЗАДАЧА Е ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ДАРБУ «С ДВУМЯ ЛИНИЯМИ

ВЫРОЖДЕНИЯ» И ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

§ 1. Постановка задачи и единственность ее решения

§ 2. Доказательство теоремы существования

Глава III. ПОСТАНОВКА ДВУХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ДАРБУ,

ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ ИХ РЕШЕНИЙ.

§ 1. Постановка двух краевых задач для уравнения Эйлера-Дарбу и единственность их решений.

§ 2. Теорема существования решения задачи 3.1.1.

§ 3. Теорема существования решения задачи 3.1.2.

Глава IV. ЕДИНСТВЕННОСТЬ И СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ

УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ПУАССОНА-ДАРБУ СМЕШАННОГО ТИПА

§ 1. Постановка задачи для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу смешанного типа и единственность ее решения

§ 2. Приведение краевой задачи к сингулярному уравнению

§ 3. Теорема существования

Фундаментальные исследования по теории дифференциальных уравнений с частными производными были проведены такими авторами как Ф. Трикоми [37], М. Пуассон [49], С. Геллерстедт [46] и [47], А.В. Бицадзе [7], Ф.И. Франкль [40] - [43], К.И. Бабенко [3], JL Берс [6] и др.

В настоящей диссертации предложено к рассмотрению лишь одно из многочисленных дифференциальных уравнений с частными производными — уравнение Эйлера-Дарбу.

Впервые это уравнение было рассмотрено Эйлером в связи с изучением движения воздуха в трубах постоянного и переменного сечений, а также колебания струн переменной толщины. Самое общее решение этого уравнения, как и вообще линейного уравнения гиперболического типа, было дано Риманом. Им же [30] было показано, что точное уравнение адиабатического движения газа в трубе постоянного сечения в случае, когда во всех частицах энтропия единичной массы одна и та же, в характеристических координатах сводится к уравнению, рассмотренному Эйлером.

Позже это уравнение было изучено С. Пуассоном [49], Г. Дарбу [48].

Среди работ в этом направлении следует отметить книгу А.В. Бицадзе [7], статью A.M. Нахушева [27], статью В.Ф. Волкодавова и Н.Я. Николаева [16], учебное пособие В.Ф. Вол-кодавова и Н.Я. Николаева [15], статью В.В. Пергунова [29], статью В.Ф. Волкодавова и В.В. Пергунова [17], работу В.Ф. Волкодавова и А.А. Андреева [1] и др.

Многие уравнения смешанного типа в областях своей гиперболичности сводятся к уравнению Эйлера-Дарбу. Так, например, обобщенное уравнение Трикоми, уравнение Кароля, уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу смешанного типа и ряд уравнений смешанного типа с вырождением типа и порядка. Вышеперечисленные результаты, разумеется, не охватывают всей полноты исследований с точки зрения обоснования существования и единственности решения краевых задач для уравнения Эйлера-Дарбу. Однако основные исследования отмечены.

В начале 90-х годов в статье [20] В.Ф. Волкодавовым был поставлен ряд краевых задач со специальными условиями сопряжения на характеристике для уравнений гиперболического типа. Введение этих условий связано с трудностями, возникшими при решении некоторых краевых задач для уравнений гиперболического типа с непрерывными условиями сопряжения. В связи с тем, что эти задачи были введены сравнительно недавно, эта тема еще мало разработана и рассматривались такие задачи пока только учениками В.Ф. Волкодавова. Начальными работами по этой теме были статьи, написанные В.Ф. Волкодавовым [20], О.Г. Аристовой [2], И.Н. Федоровым [38], В.Ф. Волкодавовым и И.М. Сергиевской [18].

В представленной диссертации рассматриваются три краевые задачи для уравнения Эйлера-Дарбу, две из которых основаны на склеивании решений задачи Е (одной из задач, поставленных

В.Ф. Волкодавовым в статье [19]) и задач Дарбу для уравнения Эйлера-Дарбу с положительными параметрами, поставленных и решенных в настоящей диссертации, а третья - на склеивании решений задачи Е и задачи Дирихле для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу смешанного типа, решенной В.В. Пергуновым в своей диссертационной работе [28].

Первоначально целью настоящей диссертации являлось рассмотрение этих задач с последующим сравнением как существования или несуществования решений поставленных задач, так и методов доказательства теорем существования и единственности их решений, конечно, в случае, если эти теоремы имеют место, и результатов, полученных при этом. Эта идея кажется тем более интересной, что задачи первоначально должны были отличаться лишь одним из краевых условий, поставленным на границе области в первых двух задачах и на бесконечности (которая в формальном смысле так же является границей бесконечной области) в третьей. Но в процессе решения в условиях двух из поставленных задач произошли некоторые изменения, которые, как можно было ожидать, были подобны в обоих случаях, и в связи с этим результат диссертации стал охватывать не только все изложенное выше, но и возможную модификацию задач подобных поставленным в диссертационной работе.

Перейдем к краткому изложению содержания глав диссертации.

Предлагаемая диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основной целью диссертации было рассмотреть и сравнить три краевые задачи для одного дифференциального уравнения. Различие в постановке этих задач должно было заключаться лишь в изменении одного из краевых условий.

Действительно, если произвести замену J; - х + у, т] = х — у, а = p + q, J3 = p-q в уравнении (2.1.1), то мы придем к уравнению

Ф] = Uxx ~ Uyy + aix> уК + ь(х> У)11 у = где а(х, у) =

2q У

-х < у,

2 р b(x,y) = у<-х< 0.

2 р

-х < у,

У 2q

-,у< -х < 0. х

При этом множество G перейдет в множество D' = D2 и Д и D0, где А = {(х,х + >0,х-</г,<О}, D2 ={(jc,.y)|x + iy<0,х-y<h,x>0}, D0 = {(x,y)\0<y<x,y<h-x}.

Условия задач 3.1.1 и 3.1.2 станут аналогичными условию задачи 4.1.1 с той лишь разницей, что условия 4.1.3 и 4.1.4 исчезнут, а условие 4.1.2 будет изменено либо на условие (1.2.1) (в задаче 2.1.1), либо на условие (1.2.13) (в задаче 2.1.2) при указанных значениях переменных | и 7 и параметров а и Р, Необходимо также отметить, что характеристические треугольники в этих двух задачах взяты в более общем случае, чем в задаче 4.1.1, а именно, в задаче 4.1.1 берется h = 1. ж У

В задаче 3.1.2 параметры уравнения (*) были изменены подобно тому, как это было сделано при решении задачи 4.1.1, а именно, в области D0 а = р2 + q, Р = р2 - q, а на множестве D2<jD1 a = pl+q,P = pl-q.

Доказательства теорем единственности решений поставленных задач были практически однотипны. Они проводились на основании принципов локального экстремума, доказанных ранее.

При изучении вопроса существования решения задачи 3.1.1 мы пришли к сингулярному интегральному уравнению с непрерывной правой частью и слабой особенностью в ядре, которое методом регуляризации Карлемана было приведено к интегральному уравнению Фредгольма, доказательство существования и единственности решения которого проводится с помощью теории Фредгольма.

При доказательстве существования решения задачи 3.1.2 путем преобразований, показанных в третьем параграфе третьей главы, мы пришли к уравнению Вольтерра с непрерывной правой частью и слабой особенностью в ядре, существование и единственность решения которого непосредственно следуют из теории Вольтерра и единственности решения поставленной задачи.

Доказательство существования и единственности решения задачи 4.1.1 как бы обобщило обе решенные ранее задачи и вобрало в себя все методы, применяемые для них. Отметим, что эта задача является, в отличии от первых двух, задачей для уравнения смешанного типа, что достигается введением в уравнение функции Sgny как множителя перед вторым слагаемым, таким образом возникает область эллиптичности у > 0. Сначала задача 4.1.1 была поставлена нами с одинаковыми параметрами р как в гиперболической, так и в эллиптической области. Но при доказательстве существования решения этой задачи мы столкнулись с теми же трудностями, что и при доказательстве существования решения задачи 3.1.2 и разрешили эту проблему так же, как и при решении этой задачи. В дальнейшем задача была приведена к сингулярному интегральному уравнению подобному уравнению, возникшему при решении задачи 3.1.1, способ решения которого тот же, что и при решении этой задачи.

В заключение я хочу выразить глубокую благодарность моему научному руководителю доктору физико-математических наук, члену-корреспонденту РАЕ, профессору Виктору Филипповичу Волкодавову за предложенную тему, постоянную помощь и внимание к работе.

1. Андреев А.А., Волкодавов В.Ф. О двух краевых задачах для одного гиперболического уравнения.// Волжский математический сборник. — Куйбышев, 1973. Вып. 23. — с. 102-112.

2. Аристова О.Г. Краевые задачи для одного уравнения гиперболического типа с вырождением на нехарактеристической кривой. Гнтегралып перетворешя та ix заспосувашя до крайових задач.// 36. наук. пр. — Ки в, ш-т матем. АН Укра ни — Вин., 1994, с. 3.

3. Бабенко К.И. К теории уравнений смешанного типа. —Успехи математических наук, т. 8, №2(54), 1953, с. 160.

4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — т. 2. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. — М., Наука, 1974. — 296 с.

5. Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа. -М., 1964. 664 с.

6. Берс А. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. — ИЛ., 1961г.

7. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. —М., Изд-во АН СССР, 1959. —164 с.

8. Бицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщенных линейных эллиптических краевых задачах. — ДАН СССР, т. 185, № 4,1969 г., с. 739-740.

9. Власов В.З. Избранные труды. I-III тома. — М., АН СССР, 1962-1964.

10. Волкодавов В.Ф. Принцип локального экстремума и его приложение к решению краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными.// Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук, Куйбышев, 1968.

11. Волкодавов В.Ф., Вельский В.Н., Пугач М.И. О решении задачи Трикоми для одного дифференциального уравнения смешанного типа в неограниченной области. — XXIX научно-техническая конференция инж.-строит. ин-та. Материалы докладов. —Куйбышев, 1972, с. 29.

12. В.Ф. Волкодавов, И.В. Мещерин, Н.Я. Николаев. О тождествах и интегралах, полученных при решении краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными. //Куйбыш. гос. пед. Ин-т. Куйбышев, 1984. 59 с. Деп. В ВИНИТИ 21.11.84, № 745584.

13. В.Ф. Волкодавов, Н.Я. Николаев. Об одной специальной функции двух аргументов, встречающейся при решении краевых задач. // Аналитически методы решения дифференциальных уравнений. (Куйбыш. гос. Ун-т). Куйбышев, 1986. - С. 42-46.

14. Волкодавов В.Ф., Николаев Н.Я. Интегральные уравнения Вольтера первого рода с некоторыми специальными функциями в ядрах и их приложения./ Изд-во «Самарский университет» — Самара, 1992,100 с.

15. Волкодавов В.Ф., Николаев Н.Я. Краевые задачи для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу: Учебн. Пособие/ Куйбышевск. гос. пед. ин-г. — Куйбышев, Педагогический институт, 1984, 80 с.

16. Волкодавов В.Ф., Николаев Н.Я. О новой задаче со смещением в неограниченной области для уравнений Эйлера-Дарбу с положительными параметрами (часть 1).// Математическая физика. Межвузовский Сб. Куйбышевск. политех, ин-т. — Куйбышев, 1979, с. 3-9.

17. Волкодавов В.Ф., Пергунов В.В. Краевая задача для уравнения Эйлера-Дарбу с отрицательными параметрами в неограниченной области. Часть II. Теорема существования решения задачи.// В Сб.: Дифференциальные уравнения. —Рязань, 1981, с. 20.

18. Волкодавов В.Ф., Сергиевская И.М. Новые краевые задачи для дифференциальных уравнений с двумя перпендикулярными линиями вырождения. —

19. Волкодавов В.Ф., Спицин B.JL, Федоров Ю.И. Краевые задачи для одной системы уравнений в жесткопластических средах.// В сб.: Дифференциальные уравнения (математическая физика). — Куйбышев, Пед. институт, т. 236, 1980, с. 36-45.

20. Волкодавов В.Ф., Томина Е.И. О единственности решения ряда краевых задач для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. —деп. в ВИНИТИ, № 547 — В93.

21. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Физматгиз, 1963,1100 с.

22. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. — М.: Физматгиз, 1962. — 767 с.

23. Краснов M.JL, Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1968. —192 с.

24. Кузнецов Д.С. Специальные функции. — М.: Высшая школа, 1965. — 423 с.

25. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. — М.: Гостехиздат, 1953.

26. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. — М.: Мир, 1980. —608 с.

27. Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа.// Дифференциальные уравнения. — Минск, 1969. т. 5, № 1. — с. 44-59.

28. Пергунов В.В. Доказательство существования и единственности решения краевых задач для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с локальными и нелокальными краевыми услэ-виями.// Диссертация на соискание ученой степени кандидата наук. — Куйбышев, 1983., с. 8283.

29. Пергунов В.В. Краевая задача Еа для уравнения Эйлера-Дарбу с отрицательнымипараметрами. — В сб.: Дифференциальные уравнения (математическая физика), Куйбышев, 1981., т. 248, с. 65-73.

30. Риман Б. О распространении волн конечной амплитуды. — M.-JL, Сочинения, 1948 г.

31. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск: Наука и техника, 1987. — 688 с.

32. Смирнов М.М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. — Минск: Вышей-шая школа, 1977. — 160 с.

33. М.М. Смирнов. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. -М.: Наука, 1966.

34. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. — М.: Высшая школа, 1985. — 304 с.

35. Соколовский В.В. Уравнения пластического равновесия при плоском напряженном состоянии. — ПММ, 1949,13, вып. 2, с. 219-221.

36. Станюкович К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды. — М.: Наука, 1971. —856с.

37. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. — (Перев. с итал.), M.-J1,1947.

38. Федоров И.Н. Задачи Е, N для одного частного случая уравнения Эйлера-Дарбу. Гнтегральш перетворешя та ix заспосувашя до крайових задач. 36. наук. пр. — Ки в, щ-т ма-тем. АНУкра ни — Вин., 1994.

39. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. — М.: Наука, 1969. — 800 с.

40. Франкль Ф.И. Обобщение задачи Трикоми и его применение к решению прямой задачи теории сопла Лаваля. // Матем. сб., т. 54, 96,2,1961. — с. 225-236.

41. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. — М., Наука, 1973.

42. Франкль Ф.И. О задачах С.А. Чаплыгина для смешанных досверхзвуковых течений.// Известия АН СССР, серия матем., 9, 2,1945. — с. 121-142.

43. Франкль Ф.И. О прямой задаче теории сопла Лаваля.// Учен. зап. Кабардино-Балкар. ун-та, вып. 3. 1959. с. 35-61.

44. Хайруллин Р.С. К теории уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу.// Известия высших учебных заведений, матем., № 11 (378) — Казань, 1993. с. 69-76.

45. Чаплыгин С.А. О газовых струях. — Собр. соч., т. 2, М.-Л., 1948.

46. Gellerstedt S. Sur un probleme aux limites pour une equation liniare aux derivees partielles du second orde de mixte. — These, Uppsala, 1935.

47. Gellerstedt S. Sur une equation liniare aux derivees partielles de tippe mixte. — Arkiv

48. Mat. Astr. och. Fysik. 29. 1937.

49. Darboux G. Legon sur latheorie des surfacer. — Paris, 1915.

50. Poisson S. Memoire sur l'integration des equations liniaires aux derivees partielles. — Journal de l'Ecole polutehnique, 12, ch. 19,1823.

51. Cibrario M. Sulla reduzione a forma canonica della equazioni liniare alle derivate parziale di seconde ardiene di tipo misto. — Rend Lombardo, 1932,65, p. 889-906.

52. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ АВТОРА

53. В.Ф. Волкодавов, С.В. Подклетнова. Новые тождества для функции 3 F2.// 1нтегральш перетворенк та ix заспосуванк до крайових задач. 36. наук. пр. Ки в ш-т матем. АН Укра ни, 1994. - Вин. б., с.56-57.

54. Подклетнова С.В. Задача Е для одного гиперболического уравнения с двумя линиями вырождения.// Тези доповщей третьо1 МЪкнародно науково конференп м. академпса М. Кравчука, Ки в, 1994 p., с.-94.

55. Подклетнова С.В. Задача Коши для некоторых значений параметров уравнения Эйлера-Дарбу. Доклады 51-й научной конференции СГПУ. Самара, 1997. - С. 66-75.

56. Подклетнова С.В. Некоторые краевые задачи для частных случаев уравнения Эйлера-Дарбу. // 1нтегральш перетворенк та ix заспосуванк до крайових задач. 36. наук. пр. -Ки в ih-т матем. АН Укра ни, 1996. № 11 С.160-196.

57. Подклетнова С.В. Новая краевая задача для уравнения Эйлера-Дарбу.// Тезисы докладов областной 55-й научно-технической конференции СамГАСА. Самара, 1998.

58. Подклетнова С.В. О новых тождествах для функции R{. КГПИ, 4 е., ВИНИТИ, 21.04.92, № 1336-В92.

59. Подклетнова С.В. Постановка двух краевых задач для уравнения Эйлера-Дарбу и теоремы единственности их решений (часть 1).// Тезисы докладов областной 56-й научно-технической конференции СамГАСА. Самара, 1999. - С. 53-54.

60. Подклетнова С.В. Принцип локального экстремума для уравнения Эйлера-Дарбу с двумя линиями вырождения и положительными параметрами.// Тезисы докладов V Россий98ской научно-техническая конференция ПГАТИИ. Самара, 1998. - С. 55.

61. Подклетнова С.В. Теоремы существования решения двух краевых задач для уравнения Эйлера-Дарбу (часть 2).// Тезисы докладов областной 56-й научно-технической конференции СамГАСА. Самара, 1999. - С. 54-55.