Краевые задачи с интегральными и локальными условиями для дифференциальных уравнений второго порядка, вырождающихся в одной точке тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

РГо ол 28 НОЯ 2000

Васильева Ольга Альбертовна

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ И ЛОКАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ В ОДНОЙ ТОЧКЕ

ОН-

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Самара 2000

Работа выполнена на кафедре высшей математики в Самарской государственной архитектурно-строительной академии.

Научный руководитель: Заслуженный деятель науки РФ

доктор физико-математических наук, профессор В.Ф. Волкодавов.

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук, профессор А.Н. Зарубин, Кандидат физико-математические наук, доцент A.A. Андреев.

Ведущая организация: Казанский государственный педагогический университет.

Защита состоится 13 декабря 2000 года в 17 часов на заседа нии диссертационного совета К. 113.17.02 по присуждении ученой степени кандидата физико-математических наук в Самарском государственном педагогическом университете по адресу: 443090, г. Самара, ул. Антонова-Овсеенко, 26, ауд. 201.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарскогс государственного педагогического университета по адресу 443099, г. Самара, ул. М. Горького, 65/67.

Автореферат разослан / 0 2000 г.

Ученый секретарь /

диссертационного совета_.//_к.ф.-м.н., доцент Носов В.А.

В 1С/. 6£6.Х-$}03

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Развитие современного естествознания приводит к возникновению качественно новых задач в теории дифференциальных уравнений в частных производных. В последнее время особое внимание математиков привлекают задачи, названные нелокальными.

Теория краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений исследовалась еще в работе Д. Гамаркина в 1917 г. на нелокальные краевые условия, возникшие в теплопроводности, указывали В.А. Стеклов в 1922 г. и Ф.И.Франкль в 1956 г. Однако особое внимание эти задачи привели после публикаций работ A.B. Бицадзе и A.A. Самарского в 1969 г. и A.A. Самарского в 1980 году.

К нелокальным задачам можно отнести различные задачи, в т.ч. задачи типа Франкля. Эти задачи для уравнений смешанного типа исследовали Ю.В. Девингталь, А.П. Солдатов, К.Б. Сабитов. Рассмотрению следующего класса нелокальных задач, т.е. задач со смещением, посвящены работы значительного числа математиков, в частности, В.И. Жегалова, A.M. Наху-шева, В.Ф. Волкодавова, Н.Я. Николаева. К нелокальным задачам можно отнести и задачи с интегральными условиями. Возникновение условий подобного рода обусловливается тем, что зачастую невозможно измерение точных характеристик искомой величины. В таких случаях пользуются усредненными (интегральными) характеристиками упомянутых величин. Подобные задачи возникают, например, при исследовании физики плазмы1, при математическом моделировании демографических процессов2. Задачи с интегральными условиями для уравнений гиперболического и параболического типа изучались В.Ф. Волко-давовым, Н.И. Ионкиным, A.C. Пулышной и т.д.

Настоящая работа посвящена доказательству существования и единственности решения ряда новых краевых задач с интегральными и граничными условиями для некоторых уравнений гиперболического типа, вырождающихся в одной точке. В ней продолжаются исследования, проводившиеся для задач такого рода A.C. Пулькиной, Н.Д. Голубевой, A.A. Игнаткиной, H.A. Мижаревой.

1 Самарский А. А .О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравпеиия. - 1980. Т. 16. № 11. - С. 1925-1935.

2 Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. - M.: Высшая школа, 1995. 304 с.

Цель работы. Целью настоящей работы является постановка новых задач с интегральными и граничными условиями и доказательство теорем существования и единственности классического решения этих задач для уравнений гиперболического типа с вырождением в одной точке.

Методы исследования. При исследования задач, изучаемых в данной работе, использованы классические методы решения дифференциальных уравнений с частными производными и интегральных уравнений: метод Римана, принцип локального экстремума, метод последовательных приближений, теория интегральных уравнений Вольтерра II и III рода, а также аппарат специальных функций.

Научная новизна. В работе доказаны существование и единственность решений ряда известных краевых задач с интегральными условиями и задач с условиями сопряжения по производной по нормали и производной дробного порядка. Впервые поставлены некоторых краевые задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения, вырождающегося в одной точке, доказаны существование и единственность их решений. Решения этих задач получены в замкнутой форме.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми в указанном смысле и имеют теоретический характер, продолжая исследование краевых задач с интегральными условиями для некоторых известных уравнений гиперболического типа. Результаты предлагаемой работы могут быть использованы в качестве основы при дальнейших исследованиях, например, в доказательстве существования и единственности решений поставленных задач для указанных уравнений при других значениях параметров, а также при решении уравнений более общего вида.

На защиту выносятся;

На защиту выносятся следующие результаты:

1) Доказательство существования и единственности решения краевых задач с интегральными и локальными условиями для уравнения

в области О* = :0<х<И,0 <у<И), /г > 0.

2) Доказательство существования и единственности решения задачи с условиями сопряжения по производной по нормали и производной дробного порядка для уравнения (1)

на множестве С — и С, где

О = {{х,у)\-у<х<к,у<Щ, Л>0.

3) Доказательство существования и единственности решения серии новых краевых задач А1, / = 1,7. Решения построены в явном или замкнутом виде.

4) Доказательство существования и единственности решения двух новых краевых задач для уравнения

ич,+-2-{их+и,)= О, д>\, (2)

' х + у

на неограниченном множестве С='С+иС", где

G+ = {(л;.у) :1г<х<у< +оо}, 0~ = {(х,.у) :Ь<у<х< ,

¡г > 0 с условиями сопряжения на линии у — х.

Апробадни работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах 1998-2000 г.г.:

- в Самарской государственной архитектурно-строительной академии (Самара, 1998 г., научные руководители профессор В.Ф. Волкодавов, профессор Н.Я. Николаев),

- в Самарском государственном педагогическом университете (Самара, 1999, 2000 г., научный руководитель профессор В.Ф. Волкодавов),

- в Самарском государственном университете (Самара, 2000г., научный руководитель профессор О.П. Филатов),

а также

- на ежегодной научно-технической конференции сотрудников СамГАСА по итогам НИР за 1998, 1999 г. (Самара, 1998, 1999 г.),

- на Международной конференции "Актуальные проблемы математики и механики", (Казань 1-3 октября 2000 г.).

Публикация. Основные результаты данной диссертационной работы представлены в работах [1] - [8] из списка публикаций, приведенных в конце автореферата. Работа [1] выполнена в соавторстве с научным руководителем В.Ф. Волкодавовым.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 96 страницах и состоит из введения, двух глав и списка литературы, который содержит 48 наименований.

Содержание работы. Во введении дан краткий обзор известных нелокальных задач, в т.ч. задач с интегральными условиями, а также кратко охарактеризованы результаты проделанной научной работы, изложенные автором в последующих главах.

Глава I составляет основное содержание работы. В ней доказывается существование и единственность решения двух задач с интегральными условиями с постоянными верхними пределами, двух задач с интегральными условиями с переменными верхними пределами, задачи с условиями сопряжения по нормали и по производной дробного порядка, а также серии задач Д, / = 1,7 для уравнения (1).

В начале первого параграфа приведены сведения о решении задачи Гурса для уравнения (1), которое в дальнейшем используется для доказательства существования и единственности решения задач первого и второго параграфа этой главы. Решение задачи Гурса в области с данными

найдено В.Ф. Волкодавовым и Н.Я. Николаевым[11]. Оно имеет вид

у ' Л

у-г

а,/3,\,

л+

(3)

+ х"в \с2№а+*« + угЫаМ

X V

Л,

где

С2(о = </(0 + уИ0,р(0) = КО) = о, <р{у), цг{х) е с}0м.

в

Рассмотрим это решение при а = 0. Дадим постановку задач, о которых говорилось выше.

Задача I. Найти функцию Ц+(х,у) со свойствами:

1) С/+(х,у)еС(0+);

2) существуют частные производные С/* е С(0+);

£/; е С(0), и* е ф);

3)Ци+)^0;

4) С/+(х,у) удовлетворяет условиям:

а

¡и+(х,у)<Ь = я(у), 0<а<1г,

о

ь

= /(*), О<Ь<И

о

Используя формулы (3) для данной задачи нами доказана Теорема 1. Если §(>') е С^/,] п С(0/(.г) ё С^ Л], то функция и+(х,у), определенная формулой

'•-я '„п1 +

является единственным решением задачи I, непрерывно зависящим от краевых функций. При доказательстве этой теоремы использовались некоторые свойства интегралов, от гипергеометрических функций. Задача, аналогичная задачи I, поставлена нами и для случая ¡5 = 0, а ^ 0. Для нее также сформулирована и доказана теорема существования и единственности решения.

Вторая часть параграфа посвящена обоснованию существования и единственности решения задачи в следующей постановке:

Задача П. Найти функцию 11+(х,у) со свойствами 1) - 3) задачи I и краевым удовлетворяющую условиям

J' U4x,y)dy = <p(x), о

J U\x,y)dx = v(y). 0

При доказательстве существования и единственности решения данной задачи мы приходим к уравнению Вольтерра III рода, которое решили методом последовательных приближений. Накладывая необходимые ограничения на краевые функции, мы убеждаемся в том, что справедлива

Теорема 2. Если функции (р{х), ц/(у) удовлетворяют условиям rp'(x) = (p0(x)-x]+s, i//(x) = y/0(x)-x2+ö, ipQ(x), щ(х) е С[т, у/'{х) - ц/\ (х) • х, ^(л:)eC[0iA], то существует единственное решение задачи II для уравнения (1), непрерывно зависящее от краевых функций.

Решение данной задачи записано нами через резольвенту ядра соответствующего интегрального уравнения. Аналогичным образом доказана и теорема существования и единственности решения задачи II в случае ß = 0, а Ф 0.

Во втором параграфе первой главы рассмотрена задача III с интегральными условиями и условиями сопряжения по производной по нормали и производной дробного порядка в области

= {(x,y):-y<x<h, j<0}. Решение этой задачи проводится по следующей схеме. Используя решения двух вспомогательных задач, мы доказываем,

что справедлива

Теорема 3. Если т(х)еС^0ц, v(x) е С[0/)], то решение задачи

Коши для уравнения (1) в области G существует и единственно. Далее поставлена

Задача IV. Найти функцию U~(x,y), удовлетворяющую условиям

1) U~(x,y) непрерывна в C(G);

2) Ux, Uу непрерывные в C(G~); U^JJyx е C(G)

3) = 0;

4) U (х,у) удовлетворяет условиям

а

ju-(x,y)dx = g(y),-h<y< О, о

о

J U~(x,y)dy = <р(х), 0<x<h.

-х

а также условию сопряжения

ß h ß Um —f 0t-yyÄUf(x,t)dt = p(x) tim —U~(x,y), (1.2.7)

где pyx) 6 C[0;/)], 0 < X < 1.

Используя аппарат гипергеометрических функций, мы получим, что справедливы следующие утверждения.

Теорема 4.Если функции , ,g(>') и р(х) = хк таковы, что

ф'(х) Щ{х) • X1, щ(х) е Cj,м, g(>') е п С\т,

к + Л - г - 2 > О, 0 < А < 1, 0 < ß < 1, то решение задачи IV для уравнения (1) существует и единственно.

В третьем параграфе мы рассмотрели серию задач Д, i = 1,7, для уравнения (1) в области G = : 0 < X < J; < //}. Каждая из

этих задач имеет одно интегральное и одно граничное условие. При решении данных задач использовалось решение задачи

Коши с данными U(x,x) = т(х), (Uх — Uу )| _ =v(x), полученное

В.Ф. Волкодавовым, и которое при а = О имеет вид

У '

U(x,y) = r(y) - 2р-х J [КО + r'{i)\tß(t + уГр dt

х

v(x)e

г(*)е С[0,А] •

Кроме того, поскольку схемы решения задач весьма различны между собой, для решения рассматриваемых задач применяем следующие методы: метод последовательных приближений, методы решения систем функциональных уравнений и т.д. При решении одной из задач нами использовался принцип локального экстремума.

V

Вторая глава настоящей работы посвящена обоснованию существования и единственности задачи V™ с интегральными условиями и задачи К2°°с интегральным и граничным условиями на неограниченном множестве G = G+ u G~, где G+ = {(*,>') :h<x<y< -ню}, G~ = {(*,>>) :h<y< х< -к»}, h > 0.

Задача Fj00. На множестве G найти решение уравнения (1.1.1), удовлетворяющее условиям:

1) U(x,y)eC(G)\

2)существуют частные производные UX,UV eC(G),eC(G);

3) L(U) = 0;

4) U(x,y) удовлетворяет условиям:

+ 00

U{x,y)dy = <р{х), X е [0;+оо),

дг

U(xfi) = y/{x), хе[0;+со), и условию сопряжения

lim —UA= lim (Ux-Uv).

В результате подчинения функции, являющейся решением задачи Коши, интегральным условиям нашей задачи, и решения полученной системы интегральных уравнений, мы приходим к выводу, что имеет место

Теорема 2. Если функции <р(х),у/(х),<р'(х),у/'(*) имеют представления

♦W-Äl»'.

(1 + хр (1 + х)2

,>2. = >2,

(l + x)'3 (l + x)'4

где (р{) (х), щ {х), <р{ {х), у/\ (х) е

<р\х), у"(х) е С№+О0), ф'(0) = у/(0) = 0,

Г/00

то решение задачи у j существует, единственно и удовлетворяет всем условиям поставленной задачи.

ю

В заключение этой главы исследуется задача V™ для уравнения $0.

Задача У^. Найти решение уравнения и(х,у), удовлетворяющее условиям 1) - 3) задачи V™ и условию

| и(х,у)ск=, у е [/г;+со).

Здесь используется решение задачи Коши, полученное С.П. Пулышным, имеющее вид:

Щх,у) = -т(х)

2х У 1 . ч

х + у) 2

С т Л9 ' 2У

х + Уу

у

<7,1 - <7,1,

+- ?)(* + (>' - 4 гаха)»-1

X

1 +<7,2-<7,2,

(1-х)(у-р 2^х + у)

(к.

С:

и(у ^=1гГг)Г +1гГ 2 2

<7,1 -

2фг + >0 .

Л +

(4)

х F

1 + <7,2 - <7,2,

2г{х+у)

Л.

п

используя формулы (4) вычисляя интегралы от гипергеометрических функций, и накладывая необходимые ограничения на краевые функции, мы доказываем, что справедливо следующая Теорема 2. Если <р(х)^(х),<р'(х),£'(х) е С[Л +оо),

<р{х) = ^-,г9> 1 + *, <рХх) = ^,ги>д, х"* х

= ^ Г10 > 1 + ,, у>(х) = ГП > д, X х

Фо(х),р1(х),уг0(х),щ(х) е СмпМ[й+а5),

то решение задачи V™ существует и единственно.

Основное содержание диссертации изложено в следующих работах:

1. Волкодавов В.Ф., Васильева O.A. Задача с интегральными условиями для уравнения Пулькина гиперболического типа. Тезисы докладов международного семинара "Дифференциальные уравнения и их приложения". Самара 25-29 июня 1996, С. 40.

2. Васильева O.A. Задачи с интегральными условиями (интегралы с конечными пределами) для одного уравнения гиперболического типа с вырождением в одной точке. Тезисы докладов областной научно-технической конференции СамГАСа, Самара, 1999, С. 50-51.

3. Васильева O.A. Две задачи с интегральными условиями для одного уравнения гиперболического типа. Доклады 53-й научной конференции, Самара: СГПУ, 1999, С.6-8.

4. Васильева O.A. Задача с интегральными условиями для одного уравнения гиперболического типа с условиями сопряжения на характеристике по производной по нормали и производной дробного порядка. Математическое моделирование и краевые задачи. Труды 9 межвузовской конференции. Самара 25-27 мая 1999,4.3, С. 21-23.

5. Васильева O.A. Задача с интегральными и граничными условиями для одного уравнения гиперболического типа. Доклады 54-й научной конференции, Самара: СГПУ, 2000, С. 17-18.

6. Васильева О.А Две задачи для одного уравнения гиперболического типа с коэффициентом обращающимся в бесконечность в одной точке. Доклады 54-й научной конференции, Самара: СГПУ, 2000, С. 19-21.

7. Васильева O.A. Задача с интегральным и граничным условиями для уравнения гиперболического типа с вырождением в одной точке границы области.

8. Васильева O.A. Актуальные проблемы математики и механики. Материалы Международной научной конференции. КГУ, Казань, 1-3 октября 2000 г. с.258.

Введение.

Глава I. Задачи с интегральными условиями с переменными и постоянными пределами для одного уравнения гиперболического типа в ограниченных областях.

Глава II. Задачи с интегральными локальными условиями для одного уравнения гиперболического типа в неограниченных областях.

Теория дифференциальных уравнений с частными производными начала развиваться в 20-е годы нашего столетия и до настоящего времени считается одной из наиболее ценных областей математики в смысле практического применения. Говоря о практической значимости этой теории, можно, в частности, сказать о магнитогидродинамических течениях с переходом через скорость звука, о течениях жидкости в открытом русле, задачах механики сплошных сред, безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака, о теории плотности и о многих других вопросах. Более подробно об этом упоминается в работах Ф.Трикоми [43], Л.Берса [3], Ф.И.Франкля [46], А.М.Нахушева [33] и др.

Новейшие исследования в теории естествознания приводят к необходимости более глубокого и полного изучения некоторых разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных.

О важности рассмотрения новых задач говорил A.A. Самарский в работе [40], где приведены примеры математических интерпретаций задач, подготовленных при изучении реальных физических процессов.

Очень важное значение при практическом применении имеет уравнение иху+—их+—иу+ С 2и = 0. (1) х-у х-у у (х-у)2

Впервые это уравнение было рассмотрено Эйлером при а — b = т, с = п, т,п Ei N при изучении движения воздуха в трубах постоянного и переменного сечений, а также колебания струн переменной толщины. Самое общее решение этого уравнения при указанных параметрах, как и вообще линейного уравнения гиперболического типа, было дано Риманом. Им же в статье [39] было показано, что точное уравнение адиабатического и обратного движения газа в трубе постоянного сечения в случае, когда во всех частицах энтропия единичной массы одна и та же, в характеристических координатах сводится к уравнению (1) при указанных значениях параметров.

В разработке теории этого уравнения принимали участие Пуассон [35] и Дарбу [21], поэтому его принято называть уравнением Эйлера- Пуассона-Дарбу.

Большая практическая ценность способствует развитию теории уравнения (1).

Среди работ, посвященных исследованию этого уравнения, следует отметить работы А.М.Нахушева [32], работу В.Ф.Волкодавова и Н.Я.Николаева [11], учебное пособие В.Ф.Волкодавова и Н.Я.Николаева

12], работы В.Н. Захарова [22], [23], В.В. Пергунова [34], Е.И.Томиной

13], [41],О.В. Юсуповой [13], [47], [48], О.К.Быстровой [6], [7] и др.

Однако поскольку многие уравнения смешанного типа в областях гиперболичности сводятся к уравнению Эйлера-Пуассона-Дарбу (например, обобщенное уравнение Трикоми, уравнение Кароля, ряд уравнений смешанного типа с вырождением типа и порядка и т.д.), то вышеописанные работы не охватывают всей полноты исследований, проведенных по данной теме. Тем не менее укажем, наиболее значимые работы.

В 1993 г. была опубликована статья [14], в которой дано доказательство существования и единственности решения задач Е, N,

Е, Е+9, М+ для уравнения колебания струны, изучаются новые принципы локального экстремума, а также поставлены новые краевые задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе и доказаны теоремы единственности решения этих задач.

В 1994 г. в Киеве выходят в свет статьи [1] и [44]. Автором первой из них рассматривается уравнение Л

Я Р 0, р,де(ОД) на множестве (гА и где 0к = {(х,у) : у < /+(х) < у < к], {/(к)) = к, к е (0;+оо), / (х) - четная, строго убывающая непрерывная функция,

0+и = {(х,у): х > 0, /+(х) < у < к }, /+(0) = О,/+(/+(*0) = Л, г е (0,+оо), /+{х) - четная строго возрастающая непрерывная функция. В этой статье приводится доказательство существования и единственности решения задач О,ТУ,,,,, Е+,,Е, С+,Е+,С для рассмотренного уравнения.

Во второй из упомянутых статей автор доказывает существование и единственность решений задач Е и N для уравнения х + У)иху +аиу=0 на множестве Ок =(? иС+, где {(х,у): 0 < -х < у < к} = : 0 <х < у<к}.

Основным уравнением, изучаемым в предлагаемой к рассмотрению диссертационной работе, является уравнение ¿>0: и +-У—(их+и)= 0. х + у

Впервые уравнение было получено профессором С.П.Пулькиным в связи с рассмотрением одной пространственной задачи. Подробное изучение с точки зрения доказательства существования и единственности решения ряда краевых задач было проведено С.П. Пулькиным в работе [36]. В этой статье впервые им поставлены и решены задачи Коши, Дарбу +(СЬ), Коши-Гурса (СЬ') и Гурса (СО). В указанной работе впервые построены функции Римана-Адамара с учетом симметрии уравнения относительно линии у — X.

Исследования С.П.Пулькина были продолжены диссертационными исследованиями А.Д. Бочкарева. Им для уравнения

1/ )+ а{х,урх + Ь(х,уру +Си = О, х + у доказаны существование и единственность решения тех же задач, которые были для уравнения ¿>0 поставлены и решены С.П.Пулькиным.

В дальнейшем исследованиями по уравнению занимались Волкодавов В.Ф., Невоструев Л.М., Коржавина М.В. и ряд других математиков. Доказаны различные принципы локального экстремума и найдены решения новых краевых задач для уравнения в частности (см. [25], [26]).

Перейдем к краткому изложению содержания диссертационной работы.

Настоящая работа состоит из двух глав.

Первая из них посвящена доказательству существования и единственности решения краевых задач с локальными и интегральными условиями в ограниченной области для уравнения и о, (2) х + уьдлу

Наше уравнение принимает либо вид иху+-Р-их= 0 (в (3) х + 7 либо иху--Р-их=0 (в С"), (4) х-у где G+ = {(х,у): 0 < х < /г, О < у < /г}, G~ = {(x,j/): - у < х < И], у < О, т.е. является уравнением, вырождающимся в одной точке. Мы можем называть это уравнение уравнением Эйлера-Пуассона-Дарбу, поскольку при замене у на — у мы приходим к частному случаю этого уравнения.

В первом параграфе рассматриваются две задачи с интегральными условиями с постоянными и переменными верхними пределами. Задача I этого параграфа может быть сравнена с задачей Нх в статье H.A. Мижаре-вой [30].

Однако решение этой задачи ведется с использованием решения задачи Коши с данными U(x,x) = rix), (Ux —Uv) = v(x), а не с ис у=х пользованием общего решения уравнения (2), как в указанной работе.

Новым здесь является доказательство существования и единственности решения задачи с интегральными условиями с переменными верхними пределами.

Впервые задачи подобного типа были поставлены и решены Л.С.Пулькиной. В дальнейшем доказательством существования и единственности решения краевых задач с переменными верхними пределами занимались В.Ф. Волкодавов, Н.Д. Голубева (см [18], [19]) и другие.

При решении наших задач мы приходим к такому уравнению Воль-терра II рода, которое решаем методом последовательных приближений неизвестна, и, накладывая необходимые ограничения на краевые функции, получаем решение данного уравнения.

Новой является и задача, рассматриваемая во втором параграфе этой главы. Эта задача имеет интегральные условия вида: а

J U(x,y)dx = g(y), 0 <a<h, 0 <y<h, о

J U(x9y)dy = <р(х), X e [0, h],

-x а также условие сопряжения, связывающие производную по нормали и производную дробного порядка

Рассматривая далее две вспомогательных задачи и используя свойства гипергеометрических функций, мы приходим к системе уравнений, исследуя которую, получаем решение поставленной задачи.

Третий параграф настоящей главы посвящен доказательству существования и единственности решения серии задач г — 1,7. Впервые задачи этой серии были рассмотрены В.Ф. Волкодавовым и С.В.Бушковым в работе [16] для уравнения гиперболического типа.

Кроме того, эти задачи могут быть соотнесены с серией задач

Nj, i = 1,12, рассматриваемых Н.А.Мижаревой в той же работе [30], однако задачи А-г, г — 1,7 имеют и иные интегральные условия и, следовательно, являются новыми для уравнения S0.

Доказательство существования и единственности решения этих задач ведется с использованием решения задачи Коши.

В задачах А^ i = 1,7 каждая имеет одно интегральное условие с переменным верхним или нижним пределом и одно локальное условие. Однако методы решения данных задач весьма различны, т.е., например, если в задаче А2 мы приходим к алгебраической системе уравнений и, решая ее, получаем решение поставленной задачи, то в задаче А7 нам приходится рассматривать уравнение Вольтерра III рода, которое решаем методом последовательных приближений. h у

В второй главе предлагаемой работы доказывается существование и единственность решения двух задач для уравнения Sq в неограниченных областях: G = {(х,у) : 0 < х < +оо, 0 < у < +оо} для задачи V{° и

Gh = {(x,j>) : h < х < +оо, h< у < +oo, h > 0} для задачи F2°°, причем

F-CO

2 имеет следующие интегральные условия: 00

J U(х, y)dx = g(y), h < х < +оо, у

00

J и(x,y)dy = Ф(х), h<y<+ со, х и обе задачи имеют условия сопряжения на линии у = х. Задачи V™ и

V~2 могут быть сравнены с задачами, рассмотренными H.A. Мижаревой в работе [31]. Однако если задачи, исследуемые в указанной статье, имеют условия с конечными пределами, то в данной диссертационной работе верхние пределы интегрирования в условиях задач бесконечны. Общим является то, что и в тех, и в других задачах один из пределов интегрирования является переменным.

Вышеизложенное позволяет утверждать, что задачи, изучаемые во II главе данной работы, могут считаться новыми для уравнения Sq .

В заключение выражаю глубокую и искреннюю благодарность моему научному руководителю, доктору физико-математических наук, члену-корреспонденту РАЕ, профессору Виктору Филипповичу Волкодавову за постоянную помощь и внимание к работе.

1. Аристова О.Г. Краевые задачи для одного уравнения гиперболического типа с вырождением на нехарактеристической кривой. 1нтегральш пе-ретворешя та ix заспосувашя до крайов1х задач. 36. Наук. пр. - Кшв, шт Матем. АН Украши, 1994.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1974,-295с.

3. Берс А. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. И-Л. 1961.

4. Бицадзе A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщенных линейных эллиптических уравнений. ДАН, СССР, Т. 185, №4, 1969, С. 739-742.

5. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа. Изд-во АН СССР М., 1959.

6. Быстрова O.K. Исследование по краевым задачам для двух уравнений гиперболического типа с п линиями слабого вырождения. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными. Куйбышев: КГПИ, 1988. С. 90-96.

7. Быстрова O.K. Построение функции Римана для двух уравнений гиперболического типа и задача Коши. Аналитические методы решения дифференциальных уравнения. Куйбышев: КГПИ, 1988, С. 30-36.

8. Владимиров B.C. Уравнение математической физики. М.: Наука, 1954, -512с.

9. Волкодавов В.Ф., Николаев Н.Я. Краевые задачи для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. Учебное пособие по спец. курсу "Уравнения математической физики". Куйбышев: КГПИ, 1984, С. 3-25.

10. Волкодавов В.Ф., Юсупова О.В. Об одном решении уравнений гиперболического типа с двумя линиями вырождения. Доклады 53-й научной конференции. Самара: СГПУ, 2000, С. 12-14.

11. Волкодавов В.Ф., Томина Е.И. О единственности решения ряда краевых задач для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Деп. В ВИНИТИ, № 547 -В93.

12. Голубева Н.Д. О разрешимости одной нелокальной задачи для вырождающегося гиперболического уравнения. Тезисы докладов IV международной конференции им. академика Кравчука. Киев, 1995, 75с.

13. Голубева Н.Д. Задачи с нелокальными интегральными условиями для вырождающегося гиперболического уравнения. Деп. ВИНИТИ от 18.09.95 № 2579-В95, -42с.

14. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов сумм рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963, С. 304.

15. Darboux G. Legón sur la theorie des surfacer Paris, 1915.

16. Захаров B.H., Волкодавов В.Ф. Вычисление некоторых сингулярных интегралов со специальными функциями гипергеометрического типа. Сборник научных трудов. Дифференциальные уравнения. Орский пединститут. Орск, 1972, С. 11-16.

17. Захаров В.Н., Волкодавов В.Ф., Николаев Н.Я., Быстрова O.K. Функция Римана для некоторых дифференциальных уравнений в N-мерном евклидовом пространстве и их применение. Самара, СГУ, 1992, С.80.

18. Коржавина М.В. Краевая задача для уравнения S с кусочно постоянным параметром в неограниченной области. Дифференциальные уравнения. Межвузовский сборник научных трудов. Самара, 1995. С. 15-18.

19. Коржавина М.В. Единственность решения краевой задачи в неограниченной области с одним граничным условием. Доклады 51-й научной конференции, Самара: СГПУ, 1997, С. 51-53.

20. Коржавина М.В. Единственность решения задачи Е для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. Доклады 53-й научной конференции, Самара: СГПУ, 1999, С. 19-21.

21. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. М.: ГИФМЛ, 1962, -767с.

22. Краснов M.J1. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968, -192с.

23. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.2. М.: Высшая школа. 1988,-712 с.

24. Нахушев A.A. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995, 304 с.

25. Нахушев A.A. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа. Дифференциальное уравнение Т.5, №1. Минск, 1969, С. 44-59.

26. Пергунов В.В. Краевая задача Еа для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с отрицательными параметрами. Дифференциальные уравнения (математическая физика). Куйбышев, 1981, Т.248, С. 65-73.

27. Poisson S. Memore sur e'intergration desequations lineares aux derivees par-tieeles/ Journal de l'ecole polutechhigue, 12, ch 19, 1823.

28. Пулькин С.П. Некоторые краевые задачи для уравненийио±и„+^их= оXКуйбышев: КГПИ ученые записки. Вып. 21. 195 8, С.3-41.

29. Пулькина JI.C. Об одной не локальной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения. Математические заметки, 1992, Т.51. №3, С.91-96.

30. Пулькина JI.C. Об одной неклассической задаче для вырождающегося гиперболического уравнения. Известия высших учебных заведений. Математика, 1991, №11, С.48-51.

31. Риман Б. Распространение волн конечной амплитуды. M.-JL, 1948.

32. Самарский A.A. О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений. // Дифференциальные уравнения. 1980. Т16. № 11,С. 1925-1935.

33. Соболев C.JI. Уравнение математической физики. М.: Наука, 1966, -443с.

34. Томина Е.И. Обобщенная задача Т для уравнения ЭПД в неограниченной области. . Доклады 53-й научной конференции, Самара: СГПУ, 1999, С. 32-34.

35. Трикоми Ф. О линейных уравнения в частных производных второго порядка смешанного типа, (перевод с итальянского) M.-JI. 1947.

36. Федоров И.Н. Задачи Е, N для одного частного случая уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. 1нтегральш перетворешя та ix заспосувашя до крайов1х задач. 36. Наук. пр. Kuíb, íh-t Матем. АН Украши, 1994.

37. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1959.

38. Франкль Ф.И. О прямой задаче теории сопла Лаваля. Ученые записки Кабардино-Балкарского университета. Вып. №3, 1958, С. 35-61.

39. Юсупова О.В. Задача F3 для одного вырождающегося уравнения гиперболического типа с интегральными условиями. Доклады 52-й научной конференции. Самара, СГПУ, 1998, С. 137-139.

40. Волкодавов В.Ф., Васильева O.A. Задача с интегральными условиями для уравнения Пулькина гиперболического типа. Тезисы докладов международного семинара "Дифференциальные уравнения и их приложения" . Самара 25-29 июня 1996, С. 40.

41. Васильева O.A. Задачи с интегральными условиями (интегралы с конечными пределами) для одного уравнения гиперболического типа с вырождением в одной точке. Тезисы докладов областной научно-технической конференции СамГАСа, Самара, 1999, С. 50-51.

42. Васильева O.A. Две задачи с интегральными условиями для одного уравнения гиперболического типа. Доклады 53-й научной конференции, Самара: СГПУ, 1999, С.6-8.

43. Васильева O.A. Задача с интегральными и граничными условиями для одного уравнения гиперболического типа. Доклады 54-й научной конференции, Самара: СГПУ, 2000, С. 17-18.

44. Васильева О.А Две задачи для одного уравнения гиперболического типа с коэффициентом обращающимся в бесконечность в одной точке. Доклады 54-й научной конференции, Самара: СГПУ, 2000, С. 19-21.

45. Васильева O.A. Задача с интегральным и граничным условиями для уравнения гиперболического типа с вырождением в одной точке границы области.

46. Васильева O.A. Актуальные проблемы математики и механики. Материалы Международной научной конференции. КГУ, Казань, 1-3 октября 2000 г. с.258.