Краевые задачи для уравнения Эйлера-Дарбу с условиями сопряжения на характеристике и нехарактеристической линии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Подклетнова Светлана Владимировна

На правах рукописи.

РГБ ОД

1 3 ДЕК ?ППП

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ДАРБУ С УСЛОВИЯМИ СОПРЯЖЕНИЯ НА ХАРАКТЕРИСТИКЕ И НЕХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ЛИНИИ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Самара 2000

Работа выполнена в Самарском государственном педагогическом университе]

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

член-корреспондент РАЕ, профессор В.Ф. Волкодавов.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Защита диссертации состоится 14 декабря 2000 г. в 15 часов на заседании да сертаииошюго совета К 113.17.02 при Самарском государственном педагогичесю университете по адресу: 443090, г. Самара, ул. Антонова-Овсеенко, 26, ауд. 201.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственн го педагогического университета по адресу: 443099, г. Самара, ул. М. Горького, 65/6"

профессор Р.С. Хайруллин;

кандидат физико-математических наук, доцент И.Н. Родионова.

Ведущая организация: Орловский государственный университет

Учёный секретарь

диссертационного совета

В.А. Носов

В Ч-з оз

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Уравнение Эйлера-Дарбу, рассмотренное в настоящей яссертационной работе достаточно известно благодаря своему большому приклад-ому значению. Это уравнение широко применяется в газовой и гидродинамике, тео-ии оболочек, различных разделах теории сплошных сред. В областях своей гипербо-ичности многие уравнения смешанного типа сводятся к уравнению Эйлера-Дарбу: апример, уравнение Кароля, обобщенное уравнение Трикоми и ряд уравнений сметанного типа с вырождением типа и порядка.

Практическая значимость уравнения Эйлера-Дарбу способствует развитию но-ых краевых задач, поставленных именно для этого уравнения.

Работу в этом направлении вели такие авторы, как A.B. Бицадзе и A.A. Самар-кий, A.M. Нахушев, В.Ф. Волкодавов, Н.Я. Николаев, В.В. Пергунов, A.A. Андреев др.

Иель работы.

1. Исследование вопросов существования и единственности решения задачи И ля уравнения Эйлера-Дарбу «с двумя линиями вырождения».

2. Доказательство нового принципа локального экстремума для этою уравне-

ия.

3. Доказательство теорем существования и единственности решения двух крае-ых задач для уравнения Эйлера-Дарбу «с двумя линиями вырождения».

4. Доказательство теоремы существования и единственности решения краевой адачи для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу смешанного типа.

Методика исследования.

В работе используются методы решения уравнения Абеля, полного сингулярно-п интегрального уравнения, уравнения Фредгольма второго рода. Применяются из-естные свойства сходящихся степенных рядов. Широко используется аппарат специ-лыгых функций.

Научная новизна.

1. Впервые рассматривается уравнение Эйлера-Дарбу «с двумя линиями вырождения».

2. Доказана теорема существования и единственности решения задачи Е д уравнения Эйлера-Дарбу «с двумя линиями вырождения» и положительными naj метрами.

3. Доказан новый принцип локального экстремума для уравнения Эйлер Дарбу «с двумя линиями вырождения» и положительными параметрами.

4. Доказаны теоремы существования и единственности решений двух краев! задач для уравнения Эйлера-Дарбу «с двумя линиями вырождения».

5. Доказана теорема существования и единствешюсга решений новой краев! задачи для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу смешанного типа.

Практическая ценность.

Диссертационная работа носит теоретический характер. Её результаты мог быть применены к дальнейшему исследованию уравнения Эйлера-Дарбу, котор имеет практическую значимость в указанных выше разделах физики.

Апробация работы.

Результаты исследований докладывались и обсуждались на областном семина; по специальности 01.01.02 — дифференциальные уравнения (Самара 1994-199 2000 г.г.), на областной научно-технической конференции Самарской Архитсктурн строительной академии (Самара 1997, 1998, 1999 г.г.), на семинаре кафедры днфф ренциальных уравнений Казанского университета (Казань, 1997, 1998 г.г.), на межд народной конференции им. Академика М. Кравчука (Киев 1992, 1994 г.г.), на межв зовской конференции Самарского государственного технического университета (С мара, 1997 г.), на V Российской научно-технической конференции Поволжской гос дарственной академии телекоммуникации и информации (Самара, 1998 г.), на сем; паре Самарского государственного университета (Самара, 2000 г.).

Публикации.

Основное содержание диссертации опубликовано в десяти работах.

Структура и объём диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и общего спиа литературы, включающего 60 наименований. Объём диссертации составляет 98 стр ниц машинописного текста.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даны краткие исторические сведения развития теории дифференциальных уравнений с частными производными, указана практическая значимость уравнения Эйлера-Дарбу, а также отмечены основные исследования по вышеуказанным проблемам. Далее во введении кратко охарактеризованы каждая из четырех глав и перечислены основные положения, вынесенные на защиту.

Первая глава целиком посвящена вспомогательным результатам и служит проведению дальнейших исследований. Здесь в первом параграфе рассматриваются некоторые сведения о решении известных краевых задач для уравнения Эйлера-Дарбу, а именно - двух задач Коши для уравнения Эйлера-Дарбу, на основании решения которых вводятся специальные классы решений, а также задачи Дирихле для уравнения

у[ихх+ит)+2Чих+2Р]иу=°> (1)

существование и единственность решения которой доказаны В.В. Пертуновым в его диссертационной работе.

Во втором параграфе первой главы доказываются теоремы существования и единственности решений двух задач Дарбу для уравнения Эйлера-Дарбу, три леммы о значении функций, определяющих решение уравнения Эйлера-Дарбу в различных областях, в точках (0,0) и (/г,й), а также выписаны две леммы о локальном экстремуме, доказанные ранее в докторской диссертации В.Ф. Волкодавова.

Во второй главе проводится доказательство теоремы существования и единственности решения задачи Б иля уравнения Эй.перз-Пэрбл/ «с двумя линиями Быро^сде-ния». Это уравнение рассматривается впервые и получено в результате склеивания уравнения Эйлера-Дарбу в характеристических координатах с уравнением, симметричным ему относительно прямой ^=0.

В первом параграфе второй пгавы для уравнения:

- п}*^ ~ + =« (2)

на множестве = (}_ и С+ дана постановка следующей задачи.

Задача Е. На множестве О/, найти функцию и(^,т]), удовлетворяющую условиям:

1) и(£, rj) непрерывна bG_uö+ / /, где I = rj\ £ = О, О < tj < h};

2) является решением уравнения (2) на множестве Gh;

3) u(¿j,T]) удовлетворяет краевым условиям:

4) u(^,t¡) удовлетворяет условиям сопряжения:

lim u(¿;,T])= A lim rj)+y(rj),

lim ¿ Jfc - t)~xu(t,Tj)dt = В lim A ](t - u(t, r¡)dt + <?(/;), t¡ e (0,h),

(3)

(4)

(5)

(6)

Далее в этом параграфе при помощи математических аппаратов, указанных выше, на основании задач Ко-ши, решения которых приведены в первой главе, выводится функция, определяющая решение поставленной задачи I явном виде. Здесь же в силу единственности решения задач Коши, использованных для вывода формул, определяющих решение задачи, а также однозначной разрешимости всех уравнений, участвующих в процессе решения, доказываете; единственность решения задачи Е для уравнения (2).

В начале второго параграфа второй главы сформулирована следующая теорема. Теорема 2.2.1. Существует единственное решение классов в области С+ и

г.

о Л- в области 0_ задачи Е для уравнения (2) на множестве О^, которое выражается формулами:

£

Самарский государственный педагогический университет

Разослан по с]

Диссертационный совет рассылки автор<

К 113.17.02 №

Направляем Вам для ознакомления автореферат диссертации Владимировны, представленной на соискание ученой степени кандидат; наук, на тему «Краевые задачи для уравнения Эйлера-Дарбу с ус характеристике и нехарактеристической линии».

Защита состоится 14 декабря 2000 г.

Ваш отзыв в двух экземплярах, заверенной гербовой печатью орга] по адресу: 443043, Самара, ул. М. Горького, §5/67, СГПУ, диссертацис ученому секретарю.

Ученый секретарь совета к.ф.-м.н., доцент

1-а-л,1;2-а,

>1-1

ы7 +

о о

ЛГ-(-|/) = А 1 |(5г+(0+ т_(-/)> -а - А,1;2 +

О V ^ У

+ ЛС27в+акм* 'Г1 л+я^"ЬПп-

(9)

(10)

если 0<а,р,а + /},а + Х,р-Х<\, <?(о) = у(о) = О, г('7)е ^ С^^,

еС(0.й)П/{°-Л]' Г- 0)п£[-Л.О]-

Первая часть доказательства теоремы, то есть единственность решения поставленной задачи проведена в первом параграфе второй главы. Второй параграф второй главы целиком посвящен доказательству существования решения задачи Е.

Третья глава предложенной вашему вниманию диссертации посвящена вопросу

существования и единственности решения двух

краевых задач для уравнения Эйлера-Дарбу с дву-555^555^55583} _______

'ЛЧ ■ хЗНрО-КД^Ь^Я

В первом параграфе третьей главы дана по-¡Ш становка этих задач; на основании лемм о локаль-

»1_ном экстремуме, доказанных В.Ф. Волкодавовым в

его диссертационной работе и сформулированных во втором параграфе первой главы настоящей диссертации, а также на основании нового принципа локального экстремума для уравнения Эйлера-Дарбу «с двумя линиями вырождения», доказанного в этом параграфе, доказаны теоремы единственности решения поставленных задач.

Здесь для уравнения (2) на множестве С = в0 иб. дана постановка сп< дующих краевых задач.

Задача 3.1.1. На множестве С наши функцию удовлетворяющую у

ловиям:

1) и'\§,7]), непрерывна в С0 //) /12, где 1\ - т]\ д =0, Оь^ъИ

2) и{£,г]) является решением уравнения (2) на множестве б;

3) и(^,т}) удовлетворяет краевому условию (3) и условию:

«(М^РоМ *7е[0,й]; (И)

4) и\с,т]) удовлетворяет условиям сопряжения (5) и (6);

5) и(^,т}) удовлетворяет условиям склеивания:

«"о (12)

уо(п)=ь(ч)-у+{ч1 (13)

где т0{г]),т+{т]) (77) и V, (г/), определяются соответственно формулами:

н(££)= (14)

в области С0, формулой (3) в области С+,

Пт ({-т1У+'1{и!-ип)=у0(£),£е(0;И) (15)

в области и формулой

Пт (16)

в области 0+.

Задача 3.1.2. На множестве С найти функцию и(£,т}), удовлетворяющую усл<

виям:

1) непрерывна в С0 и 0_ ^ / /]/12, где /, | £ = 0, 0< ?/</;]

2) является решением уравнения (2) на множестве С;

3) и{^,т}) удовлетворяет краевому условию (4) и условию:

и(#.0)=1Со(& £еМ; (17)

8

4) u{^,rj) удовлетворяет условиям сопряжения (5) и (6);

5) u(4,tj) удовлетворяет условиям склеивания (12) и (13).

Далее в этом параграфе доказан новый принцип локального экстремума для уравнения Эйлера-Дарбу «с двумя линиями вырождения» в следующей формулировке.

Лемма 3.1.1. Если - решение уравнения (2) па множестве G+ и(7_ тако-

во, что и(%,£) = т+(4) достигает наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке £ = ¿г0, а то значение функции v+(%)= lim (g-т])а+Р{ис -г/_) в точке ¿; = £о больше нуля (меньше нуля) при выполнении условий теоремы существования и единственности решения задачи Е и ß

-< ah - а), где 0.

А + В

Непосредственно из доказанной леммы, а также лемм о локальном экстремуме, доказанных В.Ф. Волкодавовым в его докторской диссертации, и условий сопряжения, данных в формулировке задач, следует справедливость следующих теорем единственности, сформулированных в конце параграфа.

Теорема 3.1.1. Если в постановке задачи 3.1.1 a(tj)>0,b{r])>0 и a,ß,Ä,A,B удовлетворяют условиям леммы 3.1.1, то существует не более одного решения этой задачи.

Теорема 3.1.2. Если в постановке задачи 3.1.2 а(т})> 0,b{t])>0 и a,ß,Ä,A,B удовлетворяют условиям леммы 3.1.1, то существует не более одного решения этой задачи.

Во втором параграфе третьей главы задача 3.1.1 сводится к следующему сингулярному интефальному уравнению с непрерывной правой частью и слабой особенностью (налиниях 7 = 0 и 77 = i) вядре:

1 + B-COS «а + ß)*))p(>j)+fSi"((a;ß>)li0* (18)

me p{ri)-T'+{l)na+P,

(А + -а\\-а- Я)В( 1 - «Д- Я)

1 + Лф;2 - а;

Л-*

<РМ=-

х F| I + Я,Р;2 - а;^—^ \Л - —-, „ 1 ц ) р(\ + р)в(р

-А«г «-1 ? х

^)в{p^-a-p) Г

1 - а ,1,1 + р,- а;2 - р\- а;-,-

Л п

Л

рВ<ф1-а-р)

/гах

- - аД,- а - р,- а; 1 - а - >9,1 - ^]<й,

о

Регуляризация этого уравнения проведена методом Карлемана в классе Л (/г), т( есть искалось решение, ограниченное в точке т] = И, при этом индекс данного класс; равен нулю {х = 0), то есть велся поиск единственного решения уравнения (18).

Далее с помощью указанного метода сингулярное интегральное уравнение (18 было приведено к следующему интегральному уравнению Фредгольма со слабо! особенностью в ядре:

о

(19)

те

23хМ(\-<х-р)

{л + в\\ -аХ'-а-^Ж1- -а,1-Я)

2М(1-с

' (А + - -аХ1 -а

2М>{\ -а-р)

[й+в» -а^-а-ЯЩ- -аД-Я)

/-17

-Г

' I П

1х{г];{),Т]<,1<И

1 a sin((a + в\г)

fi = -arcg---jT~Tabv

л b + acos\{a + p )лг)

/,(7/) = | + + [ф _ ty*+n(/г _ пу-Птctg^_

n,m=о {2-a)nn!m!

_(и_(у-а+п+тВ{м +т-Ц-а+ + «Д;2-//-'■K.^j •

Правая часть уравнения (19) имеет интегрируемую особенность порядка ц -1 в точке 7 = 0 и непрерывна на промежутке (0,Л].

Из теории Фредгольма и единственности решения поставленной задачи следует, что однородное уравнение, соответствующее исследуемому уравнению (19), имеет только тривиальное решение, а решение самого уравнения существует и обладает теми же свойствами, что и правая часть.

Поскольку q < fj - а - р < \, то функция t'+(tj) должна иметь слабую особенность порядка fi-a- fS ~ 1 в точке 7 = Он должна быть непрерывна в полуинтервале (О, А]. Тогда функция p(tj) будет обладать теми же свойствами, что и функция ^4(7), то есть она будет иметь слабую особенность порядка и -1 в точке 7 = 0, будет непрерывной в полуинтервале (0, А] и будет удовлетворять условию Гёльдера в интервале (0,/i).

На основании проведенных во втором параграфе третьей главы исследований была сформулирована следующая теорема.

Теорелш 3.2.1. При выполнении условий теоремы 3.1.1, а также

0<а + 0 + a(tj) =а = const, ¿>(7) =6 = const, я>0, b>0, r_(Tj)eC^ohy

<5(tj)- y(tj)=0 существует единственное решение задачи 3.1.1.

При рассмотрении задачи 3.1.2 мы пришли к интегральному уравнению Фредгольма с существенной особенностью (порядка -1) в ядре, поэтому для разрешения возникшей проблемы потребовалось ввести кусочно-постоянные коэффициенты в уравнении (2). Само уравнение приняло вид:

1^2-^.(^ббо-

В результате этого решение задачи 3.1.2 было сведено к следующему интс тральному уравнению Волыерра с непрерывной правой частью и слабой особеннс стыо в ядре, решение которого существует, единственно и обладает теми же свой<л вами, что и его правая часть (т.е. т\ (77) должна быть непрерывной на отрезке [0,Л]):

т'+(п)+К0Ж(г}№ = /{п), (21)

о

где ¿(7/)>-Р2)в{2рх\-2рг)в{рг ~^-2р2){ __

ав(2р2,\-2р2)в{р1-д,1-2р1)

ЬеЯ(1 - 2рх )т(1-рх-д- Я)г(1 - 2 р2 )в(р2 + д;\ -2 р2) а{А + В\1 -Рх- 9)Г(1 - 2Р1 )Г(1 - Я)Г(1 - 2 р2 + рх - д)В(2р2 ;1 - 2р2 ) *

\pi-2p2-q

ХТ]

1(7/).

/(7)=

в{\-2рьр1+д)в{2р2\-2р2)

аВ{р2 + <?,1 - )5(1 - 2/?2 .Рг + чУ

1Р2-Я

1-2р2,д-р2;1 + д- р2;

.7-'

л-

ЬЯ(] -2р,)Г(1 -/>, Л)Г(1 -2р2)В(Р2 + д\ -2р2) а{А + йХ1 - Рх ~Я)Г{\ -2рх)Г(1 -Л)г(1 - 1р2 +рх-д)в(2р2,1 -2р2)>

~2р2 1 / г! (-1)

7"'

7 ;

Р1-2р2-д

7«.«,¿=00~/>1 ~2рг -(й -2/>2 -д +1),

.Ш-2Р2)т{Р\-я)пЬ)к

п+т

(2-р1-д)пи!т!к!

+ 2(р1 -р2) х

1-2/72+/>1~9 7

ч

X I

« (ft -1рг -9+0^0-PI -Ч-*)п+тМ-2Рг)М -<lWk(ri-t^m,k

пмЫ (2-Pi -2p2 -q)n+m+k{pi-2P2 -g+l)„+m(2-Pi -q)nrt!m!k! { jj )

На основании исследований, проведенных в этом параграфе была сформулирована следующая теорема.

Теорема 3.3.1. При 0 <pl+q, p2+q, Pi~4, Рг~Я< 2р\+Л, Р\~Р2,

4pi-2p2-l<l a{tj)=a = const, b{rj)=b = const, a>0, b>0, r_(7)eC^A0j, S(rj}= y(rj)=0 существует единственное решение задачи 3.1.2.

Четвертая, заключительная глава диссертации посвящена доказательству существования и единственности решения новой краевой задачи для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу смешанного типа.

В первом параграфе этой главы рассматривается уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу смешанного типа с кусочно-переменными коэффициентами: L\u\sUxx + Sgny-uyy +a(x,y}tx +h(.x,y)iy = 0,.

(22)

где

а(х,у)=

2ft

У

,у>0,

— ,-jc < у<0, У

Ь(х,у) =

2 р2

,у<-х<0.

2q

,у>о,

2 Р2

,-х < у < 0,

2 q

, у < —х < 0.

на

j I

={(х,у)\у > О.хей},

={(х,у)\х + у>0,х-у<1,у<0},

£>2 = {(•*'..у)| х + у<0,х- у<1,х>0}.

Необходимость введения кусочно-переменных коэффициентов в это уравнение обусловлена теми же трудностями в решении поставленной далее задачи, что и при решении задачи 3.1.2.

Далее в этом параграфе были даны следующие определения. Определение 4.1.1. Решение уравнения (22) на множестве D{ и DJ назове! обобщенным решением этого уравнения класса Р~, если оно является решение! класса qR+ в области Dl и решением класса 0R_ в области D2 .

Определение 4.1.2. Решение уравнения (22) на множестве D назовем обобщен ным решением класса Р, если оно является дважды непрерывно дифференцируемы! решением этого уравнения в области D+ и обобщенным решением класса Р~н множестве D[ u D2.

Затем здесь же дана постановка задачи с обобщенным решением в классах.. Задача 4.1.1. На множестве D найти функцию и(х,у), удовлетворяющую уело

виям:

1) и(х,у) непрерывна в D + и Df и DJ / /j / J2, где /j = {(л:, у] >< = 0, 0<jc<l},

2) u(x,y) является обобщенным решением класса Р уравнения (22) на множест ве D;

3) выполняются краевые условия:

lim и(х,у)=0, если p = -Jx2 +у2 , (23)

р->+0о

и{х,0) = Д(х), если Л^ О, (24)

u(jc,0) = f2(x), если л21, (25)

м(0,.у)=г_(зО; если уе[-1,0]; (26)

4) выполняются условия сопряжения:

lim и{х,у)=А lim и(х,у), П1Л

r+y-MI х+у-Н-О \ ' >

lim — f (д: + y-t)~lu{t,x-y)dt + — f (x + y-t^u^x-y)dt

дУу-х

А А

= В lim — f (t-x-y)'xu(t,x-y)dt + — f (t-x-yYÄu(t,x-y)dt x+y-y-оудх x+y ОУх+у

5) выполняются условия склеивания:

т+{х)=а{х)т0(х),хе[0,\\ (29)

(х) = Ь{хУо (х), jc е (ОД) (30)

= <31>

= (32)

v4 (*) = timjL-ly?* «УМ\ (33)

v0(*) = lim]y2piuy(x,y)\. (34)

v—>-М)

Далее в этом параграфе на основашш доказашюго в предыдущей главе принта локального экстремума, а также леммы о локальном экстремуме, доказанной в ¡ссертационной работе В.В. Пергунова и условий сопряжения, поставленных в заме, формулируется и доказывается следующая теорема единственности.

Теорема 4.1.1. Если в постановке задачи 4.1.1 а(х)> 0, b(x)> 0 и а,/),/.. Л, В ювлетворяюг условиям леммы 3.1.1, то существует не более одного решения этой дачи.

Во втором параграфе четвертой главы решение поставленной задачи приводит-[ к решению сингулярного интегрального уравнения, аналогичного тому, которое .то приведено во втором параграфе третьей главы и в третьем параграфе опять же [алогично тому, как это было сделано при оешении задачи 3.1.1, доказывается сле-тощая теорема.

Теорема 4.3.1. При 0 <3pi,2p2,q,A,P2 ~Ч,Рг + + Р\< 2 /?2 — 3/j, < 1,

г В

jf) — а = const, b{x}~b — constч «>0. ¿>>0. f](x)= АЫ^О, -<,(пт+а)х

(l - р2 - q), г_ (у) е C{_t 0j существует единственное решение задачи 4.1.1.

В заключении анализируются проведённые исследования с точки зрения срав-:ния как самих исследований, так и полученных результатов.

РАБОТЫ. ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. В.Ф. Волкодавов, C.B. Подклетнова. Новые тождества для функции 3 1<2.// lu тегральш перетворешя та ix заспосувашя до крайових задач. 36. наук. пр. - Kiiîb ш-матем. АН Украйш, 1994. - Вин. б., с.56-57.

2. Подклетнова C.B. Задача Е для одного гиперболического уравнения с двум линиями вырождения.// Тези доповщей третым М1жнародно1 науково! конферени iw академка М. Кравчука, Кшв, 1994 p., с.-94.

3. Подклетнова C.B. Задача Коши для некоторых значений параметров уравне ния Эйлера-Дарбу. Доклады 51-й научной конференции СГПУ. - Самара, 1997. - С 66-75.

4. Подклетнова C.B. Некоторые краевые задачи для частных случаев уравнени Эйлера-Дарбу. // Гнтегральш перетворенш та ix заспосувашя до крайових задач. 36. на ук. пр. - Khïb 1н-т матем. АН Украйш, 1996. № 11 - С.160-196.

5. Подклетнова C.B. Новая краевая задача для уравнения Эйлера-Дарбу.// Тезиа докладов областной 55-й научно-технической конференции СамГАСА. - Самара, 1998

6. Подклетнова C.B. О единственности и существовании решения новой краево) задачи для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу смешанного типа.// Математическо модулирование и краевые задачи. Труды седьмой межвузовской конференции. - Сама ра, СамГТУ, 1997. с. 65-68.

7. Подклетнова C.B. О новых тождествах для функции Щ. - КГПИ, 4 с. ВИНИТИ, 21.04.92, № 1336-В92.

8. Подклетнова C.B. Постановка двух краевых задач для уравнения Эйлера Дарбу и теоремы единственности их решений (часть 1).// Тезисы докладов областно) 56-й научно-технической конференции СамГАСА. - Самара, 1999. - С. 53-54.

9. Подклетнова C.B. Принцип локального экстремума для уравнения Эйлера Дарбу с двумя линиями вырождения и положительными параметрами.// Тезисы докла дов V Российской научно-техническая конференция ПГАТИИ. - Самара, 1998. - С. 55.

10. Подклетнова C.B. Теоремы существования решения двух краевых задач дл: уравнения Эйлера-Дарбу (часть 2)7/ Тезисы докладов областной 56-й научно технической конференции СамГАСА. - Самара, 1999. - С. 54-55.