Краевые задачи для некоторых гиперболических уравнений третьего порядка в трехмерном евклидовом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Самарский государственный педагогический Г Б ОД университет

На правах рукописи УДК 517.946

ДОРОФЕЕВ Андрей Викторович

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА В ТРЕХМЕРНОМ

ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ *

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Самара - 1994

Работа выполнена на кафедре математического анализа Самарского государственного педагогического университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В.Ф.Волкодавов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Л.И.Чибрикова

кандидат физико-математических наук, доцент Н.Я.Николаев

Ведущая организация: Башкирский государственный университет

Защита состоится " Ж..."в /£..час. на заседании специализированного совета К 113.17.02 по присуждению уче степени кандидата физико-математических наук в Самарском государствен педагогическом университете (443043, г.Самара, ул. М.Горького, 65/67)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского госуда] венного педагогического университета (ул. М.Горького, 65/67)

Автореферат разослан 1994г.

В.А.Носов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Теория краевых задач для вырождающихся уравнений с частными проиэ-эдными занимает важное место в системе знаний о дифференциальных урав-гниях в частных производных. Это объясняется ее многочисленными при локтями в газовой динамике, теории ободочек, магнитной гидродинамике, а шже других областях науки и техники.

Основы этой теории заложены з хорошо известных работах Ф.Трикоми, .Геллерстедта, Ф.И.Фраикля, К.И.Бабенко и других ученых СНГ, а т.ж. за-гбежных математиков.

Монографии А.В.Бицадэе, М.М.Смирнова содержат обзор результатов по эявлениям преимущественно с двумя независимыми переменными.

В конце 70-х и 80-е годы в работал Е.И.Моисеева, С.М.Пономарева,Т.Ш. альменова, К.Б.Сабитова и других математиков начата разработка спект-ш.ной и качественной теории краевых задач для уравнений смешанного ти-1.

В последнее время получен ряд интересных результатов в теории краевых 1Да.ч для уравнений III порядка в трехмерном евклидовом пространстве. От-етим работы В.И.Жсгалова,, В.Ф.Вслкодавова, А.М.Ежова, В.Н.Захарова, .Я.Николаева. Заметим, что в трехмерном пространстве возможен более иль жий спектр краевых задач, что приводит к постановке новых краевых задач поиску методов обоснования существования и единственности их решения. Исследованиям постановки и однозначной разрешимости краевых задач для >авпепий III порядка гиперболического типа в трехмерном пространстве и гсвящена настоящая работа.

Целью работы является обоснование существования и единственности ре-ения краевых задач для некоторых вырождающихся на плоскости я в одной >чке гиперболических уравнений III порядка в ограниченных и неограличеи-IX областях трехмерного евклидова, пространства.

Методы исследования.

Основные результаты диссертационной работы получены с использованием [ассических методов решения дифференциальных, интегральных уравнений аппарата, специальных функций. При доказательстве существования реше-ш краевых задач использовались методы Рим ала, Римана- Адамара, общих мнений, теория интегральных уравнений Абеля с параметром. При дока-тельстве единственности решения рассматриваемых в работе задач, в тех [учаях, когда она не следует из самого способа построения решения, испо льется однозначная разрешимость простейших функциональных уравнений или ггегральных уравнений Абеля.

Научная новизна.■

Лля двух вырождающихся уравнений III порядка решены задачи Гурса, арбу, Коши, смешанные задачи с заданием нормальных производных I, II |рядков на нехарактеристической плоскости в ограниченных и неограничегь к областях трехмерного евклидова пространства, обоснована однозначная 1зрешимос1ъ ряда задач со смещением в характеристической пирамиде для >авнений III порядка.

Практическая и теоретическая значимость.

Полученные в диссертации результаты является новыми и имеют теоретический зарахтер, Они могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для уравнений 111 порядка с нехарактеристическим вырождением гиперболического типа в ограниченных и неограниченных областях пространства. Л3, а. тж возможные обобщения этих задач для пространства при п > 3.

На защиту вьшосотсш

1. Постановка, доказательство существования и единственности решения задач Гурса, Дарбу, Коши и смешанных задач для уравнения (¿j).

2. Постановка, обоснование существования и единственности решения задач Гурса. Дарбу и смешанной задачи для уравнения (£г).

3. Доказательство существования и единственности решения задачи Aj для уравнения (h) в классе классически решений.

4. Доказательство существования и единственности решения задач со смещением для некоторых уравнений III порядка гиперболического типа, в характеристической пирамиде.

Апробащш работы.

Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались:

- на областном семинаре "Дифференциальные уравнения" при Самарском государственном педагогическом универсисете. г.Самара. J991-i994r.r. (руководитель доктор физ.-мат. наук, профессор В.Ф.Волкодавов)

- на ежегодной научной конференции Самарского ГПУ, г.Самара, 1!Ш-1994г.г.

- на семинаре по дифференциальным уравнениям в частных производных кафедры математического анализа Стерлитамакского государственного педагогического института, г,Стерли тамак, 1993- 1994г.г.

(руководитель доктор физ.-мат. наук, профессор К.В.Сабитов)

- на семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета

(руководитель доктор физ.-ма.т. наук, профессор В. И. Жег адов)

- на семинаре кафедры дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета

(руководитель доктор физ.-мат. наук, профессор Я.Т.Султашев)

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 7 печатпых работ.

Объем и структура длссорхаетш. Работа изложена на S4 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав и библиографического списка, содержащего 56 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введзвнн дается краткий обзор литературы по теме диссертации, показана актуальность темы исследований, излагается краткое содержание работы, сформулированы основные результаты, которые выносятся яа защиту.

В первой главе рассматривается вырождающееся гиперболическое уравнение Ш порядка

Ь1{1Г)з(г + у-х)игг, + 0и.,~аи„ = 0, 0 < а,р < 1,ог4/9< 1, (I*)

В пункте 1.1 методой Рниана найдено решение задачн Гурса в области £>_, являющейся характеристической пирамидой, ограниченной плоскостями

х = а, у = -Ь, зг = 0, х = х - у, а,Ь> О,

с данными:

и(а,у,г) = /,(„,,), (у,*)€Тг, (0.1)

1Г(г,-Ь,*) = М*,г), (*,*)€Га, (0.2)

Щ*,У,0) = М*,!/), (г,у)€Г„ (0.3)

для краевых функций выполняются условия согласования

Ш0) = Ма,у), М-Ь,х) = Ма,г), /а(*,0 )=/>(»,-4), Г1 = {(»(У.*)! х = а, 0 < г < а — у, -Ь<у<а], Г3 = {(г,у>*)| у = —Ь, -Ь<х<а, 0 < г < а + 6}, = {(*> У> •*) | г = 0, —6 < у < * < а}.

Доказывается следующая

Теорема. Если функции /¿({,») € С(Г~), г = 1,2,3, таковы, что

fu.it, *) € С(Г() П £(17), .• = 1,2, у) е С(Г3),

то функция, определяемая формулой

= А ¡о Ща, V, *К(«,») Л- Щ-Ь,*-,х,у, *)ш,((,,)<*,+ /,(*, у) + 4 (' 1'1.{-Ь,>Ща,-Ь,г,х,у,1)<и (0.4)

Л

где

= . а*/,«,,) а ало,,)

является единственным решением задачи Гурса. Функция Римава уравнения (£,) имеет вид

3

Л

а - (* ~ ?о)(Уо ~ V) ~ (-* + Уо -«)(-' + У- го)' В той же области £>_, ставится задача Дарбу с данными (1), (2) и

Шп у, г) = т'{я, у), (г, у) е Г7. (0.!

о

Решение этой задачи найдено путем перехода к пределу при г + у - х — —О обеих частях формулы (4).

Пункт 1.2 посвящен обоснованию существования и единственности решени двух смешанных задач А3.

Задача А^ Найти решение уравнения (£,) при ,в > а в области £>_, удовлета ряюшее краевым условиям (1), (5) и

1Ы = г),(г,г)б17,

»-.-о ¿)га

В задаче А2 для уравнения (¿1) при а > ,3 вместо условия (1) берется (2 Вопрос существования и единственности решения задач Л,, А2 сводится к ра: решимости интегрального уравнения Абеля с параметром г.

В пункте 1.3 рассматриваются смешанные задачи В>. в которых ш ряду с краевым условием (5) на нехарактеристической плоскости х + у-х-задаехся значение нормальной производной второго порядка с весом, а т.ж. 0} но из условий (1) или (2) соответственно. При обосновании существования единственности решения смешанных задач существенно используется формул решения задачи Дарбу из пункта 1.1.

Пункт 1.4 посвящен отысканию общего решения уравнения (£г) в облает С+ = {{».у. з) | г + з/ - х > 0}. Доказывается, что функция

Щг.у.г)* (' ¿зГ'/,(<.«)(<-*)-"(» +л-+

+ Г ¿1 Г'ми у-+е-г)*-'Л+ Ыг,у), [ 0.«

когда ») € С^Я2), является общим решением уравнения (1ц) в области (Зн

В пункте 1.5 приводится постановка и решается следующая

Задача Ковш. Найти решение уравнения (1л) в области <?+ с данными

1ип 1?(*.у.*) = г+(*.у), и.у)ел2. (0.1

^Кт^'.- + у-яу*>£-и{*,у,.) = г), (г,г, е л», (О.г

г+, к+, г<+-заданные непрерывные фуиыцш.

б

Исходя из формулы (6), с учетом краевых условий (7)-(9), решение задачи Коопределяется равенством:

0'(х,у.г) = т+[т.у) + \кх Г ¿з Г*' - х)~(» + 5 - 1)~><И +

• (/|"'а) + а - о»-,) )х

х(5 + У - + , _ г)«-1,

1 Г(1 — а — /3) Г(а+,3)

~ ги-.!?)' 2-Г(а)Г(гЛ-Результат обоснования существования и единственности решения задачи Коти сформулирован в виде теоремы.

Пункт 1.6 посвящен постановке, обоснованию существования н единственности решения задачи Д1 для уравнения (£,) при (-1)° = (-1)'' = 1 на множестве I», являющемся прямой треугольной призу.ой, ограниченной плоскостями I = я, у=-Ь, г = 0, г = а + Ь, у = х, а, 6 > 0. а плоскость вырождения г + у - г = 0 делит его на две области Х>_ и £>+ С

Задача А| состоит в отыскании классического решения на £>=£>_ иХ>+, принимающего заданные значения на перпендикулярных характеристиках г = о, у = -4 в0.кг = а+1в с непрерывными условиями сопряжения по функции, нормальным производным первого порядка и второго порядка с весом на плоскости вырождения. Существование и единственность решения задачи обосновывается с использованием формул решения задач Дарбу и Коши, а?.ж. поду чаши при решении задач Аъ В, соотношений, связывающие функции т, М' с /¡,/3.

Во второй главе рассматривается уравнение

з (г+&• + !)£•„,+<%« + <>£;,, = о, а,В е Я (£,)

В пункте 2.1 методом Римала обосновывается существование и единственность решения задачи Гурса для уравнения (£3) в первом октанте с данными ка характеристических плоскостях г = 0, у = 0, * = 0.

Заметим, что уравнение (Хэ) легко получается из уравнения (¿1) заменой г на -г. у на -у. Но тогда нетрудно записывается функция Римана уравнения (¿а) исходя из функции Римаяэ уравнения (£,).

В пункте 2.2 для урашения (Х2) обосновывается однозначная разрешимость задачи Дарбу в области С+ из первого октанта, ограниченной поверхностями 7=0, у = о, г = ч>(г,у), г > ^х.у), когда третье краевое условие задается на нехарактеристяческой поверхности г = ^(г, у). Функция х — уф*. у) непрерывна при х > о, у > О .имеет непрерывные производные и при * > О, у > 0. Считаем, что этой функцией задается некоторая гладкая поверхность, целиком лежащая в I октанте, причем 0) = 0. Для функции ¡¿>(х, у) должно выполняться одно из условий: либо она является возрастающей по каждой переменной х , у , либо если ею задается некоторая цилиндрическая поверхность с образующими параллельными осям ох или оу, она возрастающая по переменным у илтг %,

В процессе решения задачи Дарбу используется формула решения задач) Гурса из пункта 2.1.

Пункт 2.3 посвящет обоснованию метода Римаяа-Адамара задач Дарбу дл. уравнения (1а) при а = /3 в области П+, ограниченной плоскостями 1 = 0, у = Ь > 0, к = х. I - 0, у > I. При построении функции Римана-Ада мара использовалась симметрия уравнения относительно плоскости у— т..

В пункте 2.4 для уравнения (I?) в той же области 11+ методом Римана до называется существование и единствешюсть решения смешанной задачи с данными:

Щх,у, 0) = Л(1,у),

Содержание третьей главы посвдщено постшовке, обоснованию существования и единственности решения задач со смещением для модельных уравнений третьего порядка гиперболического типа в характеристических пирамидах. В пункте 3.1 рассматривается модельное уравнение

L0{U) s = 0, (¿о)

в области Л>_, описанной в пункте 1.1. Из общего решения уравнения (£0) находятся формулы решения задач Дарбу. Далее приводится постановка трех за дач со смещением I, И, III и обосновывается их однозначная разрешимость. Зь метим, что постановка задач со смещением принадлежит профессору В.Ф.Вол кодавову.

Пусть М(х,у,г — 'произвольная точка траницы г + у — аг = О области D_ Обозначим через Р3. Ръ аффиксы точки А/ на грани Г3. Г3 области 2). соответственно, т.е. Рг (а, у, х- у), Р2(т, -Ь, % - у), Р3(х, у, 0).

Задача I.HaiSra решение уравнения (La) в области D-. с данными (2),

V(x, у,г-у) = т[х,у), V{Pi) + a(x,y)U[Pi) = ui(x,y),

г), у), w{x, у),а(г, у) Ф1 заданные непрерывные функции в областях своего определения.

В пункте 3.2 в той же области XL рассматриваются уравнения

1\(Щ = (: + у - *)Р„, - aU,„ Щ )

Для уравнения (lf) решается задача I, а для уравнения Щ) обосновывает« существование и единственность решения задачи IJ*, когда вместо условия (2' берется (1), а третье условие заменяется на U{P?) + a(x,y)V(P3) = w(x,y).

В пункте 3.3 уравнения (£'), получаемые мз (£3) при ß = О, а = 0 соот-етстоешю, рассматриваются и области G\, ограниченной плоскостями -0. ¡1 — 0, г = г + у, , j = с > О,

Пусть М(г, у, г+у)- произвольная точка границы г = zобласти G+. Обоз-ачнм через Mi, М2. М3-аффиксы точки М иа грани л — о, у = 0. х = с области

соответственно. Следуя методике пункта 2.2, нетрудно выписать решения здачи Дарбу в шстаповке пункта 2.2 когда <p(i,y) = х + у, для уравнений (X?), t.f). Далее приводится постановка и доказывается однозначная разрешимость зух задач со смещением.

Задача ГУ. Найти решение уравнения {L%) в области C?v с данными:

у,--) = hiv,*),

V (я, у, х+у) = г(г,у), U{M:) + а(х,у)ЩН>) = v(x,y).

В заключение автор выражает благодарность доктору физико-иатемати-есшх наук, профессору В.Ф.Волходавову за постоянное внимание к работе и энные советы.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Волкодавов В.<2. .Дорофеев A.B. Задача Коши для одного вырождающе->ся гиперболического уравнения третьего порядка // Изв. вузов. Математи-».-1993, 11.-С.6-8.

2. Волкодавов В.Ф..Дорофеев A.B. Задачи со смещением для модельного равнения гиперболического типа III порядка в характеристической ггирами-е // Докл. екегодной науч. копЬ. Самарсх. гос. пед. ии. 1-15 марта Э94г,-Сажра, 1Ö94.-C.6-7.

3. Волкодавов В.Ф.,Дорофеев A.B. Две задачи для одного простракствеи-эго уравнения с вырождением в одной точке рассматриваемой области // гтегралый перетворешш та ix за.стосувг.нкя до крайових задач / 36. вауковнх рац, Академя наук Укр., Ьгститут Математики.-Киев, 1994.-Вьт.6.-С.23-28.

4. Дорофеев A.B. Задачи Гурса и Дарбу для одного уравнения третье-з порядка в трехмерном евклидовом пространстве //О вы, которых ожидает гечество...: С'б. науч. трудов аспирантов, соискателей / Самарский гос. ?д.ип-т.-Самара: йзд.Сам.ГПИ, 1993.-C.190-1Ö3.

5. Дорофеев A.B. Задача Коши- Гурса для одного уравнения III порядка с ^рождением в точке области трехмерного евклидова пространства // Совре-екный грушевой анализ и задачи математического моделирования. XI Рос-{йский Коллоквиум. Тезисы докл.-Самара: Самарский университет, 1993.-.40.

6. Дорофеев A.B. Задачи Дарбу для одного гиперболического уравнения с лрожденисм в одной точке области трехмерного евклидова пространства // ырождзющиеся уравнения и уравнения смешанного типа. Меяузунар. кауч. шф. Тезисы докл.-Тапшент: ФАН, 1993.-С.64;

7. Дорофеев A.B. Задачи Гурса и Дарбу для одного гиперболического равнения III порядка с нехарактеристическим вырождением на плоскости // тл. ежегодной науч. конф. Самарск. гос. пед. ин-т. 1-1-5 марта 1994г.-Са-ара, 1994.-C.10-U.