Краевые задачи для пространственных аналогов уравнения Эйлера-Дарбу тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Задача Дарбу.

1. Постановка задачи.

2. Случай 0 <а < 1.

2.1. Построение общего решения.

2.2. Решение вспомогательной задачи в области

2.3. Решение вспомогательной задачи в области

2.4. Существование и единственность решения задачи Дарбу.

3. Случай -1 <а <0.

3.1. Решение вспомогательной задачи в области

3.2. Решение вспомогательной задачи в области П.

3.3. Существование и единственность решения задачи Дарбу.

4. Случай - а = п, п - 1,2,.

4.1. Решение вспомогательной задачи в области

4.2. Решение вспомогательной задачи в области

4.3. Существование и единственность решения задачи Дарбу.

5. Случай - а = п + у, 0 <у < 1, п = 1,2,.

5.1. Решение вспомогательной задачи в области £>+.

5.2. Решение вспомогательной задачи в области

5.3. Существование и единственность решения задачи Дарбу.

6. Случай п<а< 1, п-1,2,3.

Глава 2. Задача Л2.

1. Постановка задачи.

2. Случай -1 <а<

2.1. Решение вспомогательной задачи в области

2.2. Решение вспомогательной задачи в области

2.3. Существование и единственность решения задачи Л2.

3. Случай 0 <а < 1.

4. Случай - а = п, п~ 1,2,.

5. Случай - а = п +р, п = 1,2,., 0< р <1.

6. Случай п <а < п +1, п = 1, 2,3.

Глава 3. Решение видоизмененной задачи Коши методом Рима-на.

1. Случай 0 < у < 1.

2. Случай — 1 < у < 0.

В теории уравнений с частными производными уделяется большое внимание изучению вырождающихся эллиптических и гиперболических уравнений, важных как в теоретическом плане, так и с точки зрения практического приложения их в современной физике и технике.

Первые работы по постановке краевых задач для пространственных уравнений смешанного типа второго порядка были опубликованы в 1956 году [1, 33].

В работе A.B. Бицадзе [1] для уравнения AU + sgnt ■ Utt -0, где А

- оператор Лапласа по пространственным координатам х,,х2).,хп, решается задача Трикоми в п +1 -мерной области, ограниченной полусферой и двумя характеристическими конусами, в классе осесиммет-ричных функций.

В работе С.П. Пулькина [33] рассматривалась краевая задача для уравнения U хх + Uw + sgn z • Uzz = 0 в области вращения. Задача решалась методом тригонометрических рядов, при этом, отыскание коэффициентов ряда сводилось к решению краевых задач для плоского уравнения Uхх + sgn у Uw + Ux (2 т + 1)/х = 0 (т=0, 1, 2, .), которое теперь называют уравнением С.П. Пулькина.

В работе [2], опубликованной в 1962 году, A.B. Бицадзе впервые исследовал задачу Трикоми для трёхмерного уравнения в неограниченной цилиндрической области. Задача решена методом интеграла Фурье. Таким образом, наметились две постановки краевых задач для пространственного уравнения: в области вращения и в бесконечной цилиндрической области.

Заметим, что и A.B. Бицадзе и С.П. Пулькин обосновывали существование и единственность решения краевых задач для модельных уравнений смешанного типа второго порядка с тремя независимыми переменными.

В работе А.М. Нахушева [32] аналог задачи Трикоми решен в п-мерном пространстве, где доказано существование слабого решения в пространстве C.JI. Соболева и единственность сильного решения.

Эти работы вызвали интерес математиков к исследованию краевых задач для вырождающихся гиперболических уравнений от п переменных и для более высоких порядков.

Исследованию вырождающихся уравнений с более чем двумя независимыми переменными посвящено сравнительно немного работ. В основном изучение таких уравнений проводилось с помощью метода разделения переменных или методами функционального анализа. Краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа третьего порядка в трехмерном пространстве изучены недостаточно.

В последние годы получены интересные результаты в теории краевых задач для уравнений третьего порядка в трехмерном евклидовом пространстве в работах В.И. Жегалова [21,22], В.Ф. Волкодавова [513], В.Н. Захарова [25-27], И.Н. Родионовой [9,12], Н.Я. Николаева [10,13], А.М. Ежова [18,19]. В трехмерном пространстве возможен более широкий круг краевых задач, что приводит к постановке новых краевых задач и поиску методов обоснования существования и единственности их решения.

При решении краевых задач для уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными, как и для уравнений третьего порядка специального класса с тремя независимыми переменными существенную роль играют специальные решения уравнений, в частности, функции Римана и Римана-Адамара.

В этом направлении можно отметить работу Волкодавова В.Ф., Захарова В.Н. [6], где для уравнений третьего порядка с тремя независимыми переменными с сингулярными коэффициентами на плоскости или в одной точке построены специальные решения.

Жегаловым В.И. в работе [24] определение функции Римана в трехмерном пространстве дается как решение интегрального уравнения, а Волкодавов В.Ф. и Захаров В.Н. определяют функцию Римана через дифференциальные свойства.

В работе [38] Сабитовым К.Б. и Дорофеевым А.В. доказывается эквивалентность двух подходов в определении функции Римана, которые были даны Волкодавовым В.Ф., Захаровым В.Н. и Жегаловым В.И.

За последние десять лет математики, изучающие краевые задачи в пространствах Яп, п> 3, в основном занимались доказательством существования и единственности решения следующих задач: Гурса, Коши, А, (задача Гурса, но с условиями сопряжения на линии вырождения уравнения), Дарбу (с заданием искомого решения на плоскости вырождения уравнения и двух характеристических плоскостях), Коши-Гурса (с заданием исходного решения и конормальной производной на плоскости вырождения, а также заданием искомого решения на одной из характеристических плоскостей; с заданием искомого решения и конормальной производной второго порядка на плоскости вырождения, а также заданием искомого решения на одной характеристической плоскости; с заданием конормальных производных первого и второго порядков на плоскости вырождения, а также заданием искомого решения на одной из характеристических плоскостей) и т.п.

В работе [23] Жегаловым В.И. и Мироновым А.Н. для уравнения и т + аи ху + Ьиу2 + с11 а + (Шх + у + Юг + в11 = О рассматриваются характеристические задачи, получающиеся из задачи Гурса заменой хотя бы в одном из граничных условий значения II значением её нормальной производной первого порядка.

В работе Волкодавова В.Ф., Родионовой И.Н., Салтуганова Н.М. [12] доказано существование и единственность решения краевых задач для двух пространственных аналогов уравнения Эйлера - Дарбу третьего порядка в Я3. В частности, для уравнения

Р тт . а ихуг и2у = 0, 0<р<а, а + р<1, (А) х- у- г х- у- г в области Ц, которая представляет собой характеристическую пирамиду, ограниченную плоскостями х = Ъ, у = 0, z = 0, х-у-z = О, решается задача Дарбу. А для уравнения Р а и^ + иу2 =0, а,р>0, а + р<1, (В) х- у - г х- у - г в той же области £1 в специальном классе решаются задачи Дарбу.

Дорофеев А.В. в диссертации [17] исследует краевые задачи для вырождающегося гиперболического уравнения

2 + у~хрху,+рихг-аиу2 =0,0<а,р<1,а + р<1. (С)

Настоящая работа состоит из трех глав. В первых двух главах диссертации решаются задачи для уравнения х-у-г'рук+аиуг =0. (1)

В первой главе приводится постановка, доказательство существования и единственности решения задачи Дарбу для уравнения (1) на множестве Д которое представляет собой прямую треугольную призму, ограниченную плоскостями у = 0, х = Ъ, у = х, г = 0, г = И.

Плоскость вырождения уравнения (1) делит множество П на две области : = И п {г > х - у}, = В п{г < х - у}. 1

Пусть А = {(х,г)\0 < х < z < А}, В = {{х,г)\ 0 < г < х < 1г},

Е = {(х,у)\0 < у < х < Ь}.

Задача Дарбу. Найти функцию и(х,у,г), удовлетворяющую условиям:

1) и{х,у,г)е с(р), все смешанные производные третьего порядка непрерывны в

2) £(£/) = 0, {х,у^)еП+1)В;

3) и(х,у,г^ху=т(х,у),(х,у)ь Ё; (2)

4) и(х,0, г) = (лг, (3)

5) ¿УМ, = 4 (яг, 4 6 ^; (4)

6) Uz z=x~y+0 &z\z=x-y-0 >

5)

7) v+(x,y) = Uzy{z + y-x)a\z=xy+0=-U2y(x-y-z)a\z=xy0 = (6) = -v(x,y), где x{x,y\\\f{x,z\y{x,z) — заданные достаточно гладкие функции, U lim,Uz, v+{x,y)= lim U (z + у - xf, v(x,y) = lim U (x - у - zf. z^x-y-0 J

Задача Дарбу исследуется в каждом из четырех случаев:

О < а < 1; -1 <а <0\ -а = п,пе iV; -а = п + у, п е N,0 < у < 1.

7)

8) (9)

10)

Сначала в областях и строятся общие решения для уравнения (1) и решаются вспомогательные задачи. Так в области П+ решается задача с данными (2), (3) и II2 2=ху+0= со(х,у), а в области

D - задача с данными (2), (4), и Uz\z=xy0= со{х,у). При доказательстве существования и единственности решения вспомогательных задач в случаях (7), (8) получены формулы обращения для интегральных уравнений Абеля с параметром, например, уравнения

Z-X

1 С J (- p,z\z - х - р)~а dp = у/г (ж, z) - ю{х, x-z). о

Доказательство существования и единственности решения задачи Дарбу в этих же случаях параметра а обосновывается на основании следующей теоремы.

Теорема 1.3. Если f{x,y)<= С(Е\ fx(x,y\ fy{x, у)е C(E)f]

П L{e), 0 < р < 1, f(x,0) = 0, то единственное решение уравнения g(£,x-y\x=f(x,y) х-у определяется формулой g(x,x-y) =

1 yflf(x + t-y,tb-ty~]dt.

B(l-p,p)idt

Существование и единственность решения задачи Дарбу сформулированы в виде теорем для каждого случая из (7)-(10). Приведем, например, теоремы для случаев (7) и (9).

Теорема 1.4. Пусть 0<а<1. Если т(х,у)е с(е\ тху(х,у)е

Wxxy ' У^хуу > У ууу е С (A), q>(x, у) е с{в), tp (рх (х, х) = 0, (- J)a =1, то существует единственное решение задачи Дарбу.

Теорема 1.10. Пусть -а = п = 2к, к е N. Если т(х,у)е с{е), ?)2к+] С{Е), ср{х,у) е С(В), тху е С{Е), у(х>у)е С{Б),

Эк

2к+1 ps(s + y,s)> с(в)пф),

2к+1 э 7

2к+1 х,у) Е С (а),

Ъу

2к+1 1 I ^ /

-ГТФз^ + У'Ч = + = (р(х,х) = —у^О + У,^ ^ (<* + = У Сг, х) = =0,1 = 777к, то существует единственное решение задачи Дарбу.

Случай (10) после п -кратного дифференцирования сводится к случаю (8). Отметим при этом, что здесь, как и в случае (9) задача Дарбу в указанной постановке имеет единственное решение лишь тогда, когда п = 2к, к е N. Но если условие сопряжения (6) заменить на следующее и2у(7 + у-х)а г=х-у+0 ^ гу игЛх-У~гТ\ г=х-у-0 '

6') то и при нечетных значениях п можно получить аналогичные теоремы о существовании и единственности решения задачи Дарбу для случаев (9) и (10).

Во второй главе рассмотрена задача Л2 для уравнения (1) на множестве Я, которое представляет собой прямую треугольную призму, ограниченную плоскостями х = Щ2, у = Щ2, у - х- Ь/2, г - О, г = Ь/2, а плоскость вырождения г + у - х = 0 делит ее на две области: = $ п {г > х - у}, = 5 п {г < х - у].

Пусть

ЛГ/1 =

N1=¡[(x,z)

Ь и Ь А] х < п, х — < У < —г, 2 2 2\ ь и Ь х < п, х--< г < — \.

2 2 21

Задача Л2. Найти функцию 11{х,у,г), удовлетворяющую условиям: ю

1) и{х,у,г) е все смешанные производные третьего порядка непрерывны в и

2)

3) и(х,Ь12,г) = у1(х,г\(х,г)*7*1\ (11)

4) и(х,у/)) = у2(х,у),(х,у)еТ1о\ (12)

5) и{х,у,Ь12)=(?1{х,у),{х,у)^ N0; (13)

6) выполняются условия (5), (6), где (р](х,у), у/; (х, г), у/2 (х, у)- заданные достаточно гладкие функции.

При решении задачи Л2 также рассматриваются 4 случая (7)-(10) значений параметра а. Поскольку общие решения для уравнения (1) известны, то сначала решены вспомогательные задачи для уравнения

1) с данными (11) и (13) и игу(г + у - х)а\2=ху= у+(х,у) в области и с данными (2), иг\2=ху0= Ь(х,у), и2у{х - у - г)а\^ху0= (х, у) в области .

Разрешимость задачи Л2 во всех случаях, кроме случая (9), сводится к однозначной разрешимости обобщенного интегрального уравнения Абеля, зависящего от параметра. Например, для случая (8) это уравнение имеет вид: х , У+Л12 ,

У X ^ [у2ух (х> у) - 91 ух у)\

14) где у = -а, 0 < у < 1, решение которого определяется единственным образом [16]: V х = 1ё (тиу/2) й | у№ (ш {п7/2)Л хМ-у)-2{у + 1112-1) К,У) 2п (1х]у{х-1)г [я Л (Х-1У 2 X X д( у г У+\'2

И^-т)^ I (з - уУ!2 {у + А/2 - - г)У л.

15) где /(л, у) - правая часть уравнения (14).

Пусть

Ьух (X, у) = уС1 (у\х - у)11 {у + Ы 2 - х)8>, ¥2у* (х, У) = УС2 (у\х - уУ2 (у + Ц2 - х)82, где т1гт2 > 0, 81г82 >1 + у/2, С7(уХ С2(у)е С[0,Ь/2\ С1 (у), С2(у) -заданные функции.

Теорема 2.3. Пусть -1<а<0. Если (р](х,у),у/2(х,у)<Е е С(Ж7), Ц>1ху,у2ху е С{И0)Ь у/1(х,г)е С (д^) <р1(х,А/2) = = у/1(х)Ь¡2), функции (р1ху,у2ху имеют вид (15), то существует единственное решение задачи Л2.

При рассмотрении случая (7) приходим к обобщенному интегральному уравнению Абеля с параметром у, которое не имеет единственного решения. Однако, если условие сопряжения (6) заменить на условие (6'), то полученное интегральное уравнение однозначно разрешается относительно функции у(х,у). Но при этом надо потребовать у(х + у, у), —у(х + у,у)е е С(М0)Г) ). Последнее утвер

Эу Л ждение справедливо при условиях: р1у{х,у) = С1{у1х-у)г1 х1г2у{х,у)=С2(у\х^у)^ 9 — ос где г7 г2 > 0, 8]82 > ——, С ¡{у), С2(у) - заданные функции.

52 у Л---X 2

Для случая (9) справедлива следующая

Теорема 2.6. Если (р1{х,/), у),у)е е ), у/1(х,г)е С(ТУ7), то существует единственное решение задачи ^ (где условие (6) заменено на условие (6')).

Случай (10) аналогично, как в случае задачи Дарбу, сводится к случаю (8). Но единственное решение задача Л2 имеет лишь при четных значениях п. При нечетных я единственное решение имеет место при замене условия сопряжения (6) на условие (6').

Третья глава диссертации посвящена решению видоизмененной задачи Коши для уравнения х-у-грху2-уиху =0 в области , ограниченной плоскостями у = 0, х = Ь, г = 0, г = = х-у, методом Римана.

Задача Коши. Найти функцию и(х,у,г), удовлетворяющую условиям:

1 )и(х,у,г)е с(р\ все смешанные производные 3-го порядка непрерывны в ;

2 )Ь(и)^0,(х,у,2)еВ-Ъ)и{х,у,г)[2=ху0=т{х,у\{х,у)& Е\

4) II у г=х-у-0 со{х,у\{х,у)6 Е;

5) и ух (х - у - 2=хуо = v(лr, у), (х, у) с Е, где х(х,у), со(х, у), у(х,у) — заданные достаточно гладкие функции. Поставленная задача исследуется в каждом из двух случаев:

0<у <1, -1 <у <0.

Теорема 3.1. Пусть 0 <y <1. Если т{х,у), oj(x, у), ых(х, у)е с(в\ тху> Юу е ^(^Oj v(x,y)e С(Е)п l(e\ vxy е С (В), то существует единственное решение задачи Коши, и оно определяется формулой

U(x,y,z) = x{x,x-z)~ ](ú{z + t,t)dt-X]Z ]v{t,s\t-s~z)~ydtds. y y s+z

Аналогично получается решение задачи Коши в случае -1 < у < 0.

Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [45-55]. В работах [45-47,51,55] соавторам В.Ф. Волкодавову и И.Н. Родионовой принадлежат постановки задач.

В данной диссертации автором на защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Постановка, доказательство существования и единственности решения задачи Дарбу для уравнения (1) для значений параметра а < 1.

2. Получение формул обращения интегральных уравнений типа Абеля с параметром.

3. Доказательство существования и единственности решения задачи А2 для уравнения (1) для значений параметра а < 1.

4. Построение в явном виде решения видоизмененной задачи Коши для уравнения (16).

Пользуясь возможностью, выражаю искреннюю благодарность научным руководителям доктору физико-математических наук, профессору Виктору Филипповичу Волкодавову и доктору физикоматематических наук, профессору Камилю Басыровичу Сабитову за постоянное внимание к работе и ценные советы. Также выражаю благодарность кандидату физико-математических наук, доценту Ро-дионовой Ирине Николаевне за ценные советы при получении результатов третьей главы.

В диссертации использовался следующий порядок нумерации: номер 1.2 означает формулу (теорему, лемму) первой главы.

1. Бицадзе А.В. Об одном трёхмерном анализе задачи Трикоми // Сиб. мат. журнал. -1962. -т.3.5. -с.642-644.

2. Бицадзе А.В. К проблеме уравнений смешанного типа в многомерных областях // ДАН СССР, т. 110, 6, 1956, с.90-92.

3. Бицадзе А.В. Об уравнениях смешанного типа в трёхмерных областях // ДАН СССР, т.143, №5, 1962, с.1017-1019.

4. Бейтмен Г. и Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Наука. -1965. -296с.

5. Волкодавов В.Ф., Захаров В.Н. Функции Римана для одного класса дифференциальных уравнений в трёхмерном евклидовом пространстве и её применения. Самара. 1996.-52с.

6. Волкодавов В.Ф., Захаров В.Н. Таблицы функций Римана и Римана-Адамара для некоторых дифференциальных уравнений в п-мерных евклидовых пространствах. Самара.: Изд. Самарский университет, 1994, 31с.

7. Волкодавов В.Ф., Дорофеев А.В. Задача Коши для одного вырождающегося гиперболического уравнения третьего порядка // Изв. вузов. Математика, -1993.ll.-c.6-8.

8. Волкодавов В.Ф., Родионова И.Н. Видоизменённая задача Коши для одного вырождающегося уравнения третьего порядка // 1нте-гральш перетворення та к застусовання до крайових задач. Кшв -1995.10.,-с.19-25.

9. Волкодавов В.Ф., Родионова И.Н. Основные краевые задачи для одного уравнения третьего порядка в трёхмерной области специального вида // Диффер. ур-ния. -1993. -Т.29,8. -с.1459-1461.

10. Волкодавов В.Ф., Николаев Н.Я., Быстрова O.K., Захаров В.Н. Функции Римана для некоторых дифференциальных уравнений в п-мерном евклидовом пространстве и их применение. -Самара.: Изд. Самарский университет. -1995, -76с.

11. Волкодавов В.Ф., Родионова И.Н., Салтуганов Н.М. Интегральные уравнения Вольтерра первого рода с параметрами и их приложения // Йошкар-Ола, 1997. -с.29-69.

12. Волкодавов В.Ф., Николаев Н.Я. Интегральные уравнения Вольтерра первого рода с некоторыми специальными функциями в ядрах и их приложения. Самара: Изд. Сам. ун-т. -1992. -с.5-7.

13. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматлит. 1963. -1100с.

14. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука. -1977. -640с.

15. Дорофеев A.B. Краевые задачи для некоторых гиперболических уравнений третьего порядка в трёхмерном евклидовом пространстве // Диссертация на соискание учёной степени кандидата физ.-мат. наук. Самара, 1994, -84с.

16. Ежов А.М. Об одном трёхмерном аналоге задачи Коши Гурса для уравнения третьего порядка // Дифференциальные и интегральные уравнения, мат. физика и специальные функции. Междунар. научн. конференция. Тезисы докл., Самара, 1993. -с.91-92.

17. Ежов А.М. К вопросу о корректной постановке задачи Коши для уравнения третьего порядка // Дифференциальные уравнения. Том XXX, Минск. 1994. -с.526-528.

18. Ежов А.М. Аналог задачи Коши для уравнения третьего порядка // Междунар. конф. по мат. моделированию. Тезисы докл. / Якутск: Изд. ЯГУ, 1994. -с.28.

19. Жегалов В.И. Трёхмерный аналог задачи Гурса // Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа. -Новосибирск. 1990. -с.94-98.

20. Жегалов В.И. Представление решений одного уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами // Мат. моделирование и краевые задачи. Труды шестой межвуз. конференции, 29-31 мая 1996г., Самара. 1996. -с.34.

21. Жегалов В.И., Миронов А.Н. Трехмерные характеристические задачи с нормальными производными в граничных условиях // Дифференциальные уравнения. 2000, т.36, №6, -с.833-836.

22. Жегалов В.И. Трехмерный аналог задачи Гурса // Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа. -Новосибирск, -с.94-98.

23. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики //М.: Физматгиз, 1962-767С.

24. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа // М.: Наука. -1989. -734с.

25. Лазаренко Л.А. Задача Гурса для одного вырождающегося уравнения третьего порядка в трёхмерном пространстве // Диф. ур-ния.: Межвузовский сборник научн. трудов / Орск.: Изд. Орского пед. инс-та, 1992, -с.42.

26. Невоструева И.Л. Задача Коши Гурса для одного уравнения третьего порядка в трёхмерном евклидовом пространстве // Совр. групповой анализ и задачи мат. моделирования. XI Российский Коллоквиум. Тезисы докл. -Самара: Сам. унив.-т, 1993, -с.98.

27. Нахушев А.М., Пашковский В.И. О задаче A.B. Бицадзе для уравнения смешанного типа в многомерных областях // Дифференциальные уравнения, т.7, №1, 1971, с.57-63.

28. Пулькин С.П. Сингулярная задача Трикоми в пространстве // Уч. зап. Куйб. пед. ин-та., вып. 14, 1956, с.63-77.

29. Раджабова JI.K. теории одного уравнения третьего порядка со сверхсингулярной точкой // Вырождающиеся уравнения и ур-ния смешанного типа / Междунар. научн. конф. Тезисы докладов. Ташкент.: ФАН, 1993, -с.145.

30. Раджабова JI. О некоторых случаях для одного линейного дифференциального уравнения третьего порядка со сингулярной точкой // Междунар. конф. по мат. моделированию. Тезисы докл. Якутск.: ЯГУ, 1994., -с.53.

31. Сабитов К.Б., Дорофеев A.B. О функции Римана одного класса гиперболических уравнений третьего порядка // Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы. Труды междунар. конф., т.З. Ин-т Мат-ки с ВЦ УНЦ РАН. -Уфа. 2000, -с.148-152.

32. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, т.2 // М.: Наука. -1968. -463с.

33. Чиханов Х.А. Применение рядов Лауречеллы к решению одного многомерного гиперболического уравнения// Вестник Самарского госуниверситета, №2, 1996.- Самара. — 1996. с.55-59.

34. Энбом Е.А. Аналог задачи Гурса для одного вырождающегося уравнения третьего порядка// Математическое моделирование и краевые задачи. Труды 8-ой Межвузовской конференции. 26-28 мая 1998 г, часть 3. Самара. - 1998. - с.105-107.

35. Юсупов Д. К теории одного трёхмерного уравнения третьего порядка с одной сингулярной плоскостью // Междунар. конф. по мат. моделированию. Тезисы докл. Якутск.: Изд. ЯГУ, 1994, -с.66.

36. Волкодавов В.Ф., Бушков C.B. Задача л2 для одного дифференциального уравнения третьего порядка в трёхмерном евклидовом пространстве // Международный семинар. Дифференциальные уравнения и их приложения. Тезисы докладов. -Самара, СамГУ, 1995, -с.37.

37. Волкодавов В.Ф., Бушков C.B. Задача с интегральными и неинтегральными условиями для одного вырождающегося уравнения третьего порядка в трёхмерном евклидовом пространстве // П'ята Мжнаро- дна наукова конференщя mtm академгка М. Кравчука, Кшв, 96, -с.77.

38. Бушков C.B. Задача Н3 для одного вырождающегося уравнениятретьего порядка в трёхмерном евклидовом пространстве // Доклады 51-ой научной конференции СГПУ, апрель, 1997. -Самара. 1997. -с.8-13.

39. Бушков C.B. Задача для уравнения третьего порядка с интегральными и локальными условиями // Российская научно-техническая конференция. Тезисы докладов. Март 1997г. Самара: Изд. ПИ-ИРС. 1997. -с.91.

40. Родионова И.Н., Бушков C.B. Решение видоизменённой задачи Коши для одного трёхмерного аналога уравнения Эйлера-Дарбу методом Римана // Доклады 52-ой научной конференции СГПУ. Самара, май 1998г. Сборник научных трудов, -с.83-89.

41. Бушков C.B., Родионова И.Н. Применение метода Римана при решении задачи Коши для одного уравнения // Крайов! задач! для ди-ференщальных ргвиянь. 36. наук. пр. -Кшв. -1н-т математики НАЛ Украши. -1999. -вып.З. -с.40-46.

42. Бушков C.B. Формулы обращения одного управления Вольтер-ра первого рода с параметром и его применения // Дифференциальные уранения и их приложения в физике. Сборник научных трудов. Стер-литамакский филиал АН РБ. -Стерлитамак. 1999. -с.9-12.

43. Бушков C.B. Задача для одного трехмерного аналога уравнения Эйлера-Дарбу // Доклады 54-ой научной конференции СГПУ —Самара, 2000. -с.11-16.

44. Волкодавов В.Ф., Родинова И.Н., Бушков C.B. Решение видоизмененной задачи Коши методом Римана для одного пространственного аналога уравнения Эйлера-Дарбу с отрицательными параметром // Дифференциальные уравнения. 2000. Т.36, №4, с.552-554.