Краевые задачи для уравнений с сильным вырождением в классах функций, неограниченных на характеристиках тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

АГЛЯМЗЯНОВА ГУЛЫНАТ НАКИПОВНА

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С СИЛЬНЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ В КЛАССАХ ФУНКЦИЙ, НЕОГРАНИЧЕННЫХ НА ХАРАКТЕРИСТИКАХ

специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2006

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Казанского государственного архитектурно-строительного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Хайруллин Равиль Сагитович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Мухлисов Фоат Габдуллович

кандидат физико-математических наук, доцент Плещинская Ирина Евгеньевна

Ведущая организация: Самарский государственный университет

Защита состоится 23 ноября 2006 г. в 16.00 ч. на заседании диссертационного совета К 212.081.06 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Университетская, д. 17, ауд. 324.

С диссертацией можно познакомиться в научной библиотеке им. Н.И.Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан £ СЯСГугЛЮ1\9 2006 года.

Ученый секретарь диссертационного совета* кандидат физ.-мат.наук

Липачев Е.К.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория краевых задач для уравнений смешанного элл иптнко-гипербол и ческого типа является одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов теории дифференциальных уравнений с частными

у

производными.

Начало этому направлению было положено в 20-х годах прошлого столетия в работах Ф.Трикоми и С.Геллерстедта, в которых были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа. Они изучали задачи для уравнения смешанного типа с одной линией параболического вырождения, теперь известные как "задача Трикоми" и "задача Геллерстедта".

Позднее Ф.И.Франклем были обнаружены важные приложения задач Трикоми и родственных ей к газовой динамике. Вскоре И.Н.Векуа, А.В.Бицадзе, В.С.Виноградовым, А.А.Дезиным, В.А.Ильиным, И.А.Наместниковым были найдены и другие применения: теория бесконечно малых изгибаний поверхностей, безмоментная теория оболочек с кривизной переменного знака, магнитная гидродинамика. Все это явилось причиной для возникновения широкого фронта исследований подобных задач. В нашей стране возник целый ряд научных групп, которые успешно вели работу в этом направлении. Наиболее существенное влияние на эту работу оказали результаты А.М.Лаврентьева, А.В.Бицадзе, К.И.Бабенко, Л.В.Овсянникова. В дальнейшем эти задачи изучались многими авторами, как в нашей стране, так и за рубежом. Достаточно полный обзор проводившихся исследований и библиография содержатся в монографиях А.В.Бицадзе, Т.Д.Джураева, Ю.М.Крикунова, М.М.Смирнова.

В зависимости от того, является ли линия изменения типа огибающей характеристик, или нет, уравнения смешанного типа подразделяются на уравнения второго и первого родов соответственно. По аналогии с работой

С.М.Никольского и П.И.Лизоркина, будем также различать уравнения со слабым и с сильным вырождением. К первой группе отнесем те уравнения, для которых, оказывается корректно поставленной классическая или весовая задача Коши с данными на особой линии. В противном случае уравнение отнесем ко второй группе.

В указанных выше монографиях, а также в книгах Е.И.Моисеева, М.М.Смирнова и Ф.Трикоми подробно изложены методы исследования основных краевых задач, главным образом для уравнений со слабым вырождением. Из всех названных книг уравнениям с сильным вырождением посвящена только одна глава в монографии Ю.М.Крикунова.

Такое положение, по-видимому, явилось следствием недостаточной изученности уравнений эллиптического и гиперболического типов особенно при их сильном вырождении. В частности, при постановке и исследовании задачи Трикоми для уравнений со слабым вырождением существенно используется решение задачи Коши, в то время как для уравнений с сильным вырождением она не корректна. А других задач, заменяющих ее, не было. Таким образом, возникли трудности даже с постановкой задачи Трикоми. Поэтому для уравнений с сильным вырождением в первую очередь начали рассматривать задачи, в которых па особой линии задается только условие непрерывности искомой функции, и это, как правило, позволяло в отличие от задачи Трикоми последовательно строить искомую функцию сначала в одной из подобластей, а затем в другой.

Краевыми задачами для уравнений смешанного типа с сильным вырождением занимались С.С.Исамухамедов, И.Л.Кароль, Ю.М.Крикунов, М.С.Салахигдинов, Н.М.Салтыкова, М.М.Смкрнов, Р.С.Хайруллин, Хс Кан Чер.

В работах Р.С.Хайруллина исследована задача Трикоми для уравнения

БИЛ V м„ + и^, + ^в, + —иу = 0 , (1)

при нецелых 2р<\. Уравнение (1) в каждой из подобластей совпадает с уравнением Эйлера-Пуассона-Дарбу. При >><0 оно в характеристических координатах принимает вид

5-Л % -П

Автором доказана единственная разренгамость задачи Трикоми, причем, в случае а > О, р < О возникли п +1 или я + 2 условия разрешимости в зависимости от значения некоторого параметра с.

Большое число работ посвящено исследованию задачи А, для уравнения Эй л ера-Пуассона-Дарбу (2), к которому заменой переменных сводятся многие вырождающиеся модельные уравнения гиперболического типа. Сюда можно отнести статьи А.А.Андреева, В.Ф.Волкодавова, И.А.Наместникова, Н.Я.Николаева.

Во всех работах на параметры аир накладываются условия, которые можно объединить так: |а| + |р|<1. Только в работе Н.А.Андриянова исследуется случай -2< р <- I. Таким образом, не было исследований задачи А2 для гиперболических уравнений с сильным вырождением. Этот недостаток был частично восполнен в работах Р.С.Хайруллина, в которых построено единственное решение задачи д, для уравнения (2) при

а = р (-1 <а + л < 0, а + л *и -1 <а + п < 0, р = -к, где п,к - целые

неотрицательные числа. Здесь при а * р возникли - и| условий разрешимости.

Из приведенного обзора видно, что в рассмотренных задачах Трикоми, Д, для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с неравными параметрами в ряде случаев не удается получить безусловную разрешимость. Естественной является попытка снять эти условия разрешимости за счет дальнейшего ослабления на функции, входящие в постановку задач.

Основными целями работы являются: исследование краевых задач для уравнений с сильным вырождением в классе функций, неограниченных на характеристике; построение безусловного решения задач Тршсоми для уравнения (1) и лг для уравнения (2).

Методы исследования. При построения решения краевых задач используется метод интегральных уравнений. В работе также развиваются идеи и методы теории функций действительной переменной, специальных функций, дифференциальных уравнений.

Научная новизна. 1. Постановка задач Трикоми и А2 для уравнения Эйлсра-Пуассона-Дарбу смешанного типа.

2. Решение задачи Трикоми для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу при отрицательных значениях параметров в классе функций, неограниченных на характеристике.

3. Решение задачи д2 доя уравнения Эйлсра-Пуассона-Дарбу при отрицательных значениях параметров в случае нецелого первого параметра в классе неограниченных функций.

4. Доказательство некорректности задачи Д2 для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу при отрицательных значениях параметров в случае целого первого параметра.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер, заполняя определенный пробел в исследованиях по уравнениям с частными производными.

Апробации работы. Результаты диссертации по мере их получения докладывались на ежегодных научно-технических конференциях Казанского государственного архитектурно-строительного университета (2001-2002 гг.), на Итоговой научной конференции Казанского университета (2001 г.), на

6

Международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики" (г. Казань, 2000 г.), на XI научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" ( г. Самара, 2001г.), на Международной молодежной научной школе-конференции (г. Казань, 2002 г.) и на Международной научной конференции "Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы" (г. Стерлитамак, 2003 г.).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в работах [1] " [9], список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых па 9 параграфов, списка литературы. Объем диссертации составляет 88 страниц, включая список литературы, состоящей из 67 наименований.

Основное содержание работы

Во введении приведен краткий обзор литературы но теме диссертации, излагается краткое содержание работы, сформулированы основные результаты, которые выносятся на защиту.

В главе 1 рассмотрена задача Д2 для уравнения (2) в области а, ограниченной характеристиками л£> = 0, СИ :п = 1, АЗ :г| = 0, ВС = 1.

В § 1 исследована задача Дг для уравнения (2) при 0 < а + и < 1 и 0<р+£<1, к > п .

Задача А?. В области Г2 найти функцию со свойствами:

1) ы(4,п)еС(Пи.40ийС);

2) имеет непрерывные производные и,, ц, и иЬ] и удовлетворяет уравнению (2) в £),иП2;

3) существуют пределы из областей С2(., ¡' = 1,2,

v, = ит)п -ып р;х)] 0<п < 1,

и на линии вырождения АС выполняется условие склеивания

у,(т1) = (-1Г^г(п>,0<т1 <1;

4) «(£ ,11) удовлетворяет краевым условиям

«(0д1)=<р(г|), 0<г) <1,

и(1,т1)=Ч>Сп). 0<г|

Здесь £7, <т(>г\т(п) = н(т),-п), 021 —

обозначения, а Ф Сп), V (л) — заданные функции, удовлетворяющие следующему условию.

Условие 1. 1) В случае 1<а„ + р„<2 функция 9(П) <= С"'1 [0;1 )глС" (0;1) и может иметь особенности при г| = 1 порядка ниже а - р , а производная ф""(п) при т] = 0 может иметь особенности порядка ниже а0; функция V (п) с С""' С" (0;1) и имеет особенности при т] = 0 порядка ниже а-р, а производная \|/ '"}01) может иметь особенности при 11 = 1 порядка ниже а0;

2) в случае 0<а0 + р0 <1 функция ф(п) ес""'[0;1)пс"(0;1) и может иметь особенности при п=1 порядка ниже а производная ф^'Чп) при г)=0

может иметь особенности порядка ниже а0 + р0; функция у(л)еС"-'(0;1]п>С"(0;1) и имеет особенности при г)=0 порядка нижса+Л, а производная у ) может иметь особенности при г) = 1 порядка нижеа,, + р0.

Здесь а„=а+л, ри = р+£. Функционал я(£,т|;а,р;т) имеет специальный известный вид.

Решение строится в классе функций т(п),у(.(п), удовлетворяющих условию 2.

Условие 2. 1) В случае 1<а0 + р„<2 функция т(п)£С""'[0;1}~1С"(0;1), производная т'"'^) мохсет иметь особенности при Т1 =0 и ^ =1 порядка ниже

а„; функции v, (т|) е С(0;1) и могут иметь особенности при т} = 0 и т| = 1 порядка ниже 1-р;

2) в случае 0<ао + ри<1 функция т(л) еС"1 [0;l]-» С" (0;1), производная ■с(п)(т\) может иметь особенности при rj = 0 п г| = 1 порядка ниже а0 + р0; функции v((ri)eC(0;l) и могут иметь особенности при т| =0 и л = 1 порядка ниже 1 + к.

Методом интегральных уравнении задача сводится к эквивалентной двуточечной задаче для интегро-дифференциального уравнения относительно функции т(х). Показано, что она всегда разрешима и зависит от некоторого количества произвольных постоянных. В результате доказана

Теорема 1. Если заданные функции ф(лХуСп) удовлетворяют условию

1, то задача А2 имеет решение в классе функций, удовлетворяющих условию

2, причем оно будет содержать к-п-1 произвольное постоянное.

Здесь также исследовано поведение решения па характеристиках

CD и ЛВ.

Теорема 2. Решение //(^.tj) при и -> 1 или при ц -»0 имеет особенность порядка ниже а -р , если 1<а0 + р0<2, и ниже а+ к, если 0<а„ + р0 <1.

В § 2 исследована задача Дг для уравнения (2) при 0<а + л<1 и p=-¿+l. Функции ф(л),у(т|)заданы в классе функций, удовлетворяющих условию, аналогичному условию 1.

Решение построено в классе функций т(т)),у,(г|), удовлетворяющих условию, аналогичному условию 2.

В результате доказаны теоремы, аналогичные теоремам 1 и 2.

В § 3 рассмотрена задача Д2 для уравнения (2) при а = -и +1 и 0< р +к <1. Функции ф(г|),1)/(г|) заданы в классе функций, удовлетворяющих

Условию 3. Функция ф(г() еС-1 [0;l)r\C(0;l) и может иметь особенности при т| =1 порядка ниже а - р, а производная ф(п,(т|) при т] =0 может иметь

особенности порядка ниже 1; функция v(n) е С"*-1 (0;1 С* (0;I> и имеет особенности при rj=0 порядка ниже а-р, a производная \|/'"Чл) может иметь особенности при t| = 1 порядка ниже 1.

Решение строилось в классе функций т(>-|),у,(г1), удовлетворяющих условию 4.

Условие 4. Функция r(n) eC"_,[0;i]nC"(0;l), производная т'"!(л) может иметь особенности при rj =о и ц = 1 порядка ниже 1; функции уДп) е С(0;1) и могут иметь особенности при т| = 0 и ri = 1 порядка ниже 1 - р .

Теорема 3. Если a=-« + l, 0<p+fc<1, то задача А2 разрешима при выполнении условия разрешимости

Л V^ft) + (-1)41 ("Чп) = 0

и решение определяется с точностью до одной произвольной функции.

В § 4 исследована задача Д, для уравнения (2) при а =-п и р =-Л. Функции ф(п),ч/(п) заданы в классе функций, удовлетворяющих условию, аналогичному условию 3.

Решение строилось в классе функций îOi),v,(r|), удовлетворяющих условию, аналогичному условию 4.

В этом случае, как и в предыдущем, получено условие разрешимости.

Таким образом, в случае целых а задача Д2, вообще говоря, некорректна, так как она разрешима только при наличии зависимости между заданными функциями и решение при этом содержит произвольную функцию.

В главе 2 исследована задача Трикоми для уравнения (1), где p,q-вещественные параметры, в смешанной области D, эллиптическая подобласть которой Ц совпадает со всей верхней полуплоскостью, а гиперболическая подобласть D1 представляет собой треугольник, ограниченный характеристиками АВ :х + у = 0, ВС :х - у = 1 и отрезком АС оси абцисс.

Здесь рассмотрен случай нецелых 2р < 1, где 2р =а + р . Введены также обозначения 2д=а~р,т,пЛ- такие неотрицательные числа, что

ß0=ß+fc, 0<2р + т<1, & = 2р+т.

В § 1 приведена постановка задачи.

Задача Т. Найти функцию к(.г,.>') со свойствами:

1) и(хо')еС(д v-j AB w {(дг;0)}) и ограничена на бесконечности;

2) t«(x, v)e Сг(D, и02)и удовлетворяет уравнению (1) в />, \j D};

3) существуют пределы

v,.(*)= lim (^'''[К-г.^-^Дг.уд)], 0< .v< 1,

V-+Ü 1 ' -

U.s>eP<

1 = 1,2 и на АС выполняется условие склеивания v1(.T>=cv2(.x), 0 < .т < 1,

где

т(.т)=«(т,0), 0<х<1, (3)

выполняются

неравенства

0<а-/т<1, а0=а-п, 0<р+Л<1,

¿-1«!

а} = Ц-1)' cos' % sin"2"-' ^

о

B(l-p-iq,\-p + iq)

а? = F(-l,a,a + ß,2), с > 0 - параметр; 4) u(x,v) удовлетворяет краевым условиям u(.v,0) = 0, дг 2 0 пли л- > 1,

(4)

Здесь y (.г) - заданная функция, удовлетворяющая условию 5.

имеет нуль порядка выше

1 - 6 , а при х = 1 имеет особенность порядка ниже а .

Решение задачи Три коми строилось в классе функций ■с(л),^|(л) , удовлетворяющих условию 6.

Условие 6. Функция т (х) е с[0; Ся'1 (0; 1]п Ст* (0; 1) п С* (0; 1), х (д:) при х = 1 имеет особенность порядка ниже 8 , % (х) при х = 0 имеет нуль порядка выше 1 -8 ; функции v(.(д:) е С"(0;1) могут иметь особенности при = 1 порядка ниже 1, при х = 0 - порядка ниже т. Здесь X > 1 -5 .

В § 2 рассмотрена задача Дирихле (3), (4), которая использована для вывода основного соотношения из эллиптической подобласти. В итоге доказана

Теорема 4. Основное соотношение из эллиптической подобласти имеет

вид

В § 3 приведен вывод основного соотношения из гиперболической подобласти. При этом отдельно рассмотрены случаи

Результатом этого параграфа является следующая

Теорема 5. Основное соотношение из гиперболической подобласти имеет вид

В § 4 приведен вывод и решение интегрального уравнения. С помощью условия склеивания, используя основные соотношения из эллиптической и гиперболической подобластей, получено уравнение

V ,(*) = -/А2р)0^"х (х) - /,Г{2рУ** (х).

1) 0<а-п<1,0<Р+Л<1;

2) 0 < а - я < 1, р =-¿ + 1;

3) а = л > 0, О < р + Аг< 1.

(5)

(6) (7)

где = ■

ег'—"

Г(2/>)Г(1-2р)

Обе части равенства (8) при х = 0 имеют особенности порядка ниже т. Это не позволяет использовать известные схемы его преобразования, построенные ранее. Поэтому для обращения полученного уравнения были использованы другие интегральные операторы. В результате было получено уравнение

Г «-1 , V. 1 <*т , /V N

"[.Vе V---—Г-^с/а = /(.г),

с/.т л <1х гт - х

1хе 4 ятя(1-о) \2)

ф = — агс л

^^•вшяа-З) Далее сформулирована и доказана

Теорема 6. Если функция ц/(д) удовлетворяет условию 5, то в классе функций т(лг),у,(дг), удовлетворяющих условию 6, задача Трикоми имеет единственное решение.

В § 5 исследовано поведение решения и(х,у) на характеристике ВС отдельно для случаев (5) - (7). Результатом является

Теорема 7. Решение и (*,>•) при г -»1 имеет особенность порядка ниже а . Здесь г =х-у.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Хайруллину Равилю Сагитовичу за постановку задач, постоянную помощь в работе и поддержку.

Литература

1. Аглямзянова Г. П. Задача Трикоми в классе функций неограниченных на характеристике : материалы 54-й рсспуб. науч. конф. Сб. науч. тр. аспирантов / Г. Н. Аглямзянова. — Казань : Каз. гос. архитектурно-строительная академия, 2002. - 192 с.

2. Аглямзянова Г. Н. Задача Трикоми для одного уравнения в классе неограниченных функций : материалы междунар. молодежной науч. школы-конф. / Г. Н. Аглямзянова. - Труды / Матем. центр им. Н.И.Лобачевского. -Казань : Изд-во Казанского математического общества, 2002. - Т. 18 : Казанское математическое общество. Лобачевские чтения — 2002. — 112 с.

3. Аглямзянова Г. Н. К задаче Трикоми для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу : труды междунар. конф. «Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы», Стерлитамак, 2428 июня 2003 г. / Г. Н. Аглямзянова. - Уфа : Гилем, 2003 - Т. 2. - 283 с.

4. Аглямзянова Г. Н. Задача Трикоми в классе функций неограниченных на характеристике / Г. Н. Аглямзянова, P.C. Хайруллин // Изв. вузов. Математика. — 2004. - JN'e 4. — С. 3 — 7.

5. Зайнуллина Г. Н. Задача Д2 для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу в классе функций, неограниченных на характеристике / Г. II. Зайнуллина // Изв. вузов. Математика. — 2003. — № 3. — С. 15-19.

6. Зайнуллина Г. П. Задача Д, для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с сильным вырождением : материалы 53-й ресиуб. науч. конф. Сб. науч. тр. аспирантов / Г. Н. Зайнуллина. - Казань : Каз. гос. архитектурно-строительная академия, 2001. — 192 с.

7. Зайнуллина Г. Н. Задача Д, для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с сильным вырождением : материалы междунар. науч. конф. / Г. Н. Зайнуллина. — Труды / Математический центр им. Н.И.Лобачевского. -Казань: УНИПРЕСС, 2000. - Т. 15 : Актуальные проблемы математики и механики.-311 с.

8. Зайнуллина Г. Н. К задаче Аг для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу: труды двенадцатой межвузовской конф. «Математическое моделирование и краевые задачи» / Г. Н. Зайнуллина. - Самара : Самарский гос. техн. ун-т., 2002. - 141 с.

9. Зайнуллина Г.Н. К задаче Д2 для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу: труды одиннадцатой межвузовской конф. «Математическое моделирование и краевые задачи» / Г. Н. Зайнуллина. — Самара : Самарский гос. техн. ун-т., 2001.-142 с.

Отпечатано в ООО "Кукморская типография" 422110, РТ, п.Кукмор, ул.Ленина, 39. Тел.: (84364) 2-66-63 Заказ № 2825, тираж 100 экз.

ВВЕДЕНИЕ.3

ГЛАВА 1. О задаче Д2 для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с сильным вырождением.12

§ 1. Случай дробных отрицательных коэффициентов уравнения.12

§ 2. Случай 0 < а + п < 1, f3 = -к + 1.42

§ 3. Случай а = -п + 1, 0</3 + к<1.49

§ 4. Случай а = -п, /5 =-к.53 —

ГЛАВА 2. Задача Трикоми для одного уравнения в классе функций, неограниченных на характеристике.58

§ 1. Постановка задачи. . .58

§ 2. Вывод основного соотношения из эллиптической подобласти. .61

§ 3. Вывод основного соотношения из гиперболической подобласти. .67

§ 4. Вывод интегрального уравнения и решение задачи.75

§ 5. Поведение решения задачи на характеристике ВС. . . 78

Теория краевых задач для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа является одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов теории дифференциальных уравнений с частными производными. Начало этому направлению было положено в 20-х годах прошлого столетия в работах Ф.Трикоми [48] и С.Геллерстедта [67], в которых они рассмотрели соответственно для уравнений краевые задачи, впоследствии получившие их имена.

К постановкам этих первых задач их авторы пришли из чисто теоретических соображений: они хотели заполнить пробел в данной области. Позднее Ф.И.Франклем [52] были обнаружены важные приложения задач Трикоми и родственных ей к газовой динамике. Вскоре были найдены и другие применения (см., напр., [10, 11, 38, 53, 54]): теория бесконечно малых изгибаний поверхностей, безмоментная теория оболочек с кривизной переменного знака, магнитная гидродинамика. Все это явилось причиной для возникновения широкого фронта исследований подобных задач. В нашей стране возник целый ряд научных групп, которые успешно вели работу в этом направлении. Наиболее существенное влияние на эту работу оказали результаты А.М.Лаврентьева, А.В.Бицадзе, К.И.Бабенко, Л.В.Овсянникова. В дальнейшем эти задачи изучались многими авторами, как в нашей стране, так и за рубежом. Достаточно полный обзор проводившихся исследований и библиография содержатся в монографиях А.В.Бицадзе [7, 9], Т.Д.Джураева [17], Ю.М.Крикунова [34], М.М.Смирнова [45], а также в статье А.В.Бицадзе

В зависимости от того, является ли линия изменения типа огибающей характеристик, или нет, уравнения смешанного типа подразделяются на уравнения второго и первого родов соответственно. Мы, по аналогии с у и +и = 0,

J хх уу ' ут ии + и = 0, т = 2п +1, п е N,

0.1) (0.2)

8]. работой С.М.Никольского и П.И.Лизоркина [39], будем также различать уравнения со слабым и с сильным вырождением. К первой группе отнесем те уравнения, для которых оказывается корректно поставленной классическая или весовая задача Коши с данными на особой линии. В противном случае уравнение отнесем ко второй группе.

В указанных выше монографиях, а также в книгах Е.И.Моисеева [37], М.М.Смирнова [46] и Ф.Трикоми [48, 49] подробно изложены методы исследования основных краевых задач, главным образом для уравнений со слабым вырождением. Из всех названных книг уравнениям с сильным вырождением посвящена только одна глава [34].

Такое положение, по-видимому, явилось следствием недостаточной изученности уравнений эллиптического и гиперболического типов особенно при их сильном вырождении. В частности, при постановке и исследовании задачи Трикоми для уравнений со слабым вырождением существенно используется решение задачи Коши, в то время как для уравнений с сильным вырождением она некорректна. А других задач, заменяющих ее, не было. Таким образом, возникли трудности даже с постановкой задачи Трикоми. Поэтому для уравнений с сильным вырождением в первую очередь начали рассматривать задачи, в которых на особой линии задается только условие непрерывности искомой функции, и это, как правило, позволяло в отличие от задачи Трикоми последовательно строить искомую функцию сначала в одной из подобластей, а затем в другой.

К этой серии можно отнести работу И.Л.Кароля [28], который, исследуя краевые задачи для уравнения второго рода ихх+уиуу+аиу=0, (0.3) предложил в случае сильного вырождения для уравнения (0.3), то есть при а < 0, рассмотреть задачу М с данными на всей границе (на эллиптической дуге и на обеих характеристиках).

Впервые задачу Трикоми для уравнения (0.3) при а = -п + а0, а0 рассмотрел С.С.Исамухамедов [23, 24, 25, 26]. Контур предполагался нормальным. На линии вырождения, кроме условия непрерывности решения, задавалось также условие склеивания v+(x) = (-l)V (х), (0.4) где v+(x)=limy"[uy+B+a(u)], v(x) = Пт(-у)а[и-В~а(х,у,т)]у, (0.5) у-*О- 7 т(х) = и(х, 0). (0.6)

Здесь В+а(и) - дифференциальный оператор, В~(х,у,т) - решение уравнения (0.3), удовлетворяющее условиям В~(х,0,т) = т(х),

1Ы-уГ~В-а(х,у,т) = 0. ду

Решение задачи, как и в работе [27], искалось в некотором обобщенном классе, в котором для т(х) из равенства (0.6) имеет место представление г т(х)= \T{a){x-a)x-2ttda, (0.7) о a v+ (х), v (х) и Т(х) - непрерывны и интегрируемы в (ОД).

В совместных работах М.С.Салахитдинова и С.С.Исамухамедова [42, 43] эта задача обобщена на случай разрывных условий склеивания г^(х) = а(х)т(х) + г(х), v+(x) = /1(x)v(x) + S(x).

Отметим, что во всех этих работах задачи исследовались методом интегральных уравнений и при выводе соотношений и интегрального уравнения существенно использовались представление (0.7) и свойства функций v (х), у(х) и Т(х).

Уравнению (0.3) при а = -п+~ посвящен цикл работ Ю.М.Крикунова.

В статье [31] рассмотрена задача Трикоми в случае, когда эллиптическая подобласть совпадает со всей верхней полуплоскостью. Условия склеивания определялись аналогично предыдущим авторам. Предполагалось, что функции v+(x), v(x) и г<2"+1,(х) - непрерывны и интегрируемы в (ОД). Было обнаружено, что задача Трикоми с заданием на эллиптической дуге Г значений самого решения для уравнения (0.3), вообще говоря, некорректна, так как для существования ее решения приходится накладывать 2п условий интегрального характера на заданные функции.

В последующих работах предложено для получения корректных задач на Г задавать значения не самого решения, а его некоторой производной, а дпи именно в [32] и в [33]. В последней работе на контур накладывались ограничения, аналогичные [65], и задача решалась с использованием комформного отображения.

Следующим этапом в изучении задачи Трикоми стал цикл работ Р.С.Хайруллина [57-64], в которых дается решение задачи Трикоми для уравнения (0.3) при а < для ряда областей. Отличительной особенностью от предыдущих работ является расширение класса искомых функций, что достигается за счет ослабления условий на вспомогательные функции v (x),v(x) и т(х), причем у функций v(x), v(x) допускаются неинтегрируемые особенности. Качественно новым является и метод решения задачи. Для вывода основного соотношения из эллиптической подобласти используется решение задачи Дирихле. В результате получается интегро-дифференциальная зависимость v (х) от т(х). В гиперболической подобласти используется решение задачи типа Коши. И второе основное соотношение принимает вид интегро-дифференциальной зависимости v{x) от т(х). На основе полученных соотношений с учетом условия склеивания

0.4) задача Трикоми редуцируется к эквивалентной двуточечной задаче для интегро-дифференциального уравнения относительно т(х) и доказывается однозначная разрешимость последней задачи.

В работе Р.С.Хайруллина [55] исследована задача Трикоми для уравнения sgnyun+u + =0, (0.8)

У У при нецелых 2р<\. Уравнение (0.8) в каждой из подобластей совпадает с уравнением Эйлера-Пуассона-Дарбу. При v < 0 оно в характеристических координатах принимает вид

Автором доказана единственная разрешимость задачи Трикоми, причем, в случае а> 0, /3<0 возникли п +1 или п+2 условия разрешимости в зависимости от значения некоторого параметра с.

Отметим, что уравнение (0.8) при q = 0 приводится к уравнению (0.3).

Наряду с уравнениями смешанного типа рассматривались краевые задачи для уравнений, тип которых не меняется при переходе через особую линию. Для уравнений гиперболического типа одной из основных задач является задача Л2 (по терминологии В.Ф.Волкодавова [14]), в которой уравнение исследуется в характеристическом четырехугольнике, а линия вырождения совпадает с одной из диагоналей. Значения искомого решения задаются на одном из непересекающихся катетов каждого треугольника. На линии вырождения, как и в задаче Трикоми, определяются некоторые условия склеивания. Основные методы исследования подобных задач изложены в книге В.Ф.Волкодавова и Н.Я.Николаева [14], в которой также имеется развернутая библиография по этому вопросу.

Впервые задача Л2 была рассмотрена для уравнения ua-uv-%Luy=0, 0 <q<1-, (0.10)

У 2 q - кусочно-постоянный параметр, в работе А.А.Андреева и В.Ф.Волкодавова [5].

Позднее задача Д2 была рассмотрена и для других уравнений. Например, в [36] для

-«„ =0, т> 0, (0.11) в [35] для

-"«,+^=0» Н-1' (°-12) в [12,29] для

2-2 q 2q . . 1 и«-иуу+-и*—и,=°> °<q<-, х у 2 в [50] для уравнения с изменением рода, то есть для (0.10), когда т> 0 при у<0 и ~1<т<0 при у >0, в [51] для уравнения uxx-\y\muyy+aux+buy+cu = 0, 0<т<\. (0-13)

Большое число работ посвящено исследованию задачи Д2 для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу (0.9),к которому заменой переменных сводятся многие вырождающиеся модельные уравнения гиперболического типа, в частности, уравнения (0.10) - (0.12), (0.13) при a = b = c = 0.В [13, 38, 39,40] рассмотрена задача А, для (0.9).

Во всех работах на параметры а и /5 накладываются условия, которые можно объединить так: |а|+|/?|<1. Только в работе [6] исследуется случай -2</?<-1. Таким образом, не было исследований задачи Д2 для гиперболических уравнений с сильным вырождением. Этот недостаток был частично восполнен в работе Р.С.Хайруллина [56], в которой построено единственное решение задачи Д2 для уравнения (0.9) при а =/3 (-\<а + п<0, а + пФ--^) и -\<а + и<0, /3 = -к, где п,к - целые неотрицательные числа. Здесь при осф р возникли \к - п\ условий разрешимости.

Из приведенного обзора видно, что в рассмотренных задачах Трикоми, А 2 для Эйлера-Пуассона-Дарбу с неравными параметрами в ряде случаев не удается получить безусловную разрешимость. Естественной является цопытка снять эти условия разрешимости по аналогии с работами Р.С. Хайруллина [57-64], то есть за счет дальнейшего ослабления на функции т(х), v (х), у+(х). Однако это приводит к появлению особенностей у решения.

Особенностью данной работы является исследование задач Трикоми, Д2 для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу в классах неограниченных функций. Это с одной стороны позволяет снять условия разрешимости, а с другой стороны, делает невозможным непосредственное использование результатов предыдущих авторов. Возникает необходимость пересмотра всех выкладок с учетом классов рассматриваемых функций.

Целью диссертационной работы является исследование краевых задач для уравнений с сильным выражением в классе функций, неограниченных на характеристике. Дается безусловное решение задач Трикоми для уравнения (0.8) и А2 для уравнения (0.9).

Диссертация состоит из введения и двух глав, включает 88 страниц текста и список использованной литературы.

1. Аглямзянова Г. Н. Задача Трикоми в классе функций неограниченных на характеристике : материалы 54-й респуб. науч. конф. Сб. науч. тр. аспирантов / Г. Н. Аглямзянова. - Казань : Каз. гос. архитектурно-строительная академия, 2002. - 192 с.

2. Аглямзянова Г. Н. Задача Трикоми в классе функций неограниченных на характеристике / Г. Н. Аглямзянова, Р.С. Хайруллин // Изв. вузов. Математика. 2004. - № 4. - С. 3 - 7.

3. Андреев А. А. О двух краевых задачах для одного гиперболического уравнения / А. А. Андреев, В. Ф. Волкодавов // Волжский математический сборник. Куйбышев, 1973. - Вып. 23. - С. 102 - 112.

4. Андриянова Н. А. Задача Гурса со специальными условиями сопряжения для уравнения Эйлера-Дарбу / Н. А. Андриянова // Дифференциальные уравнения с частными производными. Куйбышев, 1983.-С. 131-139.

5. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа / А. В. Бицадзе. М. : Изд-во АН СССР, 1959. - 165 с.

6. Бицадзе А. В. О современном состоянии теории уравнений смешанного типа / А. В. Бицадзе // Beitr. Anal. 1976. - № 8. - С. 59 - 65.

7. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных / А. В. Бицадзе. М.: Наука, 1981. - 450 с.

8. Бицадзе А. В. Уравнения в частных производных / А. В. Бицадзе, В. С. Виноградов, А. А. Дезин, В. А. Ильин. Труды / Математический ин-т АН СССР. - М, 1987. - Т. 176. - 506 с.

9. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции / И. Н. Векуа. 2-е. изд. - М.: Наука, 1988. - 512 с.

10. Волкодавов В. Ф. Задача для одного гиперболического уравнения с сингулярными коэффициентами / В. Ф. Волкодавов, Н. О. Кокина // Дифференциальные и интегральные уравнения. Горький, 1983. - С. 76 - 82.

11. Волкодавов В. Ф. О существовании и единственности решения задачи Л2 (aJJ) / В. Ф. Волкодавов, И. В. Мещерин ; Куйбышев, гос. пед. инт. Куйбышев, 1983. - 7 с. - Деп. в ВИНИТИ 03.12.83, № 6651.

12. Волкодавов В. Ф. Краевые задачи для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу : учеб. пособие / В. Ф. Волкодавов, Н. Я. Николаев. Куйбышев : Куйбышев, гос. пед. ин-т., 1984. - 80 с.

13. Гахов Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. 3-е изд. - М. : Наука, 1977.-640 с.

14. Джаиани Г. В. Уравнение Эйлера- Пуассона- Дарбу : учеб пособие для вузов / Г. В. Джаиани. Тбилиси : Изд-во Тбилис. ун-та, 1984. - 80 с.

15. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типа / Т. Д. Джураев. Ташкент : Фан, 1979. - 237 с.

16. Зайнуллина Г. Н. Задача Д2 для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу в классе функций, неограниченных на характеристике / Г. Н. Зайнуллина // Изв. вузов. Математика. 2003. - № 3. - С. 15 - 19.

17. Зайнуллина Г. Н. Задача Д2 для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с сильным вырождением : материалы 53-й респуб. науч. конф. Сб. науч. тр. аспирантов / Г. Н. Зайнуллина. Казань : Каз. гос. архитектурно-строительная академия, 2001. - 192 с.

18. Зайнуллина Г. Н. К задаче Л2 для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу : труды двенадцатой межвузовской конф. «Математическое моделирование и краевые задачи» / Г. Н. Зайнуллина. Самара : Самарский гос. техн. ун-т., 2002. - 141 с.

19. Зайнуллина Г.Н. К задаче Д2 для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу : труды одиннадцатой межвузовской конф. «Математическое моделирование и краевые задачи» / Г. Н. Зайнуллина. Самара : Самарский гос. техн. ун-т., 2001. - 142 с.

20. Исамухамедов С. С. Краевая задача Трикоми для уравнения LT смешанного типа второго рода / С. С. Исамухамедов // Изв. АН УзССР. Сер. физ.-мат. наук. 1970. - № 4. - С. 9 - 12.

21. Исамухамедов С. С. О свойствах функции Грина задачи Трикоми для уравнения смешанного типа второго рода / С. С. Исамухамедов // Краевые задачи для дифференциальных уравнений. Ташкент, 1971. - № 6. -С. 68-73.

22. Исамухамедов С. С. Видоизмененная задача Трикоми для уравнения смешанного типа второго рода / С. С. Исамухамедов // Изв. АН УзССР. Сер. физ.-мат. наук. 1974. - № 4. - С. 13 - 17.

23. Исамухамедов С. С. О краевой задаче типа Трикоми для одного уравнения смешанного типа второго рода / С. С. Исамухамедов // Краевые задачи для дифференциальных уравнений. Ташкент, 1975. - № 5. - С. 28 -37.

24. Кароль И. Л. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа / И. Л. Кароль // ДАН СССР. 1953. - Т. 88.-№2.-С. 197-200.

25. Кароль И. JI. К теории уравнений смешанного типа / И. JI. Кароль // ДАН СССР.- 1953.-Т. 88. -№3.~ С. 397 -400.

26. Кириленко С. В. О единственности решения двух задач с нелокальными краевыми условиями для уравнения Эйлера-Дарбу с параметрами разных знаков / С. В. Кириленко // Дифференциальные уравнения (математическая физика). Куйбышев, 1980. - С. 54 - 63.

27. Коган М. Н. О магнитогидродинамических течениях смешанного типа / М. Н. Коган // Прикладная математика и механика. М. ,1961. - Т. 21. -№ 1. - С. 132-137.

28. Крикунов Ю. М. Видоизмененная задача Трикоми для уравненияихх +уиуу+(-п+~)иу =0 / Ю. М. Крикунов // Изв. вузов. Математика. 1979. -№9.-С. 21 -28.

29. Крикунов Ю. М. Одна краевая задача для уравнения ихх + уиуу + (-и + ^)иу =0 / Ю. М. Крикунов // Изв. вузов. Математика. 1979.10.-С. 57-63.

30. Крикунов Ю. М. Аналог задачи Трикоми для уравненияихх+уиуу+(-п+~)иу =0 / Ю. М. Крикунов // Изв. вузов. Математика. 1982. -№ 1.-С. 26-32.

31. Крикунов Ю. М. Краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа: учеб. пособие для вузов / Ю. М. Крикунов. Казань: Изд-во Казан, гос. ун-та, 1986. - 150 с.

32. Кумыкова С. К. Краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения в характеристическом двуугольнике / С. К. Кумыкова // Дифференциальные уравнения. 1979. - Т. 15. - № 1. - С. 79 -91.

33. Кумыкова С. К. Об одной краевой задаче для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области / С. К. Кумыкова, Ф. Б. Нахушев // Дифференциальные уравнения. 1978. - Т. 14. - № 1. - С. 50 - 65.

34. Моисеев Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром / Е. И. Моисеев. М.: Изд-во МГУ, 1988. - 150 с.

35. Наместникова И. А. Задача Д2 для уравнения Эйлера-Дарбу с разрывным условием сопряжения производной по нормали к линии вырождения уравнения / И. А. Наместникова // Дифференциальные уравнения и математическая физика. Куйбышев, 1985. - С. 94 - 98.

36. Никольский С. М. О некоторых неравенствах для функций из весовых классов и краевых задачах с сильным вырождением на границе / С. М. Никольский, П. И. Лизоркин // ДАН СССР. 1964. - Т. 159. - № 3. - С. 512-515.

37. Никольская JI. Н. Задача Гурса (А,) для уравнения Эйлера-Дарбу с кусочно-постоянными параметрами в рассматриваемых областях / Л. Н. Никольская ; Куйбышев, политехи, ин-т. Куйбышев, 1982. - 72 с. - Деп. в ВИНИТИ 05.04.82, № 1556.

38. Прудников А. П. Интегралы и ряды / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. М.: Наука, 1981. - 800 с.

39. Салахитдинов М. С. Краевые задачи для уравнения смешанного типа второго рода / М. С. Салахитдинов, С. С. Исамухамедов // Сердика Бълг. мат. списание. 1977 (1978). - Т. 3. - № 3. - С. 181 - 188.

40. Самко С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев. -Минск : Наука и техника, 1987. 690 с.

41. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа / М. М. Смирнов. М.: Наука, 1970.-296 с.

42. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа: учеб. пособие для вузов / М. М. Смирнов. М. : Высшая школа, 1985. - 305 с.

43. Справочник по специальным функциям / пер. с англ. под ред. М. Абрамовича, И. Стиган. -М.: Наука, 1979. 830 с.

44. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа / Ф. Трикоми ; пер. с итал. М. ; JI. : Гостехиздат, 1947. - 192 с.

45. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных / Ф. Трикоми ; пер. с итал. М. : Изд-во иностран. литер., 1957. - 445 с.

46. Федоров Ю. И. Решение задачи Л2 для одного уравнения гиперболического типа / Ю. И. Федоров // Дифференциальные уравнения. -Рязань, 1978. Вып. 12. - С. 127 - 135.

47. Финаенов А. П. Доказательство существования и единственности решения Л2 для общего уравнения гиперболического типа с оператором Кароля / А. П. Финаенов // Дифференциальные уравнения и математическая физика. Куйбышев, 1985. - С. 110 - 114.

48. Франкль Ф. И. О задачах С. А.Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течений / Ф. И. Франкль // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1945. -№ 9.-С. 213-231.

49. Франкль Ф. И. О боковом водозаборе из быстрых мелких рек / Ф. И. Франкль // Труды Кирг. гос. ун-та. 1953. - Вып. 2. - С. 33 - 45.

50. Франкль Ф. И. Обобщение задачи Трикоми и его применение к решению прямой задачи теории сопла Лаваля / Ф. И. Франкль // Математический сборник. 1961. - Т. 54. - № 2. - С. 225 - 236.

51. Хайруллин Р. С. Задача Трикоми для дифференциальных уравнений с сильным вырождением на линии изменения типа : дис. . д-ра физ.-мат. наук / Р. С. Хайруллин ; Казан, гос. ун-т. Казань, 1994. - 289 л.

52. Хайруллин Р. С. Краевые задачи для модельных дифференциальных уравнений с сильным вырождением внутри области : дис. . канд. физ.-мат. наук / Р. С. Хайруллин ; Казан, гос. ун-т. Казань, 1986. - 144 л.

53. Хайруллин Р. С. О задаче Трикоми для уравнения второго рода / Р. С. Хайруллин ; Казан, гос. ун-т. Казань, 1986. - 15 с. - Деп. в ВИНИТИ 8.04.86, №2481.

54. Хайруллин Р. С. К теории уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу / Р. С. Хайруллин // Изв. вузов. Математика. 1993. - № 11. - С. 69 - 76.

55. Хайруллин Р. С. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа второго рода в случае неограниченной области / Р. С. Хайруллин // Дифференциальные уравнения. 1994. - Т. 30. - № 11. - С. 654 - 661.

56. Хайруллин Р. С. К задаче Трикоми для уравнения смешанного типа второго рода / Р. С. Хайруллин // Сибирский математический журнал. 1994. -Т. 35.-№4.-С. 927-936.

57. Хайруллин Р. С. Задача типа Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу / Р. С. Хайруллин // Изв. вузов. Математика. 1996. - № 1. -С. 81-84.

58. Хайруллин Р. С. Задача Трикоми для одного уравнения с сингулярными коэффициентами / Р. С. Хайруллин // Изв. вузов. Математика. 1996. -№3.- С. 75 -84.

59. Хайруллин Р. С. О задаче Трикоми для уравнения второго рода в случае произвольной области / Р. С. Хайруллин // Дифференциальные уравнения. 1995. - Т. 31. - № 5. - С. 894 - 895.

60. Хе Кан Чер. О задаче Геллерстедта для одного уравнения смешанного типа / Кан Чер Хе // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1976.-Вып. 26.-С. 134-141.

61. Чибрикова JL И. Об интегральных уравнениях с обобщенными логарифмическими и степенными ядрами. ||| / JI И. Чибрикова, Н. Б. Плещинский // Изв. вузов. Математика. 1978. - № 6. - С. 127 - 146.

62. Gellerstedt S. Qualques problemes mixtes pour 1'equation y"'zxx + zyy = 0S. Gellerstedt I I Arkiv for Mathematik, Astronomi och Fysik. 1937/ 38. - Bd 26 A.-No 3.-P. 1-32.