Задача Трикоми для дифференциальных уравнений с сильным вырождением на линии изменения типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТГ

Р Г В О Л правах рука-ппсч

3 п янв 1995

УДК 517.94

Хайруллпп Раввль Сагитович

ЗАДАЧА ТРИКОМИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫ Л УРАВНЕНИЙ С СИЛЬНЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ НА ЛИНИИ ИЗМЕНЕНИЯ ТИПА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1994

Работа выполнена к» кафедре прикладной математики Каланггого ииженерис-строительного института

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: дое-юр фкзихо-математмческих

ноу*, профессор Белов Ю.Я. иахтор физико-математически* наук, профессор Ксжаиов А.й. доктор фхзяго-шнскатжчссхих тук, профессор Тешукоя В.М. Московский государспкины* университет

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ •

Зашить состсмтс*

19.

9 Г

пда о

п

часов к»

1зсед&ими Спеилагнтрованного СоветаД 063.98.02 при Новосибирском государственной университете по адрясу: 930090, Новосибирск-СО, уя.Пкрогов.», 2.

С диссертацией можно «»накишгаьса в бх&лкотеке Новосибирского государ-егменмого университета.

Автореферат разослан 1

(0* Я-лйук Я

года

Ученый секретарь Специалятчрояаилого Совета доктор физпко-митематичеткнх наук, профессор

Л В. Кажмхоа

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена исследованию задачи Трикоми для диц> . ренциалькых уравнений смешанного типа с сильным вырождением

Актуальность темы. Теория краевых задач для уравнений .-.ч гаанвого вллиптико-гиперболичесхого типа является одним из наиГи лее интенсивно развирающихся в последние десятилетия разделов тс. рии дифференциальных уравнений с частньтлн производными. Начале атому направлению было положено в 20-х годах нашего столетия в работах Ф.Трикоми и С.Геллерстедта, в которых они рассмотрели соответственно для уравнений

уи1Х + и„ =0, ути„ + «„ = 0, т = 2п + \, п€ N.

краевые задачи, впоследствии получившие их имена.

К постановкам втих первых задач их авторы пришли из чисто теоро тическнх соображений: они хотели заполнить пробел в данной области. При »том обнаруя:.1Лось, что теория подобных задач обладает целым рядом новых особенностей. Позднее Ф.И.Фравклем были обнаружены важные приложения задач Трикоми и родственных ей к газовой динам и к о. Вскоре были найдены применения и з других областях. Все вто явилось причиной возникновения широкого фронта исследований подобных задач. В нашей стране возних целый ряд научных групп, которые успешно вели работу в етом направление. Наиболее существенное влияние на ату работу сказали результаты М.Л.Лаврентьева, А.В.Бицадэе, К.И.Бабенко, Л.В.Оьсянникова. В дальнейшем эти задачи изучались многими авторами как в нашей стране, так и за рубежом. Достаточно полные обзоры проводившихся исследований и библиография содержатся в монографиях А.В.Вицадзе, Т. Д. Джураева, Ю.М.Крикунова, М.М.Смирнова.

В зависимости от того, является ли линия изменения типа огибающей' характеристик или нет, уравнения смешанного типа подразделяются на уравнения второго и первого родов соответственно. Ми, по аналогии с работой С.М.Никольского и П.И.Лизоркина, будем также различать уравнения со слабым и с'сильным вырождением. К первой группе отнесем те уравнения, для которых оказывается корректно поставленной классическая или весовая задача Коши с данными на особой линии. В противном случае уравнение отнесем ко второй группа.

Б указанных выше монографиях, а также а книгах Б.И.Моисеева, .1 М.Смирнова и Ф .Трикоми подробна изложены методы исследования .сповных краевых задач, главным образом для уравнений со слабым вырождением. Из всех названных монографий уравнения с сильный вырождением рассмотрены только в книге Ю.М.Крикунова.

Такое положение, по-видимому, явилось следствием недостаточной изученности уравнений эллиптического и гиперболического типов особенно при их сильном вырождении. В частности, при постановке и исследовании задачи Трикоми для уравнений со слабый вырождением существенно используется решение задачи Коши, в то время как для уравнений с сильным вырождением она некорректна. Л других задач, заменяющих ее, не было. Таким образом, возникли трудности даже с постановкой задачи Трикоми. Повтому для уравнений с сильным вырождением в первую очередь начали рассматривать задачи, в которых на особой линии задается только условие непрерывности искомой функции, и это, как правило, позволяло в отличие от задачи Трикоми последовательно строить искомую функцию сначала в одной из подобластей, а затем в другой. Исследованию задач такого рода посвящены работы Н.А.Бориско, С.С.Ис&мухамедова, И.Л.Кароля, С.К.Кулажанова, И.М.Петрушко и других.

Предпосылкой к началу исследования задачи Трикоми для таких уравнений послужили результаты С.А.Терсенова по задаче Коти для уравнений с сильным вырождением. Он предложил воспользоваться видоизмененными начальными условиями. В результате получалась однозначно разрешимая задача, которая затем была использована при постановке и исследовании задачи Трикоми.

Впервые задачу Трикоми для уравнения

+ У"»» +■ = 0 (1)

при а = -п + ао,«о € (0, 1/2) и (1/2,1), рассмотрел С.С.Исамухамедов. Эллиптический контур предполагался нормальным. Позднее в совместных работах М.С.Салахитданова и С.С.ИсамухаМедова эта задача была несколько обобщена.

Рассматривая подобную задачу для уравнения (1) при а = —п + 1/2 в случае, когда эллиптическая подобласть совпадает со всей верхней полуплоскостью, Ю.М. Крикунов обнаружил, что задача Трикоми для указанного уравнения, вообще говоря, некорректна, так как для существования ее решения приходится накладывать 2п условий интегрального характера на заданные функции. Позднее аналогичные

результаты были получены п совместной статье II.I Салтыковой ¡! М.М.Смирнова.

9 результате сложилось мнение, что для уравнения с сильным пи рождением (1) задача Трикоми с классическими краевыми условиями некорректна в смысле существования решения.

Такой результат, по-видимому, явился следствием того, что авторы пытались при исследовании задачи Трикоми для уравнения с сильным вырождением использовать некоторые методы и приемы, разработанные для уравнений со слабым вырождеши м. Это побуждало автор«» накладынать ограничения, нехарактерные для уравнений е сильным вырождением, что и приводило к условиям разрешимости.

Отличительной особенностью настоящей работы являете« расширение класса искомых функций, которое достигается за счет ослабления условий Ия некоторые вспомогательные функции. ?>то, с одной стороны, позволяет снять условия разрешимости, я с другой стороны, делает в основном невозможным использование методов предыдущих нвто-ррЧ- Возникнет необходимость разработки новых методов для вывода основных соотношений, интегральных уравнений и их исследования. Также необходимо отметить, что решение зтих задач дополнительно усложняется и техническими трудностями: все вычисления, как правило, сопровождаются громоздкими выкладками.

Цель работу состоит в разработке метода исследования задачи Трикоми р классическими краевыми условиями для уравнений с си ль дам вырождением. Дается решение задачи Трикоми для уравнения (1) при п < -1/2 Дли ряда областей, а также для одного уравнения е сингулярными коэффициентами и одной системы уравнений второго пррядра смешанного типа, связанных с уравнением Эйлер.ч-Пунссона-Д^рбу.

Общая методика исследовании. Задачи исследуются методами Интегральных ур.шнений, потенциалов, краевых задач для аналитических функций, регуляризации расходящегося интеграла по Адамару. Эти методы традиционны, но потребовалась значительная переработка механизма их применения. Так, метод интегральных уравнений модифицирован на случай урирнений с сильным вырождением. Для вывода основного соотношения из эллиптической подобла'-.ти используется представление решения задачи Дирихле. При »том из него выделяется некоторая главная часть, и затем оно подставляется в формулу, определяющую в результате соотношение получается В виде ннтегро-дифференциальиой зависимости /'(г) от г(лг). Основное соотношение

из гиперболической подобласти выводится на остром; Предстаэлсяи« решения задачи типа. Коши, из которого с учетов соответствующего краевого условия задачи Трикоми получается равенств», «щзи®йЮ-щее 7"(г) и . После обращения его относительно 1>(г) основное

соотношение и здесь принимает вид иитегро-дифференцнйльнчй зависимости от т(ж). Далее, ал базе полученных соотпопеккй Исходная задача сводится или к краевой задаче, или к задаче Коин для интегро-дифференциалького уравнения. Для исследования последней задачи применяются два приема; либо иигсгр о-дифференциальное уравнение сводится к сингулярному интегральному уравнению относительно некоторой вспомогательной Функции, либо оператор этого уравяекия пр- ,'ста:.,;летс)1 в »иде композиций дифференциальных и интегральных операторов, которые затем псследсьательно обращаются. Также применяется комбинация а тих двух приемов. Как правило, решения получаются в явном виде. Их единственность либо следует из однозначности определения некоторых функций и единственности решения вспомогательных задач, либо доказывается самостоятельно. Широко используется аппарат специальных функций и функций комплексного нерешенного.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1) модифицирован метод интегральных уравнений на случай силь-, ного вырождечия исходного уравнения и на его основе псследозана

задача Трикоми для рядя уравнений с сильным характеристическим вырождением;

2) разработана теория потенциалов для эллиптического уравнение второго рода, с помощью которой построено решение задачи Дирихле в случае произвольной конечной эллиптической дуги, и оно использовано при исследовании соответствующей задачи Трикоми ;

3) построены интегральные представления решений уравнения Эйлера-Пуасо.^а-Дарбу для произвольных вещественных параметров, и они использованы при исследрвании задачи Трикоми для одного уравнения смешанного типа с сингулярными коэффициентами;

4) решена задача Дирихле для эллиптического уравнения второго рода в случае неограниченной области в классе функций, допускающих на бесконечности особенности определенного порядка и на этой основ»* исследована задача Трикоми для областей с неограниченной гиперболической частью;

5) построено,.явное решение задачи Дирихле Для одной системы уравнений вллиптического типа, которое использовано при исследо-

вадши задачи Трикоми для соответствующей системы уравнений смешанного типа;

б) уточнены начальные условия задачи -п:ла Коти для гиперболы ческого уравнения второго рода и уравямшя Эйяррд-Пуассона-Дарбу. что позволило привести условия екледоддая задачи Трикоии к симм«-тричному виду.

Теоретическая п практическая ценность. Работа носит теоретический характер, ее результаты и методы исследозтшя могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для уравнений с сильным вырождением и найти применений прх1 решении прикладных задач, приводящихся к таьям урлзнагиям.

Апробация работы. Оснозиые результаты диссертации в целом докладывались в Казанском государственном университете на семинаре кафедры дифференциальных ураэяекий (ноябрь, 1993 г., рухоао-дитель - профессор В.И.Жсгалов), в институте математики СО РАН на семинарах: по неклассическим уравнениям математической физики (декабрь, 1993 г., руководитель - академик АТН В.Н,Врагов), по качественной теории дифференциальных уравнений с частными производными (декабрь, 1993 г., руководитель - профессор Т.И.Зслсняк), в институте гидродинамики СО РАН (декабрь, 1993 г., руководитель -члек-корреспоядент РАН В.II.Монахов), з Московском государственном университете на семинаре кафедры обще»1 математики (апрель, 1994 г., руководитель - профессор Е.И.Моисеев).

Отдэльные результаты сообщались на Всесоюзной конференции по классическим к некл&ссическим краевым задачам для дифференциальных уравнений с частными производными (апрель, 1987 г., г. Куйбышев), на Международной конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям, математической физике и специальным функциям (май, 1992 г., г. Самара), на Международной конференции по алгебре и анализу, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г.Чеботарева (июнь, 1994 г.. г. Казань).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 работ.

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 289 страницах машинописного текста и состоит из введения, шести глав и библиографии, содержащей 127 названий.

СОДЕРЖАНИЙ ДИеСЁР'ГАШШ

Введение включает в себя краткий йсторйчеЬкйй обзор й переЧЙ-г тгаи'е основных результатов диссертации.

Первая глава посвящена исследованию гиперболических уравнений. Полученные здесь результаты далее используются при постыЮй-ке и решении задач для уравнений смешанного типа.

В §1 получены интегральные представления решений ураввеййя ЭЙле^а-Пуассона-ДарОу (ЭЛД)

в в'

Чч ~ Г—Н + -Г—"« = 0 (2>

Ч ( - ч

в полуплоскости {?/ > {} для произвольных вещественных значений йа-раметров Р и /3'.

Известно, ч£о одним ¡и решений урапнецпя (2) при ¡3 < 1 , /3' <, 1 Является фуйкция

' ч

«(С,ч)-/ /(0(9 - 0""*(* - №

<

Если Же интеграл в формуле (3) понимать в смысле конечной иа-сти расходящегося интеграла по Адамару, то вта функция будет удовлетворять уравнению ЭПД и при других зяа^еннях параметров. На отом основании решения строятся посредством регуляризации указанного интеграла. В случаях, когда хотя бы одно из чисел /3,/?' или 0 + $' является целым, используется метод продельного перехода. В результате, в зависимости от значений параметров, получено пятнадцать различных формул.

В §2 для уравнения (1) при а < —1/2 в гиперболической подобласти уточняется вид начальных условий задачи типа Коши.

С.А.Терсеновым было предложено для получения корректной задачи использовать видоизмененные начальные условия вида

и(*,0) = г(г), (4)

Нт (-<,-)Хх,!/)~.В0(г,у,т)], = у(х), (5)

где Ва{л',у,т) - решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям

aa(x,o,r) = т(х), lita (-у)вЛ„(1,у,т), = 0.

ttú

также Obi л а ВЫскозана мысль о том, что в формуле'(5) не обязательно вычитать псе решение В,х(т,у, г), а достаточно вычесть только некоторую его часть. Здесь эта идея ргализопана, что позволяет в дальнейшем записать условие склшп.ишп для злдачхг Трикоми в симметричной форме. ПрйчеМ Полученное условие склеивания является обобщением классического услоаия склеивания задачи Трикоми в том смысле, что при слабом вырождении урйонеин;: они совпадают. Отметив, что ^ ~,ловия склеивания предыдущих авторов, рассматривавших задачу Трикомй для уравнения (1), этим свойством обладали.

13 §3 некоторые результаты предыдущего параграфа обобщаются па случай уравнения

"г. - »Sí--«,--х = 0, (6)

У У

где 1/<0и2^<1- нецелое. При этом используются представления решений, полученные в §1. Доказывается

ТсЬ{эеМа 1, Задач а типа Кошм для уравнения (S) с начал»нымь

услпви*ми (4) ti

lira (-y)Ip[«(r, у) - АТЛ{х,д,т)\у - v{x),

где

m

Ap¡9(x,V,T) = Y, ¿'(-'».Р+ «,2?,2}г<'»(г)./'/*!, О < 2р + m < 1,

имеет единственное решение, и оно выписывается в явном виде.

Следующие три главы посвящень* исследованию задачи Трикоми для уравнения (1) при а < -1/2 для ряда областей. При этом использованы обозначения:т,п - такие натуральные числа, что

-1/2 < о + п < 1/2, 1 < 2а + т < 2; о0 = а + п, 6 = 2« + m - 1.

Во второй главе рассматривается случай, когда эллиптическая дуга совпадает с нормальным контуром.

В §1 приводится постановка зцдачц Т®, уточняются условия на заданные фур^црк, определяется клас.с искомых решений.

Задача ¡'р.следуется методом илтегральных уравнений, поэтому следующие ^ка параграфа посзящены выводу основных соотношений меж-(У г и и. Р аз у д ь т ат ам и этих параграфов даляютск .соответственно те-1>емы 2 и 3;

Теорема 2. Основное соотношение иг аллипгпичесхрй подобласти

Ч-КШ вид

Г(1 - <*)ф) - Ъ

Г—Т)1"*1 ¿т+1 Г

77^-Т^Т I

.(1 - ¿)га+1 с1хт + > J

(1 - «)»+!

О

1

1 + 1 } •

х

- / г(0(? + с - + *(х), г < 1,.

о

Г (-IV <Р"И / Г(1 - «м.) = ъ / -

О

X

- / г(0(» + е - + *<*), * 1. .0

где - известно* функция.

Теорема 3. Основное со отношение из гиперболической подобласти

имеет вид

Дт — »

Г(1 - а)у(х) = (-Х)"Г(а)5?^Г0„-х'г(п+,)^) - »(*), а # -п,

I

о ¿т-п г

Г(1 - а)(/(х) = - / г<"+,'(£) - - *<*).

п! вгт-л

а = — п,

1С

а при всех а

т<*>(0) = ф<,у(0)2"'(2о - 1)./(а - 1/2),, 5 = ("77,

г£<! - заЗвнккй сле-3 иско-мо-Й ^нк^и« на тарактаерпстикс, ^(т)

•язбестная функция, зависящая от. ф(х) , ~ оператор дробного ин-

1 пегрипованжг по Риману-Лиувиллю.

В §4 на основе полученных вьппе соотношений исходная задача редуцируется к двуточечной задаче для иитпгро-диффереяциальпого уравнения, которое решается сведением к сингулярному интегральному уравнению Трикоми относительно пен с тс рол вспомогательной функции. Таким образом доказывается

Теорема 4. Задана имеет единственное решение.

В третьей глапе некоторые ранее полученные результаты переносятся на случай, когда эллиптическая дуга приставляет собой произвольную кривую Ляпунова, удовлетворяющую яа концах определенным условиям подхода к особой линии.

§1 посвящен построению теории потенциалов для уравнения (1) при а < 1 , где у > 0. На основе фундаментального решения, построенного И.Л.Каролем, влодятся потенциалы простого и двой:;>го слоя, изучаются их свойства, доказываются теоремы о скачках.

В §2 строится ре.дение задачи Дирихле. Для этого используется метод функции Грипа, регулярная часть которой ищется в виде потенциала двойного слоя. То, что полученная функция является искомым решением, следует из метода ее построения к результатов М.В.Келдыша о существовании и единственности решения задачи Дирихле для уравнения второго рода.

В §3 рассматривается задача Трикоми Та. Для вывода основного соотношения из эллиптической подобласти используется формула представления решения задачи Дирихле, построенная в предыдущем параграфе. По аналогии со второй главой задача сводится к решению полного сингулярного интегрального уравнения Трикоми. При этом много места занимает исследование регулярного слагаемого уравнения. В результате доказывается

Теорема 5. Решение задачи Та »*'««ваденшно решению интегрального уравнения Фредгсльма второго рода.

В четвертой главе решается задача Трикоми для ряда неограниченных областей.

В §1 рассматривается случай ограниченной гиперболической подобласти, при этом эллиптическая подобласть совпадает со всей верх-

ней полуплоскостью (задача У,J). Здесь большое йнимгщре уделяется •выводу формул сопряжения заданных функций с функцией т(г) в кон-л-вых точках, й цроцрссе решения возникает двуточечная задача для оыкновенногр дифференциального уравнения с заранее не одредедеи-ыми постоянными в правой части. Исследуется вопрос разрещимости , -»той задачи в зависимости от порядка уравнения и числа постоянных. Итогом этого параграфа является

Теорема в,Задача TJ имеет единственное безусловное решение в слу-/id о ~п и при выполнении едкого условия разрешимости в слуцче * — —а .

В следующих Двух параграфах рассматривается случай, когда гиперболическая подобласть представляет собой неограниченный характеристический треугольник, а вллиптическая подобласть в §2 cqgna-дгиг со всей верхней полуплоскостью (задача ), а §3 - с первым квадрантом (задача Т' ). В »том случае задача Трикоми оказывается безусловно разрешимой в классе функций, нецграниченных иа. бесконечности- Цоатому здесь приходится решать задачу Дирихле в классе функций, допускающих на бесконечности особенности не вцше определенного порядка-. Для атого используется метод функции Грина.

Пятая гдава посвящена исследованию задачи Трикоми для уравнения

3р 1 q

sgny игг + и«.. + —u„ Н--иг = 0 (7)

■ V У

при нецелых 1р < 1 . Это уравнение в случае q =' 0 заменой переменных приводится к риду (1). Повтрму получеррцр здесь; результаты можно рассматривать как обобщеняР некоторых результатов предыдущей главы.

В §1 приводится постановка задачи Tfl4 . Рассматривается случай, когда вллиптическая часть совпадает со всей верхней полуплоскостью, а гиперболически подобласть ограничена. След искомого решения на вллиптцческой дуге принимается тождественно равным нулю. Здесь же формулируются условия на заданную функцию и определяется класс искомых решений.

В ¡¡2 на основе представления решения задачи Дирихле выводится основное соотло ленпе ад эллиптической подобласти, которое имеет вид

v{x) = -/.Г^Р^М*) - l,c^V(2¡,)D\-2*t{<\

где i) - const. S3 посвящен выводу основного соотношения из гиперболической подобласти. Д.Щ этого используются представления решг-

кил задачи типа Коти, полученные в первой главе.

В §4 на основе полученных выше соотношений выводит < н Ное уравнение и исследуется разрешимость исходной задачи. При основное внимание уделяется разработке алгоритма построения pi ни кия и уточнению числа условий разрешимости для различных знич< ниЙ параметров. В результате доказываются теоремы 7-11.

Теорема 7.Бела 0 < 0, 0 > 0 и Д' g N, то задача TPlf ujur.ti единственное решение при выполнении к + 1 условия разрешимости случае в > fi'0 и к + 2 условий разрешимости в случае 9 < /3J ,

где 0 = р + ?,/?' = р — q | До = {."} _ Дробная часть, к = [0] - целая часть, в - определенное число, зависящее от р, q и с - множителя в условии склеивания.

Теорема 8.Ясли /3' g N , то задача Тг<щ имеет единственное ргшхниг при выполнении к + 1 условия разрешимостли.

Теорема 9.Если у? < 0, 0' < О , то задача имеет единственно*-решение, безусловное в случае в ф ji'0 , и при внполнении одного условия разрешимости в случае 9 — 0'о .

Здесь До = ? + к , где 0 < /3 + it < 1, к € N U {0} . Теорема 10.J3e.4ii 0 < /9 < 1, 0 < /J' < 1 , то задача Tftt имеет единственное решение, безусловное в случае в > 2р , и при выполнении одного условия разрешимости в случае 9 < 2р .

Теорема И.Есии 0 > 0, /3' < 0 , то задача Тр,, имеет единственное решение при выполнении п + 1 условия разрешимости в случае 6j > /?о и п + 2 условий разрешимости в случае 6i < ,

где п = [/?], fta'— {Р}, ©1 определяется аналогично в . В последили главе рассмотрена система уравнений второго порядка

. 1 — .п — к п — к

u>rr + !/«>„ Ц----ыя + -Ц'х = 0, (8)

z ¿у—у

где п, fc € N, to(i,y) = «(i,y) + t'v(i,y),. = <\/у ПР51 У > 0 .

Эта система примечательна тем, что она в каждой из подобластей в характеристических координатах принимает вид соответственно эллиптического или гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу (2) с одними и теми же, но неравными между собой параметрами.' Отметим, что ни одно из вещественных уравнений смешанного типа этим свойством не обладает. В случае равенства а тих параметров система распадается на два уравнения вида (1),- поэтому результаты этой главы также можно рассматривать как некоторое обобщение результатов четвертой главы.

В §1 решается задача Дирихле в случае tteptseü тяуидосиоеШ ДЛЯ системы, совпадающей: е эллиптической нормальной формой си&ТОДМ (S). Сначала азриорно доказывается теорема единственности эаД№№< Затем строится решение методом сведения к краевой задаче Риманк для аналитических функций. В §2 рассматривается задача Трниоая ?'„> . В еляиптичсской подобласти используется полученное в Вреди--дущеи параграфе решение задачи Дирихле. В исследованиях задач« в гиперболической подобласти используется представление общего решения, построенное в первой глазе. Методом интегральных уравнений доказывается

Теорема 12.Задана Тт:ь имеет единственное решение.

На защиту выкосятся следующие результаты:

- интегральнее представления общего решешхя уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу (2) для произвольных вещественных параметров;

- постановка и решение задачи Трикоми д.ля уравнения второго рода (1) при а < —1/2 для ряда ограниченных и неограниченных областей;

- постановка и решение задачи Трикоми для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу смешанного типа (7);

- постановка и решение задач Дирихле и Трикоми для одной системы уравнений второго порядка смешанного типа, связанной с уравнением Эйлера-Пуассона-Дарбу с неравными параметрами;

- теория потенциала для вллиптического уравнения второго рода (!)•

Основные результаты опубликованы в работах:

1. Хайруллии P.C. О некоторых задачах для уравнения Эйлера-Дарбу с произвольными параметрами / Казан, гос. ун-т,- Казань, 1984,- 16 е.- Дсп. в ВИНИТИ 4.07.84, № 4657.

2. Хайруллиз P.C. Задача Дирихле для одной системы уравнений второго порядка // Известия вузов. Математика.- 1986.- И* 3.- С.80-83.

3. Хайруялин P.C. О задаче Трикоми для уравнения второго рода / Казан, гос. ун-т.- Казань, 1986.- 15 е.- Деп. в ВИНИТИ 8.04.86, № 2481.

4. Хайрулгш: P.C. Задача Трикоми дп модельного уравнения второго рода _//Классич. и неклассич. краса, задачи для диффер. уравв. с части, произв., спец. функции, интегральные уравнения и их приложения: Тезисы докладов Веес. науч. конф., Куйбышев, 25-29 апреля

1987 года,- Куйбышев, 1087,- С.149.

5. Хайруллин P.C. Об одной краевой задаче для уравнения Эйлер;, Пуассона-Дарбу с сильным вырождаем // Труды семинара по кра евым задачам.- Казань, 1987.- Вып. 23.- С.231-238.

6. Хайруллин P.C. Задача Трикоыи для уравпеяия смешанного типа второго рода з случае нормальной области // Дифференциальные уравнения,- 1990.- T.2G.- № 8.- C,l3Sß-1407.

7. Хайруллин P.C. Теорил потеяциада для модельного уравнения второго рода // Известия вузов. Математика.- 1992.- Х< 3. С.64-73.

8. Хайруллин P.C. О задаче Трнкоми для уравнения сменянного типа второго рода // Диффер. и кятегр. уравп., мат. физика и спец. функции: Тезисы докладов участников Международной научной кояф., Самара, 24-31 мая 1S92 года.- Самара, 1992.- С,261.

9. Хайруллиа P.C. К теории уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу // Известия вузов. Математика.- 1993.- Ä* 11,- С.69-76. '

10. Хайруллин P.C. К задаче Трикоыи дел уравнения смешанного типа второго рода // Сибирский математический журнал,- 1994.-Т.35.- № 4.- С.927-936.

11. Хайруллип P.C. О задаче Трикоми для одного комплексного уравнения смешанного типа второго рода // Алгебра и анализ. II: Тезисы докладов Международной научной кояф., посвящ. 100-лети» со дня рожд. Н.Г.Чеботарева, Казань, 6-11 шоня 1994 года,- Казааь, 1994,- С.137-138.

12. Хайруллин P.C. О задаче Трикоми для одного сингулярного уравнения смешанного типа / Казан, инж,-строит. ин-т.- Казань, 1994,- 13 е.- Дел. в ВИНИТИ 15,07.04, № 1829.

13. Хайруллиа P.C. Задача Трикоми для уравнения сметанного типа второго рода в случае неограниченной области.// Дифференциальные уравнения.- 1394.- Т.ЗО.- № 11.

Корректор41 автора

подписано ií г.ечати 6.12.54 г. Форкат 60x84/16

Заказ 437 1,0 \с*.-печ. т.

Тирах; 100 окг.

42СС43, Казань, Зе»енан, 1. О^сетна* »аборатория Казанского инкенерно-строитетьиого института