Задача Трикоми для одного класса систем уравнений смешанного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правахрукописи

МУГАФАРОВ МАРАТ ФАВИЛЬЕВИЧ

Задача Трикоми для одного класса систем уравнений смешанного типа

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Стерлитамак - 2004

Работа выполнена на кафедре математического анализа Стерлитамакского государственного педагогического института и в лаборатории дифференциальных уравнений Стерлитамакского филиала АН РБ

Научный руководитель: доктор физико - математических наук, профессор Сабитов К.Б.

Научный консультант: доктор физико - математических наук, профессор Калиев И.А.

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико - математических наук, профессор Рамаза-нов М.Д.

доктор физико - математических наук, профессор Репин О .А.

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН

Защита состоится 23 ноября 2004 г. в 14 часов 00 минут на заседании диссертационного совета К 212.315.01 при Стерлитамакском государственном педагогическом институте по адресу: г. Стерлитамак, пр. Ленина, 37, ауд. 312.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Стерлитамакского государственного педагогического института

Автореферат разослан 22 октября 2004 г

Ученый секретарь диссертационного совета канд. физ.-мат. наук, доцент

Кризский В.Н.

яи>н

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Уравнения смешанного типа впервые возникли в 20 -х годах прошлого века в работах Ф. Трикоми. Позже они получили значительное развитие благодаря многочисленным приложениям в газовой динамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментной теории оболочек, в магнитной гидродинамике и в других областях физики и техники.

В 50 - е годы в работах Ф.И. Франкля, А.В. Бицадзе, К.И. Бабенко было положено начало современной теории уравнений смешанного типа. В дальнейшем краевая задача Трикоми и другие задачи для уравнений смешанного типа изучались многими авторами как в нашей стране так и за рубежом. Основные результаты и соответствующая им библиография приведены в монографиях А.В. Бицадзе, Т.Д. Джураева, Е.И. Моисеева, М.М. Смирнова, М.С. Салахит-динова.

Изучению краевых задач для систем уравнений смешанного типа посвящено сравнительно мало работ. В этом направлении проводили исследования В.П. Ди-денко, P.M. Танеев, Т.Б. Зайкина, И.В. Майоров, М. Мередов, М.М. Овезова, К.Б. Сабитов, О.М. Теут, Т.В. Чекмарев и др. В этих работах теоремы единственности и существования в определенном смысле решения задачи Трикоми доказаны при определенных геометрических ограничениях на кривую Г (имеет ортогональный подход к оси Ох и удовлетворяет условию «звездности» или выпуклости) и достаточно жестких ограничениях на коэффициенты системы (сильная знакоопределённость, малость по норме L) или при малости длины линии изменения типа. Построенная теория принципа максимума для систем уравнений смешанного типа [1] позволяет снять эти ограничения относительно кривой Г и существенно ослабить ограничения на коэффициенты системы. Отметим, что ранее исследовалось существование обобщенного (из класса К.И. Бабенко R1 или из класса й^1) решения задачи Трикоми. Доказательство существования регулярного решения этой задачи для подобных систем уравнений смешанного типа не проводилось.

Разработка численных методов решения краевых задач для уравнений смешанного типа проводилась в работах А.И. Ивлевой, Л.И. Коваленко, В.Г. Кар-манова, Т.Г. Кязимова, О.А Ладыженской, Ф.А. Тагиева, А.Ф. Филиппова, Н. Ogawa. Приближенное решение краевых задач для систем уравнений смешанного типа методом конечных разностей ранее не изучалось.

[ РОС. НАЦИОНАЛЬНА* |

Целью работы является доказательство единственности и существования решения задачи Трикоми для системы уравнений смешанного типа

Ь,и = К{у)и1ХХ+ит+А1(х,у)и1Х+В1(х,у)и1у+^С1к(х,у)ик = Р1(х,у), (1)

где при произволь-

ном подходе эллиптической границы области к линии вырождения; разработка численного метода решения задачи Трикоми для системы (1).

Методы исследования. При исследовании экстремальных свойств решений системы уравнений смешанного типа используются принципы максимума для эллиптических и гиперболических систем уравнений. Единственность решения задачи для системы уравнений смешанного типа доказывается на основе установленного принципа максимума для систем уравнений смешанного типа. Доказательство существования обобщенного решения задачи Трикоми для системы (1) проводится с помощью альтернирующего метода типа Шварца. При доказательстве существования регулярного решения задачи Трикоми используется метод сведения к системе сингулярных интегральных уравнений, которая, в свою очередь, методом регуляризации Карлемана - Векуа сводится к системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Существование и единственность решения разностной задачи Трикоми для сеточного аналога системы (1) доказано на основании установленных принципов максимума для сеточных систем уравнений различных типов.

Научная новизна.

1. Установлены экстремальные свойства решений системы уравнений смешанного типа (1) в классе регулярных и обобщенных решений в областях эллиптичности, гиперболичности и, в целом, в смешанной области, показаны их применения при исследовании задачи Трикоми.

2. Доказано существование регулярного решения задачи Коши - Гурса для системы (1) в области гиперболичности.

3. Построено решение задачи Хольмгрена для системы (1) в области эллиптичности в случае, когда граница оканчивается малыми дугами «нормальной кривой».

4. Доказано существование и единственность регулярного решения задачи Три-коми для системы (1) при ортогональном подходе эллиптической границы области к линии изменения типа.

5. Доказано существование обобщенного решения задачи Трикоми для системы (1) при произвольном подходе эллиптической части границы области к линии изменения типа, за исключением случая касания.

6. Построен разностный аналог задачи Трикоми для системы (1). Установлены принципы максимума для сеточной системы уравнений в областях эллиптичности, гиперболичности и, в целом, в смешанной области. На их основе доказано существование и единственность решения разностной задачи Трикоми.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты и методы исследования представляют интерес и могут быть использованы для дальнейшей разработки общей теории краевых задач для систем уравнений смешанного типа.

Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на научных семинарах кафедры математического анализа (научные руководители - профессора К.Б. Сабитов, Ф.Х. Мукминов, И.А. Калиев, 1999 - 2004 гг.), кафедры прикладной математики и механики (научный руководитель - профессор В.Ш. Шагапов, 2004 г.), кафедры теоретической физики (научный руководитель - профессор А.И. Филиппов, 2004 г.) Стерлитамакского государственного педагогического института, на научном семинаре Института математики УНЦ РАН (научные руководители - профессора М.Д. Рамазанов, СВ. Хабиров, Р.С. Сакс, Т.А. Акрамов, г. Уфа, 2004 г.), а также на следующих международных научных конференциях: «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (г. Уфа, 2000 г.), «Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках» (г. Воронеж, 2000 г.), «Понтрягинские чтения - XII» (г. Воронеж, 2001 г.), «Differential Equations and Related Topics» (Moscow, 2001), VI семинар - совещание «Ky-батурные формулы и их приложения» (г.'Уфа, 2001 г.) «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (г. Нальчик, 2001 г.), «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Самара, 2002 г.), «Ill-posed and inverse problems» (Novosibirsk, 2002), «Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы» (г. Стерлитамак, 2003 г.), «Современные проблемы физики и математики» (г. Стерлитамак, 2004 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 работ, список которых приведен в конце автореферата. В работах [5] - [7], [9],[10] постановка задачи принадлежит проф. Сабитову К.Б.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав разбитых на 15 параграфов, списка литературы. Объем диссертации составляет 121 страницу Библиография 89 наименований.

Основное содержание работы

Ёо введении приведен обзор литературы по теме диссертации, излагается краткое содержание работы, сформулированы основные результаты, которые выносятся на защиту

В данной работе изучается система уравнений смешанного типа (1) в области £) С В.2, ограниченной простой кривой Жордана Г, лежащей в полуплоскости у > 0 с концами в точках .4(0,0) и В(1,0), I = сот^ > 0 и характеристиками АС и СВ системы (1) при у < 0. Пусть х — х(з), у — у(з) - параметрические уравнения кривой Г; я -- длина дуги кривой Г, отсчитываемая от точки В\ Ь-

В области переходим к характеристическим координатам где К (у) Е С[ус, 0] П С2[ус, 0), ус - ордината точки С. В этих координатах

В области И для системы (1) исследуется аналог задачи Трикоми.

Задача Т. Найти функцию II = (и^иг,... ,и„), удовлетворяющую услови-

где Ф = [<Р\,<Р2,- • •,(/>п) иФ = {^>1,^2, • • • ,Фп) заданные, достаточно гладкие вектор - функции, щ{Ь) = ^¿(0).

Следуя работе |1] под максимумом решения и(х,у) системы (1) будем понимать число тахтахщ(х, у). В главе 1 установлены экстремальные свойства < д

решений задачи Т в областях эллиптичности, гиперболичности и в целом в смешанной области В в классе регулярных и обобщенных решений системы (1). На основании этих свойств получены теоремы единственности и существования'обобщенного решения задачи Т при произвольном подходе кривой Г к оси Ох, за исключением случая касания. Для доказательства существования обобщенного решения задачи Т построен альтернирующий процесс типа Шварца, который ранее применялся в теории эллиптических уравнений и уравнений смешанного типа.

В §1.1 и §1.2 для системы (1) в области Б приведена постановка задачи Т и исследованы экстремальные свойства решений системы (1) в области эллиптичности.

Лемма 1. Пусть: 1) функция 1/(х, у)еС(~П+) ЛС2(1>+) и Ци = е£>+ при всех ¿.= 1 ,п; 2) коэффициенты системы (1) в области £>+ ограничены и

п

Сф,у)^0прикфг, Х^М«;0' (8)

*=1

при этом функции щ(х,у) не равны постоянной в любой подобласти области

этот максимум (минимум) достигается только на границе области

Лемма 2. Пусть : 1) и{х,у) 6 0(5*) П С,1(2?+ и АВ) П С2(£>+), Ь{1] = # в Б+ при г = 1, п; 2) в области коэффициенты системы (1) ограничены и удовлетворяют условию (8); 3) тахтахг^(х,у) = 0) > 0

•

(ттттц = и^(хо,0) < 0),0 < хо < Тогда <

\\т+щу{х0,у) < 0 (> 0). (9)

В §1.3 исследованы экстремальные свойства решений системы (1) в области гиперболичности. В области Д введем обозначения: сц = Д = ехр/ Ь^, N = ац+<ц1н—од Ао = (0,0), Во = (I, I), Со = (0,1) - вершины треугольника А. Будем предполагать, что коэффициенты системы (2) Ь{, сц. непрерывны в Д, кроме, может быть, отрезка АоВо, где они могут обращаться в бесконечность, и удовлетворяют условию:

f

3s 0. bk{Z,v) < 0 «Ри i Ф г n (10)

0,(0,ч) + / A(i,ij) 22bk(t,ri)dt > 0, 0 < ( < TI < I. о fc=1

Предполагается, что функции ft{£,v) интегрируемы по f на каждом отрезке (О, £о] прямой т] = tío, 0 < (о < щ ^ I.

Определение 1. Под регулярным решением системы (2) в области Д будем понимать функцию = (u¡,U2,., ■, u„), удовлетворяющую условиям:

V((,v)eC(A)nCl(A), u(r¡ е С (А) \

и, кроме того, производная Ur¡ € C(A\AqBq).

'Лемма 3. Пусть: 1) коэффициенты системы (2) обладают отмеченной выше гладкостью и удовлетворяют условию (10); 2) /,(£, r¡) ^ 0 0) е А; 3) ~ регулярное в А решение системы (2), равное нулю на характери-

стике AqCq. Тогда если maxmaxu,(£, rj) > 0 (mmminu¿(£, rj) < 0), то этот

• S • S _

максимум (минимум) достигается только на отрезке AqBq.

В §1.4 исследованы экстремальные свойства решений системы (1) в смешанной области к классе регулярных и обобщенных решений.

Определение 2. Регулярным в области D решением системы (1) назовем функцию U(x,y), которая удовлетворяет условиям (3) - (5) и, кроме того, производная Un непрерывна на Д\ AqBq.

Теорема 1. Пусть : 1) коэффициенты системы (1) в области D+ удовлетворяют условиям леммы 1; 2) коэффициенты системы (1) в области D~ в характеристических координатах (£, r¡) удовлетворяют условиям леммы 3; 3) F,(x,y) ^ 0 (Fi(x¡y) ^ 0) в D^UD"- 4) U{x^y) -регулярное в D решение системы (1), равное нулю на характеристике АС. Тогда если тахтахщ(х, у) >

« D _

О (minminu¡ < 0), то этот максимум (минимум) достигается на кривой Г. « D

Определение 3. Обобщенным в области D решением системы (1) назовем функцию U(г, у), если существует последовательность регулярных в области D решений {t/p(a;,у)} системы (1), равномерно сходящаяся к U(x,y) в замкнутой области D.

Теорема 2. Пусть выполнены условия 1)-3) теоремы 1 и U(x,y) - обобщенное в D решение системы (1), равное нулю на характеристике АС. Тогда

если max шах щ(х,у) > О (minminu^i,^) < 0), то этот максимум (мини-

• о » _ D

мум) достигается на кривой Г.

В §1.5 приведен ряд примеров систем уравнений смешанного типа на которых показано выполнение теории принципа максимума

В §1.6 получена теорема существования обобщённого решения задачи Т при произвольном подходе эллиптической границы области к линии изменения типа, за исключением случая касания.

Пусть К{у) = sgny ■ ]j/|m, т = const ^ 0, Ft{x]y) = 0, At{x,y), Bt(x,y) € C1(D+)nC,2(5-), C,k(x,y) e C(I?+UjD~) и удовлетворяют условиям 1) - 3) теоремы 1; Г - кривая из класса Ляпунова; Го «нормальная» кривая системы (1), заданная уравнением (х -1/2)2 + 4ут+2/(т + 2)2 = (I/2)2.

Определение 4. Регулярное в D решение системы (1). удовлетворяющее условиям (6) и (7), назовем регулярным решением задачи Т для системы (1).

Определение 5. Равномерный в D предел последовательности регулярных решений задачи Т назовем обобщенным решением задачи Т.

Теорема 3. Пусть в области D при условии, когда кривая Г оканчивается в точках А и В сколь угодно малыми дугами анормальной* кривой и гладких краевых данных <£(s) € С1 [0; L] и Ф(х) 6 С2[0; 1/2] существует регулярное решение задачи Т для системы (1). Тогда если функция Ф(я) £ С[0, L) и Ф(х) е C2[0,i/2], т/),(0) = <¿>¡(0) = <fii{L) - 0, то существует единственное обобщенное решение U(x,y) задачи Т с граничными данными U = Ф на Г и U = Ф на АС при произвольном подходе кривой Г к оси у = 0, за исключением случая, когда в достаточно малых окрестностях концов кривой Г производная dy/ds = 0.

Доказательство этого утверждения проводится на основании принципа максимума альтернирующим методом типа Шварца.

Глава 2 посвящена доказательству существования и единственности регулярного в D решения задачи Т для системы (1) при К (у) = sgny • \у\т, т = const > 0, Ft(x,y) = 0. Единственность регулярного решения задачи Т следует из доказанного в главе 1 принципа максимума без каких-либо ограничений на эллиптическую границу области.

Для доказательства разрешимости задачи Т для системы (1) рассматриваются вспомогательные задачи Хольмгрена в области £)+ и Коши - Гурса в D~, считая известными функции и,(х) = диг(х,0)/ду, г = 1,п. Полученные решения «склеиваются» на отрезке АВ по функции и по нормальной производ-

ной. Таким образом доказательство-существования решения задачи Т сводится к системе сингулярных интегральных уравнений относительно ¡/¡(х), Проводя регуляризацию методом Карлемана • Векуа получается система интегральных уравнений Фрсдгольма второго рода, разрешимость которой следует из единственности решения задачи Т.

В §2.1 доказана теорема существования регулярного решения задачи Коши - Гурса для системы (2) в области Д.

Задача Коши-Гурса. Найти регулярное в области Д решение £/(£,»?) = (щ, иг,..., и„) системы (2), удовлетворяющее условиям:

«¿(о>ч) = ФЫ с

где г)) - заданные достаточно гладкие функции.

Будем считать, что выполнены условия (А): коэффициенты системы (2) вблизи линии г} - £ представимы в виде: 77) = (77 - £)4ау4°(£,т?), 7) = (т= (ч~0К{т){4а-1)С°кЫ,щеА1ф £ С(Д)ПС3(Д), С°к £ С(Д) ПС2(Д); функция К'(т), зависящая от показателя вырождения системы, такова, что К(тп) = 0 при 0 < т < 2; К(т) = 1 при тп> 2.

Теорема 4. Пусть: 1) функции удовлетворяют условию Гелъдера с показателем q> а на 0^£<1и при £ -> I могут иметь особенность степенного порядка меньше, нем 1 - 2а, а = т/(2т + 4); 2) ^(ц) € С2[0,£], ^¿(0) = 0; 3) коэффициенты системы (2) удовлетворяют условиям (А), тогда существует единственное решение задачи Коши-Гурса для системы (2) в Д и оно определяется формулой

о о

? " / " _ (И)

о *=1 о *=1

гдеф,(1) = ф) + а,(0, <№(*)•

Здесь Кцс(£0)%0) ¿|)с(Со, т?0) 0 - известные функции, выражающиеся явным образом через коэффициенты системы (2) и функцию Римана-Адамара Я(£> т?; т) Для уравнения Эйлера - Дарбу - ~ щ) = 0.

В §2.2 исследована задача Хольмгрена.

Задача N. Найти в области £)+ функцию и(х,у) = (1(1,142,... ,п„) удовлетворяющую (3), (4), (6) а также краевому условию:

ду

- i/t{x), 0 < х < 1,

где i>í(x) - заданные достаточно гладкие функции.

Будем считать, что для кривой Г выполняются условия (Б): а) функции i(s), y(s) имеют непрерывные производные z'(s), y'(s) на отрезке [0,1], не обращающиеся одновременно в нуль; производные x"{s), y"(s) удовлетворяют условию Гельдера на [0,L]; б) в окрестности точек А и В на кривой Г выполняется

Теорема 5. Пусть: 1) Ai{x)y), Bi{x,y), Сгк{х,у) 6 С{Cik{x,у)) -неположительно-определенная матрица в D+; 2) Ai(x,у) = о{у~*) при у 0; 3) МХ>У) = o{yf+s^í), В{{х,у) = о(у^) вблизи точек (0,0), (1,0), 1 < 5 < ^у^; 4) для кривой Г выполнены условия (Б); 5) i'¿(х) непрерывны на (0,1) и абсолютно интегрируемы с показателем на [0,1]; 5) <p(s) € С[0, L], тогда функция U(x,y) = (ii), иг,.. - ,ип) с компонентами

является решением задачи N для системы (1) и оно единственно.

Здесь G,(f,0; х,у), /)¿(s,х,у) выражаются через коэффициенты системы (1) и функцию Грина задачи N для уравнения утихх + иуу = 0.

В §2.3 доказана теорема существования регулярного решения задачи Трико-ми для системы (1). Положим в (11): £0 = t¡q = хив (12): у = 0, соответственно. Тогда вопрос существования решения задачи Т для системы (1) эквивалентен вопросу разрешимости следующей системы уравнений

Применив к (13) формулу обращения интегрального уравнения Абеля и проводя регуляризацию полученной системы, получим систему вида

+ J 2]£,i=(Mb№<a = ед, (и)

о k=1

где ядра таковы, что - i)%t(z,i)| < С( 1 - х)-20-6», 0 < 62 < 1 - 2а, е > 0 достаточно мало, а правая часть G,(х) € Ha+Sl П Lr{0,1], г > и удовлетворяет оценке |G,(x)| < С5(1 - x)~2a-f3, ¿3 > 0. Система (14) есть система интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Её разрешимость следует из доказанной ранее теоремы единственности решения задачи Т.

Теорема 6. Пусть: 1) коэффициенты системы (1) удовлетворяют условиям теоремы 1; 2) вблизи линии у = 0 коэффициенты системы (1) представи-мы в виде А(х,у) = \у\т+1А°(х,у), В,{х,у) = \у\т+>В°{х,у), С,к{х,у) = \у\К[т]^С°к(х,у), А°{х,у), В°(х,у), С°к(х,у) -ограниченные функции ; 3) выполнены условие S) теоремы 4 и условия 3) и 4) теоремы 5; 4) функции (pt(s) на (0,1/) удовлетворяют условию Гелъдера порядка ¡3 > 0, вблизи точек s = L и s = 0 справедливы представления: tpt(s) = y,(L) + <pii(s), <p,(s) = 0) + (¿>2.(s), где |yJi,(s)| < C[L - s)1+2q и |v>2«(s)| < Cis, тогда в D существует единственное регулярное решение задачи Т для системы (1).

Из теорем 3 и 6 следует существование единственного обобщенного решения задачи Т для системы (1) без каких-либо ограничений геометрического характера на эллиптическую границу области D.

В главе 3 построен разностный аналог Г/, задачи Т для системы (1) при К (у) = sgny • /3 = 1const > 0. Доказано существование и единственность решения разностной задачи Тд.

Для задачи (3) - (7) вводится сеточная область. Разделим отрезок АВ на

N 2Wl равных частей длины h. Построим сетку при у < 0. Для этого через

точки деления проведем характеристики £ — mh, 77 = mh, m = 1,2,...,7V

системы (1). При у < 0 сетка состоит из точек пересечения этих линий. Пусть 2

Н(х) = i^Y- х j3*1, тогда уравнение характеристики АС можно представить в виде у = —Н(х). В области D~ через (к, ш) - обозначим узел (х^т, —ут); — kh + mh/2,ym = H[mh/2), к,т = 0,1,...; Л - шаг сетки по х; 1т - шаг сетки по у; 1т — ут- ут-\. При у ^ 0 сетка прямоугольная. Здесь

под (к,т) будем понимать узел (kh, ут), к = 0,±1,...; m = 0,1,____Через

Dh, D^, D^ обозначим множество всех узлов принадлежащих D, D+, D~ соответственно.

Доказано, что система дифференциальных уравнений (1) в узле (хкт, —ут) & -Од аппроксимируется системой разностных уравнений

ВД*. т) = { -^-«.(¿.т - 1)+

'т'т+1 1'т + 'тп+1

+

2/„

'т + 1т+1

'т + 'ш+1 )

А,(к,т)

+-

щ(к, т) - щ(к - 1, т)

+

(15)

+

щ(к,т — 1) - и,(к - 1,т + 1)

1

+ ¿т+1

Аналогично, для каждого узла (&, т) 6

щ(к + 1, т) — 2щ(к, тп) + и,(к — 1, т)

тк>гп)=т

+

2 2

иг(к,тп- 1) - ——и^т)-!-

'пЦ'т + 1т-и)

+

1т+\(1т + ¿т-н)

А^к,т)

щ(к,т + 1) +

(16)

2/г

1,т) - и^к - 1,т)

+

+

В,(к,т)

1т + ¿т+1

и, (к, т. + 1) — и,(к, тп — 1)

;=1

Из условия (3) следует непрерывность функции и(х, у) вместе с производной иу(х,у) на отрезке АВ. Каждому узлу (г,0) АВ сопоставим систему

И,и = и,(я, у2) - 2и,(ж, 0) + и,(х, -т/2) = 0.

(17)

Для разностного оператора Я, действующего по закону, указанному в равенствах (15) - (17), получаем разностную задачу. Задача Т/,. Найти решение системы уравнений

Ш(к,т) = Г*(к,т), (к,т) € А,, и = Фд «а Гл, С/ = Ф на АС, здесь Р* = ..., б и £>д; = 0 на АВ.

(18) (19)

В области Д также вводится сетка. Пронумеруем узлы Д/, следующим образом сначала узлы лежащие на АС в порядке возрастания г/: (0,0), (0,1), (0,2), ..., (О, Лг); затем узлы лежащие на £ = к в том же порядке: (1,0), (1,1), (1,2), ..., (1, N - 1) и так далее. Под значением какой-либо функции в узле (к, т) области Дд будем понимать ее значение в точке с координатами [кк, (т + к)к). На введенной сеточной области система (2) аппроксимируется системой

Я,и(к,тп) = [(1 + а,/1 + 6,Л)и,(А;,т) - (1 + а,к)и,(к — 1,т +1)— -(1 + Ь,к)щ{к, т-1)+щ{к- 1, т)]/к2 + £ = /„ ^

где аг, 6,, сл], /, - значения соответствующих коэффициентов системы уравнений (2) в узле (к,т). Теорема 7. Пусть 1) коэффициенты системы (16) в области удовле-

п

теоряют условиям \А,\ к < 2К, | Д| 1т < 2, СХ] > 0 при г ф £ ^ч ^ 2) в области Д^, коэффициенты системы (20) удовлетворяют условиям:

п

<к]{к,т) ^ 0 при I Ф ^ 0; 3) существует ко > 0, что для

7=1

всех 0 < к < ко в Д/, выполняются неравенства:

1 + а,(&,т)Ь^0, 1 + Ь,(к,т)к^ 0; (1 + а,(к + 1,т - 1)Л)(1 + Ь,(к, т)к) >

п

> 1 + а,{к, тп)к + Ь,(к, тп)к + к2 £ с.Д/с, тп) > 0;

;=1

4) и(к,т) - решение системы (18), равное нулю на характеристике АС, Ни ^ 0 б .О/! Тогда если тахтах и, > 0, то этот максимум достигает-

« Вы

ся 'На Г/1.

Следствие 1. Если выполнены условия теоремы 7, то задача Тд имеет единственное решение.

Показано, что решение задачи Тк равномерно по (к, т) сходится к решению задачи (3) - (7) при к —0, а так же, что решение задачи (18) и (19) может быть получено итерационным процессом Зейделя.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Камилю Баси-ровичу Сабитову за предложенную тематику исследования, постоянное внимание к работе и поддержку, а также научному консультанту доктору физико-математических наук, профессору Ибрагиму Адиетовичу Калиеву за ценные

замечания.

Диссертация выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, коды грантов 99-01-00934, 02-01-97901.

Публикации по теме диссертации

1. Сабитов К.Б. Принцип максимума для систем уравнений смешанного типа второго порядка // Докл. АН СССР. 1989. Т.305, №. С.783 - 786.

2. Мугафаров М.Ф. Принцип экстремума для одной системы уравнений смешанного типа в классе обобщенных решений / Труды международной конференции «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы». Уфа. ИМ с ВЦ УНЦ РАН. 2000. Т.З. С. 132 - 137.

3. Мугафаров М.Ф. Об условной разрешимости задачи Трикоми для системы уравнений смешанного типа / Тезисы докладов Воронежского зимнего симпозиума «Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках», Воронеж. ВГУ. 2000. С.197.

4. Мугафаров М.Ф. К вопросу о существовании решения задачи Трикоми для одного класса систем уравнений смешанного типа / Сборник трудов Воронежской математической школы «Современные методы в теории краевых задач». Воронеж. ВГУ. 2001. С. 157.

5. Sabitov K.B., Mugafarov M.F. To a question on existence of the solution of a Tricomi problem for one class of systems of the mixed type equations / Book of abstracts of International Conference «Differential Equations and Related Topics». Moscow. Moscow University Press. 2001. P. 281 - 282.

6. Сабитов К.Б., Мугафаров М.Ф. Разностный метод решения задачи Три-коми для системы уравнений смешанного типа / Материалы VI - го международного семинара- совещания «Кубатурные формулы и их приложения». Уфа. ИМ с ВЦ УНЦ РАН. 2001. С.107 - 112.

7. Сабитов К.Б., Мугафаров М.Ф. Разностный метод решения задачи Три-коми для системы уравнений смешанного типа / Труды второй международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики». Нальчик. НИИ ПМиА КБ НЦ РАН. 2001. С.156 - 159.

8. Мугафаров М.Ф. Принцип экстремума для одной сеточной системы уравнений смешанного типа и его применения / Сборник трудов международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Самара. СамГАСА. 2002. С. 246 - 250.

9. Sabitov K.B., Mugafarov M.F. To a question on existence of the s^ution of a

Tricomi problem for one class of systems of the mixed type equations j Abstracts of international Conference «III - Posed and inverse problems». Novosibirsk. Sobolev Institute of Mathematics. 2002. P. 143.

10. Сабитов К.В., Мугафаров М.Ф. К вопросу о существовании решения задачи Трикоми для одного класса систем уравнений смешанного типа // Сибирский математический журнал. Т.43, №3. 2002. С. 710 - 727.

11. Мугафаров М.Ф. Дифференциальный и разностный принципы экстремума для одной системы уравнений смешанного типа/Труды международной конференции «Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы», посвященной юбилею академика ВА Ильина. Стерлитамак. СГПИ, СФ АН РБ. Уфа: Гилем. 2003. Т.2. С. 90 - 97.

12. Мугафаров М.Ф. Применение принципа экстремума для одной сеточной системы уравнений смешанного типа / Труды международного российско -узбекского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». Нальчик. 2003. С.47 - 50.

13. Мугафаров М.Ф. Принципмаксимума для одной сеточной системыурав-нений гиперболического типа и его применения // Дифференциальные уравнения 2003. Т. 39. № 8. С. 1137 - 1139.

14. Мугафаров М.Ф. Задача Трикоми для одной системы уравнений смешанного типа / Труды Всероссийской научной конференции «Современные проблемы физики и математики». Стерлитамак. СГПИ, СФ АН РБ. Уфа: Гилем. Т.1. С. 159 - 167.

Формат 60 х 841/1в. Печать оперативная. Усл. печ. я. 1,00. Тираж 100 экз. Заказ №

Отпечатано в тип. «Спринт», г.Стерлитамак, ул. Вокзальная, ■ 13а. Лицензия на издательскую деятельность В 848293 №176 от 22.12.1999г., выдала Министерством печати и массовой информации Республики Башкортостан. Лицензия на полиграфическую деятельность: код 222, серия ПД, >4)1277 от 05.12.2001г. Министерством РФ по делам печати, телерадиовещания и средств массовой

Введение

Глава 1. Задача Трикоми для одной системы уравнений смешанного типа

§1.1. Постановка задачи.

§1.2. Экстремальные свойства решений системы в области эллиптичности

§1.3. Экстремальные свойства решений системы в области гиперболичности

§1.4. Экстремальные свойства решений системы в смешанной области

§1.5. Примеры

§1.6. Об условной разрешимости задачи Трикоми.

Глава 2. Существование решения задачи Трикоми для одной системы уравнений смешанного типа

§2.1. Постановка задачи.

§2.2. Интегральное представление решения задачи Коши - Гурса

§2.3. Интегральное представление решения задачи Хольмгрена

§2.4. Сведение задачи Трикоми к системе сингулярных интегральных уравнений.

Глава 3. Разностный метод решения задачи Трикоми для одной системы уравнений смешанного типа

§3.1. Аппроксимация дифференциальной системы уравнений разностной. Постановка разностной задачи Трикоми.

§3.2. Принцип максимума в области эллиптичности.

§3.3. Принцип максимума в области гиперболичности.

§3.4. Принцип максимума в смешанной области и его применения

Уравнения смешанного типа возникли в 20 - х годах прошлого века. Позже они получили значительное развитие благодаря многочисленным приложениям в газовой динамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментной теории оболочек и в других областях физики и техники.

Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф. Трикоми и С. Геллерстедта, где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа с одной линией параболического вырождения, теперь известные как «задача Трикоми» и «задача Геллерстедта».

В 40 - х годах прошлого века Ф.И. Франкль обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в околозвуковой аэродинамике. Кроме того, приложения краевых задач для уравнений смешанного типа указаны в работах О.С. Рыжова, А.Д. Пилия и В.И. Федорова, М.Н. Когана, Э.Г. Шифрина, Г.Г. Черного в связи с проблемами теории сопел Лаваля, теории плазмы, магнитогидродинамики и другими вопросами.

В 50 - е годы в работах Ф.И. Франкля [63], A.B. Бицадзе [3] - [4], К.И. Бабен-• ко [1] было положено начало современной теории уравнений смешанного типа.

В этих работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа. В дальнейшем эти краевые задачи изучались многими авторами как в нашей стране так и за рубежом. Основные результаты этих работ и соответствующая им библиография приведены в монографиях A.B. Бицадзе [3, 5], М.М. Смирнова [53] - [56], М.С. Салахитдинова [51], Т.Д. Джураева [13].

В целом, обобщение результатов Ф. Трикоми ведется в первых четырех из следующих направлений:

1) усложнение уравнения смешанного типа за счет: а) добавления новых слагаемых, б) повышения порядка, в) добавления новых линий вырождения;

2) усложнение области смешанного типа, в которой ищется решение;

3) изменение граничных условий задачи или условий склеивания искомого решения на линии вырождения;

4) изучение спектральных свойств уравнений смешанного типа;

5) распространение идей и методов решения краевых задач со случая уравнения смешанного типа на случай систем таких уравнений.

Следует отметить, что системы уравнений смешанного эллиптико - гиперболического типа второго порядка исследованы сравнительно мало.

Изучением задачи Трикоми для нелинейной системы уравнений смешанного типа

УЩхх Щуу = /¿(я-* 2/> ^ъ •••> ип) j i = 1» занимался И.В. Майоров. В работе [29] им установлен принцип максимума мо/ п \ 1/2 дуля \U(x,y)\ = f ulixiy) ) решения. В работах [30], [31] данная.система исследована в областях эллиптичности и гиперболичности соответственно.

Работы Т.Б. Зайкиной (Цымбал) [14] - [16] посвящены изучению системы уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями степенного вырождения

Sgn у - lypUarx + Sgn®- \x\nuyy + c(x,y)u = О, где с - квадратная матрица, и = (щ,.ип). Исследованы экстремальные свойства модуля решения, доказано существование «слабого» решения.

В.П. Диденко функциональными методами исследовал разрешимость краевых задач для систем уравнений смешанного и смешанно - составного типов в пространстве И^1^) [Ю] - [12].

В работе М.М. Овезовой [41] на основании интегральных оценок доказана единственность решения задачи Трикоми для системы уравнений где а, Ь, с - квадратные матрицы, и = (щ,.ип). В работе [39] того же автора получены интегральные представления решений первой и второй задач Дарбу для подобной гиперболической системы.

В работах Ф.И. Карамышева [20], З.А. Киквидзе [23] и A.B. Рябова [43] задача Трикоми исследована для систем уравнений смешанного типа первого порядка.

В работе К.Б. Сабитова [48] установлены экстремальные свойства модуля решений задачи Трикоми для системы уравнений смешанного типа в областях эллиптичности, гиперболичности и, в целом, в смешанной области Д и приводятся применения этих свойств при исследовании задачи Т.

Новые экстремальные свойства решений системы уравнений смешанного типа были установлены К.Б. Сабитовым в работах [46], [47].

Приближенное решение краевых задач для систем уравнений смешанного типа методом конечных разностей ранее не изучалось. Поэтому приведём sgn у ихх + иуу + а(х, у) их -f Ь(х, у) иу + с(х, у)и = О,

1/2 краткий обзор наиболее близких результатов для уравнений смешанного типа. Так, например, в работе В.Г. Карманова [21] предложен метод конечных разностей для определения приближенного решения щ задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева - Бицадзе, при условии существования точного решения. При этом приближенное решение сводится к алгебраической системе со столькими неизвестными сколько имеется узлов сетки в области D.

В работе O.A. Ладыженской [27] задача Трикоми для уравнения Лаврентьева - Бицадзе сводится к эллиптической задаче, которая решается методом конечных разностей. В работе [28] она указывает на то, что «метод конечных разностей может быть использован и как вычислительный метод, и как метод доказательства теорем существования, и, наконец, как метод исследования дифференциальных свойств решений».

Для доказательства существования решения задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева - Бицадзе метод конечных разностей был впервые применен в работе В.Г. Карманова [22].

В работе А.Ф. Филиппова [62] построен разностный аналог задачи Трикоми для уравнения Т, установлены принципы максимума для сеточной системы уравнений в областях эллиптичности, гиперболичности и, в целом, в смешанной области. На их основе доказано существование и единственность решения разностной задачи Трикоми.

Аналогичный результат получен для более общего уравнения смешанного типа в работах Н. Ogawa [74] и Л.И. Коваленко [24].

Диссертации Ву Ван Тхоа [8] и А.И. Ивлевой [19] посвящены исследованию приближенного решения краевых задач для уравнения Лаврентьева - Бицадзе с отходом от характеристик и с условиями сопряжения Франкля соответственно.

В работах Ф.А. Тагиева [58], [59] методом конечных разностей исследована задача типа Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения.

В данной работе рассматривается система уравнений смешанного типа LiU = K(y)uixx + uiyy + Ai(x, y)uix-\п

Bi(x,y)uiy + ^2Cik(x,y)uk = Fi(x,y), (0.1) где у-К(у) > 0 при у ф 0, г = 1, n, п > 2, U = (щ, щ,ип), в области D С R2, ограниченной простой кривой Жордана Г, лежащей в полуплоскости у > 0 с концами в точках А(0,0) и В(1,0), I = const > 0, и характеристиками АС и С В системы (0.1) при у < 0. Пусть х = у = ?/(s) - параметрические уравнения кривой Г; s - длина дуги кривой Г, отсчитываемая от точки В; L - длина кривой Г; D± = D П {у ^ 0}.

В области D~ переходим к характеристическим координатам у у = х + J y/-K(t)dt, т] = х- J y/-K(t) dt, о о где К(у) G С[ус, 0] П С2[ус, 0), ус - ордината точки С. В этих координатах система (0.1) имеет вид п

LiU(£, 7]) = ILify + Т))ич + T])uir) + CiJk(f, 7])uk = fi(€, 7]), (0.2) fc=1 где

-п) = (Аг + BiV^K - К'/2у/^К)/4К, bi{Z, rj) = (Ai - BiV^K + К'/2у/^К)/АК,

Cik(Z, V) = Qk/4K, rj) = Fi/AK, а область D~ отображается в A = {(£, 77) : 0 < £ < rj < I}.

В области D для системы (0.1) исследуется аналог задачи Трикоми.

Задача Т. Найти функцию U = (ui, i¿2,., ип), удовлетворяющую условиям:

U(xiy)eCCB)nC\D); (0.3)

U(x1y)eC2(D+)uLiU(x,y) = Fi(x,y), (;х,у) е D+, i = (0.4)

Ufa 6 С(Д) u LiU(Z, rj) = fi(x, y), K, 77) G A, i = I^ñ; (0.5)

С/(Ж,2/)|Г=Ф(5), (0.6) rf I лс= 0 < x < '/2, (0-7) где Ф = (cpi, <p2,., (fn) мФ = (V'ij Ф2, • • •, Фп) ~ заданные достаточно гладкие вектор - функции, (fi(L) = ф((0). Целью данной работы является:

1) исследование экстремальных свойств решений задачи Т в областях эллиптичности, гиперболичности и, в целом, в смешанной области D в классе регулярных и обобщенных решений системы (0.1);

2) доказательство существования и единственности регулярного решения задачи Т для системы (0.1) при ортогональном подходе эллиптической границы области к линии вырождения;

3) доказательство существования обобщенного решения задачи Т для системы (0.1) произвольном подходе эллиптической части границы области к линии изменения типа, за исключением случая касания.

4) разработка численного метода решения задачи Т для системы (0.1). Работа состоит из трёх глав.

Следуя работе [46] под максимумом решения U(x,y) системы (0.1) будем понимать число шах шах щ(х, у). В главе 1 установлены экстремальные свой» D ства решений задачи Т в областях эллиптичности, гиперболичности и в целом в смешанной области D в классе регулярных и обобщенных решений системы

0.1). На основании этих свойств получены теоремы единственности и существования обобщенного решения задачи Т при произвольном подходе кривой Г к оси Ох, за исключением случая касания. Для доказательства существования обобщенного решения задачи Т построен альтернирующий процесс типа Шварца, который ранее применялся в теории эллиптических уравнений и уравнений смешанного типа.

В §1.1 и §1.2 для системы (0.1) в области D приведена постановка задачи Т и исследованы экстремальные свойства решений системы (0.1) в области эллиптичности.

Лемма 0.1. Пусть : 1) функция U(xty) 6 C(~Db ) П C2(D+) и UU = Fi в D+ при всех г = 1 , п; 2) коэффициенты системы (0.1) в области D+ ограничены и п

Cik(x,y)>0 при k^i, 0, 0«0), (0.8) k=1 при этом функции щ(х, у) не равны постоянной в любой подобласти области

D+. Тогда если max max щ (х) > 0 (minrainuj(a;) < 0), то этот максимум » » D* минимум) достигается только на границе области D+.

Лемма 0.2. Пусть : 1) U(x,y) G С( D*) nC\D+ U АВ) П C2(D+), L{U = Fi e D+ при i = l,n; 2) в области D+ коэффициенты системы (0.1) ограничены и удовлетворяют условию (0.8); 3) шах max щ (ж, у) = Uj{xо,0) > 0 D* minminwj = г^(жо,0) < 0), 0 < xq < I. Тогда hm+ujy(x0,y) < 0 (> 0). (0.9)

В §1.3 исследованы экстремальные свойства решений системы (0.1) в области гиперболичности. В области Д введем обозначения: щ = Д = exp f b{d£, hi = а^ + аД - сц\ Aq = (0,0), Bq = (I, Z), C0 = (0,Z) - вершины треугольника Д. Будем предполагать, что коэффициенты системы (0.2) с%к непрерывны в А, кроме, может быть, отрезка АоВо, где они могут обращаться в бесконечность, и удовлетворяют условию:

V) ^ 0, сц(£, т?) ^ 0 при г ф к, С

Л » (0.10) i(0, T¡) + / Д (t, 77) Y^ Cik(t, r])dt>0,0<£<r}^l.

J k—l

Предполагается, что функции /¿(£, r¡) интегрируемы по £ на каждом отрезке [0, £о] прямой 77 = т/о, 0 < fo < Vo ^ I

Определение 0.1. Под регулярным решением системы (0.2) в области Д будем понимать функцию = (щ}и2,.,ип), удовлетворяющую условиям:

Uforj) € С(Д)п СЧД), Щг, <Е С(Д);

Ь{и(£,г)) = /¿(я, у), (£,77) € Д, г = 1,п, и, кроме того, производная ип £ С(Д\АоД))

Лемма 0.3. Пусть: 1) коэффициенты системы (0.2) обладают отмеченной выше гладкостью и удовлетворяют условию (0.10); 2) /¿(£,77) ^ 0 (^ 0) в Д; 3) и(£,г]) - регулярное в Д решение системы (0.2), равное нулю на характеристике АоСо- Тогда если шахтахщ(£,77) > 0 (ттттгц(£, 77) < 0), д * д то этот максимум (минимум) достигается только на отрезке АоВо.

В §1.4 исследованы экстремальные свойства решений системы (0.1) в смешанной области в классе регулярных и обобщенных решений.

Определение 0.2. Регулярным в области И решением системы (0.1) назовем функцию и(х,у), которая удовлетворяет условиям (0.3) - (0.5) и, кроме того, производная \]ц непрерывна на Д \ АоВо.

Теорема 0.1. Пусть : 1) коэффициенты системы (0.1) в области удовлетворяют условиям леммы 0.1; 2) коэффициенты системы (0.1) в области в характеристических координатах (£, 77) удовлетворяют условиям леммы 0.3; 3) Fi(x,y) ^ 0 (Fi(x,y) ^ 0) в D+ U D~\ 4) U(x,y) - регулярное в D решение системы (0.1), равное нулю на характеристике АС. Тогда если max max щ (ж, у) > 0 (min min г^ < 0), то этот максимум (минимум) г D * D достигается на кривой Г.

Определение 0.3. Обобщенным в области D решением системы (0.1) назовем функцию U(x,y), если существует последовательность регулярных в области D решений {Up(x,y)} системы (0.1), равномерно сходящаяся к U(x,y) в замкнутой области D.

Теорема 0.2. Пусть выполнены условия 1)-3) теоремы 0.1 и U{x,y) -обобщенное в D решение системы (0.1), равное нулю на характеристике АС.

Тогда если max max щ (х, у) > 0 (min min щ (х,у) < 0), то этот максимум » D » D минимум) достигается на кривой Г.

В §1.5 приведен ряд примеров систем уравнений смешанного типа на которых показано выполнение теории принципа максимума.

В §1.6 получена теорема существования обобщённого решения задачи Т при произвольном подходе эллиптической границы области к линии изменения типа, за исключением случая касания.

Пусть К (у) = sgny • \у\т, m = const ^ 0, Fi(x,y) = 0, Д(х,у), Bi(x,y) £ C\D+) D C2(D~), Cik(x,y) e CÇD* UD~) и удовлетворяют условиям теоремы 0.2; Го - «нормальная» кривая системы (0.1), заданная уравнением (х — 1/2)2 + 4ут+2/(т + 2)2 = (г/2)2; Г - кривая из класса Ляпунова.

Определение 0.4. Регулярное в D решение системы (0.1), удовлетворяющее условиям (0.6) и (0.7), назовем регулярным решением задачи Т для системы (0.1).

Определение 0.5. Равномерный в D предел последовательности регулярных решений задачи Т назовем обобщенным решением задачи Т.

Теорема 0.3. Пусть в области D при условии, когда кривая Г оканчивается в точках А и В сколь угодно малыми дугами «нормальной» кривой и гладких краевых данных Ф(в) 6 C^OjL] и G C2[0;Z/2] существует регулярное решение задачи Т для системы (0.1). Тогда если функция Ф(з) Е С[0, L] и Ф(а?) G С2[0,//2], ^(0) = <а(0) = = 0, то существует единственное обобщенное решение U(x,y) задачи Т с граничными данными U = Ф на Т и U = Ч? на АС при произвольном подходе кривой Г к оси у = 0, за исключением случая, когда в достаточно малых окрестностях концов кривой Г производная dy/ds = 0.

Доказательство этого утверждения проводится на основании принципа максимума альтернирующим методом типа Шварца.

Глава 2 посвящена доказательству существования и единственности регулярного в D решения задачи Т для системы (0.1) при К(у) = sgn у • \у\т, т = const > 0, F{(x,y) = 0. Единственность регулярного решения задачи Т следует из доказанного в главе 1 принципа максимума без каких - либо ограничений на эллиптическую границу области.

Для доказательства разрешимости задачи Т для системы (0.1) рассматриваются вспомогательные задачи Хольмгрена в области D+ и Коши - Гурса в D~, считая известными функции щ(х) = дщ(х,0)/ду, i = 1, п. Полученные решения «склеиваются» на отрезке АВ по функции и по нормальной производной. Таким образом доказательство существования решения задачи Т сводится к системе сингулярных интегральных уравнений относительно щ(х). Проводя регуляризацию методом Карлемана - Векуа получается система интегральных уравнений Фредгольма второго рода, разрешимость которой следует из единственности решения задачи Т.

В §2.1 доказана теорема существования регулярного решения задачи Коши

- Гурса для системы (0.2) в области А.

Задача Коши-Гурса. Найти регулярное в области А решение £/(£,77) — (щ, и2,., ип) системы (0.2), удовлетворяющее условиям: щ(0,г}) = фг(г)), 0 < г] ^ где !/»(£), ф{(г)) - заданные достаточно гладкие функции.

Будем считать, что выполнены условия (А): коэффициенты системы (0.2) вблизи линии 7] = £ представимы в виде: где A¡, B¡ е С(Д) П С3(А), C°ik G С(А) П С2(Д); функция К{т), зависящая от показателя вырождения системы, такова, что К(т) = 0 при 0 < т ^ 2; К(т) = 1 при т > 2.

Теорема 0.4. Пусть: 1) функции удовлетворяют условию Гельдера с показателем q > а на 0 £ < I и при £ —> I могут иметь особенность степенного порядка меньше, чем 1 — 2а, а = т/(2т + 4); 2) фг(т]) G С2[0,1], ф{{0) = 0; 3) коэффициенты системы (0.2) удовлетворяют условиям (А), тогда существует единственное решение задачи Коши-Гурса для системы (0.2) в А и оно определяется формулой lim

MZ, v) = (i- £)4аА°(£, r¡), Biit, п) = (f] - Z)2aB°(t, 77),

Uiito, rio) = / МШо - t)~a{vo ~ t)adt + ¿(*)Д(0, £0, Vo) dt+ о о

0.11) о fe=1 о k=1

Здесь Kik(£o,r)o,t), Lik(£o,r)oft) - известные функции, выражающиеся явным образом через коэффициенты системы (0.2) и функцию Римана-Адамара ?7; для уравнения Эйлера - Дарбу

Щп ~ ^Г^К " Щ) =

В §2.2 исследована задача Хольмгрена.

Задача N. Найти в области D+ функцию U(x,y) = (ui,u2,. ,ип), удовлетворяющую (0.3), (0.4), (0.6) а также краевому условию: дщ(х, 0) / х « я = Ф), 0<х<1, ду где Vi{x) - заданные функции.

Будем считать, что для кривой Г выполняются условия (Б): а) функции rc(s), y(s) имеют непрерывные производные x'(s), y'(s) на отрезке [0, L], не обращающиеся одновременно в нуль; производные x"(s)} y"(s) удовлетворяют условию Гельдера на [0, L]; б) в окрестности точек А и В на кривой Г выполняется условие ^ C2ym+1(s), С = const.

Теорема 0.5. Пусть: 1) Ai(x,y), Bi(x,y), Cik(x,y) е Cl(D+), (Cik{x,y)) -неположительно-определенная матрица в D+; 2) Ai(x,y) = о(у?) при у 0; 3) Ai(x,y) = Bi(x,y) = о(утвблизи точек (0,0), (1,0),

1 < S < 4) для кривой Г выполнены условия (Б); 5) ц(х) непрерывны на (0,1) и абсолютно интегрируемы с показателем 5\ на [0,1]; 5) <£>(s) G С[0, L], тогда функция U(х, у) = (щ, иг,., ип) с компонентами

Ui

1 ь х, у) = - J i'i(t)Gi(t, 0; х, y)dt - J <pi(s)pi(s, x, y)ds (0.12) является решением задачи N для системы (0.1) и оно единственно.

Здесь 0; х, у), р^в, х, у) выражаются через коэффициенты системы (0.1) и функцию Грина задачи N для уравнения утихх + иуу = 0.

В §2.3 доказана теорема существования регулярного решения задачи Три-коми для системы (0.1). Положим в (0.11): £о — ^о = х и в (0.12): у = 0, соответственно. Тогда вопрос существования решения задачи Т для системы (0.1) эквивалентен вопросу разрешимости следующей системы уравнений

Применив к (0.13) формулу обращения интегрального уравнения Абеля и проводя регуляризацию полученной системы, получим систему вида где ядра таковы, что |£е(1 - г^/С^я, < С( 1 - х)~2а~5\ 0 < 62 < 1 - 2а, е > 0 - достаточно мало, а правая часть С?г(ж) £ На+6г П Ьг(0,1], г > и удовлетворяет оценке |Сч(ж)| < 1 — х)~2а~6э, 5з > 0. Система (0.14) есть система интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Её разрешимость следует из доказанной ранее теоремы единственности решения задачи Т.

Теорема 0.6. Пусть: 1) коэффициенты системы (0.1) удовлетворяют условиям теоремы 1; 2) вблизи линии у = 0 коэффициенты системы (0.1) представимы в виде А^х,у) = \у\т+1А^(х,у), Вг(х,у) = \у\т+^В^(х,у), ции ; 3) выполнены условие 2) теоремы 0.4 и условия 3) и 4) теоремы 0.5; 4) функции ф^в) на (0, Ь) удовлетворяют условию Гельдера порядка (3 > 0, вблизи точек в = Ь и 5 = 0 справедливы представления: <£г(з) = -+

00 = ¥>»(0) + Р2.-М, где ^ С(Ь - я)1+2а и |у>2<М| ^ С\8, тогда в И существует единственное регулярное решение задачи Т для си

0.13)

0.14)

С*к(х,у) = \у\К(т)™+*С°к(х,у), А\{х,у), в?(х,у), С°к(х,у) - ограниченные функстемы (0.1).

Из теорем 0.3 и 0.6 следует существование единственного обобщенного решения задачи Т для системы (0.1) без каких-либо ограничений геометрического характера на эллиптическую границу области D.

В главе 3 построен разностный аналог Th задачи Т для системы (0.1) при К (у) = sgny • \у\Р, (3 = const > 0. Доказано существование и единственность решения разностной задачи Т^.

Для задачи (0.3) - (0.7) вводится сеточная область. Разделим отрезок АВ на N = 2Nl равных частей длины h. Построим сетку при у < 0. Для этого через точки деления проведем характеристики f = mh, rj = mh, га = 1,2,., N системы (0.1). При у < 0 сетка состоит из точек пересечения этих линий. Пусть 2

Н(х) = х j0+2, тогда уравнение характеристики АС можно представить в виде у = —Н(х). В области D~ через (к,гп) - обозначим узел (Xkm>—Ут); Xkm = kh + mh/2, ут = H(mhj2), к,т = 0,1,.; h - шаг сетки по х\ 1т - шаг сетки по у, lm = ут — ym-v При у ^ 0 сетка прямоугольная. Здесь под (к, га) будем понимать узел (kh, ут), к = 0, ±1,.; га = 0,1,Через

Dh, Dfr обозначим множество всех узлов принадлежащих D, D D ~ соответственно.

Доказано, что система дифференциальных уравнений (0.1) в узле {хкт, —Ут) £ D^ аппроксимируется системой разностных уравнений

RiU(k,m) = —-—\j—rr— щ{к,т- 1)4m^m+l L I'm ~г 1>т+1

2/ lm "I" ^m+1

Aj(k,m) h

Bi(k,m) щ(к — 1, m + 1) — щ(к — 1, m) — щ(к, m)|- + щ(к, га) — щ(к — 1, га)

0.15) lm ¿771+1 щ(к, т — 1) — щ(к — 1, га + 1) п Cij(k, m)uj(k, т). j=i

Аналогично, для каждого узла (к, га) 6

К{т)

В^и(к1т) =

К2 2 щ(к + 1, га) — 2щ(к, га) + щ{к — 1, га) 1т+1)

А;, га — 1) —

1т+\(]"т ¿771+1)

Аг(к,т) щ{к,т + 1) +

0.16)

2Л

А; + 1, га) — — 1, га)

В{(к,т) щ{к, га + 1) — га — 1)

3=1

1т ~Ь ¿т+1

Из условия (0.3) следует непрерывность функции II(х, у) вместе с производной иу{х, у) на отрезке АВ. Каждому узлу (х, 0) € АВ сопоставим систему

ЩИ = щ(х,у2) - 2щ(х, 0) + щ(х, -у2) = 0.

0.17)

Для разностного оператора Я, действующего по закону, указанному в равенствах (0.15) - (0.17), получаем разностную задачу. Задача Тд. Найти решение системы уравнений

Яи{к,т) = Р*(к, га), (к,т) 6 £>Л,

0.18) (0.19) и = Фв на ГЛ, и = Ф маЛС, здесъ = (^1,., = 0 на АВ.

В области Д также вводится сетка. Пронумеруем узлы Дд следующим образом: сначала узлы лежащие на АС в порядке возрастания 77: (0,0), (0,1), (0,2), (0,./V); затем узлы лежащие на £ = Ъ, в том же порядке: (1,0), (1,1), (1,2), ., (1, N — 1) и так далее. Под значением какой-либо функции в узле (к, га) области Дд будем понимать ее значение в точке с координатами (кк, {т+к)1г). На введенной сеточной области система (0.2) аппроксимируется системой ъи(к, т) = [(1 + а^ + Ь$)щ(к, т) — (1 + щК)щ{к — 1, т + 1) — п (0.20)

-(1 4- Ь{К)щ(к, т — 1) + щ(к - 1, т)]/Н2 + ]Г) т) =

3=1 где щ, Ь{, с^, - значения соответствующих коэффициентов системы уравнений (0.2) в узле (к,т).

Теорема 0.7. Пусть 1) коэффициенты системы (0.16) в области удовлетворяют условиям: п

Л| Н < 2К, \В{\ 1т < 2, Сц > 0 при1ф 3, ]Г са ^

3=1

2) б области Д^, коэффициенты системы (0.20) удовлетворяют условиям: п

Сц(к,т) ^ 0 при1 ф ^(к,т) ^ 0; 3) существует Но > 0, что для всех

3=1

0 < И < ко в Дл выполняются неравенства:

1 4- щ(к, т)Н ^ 0, 1 + 6*(&,га)/& ^ 0; (1 + а^к +1 ,т- 1)4(1 + т)й) ^ п 1 + аг(&, т)/1 + т)/1 + /г2 с^ (к, т) > 0;

3=1

4) и(к,т) - решение системы (0.18), равное нулю на характеристике АС, ЯП ^ 0 е I)/!. Тогда если тахтах г^ > 0, то этот максимум достигается на Гд.

Следствие 0.1. Если выполнены условия теоремы 0.7, то задача Т^ имеет единственное решение.

Следствие 0.2. Пусть V = (щ, «2, ип) - решение задачи Трикоми для системы (0.1), и = (щ, йг, ., йп) -решение задачи (0.18), (0.19). Тогда если выполнены условия теоремы 0.7, то

1нп тахтах \щ — щ\ = 0. Л-* 0 г

Показано, что решение задачи Тл равномерно по (к, т) сходится к решению задачи (0.4) и (0.7) при 1г —> 0, а так же, что решение задачи (0.18) - (0.19) может быть получено итерационным процессом Зейделя.

Занумеруем все внутренние узлы сетки Выберем узлы области с наибольшей ординатой и занумеруем их в произвольном порядке, затем выберем узлы с наибольшей ординатой из оставшихся и вновь занумеруем их в произвольном порядке, и так далее. Наконец, занумеруем все точки АВ также в произвольном порядке. Занумеруем точки (1 , га) £ ИЦ в порядке возрастания га, затем точки (2, га) в том же порядке и так далее. Общее количество узлов обозначим через Р. Разрешим уравнения (0.15), (0.16) относительно и(к, га), а (0.17) относительно щ(х, 0). Входящие в эти уравнения значения щ в точках Г^иЛС заменим известными значениями согласно (0.19). Тогда система (0.18) примет вид р п

Р) = + *52еРзиз(р) + 8р> * = Р = 17Р, (0.21)

ЗФР Зфг где щ(р) есть значение компоненты щ вектор - функции £7 в узле с номером Р

Если обозначить через г4г-т^(р), г = 1, п, р = 1, Р, т - ое приближение решения системы (0.21), задать нулевое приближение произвольно, а дальнейшие приближения вычислять по формуле ъТ+%) = Е + Е г^-'О») + Е + Ъ (О-22)

3=1 3—Р+1 3 г — 1, п, р = 1, Р, то щ при га —> оо, где щ - решение системы (0.21).

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [76] -[87], [89].

1. Бабенко К.И. К теории уравнений смешанного типа: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. М., 1952.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Наука, 1965.

3. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР. 1959.

4. Бицадзе A.B. Влияние младших членов на корректность постановки характеристических задач для гиперболических систем второго порядка // Докл. АН СССР. 1975. Т. 225, J№ 1. С. 31 34.

5. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981.

6. Волкодавов В.Ф. Принцип локального экстремума и его применение к решению краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. Казань, 1969.

7. Врагов В.Н. О задачах Гурса и Дарбу для одного класса гиперболических уравнений //Дифференц. уравнения. 1972. Т.7, №1. С.7 16.

8. Ву Ван Тхоа. Приближенное решение некоторых краевых задач для уравнения Лаврентьева Бицадзе. Автореф. дисс. на соиск. уч. ст. канд. ф.-м. наук, Инст. кибернетики Аз. ССР, Баку, 1990.

9. Танеев P.M. Задача Трикоми для систем уравнений смешанного типа / Тр. семин. по краев, задачам. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1977. Вып. 13. С.42 51.

10. Диденко В.П. О некоторых системах дифференциальных уравнений смешанного типа // Докл. АН СССР. 1962. Т.144, №4. С.709 712.

11. Диденко В. П. О некоторых системах дифференциальных уравнений смешанного и смешанно составного типов // Дифференц. уравнения. 1966. Т.2, №1. С.ЗЗ - 39.

12. Диденко В.П. Об обобщенной разрешимости граничных задач для систем дифференциальных уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1972. Т.8, М. С.24 29.

13. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно составного типов. Ташкент: Фан, 1979.

14. Зайкина Т.Е. Об одной краевой задаче для вырождающейся системы уравнений эллиптического типа / Дифференц. уравнения. Тезисы докладов. Куйбышев. 1984. С.41 42.

15. Зайкина Т.Е. Единственность решения краевых задач для систем вырождающихся эллиптических уравнений // Мат. физика и нелинейная механика. 1991. №16. С.53 56.

16. Зайкина Т.Е. Об одной краевой задаче для системы уравнений смешанного типа с различным порядком вырождения / Труды Всероссийской научной конференции «Интегр. ур-я и краевые задачи мат. физики». Владивосток. 1992. С.71 73.

17. Жегалов В.И. Об одной системе смешанного типа высшего порядка // Изв. ВУЗов. Математика. 1975. №6. С.25 35.

18. Ивлева А.И.,Хе Кан Чер. Численные решение задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева Бицадзе // Сборник научных трудов НИИ КТ по математике. Вып.2. Хабаровск: Изд-во Хабар, гос. техн. ун-та, 1997, С. 58 - 64.

19. Ивлева А.И. Исследование разностных схем для задач Трикоми и Гел-лерстедта. Автореф. дисс. на соиск. уч. ст. канд. ф.-м. наук, ВЦ Дальневосточного отделения РАН, Хабаровск, 1999.

20. Карамышев Ф.И. Краевая задача для системы дифференциальных уравнений в частных производных смешанного типа // Сиб. матем. журн. 1961. Т.2, Ш. С.537 546.

21. Карманов В. Г. Об одной граничной задаче для уравнения смешанного типа. // Докл. АН СССР. 1954. Т.95, №3. С.439 442.

22. Карманов В.Г. О существовании решений некоторых краевых задач для уравнения смешанного типа. // Изв. АН СССР. сер. матем. 1958. Т.22, №1. С. 117 134.

23. Киквидзе З.А. Об одной системе уравнений в частных производных смешанного типа // Сооб. АН Груз. ССР. 1954. Т.15, №6. С.321 325.

24. Коваленко Л.И. Разностный метод и единственность обобщенного решения для задачи Трикоми. // Докл. АН СССР. 1965. Т.162. №4, С.751 -754.

25. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т. 1,2. Гостех-издат, 1951.

26. Лаврентьев М.М. О принципе максимума для решений сильно эллиптических систем второго порядка // Докл. АН СССР. 1957. Т.116, №2. С.175- 176.

27. Ладыженская O.A. Об одном способе приближенного решения задачи Лаврентьева Бицадзе // Успехи мат. наук. 1954. Т.9, вып. 4 (62). С.187- 189.

28. Ладыженская O.A. Метод конечных разностей в теории уравнений с частными производными // Успехи мат. наук, 1957. Т.12, №5. С. 123 148.

29. Майоров И.В. Об одной нелинейной системе уравнений смешанного типа // Докл. АН СССР. 1968. Т.183, №2. С.280 283.

30. Майоров И. В. Об одной задаче для вырождающейся нелинейной системы уравнений смешанного типа. //Дифференц. уравнения. 1972. Т.8, Х54. С.671 677.

31. Майоров И. В. Некоторые задачи для одной вырождающейся гиперболической системы. //Дифференц. уравнения. 1977. Т.13, №2. С.369 372.

32. Маматкулов А., Тагиев Ф.А. Решение одной краевой задачи для уравнений смешанного типа методом конечных разностей // Журн. вычисл. мат. и мат. физики, 1970. Т. 10, №5. С. 1191 1198.

33. Мередов М. О задаче Гурса и Дарбу для одного класса гиперболических систем //Дифференц. уравнения. 1973. Т.9, №7. С. 1326 1333.

34. Мередов М. Задача Трикоми для одной системы уравнений смешанного типа // Некласические ур-я смешанного типа. ИМ СО АН СССР. Новосибирск. 1990. С. 140 143.

35. Мередов М. Об одной краевой задаче для системы уравнений смешанного типа // Изв. АН Туркменистана. Сер. физ. мат., техн., хим. и геол. наук. 1992. т. С.9 - 14.

36. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: "Физ-матлит", 1959.

37. Наджафов Ф.М. Решение задачи Т для общего линейного уравнения Трикоми с сингулярными коэффициентами на линии вырождения Дис. . канд. физ.-мат. наук. Баку, 1968.

38. Овезова М.М. Об однозначной разрешимости задачи Трикоми для системы уравнений смешанного типа // Изв. АН Туркменистана. Сер. физ. -мат., техн., хим. и геол. наук. 1992. №3. С.З 10.

39. Овезова М.М. О разрешимости задач Дарбу для одной гиперболической системы // Докл. АН. 1992. Т.325, №1. С. 24 27.

40. Овезова М.М. О задаче Трикоми с обобщённым условием склеивания для системы уравнений смешанного типа // Дифференц. уравн. 1993. Т.29, т. С. 1408- 1414.

41. Овезова М.М. О единственности регулярного решения задачи Трикоми для системы уравнений смешанного эллиптико гиперболического типа // Докл. АН СССР. 1993. Т.328, №5. С. 547 - 549.

42. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М., Наука. 1983.

43. Рябов A.B. Задача Т для одной системы дифференциальных уравнений в частных производных смешанного типа / Уравнения неклассического типа. ИМ СО АН СССР. Новосибирск. 1986. С.138 142.

44. Самарский A.A. Теория разностных схем. М., Наука, 1989.

45. Сабитов К.Б. О принципе максимума для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, №11. С. 1967 1976.

46. Сабитов К.Б. Принцип максимума для систем уравнений смешанного типа второго порядка // Докл. АН СССР. 1989. Т.305. №4. С.783 786.

47. Сабитов К.Б. Принцип максимума для систем уравнений смешанного типа второго порядка // Дифференц. уравнения. 1990. Т.26, №3. С.488 -494.

48. Сабитов К.Б. Экстремальные свойства модуля решений одного класса систем уравнений смешанного типа. // Докл. АН СССР. 1990. Т.310, №1. С.33-36.

49. Сабитов К.Б. К вопросу о существовании решения задачи Трикоми// Дифференц. уравнения. 1992. Т.28, №12. С.2092 2101.

50. Сабитов К.Б. Альтернирующий метод типа Шварца в теории уравнений смешанного типа // Докл. АН СССР. 1992. Т.322, № 3. С.476 480.

51. Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно составного типа. Ташкент: Фан, 1974.

52. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987.

53. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966.

54. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1970.

55. Смирнов М.М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. Минск,1977.

56. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Высш. школа, 1985.

57. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: "ГИТТЛ", 1947.

58. Тагиев Ф.А., Кязимов Т.Г. О существовании, единственности и приближенном решении одной краевой задачи для уравнения смешанного типа // Дифференц. уравн. 1984. Т.20, №1, С. 128 132.

59. Тагиев Ф.А. Приближенное решение задачи Трикоми для уравнений смешанного типа методом конечных разностей // Вестн. Моск. ун-та. сер. 15. вычисл. матем. и киберн. 1992, №2. С. 20 24.

60. Теугп О.М. Одна краевая задача для системы уравнений смешанного типа. / В сб.: Краевые задачи теории функций комплексного переменного. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1962. С.40 58.

61. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: ИЛ, 1957.

62. Филиппов А.Ф. О разностном методе решения задачи Трикоми // Изв. АН СССР. Серия матем. 1957. Т.21, №. С.73 88.

63. Франклъ Ф.И. Некоторые вопросы существования и единственности теории околозвуковых течений // Изв. Вузов. Математика. 1960. №5, С. 186 189.

64. Цымбал Т. Б. О принципах экстремума для некоторых систем гиперболического типа / Дифференц. уравнения. Труды педин-тов РСФСР. Рязань.1978, Вып. 12. С.163 170.

65. Цымбал Т.Е. Краевые задачи для системы уравнений смешанного типа с негладкой линией вырождения. Автореф. дис. . канд. физ.-матем. наук. Киев, 1984.

66. Чекмарев Т.Е. Задачи с граничными условиями для некоторых систем уравнений различных типов. Автореф. дис. .докт. физ.-матем. наук. Казань, КГУ, 1974.

67. Чекмарев Т.Е. Задача Трикоми для модельной системы уравнений в областях специальных видов // Дифференц. уравнения. 1990. Т.26, №5. С.860 -871.

68. Эйдельман С.Д. Интегральный принцип максимума для сильно параболических систем и некоторые его применения // Изв. вузов. Математика. 1959. т. С.252-258.

69. Agmon S., Nirenberg L., Protter M.N. A maximum principle for a class of hyperbolic equations and applications to equations of mixed elliptic -hyperbolic type // Comm. Appl. Math. 1953. V. 6, №4. P.455 470.

70. Figueiredo D.G., Mitidieri E.A. A maximum principle for an elliptic system and applications to semilinear problems // SIAM J. Math. Anal. 1986. V.17, №. P.836 849.

71. Gellerstedt S. Sur une équation linéaire aux dérivées partielles de type mixte. Arkiv. Mat., Astr. och Fysik 29, 1937, B.25A.

72. Hile G.N., Protter M.N. Maximum principles for a class of first order elliptical systems // J. of Differential Equations. 1977. (24). P.136 151.

73. Hopf E.A. A remark on linear elliptic differential equations of second order // Proc. Amer. Math. Soc. 1952. V.3. P.791 793.

74. Ogawa H. On difference methods for the solution of a Tricomi problem // Trans. Am. Math. Soc. 1961. V.100, №3, P.404 424.

75. Protter M.N., Wienberg H.F. Maximum principle in differential equations. Prentice-Hall. INC. Englewood Cliffs. New Jersey. 1967.

76. Мугафаров М.Ф. Принцип экстремума для одной системы уравнений смешанного типа в классе обобщенных решений / Труды международной конференции «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы». Уфа. ИМ с ВЦ УНЦ РАН. 2000. Т.З. С. 132 137.

77. Мугафаров М. Ф. Об условной разрешимости задачи Трикоми для системы уравнений смешанного типа / Тезисы докладов Воронежского зимнего симпозиума «Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках», Воронеж. ВГУ. 2000. С. 197.

78. Мугафаров М.Ф. К вопросу о существовании решения задачи Трикоми для одного класса систем уравнений смешанного типа / Сборник трудов Воронежской математической школы «Современные методы в теории краевых задач». Воронеж. ВГУ. 2001. С. 157.

79. Сабитов К.Б., Мугафаров М.Ф. Разностный метод решения задачи Трикоми для системы уравнений смешанного типа / Материалы VI го международного семинара - совещания «Кубатурные формулы и их приложения». Уфа. ИМ с ВЦ УНЦ РАН. 2001. С.107 - 112.

80. Мугафаров М. Ф. Принцип экстремума для одной сеточной системы уравнений смешанного типа и его применения / Сборник трудов международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Самара. СамГАСА. 2002. С. 246 250.

81. Сабитов К.Б., Мугафаров М.Ф. К вопросу о существовании решения задачи Трикоми для одного класса систем уравнений смешанного типа. // Сибирский математический журнал. Т.43, №3. 2002. С. 710 727.

82. Мугафаров М.Ф. Принцип максимума для одной сеточной системы уравнений гиперболического типа и его применения // Дифференциальные уравнения 2003. Т. 39. №8. С. 1137 1139.

83. Калиев И.А., Мугафаров М.Ф. Некоторые задачи линейной термоупругости в теории фазовых переходов Гинзбурга Ландау // Прикл. механика и техн. физика. 2003. Т.44, №6. С. 140 - 147.

84. Мугафаров М.Ф. Задача Трикоми для одной системы уравнений смешанного типа / Труды Всероссийской научной конференции «Современные проблемы физики и математики». Стерлитамак. Уфа: Гилем. 2004. Т.1. С. 159 167.