Решение краевых задач для уравнений смешанного типа методом спектрального анализа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1. Спектральные свойства решения задачи с производной по нормали в граничном условии для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева - Бицадзе и их применения

§ 1.1. Постановка спектральной задачи ТА^д- Построение системы собственных функций и исследование на полноту

§ 1.2. Построение решения задачи ТЛ7" для уравнения Лаврентьева - Бицадзе.

§ 1.3. Решение задачи ТN для уравнения Лаврентьева - Бицадзе с комплексным параметром.

§ 1.4. Пространственная задача ТЫ.

2. Решение задачи с производной по конормали в граничном условии для уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением

§ 2.1. Постановка спектральной задачи ТИ\. Построение системы собственных функций

§ 2.2. Постановка спектральной задачи ТТУо а- Построение системы собственных функций

§ 2.3. Решение задачи ТЩ

3. Построение решения задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением

§3.1. Постановка спектральной задачи Тд. Построение системы собственных функций.

§3.2. Решение задачи Трикоми

Уравнения смешанного типа встречаются при решении многих важных вопросов прикладного характера. Поэтому краевые задачи для таких уравнений привлекают внимание многих ученых.

Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф.Трикоми [63, 64] и С.Геллерстедта [73], где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешаного типа с одной линией параболического вырождения.

В 40-х годах 20-го столетия Ф.И.Франкль [66, 67] обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных задач в трансзвуковой газодинамике. В последние годы на важность уравнений смешанного типа указано в работах О.С. Рыжова [39], А.Д. Пилия и В.И. Федорова [36], А.Г. Кузьмина [27] в связи с проблемами теории сопел Лаваля, теории плазмы и другими вопросами.

В 50-е годы в работах Ф.И.Франкля [68], А.В.Бицадзе [6], К.И.Бабенко [2] было положено начало современной теории уравнений смешанного типа. В этих работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа. Основные результаты этих работ и соответствующая им библиография приведены в монографиях А.В.Бицадзе [6, 7], Л.Берса [3], К.Г.Гудерлея [14], М.М.Смирнова [57] - [59], М.С.Салахитдинова [55], Е.И.Моисеева [30].

Следует отметить, что подавляющая часть работ по уравнениям смешанного типа относится к исследованию краевых задач для уравнения смешанного типа с нехарактеристическим вырождением. Краевые задачи для уравнений смешанного типа с характеристическим вырождением изучены сравнительно мало.

Первые исследования по уравнениям смешанного типа с характеристическим вырождением принадлежат И.Л.Каролю [20] - [23]. Его исследования посвящены выяснению корректной постановки задачи Трикоми для двух модельных уравнений: ихх + sgn у- | у |п иуу = 0, п> 0, (0.1) и>хх + УЩу + осиу = 0, а = const. (0.2)

Пусть D — область плоскости XOY, ограниченная простой жор-дановой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > Ос концами в точках 0(0,0) и Л (1,0), и характеристиками ОС и АС рассматриваемого уравнения, расположенными в полуплоскости у < 0. Обозначим D+ = D Л {у > 0}, D- = D П {у < 0}.

Для уравнения (0.1) И.Л. Каролем [20] рассмотрена задача Трикоми (задача Т): найти функцию и(х, у) из класса C(D)HCl(D)nC2(D+UD-), удовлетворяющую уравнению (0.1) в D+UD~ и принимающую заданные непрерывные значения на кривой Г и характеристике ОС.

Он доказал однозначную разрешимость задачи Т при 0 < п < 1 в случае, когда кривая Г совпадает с нормальной кривой ж(1 — х) = 4у2~п/(2 — п)2. Но в общем случае, то есть для произвольной кривой Г, доказательство единственности решения задачи Т и его существования оставалось открытым. В работе К.Б.Сабитова [40] приводится доказательство единственности решения задачи Т для любой кривой Г из класса Ляпунова при 0 < п < 1. В работах [41], [42] им показано, что задача Трикоми для уравнения (0.1) при п > 2 поставлена не корректно. В связи с этим он исследовал задачу Трикоми для уравнения хпихх + sgn у -Uyy — 0 при всех п > 0.

Исследования, проведенные И.Л.Каролем в работах [21] - [23], показали, что характер краевых задач, которые могут быть поставлены для уравнения (0.2) в области D, в отличие от уравнений с нехарактеристическим, существенно зависит от значения коэффициента а и класса решений уравнения (0.2). Так, например, было обнаружено, что задача Т в случае а < 0 недоопределена. Наоборот, при а > 0 задача Т переопределена. В этом случае производная по у решения уравнения (0.2), а при а > 1 и самое решение будет, вообще говоря, неограниченными в окрестности точек параболического вырождения. Поэтому для определения решения и(х,у), ограниченного во всей смешанной области D, при а > 1 оказывается достаточно задавать его значение лишь на дуге Г, а характеристики ОС и АС следует освободить от граничных данных, или же только на одной из характеристик [18], освободив дугу Г и вторую характеристику от краевых данных.

И.Л.Кароль для уравнения (0.2) в области D при 0 < а < 1 изучил задачу Трикоми с весовыми условиями склеивания, то есть на линии перехода вместо обычного требования непрерывности иу(х, +0) = иу{х, —0), 0 < х < 1, вводится условие сопряжения с весом lim {—y)auv = k lim yauv , 0 < x < 1, y->0—0 У y—>0+0 У ' ' где k = — 1 при 0 < а < 1/2, к = 1 при 1/2 < а < 1.

Задача Т для уравнения (0.2) при а < 0 становится корректно поставленной, если условия склеивания ввести по-иному. С.С.Исамухамедов [16], следуя С.А.Терсенову [61], для уравнения (0.2) в области D при а = —n + Oiо, 1/2 < с*о < 1, п = 1, 2,. поставил задачу Т со следующими условиями склеивания: и(х, +0) = и(х, -0) = т{х), 0 < х < 1, \ипоуа [щ + АМ] = (-1)\Нт [-А-(т)} = и(х) ,0 < s < 1, где t Nk(-y)k Г' T2k(z)(t( 1 - ¿))fc+a°-3/2^, Jfc=0 JU n ß 2k

К = EM/1^- ^ = ® - 2л/=2/(1 - 21).

Nk (к = 0,n), Mk (k = l,n) - определенные постоянные.

Единственность решения этой задачи доказана методом экстремума, а существование для случая, когда кривая Г совпадает с нормальной кривой Го - методом интегральных уравнений.

Хе Кан Чер [72, 71] рассмотрел случай 0 < ао < 1/2 и результаты С.С.Исамухамедова обобщил на уравнение хихх + уиуу + аих + ßuy = 0.

Случай с*о = 1/2 изучен Ю.М.Крикуновым [25, 26] для некоторых специальных областей.

Хайруллин P.C. [69] для уравнения (0.2) в случае а < —1/2 в смешанной области, ограниченной нормальным контуром Го и двумя характеристиками, доказал однозначную разрешимость задачи Трикоми методом интегральных уравнений. В работе [70] в смешанной области, ограниченной при у > 0 произвольной кривой Г из класса Ляпунова и двумя характеристиками уравнения (0.2) им показана фредгольмовость задачи Трикоми при а < —1/2 .

Спектральные свойства решения задачи Трикоми изучены в работах Е.И.Моисеева [30], Т.Ш.Кальменова [19], С.М. Пономарева [37], К.Б. Сабитова [44], Я.Н. Мамедова [29].

Моисеев Е.И. [31] - [33] предложил новый метод построения решения краевых задач для уравнений смешанного типа, который основан на теории рядов по собственным функциям соответствующей спектральной задачи. Им были решены краевые задачи для уравнений с одной линией изменения типа в специальной области с заданием нулевых данных на характеристике.

Сабитов К.Б., Карамова A.A. [47] распространили этот метод для построения решения задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа. А в работе Сабитова К.Б., Кучкаровой А.Н. [48] изучены спектральные свойства решений задачи Геллерстедта и показаны применения при построения решения этой задачи для различных уравнений смешанного типа.

Мамедовым Я.Н. [28], [29] решена задача на собственные значения для оператора, заданного уравнением (0.2), соответствующая задаче Трикоми при 0 < а < 1 . В случае 1/2 < а < 1 построенная система собственных функций им исследована на полноту. При а > 1 задача на собственные значения изучена в работах Вагапова В.З. [8] - [10].

Целью данной диссертационной работы является исследование следующих вопросов:

1) нахождение собственных значений и построение соответствующей системы собственных функций спектральной задачи с производной по нормали в граничном условии (задачи TN\) для оператора Лаврентьева-Бицадзе и исследование этой системы на полноту,

2) построение решения задачи с производной по нормали к эллиптической границе (задача TN) для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева - Бицадзе методом теории рядов по собственным функциям соответствующей спектральной задачи,

3) построение системы собственных функций спектральных задач с производной по конормали в граничном условии для уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением и применение к решению краевых задач,

4) построение системы собственных функций соответствующей спектральной задачи и решение задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением в виде суммы ряда по собственным функциям.

Ранее такого рода задачи методом интегральных уравнений изучались следующими авторами. А. В. Бицадзе [5] исследовал задачу ТЫ для уравнения ихх+щпу-иуу = 0. Вострова Л. Е. [13] доказала единственность и существование решения задачи ТА для уравнения uxx+sgn у-иуу—и = 0. М. М. Смирнов [58, гл. II, §6] доказал корректность задачи ТА в смешанной области В для уравнения sgn?/ • | |т ихх + иуу = 0, т > 0.

В главе 1 изучены спектральные свойства решений задачи с производной по нормали в граничном условии для оператора Лаврентьева -Бицадзе и показаны их применения при построении решения этой задачи.

В § 1.1 для уравнения

Ьи = ихх + sgn у • иуу + \и = 0, (0.3) где А - комплексный параметр, в области I), ограниченной кусочно-гладкой кривой Г, расположенной в полуплоскости у > 0 с концами в точках А(1,0) и 5(0,1), и характеристиками АС (х + у = 0) и С В (х — у = 1) при у < 0, изучена следующая спектральная задача (задача ТАГд).

Задача ТУУд. Найти значения комплексного параметра А и соответствующие им функции и(х,у), удовлетворяющие условиям : и(х,у) еС(5)П С1 (Б и Г) П С2(£>+ и £>), (0.4)

Ьи{х,у) = 0, (х,у)еО+ и£>, (0.5) и{х,у) = о, (0.6) 0,(®,2/)€Г, (0.7) д гДе тг77 ~~ производная по нормали к границе Г области И+, = И П оЫ

0}, £> = £>П{г/<0}.

На основании функционального соотношения между следом решения и(х, у) и следом нормальной производной решения на отрезке А В, полученного в работе [45], задача ТЫ\ сведена к новой нелокальной эллиптической задаче на собственные значения для оператора Лапласа в области найти значения параметра А и соответствующие им собственные функции и(х, у), удовлетворяющие условиям (0.4) - (0.7) и х и(х, о) = у иу(г, о)70 [л/л(ж - ь) <а, о < х < 1, где «7о( • ) ~ Функция Бесселя.

В случае, когда область эллиптичности является сектором с центром в начале координат и радиусом г = 1 : 0<(р<(ро<тг, 0<г<1, методом разделения переменных найдены собственные значения и соответствующие им собственные функции задачи TN\ : и'п,тп{р^1 У) =

Сп,т^п (\/Ап,тп(х2 + У2)) (СОЪЦпф + вт (1п<р), (ж, ?/) € £>+, Сп,т ^п (\Лп,т(я2 -?/2)), (Ж, у) € £>-, где ¡лп = — (п — 3/4) ,п Е N, спт - постоянные, Лпш — т - й корень Ч> о уравнения л/Л^(л/А) = 0.

Далее изучен вопрос о полноте системы собственных функций (0.8) в областях эллиптичности, гиперболичности и в целом в смешанной области. Результат сформулирован в виде следующих утверждений.

Теорема 1.1. Система собственных функций (0.8) задачи полна в Ьг (.£}+).

Теорема 1.2. Если (ро Е (0,7г/2), то система собственных функций (0.8) задачи ТТУд полна в Ь2(.0). Если <ръ € [7г/2,7г], то подсистема системы собственных функций (0.8) задачи Т7Уд начиная с номера п = 2,3,., полна в Ь2(1?).

Теорема 1.3. Система собственных функций (0.8) задачи ТИ\ не полна в Ь2(2}).

Отметим, что в [37] решена спектральная задача с условием Дирихле для уравнения Лаврентьего - Бицадзе и получены теоремы о полноте системы собственных функций.

В §§ 1.2 - 1.4 на основании работ Е.И. Моисеева [31] - [34] и К.Б. Сабитова [47], [48] показаны применения системы собственных функций для построения решения задачи Трикоми - Неймана для уравнений смешанного типа.

В § 1.2 для уравнения Лаврентьева - Бицадзе

Ви = ихх + у • иуу — 0 (0.9) в области И, когда область И+ есть сектор единичного радиуса с центром в точке Л(0,0): 0 < (р < ср0 < ж, 0 < г < 1, Г = Г0 и АК, где Г0 -дуга окружнисти г = 1, А К - луч ср = (ро , выходящий из точки Л, рассмотрена задача типа Трикоми с производной по нормали в граничном условии (задача ТАГ).

Задача ТN. Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (04), (0.6) и

Ви(х,у) = О, {х,у)еО+ и£), (0.10) ди дЫ ак 0, ди ди Го дг г= 1 /(V3), 0 < у? <

0.11) (0.12) где / - заданная достаточно гладкая функция.

Теорема 1.4. Если /(<£>) 6 Са[0, ^о]: а £ (0> 1]> то существует единственное решение задачи ТN и оно имеет вид оо и(х,у) = /„г"п яп( + тг/4), (г, <р) € £>+, х,у) € £>, где цп = п — 3/4, а коэффициенты /п определяются по формулам п=1 1 оо п = - / /Ы^п (тт^/^о) (Ьр, п = 1,2, .,

2 (2 соб (/2) 1Л/. , ,

Л* (^/Ы = г ,. , УЦ,г Е (вшп (тг^М)) В*тг (гд(1«р1<ро)12)4' п=1 г тэ V- /^1-тп/^т ( л \1—т гт Щ !).(£ 71 + 1)

Ь/ - 2. о1/2 о1/2(-1; , С, -1 т=0 ' '

Отметим, что система функций Нк построена в [34].

В § 1.3 для уравнения (0.3) в области И построено решение задачи ТЫ : найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (0.4) - (0.6) и (0.11), (0.12).

На основании собственных функций задачи ТЛГд построено решение задачи ТЫ в области В.

Теорема 1.5. Если /(</?) е Са[0,</?о]? ос 6 (0,1], то существует решение задачи ТЫ при всех А ф ЛП)Ш и оно имеет вид п=1 эт + г, у?) € <

1 ~ , + - г/2)) у/2Ь!п\х-у) л/АХ ГЛ/А) ' где ЛП)ТП - собственные значения задачи ТЫ\.

В § 1.4 изучен пространственный аналог задачи ТЫ для уравнения

Ы¥ = \¥хх + sgn у ЦГуу + \У2г = 0

0.13) в цилиндрической области С? = I) х (0,7г).

Задача ТАГ. Найти функцию \¥(х,у, г), удовлетворяющую условиям:

У(х,у,г) е С (С?) П С1 ((7+ и 50 и Бак) П С2(С+ и £),

Ь\¥(х,у,г) = 0, (я,*/,*) € <3+и£,

50 <9г г=1 г), 0 < ср < ср0, г е [0,тг], д\¥ дЫ

Зд/с 0,

0, х 6 [0,1/2], г €[0,4

I у=-х

Ш{х,у,г) I =УГ(х,у,г) =0,

1г=0 г=7г где ^ - заданная достаточно гладкая функция, 5о = Го х [0,7г], = АК х [0, тг], л € [0, тг]; С+ = в П {у > 0}; = С? П {у < 0}.

Теорема 1.6. .ЕЪш функция Р((р, г) в замкнутой области 0 < <р < (ро, 0 < г < тг удовлетворяет условию Гельдера с показателем а, 0 < о: < 1, то существует решение задачи ТЫ в области (3 и оно задается формулами

W(x,y,z) =

1 °° х + уУ"121»к (пу/х*-у*)

-7= Y. fnksmnzi- - т~/ / \-¿, (x,y,z)eG-,

V2n,k=i \x-yj nl^n) oo / ■д-Ч J [TIT)

E fnk sin nz sin I fln(p + — J , n,fc=i V 4/ п/^п(п) где коэффициенты fn>k находятся из разложения функции 6 по системе синусов

00 / 7Г\

РпЫ = Е t^kfnk sin Цк(р + - J , о < (f < (po, k=l \ 4/

2 ^ функция Pniv) определяется формулой = ~ J F((p,z) sin nzdz,

1цп{-) - модифицированная функция Бесселя.

В главе 2 изучены спектральные задачи с производной по конор-мали к эллиптической части границы для уравнения

L\u = ихх + уиуу + аиу + \и = 0, (О-14) где а = const, 0 < а < 1, Л - комплексный параметр, в области D, ограниченной при у > 0 кривой Го (х2 + 4у = 1) с концами в точках 5(1,0) и К{—1,0), и отрезком АК оси ОХ, где А = (0,0), и характеристиками АС(х - 2- 0) и СВ(х + 2у/=у = 1) уравнения (0.14) при у < 0, и показаны применения.

В § 2.1 в области D исследована спектральная задача TNa : найти значения параметра А и соответствующие им функции и(х,у), удовлетворяющие условиям: и{х, у) Е C(D) П C\D+ U Г0) П C2(D+ U £L), (0.15)

Lxu(x, у) = О, (х, у) G D+ U LL, и(х,у) = 0, (ж, у) G АС, lim (—y)auv = k lim yauv , О < re < 1, «Л - yUydx = О, (ж, у) G Г0, limyeizy = 0, — 1 < х < О,

0.16) (0.17) (0.18) (0.19) (0.20) где к = — 1 при 0 < а < 1/2, к = 1 при 1/2 < а < 1.

Выбор значения к таковым объясняется тем, что для уравнения (0.14) при Л = 0 доказаны теоремы существования и единственности решения задачи TN [59].

Собственные значения задачи Хп>т спектральной задачи TN\ находятся как корни уравнения \/AJ^n(\/A) — PJln(VА) = 0.

Система соответствующих собственных функций задачи TN\ имеет вид un,m{.xi У) = г"" J7n (л/Ar) F (р + тп,р- 7„, a; sin2 + (x,y)eD+,

1-Q

F ( i + 7„, i - 7„, 2 - а; sin2 |

J7e (ywO + 7n, ¿ + 7п, 1 + 27п; 2/) € ¿L, где

Г 1 а

- + —+ n, п = 0,1,2,. при к = —1,

1п = о; 2 п, п = 1,2, 3,. при к = 1,

С+ =

Г(а)Г(1/2-7п)Г(1/2 + 7п)

Г(2 - а)Г(Р - уп)Г((3 + 7„) ' Г (3/2 - а + 7п) Г (1/2 + <уп) С~ Г(1 + 27п)Г(1-а)

Замечание. При а —1/2 уравнение (0.14) сводится к уравнению Лаврентьева - Бицадзе, изученному в главе 1.

В § 2.2 исследована спектральная задача Т]^оа : найти значения параметра А и соответствующие им функции и(х,у), удовлетворяющие условиям (0.15) - (0.19) и и{х,у) = 0,(х,у) G АК.

Собственные значения задачи АП)ГП спектральной задачи ТЩ\ находятся как корни уравнения л/хУ7п(у/\) — /377п(\/А) = 0.

Система соответствующих собственных функций задачи ТТУо а имеет вид ип,тп{рс1 У) =

Г Г(3/2-а-7я)Г(2т„ + 1) д Л/д—Их Г(2 - а)Г(1/2 + 7П) 7" VV-Vmrj х х (cos21) FQ + 7n, i - 7„, 2 - a; cos2 , (re, y) G D+,

К (yfi^o) e-W+ln)v((3 + ln\ + In, 1 + 27n; i), (x, y) G £>-, 1 a

- - - + n, n — 0,1,2,. при k = -1 (0 < a < 1/2), In = \ 2 a 2

-- + n, n = 1,2,. при k = 1 (1/2 < a < 1).

В § 2.3 построено решение краевой задачи TNq для уравнения

Lu = ихх + уиуу + = 0, (0.21) где 0 < а < 1, аф 1/2, в области D (см. § 2.1).

Задача TNq. Найти в области D функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям : и(х, у) G С(П) П C\D+ U Г0) П C2(D+ U LL),

Lu(x, у) = 0, (х, у) G D+ U D-, и(х, у) = 0, (х, у) G AC U АК, где dy

UX- - yuy lim (—y)auv = к lim yauv , 0 < x < 1,

2/-+0-0V У у-Ю+СГ y ' ' где / - заданная достаточно гладкая функция.

С помощью метода рядов по собственным функциям задачи TN\ доказано следующее утверждение.

Теорема 2.1. Если f(<p) е С^О.тг], /(0) = /'(0) = /(тг) = /'(тг) = 0, « б малой окрестности точек кр = 0 и <р = 7г дважды непрерывно дифференцируема, то существует единственное решение задачи TNq в области D и оно определяется формулами: в области эллиптичности для 0 < а < 1, а ф 1/2

00 сю и(х,у) = £ un(r,<p) = £ fnr7"-ß (sm<p)l-aPa-'L (-cos tp), (0.22) n=1 n=l 7n 2 б области гиперболичности uff я) - Г(1 - о) ? / п*-» F{ß,ß-Tn,Wl-th) |

4«»-'Г(а) ~ / (1 - a)jr „=1 xF(l-ftl-^-7„2-2ftl-iA), (0.23) npw 1/2 < а < 1 и и iP = ^ ~ v f „^(jg + liig-Tn, 2)0 + 2; 1-е/ту) 1 + 2/? ti Г(7„ — ß)T(l — ß — 7n) у + 0Г(1-а) « F (ß + 1, ß - 7n + 1,2/? + 2; 1 - g/q)

2(1 + 2/3) m Г(7я - ßm - ß - 7n)

П1 - а) n=i х I7 (1 — /3,1 — — 7п, 2 — 2/3; 1 — £/77), (0.24) при 0 < а < 1/2, где (£, г/) - характеристические координаты, Р^ - модифицированная функция Лежандра, значения коэффициентов /п определяются по формулам и = Г^7=Г(1 - /з)

7п — /5) Л/27г ¡{ ^ (соб^-совЯ)1 р

К(в) = тг(2 со$в/2)а а(а — 1).(а — т + 1) С™соз(п-т)0-С£/2

771=0 т\ в = тг-(р, }{у) = /(тг-у).

В главе 3 изучена спектральная задача, соответствующая задаче Трикоми, для уравнения (0.14) в области И (см. § 2.1) и построено решение краевой задачи Трикоми .

В § 3.1 исследована спектральная задача Тд : найти значения параметрах и соответствующие им функции и(х, у) е С(1))ПС2(1}+ и£>), удовлетворяющие условиям (0.16) - (0.18) и и(х, у) = 0, (ж, у) Е Го и АК.

Собственные значения АШ)П "спектральной задачи Т\ находятся как корни уравнения </7п(\/А) = 0, а система собственных функций имеет вид

У) —

Г(2 - а)Г(1/2 + 7п) 7" гУЛ1""-/! 1 x соб X + 7п, ^ - 7п, 2 - а; сое2 ^ ж,?/) е £>+, е-У+т^/з + Тп,^ + 7п, 1 + 27п; , 2/) е £>, где

1 а

In = п = 0,1,2,. при к = — 1, 2 а 2 ^ (0.25) + п, п = 1,2,3,. при к = 1.

В § 3.2 построено решение задачи Трикоми для уравнения (0.14) при Л = 0 в виде суммы ряда по собственным функциям задачи Тд.

Задача Трикоми. Для уравнения (0.21) в области D найти функцию и{х, у) g C(D) п C2(D + u DJ), удовлетворяющую условиям:

Lu(x, у) ее 0, (х, у) Е D+ u £l, и(х, у) = 0, (х, у) 6 АС u АК, и(х,у) |Го= ffa), 0 < р < тг, lim (—y)auv = k lim уащ ,0 < х < 1,

2/->0—0 4 У у-Ю+0* У ' ' где / - заданная достаточно гладкая функция.

Теорема 3.1. Если f(<p) е С1[0, тг], /(0) = /(0) = /(тг) = /(тг) = 0, и в малой окрестности точек tp = 0 и ip = тг дважды непрерывно дифференцируема, то существует единственное решение задачи Трикоми в области D и оно определяется формулами (0.22) - (0.24), п = !^г(1-/з) j h„($) sm edef

2тг о о (cos v ~ cos

7n - определяется по формулам (0.25).

1. Ахиезер Н.И. Лекции по теории апроксимации. -М.: Наука, 1965, -408 с.

2. Бабенко К. И. К теории уравнений смешанного типа: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. М., 1952.

3. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: ИЛ, 1961. - 208 с.

4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Наука, 1965. -264 с.

5. Бицадзе A.B. О некоторых задачах для уравнений смешанного типа // Докл. АН СССР. 1950. - Т. 70, No 4. - С. 561-564.

6. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР. 1959.

7. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. - 448 с.

8. Вагапов В.З. Спектральные задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с характеристическим вырождением / Сб. трудов междунар. науч. конф. "Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы", Стерлитамак, 1998. 4.1. -С. 142-144.

9. Вагапов В.З. Задача Трикоми для вырождающегося уравнения смешанного типа / Сб. трудов междунар. научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", Самара, 2002, С. 4448.

10. Вагапов В.З. О построении частных решений вырождающихся уравнений смешанного типа / Труды международ, науч. конф. "Комплексный анализ, диф. уравнения и смежные вопросы", Уфа, 1996. С. 99 106.

11. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. I. М.: ИЛ, 1949,- 603 с.

12. Волкодавов В.Ф. Принцип локального экстремума и его применение к решению краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. Казань, 1969.

13. Вострова Л.Е. Смешанная краевая задача для уравнения ихх + sgny • 11уу — и = 0 / Ученые записки Куйб. гос. пед. ин-та. 1958. Вып. 21, С. 219 - 267.

14. Гудерлей К.Г. Теория околозвуковых течений. М.: ИЛ, 1960. -421 с.

15. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. И. -М.: Наука, 1998 448 с.

16. Исамухамедов С.С. Видоизмененная задача Трикоми для уравнения смешанного типа второго рода / Изв. АН УзССР. Сер. физико-мат.наук, -1974, N0 4, С. 9 15.

17. Исамухамедов С.С., Орамов Ж. О краевых задачах для уравнения смешанного типа второго рода с негладкой линией вырождения // Дифференц. уравнения. 1982. - Т. 18. -N0 2. - С. 324 - 334.

18. Исамухамедов С. С. Краевые задачи типа Е для уравнения смешанного типа второго рода / Сб.: Краевые задачи для дифференциальных уравнений-1972,-Т. 2, С. 97 103.

19. Калъменов Т.Ш. О спектре задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева Бицадзе // Дифференц. уравнения - 1977. - Т. 13, N0 8, С. 1718 - 1725.

20. Каролъ И. Л. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа второго рода // Докл. АН СССР, -1953, -Т. 88, N0 2, С. 197 200.

21. Каролъ И. Л. К теории уравнений смешанного типа // Докл. АН СССР, -1953, -Т. 88, N0 3, С. 397-400.

22. Каролъ И. Л. К теории краевых задач для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа // Матем. сб., -1956, -Т. 38(80), N0 3, С. 261 283.

23. Каролъ И. Л. Краевые задачи для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа // Докл. АН СССР, -1955, -Т. 101, N0 5, С. 793 796.

24. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // ДАН, -1951, -Т. 77, N0 2, С. 181 184.

25. Крикунов Ю.М. Видоизмененная задача Трикоми для уравнения ихх + Уиуу + (~п + 1/2)ггу = 0 // Изв. вузов. Математика, 1979, N0 9, С. 21 - 28.

26. Крикунов Ю.М. Краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа / Казань: Изд-во Казанского госуниверситета. -1986, -148 с.

27. Кузьмин А. Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газодинамике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1990. - 208 с.

28. Мамедов Я.Н. О некоторых задачах на собственные значения для уравнения смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1990. -Т. 26, N0 1, С. 163 - 168.

29. Мамедов Я.Н. К задаче на собственные значения для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1993. - Т. 29, N0 1, С. 95 - 103.

30. Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М.: Изд-во МГУ, 1988. - 150 с.

31. Моисеев Е.И. Решение задачи Трикоми в специальных областях // Дифференц. уравнения. 1990. - Т. 26, N0 1, С. 93 - 103.

32. Моисеев Е.И. Применение метода разделения переменных для решения уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. -1990. Т. 26, N0 7, С. 1160 - 1172.

33. Моисеев Е.И. О представлении решения задачи Трикоми в виде биортогонального ряда // Дифференц. уравнения. 1991. - Т. 27, N0 7, С. 1229 - 1237.

34. Моисеев Е.И. О базисности одной системы синусов // Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23, N0 1- С. 177 - 179.

35. Моисеев Е.И. О базисности систем синусов и косинусов // Докл. АН СССР. 1984, Т. 275, N4, С. 794 798.

36. Пилия А.Д., Федоров В.И. Особенности поля электромагнитной волны в холодной анизотропной плазме с двумерной неоднородностью // Журн. экспер. и теор. физики. 1971. - Т. 60, вып.1. -С. 389-399.

37. Пономарев С.М. Спектральная теория основной краевой задачи для уравнения смешанного типа Лаврентьева- Бицадзе: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. М., 1981.

38. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука.- 1983.- 752 с.

39. Рыжов О.С. Исследование трансзвуковых течений в соплах Лава-ля. М.: ВЦ АН СССР, 1965. - 236 с.

40. Сабитов К. Б. О постановке краевых задач для уравнения смешанного типа с вырождением второго порядка на границе бесконечной области // Сиб. мат. журнал. 1980. - Т. 21, N0 4. - С. 146 - 150.

41. Сабитов К.Б. Задача типа Трикоми для уравнения смешанного типа с сильным характеристическим вырождением // Дифференц. уравнения. 1984. - Т. 20, N0 2. - С. 333 - 337.

42. Сабитов К.Б. О задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева — Бицадзе со спектральным параметром // Дифференц. уравнения. -1986. Т. 22, N0 11. - С. 1977 - 1984.

43. Сабитов К. Б. К теории уравнений смешанного параболо гиперболического типа со спектральным параметром // Дифференц. уравнения - 1989. - Т. , N0 1.- С. 117 - 126.

44. Сабитов К.Б. Построение в явном виде решений задач Дарбу для телеграфного уравнения и их применение при обращении интегральных уравнений. I // Дифференц. уравнения.- 1990. Т. 26, No 6.- С. 1023 - 1032.

45. Сабитов К.Б., Тихомиров В.В. О построении собственных значений и функций одной газодинамической задачи Франкля // Матем. моделирование 1990 - Т. 2, No 10 - С. 100 - 109.

46. Сабитов К.Б., Карамова A.A. Спектральные свойства решений задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа и их применения // Изв. РАН. Сер. матем. 2001. -Т. 65, No 4. - С. 133 - 150.

47. Сабитов К.Б., Кучкарова А.Н. Спектральные свойства решения задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа и их применение // Сиб. мат. журнал. -2001. Т. 42, No 5. С. 1147 - 1161.

48. Сабитов К.Б., Бибакова С.Я. Задача на собственные значения для вырождающегося уравнения смешанного типа / Вестник БГУ. -Уфа,- 2000. No 1.- С. 18 - 22.

49. Сабитов К.Б., Хасанова (Бибакова) С.Л. Решение задачи Трико-ми Неймана для уравнения Лаврентьева - Бицадзе методом спектрального анализа / Известия КБНЦ РАН, Нальчик, -2002. -N0 1 (8). - С. 84-93.

50. Сабитов К.Б., Хасанова (Бибакова) С.Л. Спектральные свойства решения задачи с производной по нормали в граничном условии для уравнений смешанного типа и их применение // Известия Вузов. Математика. -2003. -N0 6. С. 64 - 76.

51. Сабитов К.Б., Бибакова С.Л. Построение собственных функций задачи Трикоми Неймана для уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением и их применение // Математические заметки -2003. - Т. 74. - вып. 1. - С. 83 - 94.

52. Салахитдинов М.С., Кадыров 3. Задача с нормальной производной для уравнения смешанного типа с негладкими линиями вырождения // Дифференц. уравнения. 1986. - Т. 22, N0 1. - С. 103 -114.

53. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. - 690 с.

54. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. - 292 с.

55. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1970. -296 с.

56. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Высшая школа, 1985. - 304 с.

57. Солдатов А.П. О единственности решения одной задачи A.B. Би-цадзе // Дифференц. уравнения. -1972. Т. 8, N 1. - С. 143 - 146.

58. Терсенов С.А. К теории гиперболических уравнений с данными на линии вырождения типа // Сиб. матем. ж., -1961, -Т. 2, No 6.

59. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики М.: Наука, 1966. - 736 с.

60. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. -M.-JL: Гостехиздат, 1947. -192 с.

61. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: ИЛ, 1957. - 43 с.

62. Уитптекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Ч. II. Трансцендентные функции. М., Физматгиз. - 1963. -515 с.

63. Франклъ Ф.И. К теории сопел Лаваля // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1945. - Т. 9, No 5. - С. 387 - 422.

64. Франклъ Ф.И. О задачах Чаплыгина С.А. для смешанных до- и сверхзвуковых течений // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1945. -Т. 9, No 2. - С. 121-142.

65. Франклъ Ф.И. Об одной новой краевой задаче для уравнения yzxx + zyy = 0 // Учен, записки МГУ. 1951. - Вып. 152. Механика, 3. -С. 99-116.

66. Хайруллин Р. С. Задача Трикоми для уравнения второго рода в случае нормальной области // Дифференц. уравнения. 1990. - Т. 26, No 8, С. 1396 - 1407.

67. Хайруллин P.C. О задаче Трикоми для уравнения второго рода в случае произвольной области // Дифференц. уравнения. 1995. -Т. 31, No 5, С. 894 - 895.

68. Хе Кан Чер. О сингулярной задаче Трикоми для одного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Препринт. ИМ СО АН СССР. 1976. - 16 с.

69. Хе Кан Чер. О единственности решения задачи Трикоми для уравнения с двумя линиями вырождения // В кн.: Дифференциальные уравнения с частными производными. — Новосибирск: ИМ СО АН СССР. 1980. - С. 64 - 67.

70. Gellerstedt S. G. Sur on problème aux limites pour une equation lineaire aux derivees partielles du second ordre de type mixte: These pour le doctorat. Uppsala, 1935. - 92 p.

71. Бибакова С. JI. Задача на собственные значения для уравнения смешанного типа / Труды Всеросс. науч. конф. "Физика конденсированного состояния". Стерлитамак: Стерлитамакский филиал АН РБ, -1997. Т. 1. С. 14 - 18.

72. Бибакова С.Л. Задача на собственные значения для уравнения смешанного типа / Тезисы докл. междунар. науч. конф. "Дифференциальные уравнения. Интегральные уравнения. Специальные функции". Самара, 1997. - С. 12 - 13.

73. Бибакова С.Л. Построение частных решений одного уравнения смешанного типа / Материалы Всероссийской научно-прак. конф.,-Магнитогорск1999. Часть 2. С.4 - 5.

74. Бибакова С.Л. Построение собственных функций задачи Трикоми для вырождающегося уравнения смешанного типа / Тезисы докладов конф. " Понтрягинские доклады — X. Современные методы в теории краевых задач. ", Воронеж, -1999, -С.149.

75. Хасанова (Бибакова) С.Л. Построение решения задачи Трикоми для уравнения смешанного типа второго рода методом разделения переменных/ Сб. трудов межд. научной конференции "Дифферен. уравнения и их применения", Самара, 2002, - С. 404 - 406.