Задача Коши для вырождающегося уравнения гиперболического типа в гильбертовом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Глава I. Уравнение с вырождающимся множителем при А м*

§1. Задача Коши для простейшего уравнения первого типа

§2. Разрешимость задачи Коши для общего уравнения при нулевых начальных данных и быстро убывающей правой части

§3. Общая задача в случае произвольного порядка выровдения

§4. Общая задача при вырождении не быстрее степенного

В диссертации рассматриваются уравнения двух типов в гильбертовом пространстве Н

Л'+яМАфи + в (6) и>+ С(+) и +Е(-Ь) -и -¿(Ф) (I)

Ар)«-(-ЬеС0,11). О)

Предполагается, что А (£) при всех £ ¿[О^З - положительно определенный самосопряженный оператор с независящей от областью определения, ) Е~ линейные ограниченные операторы ; функция ¿я 1У непрерывна на 10)13 = Р, О при ± > О .

Будем называть уравнения (1) уравнениями первого типа, а вида (2) - второго типа.

Для уравнения С^)' и™ ставится задача Коши с начальными данными в точке вырождения

-и'^о)-^ ^. (з)

Решением (гладким) уравнения (\) или (2) назовем функцию ФС , определенную на CO.il со значениями в Х^С^У » удовлетворяющую (I) или (2) , и такую, что функции и^А3-^. непрерывны на £й) 1] , А^ы*у Анепрерывны на(о}7],

Невырждающееся уравнение ("когда = ^ ) изучено .

Соболевским П.Е. и Погореленко В.А. [IJ .

Уравнение (I) при си&г^^р^о), АСФА) В(+) = Ш=0 с помощью бесселевых функций от оператора изучалось Вайнерма-ном Л.И. [2 ].

Уравнения первого типа изучалось также Каролем Р.В. и Шовальтером Р.Э. В [3] рассматривалось уравнение где А - положительно определенный самосопряженный оператор, оС} > О } 3 (•£) ^ & - линейные ограниченные операторы, &&)> 0} ^ О . Предполагалось, что все операторы коммутируют, и ставился вопрос о существовании дважды непрерывно дифференцируемого решения, удовлетворяющего начальным данным -и* (О) - -и'¿О) - О .

Была получена однозначная разрешимость в классе функций, достаточно быстро стремящихся к нулю при ~Ь —^ О , при правой части , достаточно быстро стремящихся к нулю при ~Ь О .

Заметим, что коммутируемость операторных коэффициентов в приложениях к уравнениям в частных производных означает, что коэффициенты-уравнения не-зависят от пространственной переменной. Оставался также открытым вопрос о разрешимости задачи Коши при правой части, не стремящейся к нулю.

Уравнения второго типа изучалось Егоровым И.Е. В [4J рассматривалась задача Коши где

АС*) и

- самосопряженные ограниченные операторы.

Предполагалось, что - $ или &- % АЪ $^ сГ > О Эти условия не позволяют & С^) вырождаться, поэтому за такими уравнениями утвердилось название гиперболо-параболических.

В качестве приложений абстрактных уравнений (I) или (2~) могут служить вырождающиеся уравнения в частных производных гиперболического типа

Приведем сначала работы по уравнениям в частных производных первого типа. Рассматривается уравнение ¿с*,*)«* + ф + С -f и. . 4

GRJ в полупространстве тт > О (^по повторяющимся индексам подразумевается суммирование^ . Будем называть уравнение (4^) вырождающимся гиперболическим, если при любых X £ R , -£ О квадратичная форма C^j ij неотрицательна.

Карапетян К.И. [ö] впервые рассмотрел задачу Коши для уравнения (а), выровдающегося только на гиперплоскости ~Ь — О , с начальными данными. фс(О) (ъ)

Был исследован случай не слишком быстрого вырождения: если л ijC*J = ¿С*) * *Л ' б где квадратичная форма tf хij равномерно положительно определена, то это соответствует случаю, когда О-(-¿г) стремится к нулю не быстрее ~Ь

Ошейник О.А [б] рассмотрела задачу при условии -t(c % fi Aa?$t + a-h; h CA)d>ô) fy

- - - ■ • . . • - . >1

Это условие не позволяет квадратичной форме вырождаться на множестве произвольного вида, например, лишь в одной внутренней точке. . f

Если рассматривать условие (7) как ограничение на рост CL при -Ь —> + О , то оно согласуется с требованиями, накладываемыми в случае одного пространственного переменного и вырождения только при -~Ь -=-О (^обширная библиография таких работ представлена в монографиях Смирнова М.М. [ч] и Бицадзе A.B.

М).

Нерсесян А.Б. в [э] получил условия на похожие на (7).

Им рассматривалось уравнение (к), вырождающееся только на гиперплоскости ~Ь — О , с коэффициентами, зависящими только от Ь . • »

В частном случае, когда квадратичная форма ^ не

• О отрицательна, эти условия означают, что ) - величина порядка О*) » гДе А -/¿г'^!- , тогда как в [бJ порядка .В случае произвольного порядка вырождения условие Нерсесяна А.Б. менее ограничительно.

Отметим также работу Агабабяна Л.Ш. [IoJ , в которой обобщаются результаты [б ] на случай уравнения ( где - оо <г ос * < й. , Здесь допускается вырождение разного типа по разным направлениям.

Перейдем к рассмотрению уравнений в частных производных второго типа. Начнем с плоского случая се) в полуплоскости ~Ь О при. О ^ и*- < 2, . Линия параболического вырождения ~Ь ~ О является характеристикой уравнения. Поведение решения (8) существенно зависит от коэффициента и показателя . Для уравнения (8) кроме обычной задачи

Коши, которая может оказаться неразрешимой, естественно исследовать задачу Коши с видоизмененными начальными данными где мъ *>') - О , - О. -ь -*от у .* -ь-^о т > .

Исследованию этой задачи посвящены работы Терсенова С.А. [н] , Сунь Хе-шена [12] и других авторов. Было показано, что при

О ^ Ж- ■■< "й. задача 6*8) с обычными начальными условиями поставлена корректно.

В [у^ было показано, что при условии существования пРичем ± при ж. ^ задача Коши для уравнения СЮ с начальными данными и.¿к, О) = •£>(*) Л» поставлена корректно.

Многомерный аналог уравнения (ъ)

1-й-- ли+а£ки .-^а'-и I при 0 и*- < 2. , 1< ^ т - й \ с видоизмененными начальными данными рассматривался Терсеновым С.А. [1з] . Вид начальных условий подбирался путем построения общего решения уравнения ¿.1Л ~ О и изучения поведения этого' общего решения при

Барановский Ф.Т. [14] показал корректность задачи Коши для уравнения Ы-Л% .*. + ¿С*+ с Ъ)^ = С-Ь >о) (Э) с начальными данными (Ъ) при к^'Рс)- ¡¿(~{г) в случае медленного вырождения - при некоторых ълё ^ ¿т^х > О кМ ^ и'*

К работам, касающимся такой задачи, следует отнести также уже упоминавшуюся работу Агабабяна Л.Ш.

Задача Коши для уравнения (9) в цилиндрической области б ~[в£>2 с - ограниченная связная область с гладкой границей У , с начальными и краевыми условиями и! = 0 44. I =0 -и I ~ О в случае гиперболо-параболического вырождения рассматривалась Брюхановым В.А. [lö], Враговым В.Н. [lб], Каратопраклиевым Г.Д.

Ограничений на скорость стремления к к нулю при ~Ь —> О не накладывается, но имеется условие гиперболо-параболического вырождения

2 ¿¿i, к С^) * S > О . СЩ

Следует особо отметить работы Попиванова Н.И f18,19J , который рассматривал уравнение (э) , когда может вырождаться как к , так и квадратичная форма ¿j ft; £ l^j в произвольной ограниченной или неограниченной области с кусочно гладкой границей. Рассматривался случай гиперболо- параболического вырождения - для некоторых констант р и С > О кь - 2 £ + рк ^ С .

В случае вырождения квадратичной формы (Я ^C^j ^ накладывалось условие, аналогичное (l).

Калашников A.C. [2о] рассмотрел задачу без начальных услоh. вий для уравнения (д) в [0}Т] х R при условии о * С* кС£}х) Й Сс*А

При некоторых ограничениях на допустимое поведение решения при \х\ оо и при -Ь -ь D были получены теоремы существования и единственности.

Отметим, что вырождающееся уравнение (Х~) относится к уравнениям с кратными характеристиками. Такие уравнения изучались Иврием В.Я. и Петковым В.М. [21J .

Для уравнения второго типа оставался открытым вопрос о разрешимости-задачи Коши в случае быстрого вырождения, когда коэффициент при первой производной по стремится к нулю достаточно быстро ( или вообще равен нулю) . Вторая глава данной диссертации посвящена выяснению этого вопроса.

Первая глава диссертация посвящена уравнениям вида (I) , а вторая - вида (2) . В первой главе 5 параграфов, во второй - 3.

В §1 рассматривается задача Коши для простейшего уравнения первого типа с постоянным оператором А при $ > О .На примере продемонстрирован применяемый в диссертации метод исследования, который заключается в следующем.

На первом этапе доказывается однозначная разрешимость задачи Коши при нулевых начальных данных и правой части, достаточно быстро стремящейся к нулю при ~Ь + О , в классе решений, достаточно быстро стремящихся к нулю. Для этого с помощью замены независимой переменной уравнение сводится к интегральному уравнению, с последующим применением принципа сжимающих отображений.

На втором этапе показывается, что в случае принадлежности начальных данных ) и достаточной гладкости вблизи нуля функции А задачу можно свести к предыдущему случаю.

В §2 проводится первый этап для уравнения СУ* Предполагая, что решение со своей первой производной с достаточной скоростью стремится к нулю при ~Ь —? + О , приходим к системе интегральных уравнений относительно пары функций ~ . /у2"^ . л /

Показывается, что в классе решений, удовлетворяющих условию р А2^^) О со скоростью (X ) Р > ^ к этой системе применим принцип сжимающих отображений, если операторные коэффициенты удовлетворяют некоторым ограничениям на рост при '~Ь О :

-b

Ct) лр+1№ lltCir)llb^o

При этих условиях получаем однозначную разрешимость системы интегральных уравнений при функции jf- , стремящейся к нулю со скоростью Cí'Cí^Oér) • Дяя того, чтобы решение системы интегральных уравнений было решением уравнения^ (I,) , приходится дополнительно предположить, что функция А ^f- стремится к нулю со скоростью Я1afft) ъ my^rni. s -i h

При этих условиях получим существование такого решения уравнения (i), что функции и А^л. стремятся к нулю со скоростью (£) s

В §3 рассматривается общая задача (l)f(s). Показывается, что заменой неизвестной функции вида

-U ^ Z -h ^ где - новая неизвестная функция, а функция определяется данными задачи, можно свести задачу к случаю, рассмотренному в §1, если наложить на данные задачи дополнительные условия гладкости. Требуется, чтобы при некотором DL>rr t/-0?£1)(Afij)^ функция А (0)j- была непрерывна, ограничена, оператор-функции

X ос 4 . Р( — ОС оС-1 -ос

А Ф)втр), № А А(о)Е№(0% А (о)АШ(о) были сильно непрерывны, равномерно ограничены по норме.

Если' ic0~ О , для некоторого £ ^fO.^f) функция аа I jiA f непрерывна, ограничена, то можно от операторных коэффициентов дополнительно требовать только, чтобы были сильно не-2. -Л ^ Л з 2. прерывны А *С°)&ША А(О)С&)А Щ AYeJEfflAty),

Ал(о)АС*)Ао), з

Функция % для замены неизвестной функции подбирается как решение задачи Коши для некоторым образом "регуляризованно-га" уравнения, в котором фигурируют только ограниченные операторные коэффициенты.

В случае произвольного порядка вырождения для доказательства единственности решения задачи (l), (з), хотя бы классического -когда -ttUу АА И непрерывны на [Оу 1 ] , приходится вводить несколько большие ограничения на рост операторных коэффициентов: sup ±rjcA*)U< 00, ь am 1 о ь A(sJ

В §4 рассматривается задача (1),(з), когда функция а (~Ь) д стремится к нулю не быстрее ¡3 > 0, Точнее, при условии

В этом случае могут быть установлены более точные результаты, чем в §3. Доказана единственность классического решения без дополнительных ограничений на рост 11д>(^)11 и Ц С А •

Получена теорема существования решения задачи (1),(з). в пред

-5 4+ 1Ы положении непрерывности и ограниченности функции f А JL при некоторых /¿С^Р'^^р] при ^

В §5 даются приложения результатов §3 к уравнениям в частных производных, когда Н - (к, а операторы С(Ь) , Е(-к) - дифференциальные. Выписаны теоремы существования и единственности решения задачи

В §6 для уравнения (2) проводятся рассуждения, аналогичные тем, что были проведены для уравнения (I) в §2. Доказана един. / —О ^ ственность такого решения (2), что функции (X и у А^^с при некотором р > ограничены, если

-Ь^о ^ и От) -ь^о

Если дополнительно оператор-функции е> и са* сильу! . / но непрерывно дифференцируемы, —, В ^/(СА^) равномерно ограничены, при некотором р •> 1 функции / ^ .-. . X Ос у непрерывны, ограничены, то доказано^существование такого решения (2), что функции (X у аРА1Л. ограничены.

В §7 рассматривается задача Коши (2) ,(з) в классе таких функций, что /¡К непрерывны вплоть до нуля, а п при ~Ь —> О растет не слишком быстро - не быстрее (&), при некотором р 6 ^ 2 ^ ,

При такой постановке возникают необходимые условия существования решения и, при —^—> О » условие

С '0Ч.+С(о)ч1+А(о)<Ло +А(#)и1 =

Таким образом, на начальные данные имеются алгебраические ограничения, причем при медленном вырождении одно, а при быстром - два. Поэтому термин "задача Коши" имеет в данном случае некоторую условность. Если существует [А(О)+ С♦ то элемент однозначно определяется по ^ и -Р1о а если вырождение быстрое, то оба элемента и «о однозначно определяются по У » и мы можем говороить только об одном уравнения (2).решении.

Показано, что задача (2),(з) при достаточной гладкости данных может быть сведена к случаю, рассмотренному в §6.

Доказаны две теоремы существования решения в пРеД~ положении непрерывной дифференцируемоети правой части и сильной непрерывной дифференцируемоети операторных кэффициентов .

Первая теорема относится к случаю не слишком быстрого вы- ■ . а рождения - когда ¿Я-С~Ь) стремится к нулю не быстрее ~к ^ При этом от производных правой части и операторных коэффициентов требуется, чтобы при медленном вырождении, когда р> р ^ Л. они росли не быстрее а!О? » а ПРИ РР ^ ^ стремились к своевду значению в нуле со скоростью %

Вторая теорема относится к случаю, когда функция 1 ограничена. От правой части операторных коэффициентов требуется существование третьих производных, причем первые производные непрерывны ('соответственно сильно непрерывны^) вплоть до нуля, вторые растут не быстрее О? 2 , а третьи растут не быстрее

Установлена единственность решения задачи (2), (з) в случае, когда <Х(гстремится к нулю не быстрее I

В случае, когда функция ¿2 ограничена, единственность установлена при дополнительных ограничениях на рост операторных

Основные результаты диссертации опубликованы в £32, ЗЗJ . В совместной с П.Е. Соболевским работе научному, руководителю принадлежит постановка задачи, а доказательства теорем при над-лежат автору диссертации.

Автор диосертации выражает глубокую благодарность своему научному руководителю проф. Соболевскому П.Е. за постоянное внимание к работе.

1. Соболевский П.Е., Погореленко В.А. Гиперболические уравнения в гильбертовом пространстве. - Сиб. матем. журн., 1967,т.8, ЖЕ, с. 123-145.

2. Вайнерман Л.И. Гиперболическое уравнение с вырождением в гильбертовом пространстве. Сиб. матем. журн., 1977, т.18, М, с. 736-746.

3. Carroll R.W,7 Showalter R.E. Singular and degenerate СаисЦ problems-N.Y.: Acad „ Press, 1976.

4. Егоров И.Е. 0 задаче Коши для вырождающегося операторного уравнения второго порядка. Gh6. матем. журн., 1979, т.20, Jfö, с.1015-1021.

5. Карапетян К.И. О задаче Коши для уравнения гиперболического типа, вырождающегося на начальной плоскости. ДАН СССР, 1956, т. 106, Х6, с.963-966.

6. Олейник O.A. Задача Коши и краевая задача для гиперболических уравнений второго порядка, вырождающихся в области и на ее границе.- ДАН СССР, 1966, т.169, Jfö, с.525-528.

7. Смирнов М.М. Вырождающиеся гиперболические уравнения.-Минск: Вышейш. школа, 1977,-159с.

8. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных произ-водных.-М.: Наука, 1981,-448 с.

9. Нерсесян А.Б.О задаче Коши для гиперболического уравнения второго порядка, вырождающегося на начальной гиперплоскости. -ДАН СССР, т. 181, М, с. 798-801.

10. Агабабян Л.Ш. О задаче Коши для вырждающегося гиперболического уравнения второго порядка.- Изв. АН Арм.ССР, математика, 1970, т.5, Ж, с. 61-65.

11. Терсенов С.А. К теории гиперболических уравнений с данными на линии выроздения типа. Сиб. матем. журн., 1961, т.2, J£6, с.913-935.

12. Сунь Хе-шен. О единственности решения вырождающихся уравнений и жесткости поверхности. ДАН СССР, 1958, т.122, Ж5, с. 770-773.

13. Терсенов С.А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе .-Новосибирск: НГУ, 1973,-144 с.

14. Барановский Ф.Т. Задача Коши для линейного гиперболического уравнения второго порядка, вырождающегося на начальной плоскости. Уч. зап. Ленингр. пед. ин-та, 1958, $166, с. 227-254.

15. Брюханов В.А. Диф. уравнения, 1972, т. 8, №1, с.3-6.

16. Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики .-Новосибирск: НГУ, 1983?-84 с.

17. Каратопраклиев Г.Д. Об одном классе уравнений смешанного типа в многомерных областях. ДАН СССР, 1976, т. 230, № 4, с. 769-772.

18. Попиванов Н.й. Некоторые краевые задачи для гиперболо-параболических уравнений в многомерных областях. ДАН СССР, 1978, т. 243, т, с. 584-587.

19. Попиванов Н.И. Краевые задачи для гиперболо-параболических уравнений в многомерных областях. Български математически студии, т.З, 1981, с. 88-119.

20. Калашников A.C. Задача без начальных условий для линейных вырождающихся гиперболических уравнений второго порядка с бесконечной областью зависимости. Матем. сб., 1972, т. 88, М, с. 609-622.

21. Иврий В.Я., Петков В.М. Необходимые условия корректности задачи Коши для нестрого гиперболических уравнений. УМН, 1974, т. 29, Jfö, с. 3-70.

22. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве.М.; Наука, 1971,-464 с.

23. Красносельский М.А. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций.-М.; Наука, 1966,-500 с.

24. Heinz £. Beitrage гиг StÖrlngsibeorle der Spektralzerlegung*. Math. Ann., 195i, и. 123, Н4 , p. 415-438.

25. Далецкий Ю.Л. О дробных степенях самосопряженных операторов. Тр. семинара по функциональному анализу, Воронеж, 1958, вып. 6, с. 44- 48.

26. K&toT. Integration of íhe equation of evolution ínaBanack space-3, Maib. Socapan, 195*3, v.Sy n2-9 p>208~23¿±.

27. Соболевский П.Е. Об одном типе дифференциальных уравнений второго порядка в банаховом пространстве. Уч. записки Азерб. гос. ун-та, серия физ.-мат. и хим. наук, 1962, J63,с. 87-206.

28. Рисс Ф., Секафальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу.-М.; Мир, 1979,-587 с.

29. Хартман Ф, Обыкновенные дифференциальные уравнения.-М.; Мир, 1970,-720 с.

30. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.-М.; Наука, 1973,-223 с.

31. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптический и гиперболические уравнения.-М.; Наука, 1966,-292 с.

32. Соболевский П.Е., Семенов С.М. О некотором подходе к исследованию вырождающихся гиперболических уравнений. ДАН СССР, 1983, т. 270, №, с. 555- 558.

33. Семенов С.М. Вырождающиеся гиперболическое уравнение в гильбертовом пространстве. В сб. Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений: Межвузовский темат. сб., Ярославль, 1984, с. 51-56.