Некоторые краевые задачи для вырождающихся гиперболических уравнений третьего порядка в трехмерных областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ЭНБОМ Екатерина Александровна

НЕКОТОРЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА В ТРЕХМЕРНЫХ ОБЛАСТЯХ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2003

Работа выполнена на кафедре математического анализа Самарского государственного педагогического университета.

Научный руководитель:

заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор Волкодавов Виктор Филиппович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Репин Олег Александрович,

доктор физико-математических наук, профессор Хайруллин Равиль Сагитович

Ведущая организация: Орловский государственный университет

Защита состоится 10 декабря 2003 года в 1700 часов на заседании диссертационного совета К 212.081.06 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Университетская, 17, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке им. Н.И.Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан «Ю » ОХ-ПЦЩ^Л^ 2003 года.

Ученый секретарь Диссертационного совета к.ф.-м.н., доцент

Е.К.Липачев

^ио^ "ГХ

( ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена исследованию краевых задач для вырождающихся гиперболических уравнений третьего порядка в ограниченных и неограниченных трехмерных областях специального вида.

Актуальность темы. В современной теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования вырождающихся гиперболических и эллиптических уравнений, а так же уравнений смешанного типа. Повышенный интерес к этому классу уравнений объясняется как большой теоретической значимостью полученных результатов, так и их многочисленными приложениями в газовой динамике, гидродинамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхности, в безмоментной теории оболочек, в различных разделах механики сплошных сред, акустике, в теории электронного рассеяния и многих других областях знаний. Развитие современной науки показало, что вырождающиеся уравнения являются хорошей моделью реальных физических и биологических процессов. А это обусловило актуальность постановки и решения для них различных краевых задач, которые в настоящее время являются предметом фундаментальных исследований многих математиков.

Значительные результаты исследований дифференциальных уравнений рассматриваемого вида изложены в известных работах Ф.Трикоми, Ф.И.Франкля, С.Геллерстедта, К.И.Бабенко, А.В.Бицадзе, М.М.Смирнова, О.А.Олейник, В.А.Ильина, В.ПМихайлова, которые можно считать основополагающими в развитии теории этих уравнений.

Благодаря усилиям отечественных и зарубежных математиков теория гиперболических и эллиптических уравнений, вырождающихся либо на некотором множестве точек внутри рассматриваемой области, либо на ее границе, особенно интенсивно развивалась в последние сорок лет. В их работах рассматривались проблемы разрешимости известных классических краевых задач, а так же ставились и исследовались новые краевые задачи для таких уравнений.

Существенный вклад в развитие данной теории внесли болгарские математики Г.Д.Карактопраклиев, П.Р.Попиванов и другие; представители математических школ Ближнего Зарубежья: Т.Ш.Кальменов, С.Л.Алдашев, Н.Р.Раджабов, Ар.Базарбеков, С.С.Харибегашвили, Т.Д.Джураев, О.М.Джохадзе и другие. Большая заслуга в развитии теории краевых задач для вырождающихся уравнений принадлежит отечественным математикам: С.П.Пулькину, А.М.Нахушеву, В.И.Жегалову, В.Ф.Волкодавову, В.Н.Врагову, Е.И.Моисееву, Ф.Г.Мухлисову, Л.И.Чибриковой, Р.С.Хайрулину, Н.Б.Плещинскому, , К.Б.Сабитову, О.А.Репину, А.Н.Зарубину, В.В.Азовскому, А.М.Ежову, А.А.Андрееву и др.

Если до недавнего времени в основном изучались краевые задачи для дифференциальных уравнений второго порядка, то затем выяснилось, что важную роль в изучении различных процессов и явлений действительного мира играют уравнения третьего и более высоких порядков. За последние полтора десятилетия внимание многих ученых привлекли исследования гиперболических уравнений третьего порядка, ими были разработаны некоторые методы решения таких задач: метод Римана, метод Римана-Адамапа. лкяолоЬздЙ и специ-

альных решений и другие. В частности, значительная роль в разработке этих методов принадлежит математикам Казанской и Самарской школ.

Несмотря на значительное количество серьезных результатов, полученных математиками по данной тематике, теория краевых задач для вырождающихся гиперболических уравнений третьего порядка в трехмерном пространстве требует дальнейшей разработки. Поэтому рассмотрение частных случаев таких уравнений является так же важным элементом построения теории и представляет определенный интерес.

Цель работы. Основной целью диссертации является доказательство корректности постановки граничных задач и задач с интегральными условиями для гиперболических уравнений третьего порядка, вырождающихся в одной граничной точке области. В частности, исследование поведения решения в точке вырождения уравнения.

Методы исследования. Для исследования граничных задач, которые можно считать аналогом задачи Коши, используется метод Римана-Адамара. Функцию Римана-Адамара удалось записать в явном виде благодаря симметрии рассматриваемого уравнения. При исследовании решения в точке вырождения уравнения применяется аппарат гипергеометрических функций.

Для доказательства разрешимости задач с интегральными условиями строится решение уравнения, зависящее от трех произвольных функций, которые определяются затем, исходя из данных задачи. При этом используется метод интегральных уравнений и аппарат специальных функций.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие новые результаты:

1) Доказана однозначная разрешимость двух задач в бесконечной области специального вида для уравнения, вырождающегося в одной граничной точке области. Эти задачи представляют собой аналог задачи Коши. Их новизна состоит в том, что на некоторой части нехарактеристической границы области задаются оба условия Коши, а на другой части нехарактеристической границы области искомая функция подчинена только одному из условий Коши.

2) Построена функция Римана-Адамара и доказана корректность этих задач методом Римана-Адамара. Метод Римана-Адамара, обычно применяемый для решения задач, в которых одно из граничных условий задается на характеристической поверхности, в данной работе впервые применен для решения видоизмененной задачи Коши.

3) Поставлены и исследованы две смешанные задачи, в которых решение уравнения ищется в ограниченной области и искомая функция подчинена как граничным, так и интегральным условиям.

4) Получены формулы обращения интегральных уравнений Вольтерра первого рода, которые возникают в процессе решения этих задач и получены явные представления искомых функций при различных значениях параметра уравнения.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Она является продолжением развития теории краевых задач и задач с интегральными условиями для вырождающихся уравнений гиперболического

типа. Методы исследования рассмотренных задач могут быть применены для изучения более сложных уравнений третьего порядка.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались:

- на третьей международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 1998г.),

- на межвузовских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» в Самарском государственном техническом университете (Самара, 1998,2001,2003г.),

- на 52-ой, 54-ой, 55-ой научных конференциях Самарского государственного педагогического университета (Самара, 1998,2000,2001г.),

- на международной научной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения с сингулярными коэффициентами» (Душанбе, 2003г.);

содержание диссертации обсуждалось так же:

- на научном семинаре по дифференциальным уравнениям в Самарском государственном педагогическом университете в 1997-2002 г.г. (руководитель д.ф.-м.н., профессор В.Ф.Волкодавов),

- на научном семинаре кафедры уравнений математической физики Самарского государственного университета в 2001 г. (руководитель д.ф.-м.н., профессор О.П.Филатов),

- на научном семинаре по дифференциальным уравнениям и теории управления в Удмуртском государственном университете в Ижевске в 2001 г. (руководитель д.ф.-м.н., профессор Е.Л.Тонков),

- на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета в 2003 г. (руководитель д.ф.-м.н., профессор В.И.Жегалов).

Публикации. Одиннадцать работ, опубликованных автором по теме диссертации, полностью отражают ее содержание. Список статей приведен в конце автореферата. Результаты, полученные в совместных с научным руководителем работах [4] и [10], принадлежат авторам в равной мере.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа изложена на 121 странице и состоит из введения, двух глав и библиографии, включающей 101 наименование.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении отмечается актуальность темы диссертации, приводится обзор результатов исследований по ее тематике, кратко излагается содержание работы.

В первой главе исследованы две задачи, каждую из которых можно считать аналогом задачи Коши. В отличие от классической постановки задачи Коши, в этих задачах значение искомой функции и ее нормальной производной задаются не на всей нехарактеристической поверхности, а лишь на ее частях.

Уравнение

Ци) = иху2+---(и„+и ух) = 0, 0<2а<\ (1.1)

будем рассматривать в области i2 = {(x,y,z):0<y<x<z< +°о} трехмерного евклидова пространства. Область Q представляет собой трехгранный угол с вершиной в начале координат, образованный частями плоскостей у=0,у-х и z=x. Введем обозначения:

А={(Х>У)'- 0<>><д:<+оо}) 1)2 ={(x,z): 0 < je < z <+<»}.

В первом параграфе доказывается однозначная разрешимость следующей задачи.

В области Q требуется найти функцию и(x,y,z) со следующими свойствами:

1) u(x,y,z)eC(ä)■, 2) ux(x,y,z) и и2(х,у,г)еС{Пи С\), u^eCfQ) и L(u)=О в Q;

3) и(х,у,х)=т1(х,у), (x,y)eDi, (1.2)

lim (uz-ux)=v(x,y), (x,y)&Db (1.3)

z-Mc+O _

u(x,x,z)=T2(x,z), (x,z)eD2. (1.4)

Из требования непрерывности искомой функции в Q следует наличие условия Х\ (х,х)-т2(х,х).

Во втором параграфе исследована задача.

В области Q требуется найти функцию u{x,y,z) со следующими свойствами:

1) u(x,y,z)& с{р\, 2) их(х,y,z) и uz(x,y,z)eC(f2vD1), ux(x,y,z)nuy(x,y,z)eC(f2vD2),uxyzeC(Q) и b(u)=Ob Q;

3) и(х,у,х)=т(х,у),(х,у)е£)ъ (1.5)

lim (uz-ux) = vl(x,y),(x,y)eDl, (1.6)

z-tx+O

lim [ux -uy)=v2 (л, z), (x, z) e D2. (1.7)

z-}x-0

Таким образом, в первой задаче на одной нехарактеристической части границы области задаются значения искомой функции и ее нормальной производной, а на другой нехарактеристической части границы - значения искомой функции. Во второй задаче на одной нехарактеристической части границы области так же задаются значения искомой функции и ее нормальной производной, а на другой части - значения нормальной производной.

Для решения обеих задач применен метод Римана-Адамара. Функция Рима-на для уравнения (1.1) известна1 и имеет следующий вид:

R(M,Mq) = R( х,у, z; x0,y0,z0) =

= (x + y + z)la(x + yQ+z)-a(x(j+y + z)~a F( а, a,l; er),

1 Волкодавов В.Ф., Захаров В.Н. Таблицы Функций Римана и Римана-Адамара для некорых дифференциальных уравнений в п-мерных евклидовых пространствах. -Самара, 1994. -31с.

д., (х-х0)(у-у0)

(л' + Уо+2)(х0+у + г)'

Симметрия уравнения (1.1) относительно плоскости х = позволила построить функцию Римана-Адамара, которая и сыграла основную роль при доказательстве существования и единственности решения поставленных задач. Идея построения функции Римана-Адамара заимствована из работы С.П. Пулькина2.

Возьмем в области й произвольную точку Му() и проведем через нее характеристические плоскости У~Уо> 2=20• Они вместе с плоскостями у=х и г—х образуют две ограниченные области; мы возьмем ту, в которой х>х$, и обозначим ее через Ст. Плоскость у=х0 делит область О на две области: при и С2 при у>х0.

Так как уравнение (1.1) симметрично относительно х и у, то функция Я(у,х,г;х(),у0,г0) так же является его решением.

Для первой задачи функция Римана-Адамара х)\(м,мопределяется следующим образом:

11 ' [Щх,у,г;М„)-Н(у,х,г;М<1), МеО,.

Очевидно, что 1){х,х,г',Мо) = 0.

А для второй задачи функцию Римана-Адамара щ(М) определим так:

Рассмотрим реализацию метода Римана-Адамара, например, для первой задачи.

Для оператора Ь(и) и сопряженного с ним оператора

I*(\)+(а\))Х2+(аи)ш, где а-———, имеет место тождество: 7 ' х+у+г

ьЦи) - иЬ*(ь) = \(РХ + йу + Н2), (1.8)

где Р~2иьуг + 2ьиуг ~Ьуих-Ь2иу +3яим2 -3и(аю)г,

(? = 2иихг +2ьихг-ьхи2. -ь2их -Зи(аи)2,

Н = + 2ьиху-ьхиу-ууих+Ъаьих-Ъи{аь)х+Ъаьиу-Ъи{аь) у.

На плоскости _у=х0, то есть на границе областей (/] и С2, функция Римана-Адамара терпит разрыв. Поэтому, для того, чтобы иметь возможность при-

Пулышн С П. Некоторые краевые задачи для уравнения иа + Цуу н—= 0 // Учдал. Куйбышевского педин-та, 1958. Вып. 21. С.3-54. *

менить формулу Остроградского-Гаусса, построим вспомогательную двусвяз-ную область 0Е ¡иОу., где мы отступаем на достаточно малую величину 6 > 0 от плоскостей у = х^, г = х к у = х.

Если и - решение поставленной задачи, а О - функция Римана-Адамара, то из (1.8) следует тождество Рх+()у+Н2 =0. Интегрируя его по двусвязной области Св и применяя теорему Остроградского-Гаусса, связывающую тройной интеграл с поверхностным, будем иметь:

Ц(Рпх+Опу+Нп,){Ь = 0, (1.9)

я*

где 5е - граница области пх, пу, пг - направляющие косинусы внутренней нормали к 5е. Так как 8е состоит из девяти плоских фигур, то тождество (1.9) перепишем в виде:

9

ЕЛ =о, (1.Ю)

*=1 *

где = \\{Рпх +()пу +Нп

После вычисления и преобразования этих интегралов и после перехода к пределу при е —> 0 получаем тождество, из которого находим явное представление искомой функции и() ■

Доказательство разрешимости второй задачи отличается от первой лишь преобразованием некоторых интегралов в тождестве (1.10). Для нее так же получено представление решения в явном виде.

Из формул, дающих решение задач, видно, что искомая функция непрерывна всюду в области £2, за исключением, быть может, точки вырождения уравнения, то есть начала координат. В связи с этим, проведено детальное исследование поведения решения в окрестности этой точки. В результате оценки интегралов, фигурирующих в записи решения, выявлены условия, кторые нужно предъявить к граничным функциям, обеспечивающие непрерывность искомой функции в точке вырождения уравнения.

Теорема 1.1.

Пусть для граничных функций выполняются требования:

1) ^(х,^) е С(рх) и удовлетворяет условию:

тх(х,у) = хптх(х,у\ где /I > а, Т\(х,у) - непрерывная функция в имеющая непрерывные частные производные первого порядка и непрерывные смешанные производные второго порядка в ;

2) т1х{х,у)я г1уУеС(А)п1(А); г^ ес(Д);

3) т<1 (х, г) е С{т>2 ) и удовлетворяет условию:

т2(х,г) = 2Г2т2(х,г), где Y2~2.CC, Т2(х,г) - непрерывная функция в 02,имеющая непрерывные частные производные первого порядка и непрерывные смешанные производные второго порядка в /)2;

4) т2х{х,г) и г2г{х,2)еС(£>2)п1{Б2); т2]а еф2);

5) у{х,у) и уу{х,у) е С(рх) п Ь{рх) и у(х,у) либо ограничена в окрестности точки (О,О), либо может обращаться в этой точке в бесконечность по* рядка меньше единицы;

I 6) т2г(х,х)-т2х{х,х)+цу (*,*)=1/(л,д:), 0 < х < +оо.

V, Тогда функция м(х0,Уо>2о) Дает единственное решение поставленной за-

дачи (1.1)-(1.4).

Непрерывная зависимость решения от начальных данных доказывается обычными методами классической теории уравнений с частными производными математической физики. Основную роль при этом играет оценка интегралов, фигурирующих в записи решения, которая проводится так же, как и при исследовании поведения решения в окрестности начала координат.

Теорема 1.2.

Пусть граничные функции удовлетворяют условиям:

1) т(х,у) е С(Рх) и представима в виде:

т(х,у) = хгт(х,у),

где у > а, т(х,у) - непрерывная функция в Г\, имеющая непрерывные частные производные первого порядка и непрерывные смешанные производные второго порядка в ;

2) тх{х,у) и ту{х,у) е С(А)Ш(Д); г^ е С(А);

3) у^у) и У1у(х,у)е С(А)п£(Д);

4) у2(х,г) и ^ (х,2)еф2)гМ(п2),

5) У1(х,у) и У2(х,г) либо ограничены в окрестности точки (0,0), либо мог гут обращаться в этой точке в бесконечность порядка меньше единицы;

6) у1(х,х)+2у2(х,х)-тх(х,х)+2ту(х,х) = 0, 0<Х<-КО.

Тогда функция и(*о>.Уо>2о) дает единственное решение задачи (1.1), (1.5) -(1.7), которое непрерывно зависит от начальных данных.

Таким образом, симметрия уравнения (1.1) относительно х и у и метод Римана-Адамара позволили доказать корректность поставленных в этой главе двух задач.

Во второй главе рассмотрены две задачи, в которых искомая функция, наряду с обычными граничными условиями, удовлетворяет и интегральному условию. Задачи с интегральными условиями являются новым направлением в

современной теории дифференциальных уравнений в частных производных. Возникновение интегральных условий объясняется тем, что на практике часто бывает возможным измерение лишь некоторых усредненных (интегральных) характеристик искомой величины. Так, задачи с интегральными условиями могут служить математическими моделями физических явлений, связанных, например, с задачами, возникающими при изучении физики плазмы. A.A. Самарский приводит постановку задачи с интегральным условием для уравнения теплопроводности как пример одной из таких задач3. А.М.Нахушев указал примеры практического применения результатов исследования краевых задач с интегральными условиями при изучении процессов влагопереноса в пористых средах и в задачах математической биологии.

Пусть Н - область в трехмерном евклидовом пространстве, ограниченная частями плоскостей:

1) z = 0, 0<х<а, а>О, Oc^cjc;

2) z = а, 0<х<а, Осусс;

3) у = 0, 0<х<а, 0<z<a\

4) х = а, 0<у<а, 0<z<a;

5) у = х; 0<х<а, 0<z<a.

Плоскость z = x — у делит область Н на две области: Н~ при z < х — у и Н+ при z>x-y.

В областях Н и Н+ будем рассматривать уравнение:

L(u)*u--£--и = 0, ß>0. (2.1)

x+y+z '

Задача А.

В области Н~ требуется найти функцию и(x,y,z) со следующими свойствами:

1) u(x,y,z) е С(Н~); 2) iiy(x,y,z) е C(H~uG„),

и^ e С(Н~) и L(u>0 в Я"; 3) и(x,y,z) удовлетворяет граничным условиям:

u(x,0,z)=<p(x,z),(x,z)eGxz, (2.2)

lim uv(x,y,z)=(o(x,y),(x,y)eGxv (2.3)

z->x-y

и интегральному условию:

X-Z _

{ uz(x,y,z)(x~z—y) dy=y/(x,z), (x,z)gGxz, (2.4)

3 Самарский А.А. О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений. // Дифференциальные уравнения, 1980. Т. 16,-Минск, №11. С. 1925-1935.

* Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. - М.: Высшая школа, 1995. -301 с.

тпв^Ш: 0<£<а, 0<7<}. Задача В.

В области Н+ требуется найти функцию и(х,у,г) со следующими свойствами:

1) и(х,у,г)еС(Н+)\ 2) и^е^Н*) и Ци)ш0 в Я+;

3) и(х,у,г) удовлетворяет граничным условиям

и(х,у,а)-/(х,у), (х,у)еР1,

u(x,x,z)=g(x,z), (х,г)&Р2 и интегральному условию

а _

\иу(х,у,г)[г-(х-у)У~ х,у), (х,у)еР{,

х-у

где Рх = {( х,у ):Ъ<х<а,0<у <х}, Р2-\(х,г):0<х<а,0<г<а}.

Таким образом, в задаче А задаются значения искомой функции на характеристической части границы области и значения ее производной — на нехарак-

ду

теристической части границы. Кроме того, искомая функция удовлетворяет интегральному условию, которое представляет собой усреднение с весом произ-

„ Эм водной —. дг

В задаче В на характеристической и нехарактеристической частях границы области задаются значения искомой функции, а интегральное условие представляет собой усреднение с весом производной —.

ду

Для доказательства разрешимости первой задачи строится решение уравнения (2.1), зависящее от трех произвольных функций:

х-г х-г х-з

и(х,у,г)=с3(х,г)+ ¡с2(х,я)(!.<;+ \с1($,г)(х+$+1)(2.5) У У г

Функции с2 {х, и с3 (х, т) непосредственно определяются, исходя из граничных условий. А функция с^х.г) определяется как решение интегрального уравнения Вольтерра первого рода:

] сх(з,г{х2 + & = р(х,г), (2.6)

о

где р{х, г) = Ру/(х, г) - (р2 (х, г)(х-г)Р.

При доказательстве его разрешимости рассмотрены три случая: 0 < /3 < 1; (3 = п, гкеЫ; /3 = п + а, л = [/?], 0<ог<1.

В случае 0 < /? < 1 непосредственным дифференцированием уравнение (2.6) сводится к уравнению типа Абеля. Доказано следующее утверждение.

Теорема 2.1.

Пусть функции \¡/(x,z) и (р(x,z) удовлетворяют условиям;

1) y/(x,z), y/x(x,z) и i//xx(x,z)eC(Gxz), причем \¡/{z, z) = 0 и ц/х (z, z) s 0;

2) <p(x,z), <pz(x,z), <pX2(x,z) и (pxxz(x,z)^C(Gxz)-, (pz(x,z) и <pxz(x,z) удовлетворяют условиям:

(PzdzMZ-zf-fi^.z), где <pi(¿;,z) и (pi(%,z) - непрерывные функции. Тогда функция Су(x,z), определяемая формулой

cí(x>z)=r^X+¡[(x+z)2-^Yp^,z)d^

является непрерывным решением уравнения (2.6) и это решение единственно.

Таким образом, выразив Су(x,z), c2(x,y) и С3(х,z) через известные функции, получаем явное представление решения задачи. Итак, справедлива теорема.

Теорема 2.2.

Пусть для функций (p{x,z), 0)(х,у) и Ц/{х,у) выполняются требования:

1) для функций <p{x,z) и у/(х,у) вьгаолняются условия теоремы 2.1.;

2) со(х,у) и сох(х,у) непрерывны в G^ и интегрируемы по у при любом хе(0;а).

Тогда существует единственное решение задачи А. В случае /3 = п имеют место следующие утверждения. Теорема 2.3.

Пусть функции y/(x,z) и <р{х, z) удовлетворяют следующим условиям:

1) \¡/{x,z) непрерывна и имеет непрерывные производные по первому аргументу до (и + l)-ro порядка включительно в Gxz, причем сама функция y/(x,z) и ее производные по первому аргументу до и-го порядка

дк

включительно равны нулю при x — z, то есть ■—-гЦ/{х,z) = О,

дх

¿=0,1,2,..„л;

2) <p(x,z) и Cpz{x,z) непрерывны в Gxz, <PZ(z,z) = 0, (pz{x,z) имеет непрерывные производные по первому аргументу до (и + 1)-го порядка

включительно в Охг •

Тогда функция (.х, г), определяемая формулой

С1(х,2) = -^~^-[АПР(Х + 2,2)], (2.7)

2 и! дх1 J

является непрерывным решением интегрального уравнения

] сх(8,2^х2-(з+2)г\<к=р(х,2) о

и это решение единственно.

Единственность решения интегрального уравнения следует из однозначности всех преобразований, выполненных при получении формулы (2.7).

Теорема 2.4.

Пусть функции (¡>{х,г), &)(х, у) и у/(х, г) удовлетворяют условиям:

1) в)(х, г) и 0)х(х,2) непрерьшны в йху и интегрируемы по у при любом х<=(0 ;а)\

2) 1//(х, г) и (р{х, г) подчиняются требованиям теоремы 2.3.

Тогда существует единственное решение задачи А в случае, когда Р-П, П€.Ы.

Случай Р = п + а, п = [/?], 0 < а < 1 является обобщением первых двух случаев. Результатом исследования этого случая являются две теоремы.

Для доказательства разрешимости задачи В воспользуемся решением уравнения (2.1) следующего вида:

г т х

и(х,у,г)=с3(х,у)+ ]с2(х,8)(Ь+ |

х-у х-у у

Так же, как и в первой задаче, произвольные функции с2 {х, г) и С3 (х, у) определяются непосредственно, исходя из граничных условий, а функция (у,2) находится как решение интегрального уравнения Вольтерра первого рода с параметром:

\с\( уя^+ур-х2^ (к=м/( х,у),

х-у

где х,у)=Р-к( х,у)-/у( х,у)( а+у-х/.

При доказательстве его разрешимости опять рассматриваются три случая: О < <1; /3 = п, ие N и р = п + а, и = [/?], 0 < а <1. Так же, как при решении задачи А, в каждом из трех случаев доказаны однозначная разрешимость интегрального уравнения и получены представления решения задачи в явном виде.

В заключение приношу глубокую благодарность научному руководителю, заслуженному деятелю науки РФ, доктору физико-математических наук, профессору Виктору Филипповичу Волкодавову за постоянное внимание к моей работе и помощь в ее выполнении.

По теме диссертации опубликованы следующие работы.

1. Энбом Е.А. Смешанная задача для одного дифференциального уравнения третьего порядка с вырождением в одной точке. // Труды третьей международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". -Саранск.: Изд-во «Красный октябрь», 1998. -С.241.

2. Энбом Е.А. Аналог задачи Гурса для одного вырождающегося уравнения третьего порядка. // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды восьмой межвузовской конференции. Самара, 29-31 мая, 1998. Ч.З. Секция «Дифференциальные уравнения и краевые задачи». - Самара.: Изд-во СамГТУ, 1998. -С.105-107.

3. Энбом Е.А. Смешанная задача для одного модельного уравнения третьего порядка и ее применения. // Доклады 52-ой научной конференции СамГПУ. Сборник трудов.- Самара, 1998. -С.133-136.

4. Энбом Е.А. Об одном интегральном уравнении Вольтерра первого рода и его применении к решению задачи с интегральным условием./ Е.А.Энбом, В.Ф.Волкодавов // Доклады 54-й научной конференции СГПУ. 4.1. - Самара.: СГПУ, 2000. -С.30-35.

5. Энбом Е.А. Формула обращения для одного интегрального уравнения Вольтерра первого рода и ее применение к решению задачи для вырождающегося уравнения третьего порядка. // Доклады 54-ой научной конференции СГПУ. 4.1. - Самара, 2000. -С.103-108.

6. Энбом Е.А. Об одной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения третьего порядка. // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды одиннадцатой межвузовской конференции. Самара, 29-31 мая, 2001. Ч.З. Секция «Дифференциальные уравнения и краевые задачи». - Самара.: Изд-во СамГТУ, 2001. -С.136-140.

7. Энбом Е.А. Задача Д2 для одного уравнения третьего порядка. // Научные доклады ежегодной межвузовской 55-ой научной конференции СамГПУ.-Самара, 2001. -С.74-80.

8. Энбом Е.А. Задача Коши для вырождающегося уравнения третьего порядка. // Научные доклады ежегодной межвузовской 55-ой научной конференции СамГПУ.- Самара, 2001. -С.80-87.

9. Энбом Е.А. Аналог задачи Коши для уравнения третьего порядка. // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды тринадцатой межвузовской конференции, Самара, 29-31 мая 2003. Ч.З. Секция «Дифференциальные уравнения и краевые задачи». Самара. :Изд-во СамГТУ, 2003. -С.171-173.

10. Энбом Е.А. Неклассическая задача для вырождающегося гиперболического уравнения третьего порядка./ Энбом Е.А., Волкодавов В.Ф. // Известия вузов. Математика. -Казань, 2003. -Деп. в ВИНИТИ 23.07.2003. №1445-В2003.

11. Энбом Е.А. Задача с интегральным условием для вырождающегося гиперболического уравнения третьего порядка. //Труды международной научной конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами, Душанбе, 25-28 октября 2003 г. Душанбе.:Изд-во «Нодир», 2003. -С. 174-177.

Подписано в печать 24.10.2003. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать оперативная. Объем 0,75 печ. л. Тираж 100 экз. Заказ 760.

Отпечатано в типографии ООО «ОФОРТ» 443068, г. Самара, ул. Межевая, 7.

Тел.: 79-08-22, 35-37-01. Лицензия ПД 7-0050 от 30.08.2000 г

Р 17 60 4

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВАI

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ

УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА.

1.1 Первый аналог задачи Коши.

1.1.1 Постановка задачи.

1.1.2 Построение функции Римана-Адамара.

1.1.3 Реализация метода Римана-Адамара.

1.1.4 Исследование решения задачи.

1.2 Второй аналог задачи Коши.

1.2.1 Постановка задачи.

1.2.2 Доказательство существования и единственности решения задачи

ГЛАВА II

ЗАДАЧИ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА.

2.1 Задача А.

2.1.1 Постановка задачи.

2.1.2 Построение решения уравнения, содержащего три произвольные функции.

2.1.3 Доказательство существования решения задачи.

2.1.4 Решение интегрального уравнения (2.10) и доказательство существования и единственности решения задачи в случае

0</?<1.

2.1.5 Решение интегрального уравнения (2.10) и доказательство существования и единственности решения задачи в случае fl=n, neN.

2.1.6 Решение интегрального уравнения (2.10)и доказательство существования и единственности решения задачи в случае J3=n+a, neN, 0<а<1.

2.2 Задача В.

2.2.1 Постановка задачи.

2.2.2 Доказательство существования решения задачи.

2.2.3 Решение интегрального уравнения (2.59) и доказательство существования и единственности решения задачи в случае

0<£<1.

2.2.4 Решение интегрального уравнения (2.59) и доказательство > существования и единственности решения задачи в случае j3=n,n&N.

2.2.5 Решение интегрального уравнения (2.59) и доказательство существования и единственности решения задачи в случае J3=n+a, neN, 0<а<1.

В современной теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования вырождающихся гиперболических и эллиптических уравнений, а также уравнений смешанного типа. Повышенный интерес к этому классу уравнений объясняется как большой теоретической значимостью полученных результатов, так и их многочисленными приложениями в газовой динамике, гидродинамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхности, в безмоментной теории оболочек, в различных разделах механики сплошных сред, акустике, в теории электронного рассеяния и многих других областях знаний. Развитие современной науки и техники показало, что вырождающиеся уравнения являются хорошей моделью реальных физических и биологических процессов. А это обусловило актуальность постановки и решения для них различных краевых задач, которые в настоящее время являются предметом фундаментальных исследований многих математиков.

Значительные результаты исследований дифференциальных уравнений рассматриваемого вида после основополагающих работ Ф.Трикоми [83] и С.Геллерстедта [21] были изложены в известных монографиях А.В.Бицадзе [10] и М.М.Смирнова [79].

Благодаря усилиям отечественных и зарубежных математиков, теория эллиптических и гиперболических уравнений, вырождающихся либо на некотором множестве точек внутри рассматриваемой области, либо на ее границе, особенно интенсивно развивалась в последние 40 лет. В их работах рассматривались проблемы разрешимости известных классических краевых задач, а также ставились и исследовались новые краевые задачи для таких уравнений.

Существенный вклад в развитие данной теории внесли болгарские математики Г.Д.Каратопраклиев [44], [45], П.Р.Попиванов [60] и другие; представители математических школ ближнего зарубежья: Т.Ш.Кальменов [43], С.Л.Алдашев [3], [4]; Н.Р.Раджабов [66], [67]; Ар.Базарбеков [7],

С.С.Харибегашвилли [88], [89]; Т.Д.Джураев [28], О.М.Джохадзе [26], [27] и другие. Большая заслуга в развитии теории краевых задач для вырождающихся уравнений принадлежит отечественным математикам С.П.Пулькину [62], [63];

A.М.Нахушеву [53], [54]; А.В.Бицадзе [9], [10]; В.И.Жегалову [33], [35];

B.Ф.Волкодавову [14], [17]; В.Н.Врагову [20]; К.Б.Сабитову [72], [73]; О.А.Репину [68]; Е.А.Зарубину [38], [39]; В.В.Азовскому [1]; В.А.Носову [56]; А.М.Ежову [30], [31]; В.Н.Гребенщикову [24]; А.А.Андрееву [5] и их ученикам.

Если до недавнего времени в основном изучались краевые задачи для дифференциальных уравнений второго порядка, то затем выяснилось, что важную роль в изучении различных процессов и явлений действительного мира играют уравнения третьего и более высоких порядков [90]. За последние полтора десятилетия внимание многих ученых привлекли исследования гиперболических уравнений третьего порядка, ими были разработаны некоторые методы решения таких задач: метод Римана, метод Римана-Адамара, метод общих и специальных решений и другие.

В 1990 году В.И.Жегалов в работе [34] ввел понятие функции Римана для уравнения

L(u) = иф + aUxy + buyz + cuxz + dux + euy + fuz + gu = 0 (1) с достаточно гладкими коэффициентами, доказал факт ее существования и с ее помощью методом Римана решил задачу Гурса. Эта работа явилась отправным моментом для дальнейших исследований гиперболических уравнений третьего порядка. В последующие годы математики Казанской школы В.И.Жегалов [36], А.Н.Миронов [51], [52], В.А.Севастьянов [76], [77], Е.А.Уткина [85] и другие продолжали исследования дифференциальных уравнений третьего и более высоких порядков. В 2001 году вышла монография В.И.Жегалова и А.Н.Миронова [57], в которой излагается новый вариант классического метода Римана, на основе которого решаются как уже известные, так и новые граничные задачи.

С 1991 года теория гиперболических уравнений третьего порядка в трехмерном евклидовом пространстве начала интенсивно развиваться в работах профессора В.Ф.Волкодавова [19] и его учеников: В.Н.Захарова [40], [41], И.Н.Родионовой [70], Н.Я.Николаева [48], О.К.Быстровой [12] и других. Ими была построена функция Римана для некоторых частных случаев уравнения (1) как с непрерывными, так и с сингулярными коэффициентами, был обоснован метод Римана-Адамара и, кроме того, использовались и другие методы решения краевых задач. Математиками Самарской школы велась разработка теории краевых задач для дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами, которые по сути дела, представляют собой особый класс вырождающихся уравнений. Исследования в этом направлении были представлены работами А.В.Дорофеева [29], получившего методом Римана решение задачи Коши-Гурса для уравнения н----(fiuxz + auyz)= 0, а,(3> 0,

1J X+y+Z *

A.Т.Валиахметова [13], рассмотревшего ряд краевых задач для уравнения а п uxyz + , иху ~ ^' x + y + z

B.Ф.Волкодавова и А.П.Бочкарева [15], получивших решение задачи Дарбу для уравнения а п

Id- V117 1 W tiy x + y + z ух методом Римана-Адамара, В.И.Гребенщикова [25] и другими.

Несмотря на значительное количество серьезных результатов, полученных математиками по данной тематике, теория краевых задач для вырождающихся гиперболических уравнений третьего порядка в трехмерном пространстве требует дальнейшей разработки. Поэтому рассмотрение частных случаев таких уравнений является также необходимым элементом построения теории и представляет определенный интерес.

В первой главе данной диссертационной работы исследованы две задачи для уравнения

L(U)~uxvz+ uXz+uvz)=Q> 0 <2а <1,

2) каждую из которых можно считать аналогом задачи Коши. В первой задаче на одной нехарактеристической части границы области задаются значения искомой функции и ее нормальной производной, а на другой нехарактеристической части границы - значения искомой функции. Во второй задаче на одной части границы области так же задаются значения искомой функции и ее нормальной производной, а на другой части - значения нормальной производной.

Для решения обеих задач применен метод Римана-Адамара. Так как функция Римана для уравнения (2) известна [16], то, используя симметрию этого уравнения относительно плоскости у = X, функцию Римана-Адамара удалось записать в явном виде. Идея построения функции Римана-Адамара заимствована из работы С.П.Пулькина [62], в которой автором для уравнения второго порядка построено специальное решение (функция Римана-Адамара) с учетом симметрии рассматриваемого уравнения.

В результате реализации метода Римана-Адамара получены явные представления решений этих задач и проведено их исследование. Уравнение (2) вырождается в одной граничной точке области, в которой ищется решение, - начале координат, поэтому детально исследовано поведение решения в окрестности этой точки. Получены оценки всех интегралов, фигурирующих в представлении решения, которые при определенных требованиях, предъявленных к граничным функциями, обеспечили непрерывность решения задачи в точке вырождения уравнения.

Теория неклассических краевых задач развивается около шестидесяти последних лет и занимает одно из ведущих мест в современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Первые ее результаты были получены Ф.Трикоми [84], Ф.И.Франклем [87] и нашли применение в газо

II вой динамике. Современное естествознание, в основном физические приложения, потребовали дальнейшего развития неклассических краевых задач и, в первую очередь, задач с нелокальными условиями. Особенный интерес представляет новое направление в теории краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных - это так называемые задачи с интегральными условиями, которым и посвящена вторая глава диссертации. Возникновение интегральных условий объясняется тем, что на практике часто бывает возможным измерение лишь некоторых усредненных (интегральных) характеристик искомой величины. Так, задачи с интегральными условиями могут служить математическими моделями физических явлений, связанных, например, с задачами, возникающими при изучении физики плазмы. А.А. Самарский приводит постановку задачи с интегральным условием для уравнения теплопроводности как пример одной из таких задач [75]. В последствии Л.С.Пулькина [64] получила явный вид решения этой задачи. А.М.Нахушев [55] указал примеры практического применения результатов исследования краевых задач с интегральными условиями при изучении процессов влагопереноса в пористых средах и в задачах математической биологии. В этих работах изучены задачи с интегральными условиями для параболических уравнений. Для гиперболического уравнения такие задачи исследовались в работах Л.С.Пулькиной [65], ее учеников и других.

В излагаемой теории развития неклассических краевых задач преобладают уравнения второго порядка. Такие задачи для уравнений более высокого порядка остаются малоисследованными вплоть до настоящего времени. После первых работ по этой тематике проходит значительный промежуток времени до возобновления интереса к неклассическим задачам для уравнений с частными производными порядка выше второго.

В работах Самарской школы дифференциальных уравнений также рассматривались неклассические краевые задачи для уравнений второго и более высоких порядков (В.В.Азовский [2], А.А.Андреев [6], О.А.Репин [69] и другие). За последние годы появились работы, посвященные исследованию краевых задач с локальными и интегральными условиями для уравнений третьего порядка. В частности, задачи с интегральными условиями для уравнений гиперболического типа изучались И.Н.Родионовой [71], В.Г.Палюткиным [57], Н.Д.Голубевой [22], Л.А.Игнаткиной [42] и другими.

Во второй главе данной диссертационной работы исследованы две задачи для уравнения

L{u)^u--^-и = 0,£>0 (3)

X + у + 2 в ограниченных областях.

В задаче А задаются значения искомой функции на характеристической ди части границы области и значения ее производной — на нехарактеристической части границы. Кроме того, искомая функция удовлетворяет интегральноди му условию, которое представляет собой усреднение с весом производной —. dz

В задаче В на характеристической и нехарактеристической частях границы области задаются значения искомой функции, а интегральное условие предам ставляет собой усреднение с весом производной —.

Для доказательства разрешимости этих задач используется решение уравнения (3), зависящее от трех произвольных функций. Эти произвольные функции определяются затем, исходя из граничных и интегральных условий. При этом одна из произвольных функций определяется как решение интегрального уравнения Вольтерра первого рода.

При решении задачи А произвольная функция находится из инте грального уравнения

J c^s,*)!*2 -(s + z)2^ds = p{x,z), P> 0, 0 p{x, z) выражается через известные функции, z выступает в качестве параметра.

При решении задачи В произвольная функция q (y,z) находится из интегрального уравнения

J Ci(y,s)(s + y)2ds = w(x,y), 0>O,

X-y где w(x, у) - известная функция.

Получены формулы обращения этих уравнений для случаев: 1) 0 < /3 < 1; 2) J3 = п, п е N; Ъ) 0 = п +а, 0<а<1.

Благодаря этому решения задач А и В удалось получить в явном виде.

В диссертационной работе автором на защиту выносятся следующие результаты:

1) Постановка двух задач в бесконечной области специального вида для уравнения, вырождающегося в одной граничной точке области, которые представляют собой аналог задачи Коши.

2) Построение функции Римана-Адамара и доказательство существования и единственности решения этих задач методом Римана-Адамара.

3) Постановка задач с новыми интегральными условиями.

4) Доказательство разрешимости интегральных уравнений Вольтерра первого рода с параметром, которые возникают в процессе решения этих задач и получение явных представлений искомых функций при различных значениях параметра уравнения.

Примененные в диссертации методы решения краевых задач могут быть использованы для дальнейших исследований более общих гиперболических уравнений.

По теме диссертации опубликованы работы с [91] по [101] библиографии.

Результаты диссертации докладывались на семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством доктора физико-математических наук профессора В.Ф.Волкодавова при Самарском государственном педагогическом университете в 1997-2002г.г.; на третьей международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" в Саранске в 1998г.; на межвузовских конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи" в Самарском государственном техническом университете в 1998, 2001 и 2003гг.; на 52-ой, 54-ой и 55-ой научных конференциях СГПУ в 1998, 2000 и 2001гг.; на семинаре по уравнениям математической физики под руководством доктора физико-математических наук, профессора О.П.Филатова при Самарском государственном университете в 2001г.; на семинаре по дифференциальным уравнениям и теории управления под руководством доктора физико-математических наук, профессора Е.Л.Тонкова при Удмуртском государственном университете в 2001г.; на международной научной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения с сингулярными коэффициентами» в Душанбе в 2003 г. и на семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.И.Жегалова в 2003г.

В заключение приношу глубокую благодарность научному руководителю, заслуженному деятелю науки РФ, доктору физико-математических наук, профессору Виктору Филипповичу Волкодавову за постоянное внимание к моей работе и помощь в ее выполнении.

1. Азовский В.В. О решениях одного уравнения третьего порядка. // Дифференциальные уравнения. Сборник трудов математических кафедр пединститутов РСФСР. - Рязань, 1977. Вып. 10. С. 11-13.

2. Азовский В.В. Некоторые краевые задачи для уравнения третьего порядка. // Дифференциальные уравнения. Межвузовский сборник научных трудов. -Самара, 1995. С. 33-36.

3. Алдашев С.А. Некоторые задачи для многомерного интегро-дифференциального гиперболического уравнения. // Украинский математический журнал, 2000. 52. №5. С.590-596.

4. Андреев А.А. Задача Коши для некоторых вырождающихся гиперболических систем второго и четвертого порядков. // Дифференциальные и интегральные уравнения. Межвуз. сб. науч. трудов. -Куйбышев. КГПИ, 1987. С.46-57.

5. Андреев А.А. Нелокальные краевые задачи для одной модельной вырождающейся системы гиперболического типа. // Краевые задачи для уравнений математической физики, сб. трудов. -Куйбышев. Издательство Куйб. педаг. института, 1990. С.3-6.

6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Наука, 1965. - 296 с.

7. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных.—М.: Наука, 1981. -448с.

8. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. -М. :Наука, 1982. -336с.

9. Бицадзе А.В. Нахушев A.M. К теории вырождающихся гиперболических уравнений в многомерных областях. ДАН СССР. Т.204. №6, 1972. С. 12891291.

10. Волкодавов В.Ф., Захаров В.Н. Таблицы функций Римана и Римана-Адамара для некоторых дифференциальных уравнений в n-мерных евклидовых пространствах. Самара, 1994. - 31 с.

11. Волкодавов В.Ф., Николаев Н.Я. Решение краевых задач для уравнения Эйлера-Дарбу в специальных классах // Труды семинара по дифференциальным уравнениям. Куйбышев, 1977. С.32-39.

12. Волкодавов В.Ф., Николаев Н.Я., Быстрова O.K., Захаров В.Н. Функции Римана для некоторых дифференциальных уравнений в n-мерном евклидовом пространстве и их применение.- Самара. :Самарский университет, 1995. -16с.

13. Волкодавов В.Ф., Родионова И.Н. Основные краевые задачи для одного уравнения третьего порядка в трехмерной области специального вида. // Дифференциальные уравнения, 1993. Т. 29.-Минск, № 8. С. 1459-1461.

14. Врагов В.Н. О задачах Дарбу и Гурса для одного класса гиперболических уравнений // Дифференциальные уравнения, 1972. -Минск. Т.8. №1. С.7-16.

15. Геллерстедт С. (Gellerstedt S.) Sur un probleme aux limites pour une equation lineaire aux derivees partielles du second ordre de type mixte // Jhes, Uppsala,1935.

16. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произве-* дений. М.: Физматлит, 1963. - 1100 с.

17. Гребенщиков В.И. Решение задачи Коши для одного пространственного уравнения гиперболического типа. // Дифференциальные уравнения. Сборник трудов математических кафедр пединститутов РСФСР. Рязань, 1978. Вып. 12. С. 36-44.

18. Джохадзе О.М. Задача типа Дарбу для уравнения третьего порядка с доминирующими младшими членами. // Дифференциальные уравнения, 1996. Т.32. -Минск, №4. С.523-535.

19. Джохадзе О.М. Задача типа Дарбу в двугранном угле для одного класса уравнений третьего порядка. // Известия ВУЗов. Математика. -Казань, 2003. №5.

20. Джураев Т.Д., Сопуев А.С., Мамажанов М. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа.- Ташкент. Фан, 1986. -220с.

21. Ежов A.M. К вопросу о корректной постановке задачи Коши для уравнения третьего порядка. // Дифференциальные уравнения, 1994. Т.30. Минск, №3. С.526-528.

22. Ежов A.M. Решение задачи Коши-Гурса для одного уравнения третьего порядка. // Дифференциальные уравнения. Межвузовский сборник научных трудов. Самара, 1995. С.8-12.

23. Ежов A.M. Трехмерный аналог задачи Коши-Гурса. // IV международная научная конференция им. акад. М. Кравчука. Киев, 1995. С. 103.

24. Жегалов В.И. Об одном классе дифференциальных уравнений высшего порядка. // Труды семинара по краевым задачам. -Казань.: КГУ, 1970. Вып.7. С.129-134.

25. Жегалов В.И. Трехмерный аналог задачи Гурса. // Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа. -Новосибирск. ИМ СО АН СССР, 1990. С.94-98.

26. Жегалов В.И. Представление решений одного уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами. // Мат. моделирование и краевыезадачи. Труды шестой межвузовской конференции. -Самара, 1996. С.34.

27. Жегалов В.И., Миронов А.Н. Трехмерные характеристические задачи с нормальными производными в граничных условиях. // Дифференциальные уравнения, Т.36. -Минск, 2000. №6. С.833-836.

28. Жегалов В.И., Миронов А.Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. -Казань. :Казанское математическое общество, 2001.-226с.т

29. Зарубин Е.А. О задаче Дарбу для дифференциально-разностного гиперболического уравнения. // Материалы VI международной научной конференции им. акад. М.Кравчука. -Киев, 1997. С. 170.

30. Зарубин Е.А. Краевая задача для дифференциально-разностного уравнения параболо-гиперболического типа третьего порядка. // Известия Самарской государственной экономической академии. -Самара, 1999. №2.

31. Захаров В.Н. Некоторые достаточные признаки построения функций Рима-It на в евклидовых пространствах. // Дифференциальные уравнения. Межвузовский сборник научных трудов. Самара, 1995. С. 12-15.

32. Захаров В.Н. Краевая задача с интегральными условиями и условиями сопряжения на нехарактеристической плоскости. // Крайов1 задач1 дифференц. р1внянь, 2001. №7. С.75-81.

33. Игнаткина JI.A. Задача с интегральными условиями для одного неоднороден- ного уравнения гиперболического типа. // Доклады 51-ой научной конференции СГПУ. Ч. 1. Самара, 1997. С. 47-51.

34. Кальменов Т.Ш. Критерий единственности решения задачи Дарбу для одного вырождающегося гиперболического уравнения. // Дифференциальные уравнения, 1971. Т.7. -Минск. №1. С.178-181.

35. Каратопраклиев Г.Д. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа в многомерных областях. ДАН СССР, 1969. Т. 188. №6. С. 1223-1226.

36. Каратопраклиев Г.Д. Об уравнениях смешанного типа и вырождающихся гиперболических уравнениях в многомерных областях. // Дифференциальные уравнения, Т.VIII. -Минск.: Наука и техника, 1972. С.55-67.

37. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. М.: Физматгиз, 1962. - 767 с.

38. Краснов M.JI. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1975. - 304 с.

39. Крикунов Ю.М. Лекции по уравнениям математической физики и интегральным уравнениям.-Казань. :Казанский ун-т, 1970. -209с.

40. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. -281 с.

41. Миронов А.Н. О построении функции Римана для одного уравнения в п-мерном пространстве. // Изв. Вузов. Математика, 1999. №7. С.78-80.

42. Миронов А.Н. О связи граничных значений задачи Гурса с нормальными производными третьего порядка. // Изв. Вузов. Математика, 1999. №10. С.23-26.

43. Нахушев A.M. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения.// ДАН СССР, 1969. Т.187. №4. С.736-739.

44. Нахушев A.M. К теории краевых задач для вырождающихся гиперболических уравнений. // Сообщения АН Груз.ССР, 1975. Т.77. №3. С.545-548.

45. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995.-301 с.

46. Носов В.А. Задача Коши и вторая задача Коши-Гурса для одного уравнения гиперболического типа. // Волжский матем. сборник. Куйбышев, 1968. Вып. 6. С, 198-203.

47. Палюткин В.Г. О единственности решения граничной задачи с интегральным условием для дифференциального уравнения в полосе. // Украинский математический журнал, 1984. Т. 36, № 6. С. 786-791.

48. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961. - 400 с.

49. Положий Г.Н. Уравнения математической физики. М.:Высшая школа, 1964. -560 с.

50. Поливанов П.Р. (Popivanov P.R.) Локальная разрешимость для некоторых классов линейных и нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. Renol. semin. mat. Univ e Politeen. Torino, 1999. 57. №1. C.l 1-21. Англ.

51. Привалов И.И. Интегральные уравнения. М.: Гостехиздат, 1937. -247 с.

52. Пулькин С.П. Некоторые краевые задачи для уравненияихх ± Uyy + ~их = 0. // Уч. зап. Куйбышевского пед. ин-та, 1958. Вып. 21. С.3-54.

53. Пулькин С.П. О единственности решения сингулярной задачи Геллерстед-та. // Известия вузов. Математика. -Казань, 1960. №6(19). С.214-225.

54. Пулькина Л.С. Об одной нелокальной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения. // Математические заметки, 1992. Т. 51, № 3. С. 9196.

55. Пулькина Л.С. О разрешимости в Z,2 нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения. // Дифференциальные уравнения. 2000. Т.36. -Минск, №2.

56. Раджабов Н.Р. Общие представления решений для одного класса дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями. -Душанбе. :Тадж.гос.ун-т, 1980. 4.1, 126с.; 1981, 4.2, 170с.; 1982, Ч.З, 170с.

57. Репин О.А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. Монография. Саратов. :Изд-во Саратовского университета, 1992. -161с.

58. Репин О.А. Нелокальная краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения. // Докл. АН (Россия), 1994. Т. 335, № 3. С. 295296.

59. Родионова И.Н. Задача Дарбу для одного трехмерного аналога уравнения Эйлера-Дарбу. // Доклады 51 -ой научной конференции СГПУ, посвященной 90-летию со дня рождения профессора С.П. Пулькина. Самара.: СамГПУ, 1997. С. 76-81.

60. Родионова И.Н. Об одном интегральном уравнении Вольтера первого рода, зависящем от параметра. // Доклады 54-ой научной конференции СГПУ. 4.1. -Самара, 2000. С.81-83.

61. Сабитов К.Б. О решении одной проблемы в теории задачи Франкля для уравнений смешанного типа. //Докл. АН (Россия), 1991. Т.317. №5. С. 1048-1052.

62. Салахитдинов М.С., Уринов А.К. О двух краевых задачах со смещением для вырождающегося гиперболического уравнения. // Дифференциальные уравнения и их приложение к механике. -Ташкент, 1985. С.3-14.

63. Самарский А.А. О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений. // Дифференциальные уравнения, 1980. Т. 16.- Минск, №11. С. 1925-1935.

64. Севастьянов В.А. Метод Римана для трехмерного гиперболического уравнения третьего порядка. // Изв. Вузов. Математика. -Казань, 1997. №5. С.69-73.

65. Севастьянов В.А. Об одном случае задачи Коши. // Дифференциальные уравнения. 1998. Т.34. -Минск, №12. С. 1706-1707.

66. Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. М. :Наука, 1964. -206с.

67. Смирнов М.М. Вырождающиеся гиперболические и эллиптические уравнения. М.: Наука, 1966. - 292с.

68. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1970. - 296 с.

69. Соболев C.JI. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1966. 444 с.

70. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1981.

71. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. -M.-JI, 1947. -213с.

72. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных.- М.: ИЛ, 1957.- 443 с.

73. Уткина Е.А. Об одном уравнении в частных производных четвертого порядка. / Ред. журн. «Дифференциальные уравнения». -Минск, 1999. -Деп. в ВИНИТИ 28.06.99. №2059-В99. 13с.

74. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. М.: Наука, 1969. - 800 с.

75. Франкль Ф.И. Два газодинамических приложения краевой задачи Лавренть-ева-Бицадзе. // Вестн. ЛГУ. Сер. матем. мех. и астр. 6.11.1951. С.3-7.

76. Харибегашвили С.С. О задачах типа Гурса для одного класса систем уравнений гиперболического типа второго порядка. // Дифференциальные уравнения, 1982. Т.18. -Минск. №1. С.152-166.

77. Харибегашвили С.С. Об одной граничной задаче для гиперболического уравнения второго порядка. // Докл. РАН, 1985. Т.280. №6. С.1313-1316.

78. Энбом Е.А. Смешанная задача для одного дифференциального уравнения третьего порядка с вырождением в одной точке. // Труды третьей международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". -Саранск.: Изд-во «Красный октябрь», 1998. С. 241.

79. Энбом Е.А. Смешанная задача для одного модельного уравнения третьего порядка и ее применения. // Доклады 52-ой научной конференции СамГПУ. Сборник трудов.-Самара, 1998. С. 133-136.

80. Волкодавов В.Ф., Энбом Е.А. Об одном интегральном уравнении Вольтерра первого рода и его применении к решению задачи с интегральным условием. // Доклады 54-й научной конференции СГПУ. 4.1. Самара.: СГПУ,2000. С. 30-35.

81. Энбом Е.А. Формула обращения для одного интегрального уравнения Вольтерра первого рода и ее применение к решению задачи для вырождающегося уравнения третьего порядка. // Доклады 54-ой научной конференции СГПУ. 4.1. Самара, 2000. С. 103-108.

82. Энбом Е.А. Задача Д2 для одного уравнения третьего порядка. // Научныедоклады ежегодной межвузовской 55-ой научной конференции СамГПУ.-Самара, 2001. С.74-80.

83. Энбом Е.А. Задача Коши для вырождающегося уравнения третьего порядка. // Научные доклады ежегодной межвузовской 55-ой научной конференции СамГПУ.- Самара, 2001. С.80-87.

84. Волкодавов В.Ф., Энбом Е.А. Неклассическая задача для вырождающегося гиперболического уравнения третьего порядка. // Известия вузов. Математика. -Казань, 2003. Деп. в ВИНИТИ 23.07.2003. №1445-В2003.