Краевые задачи для некоторых вырождающихся дифференциальных уравнений третьего порядка с тремя независимыми переменными гиперболического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ6

- 3

Ой

сен да

Бушков Станислав Владимирович

На правах рукописи

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С ТРЕМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

01.01.02. - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Самара 1997

Работа выполнена в Самарском государственном педагогическом университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В.Ф. Волкодавов Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

. профессор Ф.Г. Мухлисов; кандидат физико-математических наук, доцент И.Н. Родионова Ведущая организация: Ульяновский государственный

технический университет

Защита диссертации состоится " 16 " сентября 1997 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета К 113.17.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02. (дифференциальные уравнения) при Самарском государственном педагогическом университете по адресу: 443090, г. Самара, ул. Антонова-Овсеенко, 26, ауд. 201.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного педагогического университета.

Автореферат разосланЯГ - СиО-Л^,_1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф. - м.н., доцент

В.А. Носов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Теория краевых задач для вырождающихся эавнений с частными производными занимает важное место в обо-ицении результатами теории дифференциальных уравнений в частных роизводных. Это объясняется ее многочисленными приложениями в 13овой динамике, теории оболочек, магнитной гидродинамике, а 1кже других областях науки и техники.

Основы этой теории заложены в хорошо известных работах Ф. Три-зми, С. Геллерстедта, Ф.И. Франкля, К.И. Бабенко и других ученых НГ, а также зарубежных математиков.

В последнее время получен ряд интересных результатов в теории эаевых задач для уравнений третьего порядка в трехмерном евклидо-)м пространстве. Отметим работы В.И. Жегалова, В.Ф. Волкодавова, .М. Ежова, И.Н. Родионовой, В.Н. Захарова, Н.Я. Николаева, .М. Салтуганова и других математиков. Заметим, что в трехмерном эостранстве возможен более широкий спектр краевых задач, что эиводит к постановке новых краевых задач и поиску методов обос-эвания существования и единственности их решения.

Исследованиям постановки и однозначной разрешимости краевых дач для уравнений третьего порядка гиперболического типа в трех-ерном евклидовом пространстве и посвящена настоящая работа.

Целью работы является обоснование существования и единствен-эсти решения краевых задач для некоторых вырождающихся на тоскости z + у - х = 0 гиперболических уравнений третьего порядка ограниченных областях трехмерного евклидова пространства.

Методы исследования. Основные результаты диссертационной 1боты получены с использованием классических методов решения [фференциальных, интегральных уравнений и аппарата специальных

функций. При доказательстве существования решения краевых зад использовались методы общих решений, теория интегральных уравь ний Абеля С. параметрами. При доказательстве единственности реп ния рассматриваемых в работе задач в тех случаях, когда она не а дует из самого способа построения решения, используется однозна ная разрешимость простейших функциональных, дифференциальн уравнений или обобщенного интегрального уравнения Абеля с пар метром.

Научная новизна. Для двух вырождающихся уравнений третье порядка решена задача Дарбу и для одного из них - задача А с зах

нием производных первого порядка и второго порядка с весом на г характеристической плоскости в ограниченных областях трехмернс евклидова пространства. Для двух уравнений третьего порядка в тре мерном пространстве решены три задачи с интегральными локальным условиями.

Практическая и теоретическая'ценность. Диссертационная рабе носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использова] для дальнейшей разработки теории краевых задач для уравнен третьего порядка с нехарактеристическим вырождением гиперС

лического типа в ограниченных областях пространства Я", л > 3.

Апробация работы. Основные результаты исследований доклад вались и обсуждались на областном семинаре «Дифференциальн уравнения» (Самара, 1994-1997), на научном семинаре кафедры вь шей математики ПИИРС (Самара, 1994-1997), на пятой и шестой I учных межвузовских конференциях «Математическое моделирование краевые задачи» (Самара, 1995-1996), на международном семина «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Самара, 1995), второй международной конференции «Дифференциальные уравнен

и их приложена» (Саранск, 1996), на Российской научно-технической конференции (Самара, 1997).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 7 печатных работ, четыре из которых в соавторстве с В.Ф. Волкодавовым. Все результаты получены автором самостоятельно.

Объем и структура диссертации. Работа изложена на 123 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав и библиографического списка, содержащего 55 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении дается краткий исторический обзор, показана актуальность темы исследований, излагается краткое содержание работы, сформулированы основные результаты, которые выносятся на защиту.

В первой главе рассматривается уравнение

(z + y-x)U + yU =0, 0 <у < 1. (1)

4 ' xyz yz

В пункте 1.1. обосновывается существование и единственность решения задачи Дарбу для уравнения (1) на множестве D - D \}D ,

где D - характеристическая пирамида, ограниченная плоскостями

у - 0, z = О, X = h, Z 4- у - х - 0; D - характеристическая пи-

h h h п рамида с плоскостями л* = —, у = —, z = —, z + у - х = и в

случае (- ï)r = 1 с данными

и[х,у, !) = <р,(х,у), | <x<h,jc-^<y<±, (2)

U(x,0,z) = (p2(x,z), 0 < х < h, 0 <z < х, U(h,y,z) = q>3(y,z), 0 < y < h, 0 < z < h-y, U(x,y,z)\ = r0(x,y),

где С, Д, - части плоскости г + у - х - 0 соответственно для областей Д, Д, и условиями сопряжения

' и(х,у,2)\^_у+0=и(х,у,г1__х_у_0, (3)

и^г + у-хГА = Vгу( х - у - г)'Л

Решение задачи Дарбу в области Д. имеет вид:

и(х,у,г) = <р,(х,у) + (р2(х,г)-

г х-г 11 I л

В области Д решение задачи Дарбу записывается в виде:

И и Ь

- если 0 < х < -, 0 < у < х; ^ < х < Л, < у <*---,) и

и (^<у<х), то

и(х,у,г) = т0(х,у)-д)2(х,х-у) + <р2(х,г)-

- если х < Ъ, х - < у < то решение задачи определяется

формулой (5). Результат обоснования существования и единственности

решения задачи Дарбу сформулирован в виде теоремы.

Пункт 1.2. посвящен исследованию задачи Л2 для уравнения (1)

на множестве Б, которое представляет собой прямую треугольную

Л И 11 _ Л

призму, ограниченную плоскостями х-—,у =—,у = х—-,г = 0, г = — ,

Л \ ^ ^

а плоскость вырождения г + у - х = 0 делит ее на две области Д. и Р, где Д вводилась в пункте 1.1.

Л ^ Л

-— < г <

2 2'

А Ь

— < у < 2 2'

Задача. На множестве Я найти решение уравнения (1), непрерыв-гое в 5, в случае (~1)г = -У, удовлетворяющее краевым условиям:

= уг,{х,2), | < -Г < Л,

и{х,у,0)=¥2(х,у), ^хйА,

условию (2) и условиям сопряжения (3), (4) и

и^ + у-хуЛ =-игу[х-у-2)-

Зопрос разрешимости задачи Л2 сводится к вопросу разрешимости )бобщенного интегрального уравнения Абеля, зависящего от параметра у. Следует отметить, что при обосновании существования и :динственности решения этой задачи широко был применён аппарат :пециальных функций. Основной результат сформулирован в теореме.

Вторая глава посвящается исследованию краевых задач с двумя ин-егральными и одним локальным условиями.

В пункте 2.1 решается задача Н, для уравнения

(х- у - г)11т - /I/ху = 0, 0 < у < 1 (6)

[а множестве С7, представляющем собой прямую четырёхугольную [ризму, ограниченную плоскостями х = 0, у - х, х = Ь, у = х - Л, г = 0, г = Л, которую на две области и делит плоскость вырождения г л- у - х = 0, с краевыми условиями

л

\и(х,у,г)ё7. = ср,(х,у), х-у

~\Ь( X, у, г )(к = <р2(х, у), о

и(х,у,г)\^ху = г (х,у) условиями сопряжения

и(х,у,г^гшх_^0 = и(х,у,г\гшх_у_0

^У\г=х-у+0 ^у\ г=х-у-0

1/„(г + у-х)г I =и„(х-у-г)Л

I г = х-у+0 ух\ ; / \г = х-у-0

Решение задачи Н, в области определяется формулой:

у

и(х,у,г) - т(х,х - г) + + +

х-г

1 (¡1-г)'~г + г1'?

х (Л + В - у + (I - $)' г а в области формулой:

• ...... "

(1-у) \ ] (г - 5 - г Г Л ёв.

и(х,у,г) = т(х,х-г) - + '

Существование и единственность решения задачи обосновываете с использованием формул решения видоизменённых задач Коши системы функциональных уравнений, полученной в ходе решения.

В пункте 2.2 решается задача Н2, постановка которой отличаете от постановки задачи Н, тем, что заменяется локальное условие, именно, задаётся условие

иу\ =со(х,у).

У\2=Х-у

Результат обоснования существования и единственности решен* задачи Н2 сформулирован в виде теоремы.

Пункт 2.3 посвящён постановке, обоснованию существования единственности решения задачи Н3 для уравнения

(х-у-г)ихуг + аиуг = 0, 0<а<1 (7)

на множестве (7, которое представляет собой прямую треугольную призму, ограниченную плоскостями у = 0, у = х, х = к, г -0, г = И, а плоскость вырождения г + у - х = 0 делит её на две области и С7_. Требуется найти решение задачи Н3, на множестве С, непрерывное в б1, в случае (-1)" = 1, с данными

иу7(г + у- х)а\_ =

у+г

\и (х, у, г)ёх = <р,(у,г),

у Л

\и(х,у,г)бх = <р2(У,г).

У + г

Непрерывные условия сопряжения задаются по функции, производной первого порядка по г и смешанной производной второго порядка по у, г с весом на плоскости вырождения.

Для краевых функций выполняются условия согласования КУ.Ю^ ё(у,0) = 0, где

Г (у, г) = '} ч>,х (х, х - у)дх /] (р2х (х,х- у)ёх +

У У

+ У\р1х-у (х,х- У)<*х +У)<Р2х-у (х,х- у)ёх + У У

+ (р2(у>°) - Ч>2<У + г,г)-<р1(у + г, г),

л л

^^ = ¡91 х-у (х,х- У)<& + \<р2х_у(х,х- у№ +

у+г у+г

Л Л

у+г у+г

+ (У + 2,г)-<р,(Ь,г) + + (р2(у + 2,г)- (р2(/;, г) - ср2(у, И - у).

Существование и единственность решения задачи обосновывается с использованием формул видоизменённых задач Коши, а также системы интегральных уравнений, полученной в ходе решения, и задач Коши для дифференциальных уравнений, полученных при доказательстве теоремы.

В третьей главе даётся постановка, обоснование существования и единственности решения задачи Дарбу для уравнения (7) на множестве G, которое было введено в пункте 2.3.

Пусть

D = {(х,у) 0 < у < х < h), А = {(х, z) 0 < х < z < h}, В = {( х ,z ) 0 < z < х < h}.

Требуется найти решение задачи Дарбу на множестве G, непрерывное в G, в случае (-1)а - 1 с данными

U(x,y,z)\2=x y = т(х,у), М(х,у) еД

U(x,0,z) = \}/(x,z), M(x,z) е А, U(x,0,z) = (p(x,z), M(x,z) g В.

Отличие постановки этой задачи Дарбу от задачи Дарбу из пункта 1.1 в том, что два краевых условия задаются здесь на одной плоскости у - 0, но одно из них в области G+, а другое — в G_, а множество G отличается от множества D из пункта 1.1. Третье краевое условие - на плоскости вырождения z = х-у. Условия сопряжения на плоскости вырождения задаются по производным первого порядка по z и смешанной производной второго порядка с весом.

Существование и единственность решения задачи Дарбу обосновывается с использованием формул решения вспомогательных задач для уравнения (7) в областях Gt и G., уравнения Абеля, полученного в ходе решения, и теоремы, доказанной В.Ф. Волкодавовым.

На защиту выносятся следующие основные результаты автора:

— доказательство существования и единственности решения задачи Дарбу для уравнения (1);

— доказательство существования и единственности решения за-;ачи Л2 для уравнения (1);

— обоснование существования и единственности решения задачи Ч2 для уравнения (6);

— постановка, обоснование существования и единственности ре-1ения задач H, H3 соответственно для уравнений (6), (7);

— постановка, обоснование существования и единственности ре-1ения задачи Дарбу для уравнения (7).

Пользуясь возможностью, выражаю искреннюю благодарность рофессору, В.Ф. Волкодавову за предложенную тематику исследова-ий, постоянное внимание к работе и ценные советы.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих ра-отах:

1. Волкодавов В.Ф., Бушков C.B. Две задачи для одного уравнения трёхмерном пространстве // Пятая научная межвузовская конферен-ия. "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара. 24-25 ая 1995г. -Самара, 1995.

2. Волкодавов В.Ф., Бушков C.B. Задача Л2аия одного дифферен-иального уравнения третьего порядка в трёхмерном евклидовом про-гранстве //Международный семинар. "Дифференциальные уравнения их приложения". Самара. 27-30 июня 1995г. -Самара, СамГУ, 1995, -37.

3. Волкодавов В.Ф., Бушков C.B. Краевая задача для одного выро-цающегося уравнения третьего порядка в трёхмерном евклидовом зостранстве // Труды шестой межвузовской конференции. "Матема-

тическое моделирование и краевые задачи". 29-31 мая 1996г. -Сама{ 1996. -с. 17-18.

4. Волкодавов В.Ф., Бушков C.B. Задача с интегральными и неш тегральными условиями для одного вырождающегося уравнения треты го порядка в трёхмерном евклидовом пространстве // П'ята М1жнар< дна наукова конференщя ¡меш академжа М. Кравчука. -Khîb, 16-: травня 1996р., Khîb -1996, -с.77.

5. Бушков C.B. Задача Дарбу для одного вырождающегося уравн ния третьего порядка с условиями сопряжения на плоскости вырожд ния // Дифференциальные уравнения и их приложения. Тезисы докл дов второй международной конференции "Дифференциальные уравн ния и их приложения". Саранск, сент. 1996г. -Саранск. Изд. Морд, гс ун-т. 1996г. - с. 130.

6. Бушков C.B. Задача Н3 для одного вырождающегося уравнеш третьего порядка в трёхмерном евклидовом пространстве // Доклад 51-ой научной конференции СГПУ, апрель, 1997. -Самара. 1997. -с.8-1:

7. Бушков C.B. Задача для уравнения третьего порядка с инт гральными и локальными условиями // Российская научно-технич екая конференция. Тезисы докладов. Март, 1997г. Самара: И; ПИИРС -Самара. 1997. -с.91.

В работах 1-4 соавтору Волкодавову В.Ф. принадлежит постанов задач.

Корректор Вяткина С.С.

Подписано в печать 16.07.97г. Формат 60x84/16 Оперативная печать. Усл.п.л. - 0,75 п.л. Уч.изд.-12л.

Тираж 100 экз. Заказ 59. Цена договорная

Ротапринт ПИИРС