О постановке корректных граничных задач для систем уравнений в частных производных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1 Задача Дирихле для вырождающихся многомерных систем уравнений второго порядка

1.1 Задача Дирихле в шаре.

1.2 Задача Дирихле в области {—оо{Х\) < хп < о;(Хх)}.

2 Первая краевая задача для вырождающейся системы двух уравнений

2.1 Краевая задача для системы с тремя параметрами.

2.2 Краевая задача для системы с четырьмя параметрами

3 Задача Коши для вырождающихся систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка

3.1 Задача с начальными условиями для гиперболической распадающейся системы.

3.2 Задача с начальными условиями для вырождающейся гиперболической системы второго порядка

Теория дифференциальных уравнений в частных производных имеет очень богатую историю.

Исследования в теории дифференциальных уравнений в частных производных идут в двух направлениях. Создается общая теория дифференциальных уравнений в частных производных, т. е. для общих уравнений и граничных условий изучаются вопросы существования решений, их единственности, устойчивости и т. д. В приложениях, когда получают какую либо математическую модель того или иного явления, то из общей теории можно узнать, оправдана ли она с математической точки зрения. С другой стороны, существуют много уравнений в частных производных, описывающих те или иные физические, биологические и другие явления (например, уравнение теплопроводности и диффузии, уравнение колебаний мембраны, упругого тела, звука, уравнения гидродинамики и газовой динамики,"уравнение Шредингера в квантовой механике и т. д.), решение которых надо изучать при различных граничных условиях, в том числе надо изучать различные качественные свойства этих решений.

Важным разделом теории уравнений в частных производных является теория краевых и начальной задач. В механике сплошных сред, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей вращения, безмоментной теории оболочек, кристаллооптике и т. д. встречаются многомерные системы дифференциальных уравнений в частных производных, которые могут менять тип и вырождаться. Вырождение системы может повлечь за собой нарушение корректности постановки классических краевых и начальных задач. В этом случае оказываются корректными задачи в видоизмененной постановке. Например, задаются начальные или граничные условия с весами; берется меньшее число начальных или граничных условий, чем в классических задачах; краевые условия задаются только на части границы области, в которой рассматривается задача. Поэтому исследование типа системы и правильная постановка задач для вырождающихся систем является одним из важнейших направлений в теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Значительный вклад в развитие теории вырождающихся систем дифференциальных уравнений в частных производных внесли И.Г. Петровский, М.И. Вишик, М.В. Келдыш, A.B. Бицадзе, А.Д. Джураев, А.И. Янушаускас, P.C. Сакс и др.

Многие свойства эллиптических и гиперболических уравнений обобщаются на системы уравнений в частных производных [2], [17], [31], [37].

В ограниченной области D п— мерного евклидова пространства рассмотрим дифференциальное уравнение ««m^ + t Ь,(х№ + с(Х)и = д{Х)

0.1)

1 дхгдх] дх5 где а#(Х) — непрерывные, а Ь^Х), с(Х) и д(Х)— ограниченные функции в замкнутой области I), X = (х\,., хп). Уравнение (0.1) называется эллиптическим в области если в этой области собственные значения матрицы Ц^-11 либо все положительны, либо все отрицательны [45].

0.1) называется вырождающимся эллиптическим уравнением в области Д если на всей границе Г области I) или на некоторой части этой границы хотя бы одно из собственных значений матрицы ||а^|| обращается в нуль; соответствующая часть границы называется поверхностью вырождения [45]. Вырождающиеся эллиптические уравнения встречаются при решении многих важных вопросов прикладного характера (теории малых изгибаний поверхностей вращения, безмоментной теории оболочек). Особо значительную роль играют такие уравнения в газовой динамике.

В 1937 году И.Г.Петровский выделил широкий класс систем уравнений с частными производными, которые теперь называют эллиптическими по Петровскому [37].

На решение этих систем обобщаются многие факты, справедливые для решений одного эллиптического уравнения [38], например, все достаточно гладкие решения таких систем аналитичны. Однако свойства разрешимости классических граничных задач для эллиптических по Петровскому систем существенно отличаются от случая одного уравнения.

В 1948 году А.В.Бицадзе построил пример эллиптической по Петровскому системы двух уравнений второго порядка, для которой нарушалась нетеровость задачи Дирихле [11]. Эту систему можно записать в виде одного комплексного уравнения, которое теперь называют уравнением Бицадзе [30] 0, и = и + гу, г = х + 1у.

В вещественной форме систему А.В.Бицадзе можно записать так

- Ди + (и, + ьу) = 0,

-Ау + 2-$-(их + ьу) = 0.

0.2)

Пример А.В.Бицадзе сильно стимулировал исследования по теории эллиптических систем уравнений в частных производных и показал, что такие системы необходимо более тонко классифицировать. Классические граничные задачи для эллиптических по Петровскому систем не всегда нетеровы, поэтому класс систем, для которых задача Дирихле корректна, должен характеризоваться некоторыми дополнительными ограничениями.

В 1951 году такие ограничения предложил М.И.Вишик [15]. Он добавил к условию эллиптичности по Петровскому требование сильной эллиптичности, т. ё. либо положительной, либо отрицательной определенности симметрической составляющей характеристической матрицы системы.

Сильно эллиптические системы в смысле разрешимости классических граничных задач ведут себя точно так же, как одно эллиптическое уравнение, то есть эти задачи всегда нетеровы. На третьем Всесоюзном математическом съезде, проходившем в 1956 году в Москве, была подчеркнута важность изучения не сильно эллиптических систем и сформулирована задача гомотопической классификации эллиптических по Петровскому систем [31].

В настоящее время достаточно полно разработана теория эллиптических по Петровскому систем уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными [10]. Интересные результаты в теории классических граничных задач для эллиптических уравнений второго порядка получены у Ж. Жиро [62] - [69], А.Д. Джураева [18], К. Миранда [31] и др. С помощью представления решений через произвольные голоморфные функции эти задачи редуцируются к краевым задачам теории функций комплексных переменных. В ряде работ граничные задачи для эллиптических систем на плоскости и в пространстве приводятся к регулярным и сингулярным уравнениям [19], [46]. Для систем уравнений с двумя независимыми переменными любого порядка построена гомотопическая классификация [52]. Уравнения и системы уравнений с двумя независимыми переменными изучены достаточно полно [10], [12], [14]. Гораздо сложнее обстоит дело с эллиптическими уравнениями и системами уравнений с многими независимыми переменными [55]. Корректность классических граничных задач для многомерных эллиптических систем даже с постоянными коэффициентами исследована еще очень мало; недостаточно разработана и гомотопическая классификация таких систем.

По аналогии с системой А.В.Бицадзе были построены примеры эллиптических по Петровскому систем второго порядка с тремя и четырьмя независимыми переменными, для которых нарушалась нетеровость задачи Дирихле [3], [55]. В многомерном случае краевая задача сводится к системе псевдодифференциальных или многомерных сингулярных уравнений. Я.Б.Лопатинский предложил общий метод сведения краевых задач к регулярным интегральным уравнениям и условия, при которых это сведение возможно [27].

Эллиптические по Петровскому системы уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами с двумя независимыми переменными А.В.Бицадзе разделил на два класса: сильно связанные и слабо связанные системы. Для слабо связанных систем задача Дирихле всегда нетерова, а для сильно связанных систем нетеровость задачи Дирихле и других классических граничных задач нарушается. Определение сильно связанной эллиптической системы уравнений с двумя независимыми переменными и с постоянными коэффициентами дается через структуру общего решения системы, причем оно не выражается явно через коэффициенты системы [12]. Это затрудняет обобщение понятия сильной связанности на многомерные системы. Поскольку для сильно связанных систем с двумя независимыми переменными всегда наблюдается нарушение нетеровости задачи Дирихле [47], то это свойство положено в основу обобщения понятия сильной связанности на многомерный случай.

Эллиптическую по Петровскому систему уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами будем называть сильно связанной, если существует полупространство, в котором задача Дирихле для этой системы не является нетеровой [48]. Нарушение нетеровости задачи Дирихле для данной системы заключается в том, что однородная задача имеет бесконечное множество линейно независимых решений, а для разрешимости неоднородной задачи необходимо наложить на данные задачи бесконечное множество условий типа условий ортогональности.

Среди многомерных систем хорошо изучена следующая [70] д п ди

-Аuj + \-,£/-r-1 = 0, j = l,,.,n.

OXj i=i OXi

0.3)

Эта система при Л < 1 сильно эллиптична, при Л > 1 эллиптична по Петровскому, а при Л == 2 и п = 2 приводится к системе А.В.Бицадзе. Поэтому ее естественно считать многомерным аналогом системы Бицадзе A.B. [57]. Установлено, что при Л ф 2 задача Дирихле для системы (0.3) в любом полупространстве разрешима для любых дифференцируемых граничных данных и ее решение всегда единственно. Если Л = 2, то однородная задача для системы (0.3) в полупространстве Н : {а\Х\ + •■. + схпхп > 0} имеет бесконечное множество линейно независимых решений [56]. Таким образом, система (0.3) при Л = 2 сильно связана, а при Л ф 2 не является таковой.

Для сильно связанных систем встречаются различные новые явления в характере разрешимости первой краевой задачи, не имеющие аналогов в случае одного уравнения второго порядка, например, эффект потери гладкости и усиление влияния младших членов на разрешимость граничных задач. В [58], например, исследован характер изменения сильно связанной системы в трехмерном пространстве при изменении параметров, задача Дирихле сведена к системе псевдодифференциальных уравнений на границе полупространства.

В теории многомерных эллиптических систем даже с постоянными коэффициентами имеется еще много неясных вопросов. Одним из них является вопрос о том, как влияет структура системы на корректность задачи Дирихле и как зависит разрешимость этой задачи от области, в которой рассматривается система. Так в работе [59] доказано, что для любой выпуклой области Б с гладкой границей Г задача Дирихле при Л ф 2 фредгольмова.

Эллиптические системы уравнений с постоянными коэффициентами можно разбить на классы, относя к одному классу такие системы,

1г = £•(*)> Лес1, ¿ = 1 для системы которые можно продеформировать друг в друга, непрерывно изменяя коэффициенты как параметры, или, чтобы ее главная часть распадалась на конечное число операторов Лапласа и операторов, фигурирующих в левой части системы (0.2), причем в процессе деформации система сохраняет эллиптичность. Отсюда следует, что любую сильно эллиптическую систему двух уравнений в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными можно непрерывно продеформировать в систему двух отдельных уравнений Лапласа. Системы, попадающие в один и тот же класс, гомотопны, поэтому такое разбиение принято называть гомотопической классификацией [60]. Если система с переменными коэффициентами эллиптична в некоторой области, то очевидно, что все системы с постоянными коэффициентами, которые получаются из данной системы фиксированием значений коэффициентов в некоторой точке, гомотопны друг другу.

Система с переменными коэффициентами, при фиксировании коэффициентов которой в некоторых двух различных точках области получаются негомотопные системы с постоянными коэффициентами, обязательно вырождается в этой области на некотором множестве, разбивающем область на части. Представляет интерес исследование влияния вырождения, сопровождающего изменение гомотопического класса, на характер разрешимости граничных задач.

Недавно построена классификация эллиптических систем уравнений в частных производных второго порядка с постоянными коэффициентами и симметричными характеристическими матрицами (известно, что все собственные числа таких матриц вещественны) [61]. Введена характеристика эллиптичности системы [61] р = | — /, I = пип(/,/+), где [|] — целая часть размерности пространства, деленной на два, количество отрицательных собственных чисел характеристической матрицы, /+— количество положительных собственных чисел. Доказано, что если две эллиптические системы имеют различные характеристики эллиптичности, то они принадлежат различным гомотопическим классам. Если все собственные числа матрицы имеют одинаковые знаки, то эта матрица положительно либо отрицательно определена, что соответствует сильно эллиптическим системам [15]. Следовательно, для сильно эллиптических систем число р равно [|] и является максимально возможным. При п = 2 число р может принимать только два значения 1 и 0. Значение р — 1 соответствует соответствует сильно эллиптическим системам. Представителем класса систем, для которых р — 0, является система А.В.Бицадзе (0.2). В п— мерном пространстве класс эллиптических систем п уравнений с п искомыми фунукциями с характеристикой эллиптичности р = 0 назван классом Бицадзе.

В [54] доказана фредгольмовость задачи Дирихле в ограниченной области с ляпуновской границей для многомерной эллиптической системы при Л ф 1, \ф1 г) п п . п

-Щ + ЕЕ ая(Х)р- + £ дхи=1к=1 дхк к=1

МХ), п д 71 ди

3 = 1,.,п, где = £ — £

1 ОХ{ к=1 ОХк для которой нарушается условие сильной эллиптичности.

В [71] методом эллиптической регуляризации доказаны существование и единственность решения м(Х) £ С2 (<2) ПС (Л) первой краевой задачи и(Х) = 0, х € Г для системы = Д ++=* с неотрицательной характеристической формой т > «(*Ж12 > 0 в в е Ят,£0 = {х : а(Х) = 0} Е е в

1,3=1

При анализе процессов, определяемых дифференциальным законом и начальным состоянием, математическим выражением которых являются уравнение и начальное условие обычно ставится задача Коши. От краевых задач задача Коши отличается тем, что область, в которой должно быть определено искомое решение, здесь заранее не указывается. Обычно условия Коши находятся из опыта и поэтому не могут быть найдены с абсолютной точностью. Но Адамар [26] показал, что как угодно малые ошибки в измерениях гг(0, а?) и и их производных по х до любого порядка могут повлеч за собой большие ошибки в определении функции х), удовлетворяющей уравнению Лапласа ии + и

XX

0.

Поэтому решение задачи Коши для уравнения Лапласа, если бы к этой задаче привели какие-нибудь физические рассмотрения, не представляло бы никакой практической ценности, если бы даже существовало такое решение. Для физики представляют интерес решения задачи Коши только для таких уравнений, для которых эта задача поставлена корректно. Петровский [40] доказал корректность постановки задачи Коши для волнового уравнения в пространстве при подходящем наклоне плоскости - носительницы начальных данных - и для линейных гиперболических систем уравнений с частными производными первого порядка по двум независимым переменным.

В теории дифференциальных уравнений с частными производными известен ряд задач, для которых отсутствует непрерывная зависимость решения задачи Коши от начальных данных задачи.

Впервые задачу Коши для вырождающегося гиперболического уравнения У с начальными данными Л дх2 ду2 0, (ш > 0)

0) = т(х), ди(х,0) ^^ а<х<Ь

0.4) решил Г.Дарбу. Он рассмотрел задачу Коши в области Ю для уравнения О^и З^и ди ди гиперболического типа в полуплоскости у > 0, с параболическим вырождением вдоль прямой у — 0, где

Цх,у)> 0, К(у)> 0 при у> 0 и К(0) = 0,

Ю - область, расположенная вдоль полуплоскости у > 0 и ограниченная отрезком АВ оси Ох и характеристиками АС и СВ. И.С. Березин [9] рассмотрел задачу Коши для уравнения (0.5), когда К (у) = ут(т > 0) (случай т = 1, /&(#, у) = 1 был рассмотрен Ф.И. Франклем и К.И. Бабенко [53], [4]). Он доказал, что при т < 2 решение существует, единственно и непрерывно зависит от начальных функций, т. е. задача Коши поставлена корректно. Результаты И.С. Березина были обобщены Р. Конти [72] для нелинейного уравнения д^и д2и УтЦх,у)—2 - = /(я,У,щих,Пу).

М. Проттер показал [49], что задача Коши для уравнения (0.5) поставлена корректно, если коэффициент а(х, у) удовлетворяет условию

0.6) lim^M = 0.

Условие (0.6) не является необходимым для корректности задачи Коши с начальными данными на линии пароболического вырождения. Г. Хельвич [73] показал, если m = 2, то задача Коши корректна при |а(ж,0)| < 2. С.А.Терсенев [50] и Чи-Линь-ю показали, что если коэффициенты а, 6, с и свободный член f(x,y) уравнения У т д2и д2и ди ди дх2 ду2 + y)di + + = (0,7) а также начальные данные т(х) и пи(х) достаточно гладкие, то задача Коши для уравнения (0.7) с начальными данными (0.4) имеет единственное решение при условии, что у1 ™а(х,у) = 0(1).

Для уравнения

2u д2и У m ду2 дх2 + + + =

0.8) задача Коши с начальными данными (0.6) поставлена корректно, если 0 < m < 1. В случае 1 < m < 2, когда обычная задача Коши с начальными данными на линии параболического вырождения может оказаться неразрешимой, естественно исследовать эту задачу с видоизмененными начальными данными [13] ди

Yim<p(x,y)u(x,y) = r(x), lim ф(х,у)—= v(x), где lim (р(х, у) = 0, lim у) = 0.

Изучению этой задачи посвящен ряд работ С.А. Терсенева [49], [50] М.М. Смирнова [44] и В.Н. Николенко, И.Х. Хайрулина [36].

С.А. Терсенев [49] исследовал задачу Коши для систем дифференциальных уравнений гиперболического типа, вырождающихся при у = 0. Им доказана единственность и существование решения задачи Коши с начальными данными на линии вырождения.

К.И. Карапетян [22] рассмотрел задачу Коши для уравнения гиперболического типа д2и » д2и » ди ди £+ а°т+ си = ^

ОТ гк=1 ОХ {ОХ к г-2 С/Хг С/С

С начальными данными на плоскости £ = 0, на котором наименьшее собственное значение р(х,{) матрицы ||аг^|(, положительное при t > 0, обращается в нуль. При условии р(х, > сЬт{т > 0) и при некоторых предположениях гладкости коэффициентов и их поведения при £ = 0, доказано, что при т < 2 задача Коши поставлена корректно. Если же га = 2, то задача Коши корректна при некоторых дополнительных условиях на коэффициенты при первых производных.

Ф.Т. Барановский [5] рассмотрел задачу Коши для уравнения гиперболического типа .д2и » д2и " ди с начальными данными на плоскости £ = 0, на которой функции (р{1) положительная при £ > 0, обращается в нуль. При условии < <р{{) < С2*т, 0 <с1<с2< оо, 0 < т < 1, доказано, что задача Коши поставлена корректно. В [6] он рассмотрел задачу для этого уравнения, где п ай(ж, > 7 53 & > 7 = со»«*,

1 г=1 вырождающегося при £ = 0. При условии < <р< 0 < т < 1, доказаны существование и единственность обобщенного решения смешанной задачи.

Смешанную задачу при краевом условии первого рода для уравнения - Е — (а' —1 I Е Ъ ди | Ъди 1 си- /

1>к=1 дХг V г дХк) г=1 гдХ{ & ' п п

Е > Е С»?> 7 = а™«*»

1 г=1 вырождающегося при £ = 0, рассмотрел Краснов [23].

Различным случаям вырождения посвящены и еще многие работы. Одним из примеров системы гиперболического типа, для которой можно поставить задачу Коши, является система дифференциальных уравнений Максвелла, описывающая электромагнитное поле в вакууме, а также процессы кристалооптики.

Общее уравнение Максвелла, связывающее между собой магнитный вектор электрический вектор электрическое смещение Т> и магнитное смещение В имеет вид тоШ = \ £>, ю%д = 1С В, где точка обозначает дифференцирование по времени I, а с - скорость света. При этом (/Н = В, где /х - магнитная приницаемость, которую мы считаем постоянной, а между компонентами щ электрического вектора <7 и электрическим смещением Т> существует зависимость где £ь £2?£з три диэлектрические постоянные по трем направлениям осей координат. Исключая из этих уравнений вектор % и вводя константы сгг- = мы получаем для электрического вектора три линейных дифференциальных уравнения агщ = Ащ - ^МьО, сг2й2 = Д«2 - щймЯ, <тзщ = Дмз -В качестве системы дифференциальных уравнений с четырьмя независимыми переменными также можно рассмотреть систему уравнений Максвелла, полагая скорость света с — 1. Тогда уравнения Максвелла имеют следующий вид: дг -™ьн = о, + ^ а = О, где сНу£/= 0, (ИуН= 0 (эти добавочные условия имеют место в момент ^ = 0). Курант [26] рассмотрел для этой системы задачу Коши, принимая за начальное многообразие плоскость 1 = 0 и задавая начальные значения векторов С? и Н, он доказал, что если обращаются в нуль начальные зна-чания векторов 0 и И, то эти векторы обращаются в нуль тождественно.

Настоящая работа посвящена дальнейшему развитию методов исследования решений и постановке корректных задач для вырождающихся систем дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Прежде всего следует отметить, что в работе понятие корректности постановки задачи отличается от определения корректности, введенной Ж. Адамаром. Предполагается, что задача для уравнений в частных производных в рассматриваемой области поставлена корректно, если решение задачи существует и единственно в этой области. В отличие от определения Адамара, вопрос об устойчивости решения к малым изменениям исходных данных при такой постановке не рассматривается.

Диссертационная работа состоит из введения и трех глав.

Основные результаты работы заключаются в следующем

Изучены многомерные вырождающиеся во всем пространстве системы специального вида с одним или несколькими параметрами. Доказано, что в большинстве рассмотренных случаев тип системы зависит от коэффициентов при производных низшего порядка.

Предложены новые постановки задач для вырождающихся эллиптических и гиперболических систем дифферениальных уравнений в частных производных второго порядка.

Показано влияние младших членов систем на характер разрешимости поставленных задач. Доказаны теоремы существования и единственности этих задач в различных областях.

Заключение

1. Абдрахманов Ю.Т. Задача Дирихле для многомерной эллиптической системы с переменными коэффициентами //Дифференц. уравнения. - 1989. - Т. 25, N 3.- 0. 517 - 520.

2. Агранович М.С., Вишик М.И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида // Успехи мат. наук. -1964. Вып. 19, N 3. - С. 53 - 161.

3. Антохин Ю.Т. О некоторых некорректных задачах теории потенциала // Дифференц. уравнения. 1966. - Т. 2, N 4. - С. 525 - 532.

4. Бабенко К.И. К теории уравнений смешанного типа // Докт. дисс. (Биб. Матем. Института АН СССР) 1952.

5. Барановский Ф.Т. Смешанная задача для линейного гиперболического уравнения второго порядка, вырождающегося на начальной плоскости // Уч. зап. Ленинградского пед. ин-та. 1958. - Т. 183. - С. 23 - 58.

6. Барановский Ф.Т. Задача Коши для линейного гиперболического уравнения второго порядка, вырождающегося на начальной плоскости // Уч. зап. Ленинградского пед. ин-та. 1958. - Т. 166. - С. 227 - 253.

7. Барановский Ф.Т. Задача Коши для уравнения типа Эйлера Пуассона - Дарбу и вырождающегося гиперболического уравнения // Изв. высш. уч. завед., Математика. - 1960. - Т. 6(19). - С. 11 - 23.

8. Березин А.Ю. Задача с наклонной производной для одной эллиптической системы // Исследования по многомерным эллиптическим системам уравнений в частных производных. Новосибирск: ИМ СО АН СССР. 1986. - С. 13 - 19.

9. Березин А.Ю. О задаче Коши для линейного уравнения второго порядка с начальными данными на линии пар аб о личности / / Матем. сб. 1949. - Т. 24(66). - С. 301 - 320.

10. Бицадзе A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966. - 204 с.

11. Бицадзе A.B. Об единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными // Успехи матем. наук. 1948. Т. 3, N 6. - С. 211 - 212.

12. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. - 262 с.

13. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа. Изд-во АН СССР. 1959.

14. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз. - 1959. - 628 с.

15. Вишик М.И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений // Матем. сборник. 1951. - Т. 29, N 3. - С. 615-676.

16. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, - 1976. - 528 с.

17. Гельфанд И.М., Петровский И.Г., Шилов Г.Е. Теория систем дифференциальных уравнений с частными производными.// Труды третьего Всесоюзного математического съезда. М.: изд. АН СССР. 1958.-Т. 3.-С. 65 - 72.

18. Золотарева Е.В. Необходимое и достаточное условие фредголъмо-вости задачи Дирихле для некоторого класса эллиптических систем // Докл. АН СССР. 1962. - Т. 145, N 4. - С. 724 - 726.

19. Ильин A.M. О задаче Дирихле для уравнения эллиптического типа, вырождающегося на некотором множестве внутренних точек I/ ДАН СССР. 1955. - Т. 102, N 1. - С. 9 - 12.

20. Ильин A.M. Вырождающиеся эллиптические и параболические уравнения // Научн. докл. высш. шк., серия физ.-матем. наук. -1958. Т. 1, 2. - С. 48 - 53.

21. Карапетян К.И. О задаче коши для уравнения гиперболического типа, вырождающегося на начальной плоскости // ДАН СССР. -1956. Т. 106, N 6. - С. 963 - 966.

22. Краснов M.JI. Смешанная краевая задача и задача Коши для вырождающихся гиперболических уравнений // ДАН СССР. 1956. -Т. 107, N 6. - С. 789 - 792.

23. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области ДАН СССР. 1951. - Т. 77, N 22. - С. 181 - 183.

24. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука. - 1968. - 432 с.

25. Курант Р., Уравнения с частными производными. М.: Мир. -1964. - 830 с.

26. Лопатинский Я.Б. Об одном способе приведения граничных задач для систем дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям // Укр. матем. ж. 1953. -Т. 5, N 2. - С. 123 - 151.

27. Лопатинский Я.Б. Теория общих граничных задач. Избр. тр. -Киев: Наукова думка. - 1984. - 316 с.

28. Масленникова В.Н. Дифференциальные уравнения в частных производных. Уч. - М.: Изд-во РУ ДН. - 1997. - 447 с.

29. Математическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 1977. - Т. 1: Бицадзе уравнение. - С. 449.

30. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: Иностр. лит. - 1957. - 256 с.

31. Мусаев М. К теории краевых задач для вырождающихся эллиптических систем // Дифференд. уравнения. 1985. - Т. 21, N 5. -С. 906 - 908.

32. Мусаев М. Видоизмененная задача Дирихле для эллиптической системы, меняющей гомотопический вид // Доклады Акад. наук Тадж. ССР. 1985. - Т. 28, N3.-0. 136 - 139.

33. Мусаев М. Видоизмененная задача Дирихле для вырождающихся на границе эллиптических систем // Доклады Акад. наук Тадж. ССР. 1986. - Т. 29, N4.-0. 193 - 196.

34. Мусаев М. К задаче Дирихле для вырождающейся на границе эллиптической системы уравнений второго порядка // Дифференц. уравнения. 1992. - Т. 28, N 8.- 0. 1463 - 1465.

35. Николаенко В.Н., Хайруллин И.Х. Об одной задаче для уравнения гиперболического типа // Казань. Сб. функц. анализа и теории функций. - 1963. - N 1. - С. 72 - 82.

36. Петровский И.Г. О системах дифференциальных уравнений, все решения которых аналитичны // Докл. АН СССР. 1937. Т. 17, N 7. - С. 339 - 342.

37. Петровский И.Г. О некоторых проблемах теории уравнений с частными производными // Успехи матем. наук. 1946. Т. 1, вып. 3-4 (13-14).-С. 44 - 70.

38. Петровский И.Г. Об аналитичности решений системы дифференциальных уравнений // Избранные труды. Системы уравнений с частными производными. Алгебраическая геометрия. М.: Наука, 1986. - С. 174 - 253.

39. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными.- М.: Изд-во технико-теоретической литературы. 1953. - 360 с.

40. Сакс P.C. О краевых задачах для системы rotu + Au = 0 // Дифф. уравнения. 1972. - Т. 8, N 1. - С. 126 - 133.

41. Сакс P.C. Краевые задачи для обобщенно эллиптических систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения с частными производными.: Тр. семин. C.JI. Соболева, N 2, Ин-т ма-тем. СО АН СССР. - Новосибирск. - 1981. - С. 86 - 108.

42. Сакс P.C. К задаче о наклонной производной // Сообщ. АН ГССР.- 1971. Т. 63, N 2. - С. 282 - 288.

43. Смирнов М.М. Задача Коши для вырождающихся гиперболических уравнений второго порядка // Вестник Ленингр. ун-та. 1960. -Т. 3, N 13. - С. 50 - 58.

44. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения.- М.: Наука, 1966. 292 с.

45. Товмасян Н.Е. Задача Дирихле для эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка // Докл. АН СССР. -1964. Т. 159, N 5. - С. 995 - 998.

46. Товмасян Н.Е. Общая краевая задача для эллиптических систем второго порядка с постоянными коэффициентами // Дифференц. уравнения. 1966. - Т. 2, N 1. - С. 3 - 23; N 2. - С. 163-171.

47. Тренева Т.В. Многомерный аналог системы А.В.Бицадзе. // Аналитические методы в теории эллиптических уравнений. Новосибирск: Наука СО, 1982, - С. 56 - 58.

48. Терсенев С.А. К теории гиперболических уравнений с данными на линии вырождения типа // Сиб. мат. журнал. 1961. - Т. 2, N 6. - С. 913 - 935.

49. Терсенев С.А. О задаче с данными на линии вырождения для систем уравнений гиперболического типа // ДАН СССР. 1964. - Т. 155, N 2. - С. 285 -288.

50. Терсенев С.А. К теории уравнений эллиптического типа, вырождающихся на границе области // Сиб. мат. журнал. 1965. - Т. 6, N5.-0. 1120 - 1143.

51. Фролов П.С. О компонентах связности вещественных эллиптических систем на плоскости // Докл. АН С С С Р. 1968. - Т. 181, N 6.- 0. 1350 - 1353.

52. Франкль Ф.И. О задаче Коши для уравнений смешанного эллиптическо-гиперболического типа с начальными данными на переходной линии // Изв. АН СССР, серия матем. 1944. - Т. 8, N 5. - С. 195 - 224.

53. Халилов Ш.Б. О разрешимости задачи Дирихле для многомерных эллиптических систем // Дифференц. уравнения. 1990. - Т. 26, N 9.- 0. 1621 - 1626.

54. Янушаускас А.И. Задача о наклонной производной теории потенциала. Новосибирск: Наука СО, 1985. - 262 с.

55. Янушаускас А.И. О многомерном аналоге системы А.В.Бицадзе // Докл. АН СССР. 1978. - Т. 238, N 4. - С. 816 - 819.

56. Янушаускас А.И. К теории многомерных эллиптических систем // Сиб. матем. ж. 1980. -Т. 21, N 2. - С. 224 - 231.

57. Янушаускас А.И. О не сильно эллиптических системах уравнений с частными производными второго порядка // Дифференц. уравнения. 1986. - Т. 22, N 11. - С. 1984 - 1990.

58. Янушаускас А.И. О фредголъмовости задачи Дирихле для эллиптической по Петровскому системы уравнений в частных производных второго порядка // Докл. РАН. 1996. - Т. 346, N 2. - С. 165 - 167.

59. Янушаускас А.И. Многомерные эллиптические системы с переменными коэффициентами. Вильнюс: Мокслас, 1990. - 180 с.

60. Янушаускас А.И. Граничные задачи для эллиптических уравнений в частных производных и интегро дифференциальные уравнения. - Из-во Иркутского университета. - 1997. - 168 с.

61. Giraud G. Sur le problème de Dirichlet généralisé, équations nonlinéaires invariables // Ann. Ecole norm, supér. 1926. - Vol. 43. -P. 1 - 128.

62. Giraud G. Sur les équations du type elliptique et méthode des approximations successives // Journ. de mathémat. 1929. - Vol. 8.- P. 269 300.

63. Giraud G. Sur le problème de Dirichlet généralisé (deuxième memoire) // Ann. École norm, supér. 1929. - Vol. 46. - P. 131 - 245.

64. Giraud G. Sur les équations aux dérivées partielles du type élliptique // Bullet, des Sciences mathém. 1929. - Vol. 53. - P. 367 - 395.

65. Giraud G. Sur différentes questions relatives aux équations du typelliptique // Ann. l'Ecole norm, supér. 1930. - Vol. 47. - P. 197 -266.

66. Giraud G. Sur quelques problèmes de Dirichlet et de Neumann // Journ. de mathémat. pures et appl. 1932. - Vol. 11. - P. 389 - 416.

67. Giraud G. Sur certaines equations de Fredholm à noyau mon borné // Bullet, des Sciences mathém. 1933. - Vol. 57. - P. 390 - 401.

68. Giraud G. Équations à integrales principales d'ordre quelconque // Ann.scient, de l'Ecole norm, supér. 1936. - Vol. 53. - P. 1 - 40.

69. E. et F. Cosserat Sur les equations de la théorie de l'élasticité // Comptes Rendus des seances de l'Acad. d. Sciences Française. Paris.- 1898. T. 196. - C. 1089 - 1091.

70. Rutkauskas S. On the first boundary value problem for a system of elliptic equations with nonnegative characteristic form. // Lithuania, Vilnius: Institute of mathematics and informatics. 1994. - Preprint N 17. - 19 p.

71. Conti R. Sur problema di Cauchy per l'equazioni di typo misto ykzxx — xkzyy = 0 // Ann. Scuóla norm. Sup. Pisa, Sei. tis. mat. 1950. - ser. 3,2 - P. 105 - 130.

72. Protter M.H. The Cauchy problem for a hyperbolic second order order equation with data on the parabolic line // Ganad. J. Math. 1954. -6,4. - P. 542 - 553.

73. Лукьянова E.А.Влияние младших членов на характер разрешимости задачи Дирихле для вырождающейся системы уравнений в частных производных // Краевые задачи. Сб. научн. тр. Иркутск, Иркутский университет. - 1997. - С. 164 - 168.

74. Лукьянова Е.А. Видоизмененная задача Дирихле для вырожденой системы // Понтрягинские чтения IX. Тезисы докладов. - Воронеж, ВГУ, 1998. - С. 129.

75. Лукьянова Е.А. О системах уравнений в частных производных с тождественно равным нулю характеристическим определителем // Тр. XI международной Байкальской школы семинара методы оптимизации и их приложения. - ИСЭ СО РАН. - 1998.- С. 123 -127.

76. Лукьянова Е.А., Сергиенко Л.С. Исследование постановки корректных граничных задач для: вырожденных систем // Тр. XI международной Байкальской школы семинара методы оптимизации и их приложения. - ИСЭ СО РАН. - 1998.- С. 127 - 131.

77. Лукьянова Е.А. Видоизмененная задача Дирихле для вырожденной системы // Матем. моделирование и краевые задачи. Тр. восьмой межвузовской конференции, часть 3. Самара. - 1998. - С. 69 - 72.

78. Лукьянова Е.А. О граничных задачах для вырожденной системы уравнений в частных производных //Ф^^мен/па*6кршела&ис?^лю^^иатуо ( Л/Н, - 4999.- С. ш-ГсЯ.

79. Лукьянова Е.А. Задача Коши для гиперболической системы //1./7! У- /999. а.