Корректные граничные задачи на плоскости и в двугранных углах для уравнений и систем уравнений в частных производных произвольного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

В в е д е н и е

Г л а в а I. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ В ДВУГРАННОИ ОБЛАСТИ ДЛЯ

УРАВНЕНИИ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ , РАЗРЕШЕН -НЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО СТАРШЕЙ ПРОИЗВОДНОЙ

§1.Задача типа Коши для строго регулярного уравнения

§2.Задача Коши для строго регулярного уравнения в классе ограниченных функций

§3.Задача типа Коши для регулярного уравнения

§4.Общая граничная задача

§5.Разрешимость неоднородного уравнения

§6.Примеры

Г л а в а II. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ В ДВУГРАННОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ СИСТШ УРАВНЕНИЙ,РАЗРЕШЕННЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО СТАРШЕЙ ПРОИЗВОДНОЙ

§1.Граничная задача для строго регулярной системы

§2.Граничная задача для регулярной системы

§3.Разрешимость системы уравнений со свободным членом

§4 .Примеры

Глава III» ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ В ДВУГРАННОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ

УРАВНЕНИЙ И СИСТШ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ , НЕ РАЗРЕШЕННЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО СТАРШЕЙ ПРОИЗВОДНОЙ

§1.Задача типа Коши для одного уравнения

§2,Разрешимость уравнения с правой частью

§3.Граничная задача для систем,число корней характеристического уравнения которых не зависит от .С.

§4.Граничная задача для систем,число корней характерис

Глава 1У.ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ТИПА РИМАНА - ГИЛЬБЕРТА

ДЛЯ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

§1«Граничные задачи для нерегулярных уравнений.Случай

§2.Граничные задачи для нерегулярных систем.Случай \-о

§3.Граничные задачи для нерегулярных уравнений и систем.

Случай Г = О.

§4»Примеры

Глава У . ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ В ПОЛУПЛОСКОСТИ И ПОЛОСЕ

ДЛЯ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТ -НЫХ ПРОИЗВОДНЫХ В КЛАССАХ ЗЕМАНЯНА

§1.Граничные задачи в полуплоскости для уравнений в частных производных

§2.Задача Дирихле в полосе для гиперболического уравнения

§3.Граничные задачи в полуплоскости для систем уравнений в частных производных

§4.Задача Дирихле в полосе для строго гиперболической системы

§5»Примеры тического уравнения которых зависит от $

§5.Разрешимость системы с правой частью

§6.Примеры

- 5 на решение уравнения (I) ,здесь £(х) - заданная функция.Условие корректности задачи (I) , (2) ,то есть условие того,что она однозначно разрешима и решение непрерывно зависит от начальных условий в некотором классе функций конечной гладкости, записывается в виде: 3 ^^К для которого при Ке А > У ? 1¿Я ; [18] .В монографии же [17] исследуется задача Коши (2) для уравнения (I) типа Коши-Ковалевской

Критерий корректности имеет вид (условие Адамара) такие,что

3 с,р где' Я- ) - корень полинома Д (1, А)

Гординг [19] доказал эквивалентность условия (3) неравен

- • (4)

Отметим,что в работах [17] , [18] зависимость поведения решения от i при { -> + ^ в определение класса искомого решения не входит,а учитывается лишь его свойства на фиксированном,но произвольном отрезке [О^Т] .В работах же [I]- [13] это поведение учтено,что вносит существенное отличие от пред шествующих исследований. ¡в)

Пусть Н - гильбертово пространство с метрикой [I] а Н ~ Н .Через обозначим прообраз Фурье пространства Н .Очевидно ¿У - совокупность всех квадратично интегрируемых функций -((><1 > • • ) »определенных во

К ГУ, и их обобщенных производных.

Рассмотрим уравнение (I) .считая,что решения его разыски

- 6 ваются в классе функций Ц(х,+) »которые при каждом принадлежат классу ,так же как и все производные д ^ .Корни характеристического уравнения с учетом их кратностей обозначим через , • • ^ Л (О

Нумерация их при каждом' £ устанавливается с тем,чтобы л </ п

Обозначим через /} множество точек К »для которых

Очевидно ^ • А . Эти множества рассматриваются с точностью до множеств меры 0 .Следующая теорема доказана в [I] ,стр.

Основная теорема. Пусть на каждом из множеств А задана функция .продолжаемая на все пространство Я"1 до функции из пространства Н .Утверждается,что уравнение (I) имеет решение Ц(х/1) ,у которого преобразование Фурье фунсовпадает на множестве А* с функцией 4 - 1) * • V ^ .Это решение 1л(у, (-) при каждом принадлежит пространству и при + возрастает в Н не быстрее некоторой степени Ь вместе со всеми производными по { до порядка П .Оно единственно в классе всех решений уравнения (I) »принадлежащих »возрастающих в

Н при вместе с производными по { до порядка

И не быстрее степени £ и удовлетворяющих тем же начальным уеловиям,кроме того,оно непрерывно зависит в топологии ОУ от заданных функций ¥(() ,если эти функции меняются непрерывно в топологии пространства Н

- 7

Отметим,что в случае,когда корни ; -. >, удовлетворяют условию мы имеем Д - ~ й - К и корректная для уравнения (I) задача состоит в задании условий (2) ,то есть задачи Коши. Предположим,что корни - -А^ ) удовлетворяют следующему условию

КеЯ,«К< • • ^ )*о , ¡еГ, (8)

0< ЯеЛ, 11еАп(0, (9)

Г-н ^, ^ '

Тогда = = А~Я } А-Ф и согласно основной теореме корректной является задача ^ , ¿ = - (Ю) су "с </

Уравнения вида (I) ,удовлетворяющие условиям (8), (9) исследовались авторами [I] ,[9] - [18] в различных классах функций (обобщенных функций) .Отметим,что уравнение (I) в этом случае называется строго регулярным с показателем регулярности 7 Отметим также,что нарушение условия (9) хотя бы в одной точке приводит к существенным осложнениям,особенно при исследовании вопроса существования решения.Этот случай подробно исследован в работах Товмасяна Н.Ео [2] - [в] как в классах обобщенных функций,так и в классах функций полиномиального роста :

14$ Ь(*.«I * 1^0,1,-. (и) р и 7 зависят только от У(^)

Глава I диссертации состоит из 6 параграфов и посвящена изучению граничных задач в двугранной области % * Ж< Для уравнения (I) как в строго регулярном случае,так и в просто регулярном случае (условие (9) может нарушаться лишь в

- 8 конечном числе точек) .Приведем основные результаты.

Через обозначим число корней характеристического

•гг * уравнения (5) ,принадлежащих углу 77* .Если т - постоянна в К ,то уравнение (I) называем строго регулярным, если же за исключением конечного числа точек,то уравнение (1) назовем просто регулярным.

Через IЩ обозначим класс функций .аналитических по { и удовлетворяющих оценкам (II),если

ТЛОбО— УС*) ,то соответствующий класс обозначаем через Л^" Если в (II)зафиксировать число £ ,то соответствующие классы обозначим через и л/^

В §1 исследуется следующая задача типа Коши.

Задача Л1 . Требуется найти решение 1\ £ Л! уравнения (I) »удовлетворяющее граничным условиям 4 = (12)

- заданные функции.

Доказана

Теорема 1.1 . Задача имеет и притом единственное решение для V ; ' * V .Если функция ^¿Л/^

• м-О,то решение задачи /¡1 принадлежит классу Л^

В §2 исследуется задача Коши для строго регулярного уравнения в классе ограниченных функций.Заметим при этом,что при исследовании задачи Ш из

§1 существенно используется свойство класса Л^ {М^ ) заключающееся в том,что рост по переменной X не зависит от порядка производной.Через Ь(^Хс) обозначим класс функций непрерывных по X6 К и аналитических по { б7К< таких,что

•4 и Г I К (к, О

- 9

Если И1хх<г)-=Щх) ,то соответствующий класс обозначим через

В(Я) .Пусть - угол с вершиной на отрицательной полуоси абсцисс»стороны которого не параллельны сторонам угла .Относительно корней характеристического уравнения

5) предполагаем : Iо ¿¿(Г) е!^*, ,. . . ,п. 2. )^ [ *

С.* о, , ск* Се Фе}Ш>±

Задача и . Требуется найти решение И £ ЬС&ХТГ^) уравнения (I) ^удовлетворяющее условиям где #

ВСЮ - заданные функции.

Используя метод-доказательства теоремы 1.1 из

§1 и проведя более детальное исследование прообраза Фурье функционала устанавливается основной результат этого параграфа. Теорема 2.1 . Граничная задача АЬ имеет и притом единственное решение.Имеет место оценка о Я <

В §3 уравнение (I) уже предполагается регулярным с показателем регулярности м и единственной точкой ^-о ,в которой нарушается строгая регулярность.При этом мы различаем два случая : а) множества {А, (() > • • •, > { ¿ЛР ) • * • > не пересекаются ни при каком {в К в) эти множества пересекаются.Отметим,что в случае строго регулярного уравнения случай а) имеет место и этот факт играет существенную роль при факторизации оператора где ^ т п-», п-м $б,«=.п«ч-(н)=Л1 «ад/< я(1,я)--па--цу--г*

-I J~( < здесь коэффициенты $¿(1) являются мультипликаторами в 3 Сем. также [20]).В случае в) это уже,вообще говоря,не так и поэтому появляются дополнительные трудности.Пусть [?] - целая часть числа р 6 ,а ?(о) - число корней,принадлежащих 7Г* в точке [~с .Основной результат в случае а) следующий:

Теорема 3«! . Неоднородная задача Д} всегда разрешима, а однородная имеет бесконечно много линейно независимых решений. Если »т0 существует решение Ц £ Му ,при этом при $ <0 однородная задача в классе иИ^ не имеет нетривиальных решений,а при £ ^ О имеет (¥0~**) линейно независимых решений.

В случае же в) справедлива

Теорема 3»2 . Неоднородная задача всегда разрешима^ однородная имеет бесконечно много линейно независимых решений. Если ,то неоднородная задача У?1 имеет решение в классе ,а однородная имеет линейно независимых решений.

Как следует из теорем 3.1 и 3.2 в случае регулярного уравнения (I) корректность задачи й1 »вообще говоря,не имеет место.Чтобы исправить положение,вводятся новые классы функций м ^ { и Ск,<г) 11< $ и(х,*)\^ С^ (1 + 1x1)%* 0+ Ш) I <о}}

Задача

АГ есть задача с заменой кМ

О х-» о соответственно,на Ь/Ц и Д/ .Доказана следующая

Теорема 3.3 .Задача имеет и притом единственное решение для V £ (к) ? - - - ? (*) •

Заметим,что во всех рассмотренных случаях неоднородная

- II задача всегда имеет решение и только однородная задача может "испортить" ситуацию, до пуская решения вида сс(*)+ • + C£t)xf, где Çj(t) - аналитичны степенного роста.Б связи с этим мы, следуя работе [6] »указываем дополнительные к (12) условия, обеспечивающие единственность решения.Пусть Ис(у<±) - некоторое частное решение неоднородной задачи f\i. ,а заданные полиномы по X' .Дополнительные условия берем в виде с/-";—. (15)

Справедлива

Теорема 3.4 . Граничная задача Al с дополнительными условиями (15) имеет и притом единственное решение.

Параграф 4 посвящен общей граничной задаче.Здесь также как и в предыдущих параграфах существенную роль играет строгая или простая регулярность уравнения (I) .Рассматривается

Задача А V Требуется найти решение И 6 Л! уравнения (I J »удовлетворяющее условиям

-О <*t где /. £ N^ - заданные функции,a - полиномы по f с постоянными коэффициентами.

Пусть уравнение (I) строго регулярно.Стандартным путем, изложенным например в [21] »вводится квадратная матрица ¿(0 порядка m .Доказана

Теорема 4.1 . I. Условие deiUOïû Vf^R. является необходимым и достаточным для корректности задачи А Ц

2. Условие же ¿jetL(i)^ О является необходимым и достаточным для того,чтобы неоднородная задача A4 имела решение для V / (х)} - • •, / (х) а однородная имела конечное

V ГУ>~!

- 12 число линейно независимых решений.

Теперь предположим,что уравнение (I) регулярно и имеет место случай а) .В этом случае к условиям (16) добавляем дополнительные условия вида «-» J где р (х) - заданные полиномы по у , C. (fJ - полиномы по f с постоянными коэффициентами,а И0(кА) - частное решение неоднородной задачи ДЦ »существование которого доказывается. Наряду с матрицей ¿(f) вводится другая квадратная матрица JU (\) порядка $ .Установлен следующий результат. с о „

Теорема 4»2 . Для того,чтобы задача АЧ с дополнительными условиями (17) была однозначно разрешимой,необходимо и достаточно,чтобы ddUO±o, (¿о, (18)

М Л Jo)* о. (19)

В случае же в) появляются дополнительные существенные технические трудности,связанные с тем,что коэффициенты 0^(0 оператора ) уже не будут мультипликаторами в но все-таки и в этом случае имеет, место теорема 4.

В пятом параграфе исследуется вопрос разрешимости в классе t/U неоднородного уравнения где / £ - заданная функция.

Поставленный вопрос является настолько классическим,насколько и задача Коши и ему посвящена обширная литература,например [и , [17] , [22] - [24] .Основной метод и главная трудно

- 13 сть при исследовании уравнения (20) при и ~ о состоит в построении такого фундаментального решения ,что свертка £ X / принадлежит искомому классу функций или обобщенных функций.Например,известная теорема Хёрмандера-Лоясевича [25] , [26] утверждает,что уравнение (20) в разрешимо для V / в 3 .В сделанных предположениях относительно корней характеристического уравнения (5) нами устанавливаются Теоремы 5.1 - 5.3 . Неоднородное уравнение (20) в классе Л имеет решение для V н л доказательство разбивается на три технически разных по трудности случая в зависимости от того является ли уравнение (20) строго регулярным или регулярным в смысле а) или в)

Наконец последний параграф 6 главы I посвящен иллюстрации части результатов на конкретных примерах.В частности для классического гиперболического оператора О = — в двугранном угле корректной является не задача Коши,а задача Дирихле,в противоположность случаю ос~о .на примере этого оператора и более общего однородного оператора с постоянными коэффициентами предлагается и другой подход к исследованию граничных задач,не использующий преобразование Фурье,приводящий к известной задаче сопряжения для аналитических функций,что на наш взгляд подтверждает важность исследуемого нами нового класса уравнений вида (I) в двугранном угле К X ^ .Рассматриваются также примеры,связанные и с другими типами уравнений.В частно

Э*" э ^ о тг сти для оператора Лапласа А ^ ^Тг в области \{Х ^ч ; ставится задача Дирихле,а при с* > граничные •с- ^ условия отсутствуют.Указывается также на то,что решение классической задачи Дирихле при { 6 записывается в виде интеграла

- 14 и аналитически продолжается в область ЯхТГ**} <о(<1~ , что ещё раз указывает на естественность рассмотрения уравнения вида (I) в К X УГ^ .И,наконец,характеристические корни оператора Д-+) Я>о при очевидно не удовлетворяют условиям (8) , (9) ,но в то же время в области } 0с°<<\ этот оператор является регулярным с порядком регулярности 1 , строгая регулярность нарушается только в точках /|7~Д

Эти и другие примеры,приведенные в

§6 показывают,что та существенная роль,которую играет тип ператора (гиперболичность, эллиптичность,параболичность) при постановке граничных задач в наших рассмотрениях отходит на второй план.

Глава II диссертации состоит из 4-х параграфов и посвящена изучению граничных задач в двугранной области ЦхУ/^ для систем уравнений,разрешенных относительно производной по { вида где ~Ц(х,{)~ (> - - ) - искомая вектор-функция из класса

ЛЬ) - полиномиальная матрица от [ с постоянными коэффициентами порядка И .Вкратце можно сказать,что в этой главе изучаются те же вопросы,что и в главе 1,со всеми атрибутами технических сложностей,связанных с тем,что вместо одного уравнения имеем дело с системой.С системой (21) связываем характеристический полином по Я где £ - единичная матрица порядка п ,корни которого с учетом их кратностей обозначим через ; • •

В §1 система (21) считается строго регулярной,то есть обозначает комплексную плоскость Л ) Рассматривается граничная

Задача Al . Требуется найти решение VtJJ системы (21) »удовлетворяющее условию

B(ih)V(xto) = -fM, (22) где В (О - полиномиальная матрица с постоянными коэффициентами размерности гл х п ta ->• - ■ > / £ И/^ - заданная вектор-функция.

Введем матрицы-функции где - замкнутые контуры,содержащие внутри себя,соответственно, только корни ¿т/^г ' ' > и -^/О

В случае строго регулярной системы (21) показывается,что элементы Р±. (О матриц х (1) являются мультипликаторами / 1 ^ в -О (Ю ,а если система (21) регулярна и - единственная точка,в которой нарушается строгая регулярность,то устанавливаются оценки I „ .-ы. i Р ¡ Mfi

Р.>|Ч1П ',е>0, (с,г,.

Основные результаты

§1 следующие.

Теорема 1.1 . Граничная задача /11 имеет единственное решение для V 4 тогда и только тогда,когда

Условие (25) есть известное условие Лопатинского [27]

- 16

Теорема 1.2 . Для того,чтобы однородная задача Д1 имела конечное число линейно независимых решений,а неоднородная задача /\1 всегда имела решение необходимо и достаточно,чтобы условие Лопатинского (25) выполнялось хотя бы в одной точке.

В §2 задача Д1 изучается для регулярной системы (21) . При этом как и для одного уравнения исследование разбивается на случай а) и в) ( множества {Л, (\)г-} } [ Лп(рг-^¿»Щ пересекаются или нет в точке ро - единственная точка,где нарушается строгая регулярность .В случае а) доказана Теорема 2.1 . Пусть вектор-функция ^(х) в задаче принадлежит классу АС и выполняется условие

Тогда существует число ^ такое,что неоднородная задача У|1 в классе имеет решение для V ^ ,а однородная задача в том же классе имеет конечное число линейно независимых решений.В классе же с/И неоднородная задача Д1 имеет решение для V ,а однородная - бесконечно много линейно независимых решений.

Пусть теперь имеет место случай в) и выполняется условие (26) .Вводится число 70 как ранг вполне определенной матрицы. До казаны

Теорема 2.2 . Однородная задача в классе Л! имеет бесконечно много линейно независимых решений.В классе же с/Ну ? где 0 - целое,имеет (р+1)п — 10 линейно независимых решений.

Теорема 2.3 . Неоднородная задача }11 в классе Л имеет решение для

В §3 исследуетс система со свободным членом

- 17 где ^ ^ Л1 заданная,а 1(6 Л! - искомая ц -мерные вектор-функции.Основной результат сводится к теореме 3.2 . Теорема 3.2 .Неоднородная система (27) в классе разрешима для V {еМ .При этом,если /б Му ,то в случае строго регулярной системы решение К е Му ,в случае же регулярной системы существует Т± (71>Т) »что У £ '

Наконец в

§4 рассматриваются примеры.В частности,для строго гиперболической системы вида к + з д + г ¿К - п /о«^ где В; С - действительные постоянные квадратные матрицы порядка М ,а 1( ' ( ъ\ 1, - • •/ и* ) - искомая действительная вектор-функция,ставится задача Дирихле

Ц(х,о)= . (29)

При этом,если 7 ■ • - , - корни характеристического уравнения (л1Е ^¿В^ + С ) = 0 ,то мы предполагаем,что £>0, У г ^ } - • -; п. и $1 < О , 4 - п-к;. -у ¿п .Приводится достаточное условие на систему (28) при котором задача Дирихле (29) корректна (теорема 4.1) .Рассматриваются и другие примеры.

В главе III граничные задачи в двугранной области изучаются для уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно старшей производной по { .В

§1 и

§2 исследуется одно уравнение,а в

§3 - система уравнений.

Итак,рассматривается уравнение (I) ,где 1 .Отметим,что если /¡о[ч)^0 ,то исследование уравнения (I) ничем не отличается от случая Д0(Ч)~1 .Поэтому мы предпо

- 18 лагаем.что /¡с0) обязательно обращается в ноль и для определенности пусть

Так как множитель /1(0 не влияет на результаты,то мы ограничиваемся уравнением вида

А 2. )Кс V" /|р\ , п ^ (пТ)

Ь,; ^г + ^^Ы^Г =0,Ы)еШК/ Ш) г/ — ' при этом предполагаем выполненным следующее естественное условие

4(0)1*°

Отметим также,что в области уравнение (31) предполагается строго регулярным так как случай»когда существует точка ( ф о ,в которой строгая регулярность нарушена,фактически изучен в главе I.Характеристический полином,соответствующий (31) имеет вид и мы предполагаем,что его корни Л, (О ) * * ' ? ^п^^ обладают свойством

Пусть 1 - число корней уравнения £ (о1Х) ~0 ,принад-лежащих д .Справедливы

Теорема 1.1. Если ,то неоднородная задача (31) ,(2) в классе имеет решение для ~ О; - - т - ( ,если же Т < м ,то для разрешимости неоднородной задачи (31), (2) необходимо и достаточно,чтобы функции -рс(х) > • • (*) удовлетворяли конечному числу условий ортогональности.Однородная задача (31),(2) не имеет нетривиальных решений при 1 < т и имеет бесконечно много линейно независимых решений,если 1 > т

- 19

Теорема 1.2 . Пусть / & //2 .Тогда существует р такое,что задача (31,) , (2) в классе Му нетерова.

В §2 исследуется вопрос разрешимости уравнения (31) с правой частью п „^ где ■/ & Л! Доказаны Теорема 2*1 решение в классе

- заданная функция.

Уравнение (32) со свободным членом имеет сЯ! для \Z-feUI . Теорема 2.2. Пусть к0 - порядок вырождения коэффициента Д0(О уравнения (I) .Тогда, если -{¿Му } 1 ,то уравнение (32) имеет решение,принадлежащее классу В

§3 мы рассматриваем систему вида где - полиномиальные матрицы от [ с постоян ными коэффициентами порядка П , ¿/(У, (К^, • • •;¿/«) 6 <Л! -искомая вектор-пункция.Если ; { ,то система (33) фактически исследована в главе II.Основное внимание мы уделяем случаю,когда О и .порядок к характеристического уравнения не зависит от [ ,то есть [ ^ К «При этом предполагаем также,что корни Л((() - • , Ак (() уравнения (34) удовлетворяют условию а,(о , • • , лП11«),- , ¿„т^к* (35) Г * * )

Условие (35) означает,что система (33) строго регулярна. Рассматривается следующая

Задача Д1 . Требуется найти решение Ц £ Л! системы (33) »удовлетворяющее условию

С^Тх) ни, О) - (36) где Со) - полиномиальная матрица с постоянными коэффициентами размерности м х п ,а / = (^ у • - • е !\Г - заданная вектор-функция.Введем матрицу-функцию п) где £ - мерная единичная матрица,а ~ замкнутый контур,содержащий внутри себя только корни ¿¿(1) ;••'■>

Доказана

Теорема 3»! . Граничная задача

М имеет единственное решение для \/ / 6 ЬГ тогда и только тогда,когда выполняется условие

Предложенный метод исследования граничной задачи Я1 позволяет распространить на систему (33) и другие исследования главы II.

В главе IУ мы рассматриваем нерегулярные дифференциальные уравнения в частных производных и систему таких уравнений. В

§1 изучается уравнение (I) в предположении,что функция - число корней характеристи

- 21 ческого полинома »принадлежащих области * удовлетворяет условию

7 ¡<0 , г * ГЛ , • •

Для определенности мы предполагаем,что т>к (отметим,что если т г к »то мы имели бы регулярный случай,рассмотренный в главе I ) .Исследуется Задача Требуется найти решение 2/ £ Л!

38) »удовлетворяющее граничным условиям уравнения

Г Ш , 4^ п ¿¿/ТЫ 1 , , , ^ где ЬГ <

- заданные функции. Основной результат следующий:

Теорема 1.3 . Граничная задача ^ .1 имеет и притом единственное решение для )/*?(*);•••>•? (*) >

С '/М-*

Изложенный метод исследования задачи позволяет условия (41) заменить на где Где; удовлетворяет условию Гёльдера на Ц , С(.(х)±0.

В §2 мы рассматриваем нерегулярную систему (21) в предположении,что

0) = ги , 1<0 > к /%>0 , (44) где - число корней характеристического уравнения с1е.±(лИ: -ДО)) - о »принадлежащих области ^

- 22

Для системы (43) в предположении,что ип > К изучается Задача и Требуется найти решение II € Л! системы (43) »удовлетворяющее граничным условиям

ВО&г«*,о) ={(*), Ке Ск^)и(х>о)где - полиномиальная матрица размерности Кх п ,а С@) полиномиальная матрица размерности к)х п - ^ 6Л/" - заданные вектор-функции.

Рассмотрим матрицу-функцию (см.(23))

S7TL Г(1)

Доказана основная

Теорема 2,1 . При выполнении условий задача J\ % имеет и притом единственное решение для V f , ¡j

В исследованиях параграфов 1,2 важную роль играет тот факт,что именно в точке fro имеем нерегулярность.

Цель главы У - изучить основные задачи предыдущих глав в классах Ltfat&) Земаняна [28J .При этом на корни соответствующего характеристического уравнения накладываются менее ограничительные условия,чем условия (8) ,(9) .В связи с этим и другим возникают новые технические сложности.Забегая вперед отметим,что во введенных классах для гиперболических уравнений или систем в полосе Ье-со*1)] задача Дирихле оказывается "хорошо" поставленной.

В §1 в верхней полуплоскости К У рассматривается дифференциальное уравнение вида

О, (49) с к-1 о/ х где ЛК(Р) - полиномы с постоянными коэффициентами от р-с^+сГ .Пусть г ■ - корни характеристического уравнения = (50) с учетом их кратностей.

Предположим,что существует полоса ^ ^ &/>< такая,что а) V г , ^ , - - v Г», в) 3 £ 6Ке ' с) Множества .Лм(р)} , - -, *Я(Г)] не пересекаются ни при каком р ^ ^г-Для уравнения (49; изучается задача типа Коши

1Г(*,о) " , ^о, • . .,т~1 / (51) где / 0*, в) - заданы.

Доказана

Теорема 1.1. Задача (49) , (51) имеет и притом единственное решение для V { (*) > • • •

Далее,вводится банахово пространство А!*Л) функций 2/^г; с конечной нормой

III,Г г: 4ч р а>* хеК лп

В предположении,что уравнение (49) типа Коши - Ковалевской и 1еАХг)<~ о V ре'ТГ. изучается задача Коши ¿=0, ' • (52) где / б ЛЛ*4(<*.€) - заданы. 4

Доказана

Теорема 1.2 . Задача (49) , (52) имеет и притом единственное решение для \/ / (х), > • ., / о; .Справедлива оценка 0

- п -.К+м л о сЦ К п-4

В §2 в полосе $ = {(^о/ К, \ исследуется задача

Дирихле для гиперболического уравнения четного порядка в классах

Установлена

Теорема 2.1. Существуют числа и ^ такие,что задача Дирихле имеет и притом единственное решение.

Указывается,что подобный результат справедлив и для уравнения составного типа.

В §3 граничные задачи в классах З'ёманяна I. (я,& изучаются для системы вида где Д(р) - полиномиальная матрица порядка /1 такая,что корни А] СЮ >* • (с учетом их кратностей) характеристического уравнения удовлетворяют уеловиям а) , в) ,с) из §1 главы У .Рассматривается Задача йч . р) , где В(Г) - полиномиальная матрица размерности т х п ,а ^сССО/ё) - заданный /г? -мерный функционал. Пусть . , -1 ,

2т Г(р) где ТуХ?) - замкнутый контур,содержащий только корни ,

Основной результат сводится к теоремам 3.1, 3.2 . Теорема 3.1. Граничная задача ЛЧ имеет единственное решение для |/ ^ тогда и только тогда,когда V ш "

53)

Теорема 3.2 . Пусть условие (53) нарушается в конечном числе точек.Тогда однородная задача $4 имеет только нулевое решение,а для разрешимости неоднородной задачи АЧ необходимо и достаточно выполнение конечного числа условий ортогональности на

В §4 в полосе <0 рассматривается строго гиперболическая система вида

54) где А) В) С - постоянные квадратные матрицы порядка Ц , а - искомый вектор-функционал.Для системы (54) ставим задачу Дирихле к Сх, о) ~ , = > где {¡-(¿¡Л) - заданные вектор-функционалы.

Имеет место

Теорема 4.1. Существуют числа а и b такие, что задача Дирихле для системы (54) имеет и притом единственное решение.

Наконец в $5 рассматриваются примеры, показывающие зависимость постановки граничной задачи (типа Коши, Коши, Дирихле, .) не только от типа уравнения (системы), но и класса искомого решения.

Результаты диссертации докладывались на научном семинаре кафедры прикладной математики ЕрПЙ, руководитель-профессор Товмасян Н.Е., на городском научном семинаре при ЕГУ, руководитель-профессор Шахбагян Р. JL, на семинаре лаборатории уравнений с частными производными Института Математики им. В.А.Стеклова в г. Москве, руководитель - профессор Михайлов В.П.,на ежегодных конференциях, посвященных памяти академика И.Г.Петровского,Москва, январь 1988 г., на расширенных заседаниях семинара института Прикладной математики им. И.Н.Векуа ТГУ, Тбилиси, апрель 1990 г., на YIII республиканской конференции, Донецк, сентябрь 1991 г., на республиканских конференциях, посвященных памяти академика P.A. Александряна, Ереван, 1990 г.,1991 г., на научном семинаре при кафедре общей математики факультета ВМ и Кибернетики МГУ, руководители -чл. корр. РАН, профессор Моисеев Е.И. и доцент Ломов И.С., на научном семинаре под руководством профессора МГУ Кондратьева В.А., на научном семинаре кафедры математического моделирования МЭИ, руководитель - профессор Дубинский Ю. А.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [43]-[54].

Автор искренне благодарит профессоров Моисеева Е.И. и Товмасяна Н.Е. за многочисленные обсуждения полученных результатов.

1.Шилов Г.Е. Математический анализ.Второй специальный курс, М.»"Наука",1965

2. Товмасян Н.Е. Задача Коши для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в полупространстве в классе обобщенных функций.- Дифференциальные уравнения,1982,т.18, ЖЕ,с.132 138.

3. Товмасян Н.Е. Общие краевые задачи для систем дифференциальных уравнений с частными производными в полупространстве в классе обобщенных функций. Дифференциальные уравнения, 1984,т.XX,ЖЕ2,с.2138 - 2147 .

4. Товмасян Н.Е. Общая граничная задача для системы дифференциальных уравнений в полуплоскости с нарушением условия Я.Б. Лопатинского. Диф. ур-ия,1984,т.ХХ, Ж,с.132 - 141 .

5. Товмасян Н.Е. Краевые задачи для нерегулярных систем дифференциальных уравнений на полуплоскости в классе обобщенных функций и функций полиномиального роста. Математический сборник,1986,131 173 ,№2 10 ,с.185 - 212 .

6. Товмасян Н.Е. Корректность граничных задач для уравнений в частных производных в полупространстве в классе обобщенных функций. Сибирский математический журнал, 1987,т. ХХУШ, №2,с. 171 - 185 .

7. Товмасян Н.Е. Краевые задачи для системы дифференциальных уравнений в частных производных в полуплоскости в классе функций полиномиального роста. Известия АН РА,сер. мат., т.XXII,№3,1987,с. 253 - 271 .

8. Товмасян Н.Е. Корректные граничные задачи для системы уравнений в частных производных в полупространстве в классе функций, растущих не быстрее полинома. Известия АН РА,сер. мат- 229 т.XXIII,№4,1988,с.309 324 .

9. Дикополов Г.В. и Шилов Г.Е. О корректных краевых задачах в полупространстве для уравнений в частных производных с правой частью. Сибирский мат. журнал,т.2,№1,1960,с. 45-61.

10. Дикополов Г'.В. О краевых задачах для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в полупространстве. -Математический сборник,1962,т.59 101 ,с. 215 228 .

11. Волевич Л.Р., Гиндикин С.Г. Задача Коши.Современные проблемы математики,т.32,М. 1988,с. 3 98 .

12. Комеч А.И. Линейные уравнения в частных производных с посто' янными коэффициентами.Современные проблемы математики,т.31, М. 1988,с. 127 261 .

13. Гельфанд И.М.,Шилов Г.Е. Обобщенные функции.Вып. 3.Некоторые вопросы дифференциальных уравнений.М.,Физматгиз,1958.

14. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.,"Мир",1977.

15. Волевич Л.Р.,Гиндикин С.Г. Метод энергетических оценок в смешанной задаче. ЖН,1980,35,^5,с. 53 -120 .- 230

16. Linear ^«^¿'c p^icaZ dcf-ftuntiti £ £puоц* wcik constant cozf-fiUtrtiZsHticL M*ih-jl460eso).

17. Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье.Псевдодифференциальные операторы. М.,"Мир",1982,1'.2X.Солонников В.А. Труды математического института им, В.А. Стеклова, LXXXIII,М.,"Наука",1965 .

18. Бернштейн И.Н. Модули над кольцами дифференциальных операто ров. Исследование фундаментальных решений уравнений с постоянными коэффициентами.Функциональный анализ и его приложения,1971,5,№2, с. I 16 .

19. Боровиков В.А. Фундаментальные решения линейных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами.Труды Московского матем. об ва,1959,8,с. 199 - 257 .

20. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.,"Наука",1979 .

21. Хёрмандер Л. 0 делении обобщенных функций на полиномы.-Математика 3,5 1959 ,с. 117 130 .

22. Loj&*UViCi J. ^ cie division, ituMe. JU+h.liOK?)

23. Далецкий Ю.Л.,Крейн М.Г. Устойчивость решения дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.,"Наука", 197028.3еманян А. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.,"Наука",1974 .

24. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторовс частными производными.Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами.М.,"Мир",1986,т.2.

25. Прёсдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М.,"Мир",1979 .- 231

26. Эскин Г.И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. М.,"Наука",1973.

27. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных . М.,"Наука",1981.

28. Михайлов Boll.Дифференциальные уравнения в частных производных . М.,"Наука",1976 .

29. Павлов А.Л. Об общих краевых задачах для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в полупространстве.-Мат. сб.,103 145 , № 7 ,1977 ,с. 367 391 .

30. Берс Л.,Джон Ф.,Шехтер М. Уравнения с частными производными М.,"Мир",1966 .Зб.Дезин A.A. Общие вопросы теории граничных задач. М.,"Наука" 1980.

31. Романко В.К. О граничных задачах для дифференциальных уравнений,не разрешенных относительно старшей производной.-ДАН СССР,т.235,№5,1977,с. 1030 1033 .

32. Романко В.К. Граничные задачи для одного класса дифференциальных операторов.- Дифф. ур-ия,т.Ю,Щ,1974,с. 117 131.

33. Романко В.К. Нелокальные граничные задачи для линейных систем первого порядка.Тезизы докладов ли республиканской конференции.Донецк,сентябрь 1991 .

34. Березанский Ю.М. О задаче типа Дирихле для уравнения колебания струны.- Укр. мат. журнал, 12 (i960) ,с. 363 372.- ¿3<?

35. Андрян A.A. Задача Коши для дифференциальных уравнений в частных производных в угловых областях. АН УССР,ИПММ,УШ Республиканская конференция нелинейные задачи математической физики и задачи со свободной границей.Донецк 1991,с.9.

36. Андрян A.A. Характеристическая граничная задача для систем уравнений в частных производных в двугранных углах,Дифференциальные уравнения и функциональный анализ,Труды конфереции,посвященной памяти академика Р. А. Александряна,ЕГУ, 1993,с.32-41.