К Lp-теории эллиптических краевых задач в трехмерных областях с ребрами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
|
Адабуну Деду
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2005
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ
На правах рукописи
1 Адабуну Деду
I
К ¿р-ТЕОРИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В ТРЕХМЕРНЫХ ОБЛАСТЯХ С РЕБРАМИ.
Специальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения
Автореферат
<
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Москва 2005
Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений и функционального анализа факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов.
Научный руководитель:
кандидат физико-математических наук, доцент М.Е. Боговский
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор В.А. Кондратьев, кандидат физико-математических наук, доцент В.Н. Денисов.
Ведущая организация:
Вычислительный центр РАН.
Защита диссертации состоится « 09» июня 2005 года в «1530» на заседании диссертационного совета К 212.203.04 в Российском университете дружбы народов по адресу: 117419, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд. 495°.
С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6.
Автореферат разослан "_" мая 2005 г.
Ученый секретарь диссертационного совета: кандидат физико-математических
наук, доцент И.Л. Куценко
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы
тощ
Классическая постановка задач Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона предполагает достаточную гладкость входящих в задачи данных. Однако, многие математические модели физических процессов сводятся к задачам с негладкими данными. Если при этом классическая постановка и возможна, то задача в классической постановке зачастую оказывается некорректно поставленной. Наиболее естественным выходом из такой ситуации оказалось расширение класса решений путем введения понятия обобщенного решения краевой задачи. Тале, обобщенные решения задач Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона определяются с помощью интегральных тождеств, содержащих в себе во-первых само уравнение Пуассона, а во-вторых краевые условия задачи, если существование соответствующих этим краевым условиям следов не гарантировано априори классом рассматриваемых обобщенных решений.
В этой работе решаются вопросы существования и несуществования, единственности и неединственности обобщенных решений задач Дирихле и Неймана в соболевском классе Ьр, т.е с первыми производными из Ьр, для уравнения Пуассона в ограниченных и неограниченных трехмерных областях с ребрами — в частности, в двугранном угле П = Га х К, где Га — плоский угол с раствором а € (0,2л-]. Рассматриваемая обобщенная постановка как задачи Дирихле, так и задачи Неймана эквивалентна разложению пространства Лебега ЬР(П; К3) вектор-функций и : П —> К3 в прямую сумму соответствующих замкнутых подпространств соленоидальных и потенциальных вектор-функций. Тема диссертации является непосредственным продолжением исследований, начатых автором в выпускной работе и в магистерской диссертации.
Ьр-теория краевых задач математической физики представляет собой важный самостоятельный раздел теории дифференциальных уравнений в частных производных. Разложение пространства Лебега К3) в пря-
мую сумму замкнутых подпространств соленоидальных и потенциальных вектор-функций, соответствующих краевым условиям Неймана, обычно называют £р-разложением Гельмгольца В свою очередь, £р-разложение Гельмгольца представляет значительный интерес и само по себе, так как на нем основываются многочисленные подходы к решению широкого круга задач механики несжимаемой сплошной среды. В частности, как установлено в работе М.Е. Боговского1, разрешимость начально-краевой задачи для линеаризованной системы Навье-Стокса в классе
1 Боговский М Е Разложение Ьр(С1,Шп) в прямую сумму подпространств соленоидальных и потенциальных векторных полей. Докл АН СССР, 1986, т 286, №4,
с. 781-786
сильных решений с производными из Lp для неограниченной области с гладкой некомпактной границей dft эквивалентна Ьр-разложению Гельмгольца. При этом для гладкой <90 особенностью границы типа ребра является совпадение дП с двугранным углом в некоторой окрестности бесконечности. Таким образом, особенность некомпактной гладкой díl связана с ее геометрией на бесконечности и значением показателя р.
В случае р = 2 справедливость ортогональных разложений L^ в соответствующие суммы замкнутых подпространств соленоидальных и потенциальных вектор-функций была впервые установлена Г. Вейлем2 и C.J1. Соболевым3 для ограниченных областей Í! с К3 с гладкими границами. Позднее справедливость ортогональных разложений Вейля-Соболева была установлена для любой области в К" без каких-либо предположений о гладкости границы. Для ограниченных областей Lp-разложение Гельмгольца при р ф 2 изучено в работе Д. Фудживары и X. Моримото4. Внешние области Я С М3 были исследованы в работах В.А. Солонникова5, Т. Миякавы6'7 и в работе В. фон Валя8. Ограниченные и внешние области П с К", п ^ 2 были рассмотрены в работе К. Симадера и Г. Зора9. Следует отметить, что заметно нарастающий в последние годы интерес к Lp-разложению Гельмгольца в случае р ф 2 связан, в первую очередь, с тем очевидным фактом, что для нелинейных уравнений Навье-Стокса ¿р-теория предоставляет гораздо более широкие технические возможности, чем ее частный случай — Хг-теория.
Как правило, методы, разработанные для областей с гладкими компактными границами, оказываются в равной степени недостаточными как для областей с негладкими компактными границами, так и для областей с гладкими некомпактными границами К настоящему времени исследованы лишь" некоторые частные случаи областей с гладкими
2Weyl Н The method of orthogonal projection in potential theory Duke Math. J , vol 7, 1940, p 411-444
3Соболев С Л Об одной задаче математической физики Изв. АН СССР, т 18, №1, 1954, с 3-50
4Fujiwara D , Morimoto Н An Lr-theorem of the Helmholtz decomposition of vector fields J Fac Sei Univ. Tokyo, Sect IA, Math 24, no 3, 1977, p 685-700
5Солонников В А Оценки решений нестационарной системы Навье-Стокса — Записки научных семинаров ПОМИ, Л , 1973, т 38, с 153-231
6Míyakawa Т The Helmholtz decomposition of vector fields ш some unbounded domains Math J Toyama Univ 17, 1994, p 115-149.
7Miyakawa T On nonstationary solutions of the Navier-Stokes equations in exterior domains Hiroshima Math J 112, 1982, p 115-140
8von Wahl W Abschätzungen für das Neumann-Problem und die Helmholtz-Zerlegung von LP Nachr Ak d. Wiss Göttingen, Math.-Phys Klasse II , №2, 1990, 29pp
9Simader C. G., Sohr H A new approach to the Helmholtz decomposition and the Neumann problem m L'' -spaces for bounded and exterior domains Mathematical problems relating to the Navier-Stokes equation, Ser Adv Math Appl Sei., 11, World Sei Publishing, River Edge, NJ, 1992, p 1-35.
некомпактными границами. Так, в работе Р. Фарвига и Г. Зора10 изучены случаи полупространства и области Хейвуда, т.е. области, состоящей из двух полупространств, сообщающихся через отверстие в разделяющей их плоскости. В работе Т. Миякавы6 изучены полупространства, области Хейвуда и гиперслой М" х (0,1). Отметим, что Г. Зор и Г. Тэтер рассмотрели11 вопрос об Lp-разложении Гельмгольца в бесконечном гиперцилиндре Я = Г х R, где Г С Rn_1 — ограниченная область с границей <ЭГ класса С2,м, 0 < ц ^ 1, п ^ 2. Еще раньше в работе М.Е. Боговского1 рассматривались области ilcR"c границей дй € С1, имеющие конечное число выходов на бесконечность. При этом бесконечный гиперцилиндр оказывается частным случаем области с двумя выходами на бесконечность из работы1.
В настоящей работе проблема Lp-разложения Гельмгольца изучена для областей !)С I3 с ребрами. Несмотря на значительное число публикаций на эту тему, на многие важные вопросы до сих пор не было ответа. В диссертации даны ответы на вопрос о размерности ядра и коядра эллиптического оператора с краевыми условиями Дирихле и Неймана, устанавливается замкнутость и незамкнутость его области значений в зависимости от показателя р и геометрии области. Впервые обнаружены интервалы значений показателя р, при которых соответствующие суммы подпространств соленоидальных и потенциальных вектор-функций не замкнуты в LP(Q\R3). Подчеркнем, что речь здесь идет о разложении пространства Лебега Lp(fl;R3) без веса.
Цель работы
Цель работы состоит в изучении вопросов разрешимости и единственности обобщенных решений задач Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона в областях ЙсК3с ребрами. Эти вопросы сводятся к вопросу о разложении пространства Лебега Lp(f>; ®3) в прямую сумму соответствующих подпространств соленоидальных и потенциальных вектор-функций. В случае задачи Неймана эти разложения также известны как £р-разложения Гельмгольца. В настоящей работе найдены интервалы значений показателя р, при которых рассматриваемые разложения ЬР(П;Ш3) имеют место для ограниченных и неограниченных областей П с ребрами. Кроме того, установлено наличие интервалов значений показателя р, при которых рассматриваемые суммы замкнутых подпространств соленоидальных и потенциальных вектор-функций представляют собой незамкнутые в ¿Р(П; К3) подпространства.
10Fahwig R , Sohr Н Helmholtz decomposition and Stokes resolvent system for aperture domains tn L4-spaces Analysis 16 (1996), no 1, p 1-26
11 Sohr H , Thater G Imaginary powers of second order differential operators and L4-Helmholtz decomposition in the infinite cylinder Math Ann 311 (1998), no 3, p 577-602.
Методы исследования
В диссертации получены в явном виде представления обобщенных решений задач Дирихле и Неймана для двугранного угла. Для получения Lp-оценок первых производных этих решений используются метод локализации, теоремы об £Р-мультипликаторах преобразования Фурье и Lp-оценки явных представлений решений в двугранном угле. На основании полученных Lp-оценок обобщенных решений во всей шкале значений показателя р установлены размерность ядра, замкнутость или незамкнутость области значения соответствующего эллиптического оператора.
Научная новизна
Все основные результаты диссертации являются новыми. В диссертации изучены различные свойства ¿р-пространств соленоидальных и потенциальных вектор-функций. Установлен явный вид элементов соответствующих ядер эллиптических операторов с условиями Дирихле и Неймана для ограниченных и неограниченных областей с ребрами.
Теоретическая и практическая ценность
Диссертация носит теоретический характер Результаты диссертации могут быть применены в математической гидродинамике несжимаемой жидкости и в теории краевых задач математической физики Разработанные в диссертации методы могут быть использованы при исследовании достаточно широкого круга задач математической физики в ограниченных и неограниченных областях с негладкими границами. Предложенный метод решения представляет интерес для теории линейных дифференциальных уравнений в частных производных и может лечь в основу алгоритма численного решения поставленных краевых задач.
Апробация работы
Все научные результаты, содержащиеся в диссертации, являются достоверными и тщательно обоснованы строгими доказательствами. Полученные результаты докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа Российского университета дружбы народов под руководством проф. М.Ф. Сухинина, проф. A.B. Фаминского, доц. М.Е. Боговского, доц. H.A. Шананина, а также на XXXVI и XXXVIII Всероссийских научных конференциях по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин.
Публикации
Основные результаты, содержащиеся в диссертации опубликованы в пяти статьях, список которых приводится в конце автореферата.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения и пяти глав. В конце диссертации приводится список литературы из 167 наименований, а также список иллюстраций, список обозначений и указатель терминов. Диссертация изложена на 150 машинописных страницах.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Главным объектом изучения в диссертации является уравнение Пуассона в двугранном угле
Аи = div F, хеП = Тах (1.1)
с краевым условием Дирихле
и\эп = 0 (1-2) или с краевым условием Неймана
on Ian Ian
где через n обозначен единичный вектор внешней нормали к dil. Через Lp(ft) обозначено, как обычно, пространство Соболева с полунормой
|а|=1
Задача Дирихле (1.1), (1.2) соответствует краевой задаче
v + Vu = F(x),
div и = 0, ж € fi, (1.4)
и\дп = о
для системы первого порядка, эллиптической по Дуглису-Ниренбергу. Обобщенным решением задачи Дирихле (1-4) будем называть функцию и е Lp(fi), удовлетворяющую краевому условию (1.2) и интегральному тождеству
' (Vu — F, VV0 dx — 0, Уф € C°°(il). (1.5)
к
Краевую задачу Дирихле (1.4) удобно сформулировать в терминах разложения пространства Лебега Lp(ft;R3) в прямую сумму
Lp(ft;R3) = Jp(il)©4(n) (1.6)
замкнутых подпространств соленоидальных и потенциальных вектор-
о
функций ,/р(П) и Gp(fi), которые определяются следующим образом: Jp(il)d~f {v. t? = ti|n> u€ JP(E3)},
о
где Jp (ft) — замыкание в Lp(ft; R") его подпространства j°°((l) d=f {v € C°°(Sl; R3) : divw = 0},
о
Gp (ft) — замыкание в Lp(ft; Rn) его подпространства
G°°(ft) d= {и : v = ViP,il>€ C°°(ft)}. Задача Неймана (1.1), (1.3) соответствует краевой задаче
v + Vu = F(x),
divv = 0,а; € ft, (1.7)
(w,n)|en = 0
для той же системы первого порядка, эллиптической по Дуглису-Ниренбергу Обобщенным решением задачи Неймана (1.7) будем называть функцию и € Lp(fl), удовлетворяющую интегральному тождеству
/ (Vu - F, WO <*г = 0, C°°(R3). (1.8)
J n
Кривую задачу Неймана (1.7) удобно сформулировать в терминах разложения пространства Лебега jE/p(ft;R3) в прямую сумму
ЬР(П; R3) = Jp (ft) ф Gp(ft) (1.9)
замкнутых подпространств соленоидальных и потенциальных вектор-
о о
функций Jp (ft) и Gp(ft), где подпространство Jv (ft) уже определено выше, а подпространство
Gp(ft) d= {v : v = Vipe Lp(ft; Rn)}.
Разложением Гельмгольца принято называть именно разложение (1.9), тогда как за разложением (1.6) при р ф 2 пока не закрепилось никакого достаточно устойчивого наименования.
Во введении
дан краткий обзор известных результатов, приводятся постановки задач, обсуждается их актуальность и кратко излагаются основные результаты диссертации.
Первая глава
состоит из двух параграфов. Глава посвящена постановке задач и обзору результатов. В первом параграфе приведены классические постановки задач и даны определения обобщенных решений поставленных задач. Второй параграф посвящен вопросам разложения пространства Лебега ЬР(П;Ш3) в прямые суммы соответствующих замкнутых подпространств соленоидальных и потенциальных вектор-функций. Центральное место в первом параграфе и в диссетрации в целом занимает следующая
Теорема 1.1. Пусть 1 < р < оо при 0 < а ^ ж или < р <
при 7г < а ^ 2тт. Тогда для двугранного угла П = Га х К имеют место разложения пространства Лебега 1/р(П;К3) в прямые суммы
ЬР(П'Л3) = 7р(П)®4(П), ЬР{П,Ж3) = 7р(П)фСр(П).
Доказательство теоремы 1.1 приводится в третьем параграфе четвертой главы и опирается на ряд вспомогательных результатов, установленных в главах II - IV.
Во второй главе
выведены явные представления решений задач Дирихле (1.5) и Неймана (1.8) методом разделения переменных Глава состоит из двух параграфов В первом параграфе на интервале ( — 1,1) строится решение присоединенного уравнения Лежандра
и?
(1 - г2) и" - 2ги' + [г/(1 + и) - = 0 (1Л1)
с помощью разложения в ряд в окрестности правого конца. Затем исследуется асимптотика этого решения в окрестности левого конца, что позволяет найти общее решение присоединенного уравнения Лежандра на интервале (-1,1). Далее исследуется частный случай индексов /л и и, когда присоединенное уравнение Лежандра имеет на (—1,1) ограниченные решения. Это возможно только при v — п — ц или и = р — п — 1, где п ^ 0 — целое. При этом присоединенные функции Лежандра выражаются
через многочлены Гегенбауэра Именно этот случай индексов р и и
нужен в методе разделения переменных для двугранного угла, и именно этому случаю имеющиеся многочисленные публикации по присоединенным функциям Лежандра не уделили никакого внимания.
Во втором параграфе решаются задачи Дирихле (1.5) и Неймана (1.8) методом разделения переменных, который обосновывается в классе на интервале значений показателя р:
{
1 < р < оо при 0 < а ^ 7г,
<р< rfe при т < а ^ 2тг.
Обобщенные решения задач Дирихле (1.5) и Неймана (1.8) в сферических координатах имеют вид
и(г, <Р, &) = ип(г, в) sin V^f. n 12)
п= 1
с коэффициентами Фурье
2 пп 00
Un (г, в) = - / и{г, в, Ifi) sin ^^-dip = У* Rnk{r)PZlъ* (eos в) a Jo a
в случае задачи Дирихле, а в случае задачи Неймана
li(r, (¿7, 0) — iin(r, 0) COS П7Г<^
г. а
п—0
с коэффициентами Фурье
2 [а . л . пж<р ,
— / u(r,o,ip) cos-dip, n ^ 1,
— / и(г,в,ф) dip, n = 0, va У о
где используется одно и тоже обозначение
1 Г г00
= ~1 + 2(fc+^)Xr+^ Jr Pl~k~^fnk(p)dp
+ £ P2+k+^fnk(p)dp]
как в случае задачи Дирихле, так и в случае задачи Неймана.
Третья глава
состоит из трёх параграфов. Она посвящена £,р-оценкам. В первом параграфе выводится другое представление обобщенного решения задачи Дирихле (1.5), а именно в цилиндрических координатах в виде ряда Фурье
и{р,<р,хэ) = y2un(p,x3)sinT^-. (1.13)
—; а
п= 1
Применяя к коэффициентам Фурье ип{р,х3) преобразование Фурье
Fx-C[u(x)] u(0 = Í и(х)е-'^ dx, J R3
мы показали, что эти коэффициенты удовлетворяют модифицированному уравнению Бесселя. Решив это уравнение, мы получили явное представление обобщенного решения задачи Дирихле (1.5) в виде ряда Фурье (1.13) с коэффициентами Фурье
2 3 Г 717Г
и„(р,хз) =--V / Sj(p,<r,i3)*Fj(<T,^,i3)sin(—<p)d<pda, (1.14)
где функции
= Г [3 +
2 у Jo L ро i ф,
где /„ — модифицированная функция Бесселя порядка гл Для локализации используется разбиение единицы
1 = »71М (<р) +т(<р), 0 ^ V ^ о,
о
на отрезке [0,а], где т)3 £ С0°(К), яиррт)3 = п, ] = 1,2,3. При этом локализация в задаче Дирихле (1.1), (1.2) приводит к задачам
Г Аи3 = <ИуС3 1б13+, \ и,и.=о = 0, ; = 1,2,3,
где = + 2и^х,ц3 и д3 = -иАщ3 - (^У^).
Во втором параграфе доказано, что первые производные решения и} задачи (1.16) удовлетворяют неравенству:
И^иЛмиф^ С [||0_,||мкз)+11/55,И^нз)] , 2 О При этом, как нетрудно убедиться,
< 00.
ЦСЛмп)^
ир&имк^ с
ЬГ(Л%)
+ нли,(«з)
+ )
Применяя к ряду Фурье (1.13) теорему Пэли, получим оценку
(1.17)
(1.18)
(1.19)
(1.20)
где постоянная Сар зависит только от а и р. Из оценок (1.17) - (1-20) следует оценка
с||Л1мчз), 2 р < г^.
из которой вытекает
Теорема 1.2. Пусть 2 ^ р < оо при 0 < а ^ ж или 2 ^ р < при
ж < а ^ 27г и пусть Р € ЬР(П), где П = Га х I. Тогда обобщенное решение задачи Дирихле (1.5) удовлетворяет оценке
Аналогичным образом доказывается
Теорема 1.3. Пусть 2 ^ р < оо при 0 < а < ж или 2 ^ р < при
ж < а ^ 2ж и пусть Г € ЬР(Я), где П = Га х 1. Тогда обобщенное решение задачи Неймана (1.8) удовлетворяет оценке
(О)-
Четвертая глава состоит из четырех параграфов. В этой главе для двугранного угла П = Га х К рассмотрены однородные задачи Дирихле
= 0, хеП, (121)
( Аи - 0, \ = 0
и Неймана
' Аи = 0, х € П,
*Ч =0 (1'22)
. Зп I эп
В первом параграфе решаются вопросы единственности обобщенных решений задач Дирихле (1.21) и Неймана (1.22). Центральное место в параграфе занимает следующая теорема.
Теорема 1.4. Пусть 1 < р < оо при 0 < а ^ ж или ^ р < оо при
7г < а ^ 2-я и пусть и{х) € /ос(0) — обобщенное решение однородной задачи Дирихле (1-21) или однородной задачи Неймана (1.22) для которого найдутся такие положительные числа М и N, что
I
<1х < 00. (1.23)
/о 1 + И" + Ым
Тогда и(х) является многочленом по жз, т.е.
т
и(х',хз) = т < [М] - 1.
к=0
С помощью теоремы 1.4 легко доказывается теорема единственности обобщенных решений задачи Дирихле.
Теорема 1.5. Пусть 1 < р < оо при 0 < а ^ ж или ^ р < ос
при 7Т < а ^ 2ж и пусть и(х) € — обобщенное решение однородной
задачи Дирихле (1.21). Тогда и(х) = 0.
Аналогичным образом устанавливается единственность обобщенных решений задачи Неймана.
Теорема 1.6. Пусть 1 < р < оо при 0 < а ^ 7Г или ^ р < оо
при 7г < а ^ 2п и пусть и(х) £ Ьр(П) — обобщенное решение однородной задачи Неймана (1.22). Тогда Уи = 0.
Во втором параграфе строятся элементы ядер эллиптических операторов, соответствующих обобщенным постановкам задач Дирихле (1.21) и Неймана (1.22). При 1 < р < 2/(1 + 7г/а) общее решение однородной задачи Дирихле (1.21) в классе LP(ÍÍ;K3) имеет вид
uo(r,v,x3) = F¿x з Sin
где Ки — модифицированная цилиндрическая функция второго рода порядка i/, известная как функция Макдональда.
Заметим, что оператор Лапласа инвариантен относительно сдвига. Это означает, что щ(г, <р,Хз — а) при любом а € К также является решением однородной задачи Дирихле (1.21). При этом Vuo(r, <р,хз — а) € LP(Q;M3), если 1 < р < 1+1/а. А тогда разность
Ui{r,íp,xz) =uo(r,v,xз) - tt0(г,<р,хз - а)
тоже будет решением однородной задачи Дирихле (1.21). Поскольку «o(r, v?, и uo(r, <р, хз — а) имеют одинаковую асимптотику на бесконечности, то их разность убывает на бесконечности быстрее. Нетрудно убедиться, что щ 6 при 1 < р < 2/(1 + п/а). Продолжая
процесс, можно построить решения однородной задачи Дирихле (1.21), убывающие на бесконечности быстрее любой наперед заданной степени 1/|х|. Таким образом, строится счетный набор линейно независимых и достаточно быстро убывающих на бесконечности обобщенных решений из Lp(Q) однородной задачи (1.21) при 1 < р < 2/(1 + тг/а). Аналогичным способом строится счетный набор линейно независимых и достаточно быстро убывающих на бесконечности обобщенных решений задачи Неймана (1.22) из пространства Lp(Q) при 1 < р < \^n¡a-
В третьем параграфе доказано существование обобщенных решений задач Дирихле (1.5) и Неймана (1.8) для любого показателя 1 < р < оо при 0 < а ^ 7г или 1+l/a < р < при 7г < а ^ 2к. А именно,
в третьем параграфе доказана теорема 1.1. Справедливость теоремы 1.1 устанавливается сначала при 2 ^ р < оо, когда 0 < а ^ тг и при 2 ^ р < 2/(1 - 7г/а), когда тг < а ^ 2л. При этом используются теоремы 1.5, 1.6 и уже установленная единственность обобщенных решений задач Дирихле и Неймана. Справедливость теоремы 1.1 при 1 < р < 2, когда О < а ^ 7г и при 2/(1 + w/a) < р ^ 2, когда 7г < а < 2к следует из установленной М.Е Боговским1 теоремы, согласно которой разложения (1.10) имеют место при р = q тогда и только тогда, когда они справедливы при р = q', где q' = q/(q - 1).
В четвертом параграфе доказана незамкнутость области значений эллиптического оператора как в случае задачи Дирихле (1.5), так и в
случае задачи Неймана (1.8) при 1 < р < или ^ Р < 00» когда
7г < а ^ 2я". Незамкнутость области значений эллиптического оператора более естественно формируется в виде следующей теоремы
Теорема 1.7. Пусть тг < а ^ 2ж и пусть 1 < р ^ \+1/а ■ Тогда
о о
подпространства Jp(n) + Gp(Cl) и Jp(íl) + Gp(íl) незамкнуты в ЬР(П;М3).
При р = 1+1/о незамкнутость суммы соответствующих подпространств в 1/р(П;К3) доказывается по схеме работы В.Н. Масленниковой и М.Е. Боговского12. В случае 1 < р < \+\/а незамкнутость суммы соответствующих подпространств доказывается путем построения
о
примеров. Так для доказательства незамкнутости суммы (О.) + СР(П) в £Р(П;К3) рассматривалась вспомогательная задача
Дм = 0, х е П,
ди
дп
_ ди
<р=о дп
О, (1.24)
ip—Q
и\Хз=о = К"|(г)сов|<р, где О *=/ Г„ х М+ и Г„ - плоский угол с раствором а 6 (тг, 27т], а
о
Ки — функция Макдональда. Предполагая, что подпространство Jp (П) + СР(П) замкнуто в £Р(П;П13) при 1 < р < 1+2/а легко доказать, что задача (1.24) имеет решение в классе 1/р(П). С другой стороны общий вид решения задачи (1 24) в классе £р(П) может быть найден методом разделения переменных-
V-"1 / П7Г
и[х) - 2_^Un(r,x3)cos~(р. (1.25)
п=0
В преобразовании Фурье коэффициент и\(г, представим в виде
е«!(г,0 = к, (г) - —Ljtfj (Г) v€ е R+? (1.26)
где А — некоторая измеримая по Лебегу функция. При этом решение (1.25) задачи (1.24) принадлежит классу Lp(í7), только в случае
г ос
/ £2p~2¡ü}(r,£)lpd£ <оо, V г > О, 1<р< 2/(1 + тг/а), Jo
12Maslennikova V N , Booovskii M E On Non-Closure of Range of Values of Elliptic Operator for a Plane Angle Ann Univ Ferrara — Sez VII — Sc Mat , vol XXXIX, 1993, p 65-75
т.е. в случае, когда найдутся положительные числа ri > г2 > 0 и последовательность } с (0,оо) такие, что
Im ЫМг,,&)| + |й,(г2,&)|] = 0, 1 < р < 2/(1 + тг/а). (1.27)
-к»
Тогда из (1.26) при г = r3, j = 1,2 получаем равенства
lim ЬАЫКъ&г,) = —Kx(rj), з = 1,2,
о
из которых следует, что существует конечный предел
Цт крш __ ^р)
K^kTx) ATj(ri)
при любых фиксированных rj > r-i > 0. С другой стороны в силу известной асимптотики функции Макдональда, при фиксированных п > г2 > 0 дробь К ж. (0сГ2)/А'л. ) при & -> оо экспоненциально растет. Из полученного противоречия следует, что предположение о замкнутости
о
подпространства Jp(fl) + GP(Q) в LP(Q; М3) неверно.
Как установил М.Е. Боговский1 для произвольной области П с М3
о о
суммы подпространств Jp(ü)+Gp (Ü) и Jp (fi)+Gp(fi) замкнуты в Lp(il\ М3) при р = q тогда и только тогда, когда они замкнуты в Lp(fi; К3) при р = </', q' = q/(q — 1), 1 < q < оо. Отсюда и из теоремы 1.7 следует
Теорема 1.8. Пусть ж < а ^ 2ir и пусть 1_2к/а ^ Р < оо. Тогда
о о
подпространства JP(Q) + GP(Ü) и JP(Q) + GP(Q) незамкнуты в Lp(ft;M3).
Пятая заключительная глава
посвящена вопросам существования или несуществования, а также вопросам единственности или неединственности обобщенных решений задач Дирихле (1.5) и Неймана(1.8) в ограниченных областях с ребрами. В частности, рассматриваются ограниченные области вида П = Г^ х К, где Г^ — сектор единичного круга с раствором а £ (0,2тг]. Глава состоит из двух параграфов. Первый параграф посвящен задаче Неймана, а второй — задаче Дирихле Основной целью главы является доказательство следующих теорем.
Теорема 1.9. Пусть 1 < р < оо при 0 < а ^ ж или < р <
при ж < а ^ 2ж. Тогда справедливы разложения в прямые суммы:
Lp(ft;K3) = Jp(ü) ФС?Р(П), (1.29)
LP(Ü-,R3)= JP(Ü)(BGP(Ü). (1.30)
Теорема 1.10. Пусть ж < а ^ 2тг и пусть 1 < р < • Тогда
dim Jp (fi) Л G„(fi) = dim Jp(fi) П Gp (П) = Теорема 1.11. Пусть п < а ^ 2тг и пусть 1 < р ^ 2/(1 + тг/а)
о
или 2/(1 — 7г/а) ^ р < оо. Тогда подпространства JP{£1) + Gp(fl) и
о
Jp(fi) 4- Gp(fi) незамкнуты в Lp(fi;K3).
Доказательство последней теоремы опирается на уже изученный нами случай двугранного угла ft = Га х R. При этом теорема 1.11 доказывается от противного с использованием растяжений.
В заключение отметим, что в случае двугранного угла J7 = Га х К может показаться, что наличие интервалов значений показателя р, при
о о
которых подпространства Jp(ft) + Gp (fl) и Jp (П) + Gp(ii) незамкнуты в Lp(fi;K3), каким-то образом связано с неограниченностью области П. Однако, пример ограниченной области П из теоремы 1.11 показывает, что такой связи, вообще говоря, не существует.
ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
1. Адабуну Деду. К Ьр-теории эллиптических краевых задач в трехмерных областях с ребрами. - М., 2005. - 172 с. - Рус. - Деп в ВИНИТИ 2005, №
2 М Е Bogovskii and D. Adabunu Helmholtz decomposition ofLp for dihedral domains. International Conference on Functional Analysis and its Applications. Dedicated to the 10th anniversary of Stefan Banach: Book of Abstracts May 28-31, 2002, Lviv, Ukraine. - Lviv, 2002. - p. 39
3. Адабуну Деду. Присоединенные функции Лежандра и метод разделения переменных для оператора Лапласа в двугранном угле. XXXVI Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин. 22 - 26 мая 2000 г. Тезисы докладов. Математические секции. - М.: Изд. РУДН, 2000. - С. 43 - 44.
4. Адабуну Деду. Ьр-теория эллиптических краевых задач в областях с ребрами. XXXVIII Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин. 14 - 17 мая 2002 г. Тезисы докладов. Математические секции. - М : Изд. РУДН, 2002. -С. 18
5. Адабуну Деду. Присоединенные функции Лежандра и метод разделения переменных для оператора Лапласа в двугранном угле. Вестник РУДН, Серия Математика. - 2002. - JV» 9(1). - С. 3 - 28.
Адабуну Деду
К Lp-ТЕОРИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В ТРЕХМЕРНЫХ ОБЛАСТЯХ С РЕБРАМИ.
Для ограниченных и неограниченных областей iîeR3 с ребрами решаются вопросы существования и единственности обобщенных решений задач Дирихле и Неймана для оператора Лапласа в классе Соболева Lp(Q), т.е. с первыми производными из LP(Q). Эти вопросы, сводящихся к разложению пространства Лебега Lp(fi; R3) в прямую сумму двух соответствующих подпространств соленоидальных и потенциальных вектор-функций, решаются во всей шкале значений показателя р 6 (1, оо).
Adabunu Dedu
ТО THE Lp-THEORY OF THE ELLIPTIC BOUNDARY VALUE
PROBLEMS ON THREE-DIMENSIONAL DOMAINS WITH
EDGES
For bounded and unbounded domains fi € K3 with edges, the questions of existence and uniqueness of generalized solutions to Dirichlet and Neumann problems for the Laplace operator are solved in the Sobolev class Llp(Q), i e. with the first order derivatives in Lp(fl). These questions, reducing to the decomposition of Lebesgue space LP(Q; R3) into a direct sum of the two appropriate subspaces of divergence-free and potential vector functions, are solved for all values of the exponent p € ( 1 , oo)
Adabounou Dédou
VERS LA THÉORIE Lv DES PROBLÈMES ELLIPTIQUES AUX VALEURS LIMITÉES DANS DES DOMAINES TRIDIMENSIONNELS AVEC DES ARÊTES
Pour des domaines bornés et illimités fi e R3 avec des arêtes, nous résolvons les questions d'existence et d'unicité des solutions généralisées des problèmes de Dirichlet et de Neumann pour l'opérateur de Laplace dans la classe de Sobolev Lp(ii), c.-à-d. avec les dérivées du premier ordre dans LP(SÏ). Ces questions, réduites à la décomposition de l'espace de Lebesgue Lp(ïl\ R3) en une somme directe de deux sous-espaces appropriés de fonctions vectorielles de divergence-libre et potentielles, sont résolues pour toutes les valeurs de l'exposent p € (1, oo).
Подписано в печать ^/Формат 60x84/16. Тиранс/ДОэкз. Усл. печ. л. Заказ Зо5~
Типография Издательства РУДН 117923, ГСП-1, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3
»-82 16
РНБ Русский фонд
2006-4 * 5274 i
'à
ВВЕДЕНИЕ
1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ
1.1 Обобщенная постановка задач Дирихле и Неймана для оператора Лапласа.
1.2 Обзор Lp-теории эллиптических краевых задач в обобщенной постановке
2 ЯВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ
2.1 Присоединенные функции Лежандра.
2.2 Метод Фурье в классе Lp для двугранного угла.
3 Lp-ОЦЕНКИ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ
3.1 Явный вид решений задач Дирихле и Неймана.
3.2 Весовые оценки.
3.3 Lp-оценки обобщенных решений задач Дирихле и Неймана.
4 ВОПРОСЫ РАЗРЕШИМОСТИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
4.1 Единственность обобщенных решений задач Дирихле и Неймана.
4.2 Неединственность обобщенных решений задач Дирихле и Неймана.
4.3 Существование обобщенных решений задач Дирихле и Неймана.
4.4 Несуществование обобщенных решений задач Дирихле и Неймана.
5 ОГРАНИЧЕННЫЕ ОБЛАСТИ
5.1 Задача Неймана в ограниченных областях.
5.2 Задача Дирихле в ограниченных областях.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Рис. 1.1: Двугранный угол О = Га х R.
Классическая постановка задач Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона предполагает достаточную гладкость входящих в задачи данных. Однако, многие математические модели физических процессов сводятся к задачам с негладкими данными. Если при этом классическая постановка и возможна, то задача в классической постановке зачастую оказывается некорректно поставленной. Наиболее естественным выходом из такой ситуации оказалось расширение класса решений путем введения понятия обобщенного решения краевой задачи. Так, обобщенные решения задач Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона определяются с помощью интегральных тождеств, содержащих в себе во-первых само уравнение Пуассона, а во-вторых краевые условия задачи, если существование соответствующих этим краевым условиям следов не гарантировано априори классом рассматриваемых обобщенных решений.
В этой работе решаются вопросы существования и несуществования, единственности и неединственности обобщенных решений задач Дирихле и Неймана в соболевском классе , т.е с первыми производными из Lp, для уравнения Пуассона в ограниченных и неограниченных трехмерных областях с ребрами — в частности, в двугранном угле Q = Га х М, где Га — плоский угол с раствором a G (0,27г]. Рассматриваемая обобщенная постановка как задачи Дирихле, так и задачи Неймана эквивалентна разложению пространства Лебега Lp(Г2;Е3) вектор-функций v : Q —> М3 в прямую сумму соответствующих замкнутых подпространств соленоидальных и потенциальных вектор-функций. Тема диссертации является непосредственным продолжением исследований, начатых автором в выпускной работе и в магистерской диссертации.
Lp-теория краевых задач математической физики представляет собой важный самостоятельный раздел теории дифференциальных уравнений в частных производных. Разложение пространства Лебега Lp(0;R3) в прямую сумму замкнутых подпространств соленоидальных и потенциальных вектор-функций, соответствующих краевым условиям Неймана, обычно называют 1/р-разложением Гельмгольца. В свою очередь, Lp-разложение Гельмгольца представляет значительный интерес и само по себе, так как на нем основываются многочисленные подходы к решению широкого круга задач механики несжимаемой сплошной среды. В частности, как установлено в работе М.Е. Боговского [10], разрешимость начально-краевой задачи для линеаризованной системы Навье-Стокса в классе сильных решений с производными из Lp для неограниченной области с гладкой некомпактной границей д£1 эквивалентна £р-разложению Гельмгольца. При этом для гладкой dQ особенностью границы типа ребра является совпадение д£1 с двугранным углом в некоторой окрестности бесконечности. Таким образом, особенность некомпактной гладкой dQ связана с ее геометрией на бесконечности и значением показателя р.
В случае р = 2 справедливость ортогональных разложений Z>2 в соответствующие суммы замкнутых подпространств соленоидальных и потенциальных вектор-функций была впервые установлена Г. Вейлем [164] и C.JI. Соболевым [65] для ограниченных областей Q С R3 с гладкими границами. Позднее справедливость ортогональных разложений Вейля-Соболева была установлена для любой области в Rn без каких-либо предположений о гладкости границы. Для ограниченных областей Lp-разложение Гельмгольца при р ф 2 изучено в работе Д. Фудживары и X. Моримото [110]. Внешние области £1 С R3 были исследованы в работах В.А. Солонникова [68], Т. Миякавы [146], [145] и в работе В. фон Валя [163]. Ограниченные и внешние области ficR", п ^ 2 были рассмотрены в работе К. Симадера и Г. Зора [154]. Следует отметить, что заметно нарастающий в последние годы интерес к Lp-разложению Гельмгольца в случае р ф 2 связан, в первую очередь, с тем очевидным фактом, что для нелинейных уравнений Навье-Стокса Lp-теория предоставляет гораздо более широкие технические возможности, чем ее частный случай — £2-теория.
Как правило, методы, разработанные для областей с гладкими компактными границами, оказываются в равной степени недостаточными как для областей с негладкими компактными границами, так и для областей с гладкими некомпактными границами. К настоящему времени исследованы лишь некоторые частные случаи областей с гладкими некомпактными границами. Так, в работе Р. Фарвига и Г. Зора [105] изучены случаи полупространства и области Хейвуда, т.е. области, состоящей из двух полупространств, сообщающихся через отверстие в разделяющей их плоскости. В работе Т. Миякавы [146] изучены полупространства, области Хейвуда и гиперслой Rn х (0,1). Отметим, что Г. Зор и Г. Тэтер рассмотрели в [156] вопрос об Lp-разложении Гельмгольца в бесконечном гиперцилиндре Q = Г х R, где Г С Rn1 — ограниченная область с границей 5Г класса С2'*4, 0 < [1 ^ 1, п ^ 2. Еще раньше в работе М.Е. Боговского [10] рассматривались области С Rn с границей dQ £ С1, имеющие конечное число выходов на бесконечность. При этом бесконечный гиперцилиндр оказывается частным случаем области с двумя выходами на бесконечность из работы [10].
В настоящей работе проблема £р-разложения Гельмгольца изучена для областей HcR3c ребрами. Несмотря на значительное число публикаций на эту тему, на многие важные вопросы до сих пор не было ответа. В диссертации даны ответы на вопрос о размерности ядра и коядра эллиптического оператора с краевыми условиями Дирихле и Неймана, устанавливается замкнутость и незамкнутость его области значений в зависимости от показателя р и геометрии области. Впервые обнаружены интервалы значений показателя р, при которых соответствующие суммы подпространств соленоидальных и потенциальных вектор-функций не замкнуты в Lp(f2;R3). Подчеркнем, что речь здесь идет о разложении пространства Лебега Lp без веса.
Цель работы состоит в изучении вопросов разрешимости и единственности обобщенных решений задач Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона в областях ficl3 с ребрами. Эти вопросы сводятся к вопросу о разложении пространства Лебега LP(Q,] R3) в прямую сумму соответствующих подпространств соленоидальных и потенциальных вектор-функций. В случае задачи Неймана эти разложения также известны как £р-разложения Гельмгольца. В настоящей работе найдены интервалы значений показателя р, при которых рассматриваемые разложения Lp(Q;R3) имеют место для ограниченных и неограниченных областей Q с ребрами. Кроме того, установлено наличие интервалов значений показателя р, при которых рассматриваемые суммы замкнутых подпространств соленоидальных и потенциальных вектор-функций представляют собой незамкнутые в Lp{i2; К3) подпространства.
В диссертации получены в явном виде представления обобщенных решений задач Дирихле и Неймана для двугранного угла. Для получения Ьр-оценок первых производных этих решений используются метод локализации, теоремы об £р-мультипликаторах преобразования Фурье и £р-оценки явных представлений решений в двугранном угле. На основании полученных £р-оценок обобщенных решений во всей шкале значений показателя р установлены размерность ядра, замкнутость или незамкнутость области значения соответствующего эллиптического оператора.
Все основные результаты диссертации являются новыми. В диссертации изучены различные свойства Lp-пространств соленоидальных и потенциальных вектор-функций. Установлен явный вид элементов соответствующих ядер эллиптических операторов с условиями Дирихле и Неймана для ограниченных и неограниченных областей с ребрами.
Диссертация носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть применены в математической гидродинамике несжимаемой жидкости и в теории краевых задач математической физики. Разработанные в диссертации методы могут быть использованы при исследовании достаточно широкого круга задач математической физики в ограниченных и неограниченных областях с негладкими границами. Предложенный метод решения представляет интерес для теории линейных дифференциальных уравнений в частных производных и может лечь в основу алгоритма численного решения поставленных краевых задач.
Все научные результаты, содержащиеся в диссертации, являются достоверными и тщательно обоснованы строгими доказательствами. Полученные результаты докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа Российского университета дружбы народов под руководством проф. М.Ф. Сухинина, проф. А.В. Фаминского, доц. М.Е. Боговского, доц. Н.А. Шананина, а также на XXXVI и XXXVIII Всероссийских научных конференциях по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин. Основные результаты, содержащиеся в диссертации опубликованы в пяти статьях.
Изложенная на 156 машинописных страницах диссертация состоит из пяти глав. Каждая глава содержит два, три или четыре параграфа. В конце диссертации приводится список литературы из 164 наименований, а также список иллюстраций, список обозначений и указатель терминов.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Главным объектом изучения в диссертации является уравнение Пуассона в двугранном угле
Ли = div F, х 6 П = Га х R, (1.1) с краевым условием Дирихле или с краевым условием Неймана ди и\еп = О дп еп
1.2)
1.3) где через п обозначен единичный вектор внешней нормали к дО,. Через Ьр(р.) обозначено, как обычно, пространство Соболева с полунормой
IMU'(n) = II^IUpCW)
H=i
Задача Дирихле (1.1), (1.2) соответствует краевой задаче v + Vu = F(x), divu = 0, х 6 и\дп = 0
1.4) для системы первого порядка, эллиптической по Дуглису-Ниренбергу. Обобщенным решением задачи Дирихле (1.4) будем называть функцию и 6 ^р(^), удовлетворяющую краевому условию (1.2) и интегральному тождеству
Г (V и ~ F,Уф) dx = 0, Уф е С°°(П). (1.5)
Jn
Краевую задачу Дирихле (1.4) удобно сформулировать в терминах разложения пространства Лебега Lp(fi;R3) в прямую сумму
LP(Q] Е3) = JP(Q) е GP(Q)
1.6) замкнутых подпространств соленоидальных и потенциальных векторо функций JP(Q) и Gp(£2), которые определяются следующим образом:
Jp(Q)dM{v. u = u|n, ueJp(R3)}, о где Jp(fi) — замыкание в LP(Q]M.3) его подпространства г; € C°°(ft;E3) : divt; = 0},
Gp (Г2) — замыкание в LP(Q; R3) его подпространства
G°°(Q) =f {v: v = S/ф, ф 6 С°°(ОД.
Задача Неймана (1.1), (1.3) соответствует краевой задаче f v + Vu = F(x), < divv = 0,
1.7) v, n)|an = 0 ч для той же системы первого порядка, эллиптической по Дуглису-Ниренбергу. Обобщенным решением задачи Неймана (1.7) будем называть функцию и 6 Lp(Q), удовлетворяющую интегральному тождеству
Краевую задачу Неймана (1.7) удобно сформулировать в терминах разложения пространства Лебега LP{Q\ R3) в прямую сумму замкнутых подпространств соленоидальных и потенциальных векторо о функций JP(Q) и GP(Q), где подпространство JP(Q) уже определено выше, а подпространство
Разложением Гельмгольца принято называть именно разложение (1.9), тогда как за разложением (1.6) при р ф 2 пока не закрепилось никакого достаточно устойчивого наименования.
Во введении дан краткий обзор известных результатов, приводятся постановки задач, обсуждается их актуальность и кратко излагаются основные результаты диссертации.
Первая глава состоит из двух параграфов. Глава посвящена постановке задач и обзору результатов. В первом параграфе приведены классические постановки задач и даны определения обобщенных решений поставленных
1.8)
LP(Q; R3) = ip(Q)eCp(Q)
1.9)
Gp(tt) аМ {v: v = S/ф £ Lp(fi;R3)}. задач. Второй параграф посвящен вопросам разложения пространства Лебега LP(Q;M?) в прямые суммы соответствующих замкнутых подпространств соленоидальных и потенциальных вектор-функций. Центральное место в первом параграфе и в диссертации в целом занимает следующая
Теорема 1.0.1. Пусть 1 < р < оо при 0 < а ^ 7г или < р < при 7Г < а ^ 27Г. Тогда для двугранного угла П = Га х Е имеют место разложения пространства Лебега R3) в прямые суммы
Z/p(Q; R3) = jp(Q)®Gp(£l).
Доказательство теоремы 1.0.1 приводится в третьем параграфе четвертой главы и опирается на ряд вспомогательных результатов, установленных в главах II - IV.
Во второй главе выведены явные представления решений задач Дирихле (1.5) и Неймана (1.8) методом разделения переменных. Глава состоит из двух параграфов. В первом параграфе на интервале (—1,1) строится решение присоединенного уравнения Лежандра
1г2)„»[1,(1 + ^^]и = 0 (1.11) с помощью разложения в ряд в окрестности правого конца. Затем исследуется асимптотика этого решения в окрестности левого конца, что позволяет найти общее решение присоединенного уравнения Лежандра на интервале (-1,1). Далее исследуется частный случай индексов /и иг/, когда присоединенное уравнение Лежандра имеет на (—1,1) ограниченные решения. Это возможно только при v — п ~ (1 или v = /л — п — 1, где п ^ 0 — целое. При этом присоединенные функции Лежандра Pjf(z) выражаются через многочлены Гегенбауэра C^(z). Именно этот случай индексов /1 и и нужен в методе разделения переменных для двугранного угла, и именно этому случаю имеющиеся многочисленные публикации по присоединенным функциям Лежандра не уделили никакого внимания.
Во втором параграфе решаются задачи Дирихле (1.5) и Неймана (1.8) методом разделения переменных, который обосновывается в классе Lp(&) на интервале значений показателя р:
1 < р < оо при 0 < а ^ 7Г,
1+г73 < Р < dfe при 7Г < а ^ 2тг.
Обобщенные решения задач Дирихле (1.5) и Неймана (1.8) в сферических координатах имеют вид оо
П7ГСО иг. г.": - : —
1 а п=1 г, <p,6) = Ys Mn(r, 0) sin (1.12) с коэффициентами Фурье
2 TL7T 00 П1Г г, 9) = - / «(г, у?) sin-dp = Rnk(г)Р^Л* (cos 0) a Jo a f^ оо
2 / - / Л Ч . П7Г(1С' 7 U v ' ' rv /п " ' ГУ fc=0 в случае задачи Дирихле, а в случае задачи Неймана оо
П7Г(р иг ------- . -------s(r,y>,0) = ^li„(r,0) cos с коэффициентами Фурье о; п=0
2 Г ( а \ П7Г^ А / u(r, У, </?) cos-ар, гг ^ 1,
М)=' aJo
71 = 0, а
1 /*а
- / и(г,в,<р)скр, а Уо где используется одно и тоже обозначение -1 + 2(fc + Х [Г*+° Г Г p2^fnk(p)dp
Jo как в случае задачи Дирихле, так и в случае задачи Неймана.
Третья глава состоит из трёх параграфов. Она посвящена Lp-оценкам. В первом параграфе выводится другое представление обобщенного решения задачи Дирихле (1.5), а именно в цилиндрических координатах в виде ряда Фурье оо
П7Г(р а р, ж3) = ип(р, х3) sin-. (1.13)
71 — 1
Применяя к коэффициентам Фурье ип(р,хз) преобразование Фурье
Fx^[u(x)]n^ й(0 = ( u(x)e-*'#dx,
J R3 мы показали, что эти коэффициенты удовлетворяют модифицированному уравнению Бесселя. Решив это уравнение, мы получили явное представление обобщенного решения задачи Дирихле (1.5) в виде ряда Фурье (1.13) с коэффициентами Фурье
Un(p,xз) = --$2/ Sj(p,сг,хз) * Fj(a,cp,xz) sin (1.14) а Jra a где функции где Iv — модифицированная функция Бесселя порядка и. Для локализации используется разбиение единицы
1 = т(ч>) + тЫ +V3 (</>), 0<ср^а, о на отрезке [0,а], где 7]j G C°°(R), diamsupply = 7г, i = 1,2,3. При этом локализация в задаче Дирихле (1.1), (1.2) приводит к задачам
Ди7- = div Gj + gj х е R3 , ' ' + (1.16) Mj|I'=O = 0) J = 1,2,3, где Gj = Frjj + 2uVx>T]j и gj = -иАщ - (F, V^).
Во втором параграфе доказано, что первые производные решения Uj задачи (1.16) удовлетворяют неравенству:
IIV^H^^^C Ц^Ц^к^+Цр^Ц^з) , 2^р<оо. (1.17)
При этом, как нетрудно убедиться, и
- р
- и р II^IIlp(e3 )
C ~ r ,»s X + \\F\\lp(4 Применяя к ряду Фурье (1.13) теорему Пэли, получим оценку 2
1.18)
1.19)
1.20)
Lp{tt) ~ I — тг/а где постоянная Сар зависит только от а и р. Из оценок (1.17) - (1.20) следует оценка
II^VtilU^BS)^ C||F||MM3)f 2 < р < из которой вытекает
Теорема 1.0.2. Пусть 2 ^ р < оо при 0 < а ^ ж или 2 ^ р < при
7г < а ^ 2п и пусть F 6 Lp(f2;R3), где = Га х R. Тогда обобщенное решение задачи Дирихле (1.5) удовлетворяет оценке
Аналогичным образом доказывается
Теорема 1.0.3. Пусть 2 ^ р < оо при 0 < а ^ 7г или 2 ^ р < при
7г < a ^ 27г и пусть F 6 LP(Q; R3), где £1 = Га х R. Тогда обобщенное решение задачи Неймана (1.8) удовлетворяет оценке l|Vu||£j,(n;R3) ^ C||F||m№).
Четвертая глава состоит из четырех параграфов. В этой главе для двугранного угла О. = Га х R рассмотрены однородные задачи Дирихле
Аи = 0, х eQ, u\an = 0
1.21) и Неймана
An = 0, х е О, ди (!-22) дп 0. дП
В первом параграфе решаются вопросы единственности обобщенных решений задач Дирихле (1.21) и Неймана (1.22). Центральное место в параграфе занимает следующая теорема.
Теорема 1.0.4. Пусть 1 < р < оо при 0 < а ^ тг или ^ Р < 00 при 7Г < а ^ 27Г и пусть и(х) 6 1/*/ос(Г2) — обобщенное решение однородной задачи Дирихле (1.21) или однородной задачи Неймана (1.22) для которого найдутся такие положительные числа М и N, что Г
Jn
1 + \x'\N + \х3\м Тогда и(х) является многочленом по х^, т.е. и dx < оо. (1.23) т и(х',х3) = ^2vk(xr)x%, т < [М] - 1. к=0
С помощью теоремы 1.0.4 легко доказывается теорема единственности обобщенных решений задачи Дирихле.
Теорема 1.0.5. Пусть 1 < р < оо при 0 < о; ^ 7г или ^ р < оо при
7Г < а ^ 27Г w пусть и(х) 6 — обобщенное решение однородной задачи
Дирихле (1.21), удовлетворяющее условию (1.23). Тогда и(х) = 0.
Аналогичным образом устанавливается единственность обобщенных решений задачи Неймана.
Теорема 1.0.6. Пусть 1 < р < оо npw 0 < а тг или ^ р < оо при 7Г < о; ^ 27Г и пусть и{х) G Ьр(Г2) — обобщенное решение однородной задачи Неймана (1.22), удовлетворяющее условию (1.23). Тогда Vu = 0.
Во втором параграфе строятся элементы ядер эллиптических операторов, соответствующих обобщенным постановкам задач Дирихле (1.21) и Неймана
1.22). При 1 < р < 2/(1 + 7г/а) общее решение однородной задачи Дирихле (1.21) в классе Lp(f2;Е3) имеет вид uo(r,<P,x3) = F£X3 [КЫ(\£\Г)] sin^, n <= N, где Kv ~ модифицированная цилиндрическая функция второго рода порядка I/, известная как функция Макдональда.
Заметим, что оператор Лапласа инвариантен относительно сдвига. Это означает, что щ(г,<р,хз — а) при любом а 6 R также является решением однородной задачи Дирихле (1.21). При этом Vuo(r,</?,хз — a) G LP(Q;M.3), если 1 < р < 1+1/а. А тогда разность mi (г, ср, х3) = «о(г, (р,х3) - «о (г, ip, х3 - а) тоже будет решением однородной задачи Дирихле (1.21). Поскольку щ(г, <р, х3) и щ(г, ip, Х3 — а) имеют одинаковую асимптотику на бесконечности, то их разность убывает на бесконечности быстрее. Нетрудно убедиться, что щ Е Lp(Q.) при 1 < р < 2/(1 + 7г/а). Продолжая процесс, можно построить решения однородной задачи Дирихле (1.21), убывающие на бесконечности быстрее любой наперед заданной степени 1/\х\. Таким образом, строится счетный набор линейно независимых и достаточно быстро убывающих на бесконечности обобщенных решений из Lp(£l) однородной задачи (1.21) при
1 < р < 2/(1 + 7г/а). Аналогичным способом строится счетный набор линейно независимых и достаточно быстро убывающих на бесконечности обобщенных решений задачи Неймана (1.22) из пространства Lp(Q) при 1 < р <
В третьем параграфе доказано существование обобщенных решений задач Дирихле (1.5) и Неймана (1.8) для любого показателя 1 < р < оо при О < о; < 7Г или < р < ПРИ 77 < а ^ А именно, в третьем параграфе доказана теорема 1.0.1. Справедливость теоремы 1.0.1 устанавливается сначала при 2 ^ р < оо, когда 0 < ос ^ 7г и при
2 ^ р < 2/(1 — 7г/а), когда 7г < а ^ 2тг. При этом используются теоремы 1.0.5, 1.0.6 и уже установленная единственность обобщенных решений задач Дирихле и Неймана. Справедливость теоремы 1.0.1 при 1 < р < 2, когда 0 < а < 7Г и при 2/(1 + тг/а) < р < 2, когда тг < а ^ 2тг следует из установленной М.Е. Боговским в [10] теоремы, согласно которой разложения
1.10) имеют место при р = q тогда и только тогда, когда они справедливы при р = q', где q' = q/{q - 1).
В четвертом параграфе доказана незамкнутость области значений эллиптического оператора как в случае задачи Дирихле (1.5), так и в случае задачи Неймана (1.8) при 1 < р ^ или ^ р < оо, когда 7Г < а ^ 2тг. Незамкнутость области Незамкнутость области значений эллиптического оператора более естественно формируется в виде следующей теоремы
Теорема 1.0.7. Пусть 7г < а ^ 2л" и пусть 1 < р ^ • Тогда о о подпространства Jp{p) + Gp(Q) и Jp(Q,) 4- GP(Q.) незамкнуты в Lp(Q;R3).
При р = незамкнутость суммы соответствующих подпространств в Lp(r2;]R3) доказывается по схеме работы В.Н. Масленниковой и М.Е. Боговского [138]. В случае 1 < р < незамкнутость суммы соответствующих подпространств доказывается путем построения примеров. о
Так для доказательства незамкнутости суммы JP(!T2) + Gp(£l) в Lp(fi;M3) рассматривалась вспомогательная задача
Aw = 0, х е О, ди дп ди ч>=о дп 0, (1.24) р=а и\х3=0 = Kz{r) cos def где Q = Га х R+ и Га — плоский угол с раствором а е (п, 27г], a Kv — функция Макдональда. Предполагая, что подпространство о
Jp(Q,) + GP(Q) замкнуто в LP(Q,; R3) при 1 < р < легко доказать, что задача (1.24) имеет решение в классе Lp{Q). С другой стороны общий вид решения задачи (1.24) в классе Lp(Q) может быть найден методом разделения переменных: сю
П7Г U п=0 " ' а х) = un(r,x3) cos—(р. (1.25)
В преобразовании Фурье коэффициент щ (г, хз) представим в виде efli(r,0 = Kt(r) - + ve € R+, (1.26) где А — некоторая измеримая по Лебегу функция. При этом решение (1.25) задачи (1.24) принадлежит классу только в случае
-оо fc ^2p~2|ui(r,Olp^ < оо, V г > 0, 1<р< 2/(1 + тг/ог), J о т.е. в случае, когда найдутся положительные числа г\ > г2 > 0 и последовательность С (0,оо) такие, что lim 6[|^i(ri,6)| + |wi(r2,efc)|] = 0, 1<р<2/(1 + тг/а). (1.27) Тогда из (1.26) при г = rj, j = 1,2 получаем равенства lim = -Щч), j = 1,2, из которых следует, что существует конечный предел lim " 7 = (1.28) при любых фиксированных г\ > г2 > 0. С другой стороны в силу известной асимптотики функции Макдональда, при фиксированных г\ > г2 > 0 дробь пРи —У экспоненциально растет. Из полученного противоречия следует, что предположение о замкнутости подпространства Jp(fi) + GP(Q) в LP(Q;R3) неверно.
Как установил М.Е. Боговский [10] для произвольной области О, с R3 о о суммы подпространств JP(Q) + Gp (f2) и Jp (f2) + Gp(f2) замкнуты в LP{Q.\R3) при p = q тогда и только тогда, когда они замкнуты в Lp(fl; R3) при р = q q' = q/(q — 1), 1 < q < оо. Отсюда и из теоремы 1.0.7 следует
Теорема 1.0.8. Пусть 7Г < а ^ 27Г и пусть ^ р < оо. Тогда о о подпространства Jp(fi) + GP(Q) и JP(Q) + GP(Q) незамкнуты в LP(S1;R3).
Пятая заключительная глава посвящена вопросам существования или несуществования, а также вопросам единственности или неединственности обобщенных решений задач Дирихле (1.5) и Неймана(1.8) в ограниченных областях с ребрами. В частности, рассматриваются ограниченные области вида Q. = Г* х R, где Г* — сектор единичного круга с раствором а € (0,27т].
Глава состоит из двух параграфов. Первый параграф посвящен задаче Неймана, а второй — задаче Дирихле. Основной целью главы является доказательство следующих теорем.
Теорема 1.0.9. Пусть 1 < р < оо при 0 < а ^ 7Г или < р < при
7Г < а ^ 2к. Тогда справедливы разложения в прямые суммы:
LP(Q;R3) = JP(Q) (1.29)
Lp(ft;R3) = jp(ft) ф (1.30)
Теорема 1.0.10. Пусть ir < a ^ 2n и пусть 1 < p < 1+27Г/а- Тогда dim Jp (fi) П GP(Q) = dim Jp(ft) П Gp (ft) = oo. Теорема 1.0.11. Пусть тг < a ^ 27Г и пусть 1 < р ^ 2/(1 + тг/а) о или 2/(1 — тг/а) ^ р < оо. Тогда подпространства JP(Q) + Gp(0) и о
Jp(ft) + Gp(f2) незамкнуты в Lp{£l\ R3), а соответствующие коразмерности их дополнений бесконечномерны.
Доказательство последней теоремы опирается на уже изученный нами случай двугранного угла Q = Га х R. При этом теорема 1.0.11 доказывается от противного с использованием растяжений.
В заключение отметим, что в случае двугранного угла fi = Га х 1 может показаться, что наличие интервалов значений показателя р, при которых о о подпространства JP(C2) + Gp(f2) и Jp(£2) + Gp(£l) незамкнуты в Lp(ft;R3), каким-то образом связано с неограниченностью области Q. Однако, пример ограниченной области Q из теоремы 1.0.11 показывает, что такой связи, вообще говоря, не существует.
1. агмон, дуглис, ниренберг. Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных производных при общих граничных условиях. М., ИЛ, 1962.
2. А дабу ну Д. Присоединенные функции Лежандра и метод разделения переменных в двугранном угле. Вестник РУДН, 2002 г.
3. Ахиезер н. И., глазман И. м. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М., Наука, 1966.4. бейтмен г., Э рдей и А. Высшие трансцендентные функции, т.1. Гипергеометрическая функция, функции Лежандра. М., Наука, 1973.
4. БЕЙТМЕН Г., ЭРДЕЙИ А. Высшие трансцендентные функции, т.2. Функции Бесселя, Функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М., Наука, 1965.6. бейтмен г., эрдейи а. Таблицы интегральных преобразований, т.1. Интегралы. М., Наука, 1969
5. БЕЙТМЕН Г., ЭРДЕЙИ А. Таблицы интегральных преобразований, т. 2. Интегралы. М. Наука, 19708. берг й., лефстрем й. Интерполяционные пространства: Введение. М., Мир, 1980.
6. Гельфанд Г. е., Шилов Г. Е. Обобщенные функции, т. 1. М., Добросвет, 2000.
7. ГРАДШТЕЙН И. С., РЫЖИК И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов, произведений. М., Наука, 1963.19. денькин Е. М., Осиленкер Б. П. Весовые оценки сингулярных интегралов и их приложения. Итоги Науки и Техники АН. СССР., М. 1983, т. 21, с. 42-129.
8. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционные исчисления.
9. Зигмунд А. Тригонометрические ряды, том 2. М., Мир, 1965.
10. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1989.23. кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками. — Труды ММО, 1967, т. 16, с. 219-292.
11. КОНДРАТЬЕВ В. А. О гладкости решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в окрестности ребра. — Дифф. урав., 1970, т. 6, №10, с. 1831-1843.
12. КОНДРАТЬЕВ В. А. Особенности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка в окрестности ребра. — Дифф. урав., 1977, т. 13, К0-11, с. 2026-2032.
13. Кондратьев В. А., Эйдельман С. Д. Об условиях на граничную поверхность в теории эллиптических краевых задач. ДАН. СССР., 1979, т. 246, №4, с. 812-815.
14. Кондратьев В. А., олейник о. А. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях. М., УМН., 1983, т. 38, №2(230), с. 3-76.
15. КРЫЛОВ Н. В. О первой краевой задаче для эллиптических уравнений. Дифф. ур., 1967, 3:2, с. 315-325.29. ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М., Наука, 1973.
16. Ладыженская о. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М., Наука, 1973.
17. ЛАНДИС Е. М. Необходимые и достаточные условия регулярности граничной точки для задачи Дирихле для уравнения теплопроводности. ДАН, 1969, 185:3, с. 517-520.
18. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. Ьр-оценки в асимптотике решений эллиптических краевых задач в областях с ребрами. Труды ММО, 1978, 37, с. 49-93.
19. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. О свойствах решений трехмерных задач теории упругости и гидродинамики в областях с изолированными особенностями. В сб: Динамика сплошной среды, 1981, вып. 50, с. 99-121.
20. Мазья В. Г., ПоборчиЙ С. В. О продолжении функций из пространств С. Л. Соболева во внешность области с вершиной пика на границе. ДАН. СССР, 1984, т. 275 , Ж 5, с. 1066-1069.
21. Мазья В. Г., ПоборчиЙ С. В. О продолжении функций из пространств Соболева во внешность области с вершиной пика на границе. I Czech. Math. J, 1986, т. 36, Ж 4, p. 634-661.
22. Мазья В. Г., Шапошников Т. О. О требованиях к границе в Lp теории эллиптических краевых задач. ДАН, 1980, 251:5, с. 1055-1059.
23. МАМЕДОВ И. Т. О граничных свойствах решений задачи Дирихле для эллиптических и параболических уравнений 2-го порядка. ДАН УСССР, сер. А, 1981, №2, с. 18-22.
24. МАСЛЕННИКОВА В. Н. Дифференциальные уравнения в частных производных. Москва, Изд. РУДН, 1997.
25. МАСЛЕННИКОВА В. Н. Начально-краевая задача для системы Навье-Стокса с теплопереносом с граничными условиями, меняющими тип на многообразиях, зависящих от времени. Вестник РУДН, сер. математика, 1996, №, вып.1, с. 92-102.
26. Масленникова В. Н., Воговский М. Е. Система Навье-Стокса с негладкой эволюцией зависящего от времени разрыва в типе граничного условия. Доклады РАН. 1998. т. 363, №5, с. 594-598.
27. Масленникова В. Н., Воговский М. Е. Принцип максимума для уравнения неразрывности сплошной среды. Доклады РАН, т. 339, 1994, с. 446-450.
28. Масленникова В. Н., Воговский М. Е. Аппроксимация соленоидальных и потенциальных векторных полей в пространствах Соболева и задачи математической физики. Дифференциальные уравнения с частными производными, Новосибирск, Наука, 1986, с. 129-137.
29. Масленникова В. Н., Воговский М. Е. Аппроксимация потенциальных и соленоидальных векторных полей. Сибирский математический журнал. 1983, т. 24, №5, с. 149-171.
30. Масленникова В. Н., Воговский М. Е. Пространства Соболева соленоидальных векторных полей. Сибирский математический журнал. 1981, т. 22, №3, с. 91-118.
31. МИХЛИН С. Г. Сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М., Наука, 1962.55. назаров С. А., ПламеневскиЙ Б. А. Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой границей. М., Наука, 1991.
32. НИКОЛЬСКИЙ С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М., Наука, 1977.57. новрузов А. А. О задаче Дирихле для эллиптических уравнений 2-го порядка. ДАН, 1979, 246:1, с. 1311-1313.
33. ОЛВЕР Ф. Асимптотика и специальные функции. М., Наука, 1991.59. олейник О. А. О задаче Дирихле для уравнений эллиптического типа. Матем. сб., 1949, 24:1, с. 3-14
34. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. М., Наука, 1991.
35. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М., Наука, 1983
36. РУДИН У. Функциональный анализ. М., Мир, 1975, 443с.
37. СтеЙН И. М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М., Мир, 1973.
38. СУЕТИН П. К. Классические ортогональные многочлены. М., Наука, 1976.
39. ТЮЛИНА А. К. Аналог принципа Сен-Венана для эллиптических уравнений второго порядка и его применения. Вести. МГУ, сер. матем., мех., 1981, №2, с. 25-29.
40. ФАЙЛ Б. Л. О продолжении функций из пространств Соболева для нерегулярных областей с сохранением показателя гладкости. ДАН. СССР, 1985, т.285, Ж2, с. 296-301.
41. ФИЛИПОВ А. Ф. Гладкость обобщенных решений вблизи вершины многогранного угла. — Дифф. уравн., 1973, 9:10, с. 1889-1903.76. харди, Литтлвуд, Полиа. Неравенства. м., ИЛ, 1948.
42. ШЕФЕР X. Топологические векторные пространства. М., Мир, 1971.
43. ЭСКИН Г. И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. М., Наука, 1973.
44. ЭДЕЛЬШТЕЙН С. Л. Оценки квазиполиномов и быстро сходящиеся методы решения эллиптических задач в областях с углами. ДАН, 1980, 250:1, с. 42-46.
45. Adams R. A. Sobolev spaces. Academic Press, 1975.
46. CLERC J.-L. Les sommes partielles de la decomposition en harmoniques spheriques ne convergent pas dans Lp (p ф 2). С. R. Acad. Sc. Paris, t. 274, №1, p. 59-61.
47. CANUTO C., MASSON R. Stabilized wavelet approximations of the Stokes problem. Math. Сотр. 70 (2001), №236, 1397-1416 (electronic).
48. COHEN A., MASSON R. Wavelet adaptive method for second order elliptic problems: boundary conditions and domain decomposition. Numer. Math. 86 (2000), №2, 193-238.
49. Dahmen W., Kunoth A., Schneider, Reinhold. Wavelet least squares methods for boundary value problems. SIAM J. Numer. Anal. 39 (2002), №6, 1985-2013 (electronic).
50. DASSIOS G., LlNDELL I. V. Uniqueness and reconstruction for the anisotropic Helmholtz decomposition. J. Phys. A 35 (2002), №24, 5139-5146.
51. DASSIOS G., LlNDELL I. V. On the Helmholtz decomposition for polyadics. Quart. Appl. Math. 59 (2001), №4, 787-796.
52. FROHLICH A. The Helmholtz decomposition of weighted Lq-spaces for Muckenhoupt weights. Navier-Stokes equations and related nonlinear problems. Ann. Univ. Ferrara Sez. VII (N.S.) 46 (2000), 11-19.
53. GlAQUINTA M., MODICA G. Local existence for quasilinear parabolic systems under nonlinear boundary conditions. Ann. Mat. Рига Appl. 149, 41Ц59 (1987).
54. Fujiwara D., Morimoto H. An Lr-theorem of the Helmholtz decomposition of vector fields. J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA, Math. 24, 1977, p. 685-700.
55. Fujita H., Kato T. On the Navier-Stokes initial value problem. I, Arch. Rational Mech. Anal 16, 1964, p. 269-315. .
56. JOLY P., masson R. Wavelet preconditioning of the Stokes problem in ф<о formulation. Sparse matrices and differential equations (Rennes, 1999). Numer. Algorithms 24 (2000), №4, 357-369.
57. Lindell i. V., dassios G. Generalized Helmholtz decomposition and static electromagnetics. J. Electromagn. Waves Appl. 14 (2000), №10, 1415-1428.
58. Littman W., Stampaccia G., Weinberger H. Regular points for elliptic equations with discontinuuous coefficients. Ann. Sc. Norm. Sup., Pisa, 1963, 17, p. 45-79.
59. Maslennikova V. N., Bogovskii M. E. Elliptic boundary value problems in unbounded domains with noncompact boundaries. Rend. Sem. Mat. Fis. Milano, vol. 56, 1986, p.124-138.
60. Maslennikova V. N., Bogovskii M. E. On Non-Closure of Range of Values of Elliptic Operator for a Plane Angle. Ann. Univ. Ferrara — Sez. VII Sc. Mat. vol. XXXIX, 65 - 75 (1993).
61. Михлин С. Г., PROSSDORF S. Singular integral operators. Akad. Vlg., Berlin, 1986.
62. MlYAKAWA T. On the initial value problem for the Navier-Stokes equations in LP-spaces. Hiroshima Math. J. 11 (1981), 9-20.
63. MlYAKAWA T. On nonstationary solutions of the Navier-Stokes equations in exterior domains. Hiroshima Math. J. 112 (1982), 115-140.
64. POLLARD H. The mean convergence of orthogonal series. I. Trans. AMS., vol. 62, №, 1947, p. 387-403.151. pollard H. The mean convergence of orthogonal series. П., Trans. AMS., vol. 63, №2, 1948, p. 355-367.
65. Pollard H. The mean convergence of orthogonal series. III. Duke Mathematical Journal, vol. 16, №1, 1949, p. 189-191.
66. REISMAN H. Second order elliptic boundary value problems in a domain with edges. Comm. in partial differential equations, 1981, 6:9, p. 1023-1052.
67. SOHR H., THATER G. Imaginary powers of second order differential operators and Lq-Helmholtz decomposition in the infinite cylinder. Math. Ann. 311 (1998), №3, 577-602.
68. Specovius-Neugebauer M. The weak Neumann problem and the Helmholtz decomposition of two-dimensional vector fields in weighted Lr-spaces. Navier-Stokes equations and related nonlinear problems, 105-116, Plenum, New York, 1995.
69. Specovius-Neugebauer M. The Helmholtz decomposition of weighted Lr-spaces. Comm. Partial Differential Equations 15 (1990), №3, 273-288.159. tautz G. Zur Theorie der ersten Randwertaufgaben. — Math. Nachr., 1949, №2, S. 279-303.
70. Двугранный угол Q = Га х R.3
71. Сводка полученных результатов.20
72. Срезающие функции r.j и конечное покрытие для двугранногоугла Га х R.92
73. Переход гладкой области Га к плоскому углу. Га.129
74. Переход сглаженного двугранного угла к двугранному углу. . . 129
