Асимптотические свойства решений эллиптических и параболических краевых задач в областях с особенностями границы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

гУ

/ий-

АКАДЕМИЯ НАУК СССР

СРДЕНА ЛЕШНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им.В.А.СГЕКЛОВА (Ленинградское отделение)

На правах рукописи УДК 517

КОЗЛОВ Владимир Аркадьевич

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И ПАРАБОЛИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ С ОСОБЕННОСТЯМ ГРАНИЦЫ

(01.01.02. - дифференциальные уравнения)

1(?Л[€ициЛ ^ 6 3 8 '

ОТ ПЩ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени, доктора физико-математических наук

Лпаиигред 1989

Работа выполнена, в Ленинградском филиале Института машиноведения иы.А.А.Благонравова АН СССР.

Официальные оппоненты-доктор физико-чатематических наук, профессор В.А.ООЛОННИКОВ доктор физико-математических наук, профессор М.А.ШУБИН доктор физико-математических наук, профессор Б.А.ПЛАМЕНЕВСКИЯ

Ведущая организация - Институт математики АН УССР.

Защита состоится " "_19 г.

в_час. на заседании специализированного совета

Д 002.38.04*при Ленинградском отделении Математического института им.В.А.Стеклова АН СССР (Ленинград, наб.р.Фонтанки, д.27, комн.ЗН).

С диссертацией могага ознакомиться в библиотеке ЛОМИ.

Автореферат разослан " "_1989 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктоо Физико-математичесхга А.П.Ои-ЮЖОВ

• : Актуальность проблемы. Многочисленше задачи механики приводят к необходимости решать краевые задачи для различных типов дифференциальных уравнений в областях, границы которых 'содержат особенности (конические и угловые точки, ребра, мне-гогранные углы и т.п.). В последние десятилетия получила интенсивное развитие общая теория эллиптических краевых задач ' в областях с особенностями на границе (В.А.Кондратьев, В.Г.Мазья, Б.А.Пламеневский, М.Дож). Несмотря на успехи этой теории в ней остиэтсл ряд нерешенных вопросов.

Превде всего основные результаты общей теории носят условный характер. Теоремы о разрешимости краевых задач и асимптотики решений формулируются в терминах спектральных свойств некоторых операторных пучков, определяемых особенностями границы. Поэтому важно иметь конкретную информацию о расположении собственных чисел этих пучков и структуре соответствующих жордановнх цепочек.

Еще одна задача возникает з теории краевых задач в областях с ребрами. Речь идет о более или менее явном описании корректных краевых задач для таких областей.

Наконец, сравнительно мало были изучены начально-краевые задачи для параболических уравнений в областях с особенностями границы.

Целью работа является продвижение в указанных трех направлениях .

Методы исследования. В работе используотся методы теории уравнений в частных производных, методы теории операторных пучков и теорий функций комплексной переменной, а также асимптотические метода.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- изучено расположение собственных чисел операторных пучков, определяемых граничными особенностями краевой задачи;

- выделен класс эллиптических краевых задач ц угле, локальные решения которых не могут иметь в вершине нуль бесконечного порядка; отсюда выведено существование хорошо

поставленной краевой' задачи в многомерных областях с ребрами;

- для начально-краевой параболической задачи в конусе получены точечные оценки и полные асимптотические разложения функции Грина и ядер Пуассона;

- установлены теоремы о разрешимости и асимптотических свойствах решений первой начально-краевой задачи для параболических уравнений второго порядка без условий согласования в контескоЪ точке.

Практическая ценность работы. Результаты работы могут найти и уже нашли применение в общей теории краевых задач в областях с негладкой границей, в теории упругости и термоупругости, в механике разрушения.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на международной конференции пс дифференциальным уравнениям и их приложениям в г.Праге в 1989 г. (ЭКВАЦИФ V), на совместных заседаниях Московского математического общества семинара им.И.Г.Петроьского в Т936, 1938, 7909 годах, на Шестой Зсе-. союзной конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Иркутск, IS86 г -)v на городском семинаро по математической физике (рук,0.А.Ладыжнскач, ЛОМИ), на семинаре по спектральной теории оператсров (рук.М.З.Соломяк. Л1"У), на семинарах МГУ под руководством О.А.Олейнчк, В.А.Кондратьева и Е.М.Лацаиса, А.Г.Костюченко и Л.А.Шпаликова, а также на семинаре "Ыатематические модели механики" Л$ ИМАШ АН СССР.

Публикации. Основное содержание отражено в работах 1-11, приведенных в конце автореферата.

Структура и объем работа. Диссертация состоит из введения, четырех 1-лаз> списка литературы и приложения. Работа изложена на 301 странице машинописного текста, включая приложение на 15 листах. Список литературы включает 80 наименований на 9 листах.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

К настоящему времени общая теория эллиптических краевых

задач в областях с особенностями на границе продвинута достаточно далеко. Качало этой теории было положено известной работой В.А.Коедрэтьева, где были рассмотрены краевые задачи в области с конечным числом конических точек на границе, для них получены коэрцитивные - оценки в весовых нормах,

описана асимптотика решений и доказана теорема Нетера. Дальнейшее развитие общая теория получила в работах В.Г.Мазьи и Б.А.Пламеневского, в которых результаты В.А.Коццра^ьева были распространены на 1_р - и С - нормы, были найдены фврмулы для коэффициентов в асимптотике решений, получены оценки и асимптотические разложения для фундаментальны* решений краевых задач в областях с ребрами, многогранными углами, пиками и т.п. (В.А.Кондратьев, В.Г.Мазья, Б.А.Плаыенев-ский, В.А.Солоннпков, О.Л.Олейник, М.Дож, Г.И.Эскин).

Иззестно, что асимптотика решения эллиптической краевой задачи вблизи конической точки имеет вид

где - собственные числа некоторого полиномиального

пучка краевых задач, а О ^ - многочлен 01 IX1 ,

коэффициенты которого является гладкими функциями переменной ос /1 эс; , Конкретную информ1цию о решении можно получить из общей теории, если известно расположение собственных чисел. В случае ребер на границе, кроме сведений о расположении показателей ' А ^ , необходимо требовать таклл тривиальность ядер и коядер некоторых вспомогательна задач в угле. Таким обрезом, большая часть общих результатов, известных к настоящему времени, носит условный характер. Преодоление зтого недостатка существующей теории и посвящены первые две главы диссертации.

3 главе I исследуются спектры пучков, поротдоншк краевыми задачами для эллиптических уравнений в угле и многомерном конусе.

Пучки еоответетпуюди« пврво? краевой аэдйче дг-г. систем Лаь'.е и Стокса, а также для бигармонического уравнения

рассматривались В.Г.Мазьей, Б.А.Пламеневским, которыми при помощи специальных: приемов били получены оценки ширины некоторой полосы на комплексной плоскости, сзободной от спектра пучка.

В первом параграфе рассматривается пучок - ^(А) , А е С порожденный задачей Дирихле для эллиптического уравнения порядка 2т с постоянными вещественными коэффициентами в угле раствора ср , ср е. СО ,2Л.] . Доказано, что зсли . ср 6. £0. Л:) , то полоса - т ^ }~т X а - т + 2 нз содержит точек спектра. Кроме того установлено, что собственные числа не могут находиться в точках 1,0,-1 (теорема 1.1).

Для углов ср = Л и ср = 2й спектр соответствующих ■ пучков находится явно (предложение Т.2). В обоих случаях на прямой 1тпЛ = -т лежит единственное простое собственное число Л = -1 пл . Если же ср -» Л: или -* 2 Л , то удается получить асимптотическую формулу для собствэнно-го числа пучка Рр 5 лежащего вблизи прямой ЬтХ= -гн {предложение 1.3). Отсюда в частности вытекает неулучшаемость утверждения п.а) теоремы 1.1. ч

Если (Л ,2Л) , то в полосе ] =

¿1-ш} всех'да подержатся собственные числа пучка (^р . Они могут находиться лишь на отрезке£-1™ .-¡0'т>~ ¿/лУ) , причем собственные числа, лежащие в ,-¿(_пп * -

простые (теорема 1.2), Более того, существуют углы ср.,,... ,срт такие, что ¿Г = срт ^-(р™-, * • ср£ ^ 2. Л , и гп строго убывающих вещественно-аналитических функций Нк •' СЧ^к ДМ (.гп-1/2. , т"). к ^ 1,... , па-, обладающие следующими свойствами:

а) если ср -* срк или ср 7.31 , то, соответствешю,

И к СЧ^ - ™ , и V. (ср") гп А /2. , к = 1 .., т ;

б) собственные числа пучка ^ , расположенные в полосе 3 , исчерпываются значениями -I ^ если ср ^ срк Найдена' асимптотика функций р) к при Ср -* Т- Я

УкСЧО3 m-i/i +ГкС^л-Ч>^1'0С12я'ср12к ),

где !< = 1 ,... , inn , - положительные кон-

станты (теорема 1.3).

Пример, построенный в п.II § I показывает, что без предположения о вещественности коэффициентов эллиптического уравнения теоремы T.I, 1.2 не верны.

Как следствие доказанных теорем получаются различные утверждения о гладкости и разрешимости в весовых пространствах С.Л.Соболева и Гельдера задачи Дирихле для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами в плоской области _а с угловыми точками на границе, в предположении, что растворы соответствующих углов со стороны области не превосходят JI . В частности, показано, что слабое решение задачи (т.е. решение из пространства с правой частью из Lвсегда принадлежит пространству wz * (-Q-. Для уравнения второго порядка с вещественными коэффициентами этот факт был получен ранее М.Ш.Бирманом и Г.Е.Скворцовым.

В §5 2, 3 исследуются спектральные свойства операторных пучков, связанных с краевыми задачами для сильно эллиптических систем порядка 2m d n-мерном конусе, в предположении, что поверхность конуса допускает явное задание в декартовой системе координат. В случае первой краевой задачи (§ 2) показано, чго полоса \ bmS-l/2 (n-2rvOl i i/2 не содержит собственных чисел. Для второй краевой задачи (§ 3) тоже верно, если 2 m «с. ГС - I , а при2т-п-1 спектр в полосе О & 1тп Л ^ i исчерпывается собственными числами А3= 0 и Л1= I , кратность которых равна ноияд-ку системы t . В случае 2m-n пучок второй краевой задачи имеет в полосе -1/2 ^ 1тпЛ * J./2 единственное собственное число Л„-0 кратности t и алгебраической кратности 2 В . В заключение специально рассматривается зторая краевая задача для трехмерных си^тз« Ламе и Стокса,

которые не укладываются в общую схему. Соответствующие результаты показывают, в частности, что векторы смещений и скоростей непрерывны в вершине конуса.

В § 4 главы I получены оценки ширины полосы, свободной от спектра пучка, порожденного задачей Дирихле для бигармо-нического уравнения в п. -мерном конусе.

■ Задача Дирихле для бигармонического уравнения о более общими особенностями границы исследовалась О.А.Олейнкк, В.А.Кондратьевым, В.Г.Мазьей. Первыми дьут авторами для плоской задачи была получена точниа зависимость гладкости функции в'окрестности граничной точки от структуры границы. В.Г.Мазьей изучалось, в частности, бигарчоническое уравнение в многомерной облаете. При некоторых условиях на границу области, формулируемых в терминах■бигармочической емкости, была установлена непрерывность решения задачи. Из наших неравенств, в частности, следует, что если конус расположен в полупространстве, то полоса 1 \т X + 1" п/1 | п/2 не содержит собственных чисел пучка. Отсюда вытекает непрерывность по Гельдеру вторых производных слабого решения задачи Дкрикле для бигармонического.уравнения в области о коническими точкаш в случае, когда соответствующие касательные конусы расположены в полупространстве. Показано, что упомянутое утверждение не имеет места для произвольного эллиптического уравнения четвертого порядка с постоянными вещественными ко™ эффицьентзми. Построение этого примера основано на асимптотической форк^ле для ширины полосы, свободной от спектра пучка, порожденного задачей Дирихле для уравнения в конусе, "близком" к полупространству.

Во второй главе рассматриваются решении эллиптической краевой задачи с постоянными коэффициентами в секторе Кц;^"

= (с.х ,Ц ^ К1 : о < С , е б СО,Ч>) } , сре СО: 2 я! : '

+ при Ч < £, (I)

где 2шп — порядок сператораЛ, порядок оператора 1

£[=1,... 2т- .

Известно, что такие решения разлагаются а асимптотические ряды по функциям вида 1Л 0 (Э , X} , где 1,0 -полярные координаты, 0 - многочлен от X с. гладкими

по 9 коэффициентами. Выделяется широкий класс краевых задач, описываемых в алгебраических терминах, для которого ре, шение однозначно определяется своей асимптотикой. Ингче говоря, если решение имеет нуль бесконечного порядка з вершине угла, то оно равно нулю при малых значениях 1 (теорема 2.1.1).

Задачи вида (I) возникагат при исследовании единственности эллиптических крагпых задач в двугранном угло. Если А оператор второго порядка, "младшие" плены которого подчинены некоторым неравенствам, а 6 = , то реиения задачи (I), удовлетворяющие некоторым условиям роста ча бесконечности, изучались А.И.Комзчем, В.Г.Мазьей, Б.А.Пламеневским, Г.И.Эс-киным. Мы не налагаем никаких ограничений на младшие члены операторов А, , поэтому наши результаты являются новыми и для этого случая.

Рассматриваемая задача имеет непосредственное отношение к "теоремам об однозначном продолжении", в которых утверждается при тех или иных предположениях единственность решения однородной эллиптической задачи, если решение имеет досоа-точно богатое множество нулей (в частности, изолированный нуль бесконечного порядка). Исвестные результаты такого рода относятся либо к внутренним точкем области либо к точкам, находящимся в окрестности гладкой части границы. В случае

угловой точки границы подобные результаты отсутствовали.

Сформулируем условие на операторы задачи (1), при которых доказана теорема о сильном нуле. Пусть Зс (_с)х ■Ц.с^х старшие части операторов А, - 1,... ; 2 т .

Представим оператор А0 в виде

где <Хх - попарно различные корни уравнения

кратности ^ .... , У^ , нркчем половина из них (с учетом кратности) имеетположительную, а оставшаяся половина - отрицательную мнимые части.

Пусть Л - множество целочисленных векторов & -~(с1 ,■•• таккх» 'что ок 4 V,, я о, + - »б^т . . Сопоставим оператору А0 и числу ^р многоугольник V , равный выпуклой оболочке точек б'Т = Т1 -с - - + с^ Т(( ,с> Здесь Тк = £ск{ (оснц>1- а к ¿иа С Р ) (аргумент функции

0 -» сс^ 0 + о к ■Ы'п & меняется от 0 до 2 при 1ша.к>0 и от 0 до -2 Я при Ьт О. к < 0). Обозначим через Г -множество вершин многоугольника V . Каждой вершине соответствует единственный мультишщекс Л такой, что

о -Т = 2С . Положим А' = [бё Д ;б-теГ}( . Нетрудно видеть, что если О Л , то и V -С е , где

Обозначим через ^ У множество пар ( к., ^ ). таких, что

Определение. 1'усть о е Л . Будем говорить, что граничныз операторы иадачи (I) С> -тзегулярны, если матрицы

.ц,

не гырожденн.

Обозначим через■ О*-"3 мультииндеко из А такой, что Re.г = rncvr- Rc6-T , Дели таких мультииндексов два,

--го) ofcA то ov один /э них.

В § 2 доказана

Теорема I.I (о сильном нуле'. Пусть граничные операторы краевой задачи . (I) ^регулярна и решение U задачи (У} удовлетворяет при Х<6 оценкам

lu-tx^ji-t см Iм 4,2,...

Тогда и 0 при "„<£..

Множество Д содержит мультииадексы 6" =(55/,...,бс|"), где <5- = V: , если О., > О и O'f - О , если

т ^ /^v i А — -J

¿im Q. i < О . Условив <5 - и £5 - регулярности эквивалентно эллиптичности краевой задачи (I). Если ср- 31, ЯЛ Или tp - произвольный угол, а оператор А0 равен степени оператора второго порядка, то многоугольник V вырождается в отрезок Í6~'T , е>+-Т1 . Погтсму в этих случает G -регулярность граничных условий вытекает из эллиптичности задачи (I).

Приведем еще один пример о-регулярных граничных условий (§ I). Пусть G Л . Предположим, что

<) о^"2 i-U^tp-ZCOáCpf илир POO^-i^^).

0.= i.v,, ,m . _3десь P, , Qq-i - многочлены, причем степень многочлена равна Cj,-i . Пусть еще м ^ЧСЧ5)" ^ (р. k со^ф - tU-n ср V-. Ф f cot Ч' я выполнены

соотношения ^(У-О g ) при к-* ( (ивдеясы к , ^ пробегают ляль те значение, алл которых ókr О , (5- 1=- О ). Тогда операторы О -par.7лярвы на лу«е (9 ~ ср (т.е. матрица {?.) ;¡e Екршде-на).

3 § Й показано, что едной эллиптичности чп^рэтерев задачи (I) недостаточно для игразздливостя теореш о сильном щте.

3 а.Т2 § 2 рассмотрена эллиптическая краевая задача в двугранно« угле. Доказано, что если главные часги операторов, относительно нормальных к ребру переыеньык, удовлетворяют условию регулярности, та краевая задача однозначно

разрешима е весовых пространствах С.Л.Соболе&а.

• Понятие О -регулярности полезно также при исследовании

Ф-ФГкЛ ■ 1 -

асимптотического распределения спектра пучка Л л^лдл.

ф^Д^-М', ^Ч^/У

Обозначим чорез , стороны многоугольника

V . Пусть •■ юс длины к .6" к - внешние нормали к сторонам . Каждой кормале О1 * и положительному числу & сопоставим сектор 1_К(Е ) ~ \ : \СиЩ ъ + в к | б £ ] .

Число £ выбирается настолько малым, чтобы секторы 1_^ОУэ ^ не переезжались при к* ] . Обозначим через )

количество собственных чисел (с учетом кратности) пучка У , лежащих в множестве е : 1 < Т- ] . В § I п.4

доказана

Теорзма 4.1. Пусть граничные операторы задачи (I) О-ре-гулярны для всех <5&-Л . Тогда спектр пучка J , за исключением конечного числа точек, лежит в уг^тах 1_к(6}>к= 1,...,'^. Для функций распределения спектра справедливы асимптотические формулы

Отметим, что похожие формулы были получены- А.А.Шкалика-вим при '«следовании асимптотического поведения собственных «сел пучкр краевых ьедач для обыкновенного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами, полиномиально зависящими от; спектрального параметра.

Последние две глачы диссертации посвящены параболическим краевым задачам в областях с особенностями границы. Б случае параболических задач, в отличия от эллиптических, граница области, даже будучи глад,кой, можесодержать особые течки. Речь йдзт о лках, касательная плоскость а которых параллельке.

плоскости 1-0 . Подобные задачи рассматривались И.Г.Петровским, В.П.Михайловым, В.А.Кондратьевым. В настоящей работе рассматриваются области с негладкими границами - цилиндры <у «сод О ~ область с коническими топками.

В то время как теория эллиптически:? краевых задач.в областях с коническими течками, ребрами, многогранными углами и т.п. достаточно разработана, аналогичным вопросам для параболических ург.внаний уделялось значительно меньше внимания. Относительно хорошо изучена простейшая ситуация, когда правые части достаточно регулярны «удовлетворяют услоышм согласования. Тогда асимптотика решения вблизи особых точек границы - та жз. что в эллиптическом случае: время играет роль параметра.

Мы предполагаем, что правые части задачи имеют разрывы по переменной 1 . В этом случае решения имеот существенно "параболический характер", т.е. асимптотика вблизи особенностей границы не сводится к аналогичной эллиптической асимптотике.

В главе 3 исследуются функции Грина С = ^С70,1^ ) и ядра Пуассона ^ ~ О1^'» " » 0краевых,

задач для ?. В - параболических уравнений в области К*(0о«); где К - кочус в & , вырезающий на единичной сфере область -О. с гладкой границей. Получеку точечные оценки и построены полные асимптотические разложения соответственно з зонах » С;хыл|'|) ,

Отсюда, в честности, вытекает асимптотика функпи/ Грина и ялер Пуассона при Г . Отметим, что асимптотику реаенкй рагличшл параболических задач при больотх ьремекох, в случае цилиндра с гладкой образующей, исслецоволгсь Л.К.Гудк-нйм, В.П.МРхайяовкм и другими авторами.'

Функция Грина определяется как решение краевой зеда^и

(§ 4)

на

К» к1.

а (х'_ о = 21 8 кСх' > о; э; с, »о

на(ЭКЧО}УК',Н.....Вт^Сх^^уО при (з)

где О-^С^к - гладкие функции в конусе (на границе конуса) положительно однородные степени -г Я 6 к (-т^ + I + 2 В к \ т - * 2£т -1 , ] = 1 , 8т. Оператор А предполагается параболическим, а операторы ^1-,..,, , ,11- удовлетворяют условию дополнительности. Для того, чтобы сформулировать второе предположение, при котором изучается задача (3), ВЕедем пучок краевых задач в области

Пусть еще

, ре К - пространство функций в конусе К , для которых конечна норма

СрУ4; 4 мне К ^

соответствующее пространство граничных значений. Тогда предполагается существование числа К такого, что на прямой = - 2 В гп нет собственных чисел пучка ^ и

оператор Л103^, ^ > ^^-»Л-^-..---» :

Г" {«.¡чет

является изоморфизмом.

Получены следующие оценки для функции Грина (§4):

ч-к-6-1*1, „.. ve-r.tWn.-iri

I \-х\ \ ( ___ Д

> Т Л (4)

где 6 - лгсбое положительное число, к-, - границ максимально широкой полосы (К.^ЬмЛ-4 , свободной от спектра пучка ? и содержащей прямую 1тп А - + п/2 -2 Зт , Ала-логкчные оценки полечена для ядер Пуассона.

Функцяя Грина задачи Нейме.йа для уравнения теплопроводности в двугранном угле изучалась В.А.Солонниксвым, были получены оценки типа (4), однако, без знспоненциального кножи-телл в правей засти.

Опишем структуру асимптотики функции Грине, ири|х';<2\ц\ . Пусть ^ - вещественное число такое, что О*- ^_ V нп прямой Ь"»' А - О цех собственных чисел пучка V . Обозначим через М количество собственных чисел (с учетов кратности) пучка , лежащих в полосе О Ь?^ ~ '<_ . Тогда (§4)

!Х( ч V*

"Х Г^ ) г—-1Чум )

• еоср(-ае I \

ем ) |

Здесь 17 дкффергнцигльназ по I операторы

порядка Мр," 1 , котермв стрятся в п.1, § 2, % -циадыше )гешеняя однородной сопряженной задали (§3). Аналогичные асимптотики получены для ядер Пуассона.

Если ^ ^ ^ + 01 ( Од. , где 01 - сильно

эллиптический оператор порядка 2 8 с постоянными вещественными коэффициентами, то для задачи Дирихле, в силу неравенства Гординга, выполнено условия П при = В .В этом случае кз результатов, полученных в главе I, вытекают эффективные оценки чисел к. и , фигурирующих в формулах (4), (5),

Вывод асимптотических формул и сценоя функции Грина и ядер Пуассона существенно опирается с одной стороны ьа исследования В.Л.Солониикова, С.Д.Зйдельмвка, М.С.Аграновича, М.К.Вилика, О.Д.Ивасишена параболических кразгых задач в областях с регулярными границами и на исследования В.А.Кондратьева, В.Г.Мазьи, Б.А.Пламенезского разрешимости неоднородных эллиптических краевых задач в конусе - с другой.

В главе 4 рассматривается параболическое уравнение второго порядка

СЭ-А^и =0 наО'<С,Т), и- й наЭ0-(0Ди.И0,(6)

где 0 - область в К с компактным оамкканиел и границей Ь(У , Т - положительное число, А - равномерно эл-х'иптический дифференциальный'оператор второго порядка.

Мы предполагаем, что на Ъ (У имеется коническая точка 0. Это означает, что в окрестности точки О , область (У совпадает с "сектором" ^ К" : К { , -х/|ос 1 <= 1 | где .О - область с гладкой границей на единичной сфере. Мы • отказываемся от ьыг.олнения условий согласования правых частей задачи и получаем (равномерную по ОС) асимптотику решений при I —• О . Э^а асимптотика имеет существенно "параболический" характер. Она представльет собой двукмасштабное разложение по полуцелым степеням \ . Автомодельные коэф-фицш-нты асимптотического ряда получаются при рзшении некоторых ьспомогателмых краевых задач для последовательности ьыровд"'цихся эллиптических уравнений в конусе и обыкновенных ди^ференци'ляьнчх уравнение по полупрямой.

Опии. основной рззультр.т. Пусть Р) - гладкая

функция, допускающая при х'-»0, х' s-ЪО асимптотическое разложение

к>-0

Пусть еще А,, - первое собственное число задачи Дирихле для оператора Бельтрами - 5_в облзсти .Q , Если

•Re г > i- п. /2 - \1 С¿~ «V-O* ■+ /\г , то решение за-

дачи (б) при t О представимо в гиде асимптотического ряда

Здесь v - расстояние дз границы, X - проекция точки эс на ЭС?" , £ и срезапЩие функции е носителями в

окрестности нуля, функции ЦХ' ' ) > ^ С"30' •> ' последова-тепьно находятся из решения модельных задач в конусе и -на полупрямей, ксследованиз которых проведено в п.2.1, 2.2.

Диссертация закаливается приложением.. В нем собраны использованные в глазе 3 частично известные факты о разрешимости эллиптических краевых задач в конусе. В этом круге вопросов часто вводится дополнительное предположена о том, что краевая задача, сопряженная относительно формулы Гркяа, имеет тот же тип, что и исходная. Как известно, оно ьыпол-нзно не всегда. Здесь мы вводим и рассматриваем некоторый более широкий класс краевых задач, которому принадлежит как исходная так я сопрякеннал задачи.. Именно, ьдесь изучаются задачи с бочьдам, чем оСыадс- принято числом граничных условий на расыскивае^уэ функцию, при этом а краевые условия входят соотэетс-ггующее число неизвестных функций, подлежащих определение. (В гладком случае подобные я более осщке краевые задачи хорошо изучены, см.работы Л.Буге дэ йокг.елп, Г.Грубб, Ш.Рошель, Б.^В.Щульцз, Г.И.Эсуиня). bee факты, справедливые длл обьпных эллиптических краеоых задач ч конусе, перекосятся на р. .осматриваемое ниже краевые? задачи. Доказательства при этом претерпевают остестпечные, irpsr<an незначительные, изменения п rroorcwy спускается. ¡1гкл"!Ч°л:-к

составляют лишь предложении 4.1, следствия ккему и теорэма

4.2, доказательства котррых пряведены полностью.

ЛИТЕРАТОРА

I. Козлов В.А. О спектре операторного пучка, порожденного задачей Дирихле для эллиптического уравнения в угле. -Мат,заметки, 1989, т.45, 3,« 5, с.117-118.

к. Козлоэ В.А. Об'особенностях радений задачи Дирихле для эллиптических уравнений в окрестности углоЕых тачек. -Л., Алгебра и анализ, 1989, № 4, с.ТбГ-177.

3. Козлов З.А. Теорема о сильном нуле для эллиптической кра-*еаой задачи в угле. - Мат.сб., 1939, т.180, № 6, с,831-849.

4. Козлов В.А. Асимптотика спектра операторных пучков, порожденных эллиптическими краевыми задачами в угле. - В сб.: Некоторые приложения функционального анализа к задачам математической физики. Новосибирск, 1988, с-82-96.

5. Козлов В.А. О поведении решений эллиптически краевых задач в,угле. •• Мат.заметки, 1990, т.

6. Козлов З.А. О коэффициентах в асимптотике решений начально-краевых параболических задач в областях с конической

' точкой. - Сиб.мат.журн.: 1958, т.29, №2, с.75-89.

7. Козлов В.А. функция Грина и ядра Пуассона параболической задачи в области с конической точкой. - Успехи мат.наук, 1988, т.43, №3, с.183-104.

8. Козлов В.А. Об асимптотике функции Грина и ядер Пуассона смешанной параболической задачи в конусе. I. - Z -itc-R/ufi (ил СЬлаХл^л иш1 ufW G.rw^T-cUx.H.cj.m , 1989, Ь-л. 8^2), ¿>.131-751.

9. Козлов В,А. Параболические задачи в конусе с сингулярными правыми частями. - ЛГУ, Л., 1986, рукопись депонирована в ВИНИТИ, № 6306-В от 23.09.85.

10. Козлов В.А. Асш.тотика при t -» О решений уравнения теплопроводности ь области с конической точкой. - Мат. т б., т.163, » 3, с.384-395.

II. Козлов В.А., Маэья В.Г. Спектральные свойства операторных пучков, порожденных эллиптическими краевыми задачами в конусе. - функц.анализ и его прил., 1988, т.22, № 2, с.38-46.

РТП ЛИЯФ,тар. 1289,тирД00.уч.ивд.л.0,8;01 Д2.89г.М-28'й8

Бесплатно