Асимптотические свойства решений эллиптических и параболических краевых задач в областях с особенностями границы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ч

\

АКАДЕМИЯ НАУК СССР

ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им.В.А.СТЕКЛОВА (Ленинградское отделение)

КОЗЛОВ Владимир Аркадьевич

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И ПАРАБОЛИЧЕСКИХ КРАЕШХ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ С ОСОБЕННОСТЯМИ ГРАНИЦУ

(01.01.02. - дифференциальные уравнения)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени, доктора физико-математических наук

На правах рукописи УДК 517

ОТ ШАХ<|

Лоиинград 1989

Работа выполнена, в Ленинградском филиале Института машиноведения им,А.А.Благокравова АН СССР.

Официальные оппоненты-доктор физико-математических наук, профессор В.А.ООЛОННИКОВ доктор физико-математических наук, профессор М.А.ШУБИН доктор физико-математических наук, профессор Б.А.ПЛАМЕНЕВСКИй

Ведущая организация - Институт математики АН УССР.

Защита состоится " "__ 19 г.

в_час, на заседании специализированного совета

Д 002.38,04 при Ленинградском отделении Математического института им.В.А.Стеклова АН СССР (Ленинград, наб.р.Фонтанки, д.27, комн.311).' -

С диссертацией модно ознакомиться в библиотеке ЛОМИ.

Автореферат разослан " _;_1989 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор йизико-математическ!

А.П.ОШОЛКОВ

Актуальность проблемы. Многочисленные задачи механики приводят к необходимости решать краевые задачи для различных типов дифференциальных уравнений в областях, границы которых 'содержат особенности (конические и угловые точки, ребра, многогранные углы и т.п.). В последние десятилетия получила интенсивное развитие общая теория эллиптических краевых задач ' в областях с особенностями на границе (В.А.Коцдратьев, В.Г.Мазья, Б.А.Пламеневский, М.Дож). Несмотря на успехи отой теории в ней остиэтсл ряд нерешенных вопросов.

Прежде всего основные результаты общей теории носят условный характер. Теоремы о разрешимости краевых задач V! асимптотики решений формулируются в терминах спектральных свойств некоторых операторных пучков, определяемых особенностями границы. Поэтому важно иметь конкретную информацию о расположении собственных чисел этих пучков и структуре соответствующих жордановых цепочек.

Еще одна задача возникает э теории краевых задач в областях с ребрами. Речь вдет о более или менее явном описании корректных краеяых задач для таких областей.

Наконец, сраннительно мало были изучены начально-краевые задачи для параболических уравнений в областях с особенностями границы.

Целью работы является продвижение в указанных трех направлениях.

Методы исследования. В работе используется методы теории уравнений в частных производных, методы теории операторных пучков и теории функций комплексной переменной, а также асимптотические методы.

Научная копиана.работы состоит в следующем:

- изучено расположение собственных чисел операторных пууков, определяемых граничными особенностями криевой задачи;

- ввделен.класс ?ллуптических краевых задач в угле, локальные решения которых не могут иметь в вершине нуль бесконечного порядка; отсюда выведено существование хорогно

поставленной краевой' задачи в многомерных областях с ребрами;

- для начально-краевой параболической задачи в конусе получены точечные оценки и полные асимптотические разложения функции Грина и ядер Пуассона;

- установлены теоремы о разрешимости и асимптотических свойствах решений первой начально-краевой задачи для параболических уравнений второго порядка без условий согласования в конической точке.

Практическая ценность работы. Результаты работы могут найти и уже нашли применение в общей теории краевых задач в областях с негладкой границей, в теории упругости и термоупругости, в механике разрушения.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на международной конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям в г.Праге в 1989 г. (ЭКЕАДИФ V). на совместных < заседаниях Московского математического общества л семинара им.И.Г.Петровского в 1936, 1938, 1909 годах, на Шестой Зсе-.. союзной конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Иркутск, 1986 г.), на городском семинара по математической физике (рук.О.А.Ладыяенскач, ЛОМИ), на семинаре по спектральной теории операторов (ру:с.М.З,Солокяк. ЛПО, на семинарах МГУ под руководством О.А.Олейнчк, В.А.Кондратьева и Е.М.Ландиса, А.Г.Костюченко н Л.А.Шпаликова, а также на семинаре "Ыатематические модели механики" ИМАШ АН СССР.

Публикации. Основное содержание отражено в работах 1-11, приведенные в конце автореферата.

Структура и объем работа. Диссертация состоит из введения, четырех ¿лаз, списка литературы и приложения. Работа изложена на 301 странице машинописного текста, включая приложение на 15 листах. Список литературы включает 80 наименований на 9 листах.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

К настоящему времени общая теория эллиптических краевых

задач в областях с особенностями на границе продвинута достаточно далеко. Начало этой теории было положено известной работой В.А.Кондратьева, где были рассмотрены краевые задачи в области с конечным числом конических точек на границе, для них получены коэрцитивные - оценки в веоовчх нормах,

описана асимптотика решений и доказана теорема Нетера. Дальнейшее развитие общая теория получила в работах В.Г.Мазьи и Б.А.Пламеневского, в которых результаты В.А.Коцдрауьева были распространены на - и С - нормы, были найдены

фермули для коэффициентов в асимптотике решений, получены оценки и асимптотические разложения для фундаментальных решений краевых задач в областях с ребрами, многогранными углами, пиками и т.п. (В.А.Кондратьев, В.Г.Мазья, Б.А.Пламенев-ский, В.А.Солошшков, О.Л.Олейник, М.Дож, Г.И.Эскин).

Иззестно, что асимптотика решения эллиптической краевой задачи вблизи конической точки имеет вид

где Х^ - собственные числа некоторого полиномиального пучка краевых задач, а СЗ? ^ — многочлен от ( ,

коэффициенты которого являются гладкими функциями переменной 'Эс /1 х; , Конкретную информщию о решении можно получить из общей теории, если известно расположение собственных чисел. В случае ребер на границе, кроме сведений о расположении показателей • Л ^ , необходимо требовать также тривиальность ядер и коядер некоторых вспомогательных задач в угле. Таким образом, большая часть общих результатов, известных к настоящему времени, носит условный характер. Преодоление этого недостатка существующей теории и посвящены первые две главы диссертации.

В главе I исследуются спектры пучков, порогденных краевыми задачами дня эллиптических уравнений в угле и многомерном конусе.

Пучки соответствующие первой краевой задаче дг-г. систем Ламе и Стокса, а также для бигпрмоничзского уравнении

рассматривались В.Г.Мазьей, Б.А.Пламеневским, которыми при помощи специальных приемов били получены оценки ширины некоторой полосы на комплексной плоскости, сзободной от спектра пучка.

В первом параграфе рассматривается пучок ^ - ^(А) , А £ С порожденный задачей Дирихле для эллиптического уравнения порядка 2т с постоянными вещественными коэффициентами в угле раствора , ср <£ С_ 0,2 . Доказано, что эсли . ср СО. К ) ■ то полоса - т « \т Аб-т + 2 нз содержит точек спектра. Кроме того установлено, что собственные числе не могут находиться в точкам 1,01.. (теорема 1.Т).

Для углов ц? = Л и = спектр соответствующих • пучков находится явно (предложение 1.2). В обоих случаях на прямой 1тЛ - - гп лежит единственное простое собственное число А = -1 т . Если же ф Л или гр -» 2 , те удастся получить асимптотическую формулу для собственного числа пучка Р^ , лежащего вблизи прямой 1тп X = - т (предложение 1.3). Отсюда в частности вытекает неулучшаемость утверждения п.а) теоремы 1.1. . у

Если ср<2. (к ,2Л) , то в полосе 1 = ¿1-т] всегда подержатся собственные числа пучка Кр . Они могут находиться лишь на отрезкеЬ.'1"1 »■"Кгп* 1/2}"), причем собственные числа, лежащие в (-1 -

простые (теорема 1.2). Более того, существуют углыср,,... ,срт такие, что Я. = срт ^-(р™-, < • • • -с 2 К ,

и го строго убывающих в«.чцествеинс--аналитических функций И*••' О^к ^-1/2. ,па) .к - ,ГП , обладаю-

щие следующими свойствами:

а) если ф -* Срк или (р 7.'Л , то, соответственно, у к (.ц^ - па , у „ ^ т -• 1 /2 , к = 1 ,..., т ;

б) собственные числа пучка , расположенные в полосе -) , исчирпырантся значениями -I если ср

Найдена' асимптотика функций р к при ср -»Л- К

yk(cp)=m-l/2 + 0(12^ _tf|2k )7

где Yk , ' = ^ 1 • • • ■> ^ 1 ~ положительные кон-

станты (теорема 1.3).

Пример, построенный в п.П § I показывает, что без предположения о вещественности коэффициентов эллиптического уравнения теоремы I.I, 1.2 не верны.

Как следствие доказанных теорем получаются различные утверждения о гладкости и разрешимости в весовых пространствах С.Л.Соболева и Гельдера задачи Дирихле для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами в плоской области SJ- с угловыми точками на границе, в предположении, что растворы соответствующих углов со стороны области не превосходят Si . В частности, показано, что слабое решение задачи (т.е. решенне из пространства с правой частью из L.z(-Q.) всегда принадлежат пространству \Х/г * (.О.4) . Для уравнения второго порядка с вещественными коэффициентами этот факт был получен ранее М.Ш.Бирманом и Г.Е.Скворцовым.

В §§ 2, 3 исследуются спектральные свойства операторных пучков, связанных с краевыми задачами для сильно эллиптических систем порядка 2 m d ' w -мерном конусе, в предположении, что поверхность конуса допускает явное задание в декартовой системе координат. В случае первой краевой задачи (§ 2) показано, чго полоса \ ЬпЛ-1/2 (n-2т ") \ ¿1/2 не содержит собственных чисел. Для второй краевой задачи (§ 3) тоже верно, если 2 m < . N - i , а при 2т -п-1 спектр в полосе I'm Л & { исчерпывается собственными числами 0 и i , кратность которых равна иоояд-ку системы t . В случае 2m = n пучок второй краевой задачи имеет в полосе -1/2 ^ IrmX i /2. единственное собственное число А„-0 кратности t и алгебраической кратности 2 t .В заключение специально рассматривается вторая краевая задача для трехмерных сиотзы Лапе и Стокса,

которые не укладываются в общую схему. Соответствующие, результаты показывают, в частности, что векторы смещений и скоростей непрерывны в вершине конуса.

В § 4 главы I получены оценки ширины полосы, свободной от спектра пучка, порожденного задачей Дирихле для бигармо-нического уравнения в п, -мерном конусе.

■ Задача Дирихле для бигармонического уравнения с более общими особенностями границы исследовалась О.А.Олейник, В.Л.Кондратьевым, В.Г.МазьеЯ. Первыми двумя авторами для плоской задачи была получена точниа зависимость гладкости функции в'окрестности граничной точки от структуры границы. В.Г.Мазьей изучалось, в частности, бигарчоническое уравнение в многомерной области. При некоторых условиях на границу области, формулируемых в терминах:бигармонической емкости, была установлена непрерывность решения задачи. Из нызих неравенств, в частности, следует, что если конус расположен з полупространстве» то полоса | \уу\ X' +' 2 - п /2 | <= л /2. не содержит собственных чисел пучка. Отсюда вытекает непрерывность по Гельдеру вторых производных слабого решения задачи Дирихле для бигармонического.уравнения в области с коническими точками в случае, когда соответствующие касательные конусы расположены в полупространстве. Показано, что упомянутое утверждение не имеет места для произвольного эллиптического уравнения четвертого порядка с постоянными вещественными коэффициентами . Построение этого примера основано на асимптотической форель для ширины полосы, свободной от спектра пучка, пороченного задачей Дирихле для уравнения в конусе, "близком" к полупространству.

Во втсро.1 главе рассматриваются редения эллиптической краевой задачи с постоянными коэффициентами в секторе

^(сос.му; К10< г^с ,9е (6,Ч>)} '

. иа К(Р.£.

= т + при а< £, (I)

где 2т - порядок оператора Л, порядок оператора ,

£| = 1 . . 2т..

Известно, что такие решения разлагаются в асимптотические ряды по функциям вида ТА С} (0 , X ) , где 1,0 -полярные координаты, <3 - многочлен от т с. гладкими

по Э коэффициентами. Ввделяется широкий класс краевых задач, описываемых в алгебраических терминах, для которого решение однозначно определяется своей асимптотикой. Инг.че говоря, если решение имеет нуль бесконечного порядка в вершине угла, то оно равно нулю при малых значениях 1 (теорема 2.1.1).

Задачи вида (I) возникают при исследовании единственности эллиптических крагвкх задач в двугранном угле. Коли А. оператор второго порядка, "младшие" члены которого подчинены некоторым неравенствам, а 6 = , то решения задачи (I), удовлетворяющие некоторым усливиям роста ча бесконечности, изучались А.И.Комечем, В.Г.Маэьей, В.А.Пламеневским, Г.И.Зс-киным. Мы не налагаем никаких ограничений на младшие члены операторов А, , поэтому наши результаты являются новыми и для этого случая.

Рассматриваемая задача имеет непосредственное отношение к "теоремам об однозначном продолжении", в которых утверждается при тех или иных предположениях единственность решения однородной эллиптической задачи, если решение имеет достаточно богатое множество нулей (ы частности, изолированный нуль бесконечного порядка). Известные'результаты такого рода относятся либо к внутренним точкам области либо к точкам, находящимся в окрестности гладкой части границы. В случае

угловой точки границы подобные результаты отсутствовали.

Сформулируем условие на операторы задачи (1), при которых доказана теорема о сильном цуле. Пусть Л^С^ •Ь^рСЭ^ сГ)_ старшие части операторов А, 1 1 ,... ,2т Представим оператор А0 в виде

v \

к

где - попарно различные корни уравнения = 0

кратнссти ^ . ... , V,) , 1гркчем половина из них (с учетом кратности) имеет положительную, & оставшаяся половина - отрицательную мнимые части.

Пусть Л - множество целочисленных зектеров С -= (<5^... ,0^) таких, 'что О ^ <4 - и о1 + ••• тб^ - т . . Сопоставим оператору А0 и числу Ср многоугольник V , равный выпуклей оболочке точек 6 -т = + ■ ■• -из^ Т^

<£/1

Здесь 1к = £сн] (со-ли? + а к СО } (аргумент функции

9 -» со<? О * а к -и"-п б меняется от 0 до 2 5и при \т о.к>0 и от 0 до -2 Л при РтО. к < 0). Обозначим через Г-множество вершин многоугольника V . Каждой вершине соответствует единственный мультишщекс о£ А такой, что

О • Т = 2С . Положим Л' (бё А : С5-Г е. г } ? . Нетрудно ввдеть, что если О 6 /то и V -С 6 Л , где

V . ^ .

Обозначим через СрУ мнэ.кество пар ('К, ^ ). таких, что

оу*0 >0< ,

Определение. Пусть С <=- Л . Будем говорить, что граничныз операторы задачи (I) <5 -иегуляркы, если матрицы

г о ' не гырождекы.

- и -

Обозначим через- агя) мульткиздеко из Л такой, что Ребсс)-Т = Рсб-Т" , р,сли таких мультииндексов два,

— го} бед

то О один ИЗ них.

В § 2 доказана

Теорема 1.1 (о сильном нуле"'. Пусть граничные операторы краевой задачи (I) ©^регулярны и решение Ы задачи (X) удовлетворяет при %<Ь оценкам

си {,2,...

Тогда и. -О прк

л* " - * \

Множество /\ содержат муль-гиивдексы 6"" =(6, ,...,6^ ), где = -у^ , если ± \т а^ > О и оу = О , если

О. ^<0 . Условие би * & - регулярности эквивалентно эллиптичности краевой задачи (I). Если ф- Л, 2Л ¡пи - произвольный угол, а оператор А0 раБэн степени оператора второго порядка, то многоугольник V вырождается в отрезок [6~-Т , . Псгт-сму в этих случает С -

регулярность граничных условий вытекает из эллиптичности задачи (I).

Приведем еще один пример б-регулярных граничных условий (§ I). Пусть б£ А . Предположил!, что

^ о(;-Е к-пср +ОС*ср,гСЛ<Ср-> ¿¿"ПСр)- Р(_2 ") Ро^О^2)),

С),- 1 , гп . ^Здесь Р, - многочлены, причем

степень многочлена равна. 1 . Пусть еще ик(ср)=

^ (ака>1Ср -мп ср ит(р * ссш Ц? . и выполнены

соотношения ^ к-) ^ Я ПРИ

(индексы к , пробегают ляль те значении, для хсторых

С>к * О , <5; * О ).^Тегдо операторы Д.

С7 --регулярны на лу«с (т.е. матрица (?.) не вырожде-

на) .

. 3 § Я показано, что одной эллиптичности операторов задачи (I) недостаточно для справедливости теоремы■ о сильном нуле.

" 3 п.Т2 § 2 рассмотрена эллиптическая краевая задача в двугранное угле. Доказано, что если главные части операторов, относительно нормальных к ребру переыеньык, удовлетворяют условию С -• регулярности, то краезая задача однозначно разрешима в весовых пространствах С.Л.Соболева.

■ Понятие О -регулярности полезно также при исследовании

Р-Тт • 'РОЛи = асимптотического распределения спектра пучка о • " '

Обозначим через |к ^к-1, стороны многоугольника V ■ Пусть |к! - их длины к к- внешние нормали к сторонам у . Каждой нормале С1 и и положительному числу £, сопоставим сектор Ц(£ } = <£(Г : 2 V6 к | 6 £, ] .

Число о выбирается настолько малым, чтобы секторы к(в)> не пересекались при к '^ ] . Обозначим через )

количество собственных чисел (с учетом кратности) пучка ^ , лежащих в множостве б |_ кСО : | < .1- .1 . В § I п.4 доказана

Теорема 4.1. Пусть граничные .операторы задачи (I) О-ре-гулярны для всех (5<=/\ . Тогда спектр пучка J , за исключение.!,1 конечного числа точек, лежит в углах Для функций распределения спектра справедливы асимптотические формулы

Отметим, что похокие формулы были получены- А.А.Шкалико-вым при исследовании асимптотического поведения собственных «сел пучк^ краевых зедач для обыкновенного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами, полиномиально зависящими о^ спектрального парагиетра.

Последние две главы диссертации посвящены параболическим краевым задачам в областях с особенностями границы. Б случае параболических задач, в отличие от эллиптических, граница облает«-., даже будучи глад,кой, меже.' содержать особые течки. Речь ид от о ' ,чках, касательная плоскость в которых параллельна

плоскости С - О . Подобные задачи рассматривались И.Г.Петровским, В.П.Михайловым, В.А.Кондратьевым. В настоящей работе рассматриваются области с негладкими границами - цилицд-ры а чо/ I ), где а - область с коническими точками.

В то время как теория эллиптических краевых згдяч в областях с коническими течками, ребрами, многогранными углами и т.п. достаточно раэр?бота?1а, аналогичным вопросам для параболических ург.внений уделялось значительно меньше внимания. Относительно хорошо изучена простейшая ситуация, когда правые чести достаточно регулярны иуцовлетворяют уолосилм согласования. Тогда асимптотика решения вблизи особых точек границы - та же. что в эллиптическом случае: время играет роль параметра.

Мы предполагаем, что правые части задачи имеет разрывы по переменной t . В этом случае решения имеог существенно "параболический характер", т.е. асимптотика вблизи особенностей границы не сводится к аналогичной' эллиптической асимптотике.

В главе 3 исследуются функции Грина (д ~ )

и ядра Пуассона Р^-^ ^С^" X,..., оо'щ;и краевых,

задач для ?. 8 - парабо'-кчсских уравнений е области где 'К - яочус в & , вырезающий на единичной сфере область -О. с гладкой границей. Получек^' точечщге оценки и построены полные асимптотические разложения соответственно з зонах 11/2-*>> т^Охц н^О , Х"" » О, I ) .

Отсюда, в частности, вытекает асимптотика функции Грина к ялер Пуассона при Х-* «■«■. Отметим, что асимптотику решений различных параболических задач при больсчх кремекох, б случае циливдра с гладкой образующей, исследоволксь А.К.Гущк-«мм, В.П.Михайловым и другими авторами.'.

функция Грина определяется как решение краевой задачи

(<} 4)

= 2- е а^.Сх^Э^ »

* Явк»!*!*!«™

г, о СО на К* К1,

■Ъ&АЪЪ - 21 е^'^ э^с, -О

при (3)

где а^уф^ к ) - гладкие функции в конусе (на границе конуса) положительно однородные -степени \<М -г Я В к

+ т-*'2-6т-1., ^ =

Оператор А предполагается параболическим, а операторы -Ь^..., , ^ удовлетворяют условию дополнительности. Для того, чтобы сформулировать второе предположение, при котором изучается задача (3), введем пучок краевых задач в области £2:

Пусть еще

, ре. |К _ пространство функций в конусе К , для которых конечна норма

чУ|4Е К .

-соответствующее пространство граничных значений. Тогда предполагается существование числа Е такого, что на п^мой 1упА = р0* - .1 В т пег собственных чисел ш^чка 4 и оператор { ; ^Д}, ¡ = 1,...вт] :

Го Р» Ц^бгп Р°

является изоморфизмом.

Получены следующке оценки для функции Грина (5 4):

т^ссх^пнсг

хб/сгб-О N

» е<хр(~зе|х-^| I (4)

где 6 - лгсбое положительное число, к+ - границы макси-

мально широкой полосы (к.^ЬпА-^ к+") , свободной от спектра пучка V и содержащей прямую ]тп А - рг + и ¡1 ~ 2 8т . Аналогичные оценки получены для ядер Цуассоиа.

Зункцяя Грина задачи Пеймр.йа для уравнения теплопроводности в двугранном угле изучалась В.А.Солонниксвым, были получены оценки типа (4), однако, без зкспоненциального ктножи-телл в правей части.

Спишем структуру асиштотики функции Грина, при \-x\il\u\ . Пусть <5 - вещественное число такое, что О к_ у нп прямей 1г>1 Аб иет собственных чисел пучка Р . Обозначим через М колотество собственных чисел (с учетом кратности) пучка Р , лежащих в полосе О <■ КпА ^ к. , Тогда (§4)

-л Ь

«е^срГ- жI )

п&А I ' ""

Здесь Ур ) - дифференциельныз по I операторы

порядка » которые стрятся в л.1, § Ч< ~

ц дальние решения однородной сопряженной задали (§3). Аналогичные асимптотики получена для ядер Пуассона.

Если ~ Д ■+ (71 ( Ох ") , где 01 - сально

(5)

- т& -

эллиптический оператор порядка 2 8 с постоянными вещественными коэффициентами, то для задачи Дирихле, в силу неравенства Гординга, выполнено услозия П при рс = В .В этом случае 1;з результатов, полученных в главе Г, вытекаюг эффективные оценки чисел к- и ^ + , фигурирующих в формулах (4), (Б).

Вывод асимптотических формул и сценок функции Грина и ядер Пуассона существенно опирается с одной стороны на исследования В.Л.Солонникова, С.Д.Эйдельмана, М.С.Аграновича, М.И.Видика, С.Д.Ивасиыена параболических кразЕых задач в областях с регулярными границами и на исследования В.А.Кондратьева, В.Г.Мазьи, Б.А.Пламенезского разрешимости неоднородных эллиптических краевых задач в конусе - с другой.

В главе 4 рассматривается параболическое уравнение второго порядка

наСЧСД), и- &

где СУ - область в К с компактным аамыканиел и границей за, т - положительное число, А - равномерно эллиптический дифференциальный'оператор второго порядка.

Мы предполагаем, что на Ъ (У имеется коническая точка О. Это означает, что в окрестности точки О , область (У совпадает с "сектором" ^ -эсе К" : К 1 , "х/|х I £ ] > где .О. - область с гладкой границей на единичной сфере. Мы • отказываемся от ьыполнения условий согласования правых частей задачи и получаем (равномерную но X, 1 асимптотику решений кри I ~» О . Эфа асиултогкка имеет существенно "параболический" характер. Она представляет собой двухмасштабное разложение но полуцелым степеням ' I . Автомодельные коэффициенты асимптотического ряда получаются при решении некоторых вспомогательных краевых задач для последовательности иыровдю'цахся эллиптических уравнений в конусе и обыкновенных ди1{феринци1гиьнкх уравнений по полупрямой.

Опии. основной результат. Пусть Р) - гладкая

функция, допускающая при х.'->С , Х-' s-bC асимптотическое разложение

ftc*\t) - Z ^ Ле<П>£ »[ОЛ'] ).

к. ».О

Пусть еще А,, - первое собственное число задачи Дирихле для оператора Бельтрами - 5 р облз.сти .Q . Если Re Z > i- n/2 - \| n/iy1 + ,\c , то решение за-

дачи (б) при t О предстапимо в виде асимптотического ряда

HVO

Здесь v - расстояние до границы, X* - проекция точки зс на Э С?" , £ и - срезающие функции с носителями в

окрестности нуля, функции ЦХ' , •) , V^ (х' ^ > ") последовательно находятся из решения модельных задач в коку се и -на полупрямей, исследование которых проведено в п.2.1, 2.2.

Диссертация заканчивается приложением.. В нем собраны использованные в главе 3 частично известные факты о разрешимости эллиптических краевых задач б конусе. В этом яруге вопросов часто вводится дополнительное предположен:« о том, что краевая задача, сопряженная относительно формулы Грина, имеет тот же тип, что и исходная. Как известно, оно выполнено не всегда. Здесь мы вводим и рассматриваем некоторый более лирокий класс краевых задач, которому принадлежит как исходная так я еопряяекнал задачи. Именно, идесь изучаются, задачи с большим, чем обычно принято числом граничных условий на разыскиваемую функции, при этом а краевые условия входят соответствующее число неизвестных функций, подлежащих определению. (В гладком схучае подобные к более общие краезые задачи хорошо и?учены, ем.работы Л.Буге дэ Мокпслч, Г.Грубб, Ш.Ромпель, Б.^В.Шульцз, Г.И.Эскина). Бее факты, справедливые длл обычных эллиптических краевых задач ч конусе, переносятся на р.-осматрпр&змуе ниже краеше згдти. Дог-казат^льства при этом претьрпгвиот пс-тестпечнке, 1Гричем незначительные, изменения л позтечу спускается. Исключен;!«

составляют лишь предложение 4.1, следствия ккему и теорэма

4.2, доказательства котррых приведены полностью.

ЛИТЕРАТУРА

1. Козлов Б.А. О спектре операторного пучка, порожденного 'задачей Дирихле для эллиптического уравнения в угло. -Мат.заметки, Т989, т.45, № 5, с.П7-П8.

к. Козлоз З.А. Об'особенностях решений задачи Дирихле для эллиптических уравнений в окрестности угловых точек. -Л'., Алгебра и анализ, К39, № 4, с. 161-177.

3. Козлов В.А. Теорема о сильном нуле для эллиптической кра-"еаой задачи в угле. - Мат.сб., 1939, т.180, № 6, с.831-849.

4. Козлов В.А. Асимптотика спектра операторных пучков, по-роаденных эллиптическими краевыми задачами в угле. - В сб.: Некоторые приложения функционального анализа к задачам математической физики. Новосибирск, 1988, с.82-96.

5. Козлов В.А. О поведении решений эллиптически краевых задач в угле. •• Мат.заметки, 1990, т.

6. Козлов В.А. 0 коэффициентах в асимптотике решений начально-краевых параболических задач в областях с конической

' точкой. - Сиб.мат.журн.: 1958, т.29, № 2, с.75-09.

7. Козлов б.А. Функция Грина и ядра Пуассона параболической задачи в области с конической точкой. - Успехи мат.наук, 1988, т.43, If 3, с. 183-784.

8. Козлов В.А. Об асимптотике функции Грина и ядер Пуассона смешанной параболической задачи в конусе. I. - Z -

fm CL-ЛОЯЛ^А шьс! iA/ue (InM^^^A^n^n , 1989, Ъ-d. 8i£), <S .I3I-T5T.

9. Козлов В,А. Параболические задачи в конусе с сингулярными правыми частям». - ЛГУ, Л., 1G8G, рукопись депонирована в ВИНИТИ, » 6306-Вот 23.09.86.

10. Козлов В.А. Асимптотика при t -> О решений уравнения теплопроводности в области с конической точкой. - Мат. (б., 198*, т.163, »3, с.384-395.

II. Козлов В.А., Мазья В.Г. Спектральные свойства операторных пучков, порожденных эллиптическими краевыми задачами в конусе. - Функц.анализ и его прял., 1988, т.22, № 2, с.38-46.

РТП ЛИЯФ,тирЛг:89,тирЛ00.уч.и8д.л.0,8;01.12.89г.и-2^3

Бесплатно