Численное исследование задач динамики вязкой жидкости и газа с тремя независимыми переменными тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ имени АЛЬ-ФАРАБИ

РГб од

1 с Т- ......:

На правах рукописи ЖУМАБЕКОВА Куляш Мухтаровна

УДК 532.516

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА С ТРЕМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

Специальность 01.02.05 — механика жидкостей, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

АЛМАТЫ, 1094

Работа выполнена в Вычислительном центре Российской АН и МПГУ им. В. И. Ленина.

Научный руководитель: доктор физико-математических паук Шидловский В. П.

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Жапбасбаев У. К., кандидат физико-математических наук, профессор Артюх Л. 10.

Ведущая организация: Институт теоретической и прикладной математики Национальной академии наук Республики Казахстан

Защита состоится сентября 1994 г. в часов

на заседании специализированного совета Д14/А 01.04 по адресу: факультет механики и прикладной математики Казахского государственного национального университета им. Аль-Фараби, 480012, г. Алматы, ул. Масанчи, 39/47, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан июня 1994 г.

Ученый секретарь специализированного-совета, доцент ¿7 £—Г. Т>. Балакаепа

ООТЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. В работе исследуются ламинарные течения жидкости и газа. Хотя традиционно считается, что решение задач, связанных с турбулентным течением имеет особое практическое значение, но изучение ламинарного течения. как будет показано нкгге, также является важной проблемой. Так. области турбулентного течения часто предшествует зона "перехода" от ламинарного течения. Ламинарным является течение жидкости в гидроустройствах и подшипниках скольжения. За последнее время возник определенный интерес к проблемам гемодинамики - изучению свойств движения крови в сосудах. поток крови в здоровой кровеносной системе является почти полностью ламинарным. Течение воздуха в дыхательной систене в нормальных условиях такяе является ламинарным.

Таким образом, исследование ламинарных течения остается весьма актуальным, так как результаты таких исследований могут иметь ряд практических применений, хроме того, точное решение многих задач движения вообяе удается получить только для случая ламинарного движения и результаты позволяют более качественно прогнозировать влияние того или иного параметра на рассматриваемый процесс для конкретного случая турбулентного двияения.

Пряное решение уравнений Навье-Стокса с использованием численных методов предъявляет повышенные требования к памяти и быстродействию ЭВМ. Однако существующие в настоящее время ЭШ обладают ресурсами, достаточными, в обшем случае, лгсяь для решения ряда двумерных задач и проведения расчетов отдельных трехмерных течений. Поэтону на практике имеется постоянная потребность в развитии различных методов преобразования самих уравнений для приведения их к виду, упрошажетему проведение численных расчетов, в частности с использованием теории автомодельных движения. Естественно, при использовании этой теории из рассмотрения исключаются определенные зо-

- г -

ны рассматриваемого течения, вместе с тем, полученные решения достаточно достоверно отражают влияние ряла параметров на исследуемый процесс, которое проявляется и в обком "неавтомодельном" случае.

построение автомодельных решений ("метод подобия") один из распространенных методов исследования систем уравнений в частных производных, к которым относится и система уравнений Навье-Стокса.

дель исследования и структура диссертации, целью работы является разработка метода и проведение численного решения задач в двумерных неустановившихся и трехмерных течениях вязкой жидкости и газа, характерных для обтекания усложненных конфигураций, в том числе пространственных, при этом рассматривались автомодельные течения, допусказэтие замену трех исходных аргументов двумя комбинированными.

в результате такого подхода удалось построить численные алгоритмы, позволяющие использовать возможности имеших-ся ЭШ для выявления некоторых особенностей рассматриваемых типов течения.

в первой главе рассматриваются нестационарные задачи для несжимаемой гсидкостн. Глава состоит из двух параграфов, в первом параграфе изучается течение вязкой несхимаемой гид-кости в трубе с эллиптическим сечением. Второй параграф пос-вяшен обобщенной задаче Рэлея.

вторая глава такхе состоит из двух параграфов, в первом из них излагается подход к проблеме замыкания системы уравнений пограничного слоя при ламинарном обтекании двугранного угла, во втором параграфе исследуется пограничный слой на поверхности двугранного угла, обтекаемого вязгсим схимаемым газом.

В третьей главе предлагается математическая модель и

решение задачи Рэлея для двугранного угла в сжинаемом газе.

Нетоды исследования, для решения поставленных задач используется метод расиепленмя по пространственный переменным. который позволяет сводить много,уорну» задачу к набору одномерных. При записи схем растепления в работе использовались только неявные операторы, что позволило избежать ограничения устойчивости.

В данной работе применены "трехточечные" разностные уравнения, при которых матрица соответствующей системы становится трехдиагональной.

Полученные при этих условиях алгоритмы расчета характеризуются: использованием естественных переменных "давление-скорость": алгоритмы свободны от постановки нефизических граничных условия на твердых поверхностях (для вихря или давления); достаточно высоким (вторым) порядкон точности; численные схемы допускают возможность их реализации на машинах средней и налой мощности.

научная новизна, конкретные результаты исследования сводятся в следуюпих положениях:

- на основе применения метода растепления по пространственным переменным с использованием "трехточечных" разностных уравнения (даюиих возможность получения трехдиагональной матрины) разработан экономичный алгоритм, допусказо-гаий решение задач неустановившегося движения вязкой сжимаемой жидкости и газа для случая пространственного обтекания двугранного угла и течения в эллиптической трубе на малинах малой и средней мощности;

- проведено обобшение задачи Рэлея на случай обтекания произвольного двугранного угла, образованного двумя полуплоскостями сжимаемым и несжимаемым потоками вязких аидкости и газа;

- предложена математическая модель задачи Рэлея. учитывающая возникновение поперечных составляющих скорости и методика заныкания системы определяющих уравнений;

- предложена система распирешшх уравнения пограничного слоя на двугранном угле. Изучен трехмерный пограничный слой на поверхности двугранного угла в снимаемом газе.

Практическая пенность. получена информация об особенностях течений газа на поверхностях с выпуклыми и вогнутыми углами. Это позволяет давать некоторые опенки непосредственно судя по величине угла на объекте, например, в местах сочленения Фюзеляжа с крылом и оперением. Результата работа могут представлять интерес для исследований, связанных с проектированием летательных аппаратов.

Задача о течении в эллиптической трубе, рассматриваемая в первой главе, мохет быть интересна, напринер. в гемодинамике. в которой изучаются особенности движения крови в сосудах и предполагается, что кровь представляет собой однородную несжимаемую ньютонову жидкость, течение которой описывается уравнениями Навье-Стокса.

Реализадия работы. Все результаты, представленные в работе, получены, в основном, численными методами. Вычисления проводились на эт вэсм-6 и персональном компьютере фирмы 1ВИ.

На з^тгиту выносятся:

1. Способ построения экономичного алгоритна для численного решения задачи неустановившегося движения вязкой несжимаемой жидкости и сжимаемого газа при обтекании двугранного угла и течения в эллиптической трубе.

г. Нетодика замыкания систем определявших уравнений в задачах с угловыми конфигурациями.

з. Результаты численных расчетов нестационарных тече-

ний вязкой жидкости в эллиптической трубе и при пространственном обтекании произвольного двугранного угла.

лдробаяия работы и дубликатам. Основные положения диссертационной работы обсуждались на научной семинаре ИТПМ СО АН СССР, на заседании кафедры информатики и вычислительной техники математического Факультета НПГУ им. в. и. Ленина, на заседании отдела вычислительной Физики ВЦ РАН.

по материалам исследования опубликовано три работа.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

1. нестационарные задачи для несяинаемой жидкости

1. I. Течение вязкой несжимаемой жидкости в эллиптической: трубе

Рассматривается задача о неустановившемся течении вязкой несжимаеной жидкости в трубе, поперечный сечением которой является эллипс.

Выбор системы координат осуществляется таким образон, что одна из осей координат ( 02 ) направлена вдоль течения, а две другие ( ох. оу ) совпадают с осями эллипса. Использование синнетрки течения относительно координатных осей позволяет рассматривать задачу только в одной четвертой части области интегрирования, которая имеет криволинейную границу. Последнее обстоятельство явилось причиной использования неоднородной схемы растепления.

Использованная неявная разностная схема инеет первый порядок точности по вренени и второй порядок точности по пространственным переменным в регулярных точках.

Расчеты были проведены для случаев дР = О. 5 и ¿Р -■ 1

- б -

( лР - разность давлений в момент начала движения). Получении е результаты позволяют судить о характере затухания неустановившегося движения вязкой жидкости в эллиптической трубе.

1. 2. Обобщенная задача Рэлея

задача Рэлея - это задача о распределении скорости вязкой жидкости, которое образуется, когда плоскость, находящаяся в жидкости, начинает равномерное движение в ней. Релей нашел аналитическое решение этой задачи ».

Существует также аналитическое решение подобной задачи для пряного двугранного угла, найденное цнрепон »«. Исследуемая задача является обобщением задачи Рэлея на случай произвольного двугранного угла, образованного двумя полуплоскостями. предлагается численный способ решения этой задачи.

Систена декартовых координат выбирается так. чтобы ось ох была направлена вдоль ребра угла, то есть по направлению движения, ось Ог лежала в одной из полуплоскостей, образующих угол, а ось От была перпендикулярна плоскости х О г.

математическая модель рассматриваемого течения жидкости выбирается с использованием полных уравнении навье-Стокса и с учетом особенностей задачи:

- составляющие вектора скорости по координатан у и 2 равны нулю;

- отсутствует градиент давления;

- составляющая вектора скорости по координате х не зависит от х .

Для удобства формулировки граничных условий используется конформное отображение, переводяшее внутренность рассматриваемого угла в верхнюю полуплоскость «•«. Если п = р /]Г. где 6 - величина двугранного угла и если

X = 2 * 1у , А - £ + I 1

- комплексные перененные. то преобразование декартовых координат осуществляется по Формуле

Х^уГ

г<1у - п* гу1)* (соъ пу * / ипп^ где аг с ¿у (7 .

Поверхности 1 - О и ' ° соответствуют твердой поверхности тела и плоскости симметрии.

отсутствие характерной длины делает задачу автомодельной.

Преобразование переменных _>_

И,фпГ^З , = (/ггг^гг-]

позволяет перейти от совокупности трех переменных у . Г . ^ к двун v?,') и ^л'^) -

По условию при Г-» решение асимптотически переходит к Решению Рэлея для плоскости. Решение Рэлея шг ( 1, Р )

- это дополнительный интеграл вероятностей

и?

с?— ,

С - %

и*5 4: 3 г с1 X

% Л-1

где X' ^ - переменная Рэлея. В расчетах для представления Функции \.^ > используются три первых члена разложения:

шг О.Г) = 1--МГ

(.7т

I-± у'/""]

Проводится анализ асимптотического поведения репения при -> , который показал, что решение приближается к

своену граничному значению экспоненпиально.

- в -

Численное решение задачи предлагается осуществить с помошью метода установления в сочетании с расшеплениен по пространственным переменным. Схена растепления, используемая для решения задачи, инеет первый порядок точности по времени и второй порядок точности по пространственным переметши.

результаты численных расчетов приводятся для четырех значении п: 1/3, о. ъ. ¿/i. 2. Сравнение результатов расчета для случая п - о. ъ с аналитическим решением цирепа (рис. 1) позволяет говорить о достаточно хорошем их совпадении, на рис.1 треугольниками отмечены значения скорости по формулс, полученной Цирепон *»*•.

к

о у.^гг 2. г о 3.7* Л

Рис. 1. сравнение с решением дирепа для (з - т.

г. Пограничным слои на поверхности двугранного угла

¿. 1. уравнения пограничного слоя на двугранной угле

Предлагается способ замыкания системы определяющих уравнении для задачи кпазиуса. обобщенной на случай двугранного угла. Система уравнений пограничного слоя, записанная в переменных / . ^ . / (преобразование (1) >, дополняется уравнением, получающимся перекрестным дифференцированием двух уравнений более высокого порядка приближения -проекции уравнения импульсов на поперечные направления.

Проводится анализ поведения решения вдали от ребра угла, и частности, показано, что при больших £ течение переходит в течение клазиуса и компоненты и и v скорости являются решением соответствующей задачи, кроме этого показано. что в рассматриваемой области V выражается через V и. следовательно, при £ — и. v, v известны полностью.

а. г. Обтекание вязким сжимаемым газом двугранного угла произвольной величины

известная задача Блазиуса о продольном обтекании полу-бесконечноя тонкой пластины вязкой жидкостью обобщается на случаи произвольного двугранного угла, обтекаемого вязким сжимаемым газом.

для замыкания соответствующей системы уравнении пограничного слоя используются результаты, полученные в а. 1.

рассматриваемая задача обладает свойством автомодель-ности. что позволяет перейти от трех независимых переменных

X" . 4 . ? к двум путей преобразования ±

Для получения граничных функций при <о~ численно решается соответствующая задача о пограничном слое на полубесконечной пластине в сжинаемом газе,

приводятся результаты численных расчетов для случая Т , туг = г (температура поверхности), на рис. 2 показаны профили по Л скорости при различных п и 6" - 3.

¿О

V

o,s

«-» 0.7S- ISO ¿Л* A 3.00

Рис. 2. Профили скорости по Л при различных п и 6" = 3.

3. задача Рэлея для двугранного угла в схимаенон газе.

Исследуется задача о неустановившемся течении вязкого схимаеного газа, возникающем при мгновенной приведении в равномерное движение двугранного угла произвольной величины. В нонент начала двихения скачкообразно иеняется и тенперату-ра поверхности угла, эта задача является обобщением задачи, рассматриваемой во втором параграфе первой главы, на случай сжимаемого газа.

Натематическая модель сформулированной задачи строится на основе полных уравнений Навье-Стокса для газа. Вариант обобшенной задачи Рэлея. относящийся к схинаемону газу, связан с усложнениями двух типов. Во-первых, необходимо учесть изменения температуры в поле течения и непосредственно связанные с ними изменения плотности: это означает, что систену определяющих уравнений следует дополнить уравнением энергии и возникает необходимость определения не только динамического. но и теплового поля над внутренностью угла, во-вторых, наличие переменной плотности в сочетании с требованием сохранения массы приводит к возникновению вторичного течения в нормальной направлении, поддерживаемого за счет индуцируемого тенпературнын перепадом градиента давления.

п./

в силу граничных условии скорость вторичного течения и относительная величина давления будут малы в сравнении с продольной скоростью и постоянным давлением в покоящейся газе. Малость этих величин позволяет в случае двугранного угла добиться определенных упрощений. Уравнение состояния совершенного газа, вообще говоря, имеет вид рТ - Р но величина давления выражается здесь как Р =■ 4 + Р где переменная Р обусловлена движением по нормали к пластине. Поскольку это движение незначительно, то повсюду Р << 1, так что можно приближенно положить р т - 1.

Можно также пренебречь членами, содержащими произведение скоростей вторичного течения и их производных.

Давление, участвующее в проекциях уравнения импульсов на оси ^ и ^ , исключается путем перекрестного дифференцирования этих уравнений, в результате получается система, состоящая из четарех уравнении с четырьмя неизвестными и, v, v. т.

в силу свойства автомодельности. присущего данной задаче. три независимых переменных / . £ . ~Ь преобразуются в два аргумента Х( $ и & С ^ • Систем у уравнении в новых переменных предлагается решать численно, с введением итерационного никла, для численного интегрирования уравнений используются принципы установления и пространственного растепления.

некоторые результаты расчетов приводятся в Форме графиков изменения температуры и компонент скорости. Вдали от ребра угла решение выходит на асимптотику, соответствующую обычной задаче Рэлея для бесконечной плоской пластины, сформулированной для случая сжимаемого газа. На рис. з сравниваются профили второго приближения для скорости вторичного течения V по координате X при различных в" п - о. ъ и IV - 0.5 (температура поверхности», на обшем Фоне

малости значении скорости вторичного течения по сравнению с продольной скоростью выделяется то. что значения скорости вторичного течения вблизи ребра угла больше, чем вдали от него.

/.О

ле

о

О а/2 */5 X г

рис.з. профили скорости вторичного течения при туг = о. 5 и при различных .

/ б"» у

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Сформулирована новая, не применявшаяся ранее математическая модель для описания течения применительно к обобщенной задаче Рэлея. а такхе газового пограничного слоя на поверхности двугранного угла.

а. предлагается новый способ заныкания системы определяющих уравнений в задачах с угловыми конфигурациями. Замыкающее уравнение получается перекрестным дифференцированием двух уравнений: упрошенных проекции уравнения импульсов на поперечные направления. При этом не только заныкаются систе-ны определяющих уравнении, но и уточняются математические модели рассматриваемых течении, предлагается система расширенных уравнении пограничного слоя на двугранном угле.

¿. применяется конформное преобразование декартовых координат, переводящее внутренность рассматриваемого угла в

- и -

верхнюю полуплоскость, это позволяет упростить формулировку граничных условий для всех составляющих скорости и температуры. используются автомодельные переменные, позволяющие преобразовать трехмерные задачи в двумерные, что значительно уменьшает вычислительные затраты.

4. Для решения рассматриваемых задач используется метод установления в сочетании с растеплением по пространственным переменным, предлагаемые алгоритмы обладают следующими свойствами:

- использование естественных переменных "давление-скорость-;

- алгоритмы свободны от постановки нефизических граничных условии на твердых поверхностях;

- достаточно высокии (второй) порядок точности:

- численные схемы допускают возможность их реализации на машинах средней и малой моиности.

5. На основе предлохенных методик получена информация:

- о характере затухания неустановившегося течения вязкой жидкости в эллиптической трубе:

- о течении несжимаемой жидкости и сжимаемого газа вблизи двугранного угла произвольной величины, приведенного в равномерное прямолинейное движение вдоль ребра:

- о пограничном слое, образуемом при обтекании вязким сжимаемым газом двугранного угла произвольной величины.

в графическом форме или в виде таблиц приводятся различные характеристики движения - составляющие скорости, напряжение трения, температура.

Основные результаты опубликованы в работах

1. ЖУмабекояа К.«., Иидловский в.П. Двунерные неустановившиеся течения вязкой жидкости / Ред. X вычисл. матем. и матем. физ.-м. . 1989.-ДеП. В ВИНИТИ 15.12.89. 7435-В69.

- 14 -

2. жумабекова к.н.. Жидловский в. п. задача Рэлея для двугранного угла в сжимаеион газе / Ред. Инж. -физ, ж. лн БССР. -ЙИНСК. 1990. -деп. В ВИНИТИ 19. 02. 90. 9Й4-В90.

}. гумабекова к. и. . иидловскии в. п. Пограничный слой на двугранной угле в потоке вязкой жидкости или газа // № АН СССР, препринт. -1990.

• Kayieish. on ttie motion of solid bodies throuata viscous U<nild3 // PH11.Mas. -1911. -21(b).-P.p. &97-711.

«« Zlerep J. Das Rayieigh-stoKes Problem fur die EsKe // Acta Mechanica. -1979. -B. 34. -P. p. 161-165.

««« ShldlovsKY v.P. Three-dimensional Boundary Layer at the surface of Dihadral Corner // Current Problems in computational Fluid Dynamics. -«. : Mir Publ.. 1966.- p.p.

¿(¿-¿at>.

>>>> zlerep J. Has Kayieian-StoKes Problem fur die EsKe // Acta Mecnanica. -1979. -B. 34. -P.p. 101-165.

Жумабекова К. М.

Уш твуелс13 айнымады к,ызмет1 бар жабысцак; суйыцтар

мен газдыц серп^ндипп улндеттергн сандык; зерттеу

ТУЙ1НДЕМЕ

Курдел!, сонын, ¿пинде кен,1ст!к гнвиндемелерге тэн жа-быск,ак, скйык,тык, пен газ дар ек! влиемд1 анык,талмаган жене у и олшемд1 агымдардагы м1ндеттерд1 сандык; шешутиц эдЮ1н жлсау мен жургхзу каралган.

ЕК1 »ластырмалы делелмен уш баетагщы дэлелдерд! алмас-тируга жол беретш автоклп агымы карастырылады. Кдрастыры-лып отырган агым улгелергнщ кейб!р ерекш!л1ктер1н анык,тау пшн колда бар электронды-есептегш машиналардыц мгмк1нд1кгер!н пайдалануга лол берет¿н сандык алгоритмдер тузудщ сап тгстк

Хсынылып отырган эд1стемелердш, непз!нде зкспери-ментпк деректермен жак;сы уйлес1м табатын шектеул1 набаттагы жабысцак; с*йыктьщ пен газ агысынын, сипаты туралы аппарат алынды.

Kulyash M. Zhurmbekova

Numerical research into problems of viscous liquid and gas dynamic:', convolving three independent variables

ABSTRACT

Elaboration of the technique and accomplishment of numerical solution of problems in two-dimensional non settled and three-dimensional streams of viscous liquid and gas characteristic of streamlining complicated configurations including space ones.

Subjected to consideration are automodel streams, allowing replacement of three initial argurrents by two combined ones. We have succeeded in constructing numericaal algarithms which make it possible to use capacities of the available computers to reveal certain peculiarities of the stream types under consideration.

Proceeding from the above mentioned techniques we have obtained an i nf oraat i on on the nature of stream of viscous liquid and gas in a boundary layer is we11-coordmating with experimental data.