Приближенные методы решения задач термогидродинамики со свободной границей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Введение.

Глава Г.

§1. Нестационарная задача течения двухслойной жидкости.

§2. Разностные схемы в переменных "вихрь, функция тока, температура".

§3. Выбор аппроксимационной формулы для вихря на границе

раздела жидкостей.

Глава 2.

§1. Численный метод решения задач со свободной границей.

§2. Изотермическое отекание пленки по вертикальной стенке.,

§3. Горизонтальный неизотермический слои со свободной верхней границей.

Глава 3.

§1. Метод решения задач с неизвестной границей раздела.

§2. Неизотермическое течение двухслойной жидкости С численное решение J.

§3. Обтекание капли в трубе потоком вязкой несжимаемой жидкости.

Задачи динамики вязкой жидкости со свободной границей и с неизвестной границей раздела возникают в различных областях науки и техники. Сюда относятся многочисленные проблемы химической технологии С течения в пленках, движение капель, частиц в жид~ кости ), движение жидкостей в капиллярах, возникающее в биологических; системах, течение жидкостей под действием капиллярных и термокапиллярных сил, имеющее место в невесомости и др. Во всех; этих случаях граница неизвестна и находится вместе с другими параметрами, характеризующими течение. Внутри области течения такого типа описываются полной системой уравнений Навь е-<!токса. При предельных значениях некоторых параметров эти уравнения удается упростить, в общем случае приходится решать полную систему нелинейных уравнений. Необходимость разработки метода решения задач, со свободной границей или с неизвестной границей, раздела стимулируется необходимостью расчета большого круга практически важных задач.

В работе доказываются теоремы существования и единственное^ ти для модельных задач с фиксированной границей раздела с условиями непрерывности скачка скоростей и напряжений, разрабатываются методы решения нестационарных задач со свободной границей и с неизвестной границей раздела, численно решены некотрые задачи механики вязкой жидкости.

В первой главе доказаны теоремы существования и единственности для нестационарной задачи течения неизотермической жидкости с фиксированной границей раздела. Доказательство проведено на основе методики, разработанной. О*А.Ладыженской, В.А.Солоннико-вым для первой краевой задачи, В.Я.Ривкивдом для задачи с неиз** ц — вестной границей раздела с условиями непротекания, непрерывное** ти скоростей и касательных напряжений на границе раздела. Такие же условия на границе раздела использовались в работах Г.С.Си-говцева. В этой же главе строятся разностные схемы для модельных задач течения жидкостей с границей раздела в переменных "вихрь, функция тока, температура" и дается оценка скорости сходимости построенной разностной схемы к решению исходной задачи. Для вихря на границе раздела рассматривается итерационный процесс и оптимальный параметр релаксации определяется, следуя работам А.А.Дородницына и Н.А.Меллер, Б.В.Пальцева и Э.И.Матеевой, В.Я.Ривкинда и В.Г.Осмоловского, В.Л.Грязнова и В.И.Полежаева, И.В.Отрощенко и Р.П.Федоренко, ЕЛ.Тарунина и др.

Вторая глава посвящена двумерным задачам со свободной границей , которые описываются системой уравнений Навье-Стокса. в переменных "вихрь, функция тока". Рассматривается следующий ме~ тод решения таких задач. Вводится фиктивная свободная граница, отстоящая от действительной свободной границы на один шаг сетки. Условие для нормальных напряжений дифференцируется С Для избежания трудностей, связанных с вычислением давления), а затем объединяется с условием для касательных напряжений в систему относительно функции тока на действительной свободной границе и на фиктивной. Производная давления находится из уравнений Навье--Стокса, записанных в форме Громеки-Ламба в терминах "вихрь, скорость". Свободная граница вычисляется по кинематическому условию. Метод апробировался на тестовых задачах. Проанализирована связь между параметрами итерационных процессов: для функции тока внутри области и для вихря на границе. Проведено сравнение рассмотренного метода с одной из схем в переменных "скорость, давление". Этим методом решены две задачи: об изотермическом отекании; пленки жидкости по вертикальной стенке и о неизотермическом течении жидкости в горизонтальном слое со свободной верхней границей, на которой линейно меняется температура, В первой задаче результаты сравнивались с асимптотическими теориями П.Л»Капицы, В.Я.Шкадова, С.В.Алексеенко, В.Е.Накорякова, Б.Г.По-кусаева, О.Ю.Цвелодуба, (З.В.Кудымова, Ю*А.Буевича и др. и с физическими экспериментами. Расчеты показали, что при R€ < Ю устанавливается стационарный волновой режим с некоторым волновым числом К , зависящим от расхода жидкости и от ее свойств, оп-» ределяемых пленочным числом Fi- У^ "Р ^ j где & « плотность жидкости, ^ - поверхностное натяжение, Y* - кинемати^ ческая вязкость. При волновых числах, близких к нейтральным, волна имеет форму синусоиды, а при К О реализуется режим "уединенных волн". Найдены зависимости фазовой скорости от волнового числа, амплитуды и т#д. Показано, что асимптотические теории, изложенные в работах перечисленных выше авторов, и ре-» зультаты расчетов хорошо согласуются при Re/pi^K \ . Во второй задаче результаты расчетов сравнивались с работами Г.З.Гершуни, Е.М.Жуховицкого, Р.В.Бириха, В.М.Мызникова , которые рассматривали задачу течения жидкости в горизонтальном слое в предположении, что верхняя свободная граница является фиксированной. В расчетах исследовалось влияние деформации свободной границы на течение внутри области в зависимости от безразмерных критериев Грасгофа, Прандтля и "капиллярного числа", являющегося отношением чисел Марангони и Вэлея. Приведены изолинии функции тока и температуры для различных режимов течения.

В третьей главе исследуются нестационарные задачи с неизб вестной границей раздела. Численно задачи такого рода предлагается решать б каждой из подобластей методом, изложенным выше, при этом должны выполняться условия согласования , для реализации которых необходимо применять итерационный процесс. Таким методом рассчитаны задачи о неизотермическом течении двухслойной, жидкости в прямоугольной области и об изотермическом обтекании, капли потоком вязкой несжимаемой жидкости в трубе. В первой задаче исследовались докритические структуры, изучалось влияние деформации границы раздела на течение внутри области. Показано, что для рассматриваемого диапазона параметров С отношения чисел Рэлея, коэффициентов вязкости; и др. ) в жидкости реализуется од-новихревое движение. Во второй задаче изучалось течение внутри и внег капли при различных радиусах трубы, отношениях вязкостей чисел Рейнольдса. Исследована деформация границы в зависимости от перечисленных параметров. Результаты, полученные в работе, сравниваются с результатами по расчету свободного обтекания капли, проведенному ранее В.Я.Ривкивдом. Показано, что по сравнению со случаем свободного обтекания при уменьшении радиуса, трубы возрастает коэффициент сопротивления, в основном за счет увеличения лобового сопротивления.

Работа сосоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 96 наименований. При ссылках на формулы применяется двойная нумерация, указывающая номер главы и номер формулы в ней. Для рисунков принята сквозная нумерация. В библиографическом списке фамилии авторов располагаются в том порядке, в каком они были упомянуты в первый раз.

Результаты работы докладывались на X Всесоюзной школе по численным методам динамики вязкой жидкости С Новосибирск, 1984 ) Волжском зональном совещании-семинаре по дифференциальным уравнениям С Куйбышев, 1984 ), семинарах лаборатории математической физики НИИММ, семинаре кафедры вычислительной математики ЛГУ им. А.А.Жданова.

Основные результаты работы опубликованы в ^92 96J . Работы[92, 95J выполнены в соавторстве. Автору в этих работах принадлежит исследование и реализация на ЭВМ алгоритмов численного решения изложенных в работах задач.

Автор выражает глубокую благодарность В.Я.Ривкинду за руководство работой и Б»А. Самокишу за.проведение консультаций по ряду вопросов, рассмотренных в диссертации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

К защите представляются:

1. Доказательство теорем существования и единственности для задач течения двух жидкостей с фиксированной границей раздела с условиями непрерывности скоростей и напряжений на границе раздела.

2. . Построение разностных схем для модельных задач для уравнений Навье-Стокса с границей раздела в переменных "вихрь, функция тока, температура", определение оптимального параметра релаксации для вихря в итерационном процессе для численной реализации условий на границе раздела жидкостей.

3. Разработка метода решения нестационарных задач со свободной границей и с неизвестной границей раздела для полной системы уравнений Навье-Стокса в переменных "вихрь, функция тока, температура".

Численное решение задач со свободной границей: об изотермическом отекании пленки жидкости по вертикальной стенке и о неизотермическом течении жидкости в горизонтальном слое со свободной верхней границей.

5. Численное исследование задач с неизвестной границей раздела: о неизотермическом течении двухслойной жидкости в прямоугольной области: и об изотермическом обтекании капли потоком вязкой несжимаемой жидкости.

- 134

1. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой не-сжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970, - 288 с.

2. Ладыженская 0»А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М»: Наука, 1967. 736 с.

3. Пухначев В.В. Плоская стационарная задача со свободной грани** цей для уравнений Навье^Стокса. Журн» прикл. механики итехн. физ., 1972, №3, с.91-102.

4. Ладыженская О.А., Осмоловский В.Г. О свободной поверхности слоя жидкости над твердой сферой. Вестник ЛГУ, 1976, №13, с.25-30.

5. Солонников В.А., Щадилов В.Е. Об одной краевой задаче для. стационарной системы уравнений Навье-Стокса. Тр. МИАН, 1973, т.125, с.196-210.

6. Ривкинд В.Я. Исследование задачи о стационарном движении кап^ ли в потоке вязкой несжимаемой жидкости. Докл. АН СССР, 1976, т.227, №5, с.1071-1074.

7. Ривкинд В.Я. Исследование некоторых задач течения многослойных вязких несжимаемых жидкоотей » «В сб.: Тр. Всесоюзной конференции по уравнениям в частных производных, посвященной 75-летию со дня рождения акад. И.Г.Петровского. М., 1978,с. 423-424.

8. Ривкивд В.Я. Об оценке погрешности приближенного метода расчета течений вязкой несжимаемой жидкости со свободной границей. Запис. науч. семин. ЛОМИ, 1980,т.96,с.247-254.

9. Ривкинд В.Я. Некоторые методы расчета течений вязких несжимаемых жидкостей с неизвестной границей раздела. В сб.: Числ.методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1981, т. 12, №4, с .106-115.

10. Сиговцев Г.С. Нестационарная задача о течении неизотермической двухфазной жидкости. 1ук. депонир. в ВИНИТИ 23.02.1981^ №841-81. - 26 с.

11. Дородницын А,А,, Меллер Н.А. О некоторых подходах к решению стационарных уравнений Навье-Стокса. -Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 1968, т.8, №2, с.393-402.

12. Отрощенко И,В., Федоренко Р.П. О приближенном решении стации онарнех уравнений Навье-Стокса. М., 1975, препринт №6 Ин-та прикладной математики АН СССР. - 64 с.

13. Тарунин Е.Л. Оптимизация неявных разностных схем для уравнений Навье-Стокса е переменных функции тока и вихря скорости.- 136 р- В сб.: Тр. У" Всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости. Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, чЛ, с.3-2б.

14. Тарунин E.JL О выборе аппроксимационной формулы для вихря скорости на твердой границе при решении задач динамики вязкой несжимаемой жидкости. В сб.: Числ. методы механики сплошной среды. - Новосибирск, 1978, т.9, №7, с. 97^111,

15. Осмоловский В.Г., Ривкинд В,Я. О методе разделения областей: для эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами. -Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 1981, т,21, №1, с. 3539.

16. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973. - 632 с.

17. Херт С. Произвольный лагранжево^эйлеров метод. В кн.: Числ методы в механике жидкостей,'- М.: Мир, 1973, с.165-173.

18. С-Ксьуг. J-t^wt- R.3, & со ^p^tei.

19. Антановский Л.К. комплексное представление решений уравнений Навье-Стокса. Докл. АН СССР, 1981, т.261, с.829-832.

20. Том А., Эйплт К. Числовые расчеты полей в технике и физике.» М.;Энергия, 1964. 208 с.

21. Самарский А. А* Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. » 656 с»

22. Самарский A.A.v Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравне-*: ний. -М.: Наука, 1978. • 592 с.

23. Роуч П. Вычислительная гидродинамика • • M.S Мир, 1980. -616 с.

24. Rickat-ds' C.W,? Оган.е с. м. Rtesz^tetab i h<j. sehewe s' -uo^fi,- ot^^-J-.ыл^ее^ Kie-tA. v. i 5* .

25. Кочин H.E.,1 Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. М.: Физматгиз, 1963, ч.2. - 692 с.

26. Капица П.Л. Волновое течение тонких слоев вя&кой жидкости. ч.1. Свободное течение. « Журн. экспер. и техн. физики, 1948, т. 18, вып.1, с. 3-18.

27. Капица П.Л.,; Капица С.П. Волновое течение тонких слоев вяз-жидкости. ч.З. Опытное изучение волнового режима течения. » Журн. экпер. и техн. физики, 1949, т. 19, вып.2, с.105-120.

28. Шкадов В.Я. Волновые режимы течения тонкого слоя вязкой жид» кости псд действием силы тяжести. Изв. АН СССР, сер. Меха» ника жидкости и газа, 1967, №1, с.43-51.

29. Шкадов В.Я. К теории волновых течений тонкого слоя вязкой жидкости. Изв. АН СССР, сер. Механика жидкости и газа, 1968, №2, с.20-24.

30. Покусаев Б.Г., Алексеенко С.В. Двумерные волны на поверхности вертикальной пленки жидкости. «В сб.: Нелинейные процесс сы в двухфазных средах. « Новосибирск, ИТФ СО АН СССР, 1977, с.158*»Г72.

31. Алексеенко С.В., Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г. Волны на по-* верхности вертикально стекающей пленки. Препринт ЙТПМ

32. СО АН СССР, №36-79. * Новосибирск, 1979. 51 с.

33. Stxcge-L, W. WWctQ Аеь The4Mb {act О"Н*1. Jf-it^l дТ <4 6 6; у/,50* Цвелодуб О.Ю. Солитоны на стекающей пленке при умеренных рао-ходах жидкости. Журн. прикл. механ. и техн. физики, 1980, №3, с. 64-66.

34. Маурин Л.Н.,' Одишария Г.Э., Точигин А.А. Уединенная волна на стекающей пленке жидкости. «В сб.: Нелинейные волновые взаимодействия в двухфазных средах. Новосибирск, 1977, с.190-Г95.

35. Буевич KUA.,' Кудымов С.В. Слабонелинейные стационарные волны в тонкой жидкой пленке. Инж.-физ. журн*, 1983, т.45, №4, с.566*^76.

36. Кудымов С*В. Волновые течения тоникой жидкой пленки в услови ях пониженной гравитации. * Инж.-физ. журн., 1983, т.45,№3, с. 419-423.

37. Мызников В.М. Об устойчивости стационарного адвективного движения в горизонтальном слое со свободной верхней границей относительно пространственных возмущений, ~ В сб.: Конвективные течения. • Пермь, 1981, с.7б®82.

38. Мызников В.М. Конечно«амплитудные пространственные возмущенния в горизонтальном слое со свободной «.границей. « В сб.: Конвективные течения. « Пермь, 198I, с.83*88.

39. Бирих л« 0 термокапиллярной конвекции. « Журн. прикл. ме-хан. и техн. физики, №3, с.69-72.

40. Гершуни Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость не-* сжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. - 392 с.

41. Бердников B.C. Термокапиллярная конвекция в горизонтальном слое жидкости. В сб.: Теплофизические исследования. - Но-» восибирск # ИТФ СО АН СССР, 1977, с.99-104.

42. The je^^ec^- o^ njipet л^ъ^псе сои<4с-Ыгь$!

43. Ж- ex? и L О н- f-fti-Vf. CiQlni-g < in.62. Sejqvu TUlh y,tppt'Lcu, eyi+ict £ -hi^W £<ч-14 e^ti 4 Ы> Ч (J U. Uv q 2 D4,-t аЛ- J. Нг^ V.ioq p.63. j^no^C P

44. Ccbx-bovft-u -h^^XCiiMtje- ©scCtic** Си ио^чq^A'wt^.- AWky- Ь^/УЪ^р. STb^-ZIC.64* е. 0ц -rt-txi^cL^ ocblruX-to^1. Я*А еи Vtotc U U-v'^crup. ' " '65. и****. з. e\ O, ц tUtv^^66. JD.^ Jq^m^ 1D.7: 3. F^

45. Kc^cir*. u, 'Hi*. ^Ats^e^ o^ ^Mcdouia^ci U.oa«: ^Okt 4 e^J*t zciid m

46. Изаксон B.X., Юдович В.И. О возниконовении конвекции в слое жидкости со свободной границей. Изв. АН СССР, сер. Механ. жидк. и газа, 1968, №4, с.23-29.

47. Гончаренко Уринцев А.л., Об устойчивости движения жидкости, вызванного термокапиллярными силами. « Журн. прикл. механ. и техн. физики, 1971, №6, с. 94^8.

48. Л-иЛ^см^ -^e-u cV-w ^ Pk ^Л, PS.,4 9 65J \f.4i л/3 p■ ^U-t/Zo.

49. Симановский И.Б. Об устойчивости двухслойных систем по от** ношению к конвективному перемешиванию. « Изв. АН СССР, сер. Механ. жидк. и газа, 1983, №3, с. 118*122.

50. Симановский И.Б. Конечно^амплитудная конвекция в двухслой« ной системе. Изв. АН СССР, сер. Механ. жвдк. и газа, 1979, №5, с. 3«9.

51. Гершуни Г^З.,1 Куховицкий Е.М. О неустойчивости равновесия системы горизонтальных слоев несмвшивающихся жидкостей при нагреве сверху. « Изв. АН СССР, сер Механ. жвдк. и газа, 1980, №6, с.28-34,

52. Попов Смешанная конвекция в двухслойной системе. ♦ Теор. основы химич. технол.,- 1982, т. 16, №6, с.398«404.

53. Шварц П., Вильке Г., Крылов B.C. Анализ гидродинамической устойчивости межфазной границы при наличии эффекта Марангони Теор. основы химич. технол., 1982, т.16, №6, с.777-783.

54. Kyt^ct, fc-^cuL A&L. С n.^ e-oi-c^ А^гл u^^tly

55. Tq^ ^сг 77 /4. Он -ft*, ch feb<! ol^ C^^oi C^ouL Су ^ Ci ЛСС K^-j. ^ ЬлиЖ^ /Э.Ч66-Ш

56. Бутов В.Г., Васенин И.М., Шрагер Г.Р. Деформация капли в вязком потоке и условия существования ее равновесной формы.- Прикл. матем. и механ., 1982, т.46, №6, с.Ю45«Ю49.

57. Волков П.К., 1{узнецов Б.Г. Численное решение задачи о стационарном обтекании вязкой жидкостью газовой полости в трубе.

58. В сб.: Числ. методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1982, т.13, №5, с.20-31.

59. Васенина М.И,, В!вкинд В.Я. Численная реализация условий' на свободной границе. фкоп. депонирована в ВИНИТИ 20.12.83, №6880-83 ДЕП. 16 с.

60. Васенина М1*И. О численных методах решения задач со свободной границей. фкоп. депонирована в ВИНИТИ 19*04.84, №2474-84 ДЕП. - Г7 с.

61. Й; Васенина М.И» Об одном методе решения задач со свободной границей, *» В сб*: Тезисы Волжского совещанияюеминара по дифференциальным уравнениям. • Куйбышев, 1984,! с.23.