Асимптотическая теория струйных течений вязкой жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ьииан $ и/I Я^уо^^Ш

АКАДЕМИЯ НАУК СССР / л*,

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ОРДЕНА ЛЕНИНА СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ТЕПЛОФИЗИКИ

На правах рукописи УДК 532.516

Яворский Николай Иванович АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОШЯ СТРУЙНЫХ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 01.02.05 механика жидкости, газа я плазш

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск, 1989

Работа выполнена в Институте теплофизики СО АН СССР

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор В.В. Пухначев доктор физико-математических наук, профессор Н.И. Акатнов доктор физико-математических наук, профессор В.Я. Левченко

Ведущая организация: .Институт прикладной математики им. И.В.КелдЕ АН СССР

Защита состоится "_"__ 1990 года в_часо!

на заседании спе ^авизированного Совета Д.002,Ь5.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Институ теплофизики СО АН СССР (£30090, г. Новосибирск, пр. Акад. Лаврентьева, I)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теплофизики СО АН СССР

Автореферат разослан _" , _ 1990 г.

Ученый секретарь специализированного Совета

доктор технических наук, профессор , / H.A. Рубцо

ОВЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1, Актуальность. Струйные течения представляют широко распространенную форму движения жидкости и газа. Такие течения наблюдаются в самых разнообразных явлениях природы и повсеместно используются в технике и производстве, где применяются гидрогазодинамические струи для решения технологических задач. С другой стороны, струи представляют важный объект исследования в теории. Известен ряд точных решений полных уравнений Навье-Стокса, отвечающих этим течениям. Анализ же точных решений позволяет глубже понять свойства оснопополагающих уравнений гидродинамики. Класс струйных течений весьма широк. Он включает в себя различные затопленные струи, струи в спутном потоке жидкости, к которым примыкает задача о следе за равномерно движущимся телом, закрученные струйные потоки, задачу о взаимодействии струи с преградой и т.п. Несмотря на большое разнообразие гидродинамических течений, эти задачи представляют редкую возможность детального теоретического исследования довольно сложных потоков вязкой жидкости в рамках полных уравнений Навье-Стокса, Изучение же характерных внутренних свойств решений уравнений движения вязкой жидкости составляет важное направление современной теоретической гидромеханики. Кроме этого, ряд практических приложений нуждается в развитой теории веавтомодельных затопленных струй и следов, позволяющей эффективно рассчитывать конкретные гидродинамические течения. Построений теории неавтомодельных струйных течений, справедливой в окрестности бесконечно удаленной точки, необходимо также для разрешения ряда противоречий и парадоксов, возникших при теоретическом исследовании этих течений.

2« Целью работ« является разрешение противоречий в классическом асимптотическом разложении решений уравнений Навье-Стокса и теплопроводности для затопленных струй по целым обратным степеням сферического радиуса с основными физическими законами сохранения массы (расхода), момента количества движения и энергии; построение непротиворечивой теории ламинарных неавтомодельных затопленных струй и следов, основанной на обобщенном мультипольном разложении решения соответствующей краевой задачи; выведение новых нетривиальных свойств решений уравнений

термогидродинамики; выявление общих принципов, управляющих динамикой вязкой жидкости.

3. Научная новизна. Разработан мультипольный подход для решения системы уравнений Навье-Стокса и конвективного теплоне-рзноса, позволяющий находить стационар«® решения краевых задач, описывающие неавтомодельные затопленные струи. Показано, что решения систеш уравнений термогидродинамики для внешней задачи неаналитичны в бесконечно удаленной точке, так что разложение решений в окрестности этой точки следует вести по дробным обратным степеням сферического радиуса К . Эти показателю степени являются функциями числа Рейнольдса для гидродинамической задачи и функциями чисел Прандтля и Рейнольдса для тепловой задачи. Они определяются как собственные параметры сформулированных в работе спектральных задач. Соответствующие собственные функции играют роль ыультилолей струйного течения дня уравнений термогидродинамики. Общее решение представлено в виде разложения в ряд по собственным мультиполям или мультиполь-ным последовательностям, возникающим в нелинейной постановке задачи. Такое представление решения позволяет снять парадоксы неразрешимости, возникающие из-за несовместности классического асимптотического разложения по целым обратным степеням К с законами сохранения массы и момента количества движения для гидродинамической задачи и энергии для тепловой задачи. В случае задачи о теплообмене в струе мультипольный подход позволил обнаружить два качественно отличающихся режима теплопроводности: режим конвективного переноса тепла и кондуктивный (диффузионный) ражим, и определить область их существования. Анализ полного решения уравнений Навье-Стокса, полученного методом мультипольных разложений, позволил установить границу теории пограничного слоя, широко используемой ранее при исследовании неавтомодельных затопленных струй. Показано, что приближение пограничного елся верно дает лишь первые два члена в асимптотическом разложении по обратным степеням продольной координаты

2 . Дальнейшие приближения некорректны. Получено общее решение системы стационарных уравнений Навье-Стокса и конвективноЛ теплопроводности для струйного течения в ограниченной области. На примере задач о распространении затопленных струй во вращающейся и нагретой трубах продемонстрирована эффективность муль-

тиязяьшро подхода. Отмечена связь между возникновением при некотором критическом числе Рейнольдса комплекснозначных показателей степени с устойчивостью ламинарной струи. Доказана сходимость мультипольного разложения и, таким образом, показано,что получено точное решение уравнений гидродинамики для широкого класса струйных течэняй» Решена стоявшая перед исследователями не одно десятилетие задача об описании зоны приосезого обратного тока для неавтомодельной закрученной струи. Показано, что эта задача может быть решена только на основе полных уравнений Навье-Стокса. В рамках теории пограничного слоя нельзя получить адекватного описания возвратного течения в силу вырождения одного интеграла движения, чем и объясняются ранее сделанные неудачные попытки такого описания. Построено решение уравнений Навье-Стокса, описывающее неосесимметричные затопленные струи, ¡¡оказано, что асимптотическое поведение как неосесиммет-ричных, так и осесимметричных струй описывается заданием четырех интегралов движения: потоков импульса, массы и двух компонент момента количества движения. Показано, что неосесимметричные струи при удалении от источника стремятся к осесимметрич-ному Пределу. При помощи полученного решения объяснен наблюдающийся в эксперименте периодический поворот "прямоугольной" струи. На основе мультипольного разложения и гипотезы постоянной турбулентной вязкости предложен инженерный метод расчета неавтомодельных турбулентных затопленных струй. Получено неплохое согласие расчетов по этому методу с опытными данными.

Разработанный обобщенный мультипольный подход развит на класс задач о ламинарном следе за равномерно движущимся телом и неавтомодельной затопленной струе, распространяющейся з однородном потоке жидкости. В явном виде указаны первые три члена асимптотического разложения, выражающиеся через точные интегралы сохранения уравнений Навье-Стокса: полные, потоки импульса, массы и момента количества движения. Показано, что асимптотическое разложение в бесконечно удаленной точке решения задачи обтекания представимо в виде ряда по дробным производным от некоторых фундаментальных тензоров. Исходя из полных уравнений Рейнольдса для средней скорости без привлечения каких-либо гипотез о замыкании уравнений турбулентного переноса исследована асимптотика для дефекта средней скорости в турбулентном следе

за телом. Рассмотрена возможность памяти формы обтекаемого тела у автомодельного турбулентного следа и указано, что для турбулентной струи в спутдам потоке памяти формы источника струи не может быть. При наличии памяти формы у турбулентного следа это указывает на неэквивалентность источников и стоков импульса в гидромеханике турбулентности. Получено решение тепловой задачи для ламинарного обтекания в виде мультипольного разложения. Показано, что главный член разложения определяется точным игтегралом сохранения - полным потоком тепла. Рассмотрена задача о турбулентном тепловом следе и приведена оценка для дефекта средней температуры.

В качестве модели взаимодействия струи с преградой рассмотрено точное решение уравнений Навье-Стокса задачи о течении Ь'.ежду бесконечным вращающимся пористым диском, на котором задан равномерный вдув или отсос и неподвижной плоскостью. Показано, что существует счетное число изолированных пар решений этой задачи, не связанных бифуркационной кривой. Найдено, что при отсосе через неподвижный пористый диск при возрастании скорости отсоса имеет место бифуркация, соответствующая вращательному движению жидкости, что в рамках автомодельной постановки задачи может быть интерпретировано как самовращение. Специально поставленный эксперимент подтвердил наличие бифуркации вращения, а критическое число Рейнольдса совпало с предсказанным его значением. При достаточно интенсивных отсосе и вращении пористого диска получены устойчивые многоячеистые решения, отвечающие режиму течения с аномально большой подъемной силой. Построены карты возможных стационарных режимов течения, среди которых выделены устойчивые. Показано, что в пределе исчезающе малой вязкости в случае отсоса реализуется устойчивый режим течения с неклассическими пограничными слоями на твердых границах течения, характеризующимися скачком нормальной компоненты скорости и неограниченными тангенциальными ее компонентами, причем во внутренней области течения возникает особое невязкое . решение с неограниченной скоростью вращения жидкости. Установлено, что в невязком пределе существуют и неособые ограничены® решения, но все они неустойчивы.

Построен вариационный принцип, позволяющий на основе единого подхода получить широкий класс уравнений термогидродинамики

и магнитной гидродинамики.

4. Практическая ценность. ■ Полученное решение систем,! уравнений Навье-Стокса и теплопроводности в виде обобщенного разложения по струйным мультиполям справедливо для достаточно широкого класса граничных условий, что позволяет рассчитывать струйные' течения в конкретных тепломассообменных аппаратах. Предложен инженерный метод (и программа) расчета неавтокодельной закрученной турбулентной струи, основанный на полученном ламинарном решении с использованием гипотезы постоянной турбулентной вязкости. Разработанный мультипольный подход применим к широкому классу стационарных течений, обладающих на бесконечности конической симметрией. Он может найти применение и в других разделах механики сплошной среда.

С помощью полученного асимптотического решения для неавтомодельной задачи обтекания по характеристикам дальнего следа можно определить" не только силу сопротивления и скорость движущегося тела, но и его коэффициент сопротивления, что немаловажно в некоторых практических приложениях. Найденное решение справедливо не только для задачи обтекания, оно может также описывать неавтомодельные затопленные струи, распространяющиеся в однородном штоке аидкости. Полученные опенки для дефектов средней скорости и температуры в турбулентных г идродина миче с ко и тепловом следах могут быть полезны при экспериментальном исследовании этих течений.

Обнаруженные в работе решения уравнений Навье-Стокса с аномально большой подъемной силой для течения между пористым вращающимся диском и плоскостью могут быть использованы при разработке моделей транспортных средств на воздушной подушке.

Предложенный вариационный принцип может быть полезен при построении новых моделей механики сплошной среды и теории турбулентности.

5. Достоверность результатов. Достоверность полученных результатов подтверждается совпадением расчетных параметров решений, полученных аналитическими и численными методами. Работа численных алгоритмов и соответствующих программ проверялась на точных аналитических решениях и использованием различных вычислительных методов. Достоверность научных положений и выводов, полученных в работе, обеспечивается согласием с результатами других авторов в области их пересечения, совпадением с экспери-

ментальными данными и логической непротиворечивостью теоретических построений.

6. Публикации. Результаты по теш диссертации опубликованы в 20 научных работах, среди которых одна монография.

7. Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были доложены на Всесоюзных конференциях и школах по актуальным вопросам теплофизики и физической гидродинамики (Новосибирск 1933г., 1985г., 1986г.). на Всесоюзных школах по нег линейным задачам теории гидродинамической устойчивости (Москва 1366г., 1988г.), на Общих семинарах Института теплофизики

СО АН СССР (1984г., 1986г., 1989г.), на Всесоюзной школе-семинаре "математическое моделирование в науке и технике" (Пермь 1986г.), на Всесоюзной школе-семинаре по гидродинамической устойчивости и турбулентности (Новосибирск 1989г.), на У1 Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент 1986г.), на международной летней школе по моделированию тегшо-массообкенных процессов в химических реакторах (Варна 1989г.), на л!л двухгодичном симпозиуме по современным проблемам и методам в механике жидкости (Варшава 1989г.),. на У1 Национальном конгрессе по теоретической и прикладной механике (Варна 1989г.), на 1У Азиатском конгрессе по механике жидкости (Гонконг 1989г.).,

8. Структура и объем работы. Диссертация состоит из пяти глав, заключения, приложения и списка литературы из 335 наименований. В ней 244 страниц ¡¿ашкнописного текста, 40 рисунков -всего 357 страниц.

(ЙДЙРМАШ РЛШШ.

Глава I. Введение.

В этой главе рассмотрено состояние проблемы, обоснована актуальность работы, сформулирована цель исследования. Приведен обзор теоретических работ по теории затопленных струй и следов. Кратко излагаются результаты автора, включенные.в диссертационную работу. Обосновывается научная новизна и практическая ценность работы. Приводятся сведения об апробации настоящего исследования.

Глава 2. Неавтомодельные затоплегные струи вязкой жидкости.

В первом параграфе этой главы рассмотрены общая тепловая задача для автомодельной струи при наличии обьешого источника тепла, порожденного диссипацией кинетической энергии жидкости.

Рассмотрение этой задачи, помимо ее самостоятельного научного значения, важно в связи с тем, что при ее решении разрабатывается мультипольный подход, используемый для исследования неавтомодельных затопленных струй. Поле скорости в изучаемой тепловой задаче задано в виде точного решения уравнений Навье-Сток-са (Ландау, £944г.), соответствующее струйному течению от точечного источника импульса

где приняты стандартные обозначения, ( & , О ,^ ) - сферические координаты. Рассь«1тривается осесиммзтричнан тепловая задача вне шара, центр которого совпадает с источником струи

Т1мГТ,(9), к» в..

Решение этой задачи по аналогии с решением уравнения Лапласа можно искать в ввде разложения по целым степеням При подстановке этого разложения в (2) получится система линейных однородных уравнений для коэффициентов зависящих от угла , кроме члена со 1/й для которого в силу (I) и (2) получается неоднородное уравнение. Характерной особенностью этого неоднородного уравнения является его неразрешимость в регулярных функциях при некоторых значениях числа Прандтля Рг« Рг^СЯе), зависярсс от числа Рейнольдса Ре. =• {¿Г/тгр )2 , - полный нидуиье струи. При Рг- = Рг^ С £?е) однородное уравнение, соответствующее члену I/ ^ имеет нетривиальное решение, а собственная функция сопряженного уравнения неорто-гонаяьна правой части (2). Отсюда по альтернативе Фредгольма следует неразрешимость неоднородного уравнения. Кривая неразрешимости РЦ^ (.Йе) (рис.1) была рассчитана указанным в работе методом. Это противоречие разрешается введением разложения решения тепловой задачи по дробным степеням и}- сферического

радиуса й

т 7* ^

1 " " Й2 ' (3)

Показатели ¿О,- находятся как собственные значения, а 1Г- С х^ как собственные функции следующих спектральных задач

возникающих при подстановке разложения (3) в уравнение (2). пункция (л (х) _ решение неоднородной задачи,'упоминавшейся вше. Зависимости СО,- (беЗ при Р>- =1/2 представлены на рис.2 для J =1,2,3,4. Показатель степени ¿0^=1 при всех числах и Рг , поскольку этот член соответствует точному интегр лу сохранения - полному потоку тепла (Румер, 1952г.).

Неоднородная задача неразрешима при ( /2e.Pt- ) =2, когда показатели степени решений однородной и неоднородных уравнений сравниваются. Показано, что в этом случае решение должно быть дополнено секулярнш членом со -¿л /3 / {$ , с помощью которого можно удовлетворить условие ортогональности, чем и разрешается возникшее противоречие. Решение (3) позволяет удовлетворить широкому классу регулярных граничных условий на сфере радиуса . Таким образом, получено общее решение внешней задачи конвективной теплопроводности для автомодельной затопленной струи. 1летод построения решения (3) сродни ыульти-польному разложения для уравнения Лапласа, поэтому разложение (3) будем называть мультипольным разложением решения уравнения теплопроводности (2). Показано, что при Р^ > Рг^ ( С02 > 2) реализуется режим преимущественно конвективного переноса тепла, а при Рп < Рг* ( и)2 2) - кондуктивный режим, что связано с характерным видом источника тепла Со \/ О*4.

Во втором параграфе метод мультипольных разложений применяется для нелинсйньос гидродинамических задач, возникающих в те ории ламинарных неавтоыодельных затопленных струй. Показывается, что представление решения в виде ряда по целым обратным

степеням R противоречит закону сохранения массы. Строится более общее разложение, в котором старший член имеет порядок i/Q , что диктуется законом сохранения импульса. Этот член совпадает с решением Ландау (I). Поскольку теория струй, как правило, интересуется асимптотическим представлением решения, то первоначально исследуется линейная задача, получаемая линеаризацией уравнений Навье-Стокса на решении ~0{ . Эта задача подобна рассмотренной в §1 тепловой задаче, в которой решение представляется разложением по нецелым степеням Ï/R . Разыскивая решение в виде

ОО ^ |

приходим к спектральной задаче, определяющей показатели степени

etj ( fie) и соэт-етствувщие собственные функции tyj Cxj} по которым следует вести разложение решения задачи о неавтомодельной затопленной струе

сс'-х2)^]''-^й-Н. ♦

' /уЛ ifcl. i&U.*?- ¿&с*О-О.

Показано, что в пределе Qe —v 0 собственные значения отделяются двукратными и имеют целочисленные значения, а собственные функции Uj образуют набор двух полных систем линейно независшая функций. Это позволяет удовлетворить двум граничным условиям (на и^д > на сфере радиуса R0 - границе исследуемой области течения й. ^ R0 . При увеличении числа Рей-нольдса собственные значения oLj расщепляются на две ветви (рис.3), кроме показателя степени <Ы-г (и , который входит в решение Ландау). Показано, что oç,=2 при всех значениях числа Рейнольдса и является двукратным собственным значением. Это связано с наличием двух точных интегралов уравнений Навье-Стокса, которым должен соответствовать член i/ R - полного потока

II

момента количества движения и потока массы (расходом). Влияние на меридиональное течение может оказать лишь компонента потока момента импульса в трансверсальном к оси струи направлении. В осесимметричном случае эта компонента равна нулю, хотя соответствующий интеграл имеет место. Вырождение можно снять, например, выбрав поверхность интегрирования не в виде сферы, а неосесимкетрично расположенной полусферы с дном. Этот интеграл

>1Х имеет важное значение для построения правильного разложения решения уравнений Навье-Стокса в бесконечно удаленной точке для струйного течения. Поскольку является двукратной точкой спектра, то в соответствии с общей теорией система степенных базисных функций должна быть пополнена присоединенной функцией, пропорциональной в данном случае ¿п в разложении для функции тока ^ . Это позволяет устранить противоречие, возникшее для неавтомодельной струи с ненулевым расходом.

На основе полученного собственного базиса струйных мульти-полей в работе построено решение для полных уравнений Навье-Стокоа. При этом разложение ведется не только по мультиполям, но и по соответствующим им мультипольным последовательностям, порожденным нелинейностью уравнений движения. Показано, что асимптотическое поведение незакрученной струи определяется тремя интегралами движения: импульсом У , расходом 0 и транс-версальной компонентой момента количества движения. Асимптотическое разложение для функции тока имеет вид

сх; 6 + $исх;Л1(£7а0) + • •• ;

гДе .

исх)~ь о-г) > ■ г (х; - Со м а) г, <х) ;

величины Ё> и со определяются заданием расхода и потока момента импульса , - рассчитанная в работе функция, зависящая от числа Йе , 0.0 _ характерный размер источника струи.

При помощи полученного полного решения исследуется обоснованность перехода к приближению пограничного слоя для неавтомодельной затопленной струи. Показывается, что набор собственных гидродинамических культипо'лей уравнений Прандтля не полон. Он является лишь частью множества базисных функций уравнений Навье

Стокса при йг —»■ —=> , так что неавтомодельные погранслойные решения можно использовать лишь в виде первых двух членов, асимптотического разложения. Для-построения корректного дальнейшего разложения следует переходить к полным уравнениям Навье- , Стокса.

В третьем параграфе рассматриваются гидродинамическая и тепловая задачи для осесимметричных закрученных неавтомодельных затопленных струй, распространяющихся как в безграничном, так и в ограниченном пространстве, что приводит к необходимости вести разложение не только по отрицательным, ко и положительным степеням Й . Закрученная неавтоыодзльная струя характеризуется ненулевым' значением продольной компоненты момента количества движения . Получено решение гидродинамической задачи-в виде разложения по полной системе культиполей -осесимметричиой затопленной струн, в которую зкоючены вращательные мультипол:: для аксиальной скорости . Аналогично (б), спектральная задача вознк.:ает при подстановке со Г} (.х)/ в линеаризованные на рзазнии Ландау уравнения Навье-Стокса

„ I {8)

Собственные функции Г} С*) , соответствующие собственным значениям ^ ( 0.<г.) С ^ > 0 при J > 0, ^ < 0 при J ^ 0), образуют две полнш системы функций { Г/ , ^ > а} и (при У 5 регулярного решения нет). Общее решение для осе-симметричной задачи можно записать в виде разложений

(ла-о»; к=' к

с*0

2Тг0 и\*Т к. смА^тр-^'

(9)

р Си. ■-<*>) К

Множества , С^п} упорядочены по признаку

/Ч, , причем

если п< 0 и > °1если функции ,

К , и ' при , при =* £ , явля-

ются решением линейных неоднородных уравнений ( п ^ 2), правке части которых содержат собственные функции задачи (6) и ч8). Аналогичного вида решение можно получить и для тепловой задачи. В этом случае в силу неавтомодельности поля скорости конвективные члены также порождают мультипольные последовательности. 4 При числах Рейнольдса

в некоторой окрестности нуля доказана сходимость обобщенных мультипольньк разложнний (9).' Таким образом, показано, что получено решение уравнений Навье-Стокса, описывающее струйное течение для довольно широкого класса граничных условий, соответствующим ламинарным неавтомодельным затопленным струям.

Б качестве примера неавтомодельного течения в ограниченной области рассмотрена задача о распространении струи во вращающейся трубе. Отмечается, что вращение жидкости в трубе при наличии в ней струи существенно отличается от твердотельного и характеризуется эжекцией циркуляции с поверхности трубы в область струйного течения. С ростом числа Рейнольдса эжекция циркуляции заметно усиливается. Эта особенность рассматриваемого течения кояет быть использована в технологических устройствах для формирования потоков с кумуляцией скорости вращения.

Исследована аналогичная тепловая задача для струи, распространяющейся в неподвижной нагретой трубе. Полученные при помощи мультипольных разложений численныь решения указывают, что при заданном теплоносителе, т.е.. величине числа Прандтля Рг , существует число Рейнольдса, при котором охлаждением наиболее эффективно. Для числа Рг =0.6 это число составляет Р?. ~ Ю.

Следует отметить, что величина существенно зависит от значения числа Рг , т.е. конкретного теплоносителя.

Расчет спектральных значений (i?e) для отрицательных индексов (рис.4) показывает ( otj «£ О при J < 0), что, начиная со значения числа Рейнольдса ©е* »3,5, собственные значения попарно сливаются, образуя комплексно сопряженную пару. Этот факт может быть интерпретирован как возможная потеря устойчивости, поскольку из-за возникающих осцилляции решения при

Q<¿. > Ре..* по сферическому радиусу & при достаточно большой интенсивности соо ветствующкх муяьтиполей будет выполнен критерий (в плоском случае ему соответствует наличие точек перегиба в профиле скорости) невязкой неустойчивости. Следует отметить неплохое соответствие критического числа Рейнольдса с экспериментальными данными Qe^. 3t;cn =3,7 - 4,1

CR^odJs АД., i962).

Завершает этот параграф задача о приосевом обратном токе для неавтомодельной закрученной струи, имеющей длительную историю. Расчет поля скорости, полученный при помощи решения приведен на рис.5 ( Сс.=£6,5г 6=7,32»10~3, С0 « - 38,45,

b¿ =10 - параметр крутки). Отмечается, что при расчете зоны возвратного течения принципиальную роль играет интеграл сохранения LK (значение потока момента импульса опрзделяет параметр крутки hi = f Ситjо íг ü 0 Pe2-) ). При переходе к приближению пограничного слоя величина расхода Q не влияет на решение ( О »0), а интеграл Lк перестает быть законом сохранения, чем и объясняются неудачные попытки получить зону возвратного тока на основе уравнений пограничного слоя. Исследованы условия, при которых возникает конечная приосзвая зона с обратный током. Отмечается экспоненциальный рост продольного размера этой зоны, что может быть интерпретировано в опытах как переход к разомкнутому режиму течения.

Указано :¡a возможность применения асимптотического решения (7) для описания турбулентных затопленных струй, используя гипотезу Буссннеска о постоянной турбулентной вязкости. Это положение обосновывается сравнением полученного решения с результатами многочисленных экспериментов С J., Fiedler К, 1969). Неплохое согласие с опытными данными объясняется тем, что первые члены разложения определяются точными интегралами

сохранения, справедливыми и в турбулентном случае. В Приложении работы приводится программа расчета неавтомодельных турбулентных закрученных струй, основанная на представлении решения в виде (9), используя гипотезу постоянной турбулентной вязкости. Эта программа может быть использована в качестве эффективного инженерного метода расчета турбулентных струйных течений.

В четвертом параграфе исследуются неосесимметричные затопленные струи. При помощи разработанного обобщенного мультиполь-ного подхода находятся собственные решения неосесимметричной гид родинамической задачи о затопленной струе, разыскиваемые в виде V оо V/(0) с"1''/ и строится ее общее решение

в виде разложения по мультипольньм последовательностям. Показывается, что асимптотическое поведение неосесимметричной затолченной струи подобно осесимметричной струе, поскольку первые два члена асимптотического разложения решения для этих струй, определяемые законами сохранения импульса и массы, совпадают. Третий член рапожения определяет трансверсальную к оси струи компоненту полного потока момента количества движения и может вносить несимметрию ;з решение. Таким образом, при достаточном удалении от источника струя становится осесимметричной. Далее обсузздаются вопросы устойчивости ламинарных неосесимметричных струй, полноты полученных решений и сходимости соответствующих мультипольньк разложений. Характерной особенностью неосесимметричных разложений является то, что показатели степени С становятся комплексными, начиная с =0 (рис.б т »=1, j =3, I - 0.с&£ ос , 2 - с*. ). Наличие комплексных показателей позволяет предсказать осциллирующее поведение струи с ростом продольной координаты (например, "поворот" прямоугольной струи вокруг своей оси).

Полученное неавтомодельное решение уравнений Навье-Стокса позволяет описать ламинарные струйные течения весьма широкого класса. В работе отмечается, что в рамках гипотезы постоянной турбулентной вязкости имеет место качественное согласие между асимптотическим решением для неосесимметричных струй и поведением турбулентной прямоугольной струч в эксперименте

Глава 3. Дальний след за телом произвольной формы»

В этой главе мультипольный подход, развитый для решения

уравнений термогидродинамики для неавтомодельных затопленных струй, применяется к классу задач о стационарном обтекании тел произвольной формы и неавтомодельных струй в однородном потоке несжимаемой вязкой теплопроводной жидкости. Б качестве точного решения уравнений Навье-Стокса в окрестности бесконечно удаленной точки принимаются постоянные скорость и давление р0 (тело предполагается покоящимся). Линеаризованные на этом решении, уравнения Навье-Стокса, часто называете уравнениями Озе-ена, имеют фундаментальное решение (Озеен, 1927г.) в виде "тензора скорости" Н (х ) и "вектора давления" ОТ)

'¿.й 4 ™ (£0)

о

При помощи интегральные уравнений, получаемых из уравнений Озеена, используя фундаментальнее решение (10), можно получить мультипольное разложение, подобно тому кате это делается для уравнения Лапласа

и=м

^ п

4

где % - решение уравнения Озеэна, О;, ..., Qj ;

интенсивности соответствующих мультиполей. Развитие этого ~од-хода на решение полных уравнений Навье-Стокса встречает заметные трудности, поэтому р работе мультипольное разложение строится з фурье-пространстве. Вычислению соответствующих фурье-образов и посвящено основное содержание этой главы. В результате в явном виде удается "олучить первые три члена асимптотического разложения для скорости

ЧОГ).о, Еу 0Г)+ - (Ш

+ Ра ^ + 0 .. *• -1*1. «- - *

пде с->

о а о\ ах,-

функции о С^4) , рассчитываются в работе

тензоры к имеют вид (ось х^ направлена вдоль скорос-

ти на бесконечности \/0 )

С(й>

К (51-

г о,аг к 2

, 8 А«* а

[ 2 2

<Р кй1 о

5"а<вг,

<Р

О

о

Величина имеет значение

V Л

р^. » , а постоянные <2/ , , ё, ^

К

выражаются через точные интегралы сохранения и их первые моменты

а* -Л ¿.-<2

т (12)

(я-О

п 2 — г

м - расход, - полный поток импульса от тела. Первый член этого разложения Б ¿^ % в. > получен Р.Финном (1965г.). Полученные в работе дальнейшие члены разложения, выражающиеся через интегралы сохранения и их моменты, позволяют по распределению скорости в дальнем следе определить ряд важных характеристик, относящихся к телу. Например, можно получить, помимо силы сопротивления и скорости с каким движется тело, его коэффициент сопротивления, что немаловажно в некоторых практических приложениях. Полученное решение справедливо не только для задачи обтекания, когда на поверхности тела имеется сток импульса, но и для случая с источником импульса на его поверхности - струя в спутном (или однородном на бесконечности) потоке жидкости, движение тела под действием реактивной тяги и т.п. Следует отметить, что на решение не наложено какое-либо дополнительное условие симметрии, поэтому оно будет справедливо для широкого класса гидродинамических задач.

В работе показывается, что дальнейшие члены разложения представляют собой дробные производные от основных фундаментальных тензоров Е"с\', Ц,- , У^ , при этом порядок производных растет с номером члена. В этом наблюдается некоторое сходство с мультипольным разложением для затопленных струй по дробным степеням сферического радиуса.

Рассмотрена тепловая задача для обтекаемого тела или струи в спутном потоке. Получено решение в виде мультипольного разло-

Кения. Главный член этого разложения, как показывается в диссертации, определяется точным интегралом уравнения конвективной теплопроводности - полным потоком тепла. Асимптотические разложение имеет вид

Тог>-кеа)»9(г),

где (2 (х) - функция Грина уравнения теплопроводности в окрестности бесконечно удаленной точки, (X - температуропроводность.

Кроме рассмотренных ламинарных течений исследуются гидродинамическая к тепловая задачи для турбулентного следа. Исходя из полных уравнений Рейнольдса для средгзй скорости без привлечения каких-либо гипотез -замыкания уравнений турбулентного переноса и дополнительных приближенийполучена асимптотическая оценка для дефекта средней.скорости IV

¿С К"0*", С~сопН> о (14)

Аналогичная оценка имеет место к для дефекта средней температуры

|Т I 4 С Г" (15)

Б ряде экспериментальных работ (Букреес, Васильев, Льякин, 1972г.; Черепанов, Дмитренко, 1983г.) было установлено, что автомодельный турбулентный след обладает памятью фор^гы обтекаемого тела. В связи с этим в работе предпринята попытка проанализировать возможность этой памяти формы, основываясь на полных уравнениях Рейнольдса для средней скорости без каких-либо дополнительных гипотез, используя лишь некоторые весьма общие . интегральные свойства напряжений Рейнольдса, имеющие ясный физический смысл ограниченности мощности внешних сил, обеспечивающей равномерное движение тела с заданной скоростью. Показано, что память формы возможна ягсаь в области промежуточной асямпто-

(13)

-Аз _е_

тики автомодельного Турбулентного следа, поскольку с удалением от тела течение ламиниризируется, а, согласно (II), (12) главный член асимптотического выражения зависит лишь от точных интегралов движения. Для задачи о распространении затопленной струи в спутном потоке на основе анализа экспериментальных данных для степени турбулентности в струе (Абрамович, Крашенинников, Секундов, Смирнова, 1974) и оценок, полученных в работе, можно показать, что памяти формы не должно быть и в области промежуточной асимптотики автомодельного турбулентного течения. Из этих результатов вытекает физическая неэквивалентность источника импульса (струя в спутном потоке) и стока импульса (обтекание тела) в гидромеханике турбулентных течений.

Получены аналогичные результаты и для теплового турбулентного следа.

Глава 4. Закрученные течения. (Взаимодействие струи с преградой на примере течения между вращающимся пористым диском и плоскостью.)

В этой главе рассматривается задача об осесикметричном закрученном течении, моделирующем взаимодействие вращающейся затопленной струи с преградой. В качестве первого приближения можно использовать решение уравнений Навье-Стокса вблизи лобовой точки. В этом случае тангенциальные к преграде скорости будут линейно зависеть от цилиндрического радиуса, отсчитываемого от оси течения. Существует точное решение уравнений Навье-Стокса, отвечающее этому классу течений (Карман, 1921г.). Это автомодельное решение описывает также течение между вращающимися пористыми дисками с заданным на них равномерным вдувом или отсосом (Бэтчелор, 1951г.). В настоящей работе в качестве модели взаимодействия закрученной струи с преградой рассматривается задача о течении между бесконечным вращающимся пористым диском и неподвижной плоскостью. Постановка такой задачи обусловлена также тем, что пористый диск может моделировать тело, подвешенное на воздушной подушке, В §1 приведены некоторые исторические сведения и обзор ва-янейших результатов других авторов.

Во втором параграфе приведена постановка задачи.

Автомодельное решение кармановского класса разыскивается в виде

я^-^иД), ^-гсоСхЛ), ц.—(16)

'гг

^ в - НГ* г. ос-ос«),- ПЛ^г^**

*

Для решения стационарной задачи вводятся новые переменные

^ - Ш , VГ VI (х) , % * ^(Г С*)

(17) ■

которые приводят к уравнениям, не содержащим параметров

У"- V/¥ - г¥Г(16)

Граничные условия имеют вид ( 2 «¡0 - плоскость, - диск)

и2(о> (о)- (К , ^ СО (К <19>

Задача имеет два безразмерных параметра: число Рейнольдса-*=• "\ГК /\> и параметр крутки Ы = Для

уравнений (18) ставится задача Коши при к =0

\V~W4-0, ^'-.<3 (20)

Расчет ведется до X" ^¡-п , такого, что =

Б этой точке определяются числа

хм , Гуп /К, (21)

соответствующие решению определенной краевой задачи. Перебирая все Р к 0, можно получить все решения краевых задач. Этот алгоритм позволяет находить решения, не связанные бифуркационной кривой. С его помощью в §4 построены карты решений для ■ вдува < йе 0) и отсоса ( 0) ркс.7.

Параграф 3 посвящен физическому анализу стационарной задачи. На основе полутемного аналитического' невязкого решения и метода сращивазьоЖ асимптоткчзских раздокзний показано, что

число стационарных решений не может быть более чем счетно, а при наличии вдува оно может быть только конечным. Б случае отсоса через вращающийся пористый диск установлена возможность существования особых решений, характеризующихся а пределе исчезающе малой вязкости разрывом не только касательной, но и нормальной (!) компоненты скорости, а также пограничной скоростью твердотельного вращения внутренних слоев жидкости ( ' Му ~ I/ 'О ,

"\}г I/ "Р , 1)2 ~ I, оС ~ I/). На основе энергетических неравенств показано, что в случае отсоса через покоящийся пористый диск имеет место бифуркация вращательного движения жидкости. Оценено критическое число Рейнольдса , соответ-

ствующее этой бифуркации бе »6,5, значение которого хорошо согласуется с рассчитанным в §4 (бифуркационная кривая 2 на рис.7). Это явление в рамках автомодельной постановки может быть интерпретировано как спонтанная потеря симметрии и самопроизвольное возникновение вращения.

В §4 приведены результаты многочисленных расчетов, необходимых для построения системной картины множества стационарных решений. Построены карты режимов течения. Анализируется множественность стационарных решений, имеющих многоячеистую структуру. Показано, что дополнительные решения возникают парами, но не ответвляются от других решений. Обнаружена сложная зависимость подъемной силы, действукщей на пористый диск, от величинь! скоростей отсоса (вдува) и вращения. Найдено, что при отсосе (!) и определенном вращении возникают режимы течения с аномально большой подъемной силой (решения типа С на рис.7, на котором представлены области множественности решения: область X - одно решение, Ш - три, У - пять решений и т. ;.).

Параграф 5 посвящен исследованию устойчивости полученных стационарных решений, которая устанавливалась решением нестационарной задачи, сформированной в §2. Результат представлен на рис.7, где в рамках изображены характерные профили скорости ( и^.--___ , -------■ - ). Сплошные рамки означа-

ют устойчивость, штриховые - неустойчивость соответствующего решения. Следует отметить, что устойчивыми оказались и режим со спонтанным возникновением вращения, и режим с аномально большой подъемной силой (решение С4 ). Последний может найти применение при конструировании аппаратов на Еоздушной подушке для бездорожного транспорта. Расчеты при больших числах

бе показыва-

ют, что упомянутое выше особое решение со скачком нормальной скорости также оказывается устойчивым (стационарный профиль скорости, полученный эволюцией при Р<2 =100, К =2 приведен на рис.8). В невязкоы пределе существуют и неособке ограниченные решения, но все они неустойчивы.

В §б приводится обсуждение полученных результатов и возможная их интерпретация. Здесь же излагаются результаты специально поставленного опыта (проведенного автором) по изучению бифуркации вращения. Эксперимент подтвердил теоретические выводы и дал хорошее согласие величины критического числа Рейнольдса с расчетным. Проведенный качественный анализ неавтомодельной задачи показал, что источником вращательного движения жидкости б автомодельной задаче следует считать бесконечно удаленную точку.

В заключение указывается на возможность применения некоторых полученных результатов для описания режимов течения с,развитой турбулентностью, где можно использовать гипотезу постоянной турбулентной вязкости.

Глава 5. Вариационный принцип для вязкой теплопроводной жидкости с релаксацией.

Результаты, полученные в предыдущей главе выходят за рамки собственно струйного течения жидкости в классическом его понимании, хотя и имеют с ним непосредственную генетическую связь. Однако, выявление новых свойств решений полных уравнений Навье-Стокса, являясь одной из целей настоящей работы, имеет самостоятельное научное значение, независимое от конкретного объекта исследования.Одним из наиболее общих свойств решений каких-либо уравнений является возможность получить эквивалентную этим уравнениям вариационную формулировку, т.е. вариационный принцип, кз которого эти уравнения следуют. Решения будут экстремалям« соответствующего функционала. Известно (Бердичевский, 1983г.), что не существует голономного вариационного принципа, из которого следуют уравнения Навье-Стокса. Поэтому, предлагаемый вариаци-' оннкй принцип для вязкой теплопроводной жидкости формулируется в восьмимерном пространстве времени с последующей проекцией полученных уравнений на физическое пространство. Существенно также наличие временного релаксационного члена в уравнениях. Нали-■таче такиу *и"г:юв может быть обосновано методами кинетической теории газов, к жидкостей (Рудяк, 1987г.'!.

сти.

В §1 приведен вариационный принцип для несжимаемой жидко-

Пусть V* ~ЬУ объем и граница течения жидкости. Область определения полевых величин, определяющих движение жидкости задается в виде (V* (УхД-£) , где Д{= рассматриваемый, может быть бесконечный, промежуток времени. Кинематическая вязкость ¡> и время релаксации ТГ _ постоянны

Функционал для уравнений движения представляется в виде

(23)

3 -Ш^Щ^)'. ¿<*%)\

где р - плотность, - вязко-релаксационная фаза, -

заданное поле внешних объемных сил.

Уравнения для экстремалей имеют вид

- О

О

= 0,

»0

(24)

(25)

где явный вид (5- , С^ можно получить, рассмотрев вариацию

5 «2 после интегрирования по частям и приравнивания интеграла по гиперповерхности нулю, Тл { ^ - внешние нормали к соответствующим границам. Наложив в (24); (25) связи

получим уравнения Навье-Сгокса с релаксацией и уравнения непаз-рквности

Т)12 ^ Р т>хг ^ЧхП-гх/^.) (2б)

Краевые условия (25) преобразуются к виду

Рч _ п *Г _ _ _

т

(27)

« О

i-too.iT>

Легко видеть, чго если на границе течения задан вектор скорости ( Ь и *0) и условие непроницаемости границы Си-К^О), либо <5=0, то (27) выполняется. Этот случай соответствует типичной постановке граничных условий в гидродинамике. Если

Ь и и Ь Р произвольны на границе, то приходим к граничным условиям на свободной поверхности Ц» «0, «0.

Формулируется аналогичный вариационный принцип для уравнения конвективной теплопроводности с релаксацией.

Подобны}.; путем в §2 устанавливается вариационный принцип для уравнений движения сжимаемой теплопроводной жидкости, а в §3 - для уравнений магнитной гидродинамики.

Характерной особенностью найденных вариационных принципов является то, что из них кроме уравнений движения получаются и физически обрснованныо краевые условия.

Заключение

Основные результаты, полученные в работе, состоят в следующем:

1. Получено общее решение уравнения конвективной теплопро-

водности, при условии, что поле скорости есть точное решение уравнений Навье-Сгокса, отвечающее затопленной струе, в воде мультипольного разложения по дробным степеням обратного сферического радиуса. Показатели степени являются собственными значениями сформулированной в работе несамосопряженной спектральной задачи. Рассчитаны зависимости этих показателей степени от чисел Рейнольдса и Прандтля.

2. Рассмотрены задачи конвективной теплопроводности с объемным тепловьщелением за счет вязкой диссипации кинетической энергии жидкости. Решена возникающая в этих задачах проблема неразрешимости неоднородного уравнения теплопроводности введением логарифмического по радиусу сокулярного члена.

3. Разработан метод обобщенных мультипольных разложений для решения нелинейных гидродинамических задач о распространении неавтомодельных затопленных струй. Показано, что разложение решения по целым степеням сферического радиуса противоречит закону сохранения массы. Построено корректное обобщенное мульти-польное разложение решения по обратным степеням сферического радиуса. Рассчитаны показатели степени этого разложения, зависящие от числа Рейнольдса и являющиеся собственными значениями соответствующих спектральных задач. Показано, что асимптотическое поведение неавтомодельной затопленной струи описывается четырьмя точными интегралами сохранения уравнений Навье-Стокса: штоками импульса, массы и двумя компонентами потока момента количества движения.

4. Исследован вопрос о применимости теории пограничного слоя для неавто!,¡одельных затопленных струй. Показано, чю приближение пограничного слоя верно дает лишь два первых члена в асимптотическом разложении.

5. Получено общее решение системы уравнений Навье-Стокса и конвективной теплопроводности для струйного течения в ограниченной области. Рассмотрены примеры применения этого решения, в которых выявлены характерные особенности, рассматриваемых течений, связанные с эжекционной способностью струи. Отмечена связь между возникновением при Йа^ =3.5 комплекснозначных показателей степени и потерей устойчивости ламинарной струи.

6. Доказана сходимость обобщенного мультипольного разложения решений уравнений Навье-Стокса, ¿письшающее струйное движение жидкости.

7. На основе полученного решения рассчитана неавтомодэль-ная закрученная струя и исследованы условия, при которых возникает конечная приосевая зона с обратным током.

8. Цутем сопоставления результатов расчета с экспериментальными данными показано, что неавтомодельное ламинарное решение с использованием гипотезы постоянной турбулентной вязкости может удовлетворительно описывать турбулентные затопленные струи, что позволяет рекомендовать разработанный подход в качестве инженерного метода расчета турбулентных струйных течений.

9. Построено обобщенное мультипольное разложение решения, уравнений Навье-Стокса, описывающее неосесимметричные неавтомодельные затопленные струи. Показано, что асимптотическое поведени неосесимметричных струй определяется теми же четырьмя интегралами движения, что и осесимметричные струи. Получено, что при удалении от источника неосесимметричные струи приобретают осевую симметрию. Найденное решение описывает для прямоугольной струи периодический, сглаживающийся с удалением от источника поворот струи, что неплохо согласуется с экспериментальными данными.. Отмечен более низкий, по сравнению с осесимметричнкми струями, порог устойчивости ламинарных неавтодадельных неосесимметричных струй.

10. Получено асимптотическое разложение поля скорости в бесконечно удаленной точке для класса задач о ламинарном следе за телом и затопленной струе, распространяющейся в однородном потоке жидкости. Б явном виде указаны первые три члена этого разложения, выражающиеся через точные интегралы сохранения: полные потоки импульса, массы и момента количества движения. Показано, что асимптотическое разложение решения задачи обтекания представимо в виде ряда по дробным производным от некоторых фундаментальных тензоров.

11. Исходя из полных уравнений Рейкольдса средней скорости, без привлечения гипотез замыкания уравнений турбулентного переноса получена асимптотическая оценка для дефекта средней скорости в турбулентном следе. Показано, что память формы обтекаемого тела у турбулентного следа возможна лишь в промежуточной автомодельной асимптотике, причем турбулентная струя в спутном потоке памятью формы своего источника не обладает.

12. Получено решение тепловой задачи для ламинарного обтекания тела а. струи в однородном потоке жидкости в виде мульти-

польного разложения. Показано, что главный член разложения определяется точным интегралом сохранения - полным штоком тепла. Рассмотрена задача о турбулентном тепловом следе и приведена асимптотическая оценка для дефекта средней температуры.

13. В качестве модели взаимодействия закрученной струи с преградой рассмотрена задача о течении между вращающимся пористым диском и плоскостью. Показано, что задача имеет счетное число изолированных пар автомодельных решений, не связанных бифуркационной кривой. Предложен алгоритм, позволяющий обнаружить все стационарные решения. В случае отсоса через покоящийся пористый диск с ростом скорости отсоса имеет место бифуркация вращательного движения жидкости. Специально поставленный опыт подтвердил наличие бифуркации вращения, причем полученное значение критического числа Рейнольдса хорошо согласуется с теоретически предсказанным его значением.

14. При достаточно интенсивных отсосе и вращении пористого диска найдены метастабильные многоячеистые решения уравнений Навье-Стокса, отвечающие режиму течения с аномально большой подъемной силой. Построены карты возможных стационарных режимов и выделены среди них устойчивые.

15. Показано, что в пределе исчезающе малой вязкости в случае отсоса через пористый диск реализуется устойчивый режим течения с неклассическиыи пограничными слоями на твердых границах течения^ характерихующимися скачком нормальной компоненты скорости и неограниченными тангенциальными ее компонентами. Во внутренней области возникает особое невяэкое решение с неограниченной скоростью вращения жидкости. Установлено, что неособые ограниченные невязкие решения неустойчивы.

16. Построен вариационный принцип, позволяющий на основе единого подхода получить широкий класс уравнений термогидродинамики и магнитной гидродинамики вместе с краевыми условиями.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ:

1. Яворский Н.И. Нестационарная тепловая задача для плоского гидродинамического источника с вязким нагревом // Тепломассообмен в одно- и двухфазных системах. Новосибирск: ИТ СО АН СССР, 1983. С.5-10.

2. Гольдатик М.А., Яворский Н.И. Тепловая задача для затопленной струи // ШЫ. 1984. Т.48, вып.6. С. 950-956.

3. Яворский Н.И. Неавтомодельная струя, распространяющаяся в ограниченном пространстве // Материалы Всесоюзной конференции "Актуальные проблемы теплофизики и физической гидрогазодинамики" . Новосибирск: ИГ СО АН СССР, 1985. С.145-152.

4. Яворский Н.И. Вариационный принцип для уравнений Навье-Сток-са с релаксацией // Там же. C.I87-I92.

5. Яворский Н.И. 1«1ножественность решений для течения между бесконечным вращающимся пористым диском и плоскостью // Тез. докл. 1У Всесоюзной школы "Современные проблемы теплофизики". Новосибирск: ИГ СО АН СССР. 1986. С.175-176.

6. Яворский Н.И. Вариационный принцип для вязкой теплопроводной жидкости с релаксацией // Известия АН СССР. ШТ. 1986. 1рЗ. "C.3-I0.

7. Гольдатик U.A., Яворский Н.И. О затопленных струях //, ШМ. 1986. Т.50, вып.4. С.573-583.

8. Гольдатик М.А., Яворский Н.И. Парадоксальные свойства некоторых автомодельных решений уравнений Навье-Стокса // Тез. докл. Всесоюзной школы-семинара '"математическое моделирование в науке и технике". Пермь, 1986. С.103-104,

9. Яворский Н.И. Неединственность и смена режимов течения между бесконечным вращающимся пористым диском и плоскостью // У1 Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Тез. докл. Ташкент, 1986. С.662-663.

10. Гольдатик U.A., Яворский Н.И. Течение между пористы« вращающимся диском и плоскостью. / Препринт. Новосибирск: ИГ СО АН СССР, 1987. №152-87. 42 с.

XI. Яворский Н.И. Неосесимметричные затопленные струи // ПЖ. 1988. Т.52, №5. С.760-772.

12. Гольдатик М.А,, Штерн В.Н., Яворский Н.И. Вязкие течения с парадоксальными свойствами. Новосибирск: Наука, 1989. 336 с.

13. Гольдатик M.А., Яворский H.И. Вращающийся диск на воздушной подушке // Докл. АН СССР. 1989. Т.308.М. С.816-821.

14. Гольдатик U.A., Яворский Н.И. Течение между пористым вращающимся диском и плоскостью // Известия АН СССР. МЖГ. 1989. !-6.

15. Goldshtik M.A., Javorsky N.I, Ort the Flow Between a Porous Rotating Disk and. a Plane // J. Fluid Mechanics. 1989. Y.207. P. 1-28.

16.- Яворский Н.И. След за телом произвольной формы / Препринт. Новосибирск: ИГ СО АН СССР, 1989. №201-89.

17. Яворский Н.И. 0 дальнем следе за равномерно движущимся телом // Тез. докл. Всесоюзной школы-семинара по гидродинамической устойчивости, и турбулентности. Новосибирск: ИГ

СО АН СССР, 1989. С. II3-II4.

Goldshtik М.А., Javprsky H.I. Theory of Non-selfsimilar Jets / The Fourth Asian Congress of Fluid Mechanics.

Hong Kong, 1989. 19. Яворский Н.И. 0 возможности влияния формы тела на автомодельный турбулентный след // У1 Национальный конгресс по теоретической и прикладной механике. Варна, I989r.J,r» Щ-П9.

0,6 Я"**

0,66~

0,5

О

50 75 fk

25

Рмс. 1

ft.c.2

Рис.5

Рис.4

Рис.5

Im

Рис. б

io го зо 40 & so

к

¿5

10

S

О S 10 15 ffe

Рис. 7

Рис. S