Затопленные струйные МГД течения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

005015721

Мулляджанов Рустам Илхамович

ЗАТОПЛЕННЫЕ СТРУЙНЫЕ МГД ТЕЧЕНИЯ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 МАР 2012

Новосибирск - 2012

005015721

Работа выполнена в ФГБУН Институте теплофизики им. С.С. Кутателадзе СО РАН

Научный руководитель: Яворский Николай Иванович -

доктор физико-математических наук, профессор, ИТ СО РАН

Официальные оппоненты: Аристов Сергей Николаевич -

доктор физико-математических наук, профессор, ИМСС УрО РАН

Никулин Виктор Васильевич -доктор физико-математических наук, профессор, ИГиЛ СО РАН

Ведущая организация: ФГБУН Институт проблем механики

им. А.Ю. Ишлинского РАН

Защита состоится 14 марта 2012 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 003.053.01 при Институте теплофизики СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, просп. Академика Лаврентьева, 1, конф.-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теплофизики СО РАН.

Автореферат разослан « /3 » февраля 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Кузнецов Владимир Васильевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Магнитная гидродинамика (МГД) изучает движение электропроводящей среды при наличии магнитного поля. Существенная особенность такого движения состоит в том, что возникающие в жидкости электрические токи меняют внешнее поле, а взаимодействие индуцированного тока и магнитного поля оказывает механическое воздействие на поток, изменяя его состояние. Действительно, если в движущейся среде имеются электрические заряды, то они испытывают действие сил Лоренца. Если эти заряды обладают свободой перемещения, т.е. среда электропроводящая, то в ней возникают индуцированные электрические токи, которые взаимодействуют с обусловившим их магнитным полем двояким образом. Первый вид взаимодействия выражается в появлении действующих на среду пондеромо-торных сил, второй проявляется в возмущении самого исходного магнитного ноля. Совокупность этих эффектов составляет предмет изучения магнитной гидродинамики.

Для применимости магнитной гидродинамики необходимо, чтобы для рассматриваемого движения характерные расстояния и промежутки времени были велики по сравнению, соответственно, с длиной пробега и временем пробега носителей тока (электронов, ионов). В область применения магнитной гидродинамики входят очень разнообразные физические объекты - от жидких металлов до космической плазмы. Струи проводящей жидкости часто встречаются в промышленности и в природных явлениях, например, электрический разряд молнии (модель проводящей жидкости), торнадо, астрофизические струи. Струйные течения проводящей жидкости являются объектом активных фундаментальных исследований и часто встречаются в приложениях. В промышленности МГД струи возникают при воздействии магнитного поля на проводящую среду. В ряде практических приложений электрический ток протекает через жидкий металл, как при электродуговой сварке и в дуговой электропечи или в ртутном дуговом выпрямителе. Случай, когда электрический ток распространяется от анода малого размера к катоду большого, является типичной ситуацией для вышеперечисленных практических приложений. Тогда, можно полагать, что анод представляете собой точечный электрод, из которого растекается радиальный ток по среде. Решения такого тина принадлежат классу конических течений, когда и скорость, и магнитное поле обратно пропорциональны расстоянию от начала координат (от электрода). Если же источника тока в пространстве нет (астрофизические струи), то можно сформулировать асимптотическую задачу струйного движения в нри-сутсвии магнитного поля, когда скорость принадлежит коническому классу,

а магнитное поле затухает быстрее, чем обратное расстояние от источника движения.

Целью работы был поиск новых точных решений уравнений магнитной гидродинамики; распространение асимптотического метода на течения проводящей жидкости; изучение законов сохранения струйного МГД течения; построение общего решения течения неавтомодельной струи, определяемое интегралами сохранения; сравнение экспериментальных результатов измерений затопленной струи с теоретическим расчетом, используя асимптотический подход; изучение вопроса устойчивости затопленной струи к бесконечно малым возмущениям.

Для достижения этих целей решены следующие задачи:

1. Получена система уравнений магнитной гидродинамики для конического класса и для неавтомодельной задачи.

2. Создан регулярный алгоритм расчета дифференциальных уравнений типа Лежандра, используя асимптотические разложения в окрестности особых точек.

3. Построено общее решение неавтомодельной задачи, опираясь на законы сохранения, вытекающие из уравнений движения магнитной гидродинамики.

4. Изучена система уравнений для бесконечно малых возмущений, линеаризованная на решении Слезкина-Ландау-Сквайра.

В работе получены новые научные результаты:

1. Получено точное решение уравнений магнитной гидродинамики для класса конических течений. В задаче струйное движение задастся точечным источником механического импульса и источником тока, расположенными на конце полубесконечного изолированного проводника. Обнаружен эффект запирания плотности электрического тока в точке пространства от величины тока в проводнике. В задаче решение существует не при всех параметрах течения; построена область существования решения. Найдена бифуркация, при которой от решения для незакрученной струи ответвляются два решения для закрученной струи.

2. Построено общее решение неавтомодельной МГД задачи о струйном течении. Выписаны основные интегралы движения: закон сохранения импульса, массы, момента импульса, магнитного потока, магнитного заряда. Найдено общее решение в виде ряда по степеням обратного сферического радиуса, причем первые члены этого разложения определяются вышеперечисленными точными интегралами сохранения. Выявлено наличие дополнительных законов сохранения в задаче, однако, сами инварианты не найдены.

3. Получены результаты, свидетельствующие об устойчивости струи Слезкина-Лапдау-Сквайра к бесконечно малым возмущениям определенного класса. Если полагать, что возмущения приносит источник импульса, создающий струйное течение, тогда самые сильные возмущения также должны принадлежать коническому классу. На основе анализа размерности выписан вид ноля скорости; найдено аналитическое решение для состояния покоя. Показано, что на больших временах амплитуда возмущений затухает не как эксноненциальныая зависимость, а как степенная зависимость от времени.

Практическая ценность:

Полученные результаты могут быть использованы для объяснения ряда явлений, наблюдаемых при исследовании МГД струй. Разработанный асимптотический подход для затопленных струй проводящей жидкости в магнитном иоле может быть использован при проектировании реальных установок. Полученные данные представляют теоретическую основу для практической реализации струйных течений.

Достоверность полученных результатов обоснована тем, что при расчете линейных и нелинейных уравнений тина Лежандра, использовались широко известные численные методы, верифицированные для задач такого типа, а также проводилось тестирование на аналитических решениях. Проведено сравнение теоретических и экспериментальных данных других исследователей, которое указывает на правильность использованных подходов.

Положения, выносимые на защиту:

1. Найдено новое семейство точных решений уравнений магнитной гидродинамики для конического класса.

2. Разработан асимптотический подход, который представляет собой обобщенное мультипольное разложение, для описания нсавтомодсльных МГД струй.

3. Исследован вопрос устойчивости затопленной струи Слезкина-Ландау-Сквайра. Показано, что для бесконечно малых возмущений определенного класса она является устойчивой.

4. Найдено представление ноля скорости, соответсвующсс компонентам вектора момента количества движения, перпендикулярным импульсу, порождающим затопленную струю. Эти компоненты соответсвуют описанию неосесимметричной струи.

Личный вклад соискателя. Результаты, представленные в диссертации, получены лично автором, либо при его непосредственном участии. Автор диссертации участвовал в постановке задач, решаемых в диссертационной работе. Им разработаны компьютерные программы для численного расчета дифференциальных уравнений. Интерпретация полученных резуль-

татов проведена автором совместно с научным руководителем. Кроме того, автор занимался подготовкой публикаций.

Апробация результатов исследования. Результаты диссертации представлялись на научных конференциях: 8-ой Международной конференции PAMIR по фундаментальной и прикладной МГД (Борго, Франция, 2011); X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011); 4-ой Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения» (Бийск, 2011); Всероссийской конференции научной молодежи ЭРЭЛ-2011 (Якутск, 2011); 8-ой конференции EUROMECH по механике жидкости (Бад Райхенхаль, Германия, 2010); XI Всероссийской школе-конференции молодых учёных «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики» (Новосибирск, 2010); Всероссийской молодежной конференции «Устойчивость и турбулентность течений гомогенных и гетерогенных жидкостей» (Новосибирск, 2010); XLVI и XLVIII Международной научной студенческой конференции (Новосибирск, 2008 и 2010).

Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано 9 работ, в том числе в 3 статьях в научных журналах и трудах конференций, две из них -в российских журналах из списка ВАК, а также в 6 тезисах докладов на конференциях различного уровня.

Структура и объем работы. Диссертация включает в себя введение, 5 глав и заключение, изложена на 108 страницах машинописного текста, содержит 44 рисунка, список литературы состоит из 86 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности темы исследования, сформулированы цели и задачи работы. Обозначена научная новизна, изложены основные положения, выносимые на защиту, кратко изложено содержание диссертации. Представлена степень апробации и количество публикаций.

В первой главе представлены уравнения магнитной гидродинамики, взятые из литературы. Описана система уравнений Максвелла, из которой получаются уравнения МГД, при выполнении условий применимости. Выписан пондеромоторный член в уравнении Навье-Стокса.

Во второй главе рассмотрена стационарная задача о полубссконеч-ном проводнике с током в пространстве, затопленном проводящей несжимаемой жидкостью. Движение жидкости обусловлено током в проводнике и точечным источником импульса, расположенным на его конце. Получено новое семейство точных решений уравнений магнитной гидродинамики, когда

G

Рис. 1: Течение вызвано точечным источником импульса Pz и током /, который вытекает из электрода в начале координат; используется сферическая система координат (г,в,ф), начало координат расположено на конце проводника.

скорость и магнитное поле обратно пропорциональны расстоянию от начала координат.

В разделе 2.1 приводится подробный обзор литературы, касающийся точных решений уравнений Навье-Стокса и уравнений магнитной гидродинамики. Обсуждаются проблемы в промышленности, породившие подобные постановки задач. Описываются основные известные решения для конического класса течений.

В разделе 2.2 рассматривается постановка задачи (рис. 1). Осесиммет-ричное течение вязкой несжимаемой проводящей жидкости в неограниченном пространстве вызвано точечным источником импульса, расположенным на конце нолубесконечного изолированного проводника с заданным электрическим током. Ток вытекает из электрода, который расположен также на конце проводника, и растекается радиально. Далее выписаны уравнения движения и уравнения на магнитное поле. Решение ищется в автомодельном виде, которое соответсвует классу конических течений. Скорость жидкости и магнитное поле убывают от начала координат как обратное расстояние (решение Слезкина-Ландау-Сквайра для уравнений Навье-Стокса). Это позволяет прийти к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая описывает задачу. Уравнения имеют особенности - при старшей производной есть множитель (1 — х2), где х = cos в, таким образом х = ±1 - особые точки.

(а) (б)

Рис. 2: График функции тока. Незакрученная струя. Яе = 10, = 1. (а) 7 = 0, (б) 7 = 15.68.

В разделе 2.2 исследуется поведение функций задачи в окрестности особых точек. Показано, что в окрестности точки х = 1 функции являются аналитическими, в то время, как в окрестности точки х = — 1 функции задачи имеют логарифмическую особенность по переменной х. Найдены асимптотические разложения функций задачи в окрестности точек х = ±1.

В разделе 2.3 рассмотрен случай незакрученной струи, когда азимутальная скорость, а вместе с ней и полоидальное магнитное поле равны нулю. В этом случае система уравнений упрощается. Описан метод численного расчета этих уравнений, который заключается в том, что численное интегрирование начинается из окрестностей обеих особых точек, используя асимптотические разложения. Далее, в некоторой точке интервала (-1,1) функции и их производные обоих решений должны совпадать. Из этих условий, согласно порядку дифференциальных уравнений, определяются все коэффициенты асимптотических разложений.

На рис. 2 представлены линии тока течения при различных параметрах. Параметр Де характеризует скорость на оси х = 1, 3 является безразмерным током в проводнике, число Вэтчелора или магнитное число Прандтля ЕИ является отношением кинематической вязкости среды к магнитной вязкости. Из рис. 2 следует, что при увеличении 7 от нуля около проводника появляется область возвратного течения жидкости. Это связано с тем, что в окрестности проводника магнитное давление имеет большое значение. Для того, чтобы его скомпенсировать, гидродинамическое давление имеет большое отрицательное значение, поэтому жидкость устремляется в область пониженного давления.

-10

-5

10

5-

10

15

В1 = 0.001—

т = 0.002

В! — 0

20

Яе

Рис. 3: Область существования решения в плоскости (Де, .7), когда = 0; 0.001; 0.002;

Чтобы объяснить появление возвратного течения рассматривается баланс сил в задаче. Выписаны выражения для силы давления, силы Лоренца и вязкой силы в окрестности проводника. В главном порядке сила инерции направлена от проводника и к началу координат, однако, с ростом 3 в окрестности проводника появляется и растет область, в которой сила инерции направлена к проводнику и от начала координат.

Возвратное течение приводит к интересному физическому явлению. При увеличении 3 от нуля до определенного значения плотность тока в любой точке пространства растет. Далее, увеличивая 3, плотность тока уменьшается асимптотически до нуля в правом полупространстве. При больших значениях 3 ток, вытекая из электрода в начале координат, течет обратно вдоль проводника в узком конусе.

Известно, что в классе конических течений имеет место потеря существования решения при определенных параметрах течения. Так и в рассматриваемой задаче, у решения появляется особенность в точке х = — 1 (на проводнике) сильнее, чем логарифмическая, описанная асимптотическим разложением. Построена область существования решения в плоскости (Де, 3) для различных ВЬ (рис. 3). При увеличении ВЬ от нуля область существования растет. Показано, что решение существует всегда, если В1 > 1. Найден аналитический вид этого решения при 3 оо. Также найден аналитический вид решения при 3 —> оо, если В1 < 1, которое содержит особенности в области течения, что согласуется с вышеизложенным фактом потери существования решения при конечных значениях параметров течения.

0.005.

Рис. 4: График бифуркационной поверхности в пространстве параметров (Яе, ВЬ).

Известно, что в течениях, которые имеют сходящийся характер, может иметь место потеря симметрии, т.е. меридиональное течение при определенных параметрах течения теряет устойчивость, и происходит стационарная бифуркация в режим с вращением вокруг оси симметрии. Этот факт имеет экспериментальное подтверждение. В данной работе были найдены условия, при которых происходит бифуркация полоидального магнитного поля, которое влечет появление вращения жидкости. В пространстве параметров (йе, Впостроена поверхность, ниже которой имеется только одно решение для незакрученной струи, а выше существует одно решение для неза-крученной струи и два решения для закрученной струи, причем решения с закруткой в обе стороны равноправны (рис. 4).

В третьей главе описывается асимптотический подход к анализу неавтомодельной струи проводящей жидкости. В основе этого метода лежат точные законы сохранения струйного течения и спектральная задача определенного типа, которая будет подробно описана ниже.

В разделе 3.1 строится общее решение задачи о струйном течении проводящей жидкости, полагая, что главный член ноля скорости пропорционален г-1 (обратному сферическому радиусу) и совпадает с решением Слезкина-Ландау-Сквайра (которое соответсвует закону сохранения импульса). Далее проводится асимптотический анализ дальнего поля, т.е. при г —> оо. Уравнения магнитной гидродинамики линеаризуются по решению Слезкина-Ландау-Сквайра. Добавка к нолю скорости и магнитное поле представляются в виде зависимости от радиуса где а - спектральный параметр, который является функцией Яе и Ж Получены обыкновенные диф-

10

фсрснциальпыс уравнения на угловые функции. Ищутся аналитические ограниченные решения этих уравнений. Из этих условий можно определить значение а(Яе,В(). Утверждается, что если а имеет целое значение при всех Яе и В1, то это соответствует определенному инварианту в задаче, т.е. некоторому закону сохранения. Найден дискретный спектр а для всех угловых функций. Показано, что полоидальная и азимутальная скорость имеют слагаемые пропорциональные г~2, что соответствует закону сохранения массы и осевой компоненты момента импульса, кроме того значение а = 2 для поло-идальной скорости является кратным и имеет кратность два. Показано, что полоидальное магнитное ноле имеет слагаемые пропорциональные г-2, что соответсвует закону сохранения магнитного заряда, и г~л, смысл которого еще не установлен. Азимутальное магнитное ноле имеет постоянные значение а только при определенных значениях ВЬ: при ВЬ = 1 существует слагаемое с г-2, что соответствует симметрии уравнения Навье-Стокса на завихренность и уравнения индукции на магнитное ноле, а при ВЬ = 1/2 имеется слагаемое с г-3, смысл которого также пока неясен.

В разделе 3.2 проводится сравнение экспериментальных данных по турбулентным затопленным струям и описанного асимптотического подхода (для непроводящих жидкостей) с использованием гипотезы о постоянстве турбулентой вязкости V = щ. Поскольку значение а = 2 для полоидальной скорости является кратным, то общее решение, помимо слагаемого пропорционального г-2, должно включать в себя слагаемое г~~21пг. Это означает неаналитичность поля скорости затопленной струи на бесконечности. Однако, именно этот подход позволяет учесть ненулевой расход струи. Для сравнения берутся три первых слагаемых поля скорости и определяются параметры этих решений из законов сохранения импульса и массы. Кроме того, один параметр в решении для слагаемого пропорционального г-2 определяется с помощью экспериментального профиля скорости. На рис. 5 показано убывание скорости на оси симметрии в зависимости от расстояния от источника. Сравнение с экспериментом дает хороший результат.

Кроме сравнения скорости на оси, приводится также и распределение скорости в сечении, перпендикулярном оси симметрии. Из этого сравнения видно, что описанное асимптотическое решение хорошо работает даже для турбулентных струй при помощи гипотезы о постоянстве турбулентной вязкости. Область, в которой совпадение является хорошим, составляет конус с углом раствора примерно двадцать градусов (рис. 6).

Также выиасано общее решение задачи о неавтомоделышй струе в виде бесконечного ряда. Каждое решение линеаризованной задачи но решению Слезкина-Ландау-Сквайра приводит к появлению бесконечной носледо-

Рис. 5: Зависимость осевой скорости струи от продольной координаты г. и.а - скорость жидкости в подводящей трубке, Уц^о - скорость па оси струи, г0 - радиус подводящей трубки. Пунктирной линией обозначено решение Слезкина-Ландау-Сквайра. Сплошной линией показано решение с учетом двух неавтомодельных членов. Сплошными точками и полыми кружками нанесены экспериментальные данные разных авторов. Соответствие проводилось с данными, отмеченными сплошными точками, которые считаются правильными. Квадратами нанесены результаты численного расчета турбулентной круглой струи, взятые также из литературы.

V* 1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0 -

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 z - Zo

Рис. 6: Профили продольной скорости неавтомодельной струи в различных сечениях от переменной R/(z — г0), где R = г sin в - цилиндрический радиус, z - продольная координата, z0 = 8го - координата мнимого источника, согласно данным из литературы, -скорость на оси симметрии. Сплошной линией показано неавтомодельное решение из данной работы. Сплошными точками нанесены экспериментальные данные (те же, что и на рис. 5), причем эти значения являются усредненным профилем по нескольким сечениям. Полыми кружками нанесены результаты экспериментов других авторов, которые также приведены на рис. 5.

(а) (б)

Рис. 7: График линий тока. ВЬ — 1. Пункирной линией показаны линии тока, соответсвую-щие гидродинамическому решению без закрутки в отсутсвии магнитного поля. Сплошной линией показано решение (а) с радиальным магнитным полем, (б) с азимутальным магнитным полем.

вательности слагаемых, в силу конвективных слагаемых, с помощью которых неавтомодельные члены взаимодействуют между собой. Данное решение называется обощенным мультипольным разложением.

Далее, с помощью учета следующего неавтомодельно слагаемого, рассматривается влияние вращения жидкости вокруг оси симметрии и наложение магнитного поля на меридиональное течение. Показано, что наложение магнитного поля (и полоидального, и азимутального) приводит к подавлению движения струи (рис. 7). Этот факт согласуется с другими теоретическими и экспериментальными работами. В то же время вращение жидкости приводит к интенсивному подсосу ее к оси симметрии.

В четвертой главе рассматривается постановка задачи, в которой струйное течение задается двумя векторами в начале координат: вектором импульса и вектором момента импульса. Предполагается, что эти два вектора неколлинеарны. В таком случае осевая компонента момента импульса описывает известное решение для закрученной струи, а компонента момента импульса, которая перпендикулярна вектору момента импульса до сих пор описана не была. Найден вид поля скорости и аналитическое решение для него, которое описывает перпендикулярную компоненту момента импульса. Это решение соответсвует неосесимметричной затопленной струе (рис. 8).

В пятой главе исследуется вопрос устойчивости затопленной струи Слезкина-Ландау-Сквайра к бесконечно малым возмущениям.

z/го = 20 z/r0 = 60

Рис. 8: График безразмерного профиля скорости г0уг/1/. (а), г = 20г0. Видно сильную асимметрию струи, (б), г = 60г0. С увеличением расстояния от источника профиль скорости стремится к решению Слезкина-Ландау-Сквайра.

В разделе 5.1 излагается обзор литературы, касающийся затопленных струй. Обсуждаются отличительные особенности теоретических работ, которые выполнялись до этого.

В разделе 5.2 выписаны уравнения на бесконечно малые возмущения. Далее, в силу анализа размерности, функциональный вид возмущений пропорционален г'1 и пропорционален безразмерной функции от двух аргументов: х = cos в - угловая переменная и r/\/iui, где t есть время. Таким образом, мы приходим к уравнениям в частных производных на обе переменные.

В разделе 5.3 рассматриваются некоторые частные случаи для задачи. Рассматривается состояние покоя, когда решение Слезкина-Ландау-Сквайра равно нулю. Тогда в уравнениях в частных производных удается разделить переменные и аналитически показать, что решения обладают интересными свойствами. Аналитический вид возмущений представляет собой произведение обощенных функций Лежандра (пространственная переменная) на комплекс, который состоит из произведения степенной функции по временной переменной на гипергеометрическую функцию по той же переменной. Амплитуда решения по временной переменной вначале растет до какого-то определенного значения безразмерного времени, а потом асимптотически падает до нуля.

В разделе 5.4, благодаря найденному в состоянии покоя аналитическому решению, рассматривается асимптотическая устойчивость. Причем решение представляется как произведение функции от угловой переменной на

степенную функцию от временной переменной (при 1 -» оо), где степень является спектральным параметром (функцией Де). Далее получена система обыкновенных дифференциальных уравнений от переменной х, которая была рассчитана для различных азимутальных чисел. Показано, что затопленная струя асимптотически устойчива к бесконечно малым возмущениям.

В заключение сформулированы основные результаты работы:

1. Получено новое точное решение уравнений магнитной гидродинамики для класса конических течений. В задаче струйное течение задается точечным источником импульса и точечным источником тока, расположенными на конце полубесконечного изолированного проводника. Обнаружен эффект запирания плотности электрического тока в точке пространства от величины тока в проводнике. В задаче решение существует не при всех параметрах течения; построена область существования решения. Найдена бифуркация азмуталыюй скорости и иолоидального магнитного поля, при которой от решения для незакрученной струи ответвляются два решения для закрученной струи.

2. Построено общее решение нсавтомоделыюй МГД задачи о струйном течении. Выписаны основные интегралы движения в задаче. Решение представлено в виде бесконечной суммы, первые члены которой описываются интегралами сохранения. Также получено аналитическое представление поля скорости, соответсвующее неосесимметричной затопленной струе.

3. Найдено, что струя Слезкина-Ландау-Сквайра асимптотически устойчива к бесконечно малым возмущениям. Форма возмущений выписана в соответсвии с анализом размерности. Зависимость от времени представлена в виде безразмерного комплекса г/у/1й1, характерного для уравнения теплопроводности.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах:

1. Яворский Н.И., Мулляджаиов Р. И. О затопленных МГД струях // Вестник ННГУ. Серия: Физика, №4, Ч. 5, С. 2630-2632, 2011 (из списка ВАК).

2. Мулляджаиов Р. И., Яворский Н. И. Затопленная струя проводящей жидкости в присутствии магнитного поля // Вестник НГУ. Серия: Физика, Т.7, ЛП, С. 24-36, 2012 (из списка ВАК).

3. Мулляджаиов Р. И. Точные решения магнитной гидродинамики для класса конических течений // Сборник трудов. ХЬУ1 Международная

научная студенческая конференция, Новосибирск, 2008, С. 101.

10

4. Мулляджапов Р. И. Точные решения магнитной гидродинамики для класса конических течений // Сборник трудов. XLVIII Международная научная студенческая конференция, Новосибирск, 2010, С. 52.

5. Мулляджапов Р. И., Яворский Н. И. Точные решения магнитной гидродинамики для класса конических течений // Сборник трудов. XII Всероссийская молодежная конференция «Устойчивость и турбулентность течений гомогенных и гетерогенных жидкостей», Новосибирск, 2010, С. 227-228.

6. Mullyadzhanov R. I., Yavorsky N. I. Exact solutions of MHD equations that describe spontaneous arising of rotation // Book of Abstracts. Euromcch Fluid Mechanics Conference - 8, Germany, Bad Reichenlmll, 2010, S1G-7.

7. Мулляджапов P. II., Яворский H. II. О задаче устойчивости для затопленной струи // Сборник трудов. 4-я Всероссийская конференция с участием зарубежных ученых «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения», Бийск, 2011, С. 09.

8. Mullyadzhanov R. I., Yavorsky N. I. Non-self-similar submerged magnetohydrodynamic jet // Proc. 8th PAMIR International Conference on Fundamental and Applied MHD, Borgo, France, 2011, Vol. 1, P.251-255.

9. Мулляджапов P. И. Неавтомодельная затопленная струя проводящей жидкости // Сборник трудов. «ЭРЭЛ-2011»: Материалы Всероссийской конференции научной молодежи. Якутск, 2011. - Том 1. С.22-24.

Подписано к печати 10 февраля 2012 г. Заказ № 13 Формат 60/84/16. Объем 1 уч.-изд.л. Тираж 100 экз.

Отпечатано в Институте теплофизики СО РАН 630090, Новосибирск, пр. Акад. Лаврентьева, 1

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ ИНСТИТУТ ТЕПЛОФИЗИКИ ИМ. С.С. КУТАТЕЛАДЗЕ СО РАН

61 12-1/730

На правах рукописи

Мулляджанов Рустам Илхамович

ЗАТОПЛЕННЫЕ СТРУЙНЫЕ МГД ТЕЧЕНИЯ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Яворский Н.И.

Новосибирск 2012

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 4

ГЛАВА 1. Уравнения магнитной гидродинамики 15

ГЛАВА 2. Одно семейство точных решений уравнений магнитной гидродинамики 18

2.1. Введение .................................18

2.2. Постановка задачи............................22

2.3. Анализ уравнений в окрестности особых точек............27

2.4. Незакрученная струя ..........................31

2.4.1. Алгоритм расчета............................31

2.4.2. Возвратное течение жидкости вдоль проводника..........32

2.4.3. Запирание плотности электрического тока..............37

2.4.4. Существование решения........................38

2.5. Закрученная струя............................45

2.6. Выводы и результаты по главе.....................49

ГЛАВА 3. Неавтомодельная затопленная струя в присутствии магнитного

поля 51

3.1. Постановка задачи............................52

3.1.1. Спектральная задача для затопленной струи............54

3.1.2. Спектральная задача для закрученной струи............56

3.1.3. Спектральная задача для магнитного поля.............57

3.2. Первый неавтомодельный член асимптотического разложения поля скорости затопленной струи.....................59

3.3. Анализ экспериментальных данных..................63

3.4. Влияние вращения и магнитного поля на движение жидкости ... 70

3.5. Общее решение задачи о затопленной МГД струе..........73

3.6. Выводы и результаты по главе.....................76

ГЛАВА 4. О законах сохранения для затопленной струи 77

ГЛАВА 5. Об устойчивости затопленной струи Слезкина-Ландау-Сквайра к бесконечно малым возмущениям определенного класса 81

5.1. Введение .................................81

5.2. Уравнения для бесконечно малых возмущений............82

5.3. Предельные случаи для уравнений на возмущения..........84

5.3.1. Состояние покоя.............................84

5.3.2. Интенсивная струя...........................87

5.4. Анализ асимптотической устойчивости................88

5.5. Выводы и результаты по главе.....................93

Заключение 94

ПРИЛОЖЕНИЕ А. Уравнения магнитной гидродинамики в сферической системе координат 95

ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Коэффициенты асимптотических разложений 97

ПРИЛОЖЕНИЕ В. Баланс сил в уравнениях магнитной гидродинамики в окрестности проводника 99

ПРИЛОЖЕНИЕ Г. Дифференциальные уравнения на некоторые функции неавтомодельной задачи 101

Список использованных источников 101

ВВЕДЕНИЕ

Магнитная гидродинамика (МГД) изучает движение электропроводящей среды при наличии магнитного поля. Существенная особенность такого движения состоит в том, что возникающие в жидкости электрические токи меняют внешнее поле, а взаимодействие индуцированного тока и магнитного поля оказывает механическое воздействие на поток, изменяя его состояние. Действительно, если в движущейся среде имеются электрические заряды, то они испытывают действие сил Лоренца. Если эти заряды обладают свободой перемещения, т.е. среда электропроводящая, то в ней возникают индуцированные электрические токи, которые взаимодействуют с обусловившим их магнитным полем двояким образом. Первый вид взаимодействия выражается в появлении действующих на среду пондеромоторных сил, второй проявляется в возмущении самого исходного магнитного поля. Совокупность этих эффектов составляет предмет изучения магнитной гидродинамики.

В область применения магнитной гидродинамики входят очень разнообразные физические объекты - от жидких металлов до космической плазмы. Для применимости магнитной гидродинамики необходимо, чтобы для рассматриваемого движения характерные расстояния и промежутки времени были велики по сравнению соответственно с длиной пробега и временем пробега носителей тока (электронов, ионов).

Магнитная проницаемость сред, о которых идет речь в магнитной гидродинамике, мало отличается от единицы, и это отличие не имеет значения для изучаемых явлений. Поэтому везде будем полагать ¡1 = 1.

В данной работе анализируются струйные течения в магнитной гидродинамике. Естесственно, что построение данной теории базируется на теории немагнитных течений.

Важным этапом развития теории струй начался с изучения несжимаемой жидкости [1, 20, 71, 81]. Сразу возникло два направления исследования -

по теории ламинарных и турбулентных струй. Данная работа посвящена ламинарной теории, однако, при использовании некоторых гипотез проводится сравнение с экспериментальными данными [50, 65, 85] измерений турбулентных затопленных струй.

Теория ламинарных струй берет начало с работ Шлихтинга (Schlichting) [71], Слезкина [31], Ландау [20] и Сквайра (Squire) [76], в которых были получены автомодельные решения уравнения пограничного слоя (Шлихтинг), и, соответсвенно, уравнений Навье-Стокса (решение Слезкина-Ландау-Сквайра) для точечного источника импульса, расположенного в неограниченном пространстве, затопленном несжимаемой вязкой жидкостью. В свою очередь, они породили два направления в развитии теории ламинарных затопленных струй, учитывающих неавтомодельность реального струйного течения от конечного по размерам источника струи.

Первое направление основывается на анализе полных уравнений Навье-Стокса и было вызвано необходимостью придать затопленным вязким струям физический смысл течения от направленного источника жидкости, поскольку решение Слезкина-Ландау-Сквайра соответствует течению с расходом равным нулю. Попытка описать струю с конечным расходом была предпринята Румером [28], однако, полученное решение не является аналитическим в области течения, и его надо видоизменить [38]. Изучению конвективной диффузии пассивной примеси в автомодельной струе посвящена работа [29]. Одновременно продолжался поиск новых точных решений уравнений Навье-Стокса [10, 13, 37, 56, 66, 67, 68, 73, 77].

Вторым направлением в исследовании затопленных струй стала разработка асимптотической теории неавтомодельных струй в рамках теории пограничного слоя. Лойцянский [24, 25] впервые рассмотрел слабо закрученную затопленную струю, характеризующуюся конечным потоком момента количества движения, вызывающего вращение.

В рамках этого направления было предпринято довольно много попыток

теоретического описания закрученных осесимметричных затопленных струй. Было вычислено большое количество членов асимптотического разложения решения уравнений Прандтля, целью которых стало получение экспериментально наблюдавшегося обратного тока жидкости для достаточно сильно закрученной струи. Однако на этом пути не удалось достичь приемлемых для сравнения с опытом результатов.

Характерной особенностью исследованных ранее решений уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости в обоих направлениях является допущение об аналитичности решения в бесконечно удаленной точке. Как показывается в работах [16, 38], оно не позволяет корректно описать затопленную струю, поскольку решение уравнений Навье-Стокса для задач о струйном течении неаналитично на бесконечности. Во втором порядке разложение скорости по обратному сферическому радиусу необходимо пополнить слагаемым, пропорциональным г-21п г, где г - сферический радиус.

Следует отметить, что указанные выше направления в развитии теории ламинарных затопленных струй далеко не исчерпывают все теоретические подходы для изучения струйных течений. В рамках теории пограничного слоя получили развитие задачи о полуограниченной струе [9], о струе в спутном потоке и о следе за равномерно движущимся телом [19]. Несколько в стороне от упоминавшихся теорий асимптотических разложений по целым степеням сферического радиуса г для уравнений Навье-Стокса и по целым обратным степеням продольной координаты £ для уравнений пограничного слоя лежит метод интегральных соотношений [26] и эквивалентной задачи теплопроводности [10]. С развитием вычислительной техники большое внимание стали посвящать моделированию турбулентных струй [8, 11]. Характерная особенность большинства их них - использование приближения пограничного слоя.

С теоретической точки зрения струйные течения характеризуются ненулевым полным потоком импульса на бесконечности, который определяет течение при г —)■ оо (г —оо). Это, в сущности, и является определением

произвольных неавтомодельных затопленных струй. Отсюда представление о струе, как о течении от некоторого источника импульса, характеризуемого точными интегралами сохранения: потоками импульса, момента импульса и массы, несет в себе основное физическое содержание струйного движения, что справедливо для самых различных постановок задач о струйном движении жидкости. Такой подход приводит к построению решения на основе его разложения в бесконечно удаленной точке, что сродни мультипольным разложениям в классической теории поля. В работе [38] строится обобщенное муль-типольное разложение решений уравнений Навье-Стокса для задач струйного движения несжимаемой вязкой жидкости. В случае задачи о струйном истечении из ограниченной области главным членом разложения в бесконечно удаленной точке является автомодельное решение Слезкина-Ландау-Сквайра. Оно удовлетворяет полным уравнениям Навье-Стокса. Строго говоря, обобщенные мультипольные разложения решения гидродинамической задачи представляют собой асимптотические разложения решения в бесконечно удаленной точке. Однако если эти разложения сходятся к непрерывным дифференцируемым функциям, то они являются и точным решением полных уравнений гидродинамики для широкого класса краевых задач.

Результаты, относящиеся к теории ламинарных затопленных струй, имеют в основном фундаментальное значение для теории. В практических приложениях струи, как правило, турбулентны. Тем не менее полученные результаты могут быть применены и для моделирования турбулентных струйных течений. В основе будет лежать гипотеза о постоянстве турбулентной вязкости vt = const, которая очень хорошо работает при теоретическом описании турбулентных затопленных струй [33]. Сравнение с экспериментом показывает, что первые члены разложения очень неплохо описывают реальные неавтомодельные турбулентные струи, несмотря на то, что в области неавтомодель-ности предположение о постоянстве турбулентной вязкости не обосновано. Согласие опыта и асимптотических решений для ламинарных затопленных

струй, в которых положено и — щ, объясняется, по-видимому, тем, что главные члены разложения определяются точными интегралами сохранения, а переменность турбулентной вязкости здесь не столь существенна.

В данной работе строится аналогичная асимптотическая теория для струйного течения в магнитной гидродинамике, главным членом которого является решение Слезкина-Ландау-Сквайра. Помимо законов сохранения уравнений Навье-Стокса, в магнитной гидродинамике существуют дополнительные интегралы движения, которые определяют решение для магнитного поля, а также влияют на поле скорости. Помимо числа Рейнольдса, которое является определяющим параметром течения, в магнитной гидродинамике важным является безразмерное число Бэтчелора, которое определяется проводимостью и вязкостью среды. В данной работе показано, что наличие некоторых интегралов сохранения удивительным образом зависит от значения числа Бэтчелора.

Если проследить за исследованием в магнитной гидродинамике несжимаемой жидкости, то наиболее известными результатами, получившими отражение в литературе, являются выравнивание (уплощение) поля скорости и подавление турбулентных пульсаций в магнитном поле. К середине прошлого века среди немногочисленных работ по магнитной гидродинамике наиболее известными являлись теоретическая работа Гартмана (Hartman) [47], где было показано, что магнитное поле приводит к уплощению эпюры скоростей между двумя параллельными бесконечными стенками, и экспериментальная работа Гартмана и Лазаруса (Hartman, Lazarus) [48], в которой для объяснения некоторого снижения коэффициента сопротивления при МГД-течении в трубе была выдвинута гипотеза о подавлении турбулентности магнитным полем. В то же время астрофизики уже имели в своем распоряжении фундаментальный труд Альфевна [3].

Магнитная гидродинамика резко неоднородных течений, в том числе течений, порождаемых самим магнитным полем, также не имела полного и

систематического отражения. Первой работой, в которой было продемонстрировано, что магнитное поле может приводить к образованию неоднородной скоростной структуры и к дестабилизации течения, является, по-видимому, работа Ленерта (Lehnert) [54]. Ленерт показал, что если магнитное поле ориентировать перпендикулярно дну цилиндрической емкости, заполненной ртутью, а вблизи дна поместить вращающееся медное кольцо, то из всей жидкости вращаться будет только лишь та часть, которая расположена непосредственно над кольцом. При больших значениях напряженности поля движущийся слой ртути сворачивается в вихревые кольца, т.е. течение в магнитном поле дистабилизируется.

К этому же классу являений относится и течение Ханта (Hunt) [49], где наличие хорошо проводящих стенок, перпендикулярных полю, приводит к образованию М-образной скоростной структуры, и вообще все случаи, когда имеются неоднородности в проводимости границ области течения. Для этого класса явлений характерно образование вблизи электрической неоднородности "следа" с резкими поперечными изменениями параметров течения, распространяющегося вдоль направления магнитного поля.

Вероятно одной из первых работ по изучению двумерного струйного течения проводящей жидкости в поперечном магнитном поле была работа Моро (Могеаи) [61]. Рассматривалось ламинарное течение, поэтому Моро удалось получить точное решение уравнений Навье-Стокса. Это решение показало, что сила Лоренца уменьшает импульс струи и может даже вообще разрушить струйное течение на конечном расстоянии от источника импульса, порождающего струю. Моффат и Тумре (Moffat, Toomre) [60] решали эту задачу, исследую идеальную жидкость. Они также обнаружили, что струя разрушается магнитным полем. Эти результаты нашли отражение и в работе Банса-ла и Гупты (Bansal, Gupta) [40], которые изучали турбулентную двумерную струю. В работе Дэвидсона (Davidson) [45] исследовалась уже трехмерная струя. Показано, что в этом случае изначально осесимметричная струя со

временем преобретает более сложную форму, теряя симметрию. Трехмерные струи сильно отличаются от двумерных. Сила Лоренца не уменьшает импульс струи, а перераспределяет его так, чтобы уменьшить кинетическую энергию течения. Важным следствием неизменности импульса струи является то, что магнитное поле теперь не разрушает струю.

Струйное течение конического класса в присутствии магнитного поля вперве изучал Ву (АД/и) [84]. Его решение основывалось на течении Слезкина-Ландау-Сквайра. Необходимо отметить целую серию работ [57, 63, 64, 74, 78, 79, 80], посвященную коническому течению проводящей жидкости в полупространстве, вызванную точечным электродом. Эти работы имеют важное фундаментальное значение, а также являются простейшей моделью промышленного процесса. Множество различных результатов обобщено в монографиях [6, 35], в которых изучены и классифицированы различные течения конического класса. Подробнее об этих работах будет рассказано в главе II.

Целями данной работы являются:

- поиск новых точных решений уравнений магнитной гидродинамики;

- сравнение экспериментальных результатов измерений затопленной струи с теоретическим расчетом, используя асимптотический подход;

- распространение асимптотического метода на течения проводящей жидкости. Изучение законов сохранения струйного МГД течения. Построение общего решения течения неавтомодельной струи, определяемое интегралами сохранения;

- изучение вопроса устойчивости затопленной струи к бесконечно малым возмущениям.

Для достижения этих целей необходимо решить следующие задачи:

1. Получить систему уравнений магнитной гидродинамики для конического класса и для неавтомодельной задачи.

2. Создать регулярный алгоритм расчета дифференциальных уравнений типа Лежандра, используя асимптотические разложения в окрестности осо-

бых точек.

3. Построить общее решение неавтомодельной задачи, опираясь на законы сохранения, вытекающие из уравнений движения магнитной гидродинамики.

4. Изучить систему уравнений для бесконечно малых возмущений, линеаризованную на решении Слезкина-Ландау-Сквайра.

В работе получены новые научные результаты:

1. Получено точное решение уравнений магнитной гидродинамики для класса конических течений.

2. Построено общее решение неавтомодельной МГД задачи о струйном течении, используя интегралы сохранения.

3. Получены результаты, свидетельствующие об устой