Неустойчивость струйных течений вязкой жидкости в магнитном поле тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

р^и 'КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИШРСИТЕТ

им. АЛЬ-ФАР АШ

На праЕах рукописи

Каляев Яакслкк Нигметович

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СТРУЙНЫХ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В МАГНИТНОМ полз

С 01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы )

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

г. Алыа - Ата, 1993 г.

Работа выполнена в Институте теоретической и прикладной математики Академии наук Республики Казахстан

Научный руководитель : доктор технических наук,

профессор К. Е. Дяаугаштин

Научный консультант : доктор физико-математических наук,

профессор К Я. Пкадов

Официальные оппоненты : член-корреспондент HAH ТК, "

доктор физико-математических наук, профессор А.Т. Лукьянов

кандидат физико-математических наук, доцент Ь А. Головин

Ведущая организация ~ Алма-Атинский энергетический

институт

Защита диссертации состоится 1Q93 г.

в {0 час. на заседании специализированного совета КС58. Gl. 09 в Казахском государственном университете им. Аль-Фараби по адресу : 480012, г. Алма-Ата, ул. Масанчи, 39/47 в ауд. 2>1 £

С диссертацией можно

тета.

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета, к.ф.-м.н.

ознакомиться в библиотеке универеи-"Н" ал^АЯ. 1993 г.

L ЬТомилкн

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Интерес к исследованиям по неустойчивости струйных течений электропроводной жидкости в магнитном поле связан не только с точки зрения общей теории гидродинамической устойчивости, так как здесь возникают новые спектральные задачи, но и в связи с известными техническими приложениями, как, например, различные МГД-устройства, в которых основным рабочим объектом является электропроводная жидкость, протекаюпря в них как в ламинарном, так и в турбулентном режимах . Актуальность темы связана также и с возможностью использования внешнего магнитного поля как средства управления гидродинамикой течения любого потока, поэтому с точки зрения технических приложений важно иметь численные значения параметров управления режимами течений. Теоретический интерес представляет исследование влияния магнитного поля на устойчивость ламинарного течения и его переход к турбулентному течению, а также его влияния на осредненное и пульсационное движения развитого турбулентного течения.

Цель исследования. Изучение влияния внешнего магнитного поля на невязкий и вязкий механизмы неустойчивости свободных сдвиговых течений несжимаемой жидкости двумя методами, сравнение этих методов и результатов, полученных на их основе.

Научная новизна работы состоит в едином теоретическом исследовании невязкой и вязкой неустойчивости струйных течений несжимаемой жидкости в параллельном магнитном поле двумя различными методами - методом малых возмущений й методом анализа критических режимов. В частности:

- дана общая математическая постановка задач для исследования неустойчивости плоскопараллельных течений вязкой несжимаемой жидкости в параллельном магнитном поле двумя методами.

- исследованы методом малых возмущений два механизма неустойчивости - невязкий и вязкий - для плоской затопленной струи несжимаемой жидкости в параллельном, магнитном ..поле. Найдены

. основные характеристики устойчивости течения - критические числа Рейнольдса и волновые числа, фазовые скорости и т. д. при различных значениях параметра магнитного воздействия.

- в рамках полузмпирической теории турбулентности на осноЕе метода анализа критических режимов для плоской затопленной струи вязкой несжимаемой жидкости в параллельном магнитном поле полу-

чена нелинейная оценка критического числа Рейнольдса. Численными расчетами установлено, что в отличие от чисто гидродинамического случая имеется две критические точки - точка турбулизации и точка ламинаризации. Для различных значений параметра магнитного воздействия найдены критические значения числа Рейнольдса, определенного черев начальные параметры истечения струи.

- на основе обоих методов вычислены для различных значений параметра магнитного воздействия критические расстояния.

- изучены методом малых возмущений оба механизма неустойчивости - невязкий и вязкий - для плоского слоя смешения несжимаемой жидкости в параллельном магнитном поле.

Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты позволяют дополнить некоторые разделы обшей теории неустойчивости струйных течений вязкой несжимаемой жидкости в параллельном магнитном поле, а тага® стимулировать дальнейшее развитие теоретических и экспериментальных исследований этого типа течений. Приведенные в настоящей работе основные числовые характеристики по неустойчивости струйных течений ( интервалы неустойчивых волновых чисел, критические числа Рейнольдса, пороговые значения числа Стюарта, критические расстояния и т. д. ) могут найти практические приложения при конструировании различных струйных аппаратов и расчетах их работ в различных режимах.

йа защиту выносятся. Положения, указанные в разделах о научной новизне и заключении.

Аппробация работы. Материалы диссертации опубликованы в шести печатных работах , а также докладывались и обсуждались на:

- VII Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике ( г. КЬюква, МГУ им. М. В. Ломоносова, 1991 г. )

- II совместном по СНГ семинаре " Гидродинамическая устойчивость и турбулентность", г. Алма-Ата, КазГУ им. Аль-Фараби,1992.

- научном семинаре под ' руководством д. ф. -м. н., проф. К Я. йодова ( кафедра аэромеханики и газовой динамики механико-математического факультета МГУ им. М. К Ломоносова, г. Шсква, 1993)

- научном семинаре кафедры механики сплошных сред факультета механики и прикладной математики Каэ. ГУ им. Аль-Фараби под руководством чд. -корр. АН Республики Казахстан Ш. А. Ершииа,1993 г.

Структура и обьем работа Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 86 наименований, 20 рисунков и 6 таблиц. Основное содержание работы изложено

- 5 -

на 102 страницах машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, определяется цель и задачи исследования, новизна полученных результатов и их практическая значимость, формулируются основные положения, выносимые на защиту, также кратко излагается содержание диссертации.

В первой главе дан обзор работ, посвяшэнных экспериментальному и теоретическому исследованию неустойчивости плоской затопленной струи и слоя смешения двух встречных параллельных потоков вязкой несжимаемой жидкости в продольном магнитном поле, а также дана общая математическая постановка задач для исследования неустойчивости свободных сдвиговых течений вязкой несжимаемой жидкости в параллельном магнитном поле двумя методами - методом малых возмущений и методом анализа критических режимов.

Во второй главе рассмотрены методом малых возмущэний оба механизма неустойчивости - невязкий и вязкий -для плоской затопленной струи несжимаемой жидкости в параллельном магнитном поле.

Влияние продольного магнитного поля на стационарное основное течение в обычных приближениях теории пограничного слоя пропорционально порядку отбрасываемых членов в уравнениях магнитной гидродинамики и поэтому скорость основного течения определяется также, как и в чисто гидродинамическом случае. Поэтому для продольной составляющей скорости основного течения имеем:

и - > (1)

где - безразмерная переменная подобия.

Исследование методом малых колебаний невязкой неустойчивости в параллельном магнитном поле сводится к двум спектральным задачам (для четной и нечетной мод) для модифицированного уравнения Рэлея :

(Ц-с)(у"-(¿2у)-и"у+1оС Иу - 0 (2)

с соответствующими для каждой моды краевыми условиями.

Краевыми условиями для уравнения (2) являются условия затухания возмущений на бесконечности, которые с учетом симметричности, наряду с (1), относительно точки - 0 сводятся к двум

- б -

группам условий:

V1 (0) - 0 , 5. V - О

у(0) - 0 , у'+ос V - О

Условия (3) соответствуют антисимметричным возмущениям, условия (4) - симметричным. Здесь

5- - сС,+1 ос. , Уза+Уа2+Ь2' /2 , <*.-У-а+ УаЧь^/2 ,

Т. I, £ Ь

а=а? + ¿.Пс.^М1 , Ь=(сг-и^ об N/<1* . с12=(и^-ст)г+с^ ,

Спектральные задачи (2),(3) и (2),(4) решались численно на ЭВМ путем их редукций к соответствующим задачам Копи (методом стрельбы), при этом характеристические уравнения решались численно методом секущих.

На рис. 1 приводится зависимость коэффициента нарастания возмущений от волнового числа для антисимметричных и симметричных возмущений при различных значениях параметра магнитного воздействия. Отсюда ясно, что как и в чисто гидродинамическом случае, коэффициенты нарастания для антисимметричных возмущений на порядок больше, чем для симметричных возмушэний, причем длинноволновые возмущения ( 0 < об < 1 ) могут развиваться в струе двумя способами - четным и нечетным образом.

Исследование вязкой неустойчивости в параллельном магнитном поле сводится к двум спектральным задачам (для четной и нечетной мод) для модифицированного уравнения Орра-Зоммерфельда :

- 1лН(и-с)(у"-ос11у)-и"у + 1сс.1М - 0 (5)

с соответствующими для каждой моды краевыми условиями.

Поскольку основное течение (1) и краевые условия (условия затухания возмущений) при —> ±00 является симметричными относительно прямой Г1 - 0, то краевая задача для уравнения (5) допускает два независимых решения - четное и нечетное. Поэтому при Ч - 0 имеем две группы краевых условий:

- 7 -

у'(0) - О , у'"(О) - О

у(0) - 0 , У"(0) - 0 (7)

Краевые условия при ^ —» с?о ( у —> 0 , у'—» 0 ) известкой процедурой сводятся к условиям при конечном г^- ( 6) :

у'"+ ау"- Ь2( у'+ НУ ) - 0 ,

(8)

у'"+ Ьу"- а2( у'+ Ьу ) - 0 ,

где

■УсС* + ( ш - ТЛ

ш - Ут2 - п ) / 2

г

Ь - УсСг + ( т + 1/ш2 - п ) / 2

т = 1 ОС И С и4- с ) , п - 4а2Р! N , ) .

Краевые условия (6),(8) отзечает антисимметричным возмущениям, а (7),(8) - симметричным.

Две задачи на собственные значения (5),(б),(8) и (5),(7),(8) решались численно на ЭВМ путем их редукции к соответствующим задачам каши.

На рис. 2 представлены нейтральные кривые об - оС (И) для антисимметричных (сплошные линии) и симметричных (штриховые линии) возмущений при различных значениях параметра магнитного воздействия. Видно, что параллельное магнитное поле подавляет возмущения, причем антисимметричные возмущения, как и в чисто гидродинамическом случае, являются наиболее опасными.

После вычисления критических чисел Рейнольдса Е^, соответствующих различным значениям параметра магнитного поля, можно для каждого варианта определить критическое значение продольной координаты х^,в которой происходит потеря устойчивости ламинарного течения: о И3 и (1

о

где Н 0 - начальное число Рейнольдса, ио - скорость истечения струи из узкой пели размера <±

Третья глава посвящэна исследованию методом анализа критических режимов вязкой неустойчивости плоской затопленной струи

а

несжимаемой жидкости в параллельном магнитном поле. Здесь в рамках полуэмпирической теории турбулентности с привлечением гипотез Колмогорова-Ротта приводится вывод и анализ уравнения баланса пульсационной энергии, расчет среднего течения и на их основе вычисление конкретных значений критических параметров.

Дея турбулентного МГД-течения с поперечным сдвигом без учета диффузий уравнения для одноточечных моментов второго порядка, замкнутые с помощью гипотез Колмогорова-Ротта, имеют вид:

и; и

еи,

_ ЗИ: т/р _ о с 11:11;

V *3х I "Яг С 1 I 3 и1Г' п

2 ; е3'2 _ _ _ 1 (10) + Т °?Ч"Г р С2 илвзв5- изи*вА}"°

Отсюда получим в безразмерной форме уравнения для компонент тензора -напряжений в случае продольного магнитного поля :

- „ о . (к-с)каз(к1усл^нге] п

_ Е 4 (11)

И v2 + ( к ИЕ + с4 + ^ Н* ) йу - 0 ,

= = О , = 0 .

Здесь введены следующие безразмерные локальные числа Рей-кольдса и Гартмана соответственно:

к Ж к-£3и

КЕ- ^ " о ау ' ' (1}

Эта безразмерная система уравнений служит для определения всех членов тензора турбулентных напряжений, фи заданном значении числа Гартмана пульсационные характеристики зависят от параметра 13Е , критическое значение которого находится из уравнения баланса пульсационной энергии ( первое уравнение в системе ).

Уравнение баланса пульсационной энергии перепишем в виде:

2 г

где <р - \ ( к - с ) Я

11З Е I

чу ( кке+с! + р v ■с '(№е+с1+2 ? v с ске+с1 > + "5 р нр-с) .

Отсюда видно, что уравнение баланса турбулентной энергии выражает связь меаду локальными числами Рейнольдса для осреднен-ного к пульсадионного движений при заданном значении локального числа Гартмана.

Отметим, что соответствует порождении энергии пульсадионного движэния, ср2 - ее диссипации.

Условия критического режима течения имеют вид:

<14>

Из этой системы уравнений критические значения локальных чисел Рейнольдса зависимости от числа Гартмана Нр оп-

ределяются следующим образом. Вначале при заданном Нр вычисляются численно на ЭВМ значения I?* как единственный положительный корень кубического уравнения. Затем значения вычисляется по следующей формуле: &

^ |(к-сЖЕ

Для вычисления критического значения числа Рейнольдса ¡?+, определенного во второй главе, следует рассчитать среднее течение на основном участке струи с учетом того, что в переходном режиме перенос количества движения ламинарной и турбулентной диффузией соизмеримы. Поэтому в уравнениях пограничного слоя, используемых здесь, сохранены члены, отражающие как молекулярный, так и молярный перенос импульса В этом состоит отличие данной постановки задачи от аналогичной постановки в разделе 1 главы 2. В результате такого расчета среднего течения на основном участке плоской струи и вычисления затем критического значения числа Рейнольдса , для определения зависимости критического значения продольной координаты х+ . в которой происходит смена режимов течения, от начальных параметров N и И получим параметрическое соотношение: 0

-.10-

график которого для различных приведен на рис. 3.

фи чисто гидродинамическом течении с увеличением начального числа Рейнольдса критическая точка х + приближается к устью струи. Можно утверждать, что вниз по течению от этой точки воз-мупщия нарастают и приводят к турбулизации потока.

Иная картина критических режимов получается при наличии продольного магнитного поля ( рис. 3 ). Действительно, при любых значениях начальных параметров (?0 и Ы0 (например, 1?0 - 50, Ы0 -0,2) возрастание локального значения И приводит к критическому режиму течения ( х* - 0,3 ). В дальнейшем, однако, магнитное поле замедляет рост значения ¡3 , поскольку последнее пропорционально расходу, а продольное магнитное поле препятствует развитию струи, т.е. уменьшает по сравнению с обычным течением значение расхода. В то же время локальное значение параметра магнитного воздействия N вниз по течению растет ( N — х3'2). Оба эти фактора приводят к тому, что при дальнейшем развитии струи, начиная с некоторого значения И0 .вновь наступает критический режим ( для тех же значений 1?0 , Иа в выше приведенном примере имеем х* - б ).Бэ в отличие от первой критической точки х* , где происходит потеря устойчивости ламинарного течения ( наступает турбулизация ), во второй критической точке х* ( х^> х|) турбулентное течение стабилизируется, т. е. приобретает устойчивость ( наступает ламинаризация ). Таким образом, существенным для течений в однородном продольном магнитном поле является наличие двух критических точек, т. е. двух критических режимов.

В заключении этой главы проведено сравнение результатов, полученных двумя методами - методом анализа критических режимов (гл.3) и методом малых возмущэний (гл.2). На рис. 4 показаны зависимости критических чисел Рейнольдса и ( Я^соответствует методу малых возмущзний - сплошная линия и методу анализа критических режимов - пунктирная линия) от числа Стюарта N . Здесь же показана касательная к кривой И ^ (И), проходящая через начало координат (штрих-пунктирная линия). Абсцисса точки касания соответствует пороговому значению при N 4 наиболее опасными являются двумерные возмущения, при N > трехмерные. Для чисто гидродинамического случая (Ы -0) имеем: - 4, 1?+ -- 12. Дм этого же случая энергетический метод дает 1?еп- 2,5 ,а эксперименты - И ехр - 10. Таким образом, для случая N - 0 имеет место цепочка неравенств:

Кеп< н*< Кехр<

фи 0 4 N < Несправедливо неравенство: Н+> В малой окрестности Назначения й^и совпадают;при N > сравнение не имеет смысла, т. к. в этом случае в методе малых колебаний надо рассматривать трехмерные возмущения.

В последней, четвертой, главе исследуются методом малых возмущений оба механизма неустойчивости - невязкий и вязкий -для плоского сдоя смешения встречных потоков несжимаемой жидкости в параллельном магнитном поле.

В линейной постановке вопрос о влиянии продольного магнитного поля на невязкую неустойчивость сводится к задаче на собственные значения для модифицированного уравнения Релея (2) с соответствующими краевыми условиями.

Параллельное однородное магнитное поле не деформирует профиль скорости стационарного основного течения, поэтому, как и в чисто гидродинамическом случае, основное течение вязкой жидкости в плоском слое смешения между двумя однородными параллельными встречными потоками со скоростями и^и - и^описывается нечетным профилем скорости :

и(у) - и^-ьпф , (16)

где Ь - полуширина слоя смешения, - модуль скорости.

Краевыми условиями для уравнения (2) является условия затухания возмущений на бесконечности:

V - 0 ( у -± оо)

Эти- условия известной процедурой сводятся к условиям при конечных у - ± у1 ( здесь у1 - 6 ) :

у-оСу-О (У --У) , ( у - у.) (17)

1 1

Здесь

об -ссг

,+!<*. , -]/за+Уа2+ Ь2 /2 , сС. - У-а+ Уа2+ Ь2 /2 ,

и V ь-

а= о£.2 + а.Мс^/с12- , Ь=(сг- и^^И ЛЗг ,

с7)2+ с* , иги(у4).

Краевая задача на собственные значения (2),(17) решалась численно путем ее редукции к двум задачам Коми, т.е. методом стрельбы со стыковкой. Комплексное характеристическое уравнение решалось численно методом секущих.

На рис. 5 приводятся кривые зависимости собственных значений с. и коэффициента нарастания возмущений о^с^ от волнового числа ос при различных значениях параметра магнитного воздействия. Отсюда ясно, что, как и в чисто гидродинамическом случае, неустойчивыми являются длинноволновые возмущения (о <сС<1).

Исследование методом малых возмущений вязкой неустойчивости в продольном магнитном поле приводит к задаче на собственные значения для модифицированного уравнения Орра-Зоммерфельда (5) с соответствующими краевыми условиями. " -Основное течение описывается нечетным профилем скорости (16).

Краевыми условиями для уравнении. (5) являются условия затухания возмущений на бесконечности :

V - О

V - 0 ( у - ± оо )

&ги условия известкой процедурой сводятся к условиям при конечных у - ± у ( здесь'у 1 - 6) :

где

у'" + а-/'- Ь2( уЧ ау ) - О

у"Ч Ьу"- а2( у'+ Ьу.) - О

V - ау - Ь ( V - ау ) - О

у'"- Ьу"- а2( у'- Ьу ) - О

( У - У4 )

( У - " У-1 )

У сСг + ( ш - У тг - п') / 2

V сс2 + ( ш + V ш2 - п )~7 2

(18)

(19)

1 Л й ( и,- с ) , п - 4и1Й N ,

v ^ •

а

Ь

ш

Краевая задача на собственные значения (7),(18),(19) реша-

- 13 -

лась численно путем ее редукции к двум задачам Кош.

На рис.8 представлена топология нейтральных кривых ос-еЦН) при различных значениях параметра магнитного воздействия. В работе приведены также зависимости критических собственных значений от числа Стюарта Расчеты показывают, что влияние однородного параллельного магнитного поля на вязкую неустойчивость плоского слоя смешения сводится к существенной стабилизации возмущенного потока.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

Основные результаты проведенного двумя различными методами теоретического исследования неустойчивости струйных течений вязкой несжимаемой жидкости в параллельном магнитном поле сводятся к следующему:

1. Приведена обдая математическая постановка задач для исследования неустойчивости свободных сдвигоеых МГД-течений дзу-мя методами - методом малых возмущений и методом анализа критических режимов. Дан вывод определяющих уравнений, сформулированы спектральные задачи, сделан обзор методов решения таких задач.

2. Для плоской затопленной струи и слоя смешения двух встречных параллельных потоков в условиях присутствия продольного магнитного поля проведено единое теоретическое исследование обоих механизмов неустойчивости - как невязкого, так и вязкого. Получены основные характеристики неустойчивости-коэффициенты нарастания и скорости распространения возмущений, критические значения волновых чисел и чисел Рейнольдса, построены собственные функции и напряжения Рейнольдса

3. Численными расчетами установлено, что рассмотренные в работе свободные сдвиговые течения (плоская затопленная струя и слой смешения встречных потоков), которые в чисто гидродинамическом случае обладают малым запасом устойчивости, т.е. ламинарный релим в них нарушается уже при небольших числах Рейнольдса, при наложении внешнего магнитного поля существенно повышают свою устойчивость. Найдены численные значения основных характеристик такой стабилизации.

4. Показано, что наряду с традиционными методами исследования устойчивости МГД-течений (метод малых возмущений и энергетический .метод) метод анализа критических режмов, основанный на

уравнениях баланса пульсационной энергии в рамках полуэмяири-ческой теории турбулентности, также позволяет провести оценку критического числа Рейнольдса, причем нелинейную, и определить критические расстояния. Установлено, что существенным для свободных сдвиговых ЫГД-течений является наличие двух критических режимов. В общем случае показано, что критические режимы конкретного турбулентного ЫГД-движения обусловливаются, в первую очередь, характеристиками среднего течения.

5. Проведен сравнительный анализ двух методов исследования вязкой неустойчивости ЫГД-потоков - метода малых возмущений и метода анализа критических режимов. Результаты, полученные на основе этих методов, сравниваются с результатами эксперимента и исследования, проведенного энергетическим методом, согласие результатов при этом удовлетворительное.

1. Джаугаш"ин К Е., Калиев F- Е Вязкая неустойчивость плоской струи в параллельном магнитном поле // Аннотации докладов VII Всесоюзного сьезда по теоретической и пригаадной механике, IL , МГУ им. Ы. В. Ломоносова, 15-21 августа 1991г. , с. 132-133.

2. Калиев iL IL Невязкая неустойчивость плоской струи в параллельном магнитном поле//Вес?ник АН Каз. ССР,1991, N9, с. 65-67.

3. Калиев Е а Невязкая неустойчивость слоя смешения в параллельном магнитном поле // Изв. АН Республики Казахстан, сер. физ.-Мат. , 1992, К 1, с. .91-93,

4. Калиев ЕН. Вязкая неустойчивость слоя смешения в параллельном магнитном поле//Магнитная гидродинамика,1992,Ml,116-117.

5. Джаугаштин К. Е., Калиев Ж. Н. Вязкая неустойчивость плоской струи в параллельном магнитном поле // Изв. РАН, МЖГ, 1992, N 2, с. 69-75.

6. Калиев ЕЕ Вязкая неустойчивость плоской струи в поперечном магнитном поле // Тезисы докладов П-го совместного по СНГ семинара " Гидродинамическая устойчивость и турбулентность", г. Алма-Ата, КазГУ им. Аль-Оараби, 10-13 ноября 1992 г.,с. 52-53.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ' В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

(