Конвективные и волновые движения в поверхностно заряженных слоях жидкости конечной толщины

Санасарян, Сурен Аветисович

Конвективные и волновые движения в поверхностно заряженных слоях жидкости конечной толщины тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

Санасарян, Сурен Аветисович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Ярославль МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.14 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Конвективные и волновые движения в поверхностно заряженных слоях жидкости конечной толщины»

Автореферат диссертации на тему "Конвективные и волновые движения в поверхностно заряженных слоях жидкости конечной толщины"

На правах рукописи

САНАСАРЯН Сурен Аветисович

КОНВЕКТИВНЫЕ И ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ В ПОВЕРХНОСТНО ЗАРЯЖЕННЫХ СЛОЯХ ЖИДКОСТИ КОНЕЧНОЙ

ТОЛЩИНЫ.

01.04.14. - Теплофизика и теоретическая теплотехника

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2006

Работа выполнена в Ярославском государственном университете им. П. Г. Демидова

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Григорьев А.И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Дадиванян А. К.

кандидат физико-математических наук, доцент Коромыслов В.А.

Ведущая организация:

Ярославский государственный технический университет.

Защита диссертации состоится «16» февраля 2006 года в 15 часов на заседании диссертационного Совета Д 212.155.07 в Московском государственном областном университете по адресу: 107005, Москва, ул. Радио, дом 10а

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Московского государственного областного университета.

Автореферат разослан «13» февраля 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета доктор физ.-мат. наук, профессор

Богданов Д. Л.

200 6 А

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Исследование конвективной неустойчивости слоев жидкости, при наличии в ней градиентов температуры, а также неустойчивости заряженной поверхности жидкости являются актуальными в связи с многочисленными приложениями в физике, геофизике, технике и технологии. Первые исследования указанных феноменов относятся к позапрошлому веку, и в настоящее времени интерес к проблеме только увеличивается. В то же время большая часть проведенных теоретических исследований, направленных на изучение неустойчивости заряженной поверхности жидкости, выполнена в линейном приближении по амплитуде возмущения свободной поверхности. В последние годы был опубликован ряд работ, связанных с исследованием нелинейных периодических волн на заряженной поверхности бесконечно глубокой жидкости, но никто еще не анализировал возможное взаимодействие периодического волнового движения в слоях жидкости в конечной толщины с конвективным движением, возникающих при неоднородном по высоте распределении температуры жидкости, хотя и волновое и конвективное движения характеризуются определенной периодичностью.

Исследование неустойчивости заряженной поверхности жидкости, связанное с неограниченным ростом амплитуд волн на ее поверхности, когда отрицательное давление электрического поля на нее превышает некоторое пороговое значение, представляет значительный интерес в связи с многочисленными академическими, техническими и технологическими приложениями данного феномена. Оно лежит в основе принципа действия разнообразных прецизионных научных приборов и устройств, является неотъемлемой частью многих технологических и геофизических процессов. В частности данное явлением находит применение в народном хозяйстве: в распыливании жидких топлив и лакокрасочных материалов, в технологии струйной печати, а также в изучении природных явлений, таких как грозовое электричество, волны в океане и огни Св.Эльма (появляются как результат коронного разряда с поверхности капель воды, осевших на высоких предметах). Особое место среди известных видов неустойчивости заряженной свободной поверхности жидкости при наличии усложняющих факторов (неустойчивости Тейлора, Фейра, Кельвина-Гельмгольца, Марангони) занимает неустойчивость Тонкса-Френкеля, и, несмотря на устойчивый многолетний интерес к этому феномену, большинство посвященных ему теоретических исследований проведено в рамках физико-математических моделей, линейных по весьма малой амплитуде волновой деформации свободной поверхности, которая генерируется уже тепловым движением молекул жидкости. Влияние глубины слоя жидкости на характер волнового движения и закономерности реализации неустойчивости поверхности жидкости относительно хорошо изучено в приближении „мелкой воды", и исследование нелинейных волн сводится к выводу нелинейных уравнений, имеющих солитонные решения. Такой подход к изучению нелинейных волн ограничивает взгляд на проблему.

РОС. НАЦИОНАЛЬНА« БИБЛИОТЕКА , С.Пете*вурт «

09 Ж> жк*>Г ,

плоской однородно заряженной плоской поверхности жидкости бесконечной или конечной глубины с учетом ее реальных физико-химических свойств в линейном приближении изучен достаточно подробно. Но исследования нелинейных волн на заряженной поверхности слоя вязкой жидкости малой толщины в большинстве работ выполнены в приближении „мелкой воды". Упрощения системы гидродинамических уравнений, применяемые в рамках данной модели, не всегда обоснованы, причем значительная часть данных работ направлена на поиск со-литонных решений. В последние годы появились работы, позволяющие корректно учитывать влияние вязкости на нелинейные волновые процессы. Получены строгие решения, определяющие профиль нелинейной периодической капиллярно-гравитационной волны, распространяющейся по заряженной поверхности глубокой жидкости произвольной вязкости.

Подводя итог сказанному выше, отметим, что, несмотря на разностороннее исследование закономерностей формирования и неустойчивости гравитационно-капиллярных волновых и конвективных движений жидкости, влияние толщины ее слоя как в случае идеальной, так и в случае вязкой жидкости на распространение нелинейных волн по однородно заряженной поверхности слоя жидкости конечной толщины и на критические условия неустойчивости волновых движений практически не исследовано. Также остается открытым вопрос о взаимодействии волнового и конвективного течений и на закономерности реализации неустойчивости ее поверхности по отношению к поляризационному заряду.

Цель работы состояла в исследовании конвективных движений жидкости и периодических волн на заряженной поверхности слоев жидкости конечной толщины, закономерностей реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля и оценке роли диссипации, связанной с наличием поверхностно-активных веществ, вязкостью и глубиной жидкости, на волновое движение и критические условия возникновения нестабильности.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

- аналитическим асимптотическим путем исследованы нелинейные капиллярно-гравитационные волны на заряженной свободной поверхности слоя идеальной жидкости конечной толщины;

- аналитическим асимптотическим путем исследованы нелинейные капиллярно-гравитационные волны на заряженной свободной поверхности слоя вязкой жидкости конечной толщины;

-аналитически исследованы условия возникновения конвективного движения в слое вязкой жидкости конечной толщины с однородно заряженной свободной поверхностью при наличии волнового искажения ее свободной поверхности;

-исследовано влияние вязкости и толщины слоя неоднородно нагретой жидкости на характер взаимодействия конвективных и волновых движений;

- исследовано влияние растворимых поверхностно активных веществ на физические закономерности нелинейного капиллярного волнового движения.

Научная новизна работы состоит в том, что

- впервые аналитическим асимптотическим путем детально исследовано взаимодействие конвективного волнового движения на заряженной свободной

поверхности неоднородно нагретого слоя жидкости на твердом дне с периодическими капиллярно-гравитационными волнами конечной амплитуды;

- аналитическим асимптотическим путем детально исследованы нелинейные капиллярно-гравитационные волны на заряженной свободной поверхности слоя идеальной жидкости конечной толщины;

-в строгой аналитической процедуре проведен детальный анализ нелинейных капиллярно-гравитационных волн на заряженной свободной поверхности слоя вязкой жидкости конечной толщины;

- аналитическим путем получены общие закономерности влияния растворимых поверхностно-активных веществ на нелинейное волновое движение на заряженной поверхности вязкой жидкости.

Научная и практическая ценность состоит в том, что полученные результаты существенно расширяют фундаментальные представления о явлениях, имеющих место в реальных металлургических и магнито - и электрогидродинамических устройствах. Проведенный анализ нелинейных волн на заряженной поверхности жидкости, критических условий возникновения конвективного волнового движения жидкости вносит вклад в теорию грозового электричества, в исследование распространения волн в океане, в изучение явления «огней Св. Эльма» и способствует лучшему пониманию реализующихся физических процессов. Результаты исследования могут быть использованы в самых разнообразных академических, технических и технологических приложениях. В частности, проведенное исследование предсказывает явления, которые следует учитывать при изучении жидко-капельных систем естественного и искусственного происхождения. В народном хозяйстве данное исследование может найти применение в морской навигации, в практике распыления лакокрасочных и горючих материалов, в устройствах электрокаплеструйной печати, в разработке новых и усовершенствовании имеющихся конструкций: жидкометаллических источников ионов, масс-спектрометров, ионных коллоидных реактивных двигателей.

На защиту выносятся:

1. Математическая модель взаимодействия конвективных и волновых движений жидкости с электрическим зарядом, однородно распределенным по свободной поверхности слоя жидкости конечной толщины.

2. Аналитический асимптотический анализ нелинейного капиллярно-гравитационного волнового движения на поверхности слоя конечной толщины электропроводной жидкости произвольной вязкости.

3. Результаты исследования закономерностей реализации нелинейного волнового движения идеальной и вязкой жидкостей в слоях жидкости меньших и больших длинны волны.

4. Асимптотический анализ взаимодействия капиллярного волнового движения с растворимыми поверхностно-активными веществами

Апробация работы. Результаты работы опубликованы в пяти статьях. Основные результаты диссертационной работы обсуждались на:

- V Российской конференции по атмосферному электричеству (Владимир, 2003);

- всероссийской научной конференции посвященной 200-летию Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова (Ярославль, 2003);

- XXI научной конференции стран СНГ «Дисперсные системы» (Одесса, 2004);

- IX Всероссийская конференции молодых ученых «Состав атмосферы и электрические процессы» САтЭП-2005 (Борок, 2005 );

- на научных семинарах лаборатории математического моделирования физических процессов ЯрГУ им. П.Г. Демидова.

Структура и объем работы. Диссертация общим объемом 143 страницы состоит из введения, пяти глав, заключительного раздела «Результаты и выводы», списка литературы из 131 наименования, приложений и содержит 28 рисунков.

Содержание работы.

Во введении обоснованы актуальность исследуемой проблемы, цели, научная новизна и практическая ценность работы, а также сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава диссертации представляет собой литературный обзор. В первой части обзора рассматривается ретроспектива исследований линейной устойчивости, наиболее часто встречающихся заряженных жидких объектов, таких как заряженная свободная поверхность электропроводной жидкости или граница раздела двух жидких сред с различными проводимостями, заряженная струя жидкости, распадающаяся на отдельные заряженные капли и, наконец, просто заряженная капля. Кроме того, рассмотрена в линейном по амплитуде волны приближении задача определения спектра капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности идеальной бесконечно глубокой жидкости, на основании решения которой выведен критерий реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости. Отмечена необходимость учета нелинейных членов, присутствующих в полных уравнениях и граничных условиях задачи, в связи с чем, сделан вывод о необходимости теоретического исследования нелинейных периодических капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности жидкости. Во второй части обзора представлены общие сведения о нелинейных волнах на поверхности жидкости, рассмотрена задача расчета нелинейной капиллярно-гравитационной волны на свободной незаряженной поверхности жидкости в слое конечной толщины, решенная А.Х. Найфе, проведен анализ результатов нелинейных расчетов и сопоставлен с ранее существующими исследованиями. В третьей части обзора проанализированы основные физические положения, определяющие возникновение конвекции в слое вязкой неоднородно нагретой жидкости, и выведены основные уравнения, описывающие свободную конвекцию.

Во второй главе проведено аналитическое асимптотическое исследование закономерностей реализации нелинейного капиллярно-гравитационного периодического волнового движения на заряженной поверхности слоя идеальной жидкости конечной толщины. Задача решалась в предположении, что в декартовой сис-

теме координат, орт е г которой направлен противоположно ускорению силы тяжести g, идеальная несжимаемая идеально проводящая жидкость плотностью р, с коэффициентом поверхностного натяжения сг, заполняет в поле сил тяжести безграничный в горизонтальном направлении слой 0 <z<h, ограниченный снизу плоской твердой поверхностью. По поверхности слоя жидкости, находящейся в

электростатическом поле с напряженностью Е g, коллинеарном в положительном направлении оси Ох распространяется плоская бегущая волна малой амплитуды а с волновым числом к и частотой ох. t=0: £(.x,t) =а ■ cos(fcc - at) ; far « 1;

возмущающая равновесную свободную поверхность жидкости: z = h, так, что ее уравнение принимает вид: z = h + ¿;(х, t).

Целью решения задачи являлась определение аналитического выражения для поля скоростей нелинейного волнового движения жидкости, поля электрического потенциала над свободной поверхностью жидкости и профиля волны £ = г) на заряженной свободной поверхности слоя и нелинейной поправки к частоте. В результате решения задачи методом многих масштабов в безразмерных переменных, в которых а = р = g = 1, было получено выражение для поля потенциала скорости связанного с нелинейной волной:

аа> ch(kz) ... , ^ .

У к sh(kh) 2 со ch(2kz) ( к л

+а к shilkh)

cth(kh) + Q ■sm(20 + 2a2e t)-

-я3

--—— • гЛ,+ —© -виц^-а —----81п(30);

-Шк2 ■Ж(2кИ) + 2к-М(кН)-(1+к2-¡¥к)-Н(Щ ~ 32-М(кЬ)-(\+к2-1¥к)~16-М(2кИ)-(1 + 4к2-2№ку

где 0, Л,,Л2,Ч' амплитудные множители нелинейных поправок, имеющие

весьма громоздкий вид и потому не приведенные; частота СО определяется из

дисперсионного уравнения

а)2^(к+к3-Жк2)-^(кИ); \¥ = Е2/4тту[рЁа. ^-параметр Тонкса-Френкеля, характеризующий устойчивость свободной поверхности жидкости по отношению к поверхностному заряду (поверхность теряет устойчивость при IV >2 и ¿ = 1).

Как показывает анализ амплитудных множителей 0, Л1,Л2,Ч/ и О, они неограниченно нарастают при определенных соотношениях между толщиной

слоя, волновым числом и параметром W, такие состояния в теории нелинейных волн называются резонансными. Причем во всех случаях положения резонансов реализующихся во втором порядке малости определяются условием:

2-th(kh) _\+4к2 -2W к

th(2kh)~ 1 +k7-Wk ' 0)

либо условием обращения в ноль частоты волны û) = 0. Поскольку последнее условие выполняется на пороге реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля, то мы исключим его из рассмотрения. Из (1) легко видеть, что при kh= 1 левая часть равна единице и само условие реализации резонансного взаимодействия принимает вид: W = 3к. При выполнении противоположного требования: Jch ? 1, левая часть (1) стремится к двойке и условие реализации резонансного взаимодействия принимает вид: к = ф/2, т.е. положение резонанса перестает зависеть от величины параметра Тонкса-Френкеля W. Анализ показывает, что резонансный характер амплитудных множителей 0, А,, Л2 определяется резонансным видом Q, f, которые как компоненты общего вида аддитивным образом входят в выражения для коэффициентов 0, А,,Л2. Резонансов другого происхождения множители 0, Л,, Л2 не имеют. На рис. 1 приведены зависимости П = Q(h,W) при фиксированных значениях волнового числа.

к=0.3 к=0.5

Рис.1 а-б. Зависимость безразмерного множителя П при нелинейной поправке от безразмерной толщины слоя и параметра Тонкса-Френкеля \¥.

Как видно из рис.1 а-б при больших значениях произведения Юг величина С2 не зависит от ни от толщины слоя, ни от параметра Тонкса-Френкеля. Это обстоятельство является весьма важным для всей анализируемой проблемы, т.к. свидетельствует, что закономерности реализации нелинейного волнового движения в тонких и толстых слоях жидкости существенно различаются.

Амплитудный множитель поправки третьего порядка малости Ч* имеет по сравнению с амплитудным множителем поправки второго порядка малости О дополнительные резонансы, положения которых определяются условием:

З-ЩМ) = \ + 9к2-31У-к

(2)

Из (2) видно, что при кИ = 1 левая часть равна единице и само условие реализации резонансного взаимодействия принимает вид: ЦТ = 4к. При выполнении противоположного требования: кк ? 1, левая часть (1) стремится к тройке и условие реализации резонансного взаимодействия принимает вид:

Рис.1 в-г. Зависимость безразмерного множителя при нелинейной поправке от безразмерной толщины слоя и параметра Тонкса-Френкеля IV.

Зависимость коэффициента 4х от толщины слоя и от параметра Тонкса-Френкеля более сложна чем у П, но оба коэффициенты объединяет то обстоятель-

Таким образом, решение задачи расчета характеристик нелинейного капиллярно-гравитационного волнового движения на заряженной свободной поверхности слоя идеальной жидкости конечной глубины показало, что коэффициенты Л,,Л2,ЧК,0, через которые определяются профиль волны, потенциал волнового течения жидкости и потенциал электростатического поля, а также амплитудный множитель нелинейной поправки к частоте 0 имеют резонансный вид. Выяснилось, что положения внутренних нелинейных резонансов существенно зависят от толщины слоя жидкости и величины поверхностной плотности электрического заряда, причем влияние поверхностного заряда усиливается с уменьшением толщины слоя жидкости. Исследование влияния толщины слоя жидкости и наличия поверхностного заряда на профиль периодических капиллярно-гравитационных волн показало, что с уменьшением толщины слоя гребни волн становятся более пологими, а достаточно большие поверхностные плотности заряда приводят к увеличению кривизны гребней капиллярных волн.

ство, что при к > 1/ V 2 они резонансов не имеют.

Третья глава посвящена исследованию нелинейных периодических волн на заряженной поверхности слоя вязкой жидкости конечной толщены. Рассматривалась несжимаемая идеально проводящая жидкость с плотностью р, кинематической вязкостью v, коэффициентом поверхностного натяжения у заполняющая в

поле тяжести g ||— и z бесконечный в плоскости XOY слой -d < z < 0 в декартовой системе координат x,y,z с началом на невозмущенной свободной поверхно-

ста жидкости, (nz - орт оси г). Идеально электропроводная жидкость находилась

в однородном электрическом поле с напряженностью £0, вектор которого направлен вниз. По поверхности жидкости в положительном направлении оси Ох распространяется волна амплитуды а, которая принимается меньшей длины волны с волновым числом к и много меньшей капиллярной постоянной жидкости

а s л/у!PS ■ Отношение а к а определяет малый параметр задачи е. Физические

величины: р, v, у, g, d, Е0, а, к- считаются постоянными. Кроме того, принимается, что все переменные в пространстве величины не зависят от координаты у. Задача решалась методом разложения неизвестных компонент профиля свободной поверхности жидкости Е,, поля скоростей (и, 0, w), давления р, электрического потенциала Ф по степеням малого параметра 6 = {а!а}, где (X = ^(У/pg . В результате во втором приближении по амплитуде было найдено выражение для профиля волны на поверхности вязкой жидкости:

Рис.2а. Зависимости отношения мнимой и действительной частей Z¡ от вязкости для волн длиной & = 30 ст при больших значениях толщины слоя: 1). <1 = 4 Л, 2). Л ~ 0.33 Х,3).й = 0.23 X, 4). ¿-0.19 Я, 5>. й=0.17X

где Б - комплексная частота. Наиболее информативная часть полученного решения - амплитудный множитель нелинейной поправки к профилю волны (имеющей весьма громоздкий вид и потому не приведенной), которая является комплексной величиной, а его вещественная и мнимая части зависят от физических параметров задачи, в том числе от толщины слоя и вязкости жидкости. Аб солютная величина или модуль амплитудного множителя нелинейной поправки характеризует интенсивность внутреннего нелинейного взаимодействия между линейным по амплитуде а слагаемым в выражении для профиля волны и

Рис.26. Зависимости отношения мнимой и действительной частей Zt от вязкости для волн длиной к —30 cm при малых значениях толщины слоя: 1). d = 5.67 Iff2 к, 2). d = 5.17 Iff2 k,3).d^ 4.83 Iff2 k,4).d = 4.67 Iff2 к

квадратичным по а слагаемым. Были построены соответствующие зависимости отношения мнимой и действительной частей Ъ\ и абсолютной величины Ъ\ для различных длин волн и с различной толщиной слоя:

Величина отношения характеризует степень наклона профи-

ля волны по сравнению с симметричной косинусоидальной формой: если Im(Z,)/Re(Z,)<

О, то профиль наклонен по направлению движения, волны, а если rm(Z1)/Re(Zl)> О, то в противоположную сторону.

В проведенном исследовании выяснилось, что как для капиллярных, так и для гравитационных волн зависимости степени кривизны и наклона гребней волн от вязкости имеют различный вид в толстых d»Q. 1Я и тонких d<0.l Я слоях жидкости, что указывает на существование качественных различий волновых движений в тонких и толстых слоях жидкости.

Во второй части третьей главы было рассмотрено влияние нелинейного взаимодействия волн на условия зажигания огней Св. Эльма. Для этого был найден закон эволюции периодического возмущения, состоящего из двух гармони-

ческих волн в первом по амплитуде возмущения приближении с волновыми числами и к2:

£ = 003 + а)Кз С05(Щ + Ф])ехр(г/))ехр(г/^ +

+ахаг(Н • со5(0, + в2 + у/) + П• со8(0, - 02 + /?) •ехр((г, + г2)■ г);

Это выражение анализировалось при близких значениях к^ и к^. отличие к2 от характеризует немонохроматичность начального возмущения. Из него ясно, что возмущение свободной поверхности представляет собой волновой цуг. Было проведено исследование влияния нелинейного взаимодействия волн на форму огибающей рассматриваемого волнового дуга. Выяснилось, что мерой влияния взаимодействия волн на форму огибающей волнового цуга является величина параметра П Функция П = описывается весьма громоздким

аналитическим выражением и нетривиально зависит от своих аргументов, что осложняется ее анализ. Однако оказалось, что общей закономерностью является увеличение абсолютного значения П при увеличении поверхностной плотности заряда. Особенно сильно это проявляется для значений близких к величине

к = \pgiy. При этом кривизна вершины огибающей увеличивается. Проделанный анализ позволил сделать вывод о важности волновых цугов со средним значением к = 2^) на заряженной поверхности жидкости. По-видимому, на

начальной стадии развития неустойчивости заряженной поверхности жидкости, именно эти волновые пакеты отвечают за частоту пространственного распределения мест формирования эмиссионных выступов: очагов зажигания факелов огней св. Эльма.

Четвертая глава посвящена исследованию совместного влияния эффектов релаксации заряда и растворимого поверхностно-активного вещества на волновое движение на заряженной поверхности жидкости.

В первом параграфе проведен линейный анализ взаимодействия волн перераспределяющихся электрического заряда и поверхностно активного вещества. Численный анализ дисперсионного уравнения показал, что в некотором диапазоне физических параметров имеет место взаимодействие волн перераспределяющегося по поверхности жидкости заряда с волнами перераспределяющегося вследствие искривления поверхности при волновом движении поверхностно-активного вещества с формированием двух новых ветвей зарядово-концентрационных волн.

Во втором пара1рафе проанализированы закономерности влияния эффекта релаксации заряда и эффекта релаксации поверхностно-активных веществ на нелинейные периодические волны на заряженной поверхности вязкой жидкости. Получающиеся в расчетах математические выражения имеют весьма громоздкий

вид, а потому ограничим нижеследующее описание полученных результатов качественным обсуждением.

В частности в этом параграфе было выяснено, что во втором приближении по безразмерной амплитуде волн взаимодействие релаксационных волн перераспределяющегося заряда и перераспределяющегося поверхностно-активного вещества в виде аналитических зависимостей между соответствующими физическими параметрами не проявляется. Было проведено исследование зависимостей интенсивности нелинейного взаимодействия волн на заряженной поверхности жидкости от параметров задачи, характеризующих влияние релаксационных эффектов. На рис.3 в безразмерных переменных, в которых ускорение поля сил тяжести, коэффициент поверхностного натяжения и плотность жидкости приняты равными единице, приведен пример расчета зависимости параметра безразмерного А, характеризующего интенсивность нелинейного взаимодействия, от волнового числа периодической нелинейной волны при различных значениях безразмерного параметра П,, характеризующего упругость пленки ПАВ. Этот рисунок иллюстрирует важную общую закономерность, которая состоит в том, что пленка ПАВ и конечная проводимость жидкости могут влиять на формы нелинейных периодических капиллярно-гравитационных волн с волновыми числами, близкими по вели-

Рис.З Зависимости А = А(к) при Ж = 0, у = 0.02; £>5=/?СА= 10"4; 13=10"5; П2=0 построенные для: 1) 11,=-О Л; 2) П,=-0.2 3) П,=-0.3. 05-безразмерный коэффициент поверхностной диффузии ПАВ; й- безразмерный коэффициент объемной диффузии ПАВ; безразмерный коэффициент поверхностной диффузии заряда.

нелинейного взаимодействия между отдельными гармониками, формирующими нелинейную капиллярно-гравитационную волну, от упругости пленки имеет немонотонный характер. Так, из рис.3 видно, что высота пика интенсивности взаимодействия при увеличении абсолютного значения упругости пленки ПАВ сначала

уменьшается, достигает некоторого минимального значения, а затем снова начинает расти. Т.о., существует значение упругости, при котором интенсивность нелинейного взаимодействия волн минимальна. Как показывают расчеты, это значение существенно зависит от вязкости жидкости.

Расчеты показывают, что наличие пленки ПАВ приводит к увеличению резонансного волнового числа, при котором нелинейное взаимодействие волн наиболее интенсивно. Характер влияния пленки ПАВ на интенсивность нелинейного взаимодействия весьма сложным образом зависит от величины поверхностного заряда. Влияние интенсивности диффузии поверхностно-активных веществ из ^ объема жидкости к свободной поверхности на закономерности реализации волнового движения существенно слабее, чем влияние упругости их пленки на свободной поверхности жидкости и сводится к ослаблению влияния упругих свойств пленки на нелинейное взаимодействие капиллярно-гравитационных волн.

Проведенный анализ показал, что закономерности влияния эффекта релаксации заряда на нелинейные периодические волны на заряженной поверхности вязкой жидкости качественно похожи на эффекты, вызываемые наличием ПАВ. Отличие состоит в том, что место параметра, описывающего упругость пленки, замещается параметром, характеризующим удельное сопротивление жидкости.

Пятая глава посвящена исследованию взаимодействия капиллярно-гравитационных волн и конвективных движений в неоднородно нагретом слое вязкой со свободной поверхностью. Стандартными для исследования конвективных движений жидкости методами было получено дисперсионное уравнение, определяющее критические условия реализации конвективной неустойчивости. Анализ расчетов по дисперсионному уравнению показал, что условия реализации конвективной неустойчивости заметно снижаются при увеличении поверхностной плотности электрического заряда, а значения наиболее неустойчивых волновых чисел при этом увеличиваются. В результате взаимодействия капиллярно-гравитационных и конвективных движений снижаются критические условия реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости по отношению к из- I бытку электрического заряда. Примеры расчетов по приведенному дисперсионному уравнению приведены на рис.3 в виде зависимостей критического для начала реализации конвективной неустойчивости значения параметра Рэлея Я, который пропорционален градиенту температуры, от волнового числа к при различных значениях параметра г], равного отношению капиллярной постоянной к толщине пленки.

Рис.4а показывает, что увеличение поверхностной плотности электрического заряда существенно влияет на критические условия реализации конвективной неустойчивости. Видно, что с ростом поверхностной плотности электрического заряда уменьшается критическое значение параметра Рэлея, выше которого

Л 1 Т,2=5 | --Г^

п _/ ^ч2^.;.....** ** | ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ г

/ ✓ Т12=0

л2=0.13 ; 1 ....... [ .

О 1 2 к

Рис. 4а. Критическое значение параметра Рэлея в зависимости от волнового числа волнового возмущения при ц = 0.01, IV =

развивается неустойчивость и увеличивается значения волнового числа, наиболее неустойчивой волны (эти значения волновых чисел определяется положением минимумов на рассматриваемых зависимостях).

Здесь R = gPAh*|vx - параметр Рэлея; А - параметр, характеризующий У7"0 = -е2 дгТа = ~Аег\ g - ускорение свободного падения; Р- коэффициент теплового расширения (Р = ~(др! дТ)р1 р0); Ь - толщина жидкого слоя в равновесном состоянии; V - коэффициент кинематической вязкости жидкости; %-коэффициент температуропроводности жидкости; параметр т) определен как: г] = а/к, а = - капиллярная постоянная жидкости.

Из рис.4 видно, что при Ж = 2 критическое значение градиента температуры, пропорционального критическому значению параметра Рэлея обращается в ноль для всех зависимостей с т] * 0. Причем, оказалось, что для каждой из зависимостей наиболее неустойчивое безразмерное волновое число (положение минимума) определяется из условия Агг| = 1. Для размерного волнового числа это условие будет иметь вид акразмер -1, где а - капиллярная постоянная. Но W = 2 соответствует критическому значению поверхностной плотности электрического заряда,

1000

500

1 - . - 1 -1 ИГ=2 ■ П2=5

--------- / Т1=2 ' / / ! / о» *

/ / п2=0

/ /

_1_

л/5 л/2

Рис.4б. Критическое значение параметра Рэлея в зависимости от волнового числа волнового возмущения при ц = 0.01, № = 2.

выше которого развивается неустойчивость заряженной поверхности жидкости по отношению к избытку электрического заряда, - электрогидродинамическая неустойчивость. Это означает, что на пороге реализации такой неустойчивости конвективная неустойчивость может начать развиваться при весьма незначительной разности температур между дном и свободной поверхностью. Сам эффект существенно зависит от толщины слоя жидкости.

Проведенное исследование показало, что условия реализации конвективной неустойчивости заметно снижаются при увеличении поверхностной плотности электрического заряда, а значения наиболее неустойчивых волновых чисел при этом увеличиваются. В результате взаимодействия капиллярно-гравитационных и конвективных движений снижаются критические условия реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости по отношению к избытку электрического заряда.

Результаты и выводы.

1. Впервые в аналитической асимптотической процедуре на основании исследования взаимодействия конвективных течений жидкости в слое вязкой несжи-

маемой неоднородно нагретой теплопроводной жидкости конечной толщины и нелинейных капиллярно-гравитационных волн на ее заряженной поверхности показано, что наличие на свободной поверхности жидкости электрического заряда снижает критические условия возникновения конвективного движения жидкости: конвекция возникает при меньших значениях вертикального градиента температуры; качественный ход зависимости величины критического для возникновения конвективного движения параметра Рэлея от волнового числа различен в тонких и толстых слоях жидкости; сам эффект немонотонно зависит от толщины слоя жидкости и величины поверхностной плотности электрического заряда. Для волн с величиной безразмерного волнового числа к = (0.1З)-"2 и критической для реализации неустойчивости свободной поверхности жидкости по отношению к собственному заряду величине параметра Тонкса-Френкеля конвективная неустойчивость возникает при равной нулю величине параметра Релея.

2. В результате аналитических асимптотических расчетов физических характеристик нелинейной периодической капиллярно-гравитационной волны на однородно заряженной свободной поверхности идеальной жидкости конечной глубины установлено, что в тонких (с толщиной меньшей длины волны) слоях жидкости появляется зависимость резонансного значения волнового числа от величины поверхностной плотности электрического заряда, тогда как в толстых (много больших длины волны) слоях жидкости такой феномен отсутствует.

3. В асимптотических расчет?ч физических характеристик нелинейной периодической капиллярно-гравитационной волны на однородно заряженной свободной поверхности вязкой несжимаемой жидкости конечной глубины показано, что вид зависимости от вязкости жидкости и толщины ее слоя нелинейной поправки к линейному решению при переходе от толстых слоев жидкости к тонким качественно изменяется. В качестве характерного линейного масштаба этого феномена выступает длина волны.

4. Аналитические расчеты показали, что на заряженной свободной поверхности жидкости, покрытой пленкой поверхностно-активного вещества, уже тепловое капиллярное волновое движение весьма малой амплитуды вызывает появление волн перераспределяющегося заряда (выравнивающих электрический потенциал) и волн поверхностно-активного вещества (выравнивающих концентрацию поверхностно-активного вещества). Из численного анализа дисперсионного уравнения следует, что в некотором диапазоне физических параметров имеет место взаимодействие волн перераспределяющегося заряда с волнами перераспределяющегося поверхностно-активного вещества с формированием двух новых ветвей зарядово-концентрационных волн.

5. В результате проведенного исследования установлено, что влияние интенсивности диффузии поверхностно-активных веществ из объема жидкости к свободной поверхности на закономерности реализации волнового движения существенно слабее, чем влияние упругости их пленки на свободной поверхности жидкости и сводится к ослаблению влияния упругих свойств пленки на нелинейное взаимодействие капиллярно-гравитационных волн.

6. На основании исследования совместного влияния эффектов релаксации поверхностно-активного вещества и релаксации электрического заряда на периодическое волновое движение конечной амплитуды на заряженной поверхности вязкой жидкости показано, что оба эффекта существенно влияют на интенсивность внутреннего нелинейного взаимодействия волн на заряженной поверхности реальной жидкости и на положения самих резонансов.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Белоножко Д. Ф., Санасарян С.А. Нелинейные волны в растворах поверхностно-активных веществ // Материалы Всероссийской научной конференции, посвященной 200-летию Ярославского Государственного университета им. П.Г. Демидова. Ярославль. 2003. С.57-60.

2. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Курочкина С.А., Санасарян С.А. Нелинейные периодические волны на заряженной поверхности вязкой электропроводной жидкости // Электронная обработка материалов. 2004. №2. С.27-31.

3. Белоножко Д.Ф., Санасарян С.А., Голованов A.C.. Роль нелинейного взаимодействия волн в формировании условий зажигания огней св. Эльма. // Состав атмосферы и электрические процессы. IX Всероссийская конференция молодых ученых. Тезисы докладов. Борок. 2005. С.47.

4. Санасарян С.А., Белоножко Д.Ф. Влияние релаксационных эффектов на нелинейные волны на заряженной поверхности жидкости // Сб. тр. молодых ученых, аспирантов и студентов: «Актуальные проблемы физики». №5. Ярославль: Изд : ЯрГУ им. П.Г. Демидова. 2005. С.263-270.

5. Курочкина С.А., Григорьев А.И., Санасарян С.А. Нелинейные поправки к форме и частоте волн на заряженной поверхности слоя идеальной жидкости // Электронная обработка материалов. 2005. №5. С.34-42.

6. Климов A.B., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Санасарян С.А. Нелинейные капиллярно-гравитационные волны на поверхности слоя вязкой жидкости // Электронная обработка материалов. 2005. №5. С.24-33.

7. Белоножко Д.Ф., Санасарян С.А. Линейный анализ взаимодействия волн перераспределяющихся электрического заряда и поверхностно активных веществ II Объединенный научный журнал. 2005. №19. С.89-91.

8. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Санасарян С.А. Аналитический расчет конвективных движений в слое вязкой жидкости с заряженной свободной поверхностью // Препринт №33. ИМИ РАН. Ярославль. 2005. 20 с.

Формат 60x90/32. Бумага белая. Условных печатных листов 1.0. Тираж 100 экз. Печать трафаретная. Заказ №44.

jZöOGJV

P- 1665

i I

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Санасарян, Сурен Аветисович

Введение.

Глава 1. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ НА ЗАРЯЖЕННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ И ЕЕ УСТОЙЧИВОСТЬ

1.1. Ретроспектива исследований линейной устойчивости заряженной поверхности жидкости

1.1.1. Заряженная капля

1.1.2. Струя

1.1.3. Заряженная плоская поверхность жидкости 19 | 1.1.4. Задача Френкеля

1.2. Нелинейные волны на поверхности жидкости

1.2.1. Общие сведения

1.2.2. Задача расчета параметров нелинейной капиллярно-гравитационной волны на свободной поверхности жидкости в слое конечной толщины

1.2.3. Анализ результатов нелинейных расчетов

1.3. Конвективные движения жидкости

Глава 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ НА ЗАРЯЖЕННОЙ

ПОВЕРХНОСТИ СЛОЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ ' КОНЕЧНОЙ

ТОЛЩИНЫ

Глава 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ НА ЗАРЯЖЕННОЙ ПОВЕРХНОСТИ СЛОЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ

3.1. Аналитический асимптотический расчет нелинейных волн на заряженной поверхности электропроводного слоя вязкой несжимаемой жидкости

3.2. Влияние нелинейного взаимодействия волн на условия зажигания огней св. Эльма

Глава 4. ВЛИЯНИЕ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ЭФФЕКТОВ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ НА ЗАРЯЖЕННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ

4.1. Линейный анализ взаимодействия релаксационных волн электрического заряда и поверхностно активных веществ

4.2. Релаксационные эффекты и нелинейные волны на заряженной поверхности жидкости

Глава 5. Исследование взаимодействия электрокапиллярно-гравитационных и конвективных движений в подогреваемом снизу жидком слое со свободной поверхностью

Введение диссертация по физике, на тему "Конвективные и волновые движения в поверхностно заряженных слоях жидкости конечной толщины"

Актуальность темы. Конвективная неустойчивость слоев жидкости, при наличии в ней градиентов температуры, а также неустойчивость ее заряженной жидкости являются актуальными в связи с многочисленными приложениями в физике, геофизике, технике и технологии. Первые исследования указанных феноменов относятся к позапрошлому веку, и в настоящее времени интерес к проблеме только увеличивается. В то же время большая часть проведенных теоретических исследований, направленных на изучение неустойчивости заряженной поверхности жидкости, выполнена в линейном приближет нии по амплитуде возмущения свободной поверхности. В последние годы был опубликован ряд работ, связанных с исследованием нелинейных периодических волн на заряженной поверхности бесконечно глубокой жидкости, но никто еще не анализировал возможное взаимодействие периодического волнового движения в слоях жидкости в конечной толщины с конвективным движением, возникающих при неоднородном по высоте распределении температуры жидкости, хотя и волновое и конвективное движения характеризуются определенной периодичностью.

4 изучении природных явлений, таких как грозовое электричество, волны в океане и огни Св.Эльма (появляются как результат коронного разряда с поверхности капель воды, осевших на высоких предметах). Особое место среди известных видов неустойчивости заряженной свободной поверхности жидкости при наличии усложняющих факторов (неустойчивости Тейлора, Фейра, Кельвина-Гельмгольца, Марангони) занимает неустойчивость Тонкса-Френкеля, и, несмотря на устойчивый многолетний интерес к этому феномену, большинство посвященных ему теоретических исследований проведено в рамках физико-математических моделей, линейных по весьма малой амплитуде волновой деформации свободной поверхности, которая генерируется уже тепловым движением молекул жидкости. Влияние глубины слоя жидкости на характер волнового движения и закономерности реализации неустойчивости поверхности жидкости относительно хорошо изучено в приближении „мелкой воды", и исследование нелинейных волн сводится к выводу нелинейных уравнений, имеющих солитонные решения. Такой подход к изучению нелинейных волн ограничивает взгляд на проблему.

Сходная ситуация сложилась и по отношению к вопросу учета вязкости в задачах о периодических волнах на заряженной поверхности жидкости и о влиянии поверхностно-активных веществ. Механизм реализации неустойчивости плоской однородно заряженной плоской поверхности жидкости бесконечной или конечной глубины с учетом ее реальных физико-химических свойств в линейном приближении изучен достаточно подробно. Но исследования нелинейных волн на заряженной поверхности слоя вязкой жидкости малой толщины в большинстве работ выполнены в приближении „мелкой воды". Упрощения системы гидродинамических уравнений, применяемые в рамках данной модели, не всегда обоснованы, причем значительная часть данных работ направлена на поиск солитонных решений. В последние годы появились работы, позволяющие корректно учитывать влияние вязкости на нелинейные волновые процессы. Получены строгие решения, определяющие профиль нелинейной периодической капиллярно-гравитационной волны, распространяющейся по заряженной поверхности глубокой жидкости произвольной вязкости.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

-исследовано влияние вязкости и толщины слоя жидкости на характер взаимодействия конвективных и волновых движений;

- исследовано влияние поверхностно активных физические веществ на закономерности нелинейного капиллярного волнового движения.

Научная новизна работы состоит в том, что

- впервые аналитическим асимптотическим путем детально исследовано взаимодействие конвективного волнового движения жидкости с периодическими капиллярно-гравитационными волнами конечной амплитуды на заряженной свободной поверхности слоя жидкости конечной толщины

- впервые аналитическим асимптотическим путем детально исследованы нелинейные капиллярно-гравитационные волны на заряженной свободной поверхности слоя идеальной жидкости конечной толщины;

- впервые в строгой аналитической процедуре - впервые аналитическим асимптотическим путем детально исследованы нелинейные капиллярно-гравитационные волны на заряженной свободной поверхности слоя вязкой жидкости конечной толщины;

- аналитически исследованы общие закономерности влияния поверхностно-активных веществ на нелинейное волновое движение вязкой жидкости.

Научная и практическая ценность состоит в том, что полученные результаты существенно расширяют фундаментальные представления о явлениях, имеющих место в реальных металлургических и магнито - и электрогидродинамических устройствах. Проведенный анализ нелинейных волн на заряженной поверхности жидкости, критических условий возникновения конвективного волнового движения жидкости вносит вклад в теорию грозового электричества, в исследование распространения волн в океане, в изучение явления «огней Св.Эльма» и способствует лучшему пониманию реализующихся физических процессов. Результаты исследования могут быть использованы в самых разнообразных академических, технических и технологических приложениях. В частности, проведенное исследование предсказывает явления, которые следует учитывать при исследовании жидко-капельных систем естественного и искусственного происхождения. В народном хозяйстве данное исследование может найти применение в морской навигации, в практике распыления лакокрасочных и горючих материалов, в устройствах электрокаплеструйной печати, в разработке новых и усовершенствовании имеющихся конструкций: жидкометалли-ческих источников ионов, масс-спектрометров, ионных коллоидных реактивных двигателей.

На защиту выносятся:

3. Анализ закономерностей реализации нелинейного волнового движения идеальной и вязкой жидкостей в слоях жидкости меньших и больших длинны волны.

4. Асимптотический анализ - взаимодействия капиллярного волнового движения с поверхностно-активными веществами

- V Российской конференции по атмосферному электричеству (Владимир, 2003);

- всероссийской научной конференции посвященной 200-летию Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова (Ярославль,

2003);

- XXI научной конференции стран СНГ «Дисперсные системы» (Одесса,

2004);