Нелинейные периодические волны в тонких поверхностно заряженных слоях жидкости. Роль испарения и диссипации

Курочкина, Светлана Алексеевна

Нелинейные периодические волны в тонких поверхностно заряженных слоях жидкости. Роль испарения и диссипации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

Курочкина, Светлана Алексеевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Ярославль МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.14 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Нелинейные периодические волны в тонких поверхностно заряженных слоях жидкости. Роль испарения и диссипации»

Автореферат диссертации на тему "Нелинейные периодические волны в тонких поверхностно заряженных слоях жидкости. Роль испарения и диссипации"

На правах рукописи

КУРОЧКИНА Светлана Алексеевна

НЕЛИНЕЙНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В ТОНКИХ ПОВЕРХНОСТНО ЗАРЯЖЕННЫХ СЛОЯХ ЖИДКОСТИ. РОЛЬ ИСПАРЕНИЯ И ДИССИПАЦИИ.

01.04.14. - Теплофизика и теоретическая теплотехника

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2004

Работа выполнена в Ярославском государственном университете им. П. Г. Демидова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Ширяева С. О.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Дадиванян А. К.

доктор физико-математических наук, профессор Алиев И. Н.

Ведущая организация: Ярославский государственный

технический университет.

Защита диссертации состоится « 3 »^¿^¿^-¿рЛ 2004 года в /У^часов на заседании диссертационного Совета Д 212.155.07 в Московском государственном областном университете по адресу: 107005, Москва, ул. Радио, дом 10а.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Московского государственного областного университета.

Автореферат разослан « 3 »

2004 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета доктор физ.-мат. наук, профессор

Богданов Д. Л.

2,005-4

Актуальность темы. Исследование устойчивости интенсивно испаряющейся поверхности жидкости имеющей конечную глубину является актуальным для различных разделов технической физики, геофизики, техники и технологии. С этим феноменом приходится сталкиваться в различного вида теплообменниках; конденсаторах холодильных машин и ректификаторах АЭС и ТЭС; в абсорберах бромисто-литиевых холодильных машин, производстве кислот и очищающих фильтрах; в испарителях при опреснении морской воды, производстве йода, брома и капролактама; в электролизерах в амальгамной металлургии, производстве редкоземельных металлов, щелочей и хлора; в кристаллизаторах при производстве льда, парафина и стеариновой кислоты; в струйно-пленочных аппаратах при химическом фрезеровании и закалке металлов; в топках с жидким шлакоудалением; в паровых котлах с кольцевым режимом течения в парогенерирующем канале.

Первые исследования волнового течения в тонких слоях жидкости относятся к середине прошлого века, и до настоящего времени интерес к проблеме не угасает. Особое внимание уделяется изучению устойчивости волнового движения на свободной поверхности жидкости по отношению к поверхностному заряду, что представляет значительный интерес, как для теории грозового электричества, так и для теории магнитогидродинамического преобразования энергии. Большая часть проведенных ранее теоретических изысканий, направленных на изучение неустойчивости заряженной поверхности жидкости, выполнена лишь в линейном приближении по амплитуде возмущения свободной поверхности. В последние годы был опубликован ряд работ, в которых рассматриваются нелинейные периодические волны на заряженной поверхности бесконечно глубокой жидкости.

Влияние глубины жидкости на характер волнового движения в ней и закономерности реализации неустойчивости ее свободной поверхности достаточно хорошо изучено на основе модели капиллярно-гравитационных волн на незаряженной свободной поверхности, однако, большинство работ выполнено в приближении „мелкой воды", и исследование нелинейных волн сводится к выводу нелинейных уравнений, имеющих солитонные решения. Такой подход к изучению нелинейных волн ограничивает взгляд на проблему, в частности, солитон-ное решение не дает поправок к частоте волны, о наличии которых свидетельствуют решения для бесконечно глубокой жидкости.

Аналогичная ситуация сложилась и в вопросе учета вязкости в задачах о периодических волнах на заряженной поверхности жидкости. Механизм реализации неустойчивости плоской однородно заряженной поверхности жидкости бесконечной или конечной глубины с учетом ее реальных физико-химических свойств в линейном приближении изучен достаточно подробно. А исследования нелинейных волн на заряженной поверхности слоя вязкой жидкости в большинстве работ выполнены в приближении „мелкой воды". Упрощения системы гидродинамических уравнений, применяемые в рамках данной модели, не всегда обоснованы, причем значительная часть данных работ направлена на поиск со-литонных решений. В последние годы появились работы^позволяющие корректно учитывать влияние вязкости на

чены строгие решения, определяющие профиль нелинейной периодической капиллярно-гравитационной волны, распространяющейся по заряженной поверхности глубокой жидкости произвольной вязкости.

Таким образом, несмотря на столь разностороннее исследование закономерностей формирования и неустойчивости гравитационно-капиллярных волновых движений, влияние глубины как в случае идеальной, так и в случае вязкой жидкости на распространение нелинейных волн по однородно заряженной поверхности слоя жидкости конечной толщины и на критические условия нестабильности волновых процессов практически не исследовано. Также остается открытым вопрос о влиянии вязкой диссипации на поведение периодических волн и на закономерности реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля.

Цель работы состояла в исследовании поведения периодических волн на поверхности интенсивно испаряющихся тонких слоев жидкости, закономерностей реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля и оценке роли диссипации, связанной с вязкостью и глубиной жидкости, на волновое движение и критические условия возникновения нестабильности.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

- построена математическая модель распространения нелинейных капиллярно-гравитационных волн на заряженной свободной поверхности интенсивно испаряющегося тонкого слоя идеальной жидкости;

- проведен расчет профиля нелинейных волн на поверхности идеальной жидкости и исследовано влияние глубины и поверхностной плотности заряда на их формирование;

- исследовано влияние интенсивного испарения жидкости со свободной поверхностью плоского слоя конечной глубины на закономерности реализации нелинейного периодического волнового движения;

- аналитически исследованы условия реализации неустойчивости заряженной поверхности маловязкой жидкости в линейном приближении по амплитуде возмущения;

- получено корректное выражение для профиля нелинейной капиллярно -гравитационной волны на поверхности однородно заряженного слоя жидкости произвольной вязкости;

- исследовано влияние вязкости и глубины жидкости на характер волнового движения.

Научная новизна работы состоит в том, что

- впервые построена математическая модель распространения нелинейных волн на заряженной поверхности интенсивно испаряющегося слоя идеальной жидкости конечной глубины, которая позволила получить нелинейную по амплитуде волны поправку к частоте этих волн;

- показано, что профили периодических капиллярно-гравитационных волн на поверхности однородно заряженного тонкого слоя идеальной несжимаемой электропроводной жидкости не являются стационарными, что объясняется наличием нелинейной поправки к частоте;

- впервые в строгой аналитической процедуре получено выражение для профиля нелинейной периодической капиллярно-гравитационной волны, распространяющейся по поверхности жидкости произвольной вязкости, которое пригодно для жидких слоев любой толщины;

- показано, что вязкость жидкости приводит к смещению положений внутренних нелинейных резонансов и к более быстрому затуханию нелинейных поправок к линейным компонентам решений, не сказываясь, однако, на критических условиях реализации неустойчивости по отношению к поверхностному заряду.

Научная и практическая ценность заключается в том, что проведенные исследования позволяют лучше понять физическую природу явлений, связанных с диспергированием жидкости под влиянием электрического поля. Оценка роли диссипации, связанной с вязкостью и глубиной жидкости на распространение капиллярно-гравитационных волн по заряженной поверхности и критические условия реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля вносит вклад в теорию грозового электричестваи магнитогидродинамического преобразования энергии, изучение феномена «огней Св. Эльма».

Полученные результаты также представляют интерес для многочисленных приложений рассматриваемых явлений в различных разделах технической физики и технологии. В частности, это относится к проблеме поиска новых перспективных методов, связанных с электростатическим диспергированием лакокрасочных материалов, горючего и инсектицидов, при проектировании жидко-металлических источников ионов. В последнее время интерес к явлению электрогидродинамической неустойчивости свободной поверхности жидкости слоев связан с разработкой новых средств масс-спектрометрического анализа нелетучих и органических веществ, реактивной космической техники, химической технологии, элекрокаплеструйной печати.

На защиту выносятся:

1. Математическая модель распространения нелинейных капиллярно-гравитационных волн на заряженной свободной поверхности интенсивно испаряющегося тонкого слоя идеальной жидкости.

2. Расчет профиля волн и анализ волнового движения на поверхности жидкости в рамках построенной модели.

3. Исследование влияния интенсивного испарения жидкости со свободной поверхностью плоского слоя конечной глубины на закономерности реализации нелинейного периодического волнового движения.

4. Расчет спектра капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности тонкой пленки маловязкой жидкости и оценка влияния глубины и вязкости жидкости на критические условия реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля.

5. Математическая модель распространения нелинейных волн на поверхности интенсивно испаряющегося слоя электропроводной жидкости произвольной вязкости.

6. Исследование влияния вязкости на профиль волны, распространяющейся по поверхности несжимаемой однородно заряженной жидкости конечной глубины.

Апробация работы. Результаты работы опубликованы в пяти журнальных статьях и в тезисах шести докладов. Основные результаты работы обсуждались на:

- международной конференции молодых ученых «Молодая наука» (Иваново, 2001);

- III областной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ярославский край. Наше общество в третьем тысячелетии» (Ярославль, 2002);

- XX и XXI научных конференциях стран СНГ «Дисперсионные системы» (Одесса, 2002,2004);

- V Российской конференции по атмосферному электричеству (Владимир,

2003);

- всероссийской научной конференции посвященной 200-летию Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова (Ярославль, 2003).

Структура и объем работы. Диссертация общим объемом 184 страницы состоит из введения, четырех глав, заключительного раздела «Результаты и выводы», списка литературы из 169 наименований, четырех приложений и содержит 24 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

ВО ВВЕДЕНИИ обоснованы актуальность исследуемой проблемы, цели, научная новизна и практическая ценность работы, а также сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

ПЕРВАЯ ГЛАВА диссертации представляет собой литературный обзор. В первой части обзора рассматриваются особенности экспериментального и теоретического исследования устойчивости волновых течений горизонтальных и наклонных тонких слоев жидкости, находящихся в гравитационном и электрическом полях. Показано, что большая часть корректных результатов, полученных в данной области, относится к задачам первого порядка малости по амплитуде осцилляции свободной поверхности, решенным в приближении идеальной жидкости. Немногочисленные корректно решенные задачи о нелинейных периодических капиллярно-гравитационных волнах: волнах Стокса, волнах Герст-нера, также выполнены в приближении идеальной жидкости. А учет вязкости в задачах о расчете движения жидкости со свободной поверхностью до недавнего времени был корректно проведен лишь в линейном приближении по амплитуде. Во второй части основной акцент сделан на обоснование возможности строго учета вязкости в задачах о нелинейных капиллярно-гравитационных волнах и на

отыскании строгого решения задачи о нелинейных периодических волнах на заряженной свободной поверхности слоя вязкой жидкости конечной глубины без введения дополнительного требования малости толщины слоя по сравнению с длиной волны. Приведен анализ существующих методов учета вязкости в задачах о нелинейных колебаниях свободной заряженной поверхности жидкости, а также рассмотрены задачи из смежных областей, в которых реализуются идеи и алгоритмы, дающие строгое решение интересующей задачи и допускающие непрерывный предельный переход к тонким слоям.

ВТОРАЯ ГЛАВА посвящена теоретическому моделированию нелинейных периодических волн на заряженной интенсивно испаряющейся поверхности тонкого слоя идеальной жидкости. Рассуждения проводились для упрощенной физической модели, в которой рассматривалась идеальная несжимаемая жидкость с плотностью р, с коэффициентом поверхностного натяжения О"0, заполняющая в поле сил тяжести бесконечный в горизонтальном направлении слой в декартовой системе координат, орт которой направлен противоположно ускорению силы тяжести Жидкость - идеально электропроводная и находится в электростатическом поле с напряженностью . Температура жидкости принимается такой, чтобы на свободной поверхности шло интенсивное испарение. В итоге кроме сил лапласовского давления Ра и давления электростатического поля поверхностного заряда имеет место, в силу реактивного эффекта, давление испаряющегося пара которое в соответствии с классическими представлениями зависит от средней кривизны поверхности:

Рг = Р„-ехр(2м<г0/Р^Тг)>

где - газовая постоянная; - молекулярный вес пара; - плотность пара; Р^ - давление насыщенного пара на бесконечности; Г - средний радиус кривизны поверхности в данной точке, определяемый равенством

Предполагается, что по поверхности слоя жидкости в положительном направлении оси Ох распространяется плоская бегущая волна малой амплитуды а с волновым числом к. Математическая модель однородна по координате у и, следовательно, все переменные в задаче зависят только от координат и времени А все физические параметры жидкости и окружающей ее среды — - считаются постоянными величинами.

Целью решения задачи являлось определение аналитического выражения для профиля нелинейной бегущей волны на заряженной свободной

поверхности слоя идеальной жидкости конечной глубины в четвертом порядке малости по амплитуде, которая считается малой по сравнению с длиной волны, и нелинейной поправки к частоте, не изменяющейся во времени. В результате

методом разложения неизвестных величин по малой амплитуде волнового возмущения а и методом многих масштабов теории возмущений было получено выражение для £

+ 2 а2 Q • Cos [20 + 2Хг, • a 2t]+ 2 а1, • Cos [!W], где частота СО определяется из дисперсионного выражения

бй2=[к + кг -Wk2)-Th[kh0l a W = 4я%2¡-Jpg&o ~ безразмерный параметр Тонкса-Френкеля, характеризующий устойчивость свободной поверхности жидкости по отношению к поверхностному заряду. Безразмерные амплитудные коэффициенты в слагаемых второго и третьего порядка малости определяются выражениями:

к2 ■Th[2khQ] + 2k-Th[khQ]-{\+k2 к)-~ 3 2-Th[kh0]-[l+k2-Wk)-

■(-3Th[2kh0] + (Cth[kh~])2 -Th[2kh0] + 4Cth[kh0]) -l6-Th[2khJ\l + 4k2-2Wk) '

^33 = (a2 к • Cth [3 к h 0] • (- 3 к ■ Cth [2 к h 0] • Cth [k h 0] +12 Я • Cth [2 к A0] +

- + П 8

H Л1ГИ l ЛЛ r\ , IWk* , 1ЛИГ/ ,i.

+—о)'к-СЛ[кЬ0]-14к(оП+~ + +101¥к3П + 4 44

+ 4 <у2 к П • СЛ [2 к А 0] • ОА [к А 0] - <и4 к2- (Ой [к к 0])2-ОА [2 Л: А 0])/ (12ю2-ОА[3*:А0]-4£-36*3+12ЖА:2),

безразмерный множитель Х3] нелинейной поправки к частоте задан равенством:

'к

Хъх=&к-СЛ[кк0Ц-■Cth[2kh0]-Cth[kh0]-Q-Cth[2kh0]-

-n-Cth[kh0]-j~^-Cth[kh0]-~Cth[kh0])+

2еа + кй)

i+3ny^.(i-(cth[kK])2)+

^■Cth[kh0]-n)-Cth[2kh0]-Cth[kh0]-

Полученное выражение для профиля нелинейной волны £ в пределе при А0—>оо совпадает с решением для бесконечно глубокой жидкости, а при IV —>0 переходит в выражение для профиля нелинейной капиллярно-гравитационной волны на незаряженной поверхности слоя идеальной жидкости конечной толщины. Несмотря на то, что выражение для £ применимо в широком диапазоне волновых чисел, амплитудные множители П и ^^ неограниченно нарастают, когда

п-Тк[кк0]-(\ + к2-1¥к)-Щпкк0]-(1 + п2к2-пПгк) = О,

£2 имеет резонанс при п= 2, а Ч^з — два резонанса при п~2 и 3. Это означает, что применимость полученного выражения для профиля нелинейной волны ограничена в окрестности волновых чисел определяемых из данного уравнения, так как амплитудные коэффициенты должны быть малыми поправками к величинам первого порядка малости. Положения внутренних нелинейных резо-нансов во взаимодействии гравитационных и капиллярных волн существенно зависят от толщины слоя жидкости и величины поверхностного заряда, причем влияние поверхностного заряда усиливается с уменьшением толщины слоя жидкости.

Анализ приведенного выше выражения для показал, что профиль волны не является стационарным, это объясняется наличием нелинейной добавки к частоте

а2 -Х^. Говорить о стационарном профиле можно только в том случае, если ограничить расчеты вторым порядком малости, так как уже при решении задачи в третьем порядке нелинейная поправка появится в

линейном по амплитуде слагаемом, а при решении в четвертом - и в квадратичном. Поправка к частоте колебаний компоненты

Рис 1а Зависимость безразмерного множителя при нелинейной поправке к частоте колебаний от безразмерного волнового числа к и параметра Тонкса-Френкеля W при глубине жидкого слоя Й0=1.

£ третьего порядка малости будет модифицировать это слагаемое на величину

порядка 0(а5), а так как в данную задачу не входит учет величин такого порядка, то в кубическое по малому параметру слагаемое входит невозмущенный аргумент 9.

Нелинейная поправка к частоте а2 • Х31, также как и амплитудные множители П и ¥33, имеет резонансный вид. Безразмерный коэффициент Х31, аналогично будет резонансно нарастать в окрестности волновых чисел, определяемых из уравнения

Л гот,\ ТТ.Г..Г, Л 1 /1 , „2.2

п-Тк[ккй)-{\ + кг-¥к)-Щпкк0]-(\ + п1к2-иЖ£) = 0

при п — 1. Для бесконечно глубокой жидкости нелинейная добавка к частоте, пропорциональная квадрату амплитуды, имеет резонанс при к2—^ — . Из рисунков 1а. — 1Ь., на которых представлены графики зависимости X 31=Х3[(Ж,к) при к 0= 1 и 5, видно, что для жидкости конечной толщины резонансное нарастание Х31 при различных значениях параметра Тонк-са-Френкеля Ж и безразмерной глубины слоя жидкости соответствует различным значениям волнового числа к. Причем с увеличением глубины жидкости резонансное нарастание при различных значениях будет определяться более узким диапазоном волновых чисел.

Критические условия реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля определяются из условий равенства нулю квадрата частоты

Рис. 1Ь. Зависимость безразмерного множителя при нелинейной поправке к частоте колебаний от безразмерного волнового числа к и параметра Тонкса-Френкеля \¥ при глубине жвдкого слоя

колебаний СО и первой производной от частоты по да

волновому числу-. При решении задачи в линейном приближении для бес-

дк

конечно глубокой жидкости и тонкого слоя, когда принимается

значительно меньше единицы, критические значения равны, соответст-

венно, 2 и 1. Для жидкости конечной глубины, при к h 0~ 1, критические условия реализации неустойчивости будут определяться из равенства

(\ + 3k2-2W.k)-Th[kh0]+kh0-{l+k2-Wk)-Cth[kh0] (

2-j(k + k3-Wk2)-Th[kh0] Тогда для критического значения параметра Тонкса-Френкеля имеем _{l+3k2)-Th[kh0]+kh0-{l + k2)-Qh[kh0]

1 = 0.

W = -

2k-Th[kh0] + k2 h^Cthikh,]

а критическое значение волнового числа к (исключая решение к=0, соответствующее невозмущенной поверхности жидкости) находится из уравнения

(3 + 5к2)-Тк2[кИ0] + 2к110-{1 + к2)_0 22%2[Лй0]+*А0

На рисунках 2 а. - 2 ё. представлены профили нелинейных волн на заряженной поверхности слоя жидкости конечной глубины (кривая 2) в сравнении с профилями волн на незаряженной поверхности (кривая 1). Из данных графиков видно, что наличие поверхностного заряда изменяет вид кривых, описывающих возмущение свободной поверхности. В области длинных волн они имеют притуплённые вершины, а в области коротких - заостренные. Достаточно большие поверхностные плотности заряда приводят к увеличению кривизны гребней капиллярных волн. Также на профиле периодических капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности жидкости сказывается и конечность толщины слоя, с уменьшением которой гребни волн становятся более пологими.

Рис. 2а.

Рис. 2Ь.

Профили волн, рассчитанные, при IV = 0; 0.5 (линии 1 и 2, соответственно), к ~ 0.5 для й0= 1 (Рис. 2а) и Л0= 5 (Рис. 2Ь).

Рис. 2с. Рис. 2с1.

Профили волн, рассчитанные при IV = 0", 1.2 (линии 1 и 2, соответственно), к = 0.9 для А 0= 1 (Рис. 2с) и й0= 5 (Рис. 2<1).

Также в ходе решения задачи о расчете нелинейного периодического волнового движения в слое идеальной поверхностно однородно заряженной несжимаемой электропроводной жидкости на плоском твердом дне, выяснилось, что влияние испарения жидкости со свободной поверхности плоского слоя конечной глубины на закономерности реализации нелинейного периодического волнового движения при температурах много меньших критических весьма слабо и сводится к незначительному (на доли процента) смещению положений внутренних нелинейных резонансов, критической величины параметра Тонкса-Френкеля и волнового числа наиболее неустойчивой волны.

ТРЕТЬЯ ГЛАВА включает в себя расчет спектра капиллярных волн на поверхности испаряющейся тонкой пленки маловязкой жидкости путем разделения поля скоростей V =■¥(?,{) на две компоненты: потенциальную (с потенциалом скоростей и вихревую (описываемую функцией тока и исследование особенностей реализации неустойчивости по отношению к поверхностному заряду. Рассматривая тонкий слой идеально проводящей несжимаемой жидкости толщины плотности вязкости с коэффициентом поверхностного натяжения поверхностной плотностью заряда в поле силы тяжести и электрическом поле, свободная невозмущенная поверхность которой совпадает с плоскостью декартовой системы координат, где ось направлена вертикально вверх, получаем в приближении тонкого слоя дисперсионное уравнение

а1 +41укгй)-а)о =0.

где - частота капиллярно-гравитационных волн на поверхности идеальной жидкости:

й)20=[к + къ-\¥к2\кк

Решениями дисперсионного уравнения для маловязкой жидкости являются

где р — -2vk2 - декремент затухания. Из приведенных равенств следует, что выражение для бегущей волны имеет вид:

^-а •Exp [ikx]- Exp [-2 vk2t]- Exp [±/&>0 i].

Декремент для волн в тонком слое маловязкой жидкости в приближении совпадает при с декрементом затухания волн на поверхности бесконечно глубокой жидкости. Амплитуда волн на поверхности тонкого слоя в этом случае так же будет экспоненциально убывать со временем. Поскольку декремент затухания пропорционален кинематической вязкости жидкости и обратно пропорционален квадрату длины волны, быстрее всего будут затухать короткие волны, а для длинных волн может быть мал, даже в жидкости с большой вязкостью.

Из выражения для бегущей волны видно, что волновое движение в маловязкой жидкости отличается от волнового движения в идеальной только затуханием волн с декрементом . Критические условия реализации неустойчивости заряженной свободной поверхности тонкого вязкого слоя по отношению к поверхностному заряду аналогичны критериям появления неустойчивости волнового течения тонкого слоя идеальной жидкости, которые могут быть найдены из выражения для частоты капиллярно-гравитационных волн на поверхности идеальной жидкости. Анализ данного выражения показал, что при W > 2 квадрат частоты волны может стать отрицательным, и, следовательно, частота станет мнимой, а выражение для бегущей волны в идеальной жидкости преобразуется к виду % =а-Exp[ikx]-Exp[£iCt)0t]. Часть решения с отрицательным знаком при будет экспоненциально убывать со временем, а с положительным — нарастать, в последнем случае будет иметь место неустойчивость свободной поверхности тонкого слоя по отношению к поверхностному заряду.

Из условия появления неустойчивости несложно найти зависи-

мость критического значения параметра от произвольного волнового числа

Легко определить, что минимальное значение WKp = 2 соответствует kv— 1.

Волну с таким к называют наиболее неустойчивой модой. Критические условия возникновения неустойчивости заряженной свободной поверхности слоя жидкости конечной толщины совпадают с таковыми на поверхности бесконечно глубокой жидкости. Но при реализации неустойчивости свободной поверхности маловязкой жидкости по отношению к поверхностному заряду эмиссионные выступы на тонком слое будут формироваться за счет суперпозиции более длинных капиллярных волн, чем в случае глубокой жидкости.

Таким образом, анализ полученного дисперсионного уравнения для капиллярно-гравитационных волн в тонком слое маловязкой жидкости показал, что критические условия неустойчивости свободной поверхности не зависят от вязкости, т.е. неустойчивость будет иметь место при таких же критических значениях волнового числа и поверхностной плотности заряда, как и в случае тонкой пленки идеальной жидкости. Также критические условия возникновения нестабильности заряженной свободной поверхности тонкого жидкого слоя по отношению к поверхностному заряду совпадают с таковыми на бесконечно глубокой жидкости, но эмиссионные выступы на тонком слое будут формироваться за счет суперпозиции более длинных капиллярных волн.

ЧЕТВЕРТАЯ ГЛАВА посвящена построению математической модели нелинейных капиллярно-гравитационных волнах на интенсивно испаряющейся однородно заряженной поверхности вязкой жидкости конечной глубины. Конечной целью исследования являлось отыскание зависимости величины возмущения свободной поверхности от координаты и времени в квадратичном по амплитуде волны приближении. Рассматривалась несжимаемая жидкость с плотностью кинематической вязкостью коэффициентом поверхностного

натяжения которая заполняет в поле тяжести бесконечный протя-

женный в горизонтальных направлениях слой — с1<г<§ в декартовой системе координат (пг - орт оси г). Было предположено, что жидкость идеально электропроводная, и находится в однородном электрическом поле с напряженностью Е0, вектор которого направлен вниз (Е0 || А по поверхности жидкости в положительном направлении оси распространяется волна малой амплитуды волновое число которой — . Физические параметры жидкости и окружающей ее среды - - считались постоянными вели-

чинами, не зависящими от координат, времени, температуры и давления.

Задача решалась методом разложения неизвестных компонент профиля свободной поверхности жидкости поля скоростей (ы,0,у), давления р и электрического потенциала по степеням малого параметра в качестве которого использовалось отношение амплитуды а к капиллярной постоянной

жидкости В результате во втором приближении

по амплитуде было найдено выражение для профиля волны на поверхности вязкой жидкости:

= Ехр[Ке8 • • Со^МЯ ^-кх] +

где амплитудный коэффициент

-2xpS(S + 4k2v)-(wlR2ÏCh[dwl]+2ikRll-Sh[dwi])--2Kpwy-(iS2+^k2vS+32k4v2)-Ru+ikv-(S+Sk2v)-Ri])-

■ Ch[2dk]-Ch[dwl]+47tpk-((S2+16k2vS + 32k*v2)-Ru+ + ikv-(3S + 8k2v)-Rll)-Sh[2dk]-Sh[dwl]~

-2xk2SRl2-Ch[2dk]-Sh[dwl]+KkwlSR2l-Sh[2dk]-Ch[dwl]), &z=327tk2vpwlS-(S + 4k2v)-47i:pwlS-(S2+n2S+32k4v2)-

■ Ch[2dk)-Ch[dw,]+SxkpS■ (S2+ Uk2vS + 32k* v2)■

■ Sh [2 dk] • Sh[dwï ] ■+ 2k2 {Ш2а + 2 ngp - E¡ к) S ■ Ch[2dk] ■ Sh[dw, ] --kwx • (8як2a + 27tpg-E¡k)S • Sh[2dk]■ Ch[dw, ],

Rn^-rïShidk]-^.^. Sh[dq] - • С/ЗД+ r2 • Cfcfa]) -

kS2-yj2-Ch[d(k + q)] | |

4v(S (S - 4 k2v)~ 8* V(* - q)) 4v(S (S - 4k2v) - 8 kV(k + q))

4-(S(S-4jfcJv)-8*V-(* + ?))

4-(S(S-4k2v)-U3v2-(k-q)) ' p ... ffi2 P(S + 2k2v) 2 p(S+k2v) 2 ,2~ 8 яг 4v 4v T2

+ *P(S + 6k2v) shW)_

-/kp ■ (25 + 3*:2v)■ (y, • Ch [dq]+y2 ■ Sh [dq]) + kS.eS + 2W-q)v)P { j_

- ^ДО+ 2k(3k + q)v)p Sh[d{k )]+

2 (3Jfc-?MS+2*v (*+?)) 1 2 1 V Hn + k(k-qy(3S + 2k(3k + q)v)p y ^

Язг-^г^И + А^-О', • [</<?]-у2-Ог\(1к]+/2 • Ск^д])-- Ц>'(8 + 2ку (Зк-д))

/Ь(5(5-4£2у)~8£У) 2 21къ-(Б+к2у)

в 4к2у(*

3-(Б-и2у)'УгГ2'

/(^(5 + 2к2у)С1г[с}к] - С/г[ф] + а>02 -

~ ¿(^ + Ак2у){\ - Ск[с!к]+ к(35 + '

/ • + 2£2у) ■ ^[¿й]- 2кдБу ■ БИ^д] + й?2 • (С7г[^й] -С/г[^])

Г2~ д (5 + 4£2у)(1 - Сф!&] Сй[ф]) + ¿(35 + 4£2у)5й[<й]5/г[ф]) '

Комплексная частота 5, определяется как решение дисперсионного уравнения задачи М = О, где матрица М задана формулой М =

I о о - Д о

О 1 -/ О О

-АСА [ей] г кСНШ ¡кБИ^] Б

-у(кг+Ч2)рСЦ.<1к] -у(кг+q1)pS^{dk\ Цур/щ Ъуркд СА[</д]

-21кгЩ1Л] -Ик7 Ск[ёк] -(к1 +97)СА№] -{к1 + ?*)»№] О

а б» о имеет смысл частоты возмущений в отсутствии вязкости.

Анализ приведенных выражений показывает, что профиль волны на свободной поверхности несжимаемой вязкой электропроводной жидкости существенно зависит от коэффициента вязкости и глубины. Затухание волн определяется двумя факторами, по-разному зависящими от величины коэффициента вязкости: затуханием волнового движения жидкости в объеме и затуханием на твердом дне. Декремент затухания добавки второго порядка малости к профилю волны оказывается вдвое больше декремента затухания волны первого порядка малости, то есть, происходит более быстрое затухание нелинейных поправок к линейным компонентам решений. А так же вязкость жидкости приводит к смещению положений внутренних нелинейных резонансов, не сказываясь, однако,

на критических условиях реализации неустойчивости по отношению к поверхностному заряду.

Полученное решение, конечно, весьма громоздко и неудобно для использования в аналитическом виде, но оно обладает одним неоспоримым преимуществом: оно получено в строгой аналитической процедуре и пригодно для слоев жидкости любой толщины. Переходя в полученных выражениях к пределу тонких слоев жидкости, можно получить все результаты, характерные для тонких пленок вязкой жидкости, свободные от характерных для таких задач допущений: о разновеликости производных по горизонтальной и вертикальной пространственным переменным, о независимости давления от вертикальной координаты и т.п.. Найденное выше решение в различных асимптотиках должно давать и нелинейные периодические и уединенные волны.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Найдено в четвертом порядке малости по амплитуде нелинейной капиллярно-гравитационной волны решение задачи о расчете нелинейного периодического волнового движения в слое идеальной поверхностно однородно заряженной несжимаемой электропроводной жидкости на плоском твердом дне.

2. Выяснилось, что положения внутренних нелинейных резонансов во взаимодействии гравитационных и капиллярных волн существенно зависят от толщины слоя жидкости и величины поверхностного заряда, причем влияние поверхностного заряда усиливается с уменьшением толщины слоя жидкости.

3. Оказалось, что критическое для реализации неустойчивости свободной поверхности значение величины поверхностной плотности заряда и волновое число наиболее неустойчивой волны не зависят от толщины слоя как для идеальной, так и для вязкой жидкости.

4. Показано, что конечность толщины слоя жидкости и наличие поверхностного заряда существенно сказываются на профиле периодических капиллярно-гравитационных волн. С уменьшением толщины слоя гребни волн становятся более пологими. Достаточно большие поверхностные плотности заряда приводят к увеличению кривизны гребней капиллярных волн.

5. Обнаружено, что влияние испарения жидкости со свободной поверхности плоского слоя конечной глубины на закономерности реализации нелинейного периодического волнового движения при температурах много меньших критических весьма слабо и сводится к незначительному (на доли процента) смещению положений внутренних нелинейных резонансов, критической величины параметра Тонкса-Френкеля и волнового числа наиболее неустойчивой волны.

6. Найдено во втором порядке малости по амплитуде нелинейной капиллярно-гравитационной волны решение задачи о расчете нелинейного периодического волнового движения в слое вязкой несжимаемой поверхностно однородно заряженной электропроводной жидкости конечной глубины.

7. Вязкость жидкости приводит к смещению положений внутренних нелинейных резонансов и к более быстрому затуханию нелинейных поправок к ли-

нейным компонентам решений, не сказываясь, однако, на критических условиях реализации неустойчивости по отношению к поверхностному заряду.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ ОПУБЛИКОВАНЫ В:

1. Курочкина СА, Морозов В.В. Об электродиспергировании тонкой пленки жидкости // Дисперсные системы: XX науч. конф. стран СНГ 23 - 27 сентября 2002 года. Тез. докл. - Одесса: Астропринт, 2002. - С. 174-175

2. Белоножко Д.Ф., Курочкина С.А. Аналитическое определение формы нелинейной волны в вязкой глубокой жидкости // Математика и математическое образование. Теория и практика: Меж. сб. научн. тр. Вып.З - Ярославль: Изд-во ЯГТУ,2002.-С159-160

3. Курочкина С.А., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Об устойчивости волновых течений в тонких слоях жидкости с заряженной свободной поверхностью. Часть 1. Волны малой амплитуды // Электронная обработка материалов. - 2003. - №3. - С.26-36

4. Белоножко Д.Ф., Климов А.В., Курочкина СА. Формы нелинейных волн на заряженной поверхности вязкой жидкости, благоприятствующие зажиганию над ней Огней св. Эльма // Сб. науч. тр. Пятой Российской конф. по атмосферному электричеству. - Владимир, 2003. - С.234-236

5. Климов А.В., Курочкина С.А. О нелинейных волнах на поверхности слоя вязкой электропроводной жидкости конечной глубины // Материалы Всероссийской науч. конф., посвященной 200-летию Ярославского гос. Университета им. П.Г. Демидова: Физика, 30-31 октября 2003 года. - Ярославль, 2003. -С.50-53

6. Курочкина С.А., Белоножко Д.Ф. Об устойчивости тонкой пленки вязкой жидкости по отношению к поверхностному заряду // Электронная обработка материалов. — 2003. — №5. - С.34—38

7. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Курочкина С.А., Санасарян С.А. Нелинейные периодические волны на заряженной поверхности вязкой электропроводной жидкости // Электронная обработка материалов. - 2004. - №2. - С.27-31

8. Курочкина С А, Климов А. В. Влияние интенсивного испарения на нелинейное волновое движение в слое вязкой жидкости конечной толщины // Дисперсные системы: XXI науч. конф. стран СНГ 20 - 24 сентября 2004 года. Тез. докл. - Одесса: Астропринт, 2004. - С. 194-195

9. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Климов А.В., Ширяева СО., Курочкина СА. Об устойчивости волновых течений в тонких слоях жидкости с заряженной свободной поверхностью. Часть 2. Периодические волны конечной амплитуды в вязкой жидкости // Электронная обработка материалов. - 2004. -№.4-С.66-78

В215 28

РНБ Русский фонд

2005-4 19015

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Курочкина, Светлана Алексеевна

Введение.

Глава 1. Об устойчивости волновых течений в тонких слоя жидкости с заряженной свободной поверхностью. Обзор работ, посвященных анализируемой проблеме.

1.1. Волны малой амплитуды.

1.2 Периодические капиллярно-гравитационные волны конечной амплитуды в вязкой жидкости.

Глава 2. Нелинейные периодические волны на заряженной интенсивно испаряющейся поверхности тонкого слоя идеальной жидкости.

Глава 3. Об устойчивости испаряющейся тонкой пленки вязкой жидкости по отношению к поверхностному заряду.

Глава 4. Нелинейные капиллярно-гравитационные волны на интенсивно испаряющейся поверхности однородно заряженной вязкой жидкости конечной глубины.

Введение диссертация по физике, на тему "Нелинейные периодические волны в тонких поверхностно заряженных слоях жидкости. Роль испарения и диссипации"

Актуальность темы. Исследование устойчивости интенсивно испаряющейся поверхности жидкости имеющей конечную глубину является актуальным для различных разделов технической физики, геофизики, техники и технологии. С этим феноменом приходится сталкиваться в различного вида теплообменниках; конденсаторах холодильных машин и ректификаторах АЭС и ТЭС; в абсорберах бромисто-литиевых холодильных машин, производстве кислот и очищающих фильтрах; в испарителях при опреснении морской воды, производстве йода, брома икапролактама; в электролизерах в амальгамной металлургии, производстве редкоземельных металлов, щелочей и хлора; в кристаллизаторах при производстве льда, парафина и стеариновой кислоты; в струйно-пленочных аппаратах при химическом фрезеровании и закалке металлов; в топках с жидким шлакоудалением; в паровых котлах с кольцевым режимом течения в парогенерирующем канале.

Влияние глубины жидкости на характер волнового движения в ней и закономерности реализации неустойчивости ее свободной поверхности достаточно хорошо изучено на основе модели капиллярно-гравитационных волн на незаряженной свободной поверхности, однако, большинство работ выполнено в приближении „мелкой воды", и исследование нелинейных волн сводится к выводу нелинейных уравнений, имеющих солитонные решения. Такой подход к изучению нелинейных волн ограничивает взгляд на проблему, в частности, солитонное решение не дает поправок к частоте волны, о наличии которых свидетельствуют решения для бесконечно глубокой жидкости.

Аналогичная ситуация сложилась и в вопросе учета вязкости в задачах о периодических волнах на заряженной поверхности жидкости. Механизм реализации неустойчивости плоской однородно заряженной поверхности жидкости бесконечной или конечной глубины с учетом' ее реальных физико-химических свойств в линейном приближении изучен достаточно подробно. А исследования нелинейных волн на заряженной поверхности слоя вязкой жидкости в большинстве работ выполнены в приближении „мелкой воды". Упрощения системы гидродинамических уравнений, применяемые в рамках данной модели, не всегда обоснованы, причем значительная часть данных работ направлена на поиск солитонных решений. В последние годы появились работы, позволяющие корректно учитывать влияние вязкости на нелинейные волновые процессы. Получены строгие решения, определяющие профиль нелинейной периодической капиллярно-гравитационной волны, распространяющейся по заряженной поверхности глубокой жидкости произвольной вязкости.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи: построена математическая модель распространения нелинейных капиллярно-гравитационных волн на заряженной свободной поверхности интенсивно испаряющегося тонкого слоя идеальной жидкости; проведен расчет профиля нелинейных волн на поверхности идеальной жидкости и исследовано влияние глубины и поверхностной плотности заряда на их формирование; исследовано влияние интенсивного испарения жидкости со свободной поверхностью плоского слоя конечной глубины*на закономерности реализации нелинейного периодического волнового движения; аналитически исследованы условия реализации неустойчивости заряженной поверхности маловязкой жидкости в линейном приближении по амплитуде возмущения; получено корректное выражение для профиля нелинейной капиллярно-гравитационной волны на поверхности однородно заряженного слоя жидкости произвольной вязкости; исследовано влияние вязкости и глубины жидкости на характер волнового движения.

Научная новизна работы состоит в том, 1гго впервые построена математическая модель распространения нелинейных волн на заряженной поверхности интенсивно испаряющегося слоя идеальной жидкости конечной глубины, которая позволила получить нелинейную по амплитуде волны поправку к частоте этих волн; показано, что профили периодических капиллярно-гравитащюнных волн на поверхности однородно заряженного тонкого слоя идеальной несжимаемой электропроводной жидкости не являются стационариыми, что объясняется наличием нелинейной поправки к частоте;

- обнаружено, что положения внутренних нелинейных резонансов во взаимодействии гравитационных и капиллярных волн существенно зависят от толщины слоя жидкости и величины поверхностного заряда; впервые в строгой аналитической процедуре получено выражение для профиля нелинейной периодической капиллярно-гравитационной волны, распространяющейся по поверхности жидкости произвольной вязкости, которое пригодно для жидких слоев любой толщины; показано, что вязкость жидкости приводит к смещению положений внутренних нелинейных резонансов и к более быстрому затуханию нелинейных поправок к линейным компонентам решений, не сказываясь, однако, на критических условиях реализации неустойчивости по отношению к поверхностному заряду.

Научная и практическая ценность заключается в том, что проведенные исследования позволяют лучше понять физическую природу явлений, связанных с диспергированием жидкости под влиянием электрического поля. Оценка роли диссипации, связанной с вязкостью и глубиной жидкости на распространение капиллярно-гравитационных волн по заряженной поверхности и критические условия реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля вносит вклад в теорию грозового электричества и магнитогидродинамического преобразования энергии, изучение феномена «огней Св. Эльма».

Полученные результаты также представляют интерес для многочисленных приложений рассматриваемых явлений в различных разделах технической физики и технологии. В частности, это относится к проблеме поиска новых перспективных методов, связанных с электростатическим диспергированием лакокрасочных материалов, горючего и инсектицидов, при проектировании жидкометаллических источников ионов. В последнее время интерес к явлению электрогидродинамической неустойчивости свободной поверхности жидкости слоев связан с разработкой новых средств масс-спектрометрического анализа нелетучих и органических веществ, реактивной космической техники, химической технологии, элекрокаплеструйной печати.

На защиту выносятся:

2. Расчет профиля волн и анализ волнового движения на поверхности жидкости в рамках построенной модели.

- международной конференции молодых ученых «Молодая наука» (Иваново, 2001);

III областной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ярославский край. Наше общество в третьем тысячелетни» (Ярославль, 2002);

- XX и XXI научных конференциях стран СНГ «Дисперсионные системы» (Одесса, 2002,2004);

- V Российской конференции по атмосферному электричеству (Владимир, 2003);

Заключение диссертации по теме "Теплофизика и теоретическая теплотехника"

РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

3. Оказалось, что критическое же для реализации неустойчивости свободной поверхности значение величины поверхностной плотности заряда и волновое число наиболее неустойчивой волны от толщины слоя не зависят как для идеальной, так и для вязкой жидкости.

6. Найдено во втором порядке малости по амплитуде нелинейной капнл-лярно-гравитацнонной волны решение задачи о расчете нелинейного периодического волнового движения в слое вязкой несжимаемой поверхностно однородно заряженной электропроводной жидкости конечной толщины.

7. Вязкость жидкости приводит к смещению положений внутренних нелинейных резонансов и к более быстрому затуханию нелинейных поправок к линейным компонентам решений, не сказываясь, однако, на критических условиях реализации неустойчивости по отношению к поверхностному заряду.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Курочкина, Светлана Алексеевна, Ярославль

1. Александров М.Л., Галль Л.Н., Иванов В.Я. и др. Расчет свободной поверхности проводящей жидкости, находящейся в сильном электрическом поле//Изв. АН. СССР. МЖГ. 1983. -№6. - С. 165-167

2. Александров Н.Л. Сон Э.Е. Лекции по теории устойчивости гидродинамических и тепловых процессов. М.: МФТИ., 2000. - 100 с.

3. Алиев И.Н. Параметрическая неустойчивость поверхности проводящей жидкости в переменном электрическом поле//Магнитная гидродинамика. 1987. — №2. — С.78-82

4. Алиев И.Н., Филиппов A.B. О волнах, распространяющихся по плоской поверхности вязкой проводящей жидкости в электрическом поле/Магнитная гидродинамика. 1989. - №4. - С.94-98

5. Аромин Э.Л., Иванов А.Н., Садовников Д.Ю. Предельные волны Сто-кса в жидкости конечной глубины//Изв. РАН. МЖГ. 1994. - №4. - С.125-129

6. Ахманов С.А., Емельянов В.И., Коротеев Н.И., Семиногов В.В. Воздействие мощного лазерного излучения на поверхность полупроводников и металлов: нелинейно-оптические эффекты и нелинейно-оптическая диагно-стика//УФН. 1985. - Т. 147. - №4. - С.675-746

7. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Автоколебательная неустойчивость свободной поверхности вязкоупругой среды//Письма в ЖТФ. — 2000. — Т.26. — №3. С.80-85

8. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Волны конечной амплитуды на поверхности вязкой глубокой жидкости//ЖТФ. 2003. - Т.73. - Вып.4. - С.28-37

9. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Деление заряженных капель во внешнем электрическом поле на части сравнимых размеров (об-зор)//Электронная обработка материалов. 2000. - №4. - С.17—27

10. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Капиллярные колебания вязкоупругой среды под влиянием постоянного внешнего воздействия//ЖТФ. — 2000. — Т.70. — № 11. — С. 15-23

11. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Курочкнпа С.А., Санасарян С.А. Нелинейные периодические волны на заряженной поверхности вязкой электропроводной жидкости//Электронная обработка материалов. 2004. -№2. -С.27-31

12. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Муничев М.И., Ширяева С.О. Эффект влияния заряда на структуру спектра капиллярных волн в тонком слое вязкой жидкости/УПисьма в ЖТФ. 1996. - Т.22. - №10. - С.84-89

13. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Нелинейные движения вязкой жидкости со свободной поверхностью//Изв. РАН. МЖГ. 2003. - №2. - С. 184-192

14. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Нелинейные периодические волны на заряженной поверхности вязкой электропроводной жидкости//ЖТФ. 2003. - Т,73. - Вып.11. - С.37-45

15. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Нелинейные периодические волны на заряженной поверхности глубокой маловязкой, электропроводной жндко-сти//ЖТФ. 2004. - Т.74. - Вып.З. - С.5-13

16. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Нелинейные электрокапиллярные волны на заряженной поверхности идеальной жидкостн/ТПисьма в ЖТФ. -2003. Т.29. - Вып. 18. - С.46-51

17. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. О нелинейных капиллярно-гравитационных волнах на заряженной поверхности идеальной жндкости//Изв. РАН. МЖГ. 2003. - №6. - С. 102-109

18. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Рахманова Ю.Д. Взаимодействие релаксационных волн с волнами перераспределяющегося по свободной поверхности поверхностно-активного вещества//Письма в ЖТФ. — 1997. — Т.23. -№18 -С.25-31

19. Белоножко Д.Ф„ Григорьев А.И., Ширяева С.О. Асимптотическое решение задачи о нелинейных волнах в вязкой жидкости/ЛТисьма в ЖТФ. -2002. -Т.28. Вып.19. - С. 1-9

20. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Ширяева С.О. Неустойчивость плоской границы раздела двух несмешивающихся проводящих вязких жидкостей в нормальном электростатическом поле//Изв. РАН. МЖГ. 1998. - №6. — С.116-123

21. Белоножко Д.Ф., Климов В.А., Григорьев А.И. Нелинейные капиллярно-гравитационные волны на заряженной поверхности идеальной жидко-сти//Электронная обработка материалов. 2003. №6. - С.55-59

22. Белоножко Д.Ф., Курочкина С.А. Аналитическое определение формы нелинейной волны в вязкой глубокой жидкости//Математика и математическое образование. Теория и практика: Меж. сб. научн. тр. Вып.З -Ярославль: Изд-во ЯЛТУ, 2002. С159-160

23. Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие. М.: Иностранная литература, 1963. - 248 с.

24. Боголюбов H.H., Митропольский O.A. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматлит, 1958. - 408 с.

25. Богоряд И.Б., Христенко Г.В. О демпфировании нелинейных колебаний вязкой жидкости, частично заполняющей сосуд//Изв. РАН. МЖГ. 1994. -№5. —С. 158—162

26. Бояджиев X., Бешков В. Массоперенос в движущихся пленках жидкости. М.: Мир, 1988. - 137 с.

27. Габов С.А. Введение в теорию нелинейных волн. М.: МГУ., 1988. -С.27-32

28. Габович М.Д. Жидкометашшческие источники ионов (обзор)//УФН.- 1983.-Т.140.-№.1.-С.137-151

29. Габович М.Д., Порицкий В.Я. Исследование нелинейных волн на поверхности жидкого металла, находящегося в электрическом поле//Пнсьма в ЖЭТФ. 1981. - Т.ЗЗ. - Вып.6. - С.320-324

30. Гагарин А.Г. Влияние постоянного электрического поля на пленочное течение жидкого диэлектрика//ИФЖ. 1985. - Т.48. - №3. - С.432-436

31. Гершуни Г.З. Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. — 392 с.

32. Голованов A.C., Курочкина С.А. Электромагнитное излучение, генерируемое заряженной сферически симметричной каплей//Тез. Докл. Международная конф. молодых ученых "Молодая наука". Иваново, 2001. -С.10-11

33. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А. Механика сплошных сред. 4.1. М.: Наука, 2000. - 256 с.

34. Григорьев А.И., Голованов A.C., Григорьева И.Д. О критических условиях возникновения Огней св. Эльма//Электронная обработка материалов. -2001. № 1. - С.21-29

35. Григорьев А.И., Григорьев O.A., Ширяева С.О. Механизм развития неустойчивости заряженной поверхности жидкости//ЖТФ. — 1992. -Т.62. -№9.-С. 12-21

36. Григорьев А.И., Морозов В.В., Ширяева С.О. О формировании и диспергировании пленки электролита на оплавляющемся в результате джоулева тепловыделения ледяном электроде//ЖТФ. -2002. Т.72. - Вып. 10.- С.33-40

37. Григорьев А.И. Неустойчивости заряженных капель в электрических полях (обзор)//Электронная обработка материалов. 1990. - №6. - С.23-32 "

38. Григорьев А.И. Неустойчивость заряженной плоской границы раздела сред по отношению к тангенциальному разрыву на ней зависящего от времени поля скоростен//ЖТФ. 2000. - Т.70. - №1. - С.24-26

39. Григорьев А.И., Сыщиков Ю.В., Ширяева С.О. Электростатическое монодиспергирование жидкостей как метод получения двухфазных систем (обзор)//ЖПХ. 1989. - Т.62. - т. - С.2020-2026

40. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф., Голованов A.C. О формировании волнового микрорельефа на поверхности полупроводника при распыливании его сильноточным ионным пучком//Электронная обработка материалов. 2000. -№6 - С.26-30

41. Григорьев А.И., Ширяева С.О. Закономерности рэлеевского распада заряженной капли//ЖТФ. 1991. - Т.61. - №3. - С.19-28

42. Григорьев А.И., Ширяева С.О. Капиллярные неустойчивости заряженной поверхности капель и электродиспергирование жидкости (обзор)//Изв. РАН. МЖГ. 1994. - №3. - С.3-20

43. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Коромыслов В.А., Белоножко Д.Ф. Капиллярные колебания и неустойчивость Тонкса-Френкеля слоя жидкости конечной толщины//ЖТФ. 1997. - Т.67. - №.9. - С. 12-21

44. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Шевченко С.И. Электрогидродинамические неустойчивости в дисперсных системах (обзор)//Научное приборостроение. 1991. - Т. 1. - №3. - С.25-43

45. Григорьев O.A. Влияние эффекта динамического поверхностного натяжения на волновые движения жидкости/Письма в ЖТФ. 1994. — Т.20. -№24.-С. 15-21

46. Григорьев O.A., Ширяева С.О. Волны в релаксирующей вязкой электропроводной жидкости, обладающей поверхностным зарядом//Изв. РАН. МЖГ. 1996. -т.- С.98-105

47. Григорьев O.A., Ширяева С.О., Григорьев А.И. О возможной природе движений жидкости, вызванных релаксацией поверхностного натяже-ния//Письма в ЖТФ. 1995. -Т.21. -№12. -С.36-41

48. Григорьев O.A., Ширяева С.О. Капиллярные волны в релаксирующей вязкой электропроводной жидкости, обладающей поверхностным заря-дом//Изв. РАН. МЖГ. 1996. - №1. - С.98-105

49. Григорьев O.A., Ширяева С.О. Неустойчивость заряженной плоской поверхности тангенциального разрыва двух несмешивающихся жидкостей различных плотностей//ЖТФ. 1996. - Т.66. - №2. - С.23-34

50. Демехин Е.А., Каплан М.А., Шкадов В.Я. О математических моделях теории тонких слоев вязкой жидкости//Изв. АН. СССР. МЖГ. — 1987. №6. -С.73-81

51. Демехин Е.А. Неустойчивость и нелинейные волны в тонких слоях вязкой жидкости: Автореф. дис. доктора физ-мат наук. ВНИПИтермнефть. -М., 1989.-34 с.

52. Демехин Е.А., Потапов O.JI. Математическое моделирование гидродинамики волновых пленок жидкости с внешними активными воздействия-ми//Препринт №215-90. Институт теплофизики СО АН СССР. Новосибирск, 1990.-48 с.

53. Дудников В.Г., Шабалин A.JI. Электрогидродинамические источники ионных пучков (обзор)//Препринт 87-63 ИЯФ СО АН СССР: Новосибирск, 1987.-66 с

54. Ермаков В.И. Об устойчивости границы раздела двух диэлектрических жидкостей в электрическом поле//Магнитная гидродинамика. — 1976. -№4. — С.85-88

55. Ермаков В.И. Об устойчивости плоской поверхности раздела жидкостей в нормальном электрическом поле//Вестник Харьковского университета. №221. Прикладная математика и механика. 1981. - С.46-51

56. Жакин А. И. Нелинейные волны на поверхности заряженной жидкости. Неустойчивость, ветвление и нелинейные равновесные формы заряженной поверхности//Изв. АН СССР. 1984. -№3. - С.94-102

57. Жаров А.Н., Курочкпна С.А. Нелинейные колебания заряженной капли идеальной жидкости//Тез. докл. Дисперсные системы: XX науч. конф. стран СНГ 23 27 сентября 2002 года. - Одесса: Астропринт, 2002. - С. 103104

58. Зайцев М.В., Шлиомис М.И. Характер неустойчивости поверхности раздела двух жидкостей в постоянном поле//ДАН СССР. 1969. - Т. 188. - №6. -С. 1261-1262

59. Зубарев Н.М. Точное решение задачи о равновесной конфигурации заряженной поверхности жидкого металла//ЖЭТФ. 1999. - Т. 116. — №6. -С. 1990-2005

60. Иевлев И.И., Исерс А.Б. Равновесие и устойчивость поверхности раздела жидких диэлектриков в электрическом и гравитационном полях/Магнитная гидродинамика. 1976. - №4. - С.89-95

61. Ильичев А.Т. Уединенные волны в средах с дисперсией и диссипацией (обзор)//Изв. РАН. МЖГ. 2000. - №2. - С.3-27

62. Иногамов H.A., Демьянов А.Ю., Сон Э.Е. Гидродинамика перемешивания. М.: МФТИ, 1999. - 464 с.

63. Капица П.Л. Волновое течение тонких слоев вязкой жидкости. I Свободное течение//ЖЭТФ. 1948. - Т. 18. - Вып.1. - С.3-18

64. Капица П.Л., Капица С.П. Волновое течение тонких слоев жидко-сти//ЖЭТФ. 1949. - Т. 19. - Вып.2. - С. 105-120

65. Климов А. В., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Нелинейные периодические волны на заряженной свободной поверхности идеальной жидко-сти//ЖТФ. 2004. - Т.74. - Вып. 1. - С.32-39

66. Климов A.B., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. О нелинейных поправках к частоте капиллярно-гравитационных волн на заряженнойповерхности жидкости и к критическим условиям реализации ее неустойчивости/ЛТисьма в ЖТФ. 2003. -Т.29. - Вып.24. - С.42-46

67. Коженков В.И., Фукс Н.А. Электрогидродинамическое распыление жидкости (обзор)//Успехи Химии. 1976. - Т.45. - №12. - С.2274-2284

68. Колмаков Г.В., Лебедева Е.В. Длинноволновая структура на заряженной поверхности жидкости//ЖЭТФ. 1999. - Т.115. -№1. - С.43-49

69. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Под ред. Кибеля И.А. Ч. 1- Л: Гостехтеориздат, 1963. 584 с.

70. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика; Под ред. Кибеля И.А. 4.2. М.: Гостехтеориздат, 1948. - 612 с.

71. Крылов В.С., Воротилин В.П., Левич В.Г. К теории волнового движения тонких пленок жидкости//ТОХТ. 1969. - Т.З. - №4. - С.499-507

72. Кузнецов Е.А., Лушников П.М. Нелинейная теория возбуждения волн ветром за счет неустойчивости Кельвина-Гельмгольца//ЖЭТФ. 1995. -Т.108. - №2.-С.614-630

73. Курочкииа С.А., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Об устойчивости волновых течений в тонких слоях жидкости с заряженной свободной поверхностью. Часть 1. Волны малой амплитуды//Электронная обработка материалов. 2003. - №3. - С.26-36

74. Курочкииа С.А., Белоножко Д.Ф. Об устойчивости тонкой пленки вязкой жидкости по отношению к поверхностному заряду//Электронная обработка материалов. 2003. -№5. - С.34-38

75. Курочкина С.А., Морозов В.В. Об электродиспергировании тонкой пленки жидкости/ЛГез. докл. Дисперсные системы. XX науч. конф. стран СНГ:- Одесса: Астропринт, 2002. С. 174-175

76. Ламб Г. Гидродинамика. Л.: Гостехтеориздат, 1947. - 928 с.

77. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. - 733с.

78. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. — М.: Наука, 1992.-С.57-58

79. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: Физматгиз, 1959.-699 с.

80. Ле Меоте Б. Введение в гидродинамику и теорию волн на воде. Л. Гидрометеоиздат, 1974.-368 с.

81. Найфэ А.Х. Введение в методы возмущений M.: Мир, 1984 - 536 с.

82. Найфэ А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. - 456 с.

83. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Алексеенко C.B., Орлов В.В. Мгновенный профиль скорости в волновой пленке жидкости//ИФЖ. 1977.- Т.ЗЗ. — №3. — С.399-404

84. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Алексеенко C.B. Стационарные двумерные катящиеся волны на вертикальной пленке жидкости//ИФЖ. 1976. -Т.ЗО. - №5. - С.780-785

85. Накоряков В.Е., Шрейбер И.Р. Волны на поверхности тонкого слоя вязкой жвдкостиШМТФ. 1973. - №2. - С. 109-113

86. Нелинейные волновые процессы. Новое в зарубежной науке. Механика. М.: Мир, 1987. - 296 с.

87. Нелинейные волны/Под. ред. С. Лейбовича и А. Сибасса. М.: Мир, 1977.-320 с.

88. Нестеров C.B. Задача Коши-Пуассона для вынужденных волн конечной амплитуды//Изв. РАН. МЖГ. 1995. -№4. - С.116-121

89. Саночкин Ю.В. Влияние вязкости на свободные поверхностные волны в жидкостях//Изв. РАН. МЖГ. 2000. - №4. - С.156-164

90. Стокер Дж. Бифуркационные явления в теории поверхностных волн. Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения. М., Мир. -1974.-СЛ 52-166

91. Стокер Дж. Волны на воде. -М.: ИЛ, 1959. 617 с.

92. Суворов В.Г. К численному моделированию динамики жидкой проводящей поверхности в сильном электрическом поле//Письма в ЖТФ. 2000. - Т.26. — №1. — С.66-70

93. Сысоев Г.М., Шкадов В.Я. Развитие доминирующих волн из малых возмущений в стекающих пленках вязкой жидкости//Изв. РАН. МЖГ. 1997. -№6. -С.30-41

94. Тюрина A.B., Эль Г.А. Гидродинамика модулированных волн конечной амплитуды в диспергирующих средах//ЖЭТФ. 1999. - Т. 115. - №3. -С.1116-1136

95. Уизем Д.Ж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. -С.453-457

96. Френкель Я.И. К теории Тонкса о разрыве поверхности жидкости постоянным электрическим полем в вакууме//ЖЭТФ. 1936. - Т.6. - №4. -С.348-350

97. Цвелодуб О.Ю. Нелинейные волны на стекающих пленках вязкой жидкости: Автореф. дне. доктора физ-мат наук. АН. СССР. СО. Институт теплофизики. Новосибирск. —1989. - 34 с.

98. Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Об особенностях капиллярных движений растворов поверхностно-активных веществ//ЖТФ. -1998. Т.68. -№2. - С.22-29

99. Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. О влиянии заряда на формирование волнового микрорельефа на поверхности вязкоупругой сре-ды//Письма в ЖТФ. 2000. - Т.26. - №21. - С. 12-20

100. Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф., Световой В.Б., Григорьев А.И. Формулировка задач об аналитическом расчете нелинейных движений вязкой жидкости со свободной поверхностыо//Препринт N.31. ИМИ РАН. — Ярославль, 2001.-87 с.

101. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф. Влияние упругости и динамического поверхностного натяжения на спектр волновых движений заряженной поверхности жидкости//Письма в ЖТФ. — 1997. — Т.23. — №16 — С.32—37

102. Ширяева С.О., Григорьев O.A., Белоножко Д.Ф. О взаимодействии капиллярных волн на заряженном тангенциальном разрыве поля скоро-стей//Письма в ЖТФ. 2000. - Т.26. - № 11. - С. 10-17

103. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф. О некоторых закономерностях реализации неустойчивости плоской заряженной поверхности жидкости//ЖТФ. 1999. - Т.69. -№7. - С. 15-22

104. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Волкова М.В., Коромыслов В.А. О резонансном взаимодействии нелинейных осцилляций заряженной капли, находящейся во внешней диэлектрической среде//Электронная обработка материалов. 2003. - №5. - С.30-36

105. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Белоножко Д.Ф. Электростатическая неустойчивость заряженной поверхности сдоя жидкости конечной толщины//Электронная обработка материалов. — 1996. — №3,4. — С.71—73

106. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Коромыслов В.А. Неустойчивость капиллярных зарядово-релаксационных движений жидкости//Письма в ЖТФ. 1996. - Т.22. - №4. - С.89-94

107. Ширяева С.О., Григорьев O.A. Влияние динамического поверхностного натяжения на инкремент неустойчивости Тонкса-Френкеля//Письма в ЖТФ. 1999.-Т.25.-№19.-С.61-65

108. Ширяева С.О., Григорьев O.A. Влияние релаксации вязкости на величину инкремента неустойчивости Тонкса-Френкеля//Письма в ЖТФ. 1999.- Т.25. №2. — С. 1-4

109. Ширяева С.О., Григорьев O.A., Григорьев А.И. Эффект динамического поверхностного натяжения и капиллярное волновое движение заряженной поверхности жидкости//ЖТФ. 1996. - Т.66. - №10. - С.31-46

110. Ширяева С.О., Григорьев O.A., Муничев М.И., Григорьев А.И. Волновое движение в заряженной вязкоупругой жидкости/ЖГФ. 1996. - Т.66. -№10. — С.47-62

111. Ширяева С.О., Григорьев O.A. О влиянии эффекта релаксации поверхностного натяжения на спектр движений жидкости с заряженной свободной поверхностью/УЖТФ. 2000. - Т.70. - №6. - С.31-36

112. Ширяева С.О., Григорьев O.A. О капиллярном движении вязкоупругой жидкости с заряженной свободной поверхностью//ЖТФ. 2000. - Т.70.- №8. С.39-44

113. Ширяева С.О., Кузьмичев Ю.Б., Голованов A.C., Белоножко Д.Ф. Особенности реализации неустойчивости Кельвина-Гельмгольца при конечной толщине верхней среды//Электорнная обработка материалов. 2000. -№2. - С.25-33

114. Ширяева С.О. Линейное взаимодействие волн на заряженной границе раздела сред при наличии тангенциального разрыва поля скоро-стей//ЖТФ. 2001. - Т.71. - №3. - С.9-16

115. Ширяева С.О. Нелинейные осцилляции заряженной капли при мно-гомодовой начальной деформации равновесной формы//Изв. РАН. МЖГ. -2001. — №3. -С.163-174

116. Шкадов В.Я. Волновые режимы течения тонкого слоя вязкой жидкости под действием силы тяжести//Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. — №1. -С.43-51

117. Шкадов В.Я., Запрянов З.Д. Течения вязкой жидкости. -М.: МГУ, 1984. — С.100-109

118. Юэн Г., Лэйк Б. Нелинейная динамика гравитационных волн на глубокой воде. М.: Мир, 1987. - 179 с.

119. Allen J.E. A note on the Taylor cone//J. Phys. D: Appl. Phys. 1985. -V.18.—N.1.-P.59-62

120. Babchin A.J., Frenkel A.L., Levich B.G., Sivashinsky G.I. Nonlinear saturation of Rayleigh-Taylor instability in thin films // Phys. Fluids. 1983. -V.26, -N.ll. -P.3159-3161

121. Baily A.G. Electrostatic atomization of liquids//Sci. Prog., Oxf. 1974. - V.61.-P.555-581

122. Baily A.G. Electrostatic spraying of liquids//Phys. Bull. 1984. - V.35. -N.4. P. 146-148

123. Baker G.R., Merion D.I., Orzag S.A. Boundary integral methods for axi-symmetric and three-dimensional Raylegh-Taylor problems//Physica D. — 1984. -№12. — P. 19-31

124. Baker G.R., Merion D.I., Orzag S.A. Generalized vortex methods for free-surface flow problems//J.Fluid Mech. 1982. - V. 123, - P.477-501

125. Baker G.R., Merion D.I., Orzag S.A. Vortex simulations of the Raylegh-Taylor instability//Phys. Fluids. 1980. - V.23. -№8. - P.1485-1490

126. Bhimsen K., Sh. Nonlinear stability of surface waves in electrohydrody-namics//Quart. Of Appl. Math. 1979. - V.35. - P.423^27

127. Chia-Shun Yin. Stability of liquid flow down inclined plane//The Physics of Fluids. 1963. - V.6. - №3. - P.321-334

128. Davy A. Propagation of weak nonlinear wave//J. Fluid Mech. 1972. -V.53. -№4.-P.769-781

129. Fedorov A.V, Melvil W.K. Nonlinear gravity-capillary waves with forcing and dissipation//J. Fluid Mech. 1998. - V.354. - P.1^2

130. Fedorov A.V, Melvil W.K., Rozenberg A. An experimental and numerical study of parasitic capillary waves//Physics of fluids. 1998. - V.10. - №6. -P. 1315-1323

131. Feng J.Q., Beard K.V. Resonance of conducting drop in an alternating electric field//J. Fluid Mech. 1991. - V.222. - P.417-435

132. Fenn J.B., Mann M., Meng C.K. et al. Electrospray ionization for mass spectrometry of large biomolecules//Science. 1989. - V.246. -N.4926. - P.64-71

133. Gonzalez A., Castellanos A. Kortweg-de-Vries-Burgers equation for surface waves in nonideal conducting liquids//Phis. Rev. E. 1994. - V.49. - №4. — P.2935-2940

134. Gonzalez A., Castellanos A. Nonlinear electrohydrodynamic waves on films falling down an inclined plane//Phis. Rev. E. 1996. - V.53. - №4. - P.3573-3578

135. Grigor'ev A.I., Grigor'eva I.D., Shiryaeva S.O. Ball lightning and StElmo's fire as forms of thunderstorm activity//J.Sci.Exp. 1991. - V.5. - N.2. -P.163-190

136. HansonW.J.//Proc. London. Math. 1908. - Ser.2 - Vol.7. - P. 107-121

137. Hasegawa E., Yamashita S. Finite Amplitude Waves on Elastic Plate Horizontally Seprating Two Different Fluid Streams//Bull. of JSME. 1986. -V.29. - №249. - P.787-794

138. Hooper A.P. Nonlinear instability between two viscous fluids//Phys. Fluids. 1985. - V.28. - №1. - P.37-45

139. Jenn-Sen Lin, Chi-Chuan Hwang. Finite amplitude long-wave instability of power-low films//Int. J. of Non-Linear Mechanics. 2000. - V.35. - P.769-777

140. Kang I.S. Dynamics of a conducting drop in time-periodic electric field//J. Fluid Mech. 1993. - V.257. - P.229-264

141. Kang I.S., Legal L.G. Small-amplitude perturbation of shape for a nearly spherical bubble in inviscid straining flow (steady shapes and oscillatory motion)//J. Fluid Mech. 1988. - V. 187. - P.231-266

142. Kim N.C., Dobnath L. Resonance wave interactions in weakly viscous liquid/ZInternational Journal of Non-Linear Mechanics. 1999. - V.34. - P. 197-220

143. Lundgren T.S., Koumoutsakos P. On the generation of vorticity at a free surface//J. Fluid Mech. 1999. - V.382. - P.351-366

144. Lundgren T.S., Mansour N.N. Oscillation of drops in zero gravity with weak viscous effects //J. Fluid Mech. 1988. - V.194. - P.479-510

145. Malik S.K., Rama Kant Second harmonic resonance in electrohydrody-namics//Quart. Of Appl. Math. 1986. - V.43. - P.23-24

146. Melcher J.R. Electrohydrodynamic and magnetohydrodynamic surface waves and instabilities//Phys. Fluids. 1961. - V.4. -N.l 1. - P.1348-1354

147. Melcher J.R., Schwarz W.J. Interfacial relaxation over stability in a tangential electric field instability//Phys. Fluids. 1968. - V.ll. - N.12. - P.2604-2616

148. Melcher J.R., Smith C.V. Electrohydrodynamic charge relaxation and interfacial perpendicular-field instability//Phys. Fluids. 1969. - V.12. - N.4. -P.778-790

149. Melcher J.R., Taylor G.I. Electrohydrodynamics: a review of the role of interfacial shear stress//Ann. Rev. Fluid Mech. Palo. Alto, California. 1969. — V.l. -P. 111-146

150. Michael D.H. Nonlinear effects in electrohydrodynamic surface wave propogation//Quart. Of Appl. Math. 1977. - V.35. - P.139-143,345-355

151. Michael D.H. Note on electrohydrodynamic stability//Quart. Of Appl. Math. 1970. - V.28. - №1. - P.139-143

152. Miles J.W. On the generation of surface waves by shear flows//J. Fluid Mech.- 1957.-V.3.-P. 185-204

153. Miles J.W. Surface-wave generation revisited//J. Fluid Mech. 1993. -V.256. - P.427-441

154. Nayfeh A.H. Finite amplitude surface waves in a liquid layer//J. Fluid Mech. 1970. - V.40. - Part 4. - P.671-684

155. Nayfeh A.H, Hansan S.D. The method of multiple scales and non-linear dispersive waves//J. Fluid Mech. 1971. - V.48. - Part 3. - P.463-475

156. Rama Kant, Jindia R.K., Malik S.K. Finite amplitude surface waves in electrohydrodynamics//Quart. Of Appl. Math. 1981. -V.39. - P.23-24

157. Shi W.T., Apfel R.E. Instability of a deformed liquid drop in an acoustic field//Phys.Fluids. 1995. - V.7. - №11. - P.2601-2607

158. Shugan I., Voliak K. On the phase kings, negative frequencies, and other third-order peculiarities of modulated surface waves//J. Fluid Mech. 1998. -V.368. - P.321—338

159. Taylor G. Disintegration of water drops in an electric field // Proc. Roy. Soc. A. 1964. - V.280. - P.383-397

160. Taylor G.I., McEwan A.D. The stability of a horizontal fluid interface in a vertical electric field//J. Fluid Mech. 1965. - V.22. - N.l. - P.l-15

161. Tonks L. A theory of liquid surface rupture by a uniform electric field//Phys. Rev. 1935. - V.48. - P.562-568

162. Tsamopoulos J. A., Brown R. A. Nonlinear oscillation of inviscid drops and bubbles//.!. Fluid Mech. 1983. - V.127. - P.519-537

163. Yang Y., Tryggvason G. Dissipation of energy by finite-amplitude surface waves//Computer & Fluids. 1998. - V.27. - №7. - P.829-845

164. Zinchenko A.Z., Rother M.A., Davis R.H. A novel boundary -integral algorithm for viscous interaction of deformable drops/ZPhys. Fluids. 1997. - V.9. -№6. -P.1493-1511