Нелинейные движения заряженной поверхности жидкости. Влияние диссипации и релаксационных эффектов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБЛАСТНОЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

БЕЛОНОЖКО Дмитрий Федорович

НЕЛИНЕЙНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯЖЕННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ. ВЛИЯНИЕ ДИССИПАЦИИ И РЕЛАКСАЦИОННЫХ

ЭФФЕКТОВ.

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.04.02 - теоретическая физика.

Москва. 2004

Работа выполнена в Ярославском государственном университете

им. П.Г. Демидова Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Григорьев А.И.

_ Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Полуэктов П.П.

доктор физико-математических наук, профессор Синкевич O.A.

доктор физико-математических наук, профессор Дадиванян А.К.

Ведущая организация: Ивановский государственный университет.

Защита диссертации состоится 18_ ноября 2004 года в ¿5часов на заседании диссертационного Совета Д - 212.155.07 в Московском областном университете (107005, Москва, ул. Радио, д. 10а)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного областного университета.

Автореферат диссертации разослан « » октября 2004 года

Ученый секретарь диссертационного Совета Доктор физ. - мат. наук, профессор

Богданов Д.Л.

т чо

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Исследование неустойчивости заряженной поверхности жидкости представляет значительный интерес, поскольку это явление лежит в основе принципа действия разнообразных прецизионных научных приборов и устройств, является неотъемлемой частью многих технических, технологических и геофизических процессов. Затрагиваемая тематика до настоящего времени теоретически была корректно исследована только на уровне решения линейных по амплитуде отклонения формы поверхности от равновесной задач. Наиболее известные теоретические результаты по этой тематике подтверждают традиционно принимаемые представления о процессе экспоненциального роста амплитуд неустойчивых капиллярных волн. Однако, эксперименты свидетельствуют, что в реальной физической ситуации рельеф заряженной свободной поверхности жидкости в процессе развития ее неустойчивости формируется при участии самых разнообразных факторов, взаимодействующих между собой и не всегда строго отождествляемых с конкретными физическими механизмами. В связи со сказанным, представляется весьма актуальным детальное теоретическое исследование закономерностей реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости и построение модели формирования ее рельефа в процессе развития неустойчивости, а так же закономерностей эволюции заряженной капельки, эмиттрированной на финальной стадии неустойчивости. Особенно важным вопросом является теоретическое изучение влияния релаксационных эффектов на закономерности реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости. Задача описания спектра капиллярных движений жидкости с учетом релаксационных эффектов, связанных с наличием примеси, изменяющей плотность поверхностной энергии на свободной поверхности, даже в отсутствии поверхностного заряда представляет самостоятельный интерес ввиду устоявшихся представлений по вопросу переноса жидкости одновременно на поверхности и в объеме, а так же из-за присутствия в работах по этой теме ошибок на уровне формулировки задачи. Актуальным так же является исследование закономерностей реализации неустойчивости свободной поверхности жидкости с конечной проводимостью. Особое значение имеет вопрос теоретического исследования обозначенных задач в их нелинейной постановке. При этом нужно учитывать, что наиболее распространенный в настоящее время подход к нелинейному исследованию, как к задаче получения солитонно-го решения не всегда оправдан. Это весьма узкий взгляд на проблему, поскольку нелинейные несолитонные движения встречаются в природе не менее часто. Те немногочисленные работы последних лет, которые рассматривают именно несолитонные нелинейные решения, показывают, что даже естественные на первый взгляд задачи (например, колебания капель или распространение волн по поверхности глубокой жидкости), решенные в этом ключе, приводят к важным результатам и выявляют новые неисследованные стороны уже привычных явлений.

Цель работы состояла в теоретическом исследовании нелинейной стадии неустойчивости заряженной свободной поверхности электропроводной жидкости и исследовании влияния эффектов релаксации заряда и поверхностно-активных веществ на закономерности развития неустойчивости. Для достижения поставленной цели решались задачи: __

- теоретический анализ нелинейной эволюции периодического возмущения, распространяющегося по заряженной поверхности идеальной глубокой капиллярной жидкости в поле сил тяжести.

- исследование критических условий развития неустойчивости из виртуального возмущения заряженной поверхности идеальной электропроводной жидкости.

- исследование физического механизма формирования эмитирующих выступов (конусов Тейлора) на заряженной поверхности жидкости.

- оценка характерного времени нелинейной стадии развития неустойчивости заряженной поверхности жидкости.

- построение теоретической модели нелинейных колебаний заряженной капли, эмиттрированной на финальной стадии развития неустойчивости заряженной поверхности жидкости.

- исследование закономерностей распада нелинейно осциллирующей заряженной капли.

- построение теоретической модели акустического и электромагнитного излучения от нелинейно осциллирующей заряженной капли электропроводной жидкости.

- Расчет нелинейных периодических волн на заряженной поверхности глубокой капиллярной жидкости с конечной вязкостью.

- исследование влияния вязкости на форму капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности жидкости и зарождающихся на них эмиссионных выступов (конусов Тейлора).

- корректный вывод закона сохранения вещества для субстанции, релакси-рующей на свободной движущейся поверхности жидкости.

- исследование нелинейной эволюции периодического возмущения заряженной поверхности глубокой капиллярной жидкости при наличии пленки поверхностно-активного вещества.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней

- впервые найдено решение задачи о расчете нелинейных периодических волн на поверхности вязкой глубокой жидкости на основе нестандартного матфизическо-го подхода;

- исследованы физико-математические закономерности нелинейной стадии реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости, и прослежена пространственно-временная эволюция неустойчивых виртуальных деформаций свободной поверхности;

- впервые исследовано влияние эффектов релаксации заряда и поверхностно-активных веществ на закономерности нелинейного взаимодействия периодических волн на свободной поверхности заряженной жидкости;

впервые исследованы закономерности нелинейных осцилляций сильно заряженных капель при многомодовой начальной деформации, сопровождающихся нелинейным возбуждением трансляционной моды, приводящим к появлению монопольного и дипольного акустического и электромагнитного излучения.

Научная и практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты существенно расширяют фундаментальные представления о явлениях, происходящих при диспергировании жидкостей под влиянием электрического поля

К

и о роли вязкости жидкости и релаксационных эффектов в этих явлениях. Результаты теоретического анализа нелинейных волн на свободной поверхности вязкой глубокой жидкости и закона сохранения вещества на ней имеют фундаментальное значение, и являются существенно более корректными по сравнению с традиционными для известных монографий по гидродинамике. Результаты исследования могут быть использованы в самых разнообразных академических, технических и технологических приложений. В частности, проведенное исследование предсказывает явления, которые следует учитывать при исследовании жидко-капельных систем естественного и искусственного происхождения.

На защиту выносятся:

1. Метод решения задачи о расчете периодических волн на заряженной поверх-

ности вязкой глубокой жидкости.

2. Теоретическая модель влияния амплитуды начального возмущения на критические условия реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости.

3. Физический анализ нелинейной стадии пространственно-временной эволюции виртуальной деформации сильно заряженной свободной поверхности жидкости.

4. Теоретический анализ нелинейных осцилляций заряженной капли при многомодовой начальной деформации ее формы

5. Исследование закономерностей реализации внутреннего нелинейного резонансного взаимодействия мод осцилляций заряженной капли: положения резонансов, характерное время и глубина взаимодействия.

6. Теоретический анализ особенностей акустического и электромагнитного излучений, генерируемых нелинейно осциллирующей заряженной каплей.

7. Исследование влияния эффектов релаксации поверхностно-активных веществ и электрического заряда на характер нелинейного взаимодействия периодических волн на заряженной поверхности вязкой глубокой жидкости.

Апробация работы: Annual Conference on Liquid Atomization and Spray System. (Zurich. Switzerland. 2001 у); АРМ 2001 XXIX Летняя школа-семинар «Актуальные^про-блемы механики»(Санкт-Петербург, 2001 г); V-VII Международные конференции «Современные проблемы электро-гидродинамики и электрофизики жидких диэлектриков» (Петергоф. 1998, 2000, 2003 гг.).; XVII-XX научные конференции стран СНГ «Дисперсные системы» (Одесса. 1996, 1998, 2000, 2002 гг.); VII Четаевская научная конференция «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань. 1997); молодежная научно-практическая конференция «Проблемы моделирования в естествознании» (Волжский, 1997 г.); 3-я и 4-я Всероссийские конференции «Математика и математическое образование» (Ярославль. 2003, 2004 гг.); Всероссийская научная конференция «Математическое моделирование в естественных науках» (Воронеж. 2000 г.); IX и X Международные конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва. 2002, 2003 гг.); «Естественные и антропогенные аэрозоли IV» (Петергоф. 2003); Всероссийская научная конференция, посвященная 200-летию Ярославского Государственного университета им. ГУ. Демидова (Ярославль 2003 г.); V Всероссийская конференция по атмосферному электричеству (Владимир 2003 г.).

Структура работы: Диссертация общим объемом 278 страниц, содержит 73 рисунка, 4 таблицы, состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 318 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы и сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена исследованию нелинейных периодических капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности идеальной идеально проводящей жидкости и развитию представлений о закономерностях развития неустойчивости заряженной поверхности жидкости.

В первом параграфе проводится краткий обзор работ посвященных теории периодических капиллярно-гравитационных волн и теории неустойчивости заряженной поверхности жидкости по отношению к избытку поверхностного электрического заряда, называемой неустойчивостью Тонкса-Френкеля. Показано, что существует связь между теорией периодических капиллярно-гравитационных волн на поверхности идеальной жидкости и теорией неустойчивости Тонкса-Френкеля. Но отчетливо эта связь прослеживается только в приближении волн малой амплитуды, когда задача расчета движения жидкости представляет собой систему линеаризованных уравнений электро-гидродинамики и соответствующих граничных условий. Приведены примеры многочисленных теоретических и экспериментальных исследований нелинейных периодических капиллярно-гравитационных волн, и указано на весьма слабую изученность влияния поверхностного электрического заряда на нелинейное взаимодействие и дестабилизацию этих волн. Первый параграф показывает, что тема, вынесенная в название главы, является весьма актуальной и в тоже время довольно слабо исследованной.

Во втором параграфе первой главы методом многих масштабов проведен расчет формы нелинейных периодических капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности идеальной, идеально проводящей глубокой жидкости в третьем порядке малости по амплитуде волны. Полагалось, что волна распространяется вдоль оси Ох по поверхности идеальной, идеально проводящей несжимаемой, жидкости с плотностью р, с коэффициентом поверхностного натяжения у, заполняющей полупространство г < О декартовой системы координат Охуг, с осью Ог, направленной против ускорения поля сил тяжести §. По свободной поверхности жидкости распределен электрический заряд, который в равновесном состоянии создает над ней однородное электростатическое поле Е0, направленное вдоль Ог. Полная математическая формулировка задачи представляет собой стандартный набор уравнений и граничных условий электро-гидродинамики идеальной жидкости. В результате решения получено выражение для формы волны, имеющее вид: %=а со*(в.)+аг -Л-соя(26>.)+2д3 Х соэ (3<9);

. к2 {\+акг-2акЩ в = кх-а>-1\ 0*^0-= Л =-;

2(1-2а к7)

_ 8к\а2к2(1+2а'к2)+&-16ак}Г(\+а2к2-акН0) д =--;

16й>(1-2аУ)

X = к2(32а2к21Г2 + 32ак1У (1 - а2к21У) + 6а4кА +21 а2к2 +6) 32(1 - 2а2к2) (I - За2к2)

Е*" I-

УУ = —а= — ; й)2=$к{\ + а2кг-акф).

^шг V

Здесь к и й> - волновое число и частота волны, являющейся решением задачи в линейном приближении по амплитуде волны; а - капиллярная постоянная жидкости. Безразмерный параметр ЦТ равен отношению электрических и лапласовских сил на вободной поверхности, и называется параметром Тонкса-Френкеля. С его помощью него формулируются критические условия реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля. Они определяются услрвиями прохождения через ноль квадрата частоты виртуальной волны. Известно, что в линейном по амплитуде виртуальной волны приближении, критическое значение волнового числа, характеризующие наиболее неустойчивую моду равно к*=а~\ а критическое значение параметра Тонкса-Френкеля равно = 2. Нелинейный анализ показал, что значение частоты основного слагаемого в нелинейной волне отличается от величины, найденной в линейной теории. Поэтому условие прохождения через ноль квадрата частоты изменяется, а критические условия реализации неустойчивости модифицируются в новые: \¥,х2-у\'-£2-, к. а к- е2, где с = ка - безразмерная амплитуда волны; № = 11/8; к: = 23/16. Оказалось, что с позиций нелинейного анализа критические для реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости значение параметра Тонкса-Френкеля и волновое число наиболее неустойчивой моды снижаются по сравнению с предсказываемыми линейной теорией на значения АЖ, = и Ыс,=кег!а, пропорциональные квадрату безразмерной амплитуды волны е2. В полученных разложениях для А^Г и М по степеням е слагаемые, пропорциональные кубу амплитуды е, не отброшены, как малые, а имеют точно нулевые коэффициенты разложения.

В третьем параграфе для выявления закономерности влияния нелинейности на критические условия реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости были вычислены поправки четвертого порядка малости по амплитуде волны к критическим условиям реализации неустойчивости. Также как и поправки второго порядка малости, они оказались отрицательны: ДГ, * -(11 /8> 2 - (135 /32 >4; аАк. « -(23/16>2 -(7489 /512>4. Это говорит о существовании тенденции: критические для реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости значения поверхностной плотное™ заряда и волнового числа наиболее неустойчивой волны снижаются.

В четвертом параграфе первой главы рассматривался вопрос расчета характерного времени формирования «конусов Тейлора» и их формы. Для

уменьшения громоздкости все рассуждения проводились в безразмерных переменных, в которых р = g = уа критическое волновое число и критическое значение параметра Тонкса-Френкеля, найденные в линейной теории развития неустойчивости, определяются соотношениями:

*.= 1; IV, =2 (1)

Использование соотношений, полученных во втором и третьем параграфах, показало, что влияние нелинейности приводит к снижению для моды к = 1

критического значения IV на величину « н>2 -а2 -м>4 • д4, таким образом, что

параметр

' = a{t){{

w2-w. a(t)2) ; w, = —; w, = — 2 4 2 10» 160

оказывается мерой закритичности величины поверхностной плотности заряда, и характеризует скорость нарастания амплитуды волны:

ait) = а„ ■ exp0 = <V exp[a(t)J(w2-w,-a(ty) ■ t]. (2)

Из (2) видно, что амплитуда волны растет существенно быстрее, чем по экспоненциальному закону и, следовательно, быстро выйдет за рамки применимости использованных при получении (2) разложений по малому параметру. Соотношение (2) справедливо только на малых временных интервалах, на которых величина инкремента меняется слабо. Для исследования временной эволюции амплитуды волны время разбивалось на малые интервалы, на которых выражение (2) можно использовать. Увеличение дробности разбиения привело к нелинейному интегральному уравнению относительно a(t), решение которого имеет вид:

(

«ко=

а/К -w«-До) f и>, -ап

+ -

w.

/

ИЧ

-1

(3)

2

Из (3) можно получить оценку характерного времени развития неустойчивости:

Для виртуальной волны с тепловой амплитудой ~ л/kT/у (к- постоянная Больцмана; Т - абсолютная температура жидкости) при W=2 характерное время нарастания амплитуды оказалось весьма большим: в использованных безразмерных переменных ~ 10*, а в размерных переменных, например для воды, граничащей с вакуумом, это время будет »2.5 • 104s, т.е. около семи часов (характерный масштаб обезразмеривания времени есть -Jp-g'/y, т.е. reí- -Jp-g'/у).

На рис.1 приведены временные зависимости амплитуд нелинейно нарастающих волн, рассчитанные при различных начальных амплитудах, много больших тепловой Рассчитанная по (3) амплитуда нелинейно растущей волны с течением времени проходит через максимум и начинает уменьшаться. Величина амплитуды нелинейной волны в максимуме не зависит от начальной амплитуды, но определяется

а

1.5

0.5

10

20

зо г

отношением коэффициентов при нелинейных поправках второго и четвертого порядков малости. Этот эффект связан с наличием поправки четвертого порядка малости по амплитуде к критическому значению параметра Тонкса-Френкеля, имеющей противоположный знак по сравнению с поправкой второго порядка. Если в рассуждениях ограничиться лишь поправкой второго порядка малости по амплитуде, то отмеченное на рис.1 ограничение амплитуды не имеет места, а амплитуда растет до бесконечности. Это связано с ограни-

Рис.1. Зависимости от безразмерного времени безразмерных амплитуд нелинейно растущих волн с безразмерным волновым числом к = 1 при №=2, рассчитанные по (3) для'различных начальных амплитуд: 1) а0 = 0.03 ; 2) а0 = 0.1;

3) о0 =0.3.

ченной применимостью полученных соотношений, а именно - с выходом за пределы равномерной пригодности разложения для формы волны. Максимум на кривых наблюдается, когда с ростом амплитуды поправка четвертого порядка малости сравнивается с поправкой второго порядка, и при больших значениях времени именно поправка четвертого порядка малости определяет затухание амплитуды.

Еще одним фактором, влияющим на скорость роста амплитуды неустойчивой волны, является степень закригичности напряженности электростатического поля (величины плотности поверхностного заряда), прикладываемою к невозмущенной поверхности жидкости. В экспериментах обычно определяются критические условия реализации неустойчивости, которые для хорошо проводящих жидкостей описываются соотношениями (1). Термин «хорошо проводящие жидкости» означает, что время максвелловской релаксации электрического заряда для них много меньше характерного времени реализации неустойчивости так, что электрический потенциал поверхности жидкости выравнивается быстрее, чем происходит ее деформация. В подавляющем большинстве реализованных в экспериментах ситуаций (например, известные эксперименты Тэйлора) это требование выполнялось, но полученные критические условия неустойчивости отличаются от (I) и зависят от условий проведения экспериментов. Это позволяет предположить, что в экспериментах напряженность электрического поля несколько превышала критическое значение и, следовательно, величина инкремента неустойчивости виртуальной волны определялась двумя факторами: степенью закритичности параметра (V и нелинейными поправками к критическим условиям. Рассуждения, аналогичные использованным при выводе (3) (4), но в предположении, что И'превышает IV, =2 на величину АIV, позволили получить закон временной эволюции амплитуды неустойчивой волны и аналитическое выражение для характерного времени развития неустойчивости:

s

F(t) = -

4 &IV F(l)

+ 4 AW - w4) • F(t) - 2 • w2 • F(l) <3% ■ exp(VÄjv ■ t)

(5)

2-AW + w2-a^ +2y]AW-(&W + w2-a% -w4-a*0) '

r = i—ln{-[(w; • а, + 2АЕГ) (16-4Г w2 a0'+16 (АЙ7)5 + • (w* -12 • w4 • ДЖ)) + 2-JAW

+ 2VXF • a02 + A^ - • a04 • (16 • Äff ■ w2 ■ a\ + 16 • (AW)' + a04 (3 • w* -- 4 • w4 ■ AlV))]/[2 • a04 • л/ÄF ■ a] + MV - wt ■ a* ■ (~w\ ~4-w,-AfV)-

На рис.2 приведены зависимости амплитуды нелинейно нарастающей волны от времени, рассчитанные по (5) при

а

1.5 1

0.5

5 ¡4

Ii!

Л

20

40

60

80

100

различных значениях степени закри-тичности А1¥ = параметра Тон-кса-Френкеля при тепловой начальной амплитуде виртуальных волн а„ =10"'. Несложно видеть, что кривые, приведенные на рис.2, качественно аналогичны кривым, изображенным на рис.1. Разница лишь количественная: характерное время реализации неустойчивости при Л\¥=0 и а0=Ю~8 очень велико / ~108, а при достаточно больших закритичностях АШФ 0 и аа =10 8 оно может быть весьма кратковременным ?~10-И00, т.е. хорошо согласуется с экспериментальными данными. Однако, остается вопрос о точности измерений напряженности электрического поля в этих экспериментах, поскольку есть основание полагать, что они были проведены при превышении параметром Ш критического значения на некоюрую величину АIV. Из рис.2-рис.З видно, что величина закритичности АШ при ее изменении в диапазоне от единиц до ста процентов от IV. существенно сказывается на величине характерного времени реализации неустойчивости.

Иначе говоря, экспериментальное измерение критических условий реализации неустойчивости заряженной поверхности электропроводной жидкости только тогда может считаться выполненным корректно, когда характерное время реализации неустойчивости, составляет величину «2.5-104 т.е. когда причиной неустойчивости при IV = ¡V. = 2 являются виртуальные волны тепловой природы. Только в таком

Рис.2. Зависимости безразмерных амплитуд нелинейно растущих волн при И/=2+Л с безразмерным волновым числом к = 1 и безразмерной начальной амплитудой а„=10"8 от безразмерного времени, рассчитанные по (5) при различных значениях начальной закритичности параметра Тонкса-Френкеля АИ/: 1) Д^ = 0.1; 2) ДГ=0.2; 3) Д^ = 0.3; 4) АШ = 0.5; 5) ДГ = 0.75; 6) ДЖ = 1; 7) АУУ = 2.

случае имеет смысл говорить об измерении истинно критической напряженности поля, и можно надеяться, что неустойчивость претерпела волна с к = 1 как и следует из теории Френкеля.

с 100

80

60 (

40^

20 " -__________

~~0.0002 0.0006 ЛИ 2 4 6 8 ЛЮ

а) Ь)

Рис.За,Ь Зависимости безразмерного времени развития неустойчивости т от величины начальной закритичности А1У параметра Тонкса-Френкеля, рассчитанные для волны с к=1, а0 = 10"* при изменении АИ^в различных диапазонах величины: а) 10~5 < Ш <10_3 ; Ь) 10"' < ЬМ <, 10.

Анализ зависимостей г = т(АЖ) (рис.3) и г = т(а0) (рис.4) показывает, что характерное время реализации неустойчивости может быть достаточно малым (меньше секунды) только при начальных амплитудах, существенно (на четыре порядка) превышающих тепловую амплитуду, или при закритичностях АРУ > 10~". На это обстоятельство необходимо обращать внимание в будущих экспериментальных проверках критических условий неустойчивости Тонкса-Френкеля и аккуратно измерять в экспериментах физическую величину, на которую раньше никто не обращал внимания - время реализации неустойчивости. При ЬМ =0 зависимость характерного времени реализации неустойчивости заряженной плоской поверхности жидкости г = т(а0) в широком диапазоне изменения начальной амплитуды Ю^8 < а0 << 1 мало отличается от чисто гиперболической:

Да»

В заключении параграфа исследовались закономерности пространственного формирования конуса Тейлора, в предположении, что в начальный момент времени при Ж=2 претерпевает неустойчивость мода с волновым числом к = 1, ее амплитуда нарастает по закону (4). а на ее вершине по мере увеличения локальной поверхностной плотности электрического заряда претерпевают неустойчивость все более короткие волны. В результате, для моды, вносящей наиболее существенный вклад в

6000,! 4000

2000-

г 2 0 1 0

0.1 0.2 0.3 0.4 °°

Рис.4. Зависимость безразмерного времени реализации неустойчивости г от начальной амплитуды волны, рассчитанная при к~1,

форму эмиссионного выступа (с наибольшим инкрементом неустойчивости), волновое число со временем будет медленно (в масштабах характерного времени развития неустойчивости) меняться. Определим «локальность», как размер пространства, порядка половины длины волны с к = 1, и усредним величину параметра Тонкса-Френкеля по полупериоду. Полученное значение будет зависеть от амплитуды, временная эволюция которой описывается выражением (5). Результат такой операции подставим в выражение для волнового числа наиболее неустойчивой моды, и получим соотношение, связывающее амплитуду и волновое число, как функции от времени. От этого соотношения, справедливого лишь на малом временном интервале, также как и в случае построения (3) и (5), можно перейти к интегральному выражению:

Г— (Л

С[0.22-^х/ а (-2.54 + 6.58 - )]

4 = а0

г т 0.69 а . лп х.

■ созЫ+ —V- • {соэО.49 —) •

Ых/а а

+ Бт(1.49-—) а

£[0.22 • 4хТсс (-2.54 + 6.58^)]

(6)

«с

Здесь С [г] и 5 [г] - интегралы Френеля. Соотношение (6) описывает в размерных переменных форму выступа амплитуды а, развившегося из периодического возмущения с к = а"' амплитуды а0 при ¡V = 2. Расчеты показали, что основание такого выступа существенно уже, чем у выступа синусоидальной формы, что является причиной увеличения кривизны вершины выступа по сравнению с предсказываемой линейной теорией.

Явления, обнаруженные в результате исследований, описанных в первой главе являются новыми и важными для правильного понимания физических процессов, происходящих на нелинейной стадии развития неустойчивости заряженной поверхности жидкости.

Вторая глава посвящена построению теоретической модели нелинейных ос-цилляций заряженной капли.

В первом параграфе проведен краткий обзор работ по исследованию осцилля-ций заряженной капли. Отмечено, что хотя в линейном по амплитуде осцилляций приближении задача решена Рэлеем более ста лег назад, теоретическое исследование нелинейных осцилляций заряженной капли началось только в последние двадцать лет. В этой связи, остаются неисследованными ряд важных для теории и различных приложений вопросов: построение общей многомодовой модели осцилляций заряженной капли; исследование возможных каналов распада нелинейно осциллирующей заряженной капли; исследование влияния заряда капли на глубину меж-модового резонансного взаимодействия; оценка характерного времени резонансного взаимодействия мод осцилляций и определение положений внутренних резонансов. Фактически не исследованы закономерности вопросы об интенсивности и строении спектров акустического и электромагнитного излучений от нелинейно осциллирующей заряженной капли.

Во втором параграфе исследовалась эволюция во времени формы нелинейно осциллирующей поверхности капли идеальной, несжимаемой идеально проводящей жидкости с плотностью р, коэффициентом поверхностного натяжения у Принималось, что капля находится в вакууме, нссет полный электрический заряд Q, а ее объем определяется объемом сферы с радиусом R. В начальный момент времени t О сферическая форма капли претерпевает виртуальное многомодовое осесимметрич-ное возмущение фиксированной амплитуды. Ставилась цель найти спектр возникающих капиллярных осцилляций капли (форму капли) в последующие моменты времени t>0. Математическая формулировка задачи представляет собой стандартный набор уравнений и граничных условий классической электр-огидродинамики идеальной жидкости, дополненных условиями сохранения объема капли, ее полного заряда и сохранения положения центра масс капли в начале сферической системы координат Огвф. Полагалось, что в начальный момент времени имеется деформация равновесной сферической формы капли, а скорость движения ее поверхности равна нулю:

/ = 0: ■ 4 (в) = 40 Р0 (ц) + £ Р, (и) + *\Р, (м); = 1;

Здесь Е - множество значений номеров изначально возбужденных колебательных мод; (1= cosO; с - амплитуда начального возмущения; Р, (j¿) - полиномы Лежандра порядка i; ht - коэффициенты, определяющие парциальный вклад /-той колебательной моды в суммарное начальное возмущение; и - константы, определяемые из условий неизменности объема и неподвижности центра масс капли.

Задача была решена методом многих масштабов во втором приближении по е при докритических, в смысле линейной устойчивости, значениях заряда, т.е. когда безразмерный параметр W = Q1 /(4тгуR3), обычно называемый параметром Рэлея удовлетворяет условию W < 4. Для закона эволюции во времени формы поверхности капли r(0,t) было получено выражение:

r(e,t) = l + sYJM(,'> Р,(ц) +e2YJM<n2> Рп(/л) +0(s3); M¡h = h, cos(<ot t); -

=4 2>, . M|U> = - cos^o costa., 0;

2,6H (2í + 1) (2/ -1)(2/ +1)

M™ = К(0-^(0) costa,, OÍ n >2;

ВД=4 Z^fc' cosita+®y)0 + 4>cos(ta-^)o]

I ier.

col =«f" - l)í(n + 2; - W ]; = 7 '

W

со* (n - г + l)+2n( j( j+ !)-!)+(j(i + l)-i(2i - 2n + 7)+3)n—

1 2 W -wf

„ ,n >! 1 n \ ЛУп = Куп( 2-i + l) + «„„-( I + -),

где и , - коэффициенты Клебша-Гордана. Главное преимущество полу-

ченного выражения по сравнению с работами других авторов состоит в том, что это общая форма закона эволюции формы поверхности капли, в зависимости от любой исходной многомодовой начальной деформации ее поверхности.

Моды осцилляций с номерами /, у е Н во втором по е порядке малости нелинейно взаимодействуют с модами п, удовлетворяющего условиям | г - /п < г + у , г + у + п - четное. Мода с номером п возбуждается во втором по е приближении в результате взаимодействия мод с номерами г, } даже если в спектре начального возмущения ее амплитуда равнялась нулю. В некоторых ситуациях, если выполняется условие:

е>2п-(а,,±<0])2 =0, (7)

нелинейное взаимодействие имеет резонансный характер. В окрестности положений точных резонансов выражение для М(п2> (I) содержит малый знаменатель, и процедура решения задачи нуждается в модификации. Анализ показывает, что если оставаться в рамках модели идеальной жидкости, то никакие комбинации ¡-ой и .¡-ой мод ни при каких докритических значениях параметра W не позволяют вызвать резонанс основной (п=2) моды, хотя третья, четвертая и другие низкие моды резонансно раскачиваются.

Выяснилось, что для выполнения закона сохранения объема капли, в спестре нелинейных осцилляций капли обязательно должна присутствовать нулевая мода, амплитуда которой имеет второй по е порядок малости. Кроме того, если в спектре начального возмущения имеются моды с соседними номерами, то происходит возбуждение еще и первой трансляционной моды, таким образом, чтобы положение центра масс капли не изменялось с изменением степени асимметрии формы капли относительно ее экваториальной плоскости.

Физическая сущность обнаруженных во втором параграфе фактов теории нелинейных колебаний заряженной капли рассмотрена в следующих параграфах главы.

В третьем параграфе проведены модельные расчеты по формулам, полученным в предыдущем параграфе для случая одномодовой начальной деформации с номерами и = 2,3,4,5 при слабо докритическом значении параметра Рэлея И7 = 3.8. Выяснилось, что во всех случаях при достаточно большом времени (достигающем границы интервала равномерности решения по () капля проявляет тенденцию к делению на части сравнимых размеров. Характер деления симметричный, если начальное возбуждение представлено модой с четным номером и асимметричный, если этот номер нечетный.

В четвертом параграфе рассмотрены резонансные нелинейные осцилляции заряженной капли. Процедура решения, реализованная во втором параграфе, модифицировалась с помощью введения параметра расстройки а, связанного с величиной параметра Рэлея (V : для частот резонансно взаимодействующих мод полагалось, чю со, - со. = й)п (1 + с о~) Были выполнены модельные расчеты временной эволюции до-

бавок второго порядка к амплитудам мод участвующих в трехмодовом комбинационном взаимодействии в резонансном и околорезонансном положении. В диссертации представлены примеры расчетов, как для невырожденного взаимодействия / = 4, у = 5, и = 7, так и для вырожденного / = 4, / = 4, п = 6. Выяснилось, что при IV <4 трехмодовое нелинейное взаимодействие имеет резонансный характер, независимо от величины расстройки. С уменьшением степени расстройки увеличивается а) характерное время резонансного взаимодействия, определяемое временем нарастания амплитуды возбуждаемой за счет взаимодействия моды до максимального

значения; Ь) характерное

см^.ем*1»

еМ^ЧеМ*1»

0.1

0.05

И й

1 г, I )

¡А

ь.

о

-0.05 г

I

ЙГ.......

).!!!!'М И:'!,

I >■■

'I 1,ь

гг-н-

1,

II

¡1 ¡1

к ^

-0.1

Рис.4. Зависимости от безразмерного времени безразмерных амплитуд резонансно взаимодействующих мод четвертой и шестой мод (вырожденное трехмодовое взаимодействие) при е=0.3, когда начально возбуждена только четвертая мода: а) \¥=2.66667 ( точный резонанс); Ь) W=2.5

жидкости. Строго решить задачу о расчете нелинейных осцилляций вязкой капли пока не представляется возможным в виду крайней сложности проблемы. Поэтому для достижения поставленной цели использовалось известное из линейного анализа

время нахождения энергии в резонансно раскачиваемой моде; <!) доля энергии, передаваемой от изначально возбужденной моды к резонансно возбуждаемой моде (полная перекачка энергии имеет место только в положении точного резонанса). Выяснилось, что в случае участия какой-либо из мод одновременно в нескольких резонансных взаимодействиях, возможна резонансная перекачка энергии из мод с высокими номерами в моды с более низкими номерами. Этот факт может стать причиной распада капли заряженной ниже Рэлеевского порога IV <4.

В пятом параграфе выполнен качественный анализ возможности под-сторйки резонансных условий (7) при докритиче-ском значении собственного заряда капли за счет варьирования вязкости

дисперсионное уравнение для капиллярных осцилляций заряженной вязкой капли, которое в безразмерных переменных, в которых р = Я = у = \ имеет вид:

(п- 1)[13 + 4п(5 + 2п)]

2п(2 + п -IV )

Для качественного исследования принималась гипотеза о слабом влиянии малой вязкости на условие реализации резонанса, и среди решений дисперсионного уравнения для вязкой капли искались тройки частот, удовлетворяющие условию (7). Роль резонирующей частоты выполняла основная мода п — 2. Из таблицы, где приведены результаты расчетов при v = 0.04, видно, что имеется много возможностей для резонансной раскачки основной моды за счет взаимодействия высоких мод. Таким образом, для вязкой капли нелинейная резонансная раскачка основной моды возбужденными высокими модами может иметь место при существенно докритиче-ских значениях ее собственного заряда.

В шестом параграфе построена теоретическая модель электромагнитного излучения от нелинейно осциллирующей заряженной капли. Новизна этой модели связана с предсказанием у нелинейно колеблющейся капли возбуждения трансляционной моды, если в спектре начального возмущения присутствуют две моды с соседними номерами j и у +1. Хотя центр инерции капли в процессе ее осцилляций неподвижен, центр инерции поверхностных зарядов совершает осцилляции, что приводит к появлению дипольной составляющей в спектре электромагнитного излучения, а не только квадрупольной, предсказываемой линейной теорией. Для оценки интенсивности дипольного излучения была решена задача, аналогичная рассмотренной во втором параграфе, но с электрической частью, представленной полной системой уравнений электродинамики. Интенсивность дипольного электромагнитного излучения от нелинейно осциллирующей заряженной капли оценивается формулой:

Таблица

i j W

84 86 0.72

85 87 1.70

86 88 2.46

87 89 3.03

97 95 3.29

98 96 2.95

99 97 2.54

100 98 2.08

101 99 1.56

102 100 0.99

103 101 0.37

_ 4q2e2r sr

3 ^ 1X27+1) ^ + >т

где с - скорость света. Например, кучевое облако с характерным линейным размером 5 km, с концентрацией капель п « 103 cm"3, при R »30 цш; у = 12 dyn/cm, р = \

g/cm при £ = 0.1, hm =A,0i =0.5 и Q = 2.5-Ю10 CGSE будет излучать на частотах

порядка мегагерц с интегральной интенсивностью / и 10"6 W. В качестве источника

возбуждения колебаний капель могут выступать различные внутриоблачные микрофизические процессы.

Седьмой параграф посвящен исследованию акустического излучения от нелинейно осциллирующей заряженной капли. Для осциллирующей капли, как акусти-

ческого излучателя весьма важен факт существования осцилляций нулевой (пульса-

ционной) и первой (трансляционной) мод, которые обнаруживаются в нелинейном

приближении. Наличие осцилляций нулевой моды приводит к появлению в спектре акустического излучения от осциллирующей капли монопольной составляющей, а с осцилляциями первой моды связано появление дипольной составляющей излучения Для оценки интенсивности дипольного и монопольного акустического излучения от нелинейно осциллирующей заряженной капли была решена задача, аналогичная разобранной во втором параграфе, но с акустической частью, представляющей собой волновое уравнение для потенциала скоростей в окружающей каплю сжимаемой среде с соответствующими граничными условиями. Для получения финальных оценок использовались известные из акустики выражения для монопольного и дипольного акустического излучения от сферы радиуса R, совершающей пульсационные и трансляционные колебания. Амплитуда и частота, определялись, как амплитуда и частота нулевой и первой мод. Влияние заряда капли сказывается в изменении частот акустического излучения. В модельном рассмотрении принималось, что в lib«3пространства, занятого дождем находится 3-1014 капель радиуса R = 250 |im. При величине коэффициента поверхностного натяжения у-12 dyn/cm; плотности жидкости р! = 1 g/cm3; плотности окружающего воздуха р2 = 1.3 • 10~3 g/cm3 ; скорости звука воздухе V = 3.3-104 cm/s даже при одномодовом начальном возбуждении второй моды с амплитудой в 0.1-Л интегральная интенсивность монопольного излучения от облака на его границе будет соответствовать силе звука в 60 dB, что соответствует фомкой человеческой речи. В предложенной оценке для частоты излучения килогерцового диапазона полагалось W « 1.

Для появления дипольного излучения необходимо вместе со второй возбудить третью моду. Интенсивность дипольной составляющей в этих условиях будет соответствовать силе звука в 28 dB. Таким образом, и дипольная и монопольная составляющие акустического излучения могут восприниматься человеческими органами слуха. В формировании шума дождя, участвуют не только удары капель о наземные предметы, но и осциллирующие заряженные капли.

Все эффекты, описанные в параграфах второй главы являются важными, новыми и расширяют существующие представления о физических явлениях, связанных с осцилляциями заряженной капли.

В третьей главе исследованы решения задачи о периодических нелинейных волнах на заряженной поверхности вязкой глубокой электропроводной жидкости. Можно сказать, что речь идет об обобщении понятия волны Вилтона на случай вязкой, поверхностно электрически заряженной электропроводной жидкости. Понятие «волна Вилтона» возникло в начале прошлого века, как естественное обобщение хорошо известной «волны Стокса», и отличается от нее включением в модель волнового движения капиллярных сил на поверхности жидкости. «Волны Вилтона» - нелинейные периодические капиллярно-гравитационные волны на поверхности глубокой идеальной несжимаемой жидкости.

Первый параграф главы посвящен обзору работ посвященных учету вязкости в задачах по определению эволюции свободной поверхности жидкости. Показано, что учет вязкости в таких исследованиях - большая проблема, общая для задач с самой разнообразной геометрией свободной поверхности жидкости: волновые

возмущения плоской поверхности; эволюция свободной поверхности капель и струй и т.п.. Отмечено, что в течении последнего века нелинейное решение уравнений На-вье-Стокса, которое в пределе малой вязкости переходит в волну Вилтона было неизвестно.

Во втором параграфе решена задача аналитического расчета формы нелинейной капиллярно-гравитационной волны на электрически заряженной поверхности вязкой глубокой идеально проводящей жидкости. Полная математическая формулировка задачи представляет собой систему уравнений Навье-Стокса, для поля скоростей в жидкости, уравнение Лапласа для потенциала электрического поля над жидкостью и стандартные граничные условия. Полагалось, что жидкость, имеет плотность р кинематическую вязкость v, коэффициент поверхностного натяжения у и заполняет нижние октанты декартовой прямоугольной системы координат Oxyz, ось Oz которой направлена вертикально вверх против направления поля сил тяжести g. В результате решения во втором приближении по амплитуде получена форма периодической капиллярно-гравитационной волны, распространяющейся в направлении Ох:

£{x,t)=a-cos{0)-exp{rt)+a2 •(£, • cos(2¿?)-£2cos(20))• exp(2rt); (8)

в = cot-кх\ а = 1ш(5); г = Re(s);

¡2k2+^j = i 0o2=íg(l + A2-d(f); (9)

Первое слагаемое в (8) - решение задачи в линейном приближении по амплитуде волны. Второе - добавка второго порядка малости по амплитуде, уточняющая линейное по амплитуде решение ¿;a(x,t) = а ■ cos(d)- exp(rt). Как и прежде, к, со а и W - волновое число, частота, капиллярная постоянная жидкости и параметр Тонкса-Френкеля, пропорциональный квадрату поверхностной плотности электрического заряда Переменная a>(¡ имеет смысл частоты волны £а(х,/) в пределе исчезающее малой вязкости; параметр г <0, если W <2 и определяет декремент затухания волны £/:(x,t). Если \ак + W > 2, то со = 0, a £a{x,t) является косинусоидой, амплитуда которой экспоненциально с показателем г > 0 нарастает во времени. Нарастающие во времени решения появляются в линейном по амплитуде приближении при тех же условиях, при которых реализуется, проанализированная во второй главе неустойчивость Тонкса-Френкеля. Той же является и причина - доминирование электрических сил над лапласовскими на гребнях волн. Вязкость на критические условия реализации неустойчивости не влияет. Дисперсионное уравнение (9) имеет в общем случае четыре комплексных решения. Среди них выбирался корень, лежащий на верхнем листе римановой поверхности, на которой определено дисперсионное уравнение, и отвечающий волне, распространяющейся в положительном направлении оси Ох (шкой корень только один). Полные аналитические выражения для коэффициентов и весьма сложны и, чтобы не загромождать изложение, здесь не приводятся.

В этой части диссертации основной научный результат представляет собой предложенная процедура отыскания решения (8) Основная идея очевидна: не иере-

ходя к пределу малой вязкости, проводить разбиение задачи на порядки малоеш только по амплитуде волны, и последовательными приближениями уточнять решение линейное по амплитуде. Сложность состоит в том, что, начиная со второго приближения, приходится искать частное решение неоднородной задачи, для определения вида которого нет строгого алгоритма. Этот простой по идее путь решения громоздок, четкий алгоритм построения решения отсутствует, и его избегали в течении целого века, как низко рентабельный по длительности реализации и сложности результирующих выражений. Анализ нелинейных волновых решений в приближении малой вязкости проводился ранее неоднократно, но все эти расчеты имели существенный недостаток: в них условие на касательные натяжения либо необоснованно упрощалось, либо выпадало из модели в связи с плохо артументированным упрощением уравнений Навье-Стокса вблизи свободной поверхности. При таком подходе, при возникновении необходимости учета влияния релаксационных эффектов (заряда или поверхностно-активного вещества), задача становилась противоречивой. Релаксационные эффекты приводят к появлению касательных натяжений первого порядка малости по амплитуде волны и нулевого по вязкости. Эти натяжения появляются в условии на касательные натяжения, но после упрощений, связанных с малостью вязкости, не компенсируются касательными напряжениями того же порядка малости. Методика, предложенная в диссертации, свободна от этого недостатка и непротиворечиво модифицируется на случай влияния релаксационных эффектов.

В третьем параграфе проведен анализ решения (8) при отсутствии поверхностного заряда. Оказалось, что найденное решение в пределе малой вязкости стремится к выражению, совпадающему со вторым по амплитуде приближением для волны Вилтона. Из (8) видно, что благодаря вязкости линейная по амплитуде и квадратичная по амплитуде часть решения при ¡V <2 затухают с разной скоростью: декремент затухания добавки второго порядка малости вдвое больше, чем у добавки первого порядка малости. В результате периодичность волны оказывается сохраняющейся только по пространственной координате, но не по времени. Расчеты показали, что увеличение вязкости нарушает симметрию формы волны, относительно вертикали, проходящей через ее вершину. Решение (8) при IV = 0 особенно сильно отличается от известных решений, полученных для волн на поверхности идеальной жидкости, в окрестности значения волнового числа к, = 1 / %/2 , которое по Найфэ и Мак-Голдрику называют резонансным, в связи с тем, что для идеальной жидкости без поверхностного заряда профиль волны описывается выражением:

£(х,г) = а • со5(б>и) ■+ а1 ■ А • со${2в0); А = - к + а \ }; в0=Ф01-кх. (8а)

2 1 ™ к

Видно, что зависимость модуля амплитудного множителя А при добавке второго порядка малости от волнового числа к имеет резонансный характер и обращается в бесконечность при к = к,. В этом случае разложения, использованные для вывода (8а), перестают быть справедливыми Так проявляет себя вырожденное трехмодовое резонансное взаимодействие, подробно исследованное в работах Саймона, Мак-Го л дрика и Найфэ. В полученном в настоящей диссертации выражении (8) при V*- 0 амплитудные коэффициент и £,г квадратичной по амплитуде добавки не обращаются в бесконечность. Поэтому при достаточно малом а выражение (8) ос-

тается применимым при к = к,, в отличии от (8а). Например, форму тремокапилляр-ных периодических волн на воде с амплитудой в несколько ангстрем (8а) и с волновым числом к = к. нельзя описать с помощью (8а), но правомерно представлять с помощью (8).

В четвертом параграфе соотношения (8) (9) анализировались в приближении малой вязкости. Речь идет не о подвергнутом критике переходе к малой вязкости в исходных уравнениях, а о получении приближенных, удобных для вычислений аппроксимаций алгебраических выражений (8), (9). Выяснилось, что представляющий интерес корень дисперсионного уравнения (9) имеет регулярное представление:

5 =

А=--г

и! а8п

п-2

\vk4r.

>■, г0 = ^(аМ¥^а2к2 -]) (10)

о

Здесь фигурные скобки обозначают функцию выбора по условию: (А\ _ ¡А, если Ж<{сак + (ак)'1) [В, если Ж>{ак + (<тк)"') В вычислениях нужно учитывать, что вспомогательные переменные Д и 8 связаны неявной зависимостью <?)= 0, и что при ЦТ <{ак + {ак)А) вычисление -\р + 8г нужно проводить на ветви, на которой этот квадратный корень при /? = 1, 8 = 0равнее единице, а при IV >(ак + (ак) 1) используется ветвь, на которой при /3 = 1, 8 = 0 квадратный корень равен (1 + /)/-У2.

Например, если в (10) ограничиться точностью ~ %2, то для <у = 1т(5) и г - Ке(^), входящих в (8), получатся простые приближенные выражения:

0 \ + |

Коэффициенты разложения при х2 получаются нулевыми. По формулам (10) вычисляется любой начальный отрезок ряда для величин а или г по степеням ^1/2. Коэффициенты ¿Г, и зависят от а и г. Зная приближенные выражения для а и /-, можно найти разложения для и С,г по степеням вязкости:

/ , , \ {оМ

_1 [1 + а2к7 -2ак1У)

й) =

С2 =

\-1а2к2

4к

В \~1а2к2 к2со0 2(2-а2к2 -2акж) 1-2 а2к2 0

1+оП

(12)

(13)

Формулы (12),(13) существенно проще и информативнее полных аналитических выражений для и Их легко применять на практике и использовать для общего анализа выражения (8).

и ,, __________________В пятом параграфе на ос-

I нове анализа решения (8) со вспомогательными величинами, вычисленными по упрощенным формулам (И)-(13) проведен р анализ влияния поверхностного электрического заряда на формы нелинейных периодических волн на заряженной поверхности вязкой глубокой жидкости. Выявленные закономерности были проверены расчетами по точным формулам. Выяснилось, что на плоскости параметров (ак,Ж), кроме границы £ (уравнение ¡V = (рек + (сЛ)-1)) устойчивости заряженной поверхности жидкости по отношению к избытку электрического заряда, интересную роль играет линия Г с уравнением И7 = 0.5 • (ак + (ак)']) и прямая ак = 1 / 42. На рис.6 с помощью этих линий выделены области реализации различных режимов нелинейного волнового движения. Область над кривой Ь - неустойчивые решения. В заштрихованных областях, ограниченных кривой Г и прямой ак = 1/-У2, волны имеют заостренные вершины. В незаштрихо ванных областях волны имеют притуплённые вершины (см. рис. 7).

Рис.6

к=1 к=0.6 Рис. 7. Профили нелинейных волн, построенные в различные моменты времени в безразмерных переменных, в которых p = g = Y = \, при V = 0.01. Амплитуда волн уменьшается со временем за счет влияния вязкого затухания, ввиду док-ритичности значения параметра Тонкса-Френкеля ^ = 1.5. 0 (1); 1=30 (2); 60(3)

На линии Г амплитуда А = у^,2 + С,\ добавки второго порядка малости имеет минимум, который стремится к нулю в пределе V 0. На этой линии интенсивА

Рис.8. Зависимости в безразмерных перменных, в которых p-g = y = l, модуля амплитуды А добавки второго порядка малости от волнового числа к, при v = 10~2 и различных значениях параметра W: а) W = 0 (1); W = 0.5 (2); W = 1 (3) b)W = 1.5 (слабый пик); W = 2.0 (сильный пик)

ность внутреннего межволнового взаимодействия минимальна. В частности, высота резонансного пика, расположенного на зависимости А = А(к) над точкой к = к., существенно снижается при значениях W = 0.5 -(l/V2 + -у/г)» 1.06 (см. рис.8). При таких значениях поверхностного заряда выражение (8) для формы волны на поверхности вязкой жидкости хорошо работает даже когда речь идет не о термокапиллярной волне, а, например, о волне на воде с длиной X = 2.4 cm и амплитудой в несколько миллиметров. Разработанная в диссертации теория предсказывает, что форма этой

волны будет весьма близка к косинусои-дальной. Искажения, связанные нелинейностью могут быть нейтрализованы подбором значений поверхностного заряда.

В этой части диссертации проанализированы различные варианты эволюции поверхности жидкости, в том числе при закритических значениях плотности поверхностного заряда. Как и в первой главе получилось, что в условиях закри-тичности поверхностного заряда амплитуды эмиссионных выступов быстро увеличиваются за счет преимущественного роста нелинейной добавки. С увеличением вязкости кривизна вершины эмиссионного выступа уменьшается.

Самый важный результат этой час-

Рис.9. Форма эмиссионного, выступа, развивающегося из начальной деформации равновесной плоской поверхности вида (72) при к = 1; V = 0.1 А = 0.3; \¥ = 4 в различные моменты безразмерного времени: а — 1=0; Ь -(=0.1; с - (=0.2..

ти диссертации - решение во втором порядке малости по амплитуде волны задачи о

расчете формы капиллярно-гравитационной волны со строгим учетом вязкости жидкости. Задача решена впервые за столетнюю историю существования. Развитая процедура решения пригодна для решения более общей задачи исследования влияния релаксационных эффектов на движение свободной заряженной поверхности жидкости. Обнаружилось, что нелинейные периодические волны при наличии поверхностного заряда по своей форме существенно отличаются от капиллярных волн, и именно они, претерпевая неустойчивость, формируют эмиссионные выступы. Поэтому для них предложено специальное название «электро-капиллярные волны».

В четвертой главе диссертации исследовано влияние релаксационных эффектов на нелинейные периодические движения на заряженной поверхности жидкости.

В первом параграфе проведен строгий вывод закона сохранения вещества (заряда или поверхностно-активного вещества), релаксирующего на криволинейной границе раздела двух сред. В силу некорректного обобщения этого закона, строго выписанного в известных монографиях Ландау Л.Д., Лифшица Е.М. и Левина Л.Г. только в линейном приближении по амплитуде отклонения виртуальной границы раздела от равновесной плоской поверхности, на случай криволинейных поверхностей, в нем оказалось упущенным слагаемое, пропорциональное средней кривизне невозмущенной границы раздела (равное нулю для плоской поверхности). В итоге, значительное количество задач, посвященных исследованию релаксационных явлений на криволинейных поверхностях с отличной от нуля кривизной невозмущенной равновесной поверхности, отталкивавшихся от такого некорректно выписанного закона сохранения вещества, привели к ошибочным результатам. Ошибка, о которой идет речь, никак не связана с наличием или отсутствием в записи закона диффузионных членов, поэтому, чтобы не загромождать изложение, обсуждалась бездиффузионная форма его записи.

Пусть две вязкие несжимаемые несмешивающиеся между собой жидкости

—► -*

разделены поверхностью S. Поле скоростей течения жидкостей W(r,t), связанное, например, с капиллярным волновым движением, на поверхности S, изменяется непрерывным образом и в любой момент времени в любой точке поверхности S пред-ставимо в виде:

где лиг- орты нормали и касательной к поверхности Б в рассматриваемой точке. Бездиффузионная дифференциальная форма закона сохранения вещества, распределенного по свободной поверхности, имеет вид:

Здесь Г - поверхностная концентрация вещества; - оператор поверхностной дивергенции. Среднее слагаемое в (14) отвечает за изменения поверхностной концентрации вещества, происходящие в результате локальных растяжений и сжатий, которые имеют место на поверхности раздела двух жидкостей при ее движении и деформации. Именно оно потеряно в ряде известных работ по каплям и струям, когда уже в первом приближении по амплитуде отклонения свободной поверхности от равновесной формы это слагаемое имеет тот же порядок малости, что и остальные

W(r,t) = u(r,t) -n+U(r,t)-T,

(14)

слагаемые (14) Для плоской поверхности в первом приближении по амплитуде волны среднее слагаемое в (14) имеет более высокий порядок малости, чем остальные ввиду того, что кривизна свободной поверхности в равновесном состоянии равна нулю. В процессе доказательства (14) была получена интегральная форма записи обсуждаемого закона сохранения:

¡¡—(8+ $тф-к)-сИ+ =

¡мд* Ю) -чо V '

Здесь Щ~) - субстанциальный контур, ограничивающий связную часть движущейся

границы раздела; 5(/) - часть поверхности раздела, ограниченная контуром Щ); к -единичный орт, нормальный к ¿(г), касательный к

Во втором параграфе четвертой главы проведено исследование нелинейного взаимодействия релаксационных волн, связанных с перераспределением поверхностно-активного вещества (ПАВ), с капиллярно-гравитационными волнами на заряженной поверхности вязкой глубокой жидкости. Полагалось, что в декартовой системе координат Охуг, с осью Ог, направленной против направления действия силы тяжести, вязкая несжимаемая идеально проводящая жидкость заполняет полупространство 2 < 0. Жидкость имеет плотность р и кинематическую вязкость V. На ее свободной поверхности равномерно распределены: электрический заряд с поверхностной плотностью к0 и ПАВ с поверхностной плотностью Г0. Полагалось, что по свободной поверхности жидкости в положительном направлении оси Ох в начальный момент времени 1=0 начинает распространяться бегущая периодическая волна длины Л. Требовалось найти ее профиль при I > 0. В процессе распространения волны ПАВ перераспределяется по свободной поверхности жидкости, так что его концентрация оказывается функцией времени и координаты Г = Г(/, х). Локальные изменения в концентрации ПАВ вызывают локальные изменения величины коэффициента поверхностного натяжения у. В качестве модели зависимости у - ^(Г) принималось допущение о локальном термодинамическом равновесии между поверхностной фазой ПАВ и жидкостью. Это означает, что изменение локального значения концентрации ПАВ мгновенно вызывает изменение локального значения коэффициента поверхностного натяжения в соответствии с изотермой у = /(Г"), считающейся известной. Учитывалась поверхностная диффузия ПАВ (О -диффузионный коэффициент).

Математическая формулировка задачи представляет собой стандартный набор уравнений электро-гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости со стандартными граничными условиями, в том числе с условием сохранения ПАВ, которое на свободной поверхности имеет вид:

г = £ = 3,г + —^¡МГиЭ+д^Г Э_.и+Э,(Гу))+(Э,£)гГ дг у]-

1 + 1 ох)

и с условием баланса касательный натяжений, содержащим релаксационную касательную составляющую, пропорциональную поверхностному градиенту коэффициента поверхностного натяжения:

- р V [(? • (й - У){?)+ (п- (т • )]+ -7=^== = 0. (16)

Здесь и и V - горизонтальная и вертикальная компоненты поля скоростей С/, а п и г - нормальный и касательный орты к возмущенной поверхности.

Задача решена методом, развитым в третьей главе во втором приближении по амплитуде волны. Для формы капиллярно-гравитационное волны было получено выражение, аналогичное (8), но с коэффициентами и , которые кроме прочего зависят от свойств пленки ПАВ: от параметров 77, =Г0(Л"/й?у)0 и И2 ~ Г02 (<Л~/ (¡у)0, имеющих размерность поверхностного натяжения и определяемых по наклону и кривизне изотермы Г = Г(/) в точке у = уа, отвечающей значению коэффициента поверхностного натяжения на равновесной плоской поверхности. Параметры П, и П2 характеризуют упругие свойства пленки ПАВ и названы в работе первой и второй упругостью. Параметр П, для обычных ПАВ отрицательный. Громоздкие выражения для и С2 здесь не приводятся. Дисперсионное уравнение задачи имеет вид:

а{а + 3)

V ^ а1 +1 Л

//

4/3'

а{а + д) 4Д

V ч х "/"у /J

Я „ Ык2 . Аг'П, „ Бк2

где — =

а0 у щ рсо£ 0О

где а0 имеет тот же смысл, что и в (9). Среди множества корней дисперсионного уравнения только два расположены на верхнем листе римановой поверхности, на которой определено дисперсионное уравнение. Один из них можно условно связать с волной сжатий и разряжений ПАВ, а другой с капиллярно-гравитационной волной. Условность заключается в том, что возбуждение волны отклонений свободной поверхности жидкости, которую назовем «ведущей», вовлекает в движение пленку ПАВ, создавая в ней волну сжатий и разряжений, которая имеет статус «увлекаемой» Наоборот, если периодические сжатия и разряжения в пленке ПАВ считать «ведущими», то различные части пленки будут увлекать жидкость в периодически меняющихся направлениях. В связи с несжимаемостью жидкости возникнут периодические возвышения и углубления на свободной поверхности, и «увлекаемой» ста нет волна отклонений свободной поверхности от равновесного состояния. Капиллярно-гравитационные и волны сжатия-разряжения ПАВ не существуют независимо. Любая волна - их сочетание, но один из типов может оказаться «ведущей» волной, а другой «увлекаемой». «Ведущий» тип и используется для названия. Среди

двух представляющих интерес корней дисперсионного уравнения выбирался тот, который в пределе отсутствия ПАВ обращался в корень дисперсионного уравнения (9). Этот выбор означает, что рассматривались связанные волны: волна на свободной поверхности - волна в пленке ПАВ, в которых волна на свободной поверхности - «ведущая», а волна в пленке ПАВ - «увлекаемая».

Расчеты проводились в безразмерных переменных, в которых р = g = y-1 при значениях поверхностной плотности заряда, при которых поверхность устойчива в смысле линейной теории. Выяснилось, что, как и при отсутствии ПАВ, нелинейный характер волнового движения наиболее отчетливо проявляется вблизи резонансного

значения безразмерного волнового числа к. =1/42 .Зависимость + -А - А{к) как и прежде имеет резонансно подобный вид. Высота резонансного пика характеризует степень интенсивности нелинейного взаимодействия волны с волновым числом к (главное волновое слагаемое в (8), пропорциональное а; которое в четвертой главе называется «А:-волна») и волны с волновым числом 2к (поправочное волновое слагаемое в (8), пропорциональное а2; «2к-волна»). Фазовые скорости обеих волн совпадают. Изменение значения к не влияет на амплитуду а главного волнового слагаемого, но заметно сказывается на величине А, определяющей амплитуду 2к-волны. Таким образом, волновое число к, определяющее длину волны главного волнового слагаемого, влияет на амплитуду добавки второго порядка малости, и между к -волной и 2к -волной происходит внутреннее взаимодействие. Мерой интенсивности взаимодействия является величина д/С2 + С, \ =А = А(к).

Для исследования интенсивности внутреннего нелинейного взаимодействия анализировались зависимости

А = А(к,П1) и при фикси-

рованных значениях остальных параметров.

Выяснилось, что увеличение абсолютного значения упругости пленки ПАВ приводит к увеличению резонансного волнового числа, при котором нелинейное взаимодействие волн наиболее интенсивно (см. рис.10). Зависимость интенсивности нелинейного взаимодействия между отдельными гармониками, формирующими нелинейную капиллярно-гравитационную волну, от упругости пленки имеет не-моношнный характер. Существует значение упругости, при котором интенсивное 1Ь этою взаимодействия минимальна. Это значение сложным образом зависит от вязкости жидкости и поверхностной плотности заряда (см. рис. 11).

0.5 1 к

Зависимости А = А (к ) безразмерного амплитудного множителя поправки второго порядка малости к профилю волны от безразмерного волнового числа при IV = 0, построенные для: /;п,=0; 2;П,=-0.4.

В третьем параграфе четвертой главы исследовалось влияние релаксации заряда на нелинейные периодические волны на заряженной поверхности вязкой жидкости конечной проводимости. Задача формулируется аналогично, рассмотренной во втором параграфе четвертой главы. Отличие состоит в том, что жидкость теперь - не идеальный проводник, а обладает диэлектрической проницаемостью ей и удельной проводимостью а. Носители заряда на поверхности имеют коэффициент поверхностной диффузии D и поверхностную подвижность ц. В математической формулировке задачи появляется уравнение Лапаласа для электрического потенциала Фи в жидкости; стандартным образом видоизменяются граничные условия на электрические потенциалы над поверхности жидкости, а также выражение для электрического давления. Закон сохранения (15) выписывается относительно поверхностной концентрации заряда X = х{11х)- а в условие на касательные натяжения (16) заменяется соотношением

- pv[(f - (fi- V)t?)+ (й- (г • V)t/)j- х (f • У)Ф,„ = О, в котором имеется касательное натяжение, появляющееся из-за запаздывания перераспределения поверхностного заряда вслед за движением свободной поверхности. Запаздывание в движении зарядов нарушает эквипотенциальность свободной поверхности, что проявляется в появлении касательной к поверхности компоненты электрического поля, которая воздействуя на заряды, и создает касательное натяжение - ^ (г • V) Фш.

Задача решена во втором приближении по амплитуде волны, методом, развитым в третьей главе. Решение задачи имеет такую же структуру (8), как решение задачи третьей главы и задачи предыдущего параграфа. Отличие состоит в выражения для коэффициентов Çx и Ç2 > которые кроме, параметров от которых они зависели в третьей главе, зависят еще от удельного сопротивления жидкости г = 1/ег, и параметров £d, D и fi. Эти же параметры входят в дисперсионное уравнение:

F(a, р, R, Е, Д, M, ed ) = yja + p2 Re(F(a,/?,R,E,A,M,^))>0

строенная при к = 1/V2 и П2 = D = О 1) W = 1;2) W = 1.2; 3)W = 0.8.

~ Я (а2 +1 + 202(2а + А)) Е2Т~' а(1 + + е„ \а + А) + Е М)) 4 р" >

5 V*2 0 г ф0 Пкг „ Е0 к ^ Гл-

V ®о 4гг ®о й?0л/4л:р

в котором параметр й>0 имеет тот же смысл, что и в предыдущих задачах. Также, как и во втором парафафе, имеются два корня дисперсионного уравнения, связанных с волной, распространяющейся в положительном направлении оси Ох. По аналогии с задачей о релаксации ПАВ, один корень условно можно назвать капиллярно-фавитационным, а другой зарядово-релаксационным корнем. Условность следует понимать в том же смысле, что и при рассмотрении задачи тертьего парафафа о релаксации ПАВ.

Расчеты проводились в безразмерных переменных, в которых /? = # = / = 1 при докритических, в смысле линейной теории, значениях поверхностной плотности заряда. Релаксация заряда не влияет в линейном по амплитуде приближении на условия реализации неустойчивости, и они остаются теми же, что и условия реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля. Так же как и в случае исследования релаксации ПАВ был проведен анализ интенсивности внутреннего нелинейного межволнового

взаимодействия, за меру которого принималась величина 4С1 + =А.

Расчеты показали, что конечная проводимость жидкости наиболее существенно влияет на формы профилей нелинейных периодических капиллярно-фавитационных волн с волновыми числами, большими резонансного к,

= 1/42 « 0.707. Характер зависимости интенсивности нелинейного взаимодействия между отдельными гармониками, формирующими нелинейную капиллярно-фавитационную волну, от удельного сопротивления жидкости существенно зависит от величины поверхностной плотности заряда. При приближении величины поверхностного заряда к критическому значению для значений к из малой окрестности значения к = к, появляется отличное от нулевого значение удельного сопротивления, при котором интенсивность межмодового взаимодействия Рис.12. Зависимости А = А (г) минимальна (см. рис.12). Для жидкостей с ко- при значении безразмерного вол-печной проводимостью резонансное волновое нового числа к = 0.73, построен-число, при котором нелинейное взаимодейст ные для различных значений параметра \¥

вие волн наиболее интенсивно, несколько меньше, чем для идеально проводящей жидкости. Этот эффект, однако, на зависимостях заметен только при весьма низкой проводимости жидкости.

Влияние электропроводности жидкости на форму профиля периодической капиллярно-гравитационной волны гораздо менее существенно, чем влияние величины поверхностного заряда: изменение удельного сопротивления жидкости в широких пределах приводит к изменению интенсивности нелинейного межмодового взаимодействия на единицы процентов, в то время как варьирование поверхностной плотности заряда в докритической области изменяет интенсивность взаимодействия в несколько раз. (см. рис.14).

Все обнаруженные эффекты являются новьми и выявлены благодаря эффективности метода решения задач аналитического расчета формы нелинейных периодических волн на свободной поверхности глубокой вязкой жидкости, развитого в третьей главе диссертации.

А '

УН) / ^

Рис.13. Зависимости А = А{к) при W = 1.8,.* 1 - г = 0 ; 2 - г = 0.2 ; 3 -г = 0.75.

Л А

W=1.8 II

11 3

1 1 2

1 \МИ.5

/ / \ \

/у ---„--.---

0.6 0.8 L 1.2 к

1.2 1.4 к

Рис.14. Зависимости А = А(к) при безразмерном удельном сопротивлении г = 1, построенные для различных значений параметра W.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Найдено решение сформулированной еще в середине XIX века задачи о расчете нелинейных капиллярно-гравитационных периодических волн на поверхности вязкой глубокой жидкости.

2. Теоретический анализ влияния поверхностного заряда на закономерности реализации нелинейного периодического волнового движения на заряженной поверхности вязкой глубокой электропроводной жидкости показал, что наличие поверхностного заряда приводит к появлению качественно нового вида волн -«электрокапиллярных», - которые определяют особенности реализации неустойчивости поверхности жидкости по отношению к избытку поверхностного заряда.

3. Нелинейный анализ влияния эффекта релаксации электрического заряда на закономерности периодического волнового движения в вязкой глубокой жидкости с конечной электропроводностью показал, что положение внутренних нелинейных резонансов смещается при увеличении удельного сопротивления жидкости в сторону более длинных волн.

4. Анализ влияния поверхностно-активных веществ (ПАВ) на нелинейное волновое движение на заряженной поверхности глубокой вязкой жидкости привел к выводу, что уменьшение упругости пленки ПАВ смещает положение внутренних нелинейных резонансов в сторону коротких волн.

5. Нелинейный анализ критических условий реализации неустойчивости заряженной свободной поверхности жидкости, проведенный с точностью до слагаемых пятого порядка малости, выявил тенденцию к снижению критического для реализации неустойчивости значения поверхностной плотности заряда с увеличением амплитуды начальной деформации, что означает изменение типа точки бифуркации с транскритической на седло-узловую.

6. Развитая нелинейная модель пространственно-временной эволюции виртуальной начальной деформации неустойчивой к поверхностному заряду свободной поверхности жидкоеш позволила обнаружить что: 1) характерное время нелинейной стадии реализации неустойчивости обратно пропорционально амплитуде начальной виртуальной деформации, и для начальной деформации тепловой природы может измеряться часами; 2) скорость нарастания амплитуды неустойчивой волны существенно превышает экспоненциальную, предсказываемую линейной теорией; 3) увеличение средней кривизны поверхности вершины неустойчивой волны в основном определяется не ростом амплитуды волны, а сжатием ее основания, обусловленным суперпозицией высоких мод волн, возбужденных за счет нелинейного взаимодействия.

7. В нелинейном анализе осцилляций заряженной капли, эмиттированной с гребня неустойчивой волны, обнаружены монопольная и дипольная компоненты акустического излучения, превышающие по интенсивности интенсивность квадруполыюГо акустического излучения, предсказываемого линейной теорией.

8. Выяснилось, что нелинейно осциллирующая заряженная капля является источником дипольного (в отличие от предсказываемого линейной теорией

квадрупольного) электромагнитного излучения килогерцового диапазона, когда в спектре ее начальной деформации имеются две моды с соседними номерами.

9. Исследование закономерностей внутреннего нелинейного резонансного взаимодействия мод осцилляций заряженной капли показало, что: 1) положения резонансов зависят от величины собственного заряда капли и от вязкости жидкости; 2) даже существенное отклонение величины заряда капли от резонансного значения не приводит к исчезновению резонансного взаимодействия, но сказывается на его глубине и характерном времени обмена энергией между модами; 3) в вырожденных и комбинационных трехмодовых нелинейных резонансах обмен энергией между модами происходит в различных режимах: в первых энергия переносится только от низких мод к высоким, а во вторых в обоих направлениях; как следствие этого обстоятельства распадная неустойчивость возможна лишь для комбинационных резонансов.

Основные результаты опубликованы в работах:

1. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Коромыслов В.А., Белоножко Д.Ф. Капиллярные колебания и неустойчивость Тонкса-Френкеля слоя жидкости конечной толщи-ны//ЖТФ. 1997. Т.67. Вып. 8. С.27-31.

2. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Ширяева С.О. О минимальной для реализации эффекта гашения капиллярных волн концентрации поверхностно-активных ве-ществ//Письма в ЖТФ. 1997. Т.23. Вып.6. С.74-79.

3. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Муничев М.И. Зависимость от волнового числа критических условий неустойчивости заряженной пленки жидкости в поле флуктуа-ционных сил//Письма в ЖТФ. 1997. Т.23. Вып.9. С.66-70.

4. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Ширяева С.О. О неустойчивости заряженной свободной поверхности растворов инактивных веществ//Письма в ЖТФ. 1997. Т 23. Вып. 16. С.26-31

5. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Ширяева С.О., Щукин С.И. Об инкременте неустойчивости заряженной границы раздела несмешивающихся электропроводных жидкостей/ЯТисьма в ЖТФ. 1997. Т.23. вып.16. С.38-40

6. Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф., Ширяева С.О., Щукин С.И. О колебательной неустойчивости заряженной границы раздела несмешивающихся электропроводных жидкостей/ЯТисьма в ЖТФ. 1997. Т.23. Вып.21. С.32-36.

7. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Ширяева С.О. Неустойчивость заряженной границы раздела двух несмешивающихся вязких жидкостей с учетом релаксации за-ряда//ЖТФ. 1998. Т.68. Вып.9. С.13-19.

8. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Ширяева С.О. Неустойчивость плоской границы раздела двух несмешивающихся проводящих вязких жидкостей в нормальном электрическом поле//Изв. РАН МЖГ. 1998. №6. С.116-123.

9. Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф, Ширяева С.О. О некоторых закономерностях реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости//ЖТФ. 1999. Т.69. Вып.7. С. 15-22.

10. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Неустойчивость напряженной поверхности сильно вязкой жидкости/ЛТисьма в ЖТФ. 1999. Т.25. Вып.22. С.80-85. 11 . Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Характерное время развития неустойчивости капли, заряженной до рэлеевского предела/ЯТисьма в ЖТФ. 1999. Т.25. Вып. 15. С. 41-45.

12. Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Устойчивость заряженной капли вязкой электропроводной жидкости в вязкой электропроводной среде//ЖТФ.

1999. Т. 69. Вып. 10. С.34-42.

13. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Автоколебательная неустойчивость свободной поверхности вязко-упругой среды//Письма в ЖТФ. 2000. Т.26. Вып.З. С.80-85.

14. Белоножко Д.Ф., Ширяева С.О., Григорьев А.И. О взаимодействии капиллярных волн на заряженном тангенциальном разрыве поля скоростей/ЛТисьма в ЖТФ.

2000. Т.26. Вып.11. С.10-17

15. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Капиллярные колебания вязкоупругой среды под влиянием постоянного внешнего воздействия//ЖТФ. 2000. Т.70. Вып.11. С.25-33.

16. Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. О влиянии заряда на формирование волнового микрорельефа на поверхности вязкоупругой среды// Письма в ЖТФ. 2000. Т.26 Вып.21. С. 12-20.

17. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Нелинейные колебания заряженной капли ЖТФ. 2000. Т.70. Вып.8. С.45-52.

18. Белоножко Д.Ф., Ширяева С.О., Григорьев А.И. О делении на две части сильнозаряженной капли при нелинейных колебаниях//Письма в ЖТФ. 2000. Т.26. Вып. 19. С. 16-23.

19. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф., Голованов A.C. Электромагитное излучение нелинейно осциллирующей заряженной капли Письма в ЖТФ. 2001. Т. 27. Вып. 20. С.65 - 71.

20. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Гаибоов А.Р., Белоножко Д.Ф. Акустическое излучение нелинейно колеблющейся заряженной капли Письма в ЖТФ. 2001. Т.27. Вып.22. С.7-13.

21. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Асимптотическое решение задачи о нелинейных волнах в вязкой жидкости// ПЖТФ. 2002. Т.28. Вып. 19. С. 1-9.

22. Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф. Григорьев А.И. Об условиях реализации внутреннего нелинейного резонанса при осцилляциях заряженной капли//Письма в ЖТФ. 2002. Т.28. Вып. 22. С.45-51.

23. Гаибов А.Р., Ширяева С.О., Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф. Центрально-симметричное акустическое излучение нелинейно осциллирующей заряженной капли//Письма в ЖТФ. 2003 Т.29. Вып.4. С.22-27.

24. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф. О росте амплитуды осцилляций основной моды заряженной капли при внутреннем нелинейном резонансе/ЛТисьма в ЖТФ. 2003. Т.29. Вып.6. С.69-75.

25. Белоножко Д. Ф., Григорьев А.И. Нелинейные движения вязкой жидкости со свободной поверхностью//Изв. РАН. МЖГ. 2003. № 2 С.184-192.

26 Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Волны конечной амплитуды на поверхности вязкой глубокой жидкости//ЖТФ. 2003. Т.73. Вып.4. С.28-37.

27. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И НО внутреннем нелинейном резонансе капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности вязкой жидкости/ЯТисьма в ЖТФ. 2003. Т.29. Вып.8. С. 1-7.

28. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Нелинейные электрокапиллярные волны на заряженной поверхности идеальной жидкости/ЯТисьма в ЖТФ. 2003. Т.29. Вып. 18. С.46-51.

29. Белоножко Д. Ф., Григорьев А.И. Нелинейные периодические волны на заряженной поверхности вязкой электропроводной жидкости//ЖТФ. 2003. Т.73. Вып.11. С.37-46.

30. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. О нелинейных капиллярно-гравитационных волнах на заряженной поверхности идеальной жидкости//Изв. РАН. МЖГ. 2003. №6. С. 102-109.

31. Климов A.B., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. О нелинейных поправках к частоте капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности жидкости и к критическим условиям реализации ее неустойчивости/ЛТисьма в ЖТФ. 2003. Т.29. Вып.24. С.42-46.

32. Климов А. В., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Нелинейные периодические волны на заряженной свободной поверхности идеальной жидкости//ЖТФ. 2004. Т.74. Вып.1 С.32-39.

33. Белоножко Д. Ф., Григорьев А.И. Нелинейные периодические волны на заряженной поверхности глубокой маловязкой, электропроводной жидкости//ЖТФ. 2004. Т.74. Вып.З. С.5-13.

34. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф., Климов A.B. О характерном времени реализации неустойчивости плоской заряженной поверхности жидко-сти//ЖТФ. 2004. Т.74. Вып.7 С. 140-142.

Подписано в печать 17.06.2004. Формат 60x90/32 Бумага белая. Условных печатных листов 2.0. Тираж 100 экз. Печать трафаретная. Заказ №29.

f

I

i

i

f

i

Î s

»19054

РНБ Русский фонд

2005-4 15940

ВВЕДЕНИЕ. у

ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ НА

ЗАРЯЖЕННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ.

1.1. Периодические волны на заряженной поверхности жидкости (обзор).

1.2. Расчет нелинейных периодических волн на заряженной свободной поверхности идеальной жидкости.

1.3. Высшие нелинейные поправки к критическим условиям условиям реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости. ф 1.4. Нелинейный анализ пространственно-временной эволюции сильно заряженной плоской поверхности идеальной жидкости. Закономерность формирования конуса Тейлора.

ГЛАВА 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОСЦИЛЛЯЦИИ ЗАРЯЖЕННОЙ

КАПЛИ.

2.1. Нелинейные колебания сильно заряженной капли идеальной несжимаемой жидкости (обзор).

2.2. Теоретический анализ нелинейных колебаний сильно заряженной капли вдали от положений резонансов.

2.3. Анализ возможности деления сильно заряженной капли при нелинейных осцилляциях.

2.4. Нелинейные резонансные осцилляции заряженной капли.

2.5. Механизм подстройки условий внутреннего нелинейного резонанса, обеспечивающий рост амплитуды осцилляций основной моды.

2.6. Электромагнитное излучение нелинейно осциллирующей заряженной капли.

Jt) 2.7. Акустическое излучение нелинейно колеблющейся заряженной капли.

ГЛАВА 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ НА ЗАРЯЖЕННОЙ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ГЛУБОКОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ.

3.1. Ретроспектива.

3.2. Решение задачи о расчете нелинейных волн типа Вилтона в вязкой глубокой жидкости.

3.3. Формы нелинейных периодических волн на свободной поверхности глубокой вязкой жидкости.

3.4. Нелинейные периодические волны на заряженной поверхности глубокой электропроводной жидкости. Асимптотика малой вязкости.

3.5. Влияние поверхностного электрического заряда на формы нелинейных периодических волн на заряженной поверхности глубокой вязкой жидкости.

ГЛАВА 4. ВЛИЯНИЕ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ЭФФЕКТОВ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯЖЕННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ.

4.1. Теоретические аспекты применения закона сохранения количества вещества для субстанции, релаксирующей на движущейся границе раздела двух жидкостей.

4.2. Нелинейное взаимодействие релаксационных волн, связанных с перераспределением поверхностно-активных веществ, с капиллярно-гравитационными волнами на заряженной поверхности вязкой глубокой жидкости.

4.3. Влияние эффекта релаксации электрического заряда на закономерности реализации нелинейного периодического волнового движения заряженной поверхности жидкости.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

Исследование неустойчивости заряженной поверхности жидкости представляет значительный интерес, поскольку это явление лежит в основе принципа действия разнообразных прецизионных научных приборов и устройств, является неотъемлемой частью многих технологических и геофизических процессов. Затрагиваемая тематика до настоящего времени теоретически была корректно исследована только на уровне решения линейных по амплитуде отклонения формы поверхности от равновесной задач. Наиболее известные теоретические результаты по этой тематике подтверждают традиционно принимаемые представления о процессе экспоненциального роста амплитуд неустойчивых капиллярных волн. Однако, эксперименты свидетельствуют, что в реальной физической ситуации рельеф заряженной свободной поверхности жидкости в процессе развития ее неустойчивости формируется при участии самых разнообразных факторов, взаимодействующих между собой и не всегда строго отождествимых с конкретными физическими механизмами. В связи со сказанным, представляется весьма актуальным детальное теоретическое исследование закономерностей реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости и построение модели формирования ее рельефа в процессе развития неустойчивости, а так же закономерностей эволюции заряженной капельки, эмиттрированной на финальной стадии неустойчивости. Особенно важным вопросом является теоретическое изучение влияния релаксационных эффектов на закономерности реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости. Задача описания спектра капиллярных движений жидкости с учетом релаксационных эффектов, связанных с наличием примеси, изменяющей плотность поверхностной энергии на свободной поверхности, даже в отсутствии поверхностного заряда представляет самостоятельный интерес ввиду устоявшихся представлений по вопросу переноса жидкости одновременно на поверхности и в объеме, а так же из-за присутствия в работах по этой теме ошибок на уровне формулировки задачи. Актуальным так же является исследование закономерностей реализации неустойчивости свободной поверхности жидкости с конечной проводимостью. Особое значение имеет вопрос теоретического исследования обозначенных задач в их нелинейной постановке. При этом нужно учитывать, что наиболее распространенный в настоящее время подход к нелинейному исследованию, как к задаче получения солитонного решения не всегда оправдан. Это весьма узкий взгляд на проблему, поскольку нелинейные несолитонные движения встречаются в природе не менее часто. Те немногочисленные работы последних лет, которые рассматривают именно несолитонные нелинейные решения, показывают, что даже естественные на первый взгляд задачи (например, колебания капель или распространение волн по поверхности глубокой жидкости), решенные в этом ключе, приводят к важным результатам и выявляют новые неисследованные стороны уже привычных явлений.

Цель работы состояла в теоретическом исследовании нелинейной стадии неустойчивости заряженной свободной поверхности электропроводной жидкости и исследовании влияния эффектов релаксации заряда и поверхностно-активных веществ на закономерности развития неустойчивости. Для достижения поставленной цели решались задачи:

- теоретический анализ нелинейной эволюции периодического возмущения, распространяющегося по заряженной поверхности идеальной глубокой капиллярной жидкости в поле сил тяжести.

- исследование критических условий развития неустойчивости из виртуального возмущения заряженной поверхности идеальной электропроводной жидкости.

- исследование физического механизма формирования эмитирующих выступов (конусов Тейлора) на заряженной поверхности жидкости.

- оценка характерного времени нелинейной стадии развития неустойчивости заряженной поверхности жидкости.

- построение теоретической модели нелинейных колебаний заряженной капли, эмиттрированной на финальной стадии развития неустойчивости заряженной поверхности жидкости.

- исследование закономерностей распада нелинейно осциллирующей заряженной капли. построение теоретической модели акустического и электромагнитного излучения от нелинейно осциллирующей заряженной капли электропроводной жидкости.

- Расчет нелинейных периодических волн на заряженной поверхности глубокой капиллярной жидкости с конечной вязкостью. исследование влияния вязкости на форму капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности жидкости и зарождающихся на них эмиссионных выступов (конусов Тейлора).

- корректный вывод закона сохранения вещества для субстанции, релаксирующей на свободной движущейся поверхности жидкости.

- исследование нелинейной эволюции периодического возмущения заряженной поверхности глубокой капиллярной жидкости при наличии пленки поверхностно-активного вещества.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней впервые найдено решение задачи о расчете нелинейных периодических волн на поверхности вязкой глубокой жидкости на основе нестандартного матфизического подхода;

- исследованы физико-математические закономерности нелинейной стадии реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости, и прослежена пространственно-временная эволюция неустойчивых виртуальных деформаций свободной поверхности;

- впервые исследовано влияние эффектов релаксации заряда и поверхностно-активных веществ на закономерности нелинейного взаимодействия периодических волн на свободной поверхности заряженной жидкости; впервые исследованы закономерности нелинейных осцилляции сильно заряженных капель при многомодовой начальной деформации, сопровождающихся нелинейным возбуждением трансляционной моды, приводящим к появлению монопольного и дипольного акустического и электромагнитного излучения.

Научная и практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты существенно расширяют фундаментальные представления о явлениях, происходящих при диспергировании жидкостей под влиянием электрического поля и о роли вязкости жидкости и релаксационных эффектов в этих явлениях. Результаты теоретического анализа нелинейных волн на свободной поверхности вязкой глубокой жидкости и закона сохранения вещества на ней имеют фундаментальное значение, и являются существенно более корректными по сравнению с традиционными для известных монографий по гидродинамике. Результаты исследования могут быть использованы в самых разнообразных академических, технических и технологических приложений. В частности, проведенное исследование предсказывает явления, которые следует учитывать при исследовании жидко-капельных систем естественного и искусственного происхождения.

На защиту выносятся:

1. Метод решения задачи о расчете периодических волн на заряженной поверхности вязкой глубокой жидкости.

2. Теоретическая модель влияния амплитуды начального возмущения на критические условия реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости.

3. Физический анализ нелинейной стадии пространственно-временной эволюции виртуальной деформации сильно заряженной свободной поверхности жидкости.

4. Теоретический анализ нелинейных осцилляций заряженной капли при многомодовой начальной деформации ее формы

5. Исследование закономерностей реализации внутреннего нелинейного резонансного взаимодействия мод осцилляций заряженной капли: положения резонансов, характерное время и глубина взаимодействия.

6. Теоретический анализ особенностей акустического и электромагнитного излучений, генерируемых нелинейно осциллирующей заряженной каплей.

7. Исследование влияния эффектов релаксации поверхностно-активных веществ и электрического заряда на характер нелинейного взаимодействия периодических волн на заряженной поверхности вязкой глубокой жидкости жидкости.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Найдено решение сформулированной еще в середине XIX века задачи о расчете нелинейных капиллярно-гравитационных периодических волн на поверхности вязкой глубокой жидкости.

2. Теоретический анализ влияния поверхностного заряда на закономерности реализации нелинейного периодического волнового движения на заряженной поверхности вязкой глубокой электропроводной жидкости показал, что наличие поверхностного заряда приводит к появлению качественно нового вида волн - «электрокапиллярных», - которые определяют особенности реализации неустойчивости поверхности жидкости по отношению к избытку поверхностного заряда.

3. Нелинейный анализ влияния эффекта релаксации электрического заряда на закономерности периодического волнового движения в вязкой глубокой жидкости с конечной электропроводностью показал, что положение внутренних нелинейных резонансов смещается при увеличении удельного сопротивления жидкости в сторону более длинных волн.

4. Анализ влияния поверхностно-активных веществ (ПАВ) на нелинейное волновое движение на заряженной поверхности глубокой вязкой жидкости привел к выводу, что уменьшение упругости пленки ПАВ смещает положение внутренних нелинейных резонансов в сторону коротких волн.

5. Нелинейный анализ критических условий реализации неустойчивости заряженной свободной поверхности жидкости, проведенный с точностью до слагаемых пятого порядка малости, выявил тенденцию к снижению критического для реализации неустойчивости значения поверхностной плотности заряда с увеличением амплитуды начальной деформации, что означает изменение типа точки бифуркации с транскритической на седло-узловую.

6. Развитая нелинейная модель пространственно-временной эволюции виртуальной начальной деформации неустойчивой к поверхностному заряду свободной поверхности жидкости позволила обнаружить что: 1) характерное время нелинейной стадии реализации неустойчивости обратно пропорционально амплитуде начальной виртуальной деформации, и для начальной деформации тепловой природы может измеряться часами; 2) скорость нарастания амплитуды неустойчивой волны существенно превышает экспоненциальную, предсказываемую линейной теорией; 3) увеличение средней кривизны поверхности вершины неустойчивой волны в основном определяется не ростом амплитуды волны, а сжатием ее основания, обусловленным суперпозицией высоких мод волн, возбужденных за счет нелинейного взаимодействия.

7. В нелинейном анализе осцилляций заряженной капли, эмиттированной с гребня неустойчивой волны, обнаружены монопольная и дипольная компоненты акустического излучения, превышающие по интенсивности интенсивность квадрупольного акустического излучения, предсказываемого линейной теорией.

8. Выяснилось, что нелинейно осциллирующая заряженная капля является источником дипольного (в отличие от предсказываемого линейной теорией квадрупольного) электромагнитного излучения килогерцового диапазона, когда в спектре ее начальной деформации имеются две моды с соседними номерами.

9. Исследование закономерностей внутреннего нелинейного резонансного взаимодействия мод осцилляций заряженной капли показало, что: 1) положения резонансов зависят от величины собственного заряда капли и от вязкости жидкости; 2) даже существенное отклонение величины заряда капли от резонансного значения не приводит к исчезновению резонансного взаимодействия, но сказывается на его глубине и характерном времени обмена энергией между модами; 3) в вырожденных и комбинационных трехмодо-вых нелинейных резонансах обмен энергией между модами происходит в различных режимах: в первых энергия переносится только от низких мод к высоким, а во вторых в обоих направлениях; как следствие этого обстоятельства распадная неустойчивость возможна лишь для комбинационных резонансов.

254

1. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Нелинейные электрокапиллярные волны на заряженной поверхности идеальной жидкости//Письма в ЖТФ. 2003. Т.29. Вып. 18. С.46-51.

2. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. О нелинейных капиллярно-гравитационных волнах на заряженной поверхности идеальной жидкости//Изв. РАН. МЖГ. 2003. №6. С.102-109.

3. Климов А. В., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Нелинейные периодические волны на заряженной свободной поверхности идеальной жидкости//ЖТФ. 2004. Т.74. Вып.1 С.32-39.

4. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф., Климов А.В. О характерном времени реализации неустойчивости плоской заряженной поверхности жидкости//ЖТФ. 2004. Т.74. Вып.7 С. 140-142.

5. Климов А.В., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. О нелинейных поправках к частоте капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности жидкости и к критическим условиям реализации ее неустойчивости//Письма в ЖТФ. 2003. Т.29. Вып.24. С.42-46.

6. Белоножко Д.Ф., Климов А.В., Григорьев А.И. Нелинейные электрокапиллярные волны на поверхности идеальной жидкости// Сб. докл. VII Международной конференции «Современные проблемы электрофизики и электродинамики жидкостей». Санкт-Петербург. 2003.

7. Френкель Я. И. К Теории Тонкса о разрыве поверхности жидкости постоянным электрическим полем в вакууме//ЖЭТФ. 1936. Т.6. №4. С.348-350.

8. Tonks L. A Theory of liquid surface rupture by uniform electric field//Phys. Rev. 1935. V.48. P.562-568.

9. Taylor G.I., McEwan A.D. The stability of horizontal fluid interface in a vertical electric field//J. Fluid Mech. 1965. V.22. N 1. P.l-15

10. Габович М.Д., Порицкий В.Я. Исследование нелинейных волн на поверхности жидкого металла, находящегося в электрическом поле//Письма в ЖЭТФ. 1981. Т.ЗЗ. Вып.6. С.320-324.

11. Габович М.Д. Жидкометаллические источники ионов (обзор)//УФН. 1983. Т.140. №1. С.137-151.

12. Baily A.G. Electrostatic atomization of liquids (rev.)// Sci. Prog., Oxf. 1974. V.61. P. 555-581.

13. Коженков В.И., Фукс H.A. Электрогидродинамическое распыление жидкости (обзор) // Успехи Химии. 1976. Т.45. №12. С.2274-2284.

14. Bogy D.B. Drop formation in a circular liquid jet//Ann. Rev. Fluid Mech. 1979. V.l 1. P.207-228.

15. Bailey A.G. The Theory and Practice of Electrostatic Spraying (rev.)//Atomization and Spray Technology. 1986. V.2. P.95-134.

16. Дудников В.Г., Шабалин А.Л. Электрогидродинамические источники ионных пучков (обзор) // Препринт 87-63 ИЯФ СО АН СССР. Новосибирск.: 1987. 66 с.

17. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Сыщиков Ю.В. Электростатическое монодиспергирование жидкостей как метод получения двухфазных систем (обзор) // ЖПХ. 1989. Т.62. №9. С.2020-2026.

18. Fenn J.B., Mann М., Meng С.К. et al. Electrospray ionization for mass spectrometry of large biomolecules (rev.) // Science. 1989. V.246. №4926. P.64-71.

19. Григорьев А.И. Неустойчивости заряженных капель в электрических полях (обзор) //ЭОМ. 1990. №6. С.23-32.

20. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Шевченко С.И. ЭГД неустойчивости в дисперсных системах (обзор) // Научное приборостроение. 1991. Т.1. №3. С.25-43.

21. Шевченко С.И., Григорьев А.И., Ширяева С.О. ЭГД распыление жидкости (обзор) // Научное приборостроение. 1991. Т. 1. № 4. С.3-21.

22. Григорьев А.И., Ширяева С.О. Капиллярные неустойчивости заряженной поверхности капель и электродиспергирование жидкостей (обзор)// Изв. РАН. МЖГ. 1994. №3. С.3-22.

23. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Деление заряженных капель во внешнем электрическом поле на части сравнимых размеров (обзор) // ЭОМ. 2000. №4. С.17-27.

24. Rayleigh On the equilibrium of liquid conducting masses charged with electricity//Phil. Mag. 1882. V.14. P. 184-186.

25. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука. 1992. 662 с.

26. Miskovsky N.M., Cutler Р.Н., Chug М. Effects of viscosity on capillary wave instabilities of planar liquid-metal surface in an electric field//J. Appl. Phys. 1990. V.68. №4. P.1475-1482

27. Neron de Surgy, Chabrerie J. P. Denoux O., Wesfreid J.E. Linear growth of instabilities on a liquid metal under normal electric field//J. Phys. II. France. 1993. V.3. №8. P.1201-1225.

28. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Муничев М.И. Электродиспергирование слоя вязкой жидкости, лежащего на твердой подложке//ХУН коференция стран СНГ «Дисперсные системы». Тез. докладов. Одесса. 1996 г. С.29.

29. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Белоножко Д.Ф. Электростатическая неустойчивость заряженной поверхности сдоя жидкости конечной тощины//ЭОМ. 1996. №3,4. С.71-73

30. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Муничев М.И., Ширяева С.О. Эффект влияния заряда на структуру спектра капиллярных волн в тонком слое вязкой жидкости//Письма в ЖТФ. 1996. Т.22. №10. С.84-89

31. Белоножко Д.Ф., Ширяева С.О., Жаров А.Н. Капиллярные колебания и неустойчивость Тонкса-Френкеля слоя вязкой жидкости конечной толщины//VII Четаевская конференция «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» Тез. докладов. 1997. Казань.

32. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Коромыслов В.А., Белоножко Д.Ф. Капиллярные колебания и неустойчивость Тонкса-Френкеля слоя жидкости конечной толщины//ЖТФ. 1997. Т.67. Вып. 8. С.

33. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Муничев М.И. Зависимость от волнового числа критических условий неустойчивости заряженной пленки жидкости в поле флуктуационных сил//Письма в ЖТФ. 1997. Т.23. Вып.9. С.66-70.

34. Corteiezzi L., Prosperety A. Small-amplitude waves on the surface of layer of viscous liquid//! Quart. Appl. Math. 1981. V.38. N4. P.375-389.

35. Левич В.Г. Гашение волн поверхностно-активными веществами 1.//ЖЭТФ.1940. Т. 10. №11. С. 1296-1304.

36. Левич В.Г. Гашение волн поверхностно-активными веществами И.//ЖЭТФ.1941. Т.П. №2-3. С.340-345.

37. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: Гос. изд. физ. мат. лит. 1959. 699 с.

38. Dorrestein R. General linearized theory of the surface films on water ripples//Proc. Konicl. Ned. Akad. Wet. 1951. V.B54. №4.Дг P.350-356.

39. Van Den Tempel and Van De Riet Damping of waves by surface-active materials//! Chim. Phys. 1965. V. 42. P.2769-2777.

40. Lucassen-Reynders E.N., Lucassen J. Properties of capillary waves//Adv. Colloid Interface Sci. 1969. V.2. №4. P.347-395.

41. Ceniceros H. D. The effect of surfactants on the formation and evolution of capillary waves//Phys. of fluids. 2003. V.15. №1. P.245-256.

42. Ермаков C.A. О резонансном затухании гравитационно-капиллярных волн на воде, покрытой поверхностно-активной пленкой//Изв. РАН. ФАО. 2003. Т.39. №5. С.691-696.

43. Рабинович Л.М. О влиянии растворимых поверхностно-активных веществ на устойчивость жидких пленок и струй//МЖГ. 1978. №6. С.20-33.

44. Неволин В.Н. Влияние растворимых поверхностно-активных веществ на диспергирование жидкостей//Изв. РАН. МЖГ. 1981. №5. С. 160-164.

45. Белоножко Д.Ф., Ширяева С.О., Григорьев А.И. О влиянии поверхностно-активных веществ на закономерности развития неустойчивости заряженной поверхности жидкости//Письма в ЖТФ. 1996. Т.22. Вып. 15. С.61-64.

46. Белоножко Д.Ф., Ширяева С.О., Щукин С.И. Математическое моделирование неустойчивости заряженной поверхности жидкости, покрытой пленкой ПАВ//Тез. докл. конф. молодых ученых «Проблемы моделирования в естествознании» 1997. Вожский.

47. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Ширяева С.О. О минимальной для реализации эффекта гашения капиллярных волн концентрации поверхностно-активных веществ//Письма в ЖТФ. 1997. Т.23. Вып.6. С.74-79.

48. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Ширяева С.О. О неустойчивости заряженной свободной поверхности растворов инактивных веществ//Письма в ЖТФ. 1997. Т.23. Вып. 16. С.26-31

49. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф. Влияние упругости и динамического поверхностного натяжения на спектр волновых движений заряженной поверхности жидкости//Письма в ЖТФ. 1997. Т.23. №16. С.32-37

50. Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Об особенностях капиллярных движений растворов поверхностно-активных веществ с заряженной свободной поверхностью//ЖТФ. 1998. Т. 68. Вып.2. С.22-29.

51. Melcher J.R. Field-coupled surface waves. A comparative study of surface coupled electrohydrodynemics and magnetohydrodynemics systems. Cambridge. 1963. 190 p.

52. Melcher J.R., Schwarz W. J. Interfacial relaxation overstability in tangential electric field instability// Phys. Fluids. 1968. V.l 1. №12. P.2604-2616.

53. Melcher J.R., Smith C.V. Electrohydrodynamic charge relaxation and interfacial perpendicular-field instability//Phys. Fluids. 1969. V.12. №4. P.778-790.

54. Ширяева C.O., Григорьев А.И. Эффект динамического поверхностного натяжения и капиллярное волновое движение на заряженной поверхности жидкости//ЖТФ. 1996. Т.66. №10. С.31-46.

55. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Ширяева С.О., Щукин С.И. Об инкременте неустойчивости заряженной границы раздела несмешивающихся электропроводных жидкостей//Письма в ЖТФ. 1997. Т.23. вып. 16. С.38-40

56. Саранин В.А., Жаров А.Н., Белоножко Д.Ф. Колебательная неустойчивость границы раздела проводящих жидкостей в нормальном электрическом поле// Письма в ЖТФ. 1997. Т.23. Вып.16. С.41-44.

57. Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф., Ширяева С.О., Щукин С.И. О колебательной неустойчивости заряженной границы раздела несмешивающихся электропроводных жидкостей//Письма в ЖТФ. 1997. Т.23. Вып.21. С.32-36.

58. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Ширяева С.О. Неустойчивость заряженной границы раздела двух несмешивающихся вязких жидкостей с учетом релаксации заряда//ЖТФ. 1998. Т.68. Вып.9. С. 13-19.

59. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Ширяева С.О. Неустойчивость плоской границы раздела двух несмешивающихся проводящих вязких жидкостей в нормальном электрическом поле//Изв. РАН МЖГ. 1998. №6. С. 116-123.

60. Sapir М., Havazelet D. Reduction of the Rayleigh-Taylor instability effects on ICF targets via a voltage-shaped ion beam//J. Phys.D: Appl. Phys. 1985. V.18. P.41-46.

61. Григорьев А.И., Ширяева С.О. Неустойчивость заряженной плоской поверхности тангенциального разрыва двух несмешивающихся жидкостей различных плотностей//ЖТФ. 1994. Т.64. Вып.9. С.23-34.

62. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., .Рахманова Ю.Д. Взаимодействие релаксационных волн с волнами перераспределяющегося по свободной поверхности поверхностно-активного вещества//Письма в ЖТФ. 1997. Т.23. №18. С.25-31.

63. Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф, Ширяева С.О. О некоторых закономерностях реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости//ЖТФ. 1999. Т.69. Вып.7. С. 15-22.

64. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Неустойчивость напряженной поверхности сильно вязкой жидкости//Письма в ЖТФ. 1999. Т.25. Вып.22. С.80-85.

65. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Автоколебательная неустойчивость свободной поверхности вязко-упругой среды//Письма в ЖТФ. 2000. Т.26. Вып.З. С.80-85.

66. Белоножко Д.Ф., Ширяева С.О., Григорьев А.И. О взаимодействии капиллярных волн на заряженном тангенциальном разрыве поля скоростей//Письма в ЖТФ. 2000. Т.26. Вып.11. С. 10-17

67. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Капиллярные колебания вязкоупругой среды под влиянием постоянного внешнего воздействия//ЖТФ. 2000. Т.70. Вып.11.С.25-33.

68. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Кузьмичев Ю.Б., Белоножко Д.Ф., Голованов А.С. Особенности реализации неустойчивости Кельвина-Гельмгольца//ЭОМ. 2000. №2. С.25-33.

69. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Ширяева С.О., Голованов А.С. О формировании волнового микрорельефа на поверхности полупроводника при распыливании его сильно точным ионным пучком// ЭОМ. 2000. №6. С.26-30

70. Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. О влиянии заряда на формирование волнового микрорельефа на поверхности вязкоупругой среды// Письма в ЖТФ. 2000. Т.26. Т 21. С. 12-20.

71. Lick W. Nonlinear wave propagation in fluids//Ann. Rev. of Fluid Mech. 1970. V.2. P.l 13-136.

72. Hammack J.L., Henderson D.M. Resonant interactions among surface water waves// Ann. Rev. of Fluid Mech. 1993. V.25. P.55-97.

73. Dias F., Kharif C. Nonlinear gravity and capillary-gravity waves//Ann. Rev. Fluid Mech. 1999. V.31. P.301-346.

74. Wilton J.R. On Deep water waves//Phil. Mag. S.6. 1914. V.27. №158. p.395-394.

75. Wilton J.R. On ripples// Phil. Mag. S.6. 1915. V.29. №173. p.689-700.

76. Bretherton F.P. Resonant interaction between waves. The case of discrete oscillations//J. Fluid Mech. 1964. V.20. pt.3. p.457-479.

77. Simons W.F. A variational method for weak resonant wave interactions//Proc. Roy. Soc. Ser.A. V.309. p.551-575.

78. McGoldrick L.F. Resonant interactions among capillary-gravity waves//J. Fluid Mech. 1965. V.21. pt.2. p.305-331.

79. McGoldrick L.F. An experiment on second-order capillary gravity resonant wave interactions//!. Fluid Mech. 1970. V.40. pt.2. p.251-271.

80. McGoldrick L.F. On Wilton's ripples: special case of resonant intaractions//J. Fluid Mech. 1970. V.42. pt.l. p.193-200.

81. McGoldrick L.F. On the rippling of small waves: a harmonic nonlinear nearly resonant interacrion//J. Fluid Mech. 1972. V.52. pt.4. p.723-751.

82. Nayfeh A.H. Triple- and quintuple-dimpled wave profiles in deep water//The phys. of fluids. 1970. V.13. №3. p.545-550.

83. Nayfeh A.H. Third-harmonic resonance in the interaction of capillary and gravity waves//J. Fluid Mech. 1971. V.48. pt.2. p.385-395.

84. Nayfeh A.H. The method of multiple scale and non-linear dispersive waves/J. Fluid Mech. 1971. V.48. pt.3. p.463-475.

85. Ламб Г. Гидродинамика Jl: ГТТИ. 1947. 928 с.

86. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Под ред. Кибеля И.А. Ч 1.Л.: ГТТИ. 1963. 584 с.

87. Стокер Дж. Волны на воде М.: ИЛ. 1959. 617 с.

88. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир. 1977. 622 с.

89. Ле Меоте Б. Введение в гидродинамику и теорию волн на воде. Л.: Гидрометеоиздат. 1974. 368 с.

90. Юэн Г. Лэйк Б. Нелинейная динамика гавитационных волн на глубокой воде. М.: Мир. 1987. 179 с.

91. Захаров В. Е. Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости//ПМТФ. 1968. № 2. С.86-94.

92. Craper G.D. An exact solution for progressive capillary waves of arbitrary amplitude//J. Fluid Mech. 1957. V.2. p.532-540.

93. Ильичев A.T. Уединенные волны в моделях гидромеханики. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2003. 256 с.

94. Демехин Е.А., Каплан М.А., Шкадов В.Я. О математических моделях теории тонких слоев вязкой жидкости//Изв. АН. СССР. МЖГ. 1987. №6. С.73-81.

95. Сысоев Г.М., Шкадов В.Я. Развитие доминирующих волн из малых возмущений в стекающих пленках вязкой жидкости// Изв. РАН. МЖГ. 1997. №6. С.30-41.

96. Gonsalez A., Castellanos A. Kortwg-de Vries-Burgeres equation for surface waves in nonideal condacting liquids/ZPhys. Rev. E. 1994. V.49. №4. P.2935-2940.

97. Gonsalez A., Castellanos A. Nonlinear electrohydrodynamic waves on films falling down an inclined plane//Phys. Rev. E. 1996. V.53. №4. P.3573-3578.

98. Жакин А. И. Нелинейные волны на поверхности заряженной жидкости. Неустойчивость, ветвление и нелинейные равновесные формы заряженной поверхности//Изв. АН СССР. 1984. №3. С.94-102.

99. Michael D.H. Note on electrohydrodynamic stability//Quart. Of Appl. Math. 1970. V.28. №1. P.139-143.

100. Michael D.H. Nonlinear effects in electrohydrodynamic surface wave propogation//Quart. Of Appl. Math. 1977. V.35. P.139-143.

101. Michael D.H. Nonlinear effects in electrohydrodynamic surface wave propogation//Quart. Of Appl. Math. 1977. V.35. P.345-355.

102. Bhimsen K., Sh. Nonlinear stability of surface waves in electrohydrodynamics// Quart. Of Appl. Math. 1979. V.35. P.423-427.

103. Rama Kant, Jindia R.K., Malik S.K. Finite amplitude surface waves in electrohydrodynamics// Quart. Of Appl. Math. 1981. V.39. P.23-24.

104. Malik S.K., Rama Kant Second harmonic resonance in electrohydrodynamics// Quart. Of Appl. Math. 1986. V.43. P.23-24.

105. Pregenzer A.L., Marder B.M. // J. Appl. Phys. 1986. V.60. P.3821-3824.

106. Schooley A.H. // J. Geophys. Res. 1960. V.65. №12. P.4075^079.

107. Зубарев H.M. //ЖЭТФ. 1999. T.l 16. Вып.6(12). C.1990-2005.

108. Зубарев H.M., Зубарева O.B. // ЖТФ. 2001. Т.71. Вып.7. С.21-29.

109. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И //О внутреннем нелинейном резонансе капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности вязкой жидкости//ПЖТФ. 2003. Т.29. Вып.8. С.1-7.

110. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Асимптотическое решение задачи о нелинейных волнах в вязкой жидкости// ПЖТФ. 2002. Т.28. Вып. 19. С. 1-9.

111. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Волны конечной амплитуды на поверхности вязкой глубокой жидкости//ЖТФ. 2003. Т.73. Вып.4. С.28-37.

112. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Черепанов А.А. Динамика поверхностей раздела в вибрационных полях. М.: Физматлит. 2003. 215 с.

113. Allen J.E. A note on the Taylor cone// J. Phys. D: Appl. Phys. 1985. V.18. P.59-62.

114. Longuet-Higgins M.S. Viscous dissipation in steep capillary-gravity waves//J. Fluid Mech. 1997. V.344. P.271-289.

115. He J., Miscovsky N.M., Cutler P.H., Chung M.//J. Appl. Phys. 1990. V.68. №4. P. 1475-1482.

116. De Surgy G.N., Chabrerie J.P., Denoux O., Wesfreid J.E.//J. Phys. II France. 1993. V.3. P.1201-1225.

117. Mohamed A.A., Elshehawey E.F., El-Sayed M.F. // J. Coll. Int. Sci. 1995. V.169. P.65-78.

118. Александров М.Л., Галь Л.Н., Иванов В.Я. и др. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1983. №6. С.165-167.

119. Ширяева С.О., Григорьев А.И. // ЖТФ. 1995. Т.65. Вып.9. С.39-45.

120. Ширяева С.О. // ПЖТФ. 2000. Т.26. Вып.4. С.5-8.

121. Григорьев А.И. // ПЖТФ. 1998. Т.24. Вып.24. С.36-40.

122. Шутов А.А. Генерация электрогидродинамических волн на границе раздела жидкость-вакуум//ЖТФ. 2002. Т.72. Вып.8. С.126-130.

123. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука. 1968. 344 с.

124. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Характерное время развития неустойчивости капли, заряженной до рэлеевского предела//Письма в ЖТФ. 1999. Т.25. Вып. 15.С.41-45.

125. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Нелинейные колебания заряженной капли ЖТФ. 2000. Т.70. Вып.8. С.45-52.

126. Белоножко Д.Ф., Ширяева С.О., Григорьев А.И. О делении на две части сильнозаряженной капли при нелинейных колебаниях//Письма в ЖТФ. 2000. Т.26. Вып. 19. С. 16-23.

127. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф., Голованов А.С. Нелинейные капиллярные колебания заряженной капли//ЭОМ. 2001. №2. С. 2634.

128. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф. О росте амплитуды осцилляций основной моды заряженной капли при внутреннем нелинейном резонансе/ТПисьма в ЖТФ. 2003 Т.29. Вып.6. С.69-75.

129. Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф. Григорьев А.И. Об условиях реализации внутреннего нелинейного резонанса при осцилляциях заряженной капли//Письма в ЖТФ. 2002. Т.28. Вып. 22. С.45-51.

130. Гаибов А.Р., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И Акустическое излучение от осциллирующей заряженной капли//ЭОМ. 2001. №3. С. 17-21.

131. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Гаибоов А.Р., Белоножко Д.Ф. Акустическое излучение нелинейно колеблющейся заряженной капли Письма в ЖТФ. 2001. Т.27. Вып.22. С.7-13.

132. Гаибов А.Р., Ширяева С.О., Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф. Центрально-симметричное акустическое излучение нелинейно осциллирующей заряженной капли//Письма в ЖТФ. 2003. Т.29. Вып.4. С.22-27.

133. Гаибов А.Р., Белоножко Д.Ф. Колебания заряженной капли во внешнем акустическом поле//ЭОМ. 2000. №6. С.43-46.

134. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф., Голованов А.С. Электромагитное излучение нелинейно осциллирующей заряженной капли Письма в ЖТФ. 2001. Т. 27. Вып. 20. С.65 71.

135. Tsamopoulos J. A., Brown R. A. Nonlinear oscillation of inviscid drops and bubles// J. Fluid Mech. 1983. V.127. P.519-537.

136. Feng Z. Instability caused by the coupling between non-resonant shape oscillation modes of a charged conducting drop //J. Fluid Mech. 1997. V.333. P.l-21.

137. Natarajan R., Brown R.A. Quadratic resonance in the three-dimensional oscillation of inviscid drops with surface tension // Phys. Fluids. 1986. V.29. №9. P.2788-2797.

138. Natarajan R., Brown R.A. Third-order resonance effects and the nonlinear stability of drops oscillations // J. Fluid Mech. 1987. V.183. P.95-121.

139. Trinch E., Wang T.G. Large amplitude free and driven drop-shape oscillations: experimental observations //J. Fluid Mech. 1982. V.122. P.315-338.

140. Jakobi N., Croonquist A.P., Elleman D.D. Wang T.G. Acoustically induced oscillations and rotation of a large drop in Space// Proc. 2-nd Int. Colloq. on Drop and Bubbles. Pasadena: 1982. JPL Publication 82-7. P.31-38.

141. Brown R.A., Scriven L.E. The shape and stability of rotating liquid drop // Proc. R. Soc., London. 1980. V.A371. P.331-357.

142. Patzek T.W., Benner R.E., Basaran O.A., Scriven L.E. Nonlinear oscillations of inviscid free drops // J. Coputational Physics. 1991. V.97. P.489-515.

143. Basaran O.A. Nonlinear oscillations of viscous drops // J. Fluid Mech. 1992. V.241. P. 169-198.

144. Lundgren T.S., Mansour N.N. Oscillation of drops in zero gravity with weak viscous effects // J. Fluid Mech. 1988. V.194. P.479-510.

145. Becker E., Hiller W.J., Kowalewski T.A. Nonlinear dynamics of viscous droplets // J. Fluid Mech. 1994. V.258. P.191-216.

146. Baker G. R., Merion D.I., Orzag S.A. Generalized vortex methods for free-surface flow problems // J. Fluid Mech. 1982. V.123. 477-501.

147. Becker E., Hiller W.J., Kowalewski T.A. Experimental and theoretical investigation of large amplitude oscillations of liquid droplets // J. Fluid Mech. 1991. V.231. P. 189-210.

148. Wang T.G., Anilkumar A.V., Lee C.P. Oscillations of liquid drops: results from USML-1 experiments in Space // J. Fluid Mech. 1996. V.308. P.l-14.

149. Azuma H., Yoshinara S. Three-dimensional large-amplitude drop oscillations: experiments and theoretical analysis // J. Fluid Mech. 1999. V.393. P.309-332.

150. Inculet I.I., Kroman R. Breakup of large water droplets by electric fields // IEEE Transactions on Ind. Appl. 1992. V.28. №5. P.945-948.

151. Inculet I.I., Floryan J.M., Haywood R.J. Dynamic of water droplets in electric fields // IEEE Transactions on Ind. Appl. 1989. V.25. №5. P.1203-1209.

152. Jong-Wook Ha, Seunng-Man Yang. Deformation and breakup of Newtonian and non- Newtonian conducting drops in an electric field. // J. Fluid Mech. 2000. V.405. P.131-156.

153. Feng Z.C., Leal L.G. On energy transfer in resonant bubble oscillations. // Phys. Fluids. 1993. V.A5. №4. P.826-836.

154. Feng Z.C., Leal L.G. Bifurcation and chaos in shape and volume oscillations of a periodically driven bubble with two-to-one internal resonans. // J. Fluid Mech. 1994. V.266. P.209-242.

155. Feng Z.C., Leal L.G. Translational instability of a bubble undergoing oscillations. // Phys. Fluids. 1995. V.7. №6. P.1325-1336.

156. Feng Z.C., Su Y.H. Numerical simulation of the translational and shape oscillations of a liquid drop in an acoustic field. // Phys. Fluids. 1997. V.9. №3. P.519-529.

157. Lundgren T.S., Mansour N.N. Oscilllation of drops in zero gravity with weak viscous effects//J.Fluid Mech. 1988. V.194. P.479-510.

158. Natarayan R., Brown R. A. The role of three-dimensional shapes in the break-up of charged drops //Proc. Roy. Soc., London. 1987. V.A410. P. 209-227.

159. Pelekasis, Tsamopoulos J. A., Manolis G.d. Equilibrium shapes and stability of charged and conducting drops//Phys. Fluids. 1990. V.A 2. № 8. P.1328-1340.

160. Foote G.B. A numerical method for studying simple drop behavior: simple oscillation // J. Сотр. Phys. 1973. V.l 1. P.507-530.

161. Trinch E., Wang T.G. Large amplitude drop oscillations // Proc. 2-nd Int. Colloq. on Drop and Bubbles. Pasadena: 1982. JPL Publication 82-87.

162. Beard K.V. Oscillation model for predicting raindrop axis and backscattering ratios//Radio Sci. 1984. V.19. №l.P.67-74.

163. Tsamopoulos J. A., Brown R. A. Resonant oscillations of inviscid charged drop //J. Fluid Mech. 1984. V.147. P.373-395.

164. Ширяева C.O., Григорьев А.И., Левчук T.B. Нелинейный аналитический асимптотический анализ осцилляций неосесимметричных мод заряженной струи идеальной жидкости // ЖТФ. 2004. Т.74. Вып.8. С. 6-14.

165. Коромыслов В.А., Ширяева С.О., Григорьев А.И. Нелинейные осцилляции и устойчивость заряженной капли, движущейся относительно диэлектрической среды. // ЖТФ. 2004. Т.74. Вып.9. С.23-31.

166. Tsamopoulos J. A., Akylas T.R., Brown R. A. Dynamic of charged drop breakup// Proc. Roy. Soc., London. 1985. V.A401. P. 67-88.

167. Wang T.G., Anilkumar A.V., Lee C.P. Oscillations of liquid drops: results from USML-1 experiments in Space//J. Fluid Mech. 1996. V.308. P.l-14.

168. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Кузьмичев Ю.Б. Нелинейная математическая модель неустойчивости заряженной капли//Тез. докл. Всероссийской конференции «Математическое моделирование в естественных науках». Воронеж. 2000 г.

169. Белоножко Д.Ф., Ширяева С.О., Григорьев А.И. Нелинейные осцилляции сильно заряженной капли//Сб. докл. VI Международной конференции «Современные проблемы электрофизики и электродинамики жидкостей». Санкт-Петербург. 2000.

170. Гаибов А.Р., Белоножко Д.Ф., Ширяева С.О. Об устойчивости заряженной капли в ультразвуковом поле//Тез. докл. XIX конференции стан СНГ «Дисперсные системы». Одесса. 2000

171. Гаибов А.Р., Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф. Монопольное акустическое излучение нелинейно колеблющейся капли// Сб. докл. VII Международной конференции «Современные проблемы электрофизики и электродинамики жидкостей». Санкт-Петербург. 2003.

172. Григорьев А.И, Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф. Электромагнитное излучение нелинейно осциллирующей заряженной капли//Пятая Российская конференция по атмосферному электричеству//Сб. тр. Т.1. Владимир. 2003.

173. Белоножко Д.Ф., Ширяева С.О., Григорьев А.И. Нелинейные осцилляции заряженной капли//Тез. докл. XIX конференции стан СНГ «Дисперсные системы». Одесса. 2000.

174. Belonozhko D.F., Shiryaeva S.O., Grigor'ev A.I. The classification of the modes of electrostatic dispersion of liquids//Therese of 17 Annual Conference on Liquid Atomization and Spray System. Zurich. Switzerland. 2001.

175. Белоножко Д.Ф., Гаибов A.P., Ширяева С.О. Акустическое излучение нелинейно колеблющейся заряженной капли//Труды XXIV Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (8-13 апреля 2002 г.) Москва. МГУ. 2002.

176. Гаибов А.Р., Белоножко Д.Ф., О звуковом излучении нелинейно осциллирующей капли//Тез. докл. XX научной конференции стран СНГ «Дисперсные системы». Одесса. 2002.

177. Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф., Левчук Т.В. О трехмодовом резонансе при нелинейных осцилляциях заряженной капли// Тез. докл. XX научной конференции стран СНГ «Дисперсные системы». Одесса. 2002.

178. Белоножко Д.Ф. Колебательная неустойчивость сильно заряженной капли//Письма в ЖТФ. 1997. Т.23. Вып.22. С. 18-23

179. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Деление заряженных капель на части сравнимых размеров//ЭОМ. 2000. №4. С. 17-27.

180. ShukinS.I., Grigor'ev A.I., Belonozhko D.F. On a stability of capillary oscillations of heavy Charged ellipsoidal drop//"Aerosol theory" Thesisis of RAS. Moscow. 1998. V.4c.N3.

181. Коромыслов В.А., Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф. О дроблении заряженной капли в стационарном воздушном потоке//Тез. докл. XVII конференции стран СНГ «Дисперсные системы». Одесса. 1998.

182. Williams A. Combustion of droplets of fluid fuels//Combust. Flame. 1973. V.21. P.l-31.

183. Cohen S., Swiatecki W.J. The deformation energy of a charged drop. Part 4// Ann. of Phys. 1962. V.19. P.67-164.

184. Cohen S., Swiatecki W.J. The deformation energy of a charged drop. Part 5// Ann. of Phys. 1963. V.22. P.406-437.

185. Nix J.R. Calculation of fission barriers for heavy and superheavy nuclei// Ann. Rev. Nucl. Sci. 1972. V.22. P.65-120.

186. Hendricks C.D.,Schneider J.M. Stability of conducting droplet under the influence of surface tension and electrostatic forces// Amer.Phys.-1963.-V.l,N.6.-P.450-453.

187. Григорьев А.И., Ширяева С.О. Критические условия неустойчивости сплюснутой сфероидальной сильно заряженной капли ЖТФ. 1999. Т.69. Вып.7. С.10-14.

188. Щукин С.И., Григорьев А.И. Устойчивость заряженной капли, имеющей форму трехосного эллипсоида ЖТФ. 1998. Т.68. Вып.11. С.48-52.

189. Basaran O.A.,Scriven L.E. Axisymmetric shapes and stability of isolated charged drops// Phys.Fluids A. 1989. V.l, № 5. P.795-798.

190. Найфе A.X. Методы возмущений. M.: Мир. 1976. 455 с.

191. Найфе А. X. Введение в методы возмущений. М.: Мир. 1984. 535 с.

192. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир. 1972. 274 с.

193. Григорьев А.И.,Синкевич О.А. О возможном механизме возникновения огней "св.Эльма'7/ ЖТФ. 1984. Т.54 Вып.7 С.1276-1283.

194. Имянитов И.М. Особенности инициирования разряда с изолированных объектов в облаках Атмосферное электричество. Тр. 2-го Всесоюзн. сим. 26-28 окт. 1982, Л.: Гидрометеоиздат, 1983. С.237-242.

195. Григорьев А.И., Ширяева С.О. Параметры электростатического распыливания жидкости //Изв. АН СССР. МЖГ. 1988. №2. С.5-13.

196. Won-Kyu Rhim, Sang Кип Chung, Hyson M.T. et al //IEEE Transaction on Industry Applications. 1987. V.IA-23. № 6. P.975-979.

197. Шагапов В.Ш. Изв. АН СССР. ФАО. 1988. Т.24. (5. С.506-512.

198. Trinh Е.Н., Holt R.G, Thiessen D.B. //Phys. Fluids. 1996. V.8, N.l. P.43-61.

199. Ширяева C.O.//ЖТФ. 1999. T.69. Вып.8. C.28-36.

200. Григорьев А.И., Коромыслов B.A., Ширяева C.O.// ЖТФ. 2000. Т.70. Вып.7. С. 26-34.

201. Варшалович Д.А.,Москалев А.Н.,Херсонский В.К. Квантовая теория углового момента. Л.: Наука. 1975. 439 с.

202. Григорьев А.И., Ширяева С.О. Закономерности рэлеевского распада заряженной капли// ЖТФ. 1991. Т.61. Вып. З.С. 19-28.

203. Григорьев А.И.//ЖТФ. 2000. Т.70. Вып.5. С.22-27.

204. Ширяева С.О. О внутреннем резонансе мод нелинейно осциллирующей объемно заряженной диэлектрической капли//ЖТФ. 2003. Т.73. Вып.2. С. 19-30

205. Ширяева С.О.//Письма в ЖТФ. 2000. Т.26. Вып.22. С.76-83.

206. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука 1984. 432 с.

207. Облака и облачная атмосфера. Справочник/ И.П. Мазин, А.Х. Хриган, И.М. Имянитов. JL: Гидрометеоиздат. 1989. 647 с.

208. Дячук В.А., Мучник В.М.//ДАН СССР. 1979. Т. 248. Вып.1. С.60-63

209. Grigir'ev A.I., Shiryaeva S.O. Physyca Scripta. 1996. V.54. P.660-666.

210. Бреховских Л.М., Гончаров B.B. Введение в механику сплошных сред. М.: Наука. 1982. 355 с.

211. Григорьев А.И., Лазарянц А.Э. // Изв. АН СССР. 1991. N. 5. С.11-17.

212. Щукин С.И., Григорьев А.И. // ЖТФ. 1999. Т. 69. Вып.8. С. 49-54.

213. Жаров А.Н., Ширяева С.О., Григорьев А.И.// ЖТФ. 1999. Т.69. Вып.12. С.26-30.

214. Chrictodoulides P., Dias F. Resonant capillary-gravity interfacial waves//J. Fluid Mech. 1994. V. 265. p.303-343.

215. Качурин Л.Г. Физические основы воздействия на атмосферные процессы. Л.: Гидрометеоиздат. 1990. 463 с.

216. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука. 1988. 509 с.

217. Стерлядкин В.В. Изв. АН СССР. ФАО. 1988. Т.24, № 6. С.613-621.

218. Beard K.V., АН Tokay // Geophysical Research Letters. 1991. V. 18, № 12. P.2257 2260.

219. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука. 1986. 733 с.

220. Григорьев А.И., Гаибов А.Р.//ЖТФ. 2001. Т.71. Вып.11. С.6-11.

221. Ширяева С.О.//ЖТФ. 2002. Т.72. Вып. 4. С.15-22.

222. Ширяева С.О.//ЖТФ. 2001 Т.71 Вып. 2 С.27-35

223. Лепендин Е.Ф. Акустика. М.: ВШ. 1978. 448 с.

224. Баструков С.И. Влияние упругих свойств ядерного вещества на ядерное деление // Ядерная физика. 1994. Т.57. №7. С.1245-1248.

225. Баструков С.И. Об устойчивости поперечно-сдвигового упругого отклика тяжелого сферического ядра// ДАН. 1996. Т.350. №3. С.321-323.

226. Белоножко Д. Ф., Григорьев А.И. Нелинейные движения вязкой жидкости со свободной поверхностью//Изв. РАН. МЖГ. 2003. № 2 С. 184-192.

227. Белоножко Д. Ф., Григорьев А.И. Нелинейные периодические волны на заряженной поверхности вязкой электропроводной жидкости//ЖТФ. 2003. Т.73. Вып.11. С.37-46.

228. Белоножко Д. Ф., Григорьев А.И. Нелинейные периодические волны на заряженной поверхности глубокой маловязкой, электропроводной жидкости//ЖТФ. 2004. Т.74. Вып.З. С.5-13.

229. Белоножко Д. Ф., Григорьев А.И., Курочкина С.А., Санасарян С. А. Нелинейные периодические волны на заряженной поверхности вязкой электропроводной жидкости//ЭОМ. 2004. № 2. С.27-31.

230. Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф., Световой В.Б., Григорьев А.И. Формулировка задач об аналитическом расчете нелинейных движений вязкой жидкости со свободной поверхностью Препринт ИМИРАН № 29. Ярославль.-1995.-34 с.

231. Белоножко Д. Ф., Григорьев А.И. Роль нелинейного взаимодействия волн в формировании эмитирующих выступов// Тез. докл. XX научной конференции стран СНГ «Дисперсные системы». Одесса. 2002.

232. Григорьев А.И, Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф. Формы нелинейных волн на заряженной поверхности вязкой жидкости, благоприятствующие зажиганию над ней огней Св. Эльма//Пятая Российская конференция по атмосферному электричеству//Сб. тр. Т.1. Владимир. 2003.

233. Ильичев А.Т. Уединенные волны в средах с дисперсией и диссипацией (обзор) Изв. РАН. МЖГ. 2000. Т2. С.3-27.

234. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А. Механика сплошных сред. Ч. 1. М.: Наука, 2000. 256 с.

235. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир. 1973. 747 с.

236. Прандтль П. Гидроаэромехаеника. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2000. 576 с.

237. Фабер Т.Е. Гидроаэромехаеника. М.: Постмаркет. 2001. 560 с.

238. Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие. М.: ИЛ. 1963. 244 с.

239. Петкевич В.В. Основы механики сплошных сред. М.: Эдиториал УРСС. 2001.400 с.

240. Ле Блон П., Майсек Л. Волны в океане. М.: Мир. 1981. 480 с.

241. Некрасов А.И. Точная теория волн установившегося вида на поверхности тяжелой жидкости//Собр. соч. T.l. М.: Физматгиз. 1961. С.358-439.

242. Feng J.Q., Beard K.V. Small amplitude oscillation of electrostatically levitated drops // Proc. Roy. Soc., London. A.1990. V.430. P.133-150.

243. Миндлин И.М. Нелинейные волны в тяжелой двухслойной жидкости, порождаемые протяжным начальным возмущением горизонтальной границы раздела//Изв. РАН. МЖГ. 1994. ТЗ. С.135-143.

244. Нестеров С.В. Задача Коши-Пуассона для вынужденных волн конечной амплитуды Изв. РАН. МЖГ. 1995. Т4. С.116-121.

245. Цвелодуб О.Ю. Резонансные взаимодействия двух волн в модели двухслойной жидкости Изв. РАН. МЖГ. 2000. Tl. С.92-98.

246. Ширяева С.О. Нелинейные осцилляции заряженной капли при многомодовой начальной деформации равновесной формы//Изв. РАН. МЖГ. 2001. Т 3. С.163-174.

247. Clamond D., Grue J. A fast method for fully nonlinear water-wave computation//!. Fluid Mech. 2001. V.447. p.337-355.

248. Zinchenko A. Z., Rother M. A. Davis R. H. A novel boundary-integral algorithm for viscous interaction of deformable drops//Phys. Fluids. 1997. V.9. N.6. P. 14931511.

249. Демехин E.A., Каплан M.A., Шкадов В.Я. О математических моделях теории тонких слоев вязкой жидкости Изв. АН СССР. МЖГ. 1987. Т6. С.73-81.

250. Сисоев Г.М., Шкадов В.Я. Развитие доминирующих волн из малых возмущений в стекающих пленках вязкой жидкости Изв. РАН. МЖГ. 1997. Т6. С.30-41.

251. Дроздова Ю.А. Нелинейное взаимодействие волн в каналах Изв. РАН. МЖГ. 1999. Т5. С.137-144.

252. Захватаев В.Е. Длинноволновая неустойчивость двухслойного течения диэлектрических жидкостей в поперечном электростатическом поле Изв. РАН. МЖГ. 2000. Т2. С.45-55.

253. Веларде М.Г., Шкадов В.Я, Шкадова В.П. Влияние поверхностно-активного вещества на неустойчивость стекающей пленки жидкости Изв.РАН. МЖГ. 2000. Т4. С.56-67.

254. Davy A. Propogation of weak nonlinear wave //J. Fluid Mech. 1972. V.53. N4. P.769-781.

255. Hooper A.P. Nonlinear instability between two viscous fluids // Phys. Fluids. 1985. V.28. N 1. P.37-45.

256. Beale J.T., Nishida T. Large-Time behavior of viscous surface waves. Lecture notes in Num. Appl. Anal. 1985. V.8. P.l-14.

257. Kim N.C., Dobnath L. Resonance wave interactions in weakly viscous liquicMnternational Journal of Non-Linear Mechanics. 1999. V.34. P. 197-220.

258. Кочин H.E., Кибель И.А., Розе H.B. Теоретическая гидромеханика. Под ред. Кибеля И.А. Ч. 2. М.: Гостехтеориздат,1948. 612 с.

259. Богоряд И.Б., Христенко Г.В. О демпфировании нелинейных колебаний вязкой жидкости, частично заполняющей сосуд//Изв. РАН. МЖГ. 1994. Т5. С.158-162.

260. Слезкин Н. А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. 1955. М.: Гос. изд. техникотеоретичнской литературы. 520 с.

261. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Учеб. для вузов. М.: Дрофа. 2003. 840 с.

262. Ахманов С.А., Емельянов В.И., Коротеев Н.И., Семиногов В.В. Воздействие мощного лазерного излучения на поверхность полупроводников и металлов: нелинейно-оптические эффекты и нелинейно-оптическая диагностика УФН. 1985. Т.147. Т 4. С.675-746.

263. Суворов В.Г. К численному моделированию динамики жидкой проводящей поверхности в сильном электрическом поле Письма в ЖТФ. 2000. Т.26. Т 1. С.66-70.

264. Колмаков Г.В., Лебедева Е.В. Длинноволновая структура на заряженной поверхности жидкости ЖЭТФ. 1999. Т.115. Т 1. С. 43-49.

265. Baker G.R., Merion D.I., Orzag S.A. Boundary integral methods for axisymmetric and three-dimensional Raylegh-Taylor problems // Phisica D. 1984. N12. P.19-31.

266. Baker G.R., Merion D.I., Orzag S.A. Vortex simulations of the Raylegh-Taylor instability // Phys. Fluids. 1980. V.23. N8. P. 1485- 1490.

267. Baker G.R., Merion D.I., Orzag S.A. Generalized vortex methods for free-surface flow problems//J.Fluid Mech. 1982. V.123. P.477-501

268. Shi W.T., Apfel R.E. Instability of a deformed liquid drop in an acoustic field // Phys. Fluids. 1995. V.7. N 11. P.2601-2607.

269. Hasegawa E., Yamashita S. Finite Amplitude Waves on Elastic Plate Horizontaly Seprating Two Different Fluid Streams // Bull, of JSME. 1986. V.29. N249. P.787-794.

270. Kang I.S., Legal L.G. Small-amplitude perturbation of shape for a nearly spherical bubble in inviscid straining flow (steady shapes and oscillatory motion) // J. Fluid Mech. 1988. V.187.P.231-266.

271. Kang I.S. Dynamics of a conducting drop in time-periodic electric field // J. Fluid Mech. 1993. V.257. P.229-264.

272. Feng J.Q., Beard K.V. Resonans of conducting drop in an alternating electric field//J. Fluid Mech. 1991. V.222. P.417-435.

273. Fedorov A.V, Melvil W.K. Nonlinear gravity-capillary waves with forcing and dissipation // J. Fluid Mech. 1998. V. 354. P. 1-42.

274. Fedorov A.V, Melvil W.K., Rozenberg A. An experimental and numerical study of parasitic capillary waves//Physics of fluids. 1998. V.10. N 6. P.1315-1323.

275. Yang Y., Tryggvason G. Dissipation of energy by finite-amplitude surface waves // Computer & Fluids. 1998. V.27. N.7. P.829-845.

276. Lundgren T.S., Koumoutsakos P. On the generation of vorticity at a free surface // J. Fluid Mech. 1999. V.382. P.351-366.

277. Miles J.W. Surface-wave generation revisited//J. Fluid Mech. 1993. V.256. P.427-441.

278. Кузнецов E.A., Лушников П.М. Нелинейная теория возбуждения волн ветром за счет неустойчивости Кельвина-Гельмгольца ЖЭТФ. 1995. Т. 108. Т 2. С.614-630.

279. Harison W.J. The influence of viscosity and capillarity no waves of finite amplitude//Proc. Lon. Math. Soc. Ser 2. 1908. V.7. P. 107-121.

280. Механика сплошных сред в задачах. Т.2. Ответы и решения. М.: «Московский лицей» 1996. 394 с.

281. Войцеховский М.Б.//ДФН. СССР. 1982. Т.262. №1. С.87-88.

282. Ширяева С.О.//ЖТФ.1998. Т.68. Вып.9. С.9-12.

283. Ширяева С.О.//ЖТФ.2000. Т.70. Вып.9. С.30-36.

284. Bateman Н. On dissipative systems and related variation principles// Phys. Rev. Ser 2. 1931. V.38. P.815.

285. Millikan C. On the steady motions of viscous incompressible fluids with particular reference to a variation principle//Phil. Mag. Ser.7. 1929. V.7. P.641.

286. Белоножко Д. Ф., Санасарян С.А. Нелинейные волны в растворах поверхностно-активных веществ//Материалы Всероссийской научной конференции, посвященной 200-летию Ярославского Государственного университета им. П.Г. Демидова. Ярославль 2000. С.57-60.

287. Savil D.A. Electrohydrodynamic stability: effects of charge relaxation at the interface of a liquid jet.//J. Fluid Mech. -1981.-V.48, N.4 -P. 815-827.

288. Гиневский А.Ф.,Мотин И.А. Особенности капиллярного распада струй диэлектрической вязкой жидкости с поверхностным зарядом Инженерно-физический журнал.-1991.-Т.60 № 4.-С.576-582.

289. Mestel A.J.//J. Fluid Mech. 1994. V.274. Р.93-113.

290. Gonzalez A., Castellanos A., Velarde M.G. // Fluid Physics. Proc. Summer schools. Eds: World Scientific. 1994. P.442-459.

291. Mestel A.J. // J. Fluid Mech. 1996. Vol.312. №2. P.311-326.

292. Шкадов В.Я., Шутов A.A. // Изв. РАН. МЖГ. 1998. №2. C.29-40.

293. Шутов А.А., Шкадов В.Я. //Сб. Труды регионального конкурса научных проектов в области естественных наук. Вып.1. Калуга. 2000. С.67-88.

294. Jean-Marc Chomaz// J. Fluid Mech. 2001. V.442. P.387-409.

295. Shkadov V.Ya., Shutov A.A. // Fluid Dynamic Res. 2001. V.28. P.23-39.

296. Григорьев А.И., Ширяева C.O., Коромыслов В.А.//ЖТФ. 2002. №6. C.19-258. 302. Hui-Lan Lu, Apfel R.E.// J. Fluid Mech. 1991. V.222. P.351-368.

297. Wu-Ting Tsai, Dick K.P. The Effects of soluble and insoluble surfactant on laminar interaction of vortical flows with a free surface //J. Fluid Mech. 1995. V.289. P.315-349.

298. Братухин Ю.К., Косвинцев C.P., Макаров C.O.// Колл. Ж. 2001. Т.63. №3. С.259-365.

299. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.2. М.: ГИТТЛ. 1957. 628 с.

300. Серрин Дж. Математические основы классической механики. Ижевск. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2001. 256 с.

301. Математическая Энциклопедия под ред. Виноградова И.М. М.: СЭ. 1984. Т.4. 1216 с.

302. Davies J.T.,Vose R.W. On the damping of capillary waves by surface films//Proc. Roy. Soc. A.-1965.-V.286, (1405.-P.219-234.

303. Lucassen J. and Hansen R. Damping of Waves on Monolayr-Covered Surfaces . Systems with Negligible Surface dilational Viscosity //J. Colloid and Interface Sci. -1966. V.23, P.32-44.

304. Lucassen J. and Hansen R. Damping of Waves on Monolayr-Covered Surfaces . Interface of Bulk-to-Surface Diffusional interchange on Ripple Characteristics.// J. Colloid and Interface Sci. -1967. -V.23, P.319-328.

305. Lucassen J. Longitudinal capillary waves, part 1. Theory, part 2. Experiments.// J. Trans. Faraday Soc. -1968. - V.64, №8. -P.2221-2235.

306. Lucassen J. Van Den Tempel M. Dynamic measurements of dilational properties of liquid interface.// Chim. Engineering Sci. -1971 -V.27. -P. 1283 1291.

307. Lucassen J. Van Den Tempel M. Longitudinal waves on viscoelastic surface//J.Colloid and Interface Sci. -1972 -V.3 -P.491 -498.

308. Van Den Tempel and Van De Riet Damping of waves by surface active materials.//! Chim. Phis. -1965 -V.42. -P.2769-2777.

309. Hansen R. and Mann J. Propagation of Capillary Ripples. . The theory of Velocity Dispersion and Amplitude Attenuation of Plane Capillary Waves on Viscoelastic Films.//J. Applied Phis. -1964 V.35, (1 -P. 152-159.

310. Рабинович JI.M. О влиянии растворимых поверхностно-активных веществ на устойчивость жидких пленок и струй МЖГ. -1978. -№ 6. С.20-33.

311. Боев А.Г., Ясницкая Н.Н. Гашение морского волнения пленкой поверхностно-активного вещества конечной толщины//Изв. РАН. ФАО. 2003. Т.39. №1. С.132-141.

312. Поверхностно активные вещества. Справочник. /Под ред. А.А. Абрамзона, Г.М. Гаевского. Л.: Химия. 1979. 376 с.