Аналитическое асимптотическое исследование нелинейных осцилляций заряженных капель, движущихся относительно среды

Коромыслов, Вячеслав Александрович

Аналитическое асимптотическое исследование нелинейных осцилляций заряженных капель, движущихся относительно среды тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Коромыслов, Вячеслав Александрович АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Ярославль МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Аналитическое асимптотическое исследование нелинейных осцилляций заряженных капель, движущихся относительно среды»

Автореферат диссертации на тему "Аналитическое асимптотическое исследование нелинейных осцилляций заряженных капель, движущихся относительно среды"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБЛАСТНОЙ

УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КОРОМЫСЛОВ Вячеслав Александрович

АНАЛИТИЧЕСКОЕ АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ОСЦИЛЛЯЦИЙ ЗАРЯЖЕННЫХ КАПЕЛЬ, ДВИЖУЩИХСЯ ОТНОСИТЕЛЬНО СРЕДЫ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.04.02 —теоретическая физика

Москва - 2006

Работа выполнена в Ярославском государственном университете

им. П.Г.Демидова.

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Григорьев А.И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Дадиванян А.К.

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Бычков В.Л.

доктор физико-математических наук, профессор Рудый А.С.

Ведущая организация: Ивановский государственный университет.

Защита диссертации состоится «20 » апреля 2006 года в /¿Гчасов на заседании диссертационного Совета Д —212.155.07 в Московском областном университете (107005, Москва, ул. Радио, д.10 а)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного областного университета.

Автореферат диссертации разослан « /-4"» марта 2006 года

Ученый секретарь диссертационного Совета доктор физ.-мат. наук,

профессор

Богданов Д.Л.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Изучение устойчивости заряженных капель по отношению к собственному и индуцированному зарядам представляет значительный интерес в связи с многочисленными геофизическими, техническими и технологическими приложениями, в которых фигурирует подобный объект. Несмотря на то, что большинство технических приложений электродиспергирования жидкости имеют дело с неустойчивостью плоской или цилиндрической поверхности, на финальной стадии развития электрогидродинамической (ЭГД) неустойчивости исследователи часто рассматривают произвольную заряженную поверхность, как часть поверхности капли. Например, при исследовании механизма развития неустойчивости на жидком мениске данный капилляр можно рассматривать как сильно вытянутую сфероидальную каплю, помешенную во внешнее электрическое поле. С этой точки зрения многие приложения явления ЭГД неустойчивости поверхности жидкости оказывается удобным анализировать в рамках моделей ЭГД неустойчивости капли.

В связи со сказанным, результаты исследования неустойчивости капли по отношению к собственному и индуцированному зарядам имеют важное значение не только для тех приложений, в которых капля присутствует, как самостоятельный объект, но и играют фундаментальную роль в общей теории и практике применения явления электрогидродинамической неустойчивости поверхности жидкости. С поднятой проблемой тесно связаны вопросы электро-аэрозольных технологий, задачи очистки жидких металлов от шлаков и окислов, различные геофизические вопросы, касающиеся атмосферного (грозового) электричества, задачи, возникающие при разработке электрокаплеструйных печатающих устройств, жидкометаллических источников ионов (ЖМИ) и устройств для масс-спектрометрии органических и термически нестабильных жидкостей. На основе явления неустойчивости заряженной поверхности жидкости созданы устройства для получения порошков тугоплавких металлов, жидкометаллической эпитаксии и литографии, получения капель жидкого водорода для установок термоядерного синтеза. Данная задача представляет также значительный интерес и для проблемы грозового электричества в связи с исследованием физического механизма инициирования разряда молнии.

Несмотря на то, что изучение устойчивости и распада капель, имеющих собственный или индуцированный заряд, посвящено в различных постановках значительное число работ, большинство исследований подобных систем проводились в линейном по амплитуде осцилляций приближении. Нелинейные же осцилляции капли изучены весьма слабо, а аналитические исследования нелинейных осцилляций покоящихся или движущихся капель в среде практически не проводились.

Цель работы состояла в теоретическом изучении влияния величины заряда капли, напряженности внешнего электростатического поля, плотности и скорости относительно движения внешней идеальной диэлектрической среды на нелинейные осцилляции формы идеальной идеально проводящей капли и ее устойчивость. Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

- теоретическое асимптотическое исследование нелинейных осцилляций покоящейся в материальной среде заряженной капли при многомодовой начальной деформации ее формы;

- теоретическое асимптотическое исследование нелинейных осцилляций движущейся с постоянной скоростью в материальной среде заряженной капли при мно-гомодовой начальной деформации ее формы;

- теоретическое асимптотическое исследование нелинейных осцилляций незаряженной капли в однородном электростатическом поле, движущейся с постоянной скоростью в материальной среде;

- теоретическое асимптотическое исследование нелинейных осцилляций заряженной капли, движущейся с постоянным ускорением во внешнем однородном электростатическом поле;

- теоретическое асимптотическое исследование нелинейных осцилляций заряженного слоя идеальной идеально проводящей жидкости на поверхности твердого сферического ядра;

- исследование физических закономерностей распада капли при ее нелинейных осцилляциях большой амплитуды;

- нахождение равновесных форм и устойчивости заряженных капель в параллельных и перпендикулярных электростатическом и гидродинамическом полях.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней:

- впервые в теоретическом аналитическом асимптотическом анализе проведено корректное исследование влияния на нелинейные осцилляции заряженной капли ее равномерного движения относительно материальной окружающей среды, моделируемой идеальной несжимаемой жидкостью;

- проведено исследование влияния плотности и скорости среды, а также величин заряда и напряженности внешнего электростатического поля на спектр осцилляций и форму образующей движущейся капли;

- впервые в теоретическом аналитическом асимптотическом анализе проведено корректное исследование нелинейных осцилляций заряженной капли в окрестности равновесной формы отличной от сферической;

- впервые в теоретическом аналитическом асимптотическом анализе проведено корректное исследование влияния на нелинейные осцилляции заряженной капли ее ускоренного движения во внешнем однородном электростатическом поле;

- впервые в теоретическом аналитическом асимптотическом анализе проведено корректное исследование нелинейных осцилляций заряженного слоя жидкости на поверхности твердого сферического ядра;

Научная и практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты существенно расширяют фундаментальные представления о нелинейных эффектах, происходящих в жидкокапельных дисперсных системах, определяющую роль в эволюции которых играют заряды и электрические поля. Результаты исследования могут быть использованы в разнообразных академических, технических и технологических приложений.

На защиту выносятся:

1. Результаты теоретического асимптотического анализа нелинейных осцилляций заряженной капли в диэлектрической среде при многомодовой начальной деформации.

2. Результаты теоретического асимптотического анализа нелинейных осцилляций и устойчивости заряженной идеально проводящей капли движущейся с постоянной скоростью в диэлектрической среде при многомодовой начальной деформации.

3. Результаты анализа нелинейных осцилляций и устойчивости незаряженной идеально проводящей капли движущейся в диэлектрической среде в однородном электростатическом поле.

4. Результаты теоретического асимптотического анализа нелинейных осцилляций заряженной капли ускоренно движущейся в однородном электростатическом поле.

5. Результаты теоретического асимптотического анализа нелинейных осцилляций заряженного слоя жидкости на поверхности твердого сферического ядра.

6. Результаты расчета параметров распада заряженной капли на части сравнимых размеров при нелинейных осцилляциях большой амплитуды при различных типах распределения заряда на капле.

7. Расчет равновесных форм заряженных капель в параллельных и скрещенных электрическом и гидродинамическом полях.

Апробация работы: Результаты работы докладывались на: международной конференции «Современные проблемы электрогидродинамики и электрофизики жидких диэлектриков» (С.-Пб, 1994 г.); 4-ой научной конференции ученых стран СНГ «Прикладные проблемы механики жидкости и газа» (Севастополь, 1995 г.); 2,3,4-d International Aerosol Symposium (Moscow, 1995, 1996, 1998 yy.); молодежной научно-практической конференции «Проблемы моделирования в естествознании» (Волжский, 1997 г.); школе-семинаре молодых ученых, аспирантов и студентов России «Тепло-электрофизические явления в атмосфере и электромагнитное поле Земли при глобальных процессах» (Владимир, 1998 г.); V-VII Международных конференциях «Современные проблемы электро-гидродинамики и электрофизики жидких диэлектриков» (С.-Пб., 1998, 2000, 2003 гг.); Annual Conference on Liquid Atomization and Spray System. (Zurich. Switzerland. 2001 у.); Ill Областной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых вузов «Ярославский край. Наше общество в третьем тысячелетии» (Ярославль. 2002 г.); 3-ей Всероссийской конференции «Математика и математическое образование» (Ярославль, 2003 г.); Всероссийской научной конференции, посвященная 200-летию Ярославского Государственного университета им. П.Г. Демидова (Ярославль, 2003 г.); Всероссийской научной конференции, посвященной 200-летию Ярославского Государственного университета им. П.Г. Демидова (Ярославль, 2003 г.); V Всероссийской конференции по атмосферному электричеству (Владимир, 2003 г.); XVII, XVIII, XX, XXI научных конференциях стран СНГ «Дисперсные системы» (Одесса, 1996, 1998, 2002, 2004 гг.); Ill межвузовской конференции «Современные информационные технологии в научных исследованиях, образовании и управлении» (Смоленск, 2005 г.).

Структура работы: Диссертация общим объемом 320 страниц, содержит 228 рисунков, состоит из введения, пяти глав, выводов, приложения и списка литературы (256 наименований).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы и сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава представляет собой ретроспективный обзор исследований нелинейных осцилляций заряженных капель. Основное внимание уделяется работам Тсамополуса и Брауна, исследовавших нелинейные осцилляции при одномодовой начальной деформации; работам Натарияна и Брауна, посвященных исследованию внутреннего резонансного взаимодействия осесимметричных и неосесимметричных мод; работам Фенга и Лила, посвященных нерезонансному механизму раскачки осцилляций основной моды. Рассмотрен ряд работ, посвященных численному анализу нелинейных осцилляций и устойчивости заряженных капель. Обозначены методы, используемые для экспериментальных наблюдений осцилляций капель большой амплитуды, а также рассмотрены работы, в которых исследуется влияние сфероидальной деформации капли на ее осцилляции и устойчивость. Кратко рассмотрены основные направления исследований последних лет по нелинейным осцилляциями заряженных капель: оценка характерного времени реализации неустойчивости капли по отношению к поверхностному заряду на нелинейной стадии; исследование внутренних нелинейных резонансов; анализ электромагнитного и акустического излучения нелинейно-осциллирующей заряженной капли; анализ нелинейных осцилляций покоящейся и равномерно движущейся заряженной капли в несжимаемой инерционной диэлектрической среде. В заключение первой главы перечислены основные перспективные направления исследований нелинейных осцилляций заряженной капли.

Вторая глава посвящена асимптотическому анализу нелинейных осцилляций заряженной идеально проводящей капли идеальной жидкости в идеальной диэлектрической среде.

В первом параграфе второй главы исследован вопрос о корректной формулировке условия неподвижности центра масс капли при ее нелинейных осцилляциях во внешней идеальной среде. Показано, что условие неподвижности центра масс системы капля-среда выполняется автоматически при достаточно больших по сравнению с размером капли линейных масштабах внешней среды, поэтому расчет амплитуды трансляционной (первой) моды следует производить, также как для более высоких мод: на основе системы гидродинамических и электростатических условий на границе раздела фаз.

Во втором параграфе второй главы представлены исследования влияния плотности внешней диэлектрической среды на нелинейные капиллярные осцилляции покоящейся заряженной капли. Решалась задача об отыскании временной эволюции формы поверхности капли идеальной, несжимаемой идеально проводящей жидкости с плотностью Р), находящейся в неограниченной внешней среде с плотностью Р2 и диэлектрической проницаемостью е*, при наличии на поверхности раздела электрического заряда Q. Объем капли определялся объемом сферы радиуса Я, а коэффициент поверхностного натяжения на границе раздела среда-капля принимался равным

а. Считалось, что в начальный момент времени равновесная сферическая форма капли претерпела виртуальное осесимметричное возмущение фиксированной амплитуды. Задача решалась в безразмерных переменных, в которых К~а~р1~1, р2/р1= р.

Математическая формулировка задачи состояла из уравнений электрогидродинамики идеальной несжимаемой жидкости и стандартных для них граничных условий.

Для отыскания решения поставленной задачи использовался классический метод многих масштабов в виде разложения в ряд по степеням малого параметра е, характеризующего отклонение поверхности капли от идеальной сферической формы с использованием разных масштабов времени Тт- ет /. В результате было получено, что временная зависимость формы капли имеет вид:

г{&, 1)=1 + е^ГМ^(Т0)-Рп(<и) + е2-£ М(п2> (Т0 ) ■ Рп (¡л)

М'п1}(То) = 5пкЪкСоз(сопТ0); ^Ик = 1 *<=£■; М^(Т0) = (^("МУ;

k(iS 2(2К + 1)

М'п2)(Т0)^Ъ + сот )Г0 ) ~ Соз(&>п Тп )]+

+ Х^СозЦсо, - а>т)Т0)-Со*(о>„Т0)]\- п>0; (1)

+ 2п[ 1(1 +1) -1 ] +

УтЫ = ХпКты\(°2т

, рп(п-т-1) п-т + 1--

п +1

+ цг1 [1(т +1} _ т(2т — 2п + 7 ) + 3]\ + Х„ат1п Iа>2т

пр

т (п + 1)(т +1) „ \п рп(2т + 3-п)} Г21 + п рп(п + 21 + 3) 1

**ч*-Х'К~ь\2-т + 1+ 2(п + 1) \ + Х»атЫХ1ы~ 2(т + 1)(1 + 1)(п + 1)\:

Ут1п±0}тС01Т1т1п , . г _ „.•> . . (. П V"' <2*

~(сот±ы1)' V п + 1)

Здесь Н - множество номеров изначально возбужденных мод осцилляций; Ик -константа, учитывающая парциальный вклад к-оя моды в формирование начальной деформации сферической формы капли; <а„ - частота капиллярных колебаний. Коэффициенты ут\п и Цт1п зависят от Кт\п и которые в свою очередь

пропорциональны коэффициентам Клебша-Гордана.

Расчеты зависимостей безразмерных амплитуд мод, возбуждающихся во втором порядке малости (см. рис.1) от времени, показал, что с увеличением плотности внешней среды, независимо от вида начальной деформации растет амплитуда

наиболее высокой моды капли, возбуждающейся во втором порядке малости, а амплитуды всех остальных мод, кроме нулевой, убывают.

-0.05

2 4 6 8 Т„

Рис.1. Зависимости безрахмерных амплитуд мод М'п!>(1), возбуждающихся во втором порядке малости, при начальной деформации, определяющейся третьей модой, при IV = 1; р = 0.1 (пунктир), 1 (топкая сплошная кривая), 10 (жирная кривая); а - нулевая мода п = 0, Ь -вторая мода п-2,с- четвертая мода п — 4, d - шестая мода п = 6.

D третьем параграфе второй главы исследовано влияние внешней для нелинейно осциллирующей капли материальной среды на внутреннее межмодовое резонансное взаимодействия.

Возможные в рассматриваемой системе резонансные ситуации связаны с появлением в выражении (1) малых знаменателей: когда при определенных соотношениях между частотами нелинейно взаимодействующих мод {сс>1 ={о)т ± (0¡)2) амплитудные коэффициенты (см.(1)) поправок второго

порядка малости, стремятся к бесконечности. С физической точки зрения наличие нелинейной резонансной ситуации означает, что в окрестности резонанса волна с частотой оп интенсивно обменивается энергией с двумя волнами с частотами сот и <у/. При тФ1 говорят о вторичном комбинационном резонансе, а при com—o)i резонанс называют вырожденным. Стандартная процедура исследования резонансной ситуации состоит во введении в рассмотрение малого отклонения частот взаимодействующих мод от точных резонансных значений (параметра расстройки) с последующим разложением по степеням такого малого отклонения и исключением секулярных членов. Согласно (1) величина частоты j — ой моды a>j

кроме номера моды зависит от безразмерного параметра ¡V и безразмерной плотности среды р. Это означает, что положение резонансов в пространстве номеров мод будет зависеть от величин параметров IV и р, тогда как для осцилляции капли в вакууме оно зависело только от IV. Расчеты показывают, что появление еще одной степени свободы, связанной с появлением параметра р, приводит к существенному увеличению количества резонансных ситуаций и к изменению их положений (в смысле изменения величины резонансного значения параметра IV) ранее определенных для капли в вакууме (при р — 0). Оказалось, что общее количество резонансов при т, I < 100 и IV < 4 измеряется тысячами. Типичная ситуация резонансного взаимодействия мод представлена на рис.2. Видно, что с увеличением отношения плотностей р растет амплитуда восьмой моды, а амплитуды всех остальных мод, кроме нулевой, (которая остается неизменной, поскольку не зависит

от р, см. выражение (1)) убывают.

Рис.2а

Рис.2. Зависимости безразмерных амплитуд мод М'„2'(1)> возбуждающихся во втором порядке малости, при начальной деформации, определяющейся пятой модой, при №=1. Тонкая пунктирная линия соответствует р = 0.1; тонкая сплошная линия соответствует р — 1; толстая сплошная линия соответствует р = 10: а) вторая мода, п — 2; Ь) четвертая мода, п = 4; с) шестая мода, п = 6; ф восьмая мода, п = 8; е) десятая мода п = 10

Условие проявления вырожденного резонанса между пятой и восьмой модами имеет вид: =4&1 и реализуется, например, при р = 10, когда IV ~ 1УГ ~ 1.159. При IV-1 соотношение частот восьмой и пятой мод оказывается достаточно близким к резонансному, чтобы проявилась резонансная раскачка восьмой моды за счет отбора энергии у изначально возбужденной пятой. Указанное обстоятельство интересно тем, что резонанс наблюдается при достаточно большом отклонении параметра IV от 1УГ, и показывает, что резонансная раскачка одной из взаимодействующих мод наблюдается даже при заметном отклонении величины заряда капли от значения, при котором условия реализации резонанса выполняются точно.

В третьей главе проведен нелинейный анализ влияния внешних силовых полей на устойчивость и нелинейные колебания капли идеальной несжимаемой идеально проводящей жидкости. Рассматривалось влияние поля давлений движущейся внешней среды, влияние внешнего электрического поля и поля инерционных сил.

В первом параграфе третьей главы решалась задача о нахождении временной зависимости амплитуды возмущения нелинейно-осциллирующей заряженной идеальной проводящей капли радиуса К с плотностью р1у движущейся с постоянной скоростью I/ относительно идеальной несжимаемой диэлектрической среды с плотностью р2 и диэлектрической проницаемостью е, с коэффициентом поверхностного натяжения сг на границе раздела среда-капля и зарядом капли - Q. Математическая формулировка задачи состояла из системы уравнений Лапласа для потенциалов скоростей среды и капли, электростатического потенциала, а также стандартных граничных условий к ним.

При решении использовался метод многих масштабов. Решение задачи было проведено в безразмерных переменных.

Выяснилось, что амплитуды (I = 1, 2) осцилляций поверхности капли связанны системой дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

М(0'} =0; М\1) -0;

+ о)2пМ'п!> + С„ ^^ + ДХ^ = 0; П>2; (2)

дТ0

¿„м'^+в,

| д3М?>

дГ0 дТ*

+ (й2пМ(„2' + С„+ =Х(п)/а ; П>1; (3)

9 4

2 2п + 3

" 4

, { , и/ -) IV V 9 и- п2((2п + 1)(п2 -1) + 3)Л ^ 2 (2п-1)(2п + 1)(2п + 3) ,

4же V П + /У

где - амплитуда колебаний «-ой моды капли первого порядка малости, М(2> -амплитуда колебаний п-ой моды капли второго порядка малости, функции неоднородности /п(Т0) имеют вид

ш I

(М(Л,(Т0 )• М\1>(Тп) М'Л,(Т0 )■ М^(Г0)

С)/Т Л

2т —1

2т+ 3

+ С3 ■

(тМ<Л,(Т0) тМЩ(Т0))(1М^(Т0) 1мЩ(Тп)

2т-1

2 т + 3

21-1

21 + 3

+ С4

1 + 1

М%(Т0) дМ<"(Т0) М'Л,(Т0) дМ',п(Т0)

2т+ 3

дТп

2т-1

дТ0

+ ■

ГдМ'»(Т0) М[Ц(Т0) дМгтп(Г0) М\Ц(Т0)

т + 1

Ч дТ0

21 + 3

дТ0

21-1

ат,' 10 дте дт„ ет„ ' "

дТ0 ■

дМ(Л,(Т0) М\"(Т0) дМ<т]',(Т0) М'/;(ТП)

2т-1

дТ0 2т+ 3 дТ0

С, з {(2«[/(/ +1)-1] +\У • ~[1{т +1) -т(2т-2п + 7) + 3] + 1¥е

п(9т2 + 9т-1) (2т -1)(2/эт + 3)

+ Ж ■"ат.+1Ге--9П(П !)-[т(т-1)2Кп ,,„ , -

2 т!" 4(2п- 1)(2т +1) тШ'

~(т + 1)2(т + 2)Кт+и„_, ~(т-1)ат-ишП-1 +(т + 1)ат+и„_,\-

+ 1>2<т + 2)Кт+и,+, ~ т(т - I)2К,

4(2п + 3)(2т +1)

т-Ц.п+1

- (т + 1)а„„ип+, +(т~ 1 )ат_11п+1]-\Уе •

9п

8(2т + 1)

т(т-1) 2т+ 1

(т + 1)(т + 2) „

+ -----А

2т+ 3

т+2.!.п

С2 = . 9""г(т + 1) [(т - 1)(т + 2)Кт+Пм - т(т + 5)Кт_ил ];

4( 2т +1) п[(пг + 1)(1+ + атЛи ];

4 С, С, = ——; ' ЗУ

(т-п- 1)Кп^

т,1„ РП

т п +1 К^&т-п-У (п + 21)ам/„ | ри

(т-п + 1)Кш„ -

сс,

т,1.п

т +1

2 т1

+ -((и - 2/и - 3)А 7 + +

т( 4 + 5п + Зт + тп + т ) (п + 1)(2т + 1)

т-Ц л

(т + 2)(2 + п + т-тп + т2 ) (п-1)(т + 2)

4 ~~ ~~ Кт+Цл Н , ; &т,1.п-1 ~

(п +1)( 2т + I) (п + 1)(т + 2)

2п-1

К | (т-1)а>п-1.1.п (П~1)ат1,п~1 |

2п + 3 т-'п*1 (п + 1)(2т + 1) (т + 1)(2п-1) (п + 1)сет}п+1 (п + 1)ат+и.„ V _ ГТ77- Зп

(т + 1 )(2п + 3) (п + 1)(2т + 1)) 2(п + 1)(2т + 1)

х[(т + ])2(т + 2)Кт+11п -т(т-I)2 „ ~(т + 1)ат+1^+ (т- 1)ат_ип\,

= ^¡р\Уе • т + 1)Кт1п;

(5)

коэффициенты Кт/„ и ат/„ пропорциональны коэффициентам Клебша-Гордана.

Из линейного анализа известно, что движение заряженной капли с постоянной скоростью относительно окружающей среды приводит к снижению условий устойчивости капли по отношению к собственному заряду из-за наличия на границе раздела сред тангенциального разрыва поля скоростей (из-за реализации аналога неустойчивости Кельвина-Гельмгольца, характерной для плоской границы раздела сред). При отсутствии взаимодействия мод (Ап = В„ = С„ = Оп = 0) критические для реализации неустойчивости капли значения Ж и Же (см.(4)) заряда определяются условием о\ =0, и имеют вид:

Получить аналитическое условие при учете взаимодействия не представляется возможным, в виду бесконечности системы (2).

Численное решение системы дифференциальных уравнений (2) относительно М(п'^(Т0) (при ограничении количества вовлеченных в расчет мод первыми пятью: п=2;3;4;5;6), проиллюстрированное рис.3, показывает, что при малых в смысле устойчивости капли по отношению к собственному заряду величинах скорости С/ и плотности р внешней среды, заметный вклад в спектр капиллярных колебаний капли вносит только изначально возбужденная к-ая мода. При этом поверхность капли совершает колебания близкие к гармоническим, соответствующие к-ой (изначально возбужденной) моде в окрестности равновесной формы. Вклад остальных мод (п^к), определяющийся линейным межмодовым взаимодействием, мал и становится заметным, если скорость внешней среды, близка к критической, при которой капля

становится неустойчивой (со2 —> 0). При этом моды, более близкие по номеру (по п) щи 1

0.5 О

-0.5 -1

0.5

-0.5 -1

Рис.3. Зависимости от безразмерного времени безразмерных амплитудных коэффициентов М(1''(() мод, возбуждающихся в первом порядке малости, при начальной деформации капли,

определяющейся основной модой (к=2), когда И'=1, р = 0.1. Толстая сплошная линия соответствует второй моде, тонкая пунктирная линия - третьей моде, толстая пунктирная линия

- четвертой моде, тонкая штрих пунктирная линия - пятой моде, тонкая сплошная линия

- шестой моде: а) 1/=2, Ь) 17=3, с) 1)=4.2, с!) 11=5.

к изначально возбужденной А-ой, имеют большую величину амплитуды колебаний, которая убывает с удалением п от к. С ростом плотности среды вклад в

формирование формы осциллирующей капли остальных изначально невозбужденных мод становится более заметным, причем при кф-2 амплитуда основной моды, которая возбуждается автоматически за счет взаимодействия капли с потоком (в результате перераспределения гидродинамического давления по поверхности капли), становится сравнима с амплитудой изначально возбужденной моды.

Несложно показать, что в отсутствии взаимодействия мод при IV — 1 и р = 0.1 критическое значение скорости, при котором капля становится неустойчивой, определяется равенством: и ~ 4.41. Однако из рис.Зс видно, что вторая мода становится неустойчивой уже при II = 4.2. Т.е. благодаря взаимодействию мод происходит снижение критических значений параметров Q, р и 17, необходимых

Рис.4с Рис.4<1

Рис.4. Зависимости безразмерных амплитудных коэффициентов М(„2>(1) мод, возбуждающихся за счет нелинейного взаимодействия во втором порядке малости, при начальной деформации, определяющейся основной модой (к~2), при IV = 1, р = 0.1. Толстая штрих пунктирная линия соответствует нулевой моде, тонкая коротко пунктирная линия — первой моде. Остальные линии обозначены, так же как и на рисЗ. а) 17=2, Ь) 17=3, с) 13=4,2, ф 17=5.

При изначально неустойчивой второй моде (о>2 >0) за счет межмодового взаимодействия становятся неустойчивыми и несколько ближайших мод (рис.Зс!), связанных с ней согласно (2) линейным взаимодействием, хотя при принятых в расчетах значениях С/, IV, р эти моды должны сохранять устойчивость, в смысле линейной теории т.к. для них 0)2п^2 >0. Интересно, что при дальнейшем росте скорости потока (при 17—5, рис.Зс!) величина инкремента неустойчивости третьей

моды превышает инкремент основной, и основную роль в реализации неустойчивости начинает играть третья мода.

Численное решение систем дифференциальных уравнений (3) относительно М'п2>(Т0) - амплитуд мод, возбуждающихся во втором порядке приближений за счет нелинейного взаимодействия (для мод от нулевой до шестой), показывает (рис.4), что при малых величинах скорости внешней среды U, как и в описанном линейном случае, наибольшую амплитуду имеют моды, которые возбуждались бы в отсутствии движения внешней среды, т.е. моды с номерами n-2j, где j=0,l,...,k. Движение внешней среды приводит к генерированию во втором порядке малости дополнительных мод, изначально невозбужденных, но появляющихся за счет как линейного, так и нелинейного межмодового взаимодействия. Амплитуды таких дополнительно возбужденных мод весьма малы и их вклад в формирование рельефа нелинейно осциллирующей капли при малых значениях р и U весьма незначителен, хотя он и более заметен чем у амплитуд первого порядка. С ростом скорости среды U, как и в первом порядке малости увеличиваются и амплитуды М(„2)(Т0), причем их рост происходит тем быстрее, чем больше плотность среды.

Второй параграф третьей главы посвящен исследованию внутреннего нелинейного резонансного взаимодействия мод нелинейно осциллирующей движущейся с постоянной скоростью относительно внешней материальной среды заряженной капли идеальной несжимаемой идеально проводящей жидкости.

Если принять для определенности радиус капли R-100 ¡лт (что соответствует крупной капле грозового облака), то скорость ее свободного падения Uo~72 cm/s (Re=9.61) (при этом режим обтекания капли воздухом будет ламинарным). Число Вебера для такой капли будет весьма малым: We = pU2R<J~1 ~ 0.7-10~3, следовательно, величины We, р= р2^рь и -J plVe имеют один порядок малости, и решения систем (2)-(3) можно искать в виде асимптотических разложений по ним, при этом параметр W ~ 1 естественно рассматривать как величину нулевого порядка малости.

Для определенности принималось, что начальная деформация капли определена суперпозицией /-ой и к- ой мод, при этом j >к, |/ - к\ > 4. Тогда в первом

порядке малости по tVe,p и -JpWe решения системы (2) с начальными условиями:

То=0: Mj1} — hj; М'к!) =

М(п°=0;

имеют вид:

K'-v =

• [cos(co0g 'Т0)~ cos(cog_2 • TQ )] ;

' 2

(On о - col

'Og

= *т(<о^Т0) + зт(со0ч • Т0)];

М(8п=И8.сох(со8Т0); МЯю = В?1 78 *т(а>8+1Т0) + зт(Ыог • Т0)];

М^{2)=-^^Г-[СОЗ(СО8+2-Т0)-СО5(СО08 • Т0)]; (б)

где частоты соп определяются из уравнения (4), имеющего смысл дисперсионного уравнения задачи, выписанного в линеином по

1Ге, ЦЖе

и р приближении, но без

учета взаимодействия мод. Это можно сделать, поскольку влияние взаимодействия мод на тангенциальном разрыве поля скоростей на границе раздела сред на вид дисперсионного уравнения проявится лишь в квадратичном по \\'е, -^рРУе и р приближении. Частоты о0п определяются из уравнения (4) при \\ге=-0.

При условии ¡у - к\ > 4 рядом с каждой ^-ой модой входящей в спектр

мод, определяющих начальную деформацию, за счет гидродинамического взаимодействия на границе раздела сред, на которой имеет место скачок поля скоростей, будут возбуждены еще по четыре моды: g-l, g-2, g+J и Однако амплитуды таких мод будут иметь первый порядок малости по малым параметрам Ъ'е, р и

Если не задаваться условием |./'-А:|>4, то в силу линейности

системы (2) вид ее решений изменится незначительно: решения будут представлять собой линейные комбинации функций входящих в (6).

Для нахождения уравнений, определяющих амплитуды М(2), найденные в (6) решения подставлялись в функцию неоднородности (5) системы (3) и

отбрасывались величины более высокого порядка малости, чем ~ е\ В результате система (3) преобразовалась к виду (1). Наличие обдувающего каплю потока свелось лишь к изменению частоты осцилляций капли (см. (4)).

Как уже говорилось ранее во втором параграфе второй главы при выполнении 2 2

соотношения (оп={о)т±щ) знаменатели некоторых компонент решения (1) обращаются в ноль, а само выражение (1) расходится, или, иначе говоря, найденные поправки второго порядка малости становятся асимптотически непригодными. Такая ситуация в теории нелинейных осцилляций интерпретируется как резонансная и должна анализироваться отдельно, иными математическими методами.

Ранее во втором параграфе второй главы было показано, что в рассматриваемой системе при реализации вырожденного резонансного

взаимодействия мод энергия перекачивается только из низших мод в более высокие. Во вторичных комбинационных резонансах энергия может переноситься в обоих направлениях: как от низких мод к высоким, так и обратно. Однако для заряженной капли нелинейно-осциллирующей в неподвижной диэлектрической среде во втором порядке малости по амплитуде осцилляций невозможно вовлечение в резонансный обмен энергиями основной моды (п — 2), поскольку 2 2

соотношение со2 — {сот ±щ) не выполняется ни для каких т и /. В случае же капли, движущейся относительно среды, частоты ее осцилляций определяются соотношением (1), т.е. дисперсионное соотношение содержит слагаемое пропорциональное числу Вебера Же, и вследствие этого появляется возможность резонансной раскачки основной моды. Для дальнейшего анализа возможных резонансных ситуаций введем обозначение:

Осо2п з (о)т ± щ )2 - со2п, (7)

и для нескольких первых мод, в которые перекачивается энергия из более высоких

"У 1 "У

мод, построим зависимости Осоп = Осоп(т,1) пересеченные плоскостью Асэп = О, при фиксированных значениях параметров Рэлея IV а Вебера Же (см. рис.5).

Рис. 5а

Рис.5Ь

Рис.5. Зависимость от номеров мод muí величины квадратичной формы Dco2n, определенной соотношением (7), пересеченная плоскостью Do2 =0 при fV=0.1 и We=0.001: а) п=2; Ь) п=3; с) п=4.

2 2

Рис.5с

2 2

Аналогично построим зависимости при фиксированных

парах значений номеров мод т и /, определяющих начальную деформацию (см. рис.6). На рис.5-6 условия резонансного обмена энергией строго выполняются на прямых, по которым пересекаются поверхности. Зависимости, проиллюстрированные рис.5, указывают на широкие возможности перекачки

энергии из высоких мод в низкие. Однако, на прямых по которым пересекаются поверхности на рис.5, только конечное количество точек соответствует целочисленным значениям номеров мод т и / (при построении рис.5 дискретные переменные т и / условно приняты меняющимися непрерывно). Остальные точки прямых пересечения поверхностей лишь указывают на близость к положениям точных резонансов. Но поскольку нелинейное внутреннее резонансное взаимодействие мод малочувствительно к малым отклонениям определяющих физических параметров от значений, соответствующих положениям точных резонансов. Резонансное взаимодействие мод будет иметь место и в некоторых окрестностях геометрического места точек, составляющих прямые на рис.5-рис.6, только его интенсивность (доля передаваемой резонансным образом энергии и характерное время нахождения переданной энергии в раскачиваемой низкой моде) будет несколько меньшей.

Согласно проведенным расчетам основная мода строго резонансно взаимодействует только с третьей модой при условии, что и основная и третья мода присутствуют в спектре мод, определяющих начальную деформацию (именно эта ситуация проиллюстрирована рис.ба). Как видно из рис.ба точные значения параметров Рэлея и Вебера, при которых реализуется резонансное взаимодействие, измеряются десятыми долями единицы и несколько превышают принятые при модельном расчете, которые были оценены исходя из параметров облачной капли радиусом 100 (лт. Чтобы согласовать результаты проведенного анализа с реалиями грозового облака можно использовать следующие аргументы: а) можно увеличить радиус капли, что приведет к увеличению скорости ее падения, величину параметра Вебера и к приближению его значения к данным рис.5 а; б) можно принять во внимание слабую зависимость частоты осцилляций от величин параметров Релея и Вебера при малых их значениях и учесть вышесказанное о малой чувствительности резонансного взаимодействия к отклонениям определяющих физических параметров от точных резонансных значений. Можно также скомбинировать первый и второй подходы. Во всяком случае, из сказанного следует, что параметры крупных капель в грозовых облаках (¡У ~ 0.1, \Уе <0.5) таковы, что может иметь место перекачка энергии из возбужденной третьей моды осцилляций в возбужденную вторую моду. Энергия же третьей моды может восполняться за счет резонансной перекачки энергии из более высоких мод (см. рис.5Ь).

Расчеты показывают, что по сравнению со второй модой третья мода может резонансно обмениваться энергией уже с существенно большим количеством высоких мод: от четвертой до тринадцатой. Однако наименьшим значениям параметров Рэлея и Вебера соответствует ее резонансное взаимодействие с двенадцатой и тринадцатой модами (см. рис.бЬ). Для четвертой моды спектр резонансно с ней связанных мод еще более расширяется (от пятой до тридцать первой), но оптимальными возможностями в смысле малости параметров Рэлея и Вебера обладает проиллюстрированное рис.бс ее взаимодействие с тридцатой и тридцать первой модами.

Рис. 6а

Рис.6Ь

СХ^

•2\

Рис.6с

Рис.бЛ

Рис.6. Зависимость от величин параметров Рэлея IV и Вебера Же величины квадратичной формы Оа>1, определенной соотношением (7), пересеченная плоскостью Оогп ~ О при: а) п=2; т=2, /=3; Ь) п=3, т=12, 1=13; с) п=4, т=30, 1=31; (!) п=4, т=6, 1=8.

На рис.ба-с рассмотрены ситуации резонансного взаимодействия »-ой моды с двумя соседними модами ш-ой и /-ой (|/ - т\ = 1) с более высокими чем п номерами. С ростом номера п моды, принимающей энергию от более высоких т-ой и /-ой, увеличивается и количество номеров мод т и / связанных с «-ой резонансным взаимодействием. Рис.бё иллюстрирует такую возможность для номеров п=4, т-6, 1=8.

В итоге складывается следующая возможная картина резонансного переноса энергии между модами: в основную моду энергия поступает из третьей, в третью моду энергия поступает из мод с четвертой по тринадцатую, в четвертую моду из мод с пятой по тридцать первую и т.д. Результатом переноса энергии из высоких мод (которые регулярно возбуждаются за счет столкновения рассматриваемой крупной капли с более мелкими и медленнее движущимися в облаке капельками) в основную будет раскачка амплитуды осцилляций основной моды до наблюдаемой в натурных условиях величины (сравнимой с радиусом капли). Следует, однако, отметить, что одновременно в капле будет существовать встречный поток энергии из низших мод в более высокие, поддерживаемый вырожденным резонансным взаимодействием мод. Физические закономерности взаимодействия этих встречных

потоков энергии в рассматриваемой колебательной системе не очевидны и должны составить предмет отдельного исследования.

В третьем параграфе третьей главы решалась задача о нахождении временной зависимости амплитуды возмущения нелинейно-осциллирующей идеальной проводящей капли радиуса К с плотностью /э/, движущейся с постоянной скоростью 00 относительно идеальной несжимаемой диэлектрической среды с плотностью и диэлектрической проницаемостью е, с коэффициентом поверхностного натяжения ст на границе раздела среда-капля. Капля находилась в однородном электростатическом поле Ё0, направленному коллинеарно вектору 00: О0.

Математическая формулировка задачи состоит из системы уравнений Лапласа для потенциалов скоростей среды и капли, электростатического потенциала, а также стандартных граничных условий к ним. Решение задачи проведено в безразмерных переменных У? = гг = р1 -1, р2/р1=р.

В результате решения для нахождения амплитуд М(п° 0 - 1, 2) осцилляций поверхности капли были получены две связанные системы дифференциальных уравнений идентичные системам (2)-(3), где коэффициенты Лп, Вп Сп, £)„, а>„ определяются следующим образом:

Ап = (1¥е - и')Х(") П"(П ~ >' Вп=-4№^пХ(п);

(2п-3)(2п-1)

^ Г7Г,— /• ,п(2п + 1) .... , .п2(п + 1)(п + 2)

С„ = р х(п)~-А, = (1Уе - м>)Х(п) ;

2п + 3 (2п + 3)(2п + 5)

ю2п = Х( п)

( , ,, п2(4п3 + 2п2 -6п — 1)

-1¥е

(2п-1)(2п + 1)(2п + 3)

2п2((2п + 1)(п2 —1) + 3) (2п-1)(2п + 1)(2п + 3)

( п х1 9Е20е, д

х(п) = \1 + р—\ ; — ~7~~~~' ^е = -и2р. (8)

V п+1) 4ж 4

Функции неоднородности /п(Т0), определяются через коэффициенты М^, которые являются решениями системы (2), с учетом (8).

При расчетах принималось, что эксцентриситеты сфероидальных деформаций, определяемые электростатическим полем (деформация к вытянутому сфероиду) и движением среды (деформации к сплюснутому сфероиду), равны. При этом в системах уравнений (2) и (3) коэффициенты Ап и Д, обратятся в ноль. Это несколько снижает общность задачи, но при решении нет необходимости во введении дополнительных малых параметров, характеризующих равновесную деформацию капли.

Из (8) видно, что без учета взаимодействия мод критические для реализации неустойчивости п-ой моды значения параметров Тейлора IV и Вебсра )¥е определяются условием со2п - 0: для п=2 - = \Уе да3.33, для п=3 — = 1Уе л> 4.66,

для п=4 — w = We &5.79, для п=5 — w = We я*6.84 и т.д.

-0.5

Ч)

-2

-4

0 1 Рис. 8а 2 3 Т0

\ / /Х^ К ^ \

V---- \ \ ч ч ч \ лгч ■< ' \ \ - \ \ \ \ \ \

0 2 4 Тс

Рис.8с

Рис.7. Те же зависимости, что и на рис.3 Рис.8. Те же зависимости, что и на рис.4 (к=2), при р = 0.1. а) Н'е = и> = 2, Ь) П'е = н> = 3, (к=2), при р = 0.1. а) П'е = н> = 2, Ь) П'е = м> = 3,

с) We = w =3.5.

с) П 'е - и- =3.5.

Численное решение системы дифференциальных уравнений (2), (3) с учетом (8) как и в первом параграфе третьей главы проводилось при ограничении количества вовлеченных в расчет мод первыми семью: п-0;1;2;3;4;5;6. При до критических значениях w и We их рост сопровождается к увеличению частоты, а также ростом амплитуд осцилляций М'п1} и М'п2> (см. рис.7 и рис.8). При w = We > 3.33 (col ка~

пля становится неустойчивой и амплитуды M'J' и Л/'/у со временем возрастают не

t<2>

периодически, причем, как видно из рис.7с и рис.8с благодаря межмодовому взаимодействию неустойчивость основной моды приводит к инициации неустойчивости и остальных мод, хотя для мод с номером п > 2 условие й)2 < О не выполняется.

Это связано с тем, что в решаемой задаче во взаимодействии с п-ой модой участвуют только две соседние моды, тогда как в случае с зараженной каплей их было четыре. Т.е. тип межмодового взаимодействия существенно влияет на значения параметров, при которых капля становится неустойчивой.

В четвертом параграфе третьей главы представлена задача о нелинейных осцилляциях идеальной заряженной идеальнопроводящей капли, ускоренно движущейся в однородном электростатическом поле. Решение проводилось в безразмерных переменных в неинерциальной системе отсчета, связанной с центром масс капли. Задача содержала два малых параметра: е - эксцентриситет равновесной слабо сфероидальной формы капли и £ - амплитуду начальной деформации £

равновесной формы. Полагалось, что е2 ~ 6, кроме этого, что поле Е0 ~ еу2 и

1/2

ускорение капли а ~ е . Решение задачи проводилось методом многих масштабов, с использованием порядков малости ~ е" (т—1; 3/2; 2). В результате для формы поверхности нелинейно осциллирующей заряженной капли, ускоренно движущейся во внешнем однородном электрическом поле, было получено следующее выражение:

г(0,0 = 1 Лрг 00 + е±(ле (О + £1/2М1}/2) (0 + ем? (,))р („) + ) (9)

ч^клт =

~П п

(и > 2): м;11' (г) = Ъ, со5 [(- * • 8Л ) • г]; еу2М(п

- 2)(СО8(Й>_,/) - соз(су)) и^к^ (я -1) (СР5 (ду, 0 - СР8 ( Р./))

(«я ~ )2 ,

к+г {" -1*^2 , К_2 (*--3)*•„_,*•„-

и2П2соз(е>л/)

(Ч2 ~ )(*£, " ) " " <2 )

• Хп+2 [«»(й^гО + СО5К0] + • %п-2 [СОЗ(£Ул_2Г) + СОБ^г)] +

("2 - ((" -

(ч2 - ) I, К' - ) (ч2н - а>12)

П2СО8('^,0

п'к.

п-1

(Iп-2?Ккп (и - !)(« -

Л И

П2СОЗ («£>„_,/) +

_ _ 2

[со* (К + « )/) - СОЗ («>„ Г)] + [с05 ((« )/)- С05 («„/)])

М<'> (/) = А/,0) (/) = (г) = М,(3/2) (г) = 0;

2 > 2 г *л_.

2 А,

яе3(2ги + 1) 15

гг2 • М\г) (*)--У 9т, Ьт~\ соэ (. /) • собСй; /) - с • е2 ^ сое (о, /) •

(4т2-1) V ' 4 " 7 35 4 3 '

2.71

2т + 1

е2 э

9£02

36 и-

(16^-е2) (4-Ю '

4л-

16л-

Е • С. (и) = П

е2к„+х{п+п + 2-\У)^26м;-к-п(2(п-\)(2п + Ъ)-\)

(2«-1)

(2«-1)(2и + 3)

К,-®.2)

П2-

Расчеты по (9) форм равноускоренно движущихся во внешнем однородном электростатическом поле нелинейно-осциллирующих заряженных капель проиллюстрированы рис.9. Видно, что закономерности временной эволюции положительно и отрицательно заряженных капель при неизменном электростатическом поле (или при смене направления напряженности электростатического поля на противоположное при неизменном заряде капли) отличаются. Это различие связано с появлением в выражении (9) для образующей слагаемого с3 2М*П'2(Х) ~ /7, изменяющего свой знак при изменении знака заряда или при изменении ориентации напряженности поля, тогда как все остальные слагаемые выражения (9) либо не зависят от заряда, либо пропорциональны его квадрату: ~ IV, ~ П2.

Поправки к частотам С • дп появляются уже в расчетах второго порядка малости по амплитуде начальной деформации благодаря отличию равновесной формы капли от сферической и взаимодействию заряда капли с электростатическим полем и полем сил инерции. В этой связи найденные поправки к частотам осцилляции целесообразно называть не «нелинейными», а «деформационными», чтобы можно было

отличать их от истинно нелинейных поправок, появляющихся в более высоких порядках малости (начиная с третьего) именно из-за нелинейного взаимодействия мод осцилляций.

Рис.9 а. Рис.9Ь.

Рис.9. Образующие форм нелинейно-осциллирующих положительно и отрицательно заряженных капель, когда начальная деформация определена суперпозицией 2-ой и 3-ей мод, рассчитанные при е — 0.2, IV —3.7 в один момент времени, выраженные в долях периода второй

моды Т2: а) / = 27-Т2/16; Ь) г = 47 • 7",/16- Цифрой «1» отмечена образующая формы капли в

начальный момент времени; цифрой «2» - образующая положительно заряженной капли; цифрой «3» - отрицательно заряженной.

Рис.10. Зависимость отношения нелинейной Рис. 11. Зависимость отношения нелинейной поправки к частоте основной моды к самой поправки к частоте п-ой моды к самой час-частоте от параметров Рэлея УУ и Тейлора тоте от параметра Рэлея IV и номера моды н>. п.

Зависимости относительной величины деформационных поправок к частотам от величин параметров IV и и>, а также от номера моды п приведены на рис.10, рис.11. Видно, что деформационные поправки становятся существенными лишь при приближении параметра Рэлея IV к своему критическому значению, равному четырем. Диапазон значений параметра Тейлора и', использованных при расчете рис.10, рис. 11 далек от критических его величин в виду того, что в использованной математической модели, когда величина стационарной деформации принималась равной амплитуде нелинейных осцилляций, величина напряженности поля ограничена тре-

бованием малости параметра разложений Е0 ~ €1'2. Из рис. 11 видно, что относительные величины деформационных поправок монотонно уменьшаются с ростом номера моды. Для исследования изменения деформационных поправок к частотам при больших значениях напряженности поля, близких к критическим по Тейлору (при Н'—>0.05), необходимо изменить принятое соотношение между малыми параметрами задачи, что существенно изменит асимптотическую процедуру и потребует отдельного аналитического расчета.

Несложно показать, что деформационная поправка к частоте приводит к снижению критических условий реализации неустойчивости основной моды (и более высоких мод) капли по отношению к поверхностному заряду, которые определятся из условия:

(со, - е • 6г )2 я со] - 2е • д2 • со, + 0(гг2) = 0; или (Гсг = (я + 2) - 2с'д^ ,

«(«-1)

Вид начальной деформации равновесной формы капли существенно влияет на амплитуды нулевой М^ (?) и первой (трансляционной) (/) мод. Это влияние

обусловлено наличием стационарной деформации капли в электрическом поле.

Четвертая глава посвящена исследованию нелинейных осцилляций заряженного слоя идеально проводящей жидкости на поверхности твердого сферического ядра.

В первом параграфе четвертой главы в линейном приближении по величине возмущения поверхности исследовалась неустойчивость заряженнохо слоя вязкой жидкости на поверхности твердого сферического ядра. Полученное решение позволило построить непрерывную зависимость комплексной частоты от величины ядра при любых значениях вязкости. Выяснилось, что частоты капиллярных колебаний слоя вязкой жидкости на поверхности твердого сферического ядра, декременты реализующихся вихревых полоидальных и тороидальных движений и инкременты неустойчивых мод весьма сильно зависят от наличия в капле твердого ядра, когда отношение радиуса ядра к радиусу капли приближается к единице. Причем для низких мод наличие ядра начинает оказывать гасящее влияние даже при малом ядре с радиусом порядка половины радиуса капли, в то время как влияние на высокие моды становится заметным только при отношении радиусов близком к единице. Наличие двух механизмов вязкой диссипации: затухания в слое и на твердом дне, приводит к тому, что при величине безразмерного радиуса ядра близком к единице реализация неустойчивости происходит за счет преимущественного развития неустойчивости нескольких высоких мод, т.к. для низких мод гасящее влияние ядра проявляется более сильно, чем для высоких. Это может привести для тонких слоев вязких жидкостей к формированию большого количества эмиссионных выступов, как это и отмечалось в экспериментах, в отличие от капли без ядра, где таких выступов всего два.

Во втором параграфе четвертой главы исследовано влияние величины твердого сферического ядра радиуса Я0 в градине радиуса Я на физические закономерности реализации нелинейных осцилляций заряженного слоя жидкости на поверхности градины. При этом в начальный момент времени равновесная сферическая форма слоя жидкости претерпевала виртуальное осесимметричное возмущение фиксиро-

ванной амплитуды. Математическая формулировка задачи и ход решения аналогичны рассмотренным во втором параграфе второй главы для неподвижной капле в среде, за исключение того, что в данной задаче внешняя среда отсутствует и в качестве дополнительного условия рассматривается условие равенства нулю нормальной компоненты скорости жидкости на поверхности ядра.

В результате было получено, что временная зависимость формы капли совпадает выражением (1), представленным во втором параграфе второй главы, за исключением коэффициентов соп, ут[п и Цтъь которые теперь принимают вид:

УтЫ = КтЫ {ПХп

2п[1(1 + 1)-1] + ^[1(т + 1)-т(2т-2п + 7) + 3]~^ +

2 тхт

+ -

т !п

тХп

21X1

V. —

Численный анализ зависимости безразмерных амплитуд мод м'„2> от времени (см.(1) с учетом (10)), возбуждающихся во втором порядке малости, показал, что с увеличением безразмерного радиуса ядра наряду с уменьшением частоты колебаний происходит уменьшение амплитуд возмущения большинства мод (см. рис.14а,Ь) за исключением нулевой и наиболее высоких мод. У высоких мод с ростом величины безразмерного ядра сначала наблюдается убывание амплитуды, а при толщине слоя жидкости порядка 0.1 К наблюдается рост амплитуды возмущения (рис. 14с). У наиболее высоких мод рост амплитуды возмущения наблюдается при всех значениях Я0 (рис. 14(1). Данный эффект можно объяснить преимущественной перекачкой энергии от изначально возбужденной моды к наиболее высоким модам возбуждающимся во втором порядке малости.

Расчеты показывают, что величина напряженности электростатического поля собственного заряда в окрестности вершин стоячих волн связанных с нелинейным возбуждением мод осцилляций жидкого слоя на поверхности обводненной градины при начальном возбуждении п-моды в 4п2 раз превышает величину напряженности поля в окрестности равновесной сферической поверхности невозмущенного волновым движением слоя жидкости. Из физических соображений несложно показать, что легче всего возбуждается мода с номером п равным отношению радиуса градины к толщине слоя. Из проведенных расчетов проиллюстрированных рис.14 следует, что эффект смещения максимума энергии в спектре нелинейно возбужденных мод существенно прояатяется при толщинах слоя жидкости меньших 0.1 Я. Это означает, что п > 10. Таким образом, величина напряженности электростатического поля в окрестности нелинейно-осциллирующей градины более чем в 40 раз может превышать напряженность поля в окрестности равновесной сферической поверхности невозмущенного волновым движением слоя жидкости на поверхности градины. Известно, что градины с радиусами порядка 1 см могут нести заряд до 10"8 Кл. Это означает, что напряженность поля в близи вершин волн может достигать величины порядка

4'105 В/см, что существенно превышает критическую для зажигания коронного разряда величину напряженности.

Рис. 14а Рис,14Ь

Рис.14. Зависимости безразмерных амплитуд мод М(п2)(Т0), возбуждающихся во втором порядке малости, при начальной деформации, определяющейся десятой модой, при Ц-1. Тонкая сплошная линия соответствует Ко = 0; тонкая пунктирная линия соответствует Ко — 0.8; сплошная линия средней толщины - К0 = 0.84; пунктирная линия средней толщины - До = 0.86; толстая сплошная линия - Ко = 0.88; толстая пунктирная линия - Ко = 0.9; а) шестая мода, п — 6; Ь) восьмая мода, п = 8; Ь) шестнадцатая мода, п = 16.

В пятой главе рассматриваются закономерности распада капель на две и три части при сильных сфероидальных деформация. Расчеты проводились исходя из предположения, что конечному состоянию системы соответствует минимум потенциальной энергии. Рассматривались три типа распределения заряда в капле: заряд равномерно распределен по поверхности диэлектрической капли, заряд равномерно распределен по объему диэлектрической капли, заряд равномерно распределен по поверхности идеально проводящей капли.

В первом параграфе пятой главы рассматривался распад заряженной капли на две и три части для случаев объемно и поверхностно заряженных диэлектрических капель и идеальнопроводящей капли. Для анализа из условий экстремальности и минимальности потенциальной энергии конечного состояния выражался параметр Рэлея характеризующий баланс давлений сил поверхностного натяжения и давления электрического поля, определяемого ззрядом капли.

Расчеты показали, что с ростом деформации вероятность симметричного распада капли на три части сравнимых размеров, для диэлектрических капель увеличивается, а для идеально проводящих уменьшается, поскольку с ростом деформации у

диэлектрических капель максимально возможный параметр W уменьшается, а для идеальнопроводящей увеличивается. Аналогичные зависимости получены и для распада капли на две части.

Как оказалось при распаде диэлектрической капли с однородно распределенным поверхностным зарядом, когда от большой материнской капли отрываются малые дочерние капли размерами много меньше материнской, энергетически более выгоден распад капли на три части. Распад на две капли возможен только при сильных деформациях. При отрыве дочерних капель, относительный объем которых порядка десятых долей от начального объема капли, энергетически более выгоден распад на две капли. Для идеально проводящей капли картина сходна с рассмотренной выше, только распад на две капли становится более вероятным, когда объем дочерней капли составляет сотые доли от объема материнской капли. При объемном распределении заряда, как уже говорилось выше, предпочтителен симметричный распад капли на две примерно равных объемов. Распад капли на три части при таком распределении заряда возможен только при весьма сильных деформациях.

Во втором параграфе пятой главы исследовался распад незаряженной сфероидальной идеальнопроводящей и диэлектрической капли в однородном электростатическом поле. Для анализа использовался тот же метод, что и в первом параграфе. Рассматривались капли с большим эксцентриситетом в целом результаты исследований аналогичны полученным в предыдущем параграфе, т.е. На части сравнимых размеров могут распадаться только диэлектрические капли. Капли идеально проводя-шей жидкости в сильном электростатическом поле Е будут распадаться, эмигрируя мелкие капельки с радиусами на два порядка меньшими радиуса родительской капли.

В приложение, вынесена шестая глава, содержащая вспомогательные оценочные результаты. В ней представлены результаты аналитического расчета равновесных форм капель в параллельных (параграф 1) и скрещенных (параграф 2) электрическом и гидродинамическом полях.

Показано, что для случая параллельных электрического и гидродинамического полей эксцентриситет капли определяется выражениями:

2 9 (W7T'1 - We) Q2 2 тз -I и» п2т> -1

е -----IV =—---r; w^EnRcr ; We = pU Rcr .

16 (1-W) 16mjR 0

Для случая перпендикулярных электрического и гидродинамического полей фигура, к которой деформируется исходная сферическая капля, является трехосным эллипсоидом, который вытянут вдоль поля Е0 и сплюснут вдоль U, с эксцентриситетами, определяющимися выражениями:

2 9 2 9 Ш

е =-w, еп =--We.

16ж 0 16

В третьем параграфе проводился теоретическое изучение влияния скорости материальной внешней среды на устойчивость и спектр мод осцилляций заряженной капли, находящейся в однородном электростатическом поле.

Результаты и выводы.

1. Впервые в мировой научной практике в теоретическом аналитическом асимптотическом анализе проведено корректное исследование влияния на нелинейные осцилляции заряженной капли ее равномерного движения относительно материальной окружающей среды, моделируемой идеальной несжимаемой жидкостью.

Установлено, что:

наличие потока жидкости, ламинарко обтекающего заряженную каплю, приводит к росту амплитуды колебаний изначально невозмущенных мод;

нелинейное взаимодействие мод приводит к снижению критических для реализации неустойчивости капли величин напряженности электрического поля, скорости и плотности внешней среды;

движение капли относительно среды приводит к существенному расширению спектра внутренних нелинейных резонансов, реализующихся в нелинейно-осциллирующей капле;

в заряженной капле принципиально возможен резонансный перенос энергии из высоких мод осцилляций в основную моду, приводящий к раскачке сфероидальных осцилляций капли, наблюдаемых в естественных условиях.

2. На основании теоретического асимптотического анализа влияния внешней материальной среды на нелинейные осцилляции заряженной капли установлено, что:

с ростом отношения плотностей среды и капли максимум энергии осцилляций в спектре нелинейно-возбужденных мод смещается к наиболее высокой моде независимо от того, какой из мод задается начальная деформация капли;

с увеличением собственного заряда капли при уменьшении коэффициента межфазного натяжения, радиуса капли и диэлектрической проницаемости среды наблюдается рост амплитуды основной моды;

наличие внешней для капли материальной среды приводит к существенному увеличению количества резонансных ситуаций, само же резонансное взаимодействие относительно слабо зависит от величины собственного заряда капель.

3. Впервые в мировой научной практике в теоретическом аналитическом асимптотическом анализе проведено корректное исследование нелинейных осцилляций заряженной капли во внешнем силовом поле в окрестности равновесной формы отличной от сферической. Показано, что кроме нелинейных поправок к частотам осцилляций имеют место также и «деформационные» поправки, обусловленные несферичностью формы капли.

4. Впервые в мировой научной практике в теоретическом аналитическом асимптотическом анализе проведено корректное исследование влияния на нелинейные осцилляции заряженной капли ее ускоренного движения во внешнем однородном электростатическом поле.

Показано, что при нелинейных осцилляциях равноускоренно движущейся в однородном электростатическом поле заряженной капли: критические условия реализации неустойчивости капли по отношению к собственному заряду снижаются

уже из-за наличия деформационных поправок к частотам; появляются различия во временной эволюции формы капель разных знаков по сравнению с равномерно движущейся или неподвижной каплей.

5. Впервые проведено аналитическое асимптотическое исследование нелинейных осцилляций заряженного слоя электропроводной жидкости на поверхности тающей градины. Выяснилось, что с уменьшением толщины слоя жидкости максимум энергии в спектре нелинейно возбуждающихся мод осцилляций смешается в сторону высоких мод с номерами сравнимыми с величиной отношения радиуса градины к толщине слоя при одновременном снижении частот мод. В реальных условиях грозового облака преимущественный рост амплитуд высоких мод осцилляций заряженного слоя жидкости на поверхности градины приведет к снижению критической величины собственного заряда градины необходимого для зажигания в ее окрестности коронного разряда.

6. При нелинейных осцилляциях большой амплитуды капли, обладающие собственным или индуцированным внешним электростатическим полем зарядами, проявляют тенденцию к делению на части сравнимых размеров. Теоретический анализ на основе принципа минимальности потенциальной энергии конечного состояния замкнутой системы показал, что:

капли диэлектрической жидкости с равномерно распределенным по объему электрическим зарядом могут делиться при малых сфероидальных деформациях пополам, а распад на три части возможен только при деформациях большой амплитуды;

поверхностно заряженные капли диэлектрической жидкости при малых амплитудах сфероидальных деформаций проявляют тенденцию распаду на три части, а распад на две части более вероятен при сильных деформациях.

заряженные капли идеальнопроводящей жидкости при любых деформациях сбрасывают избыточный заряд путем эмиссии с противоположных вершин сильно заряженных дочерних капель с размерами много меньшими размера родительской капли.

7. Аналитический расчет равновесной формы капли в электрическом и гидродинамическом полях показал, что:

форма заряженной капли в коллинеарных электростатическом и гидродинамическом полях определяется конкурентными силами, приводящими к сплющиванию вдоль направления гидродинамического потока и к вытягиванию во внешнем электростатическом поле;

равновесная форма заряженной капли в перпендикулярных электростатическом и гидродинамическом полях в квадратичном по величинам эксцентриситетов приближении является трехмерным эллипсоидом, эксцентриситеты которого определяются соотношением величин напряженности внешнего электростатического поля и скорости движения среды относительно капли.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Ширяева С.О., Лазарянц А.Э., Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Муничев М.И., Сомова И.А. Метод скаляризации векторных краевых задач. Препринт ИМ РАН № 27. Ярославль. 1994. 126 с.

2. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Коромыслов В.А. Затухание капиллярных волн на заряженной поверхности жидкости, вызванное релаксацией заряда // Письма вЖТФ. 1995. Т.21. Вып. 19. С.77-82.

3. Ширяева С.О., Коромыслов В.А., Кокорин А.Г. Малые колебания капли вязкой несжимаемой жидкости в переменном электрическом поле И Электронная обработка материалов. 1995. № 3. С.30-32.

4. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Коромыслов В.А. О снижении критических условий неустойчивости сильно заряженной капли за счет релаксации заряда // Письма в ЖТФ. 1996. Т.22. Вып.9. С.63-69.

5. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Коромыслов В.А. О капиллярных колебаниях сферической капли электропроводной жидкости в неоднородном переменном электрическом поле И ЖТФ. 1996. Т.66. Вып.5. С.35-39.

6. Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Ширяева С.О. Неустойчивость заряженного слоя вязкой жидкости на поверхности твердого сферического ядра // ЖТФ.

1996. Т.66. Вып. 10. С.23-29.

7. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Коромыслов В.А. Учет эффекта релаксации электрического заряда в задаче о неустойчивости заряженной поверхности жидкости // Электронная обработка материалов. 1996. № 2-3. С.37-39.

8. Коромыслов В.А., Григорьева И.Д., Ширяева С.О., Рахманова Ю.Д. Влияние распределения заряда в капле идеальной жидкости на параметры распада капли на две части//Электронная обработка материалов. 1996. № 4-6. С.49-53.

9. Коромыслов В.А., Муничев М.И., Ширяева С.О. О влиянии расклинивающего давления на устойчивость по отношению к собственному заряду слоя жидкости на твердом сферическом ядре // Письма в ЖТФ. 1997. Т.23. Вып.19. С.1-7.

10. Коромыслов В.А., Рахманова Ю.Д., Ширяева С.О. Исследование влияния величины сфероидальной деформации на устойчивость капли, заряженной ниже Рэ-леевского предела II Письма в ЖТФ. 1997. Т.23. Вып. 14. С.40-43.

11. Коромыслов В.А., Муничев М.И., Ширяева С.О. О влиянии расклинивающего давления на устойчивость по отношению к собственному заряду слоя жидкости на твердом сферическом ядре // Письма в ЖТФ. 1997. Т.23. Вып. 19. С. 1-7.

12. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Коромыслов В.А. Капиллярные колебания плоской заряженной поверхности жидкости с конечной проводимостью // ЖТФ.

1997. Т.67. Вып.8. С.34-41.

13. Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Ширяева С.О. Неустойчивость заряженного слоя вязкой жидкости на поверхности твердого сферического ядра // ЖТФ. 1997. Т.67. Вып.9. С.8-13.

14. Григорьев А.И., Жаров А.Н., Коромыслов В.А., Ширяева С.О. Капиллярные колебания и устойчивость заряженного пузыря в вязкой диэлектрической жидкости // Изв. РАН МЖГ. 1998. № 5. С.205-209.

15. Ширяева С.О., Коромыслов В.А., Григорьев O.A. Снижение критических условий неустойчивости сильно заряженной капли, движущейся относительно среды // Письма в ЖТФ. 1998. Т.24. Вып. 13. С.54-57.

16. Коромыслов В.А., Григорьев А.И., Ширяева С.О. Деление заряженных капель на части сравнимых размеров при сильных сфероидальных виртуальных деформациях // ЖТФ. 1998. Т.68. Вып.8. С.31-38.

17. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Коромыслов В.А. Капиллярные колебания и устойчивость заряженной вязкой капли в вязкой диэлектрической среде // ЖТФ. 1998. Т.68. Вып.9. С. 1-8.

18. Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Ширяева С.О., Григорьев O.A. Неустойчивость заряженной сферической поверхности в обтекающем потоке идеальной жидкости // Электронная обработка материалов. 1998. № 1-2 С.48-50.

19. Grigor'ev A.I., Grigor'eva I.D, Shiryaeva S.O. Koromyslov V.A. The stability of ball lightning moving in the atmosphere to a tangential discontinuity in the velocity field // J. Moscow Phys. Soc. 1998. № 8. P.l-10.

20. Григорьев А.И., Коромыслов B.A., Ширяева С.О. Влияние расклинивающего давления на развитие неустойчивости заряженного тонкого слоя жидкости на твердом сферическом ядре // Изв. РАН. МЖГ. 1999. № 1. С.102-106.

21. Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Ширяева С.О. Неустойчивость заряженной сферической капли, движущейся относительно среды // ЖТФ. 1999. Т.69. Вып.5. С.7-14.

22. Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Ширяева С.О. Неустойчивость заряженной сферической вязкой капли, движущейся относительно среды // ЖТФ. 2000. Т.70. Вып.7. С.26-34.

23. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Голованов А.И. Влияние релаксации заряда на электромагнитное излучение осциллирующие заряженной вязкой капли // Письма в ЖТФ. 2002. Т.28. Вып.2. С.6-11.

24. Щерба Е.А., Григорьев А.И., Коромыслов В.А. О взаимодействии двух заряженных проводящих шаров при малых расстояниях между ними // ЖТФ. 2002. Т.72. Вып. 1.С. 12-19.

25. Коромыслов В.А., Григорьев А.И., Рыбакова М.В. О дроблении капли во внешнем электростатическом поле // ЖТФ. 2002. Т.72. Вып.6. С.28-34.

26. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Коромыслов В.А. Капиллярные осцилляции излучающей заряженной вязкой капли конечной проводимости // ЖТФ. 2002. Т.72. Вып.6. С. 19-27.

27. Коромыслов В.А., Григорьев А.И. Неустойчивость сферической заряженной капли, движущейся параллельно внешнему электростатическому полю // ЖТФ. 2002. Т.72. Вып.9. С.21-28.

28. Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Рыбакова М.В., Ширяева С.О. О равновесной форме заряженной капли, движущейся относительно среды в электростатическом поле // Электронная обработка материалов. 2002. № 1. С.41-45.

29. Коромыслов В.А., Григорьев А.И., Рыбакова М.В. Неустойчивость заряженной капли во внешнем электростатическом поле // Электронная обработка материалов. 2002. № 4. С.50-53.

30. Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Рыбакова М.В. О форме заряженной капли в скрещенных электростатических и гидродинамических полях // Электронная обработка материалов. 2002. № 6 С.22-25.

31. Коромыслов В.А., Ширяева С.О., Григорьев А. И. Нелинейные капиллярные колебания заряженной капли в диэлектрической среде при одномодовой начальной деформации формы // ЖТФ. 2003. Т.73. Вып.9. С.44-51.

32. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Жаров А.Н. О расчете амплитуды трансляционной моды при нелинейных осцилляциях капли во внешней среде // ЖТФ. 2003. Т.73. Вып.9. С.60-63.

33. Коромыслов В.А., Щерба Е.А., Григорьев А.И. Поляризационное взаимодействие двух близко расположенных проводящих шаров в однородном электростатическом поле // Электронная обработка материалов. 2003. № 1. С.35-38.

34. Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Рыбакова М.В., Ширяева С.О. О резонансном взаимодействии нелинейных осцилляций заряженной капли, находящейся во внешней диэлектрической среде И Электронная обработка материалов. 2003. № 5. С.30-36.

35. Коромыслов В.А., Ширяева С.О., Григорьев А.И. Нелинейные осцилляции и устойчивость заряженной капли, движущейся относительно среды // ЖТФ. 2004. Т.74. Вып.9. С.23-31.

36. Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Ширяева С.О., Волкова М.В. О нелинейных осцилляциях заряженной капли в аэродинамическом потоке // Электронная обработка материалов. 2004. № 6. С.25-31.

37. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Жаров А.Н., Коромыслов В.А.. Нелинейные осцилляции заряженных капель (обзор). Часть 1. // Электронная обработка материалов. 2005. № 3. с.25-35.

38. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Жаров А.Н., Коромыслов В.А. Нелинейные осцилляции заряженных капель (обзор). Часть 2. // Электронная обработка материалов. 2005. № 4. С.24-34.

39. Коромыслов В.А., Крючков О.С. Нелинейные сфероидальные осцилляции движущейся в среде заряженной капли // Сборник трудов молодых ученых ЯрГУ: «Актуальные проблемы физики». № 5. Ярославль: Изд.: ЯрГУ. 2005. С. 152-159.

40. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Егорова Е.В., Мирджа-молов K.M. Аналитическое исследование нелинейных осцилляций заряженной каши, движущейся относительно среды // Препринт ИМРАН №34. Ярославль. 2005. 35 с.

Подписано в печать 12.01.2006. Формат 60x90/32. Бумага белая. Условных печатных листов 2.0. Тираж 100 экз. Печать трафаретная. Заказ №52.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Коромыслов, Вячеслав Александрович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Ретроспектива исследований нелинейных осцилляций заряженных капель

1.1. Первые публикации, посвященные исследованию нелинейных осесимметричных осцилляций и устойчивости капли по отношению к собственному заряду В

1.2. Исследование устойчивости заряженной капли по отношению к неосесимметричным осцилляциям

1.3. Численный анализ нелинейных осцилляций и устойчивости заряженных капель. Учет влияния вязкости.

1.4. Экспериментальные наблюдения нелинейных деформаций и осцилляций капель

1.5. Нерезонансный механизм раскачки осцилляций основной моды и ее влияние на устойчивость капли

1.6. Оценки характерного времени реализации неустойчивости капли по отношению к поверхностному заряду на нелинейной стадии

1.7. Исследование внутренних нелинейных резонансов

1.8. Электромагнитное излучение от нелинейно-осциллирующей заряженной капли

1.9. Акустическое излучение от нелинейно-осциллирующей капли

1.10. Нелинейные осцилляции заряженной капли в несжимаемой инерционной диэлектрической среде

1.11. Влияние на нелинейные осцилляции заряженной капли обтекающего ее потока несжимаемой внешней диэлектрической среды

1.12. Влияние деформации равновесной сферической формы заряженной капли на закономерности ее осцилляций и устойчивость 34 1.13.0 влиянии вязкости на нелинейные осцилляции капель 3 8 1.14. Что необходимо исследовать, чтобы картина нелинейных осцилляций заряженной капли прибрела черты завершенности

ГЛАВА 2. Асимптотический анализ нелинейных осцилляций заряженной капли в диэлектрической среде

2.1. О расчете амплитуды трансляционной моды при нелинейных осцилляциях капли во внешней среде

2.2. Нелинейные капиллярные колебания заряженной капли в диэлектрической среде

2.3. О резонансном взаимодействии мод нелинейных осцилляций заряженной капли, находящейся во внешней диэлектрической среде

ГЛАВА 3. Нелинейные капиллярные колебания и устойчивость капли движущейся в диэлектрической среде

3.1. Нелинейные капиллярные колебания и устойчивость заряженной капли, движущейся относительно диэлектрической среды

3.2. О раскачке в нелинейных вторичных комбинационных резонансах осдилляций основной моды движущейся относительно среды заряженной капли

3.3. Нелинейные осцилляции и устойчивость незаряженной капли движущейся относительно диэлектрической среды в электростатическом поле

3.4. Нелинейные осцилляции заряженной капли, ускоренно движущейся в электростатическом поле

ГЛАВА 4. Нелинейные осцилляции заряженного слоя жидкости на поверхности твердого сферического ядра

4.1. Неустойчивость заряженного слоя вязкой жидкости на поверхности твердого сферического ядра

4.2. Нелинейные осцилляции заряженного слоя идеальной жидкости на поверхности твердого сферического ядра

ГЛАВА 5. Распад капель на части сравнимых размеров при сильных сфероидальных деформациях связанных с нелинейными осцилляциями

5.1. Деление заряженных капель на части сравнимых размеров при сильных сфероидальных деформациях

5.2. Дробление капли во внешнем электростатическом поле

ГЛАВА 6. ПРИЛОЖЕНИЕ, Анализ капиллярных колебаний и устойчивости заряженной капли в параллельных и скрещенных электрическом и гравитационном полях

6.1. О равновесной форме заряженной капли, движущейся относительно среды в электрическом поле

6.2. О форме заряженной капли в скрещенных электрическом и гидродинамическом полях

6.3. Неустойчивость сферической заряженной капли, движущейся параллельно внешнему электростатическому полю

Результаты и выводы

Введение диссертация по физике, на тему "Аналитическое асимптотическое исследование нелинейных осцилляций заряженных капель, движущихся относительно среды"

Актуальность темы. Исследование устойчивости заряженных капель по отношению к собственному и индуцированному зарядам представляет значительный интерес в связи с многочисленными геофизическими, техническими и технологическими приложениями, в которых фигурирует подобный объект. Несмотря на то, что большинство технических приложений электродиспергирования жидкости имеют дело с неустойчивостью плоской или цилиндрической поверхности, на финальной стадии развития электрогидродинамической (ЭГД) неустойчивости исследователи часто рассматривают произвольную заряженную поверхность, как часть поверхности капли. Например, при исследовании механизма развития неустойчивости на жидком мениске данный капилляр можно рассматривать как сильно вытянутую сфероидальную каплю, помещенную во внешнее электрическое поле [Ширяева, Григорьев 1995]. С этой точки зрения многие приложения явления ЭГД неустойчивости поверхности жидкости оказывается удобным анализировать в рамках моделей ЭГД неустойчивости капли (см. обзоры [Baily 1974; Коженков, Фукс 1976; Бураев, Верещагин, Пашин 1979; Габович 1983; Bailey 1986; Дудников, Шабалин 1987; Золотой, Карпов, Скурат 1988.; Елецкий, Смирнов. 1989; Ширяева, Григорьев, Сыщиков 1989; Fenn, Mann, Meng et al. 1989; Шевченко, Григорьев, Ширяева 1991; Григорьев, Ширяева, Шевченко 1991; Ширяева, Григорьев, Святченко 1993; Григорьев, Ширяева 1994; Григорьев 1990; Колесниченко 1980, Григорьев А.И., Ширяева С.О., Жаров А.Н. Коромыслов В.А. 2005 а, Григорьев А.И., Ширяева С.О., Жаров А.Н. Коромыслов В.А. 2005 Ь] и цитируемую в них литературу).

В связи со сказанным, результаты исследования неустойчивости капли по отношению к собственному и индуцированному зарядам имеют важное значение не только для тех приложений, в которых капля присутствует, как самостоятельный объект, но и играют фундаментальную роль в общей теории и практике применения явления электрогидродинамической неустойчивости поверхности жидкости. С поднятой проблемой тесно связаны вопросы электро-аэрозольных технологий [Болога 1999], задачи очистки жидких металлов от шлаков и окислов [Ширяева, Григорьев 1995], различные геофизические вопросы, касающиеся атмосферного (грозового) электричества [Григорьев, Синкевич 1986; Григорьев 1988; Стаханов 1974], задачи, возникающие при разработке электрокаплеструйных печатающих устройств [Бураев, Верещагин, Пашин 1979], жидкометаллических источников ионов (ЖМИ) и устройств для масс-спектрометрии органических и термически нестабильных жидкостей [Габович 1983; Дудников, Шабалин 1987; Григорьев, Ширяева 1989]. На основе явления неустойчивости заряженной поверхности жидкости созданы устройства для получения порошков тугоплавких металлов

Mahoney, Taylor, Perel 1987], жидкометаллической эпитаксии и литографии [D'Crus, Pourrezali 1985], получения капель жидкого водорода для установок термоядерного синтеза [Woosley, Turnbull, Kim 1982]. Данная задача представляет также значительный интерес и для проблемы грозового электричества в связи с исследованием физического механизма инициирования разряда молнии [Дьячук, Мучник 1979; Grigor'ev, Shiryaeva 1996].

Несмотря на то, что исследованиям устойчивости и распада капель имеющих собственный или индуцированный заряд посвящено в различных постановках значительное число работ, большинство исследований подобных систем проводились в линейном по амплитуде осцилляций приближении [Ширяева, Коромыслов, Григорьев 1998; Григорьев, Коромыслов, Ширяева 1999; Григорьев, Коромыслов, Ширяева 2000]. Нелинейные же осцилляции капли изучены весьма слабо. А аналитические исследования нелинейных осцилляций покоящихся или движущихся капель в среде практически не проводились.

Цель работы состояла в исследовании влияния величины заряда капли, напряженности внешнего электростатического поля, плотности и скорости относительно движения внешней идеальной диэлектрической среды на нелинейные осцилляции формы идеальной идеально проводящей капли и ее устойчивость. Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

- теоретическое асимптотическое исследование нелинейных осцилляций движущейся с постоянной скоростью в материальной среде заряженной капли при многомодовой начальной деформации ее формы;

- исследование физических закономерностей распада капли при ее нелинейных осцилляциях большой амплитуды;

Научная новизна работы состоит в том, что в ней:

На защиту выносятся:

Апробация работы: Результаты работы докладывались на: международной конференции «Современные проблемы электрогидродинамики и электрофизики жидких диэлектриков» (С.-Пб, 1994 г.); 4-ой научной конференции ученых стран СНГ «Прикладные проблемы механики жидкости и газа» (Севастополь, 1995 г.); 2,3,4-d International Aerosol Symposium (Moscow, 1995, 1996, 1998 yy.); молодежной научно-практической конференции «Проблемы моделирования в естествознании» (Волжский, 1997 г.); школе-семинаре молодых ученых, аспирантов и студентов России «Тепло-электрофизические явления в атмосфере и электромагнитное поле Земли при глобальных процессах» (Владимир, 1998 г.); V-VII Международных конференциях «Современные проблемы электро-гидродинамики и электрофизики жидких диэлектриков» (С.-Пб., 1998, 2000, 2003 гг.); Annual Conference on Liquid Atomization and Spray System. (Zurich. Switzerland. 2001 у.); Ill Областной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых вузов «Ярославский край. Наше общество в третьем тысячелетии» (Ярославль. 2002 г.); 3-ей Всероссийской конференции «Математика и математическое образование» (Ярославль, 2003 г.); Всероссийской научной конференции, посвященная 200-летию Ярославского Государственного университета им. П.Г. Демидова (Ярославль, 2003 г.); Всероссийской научной конференции, посвященной 200-летию Ярославского Государственного университета им. П.Г. Демидова (Ярославль, 2003 г.); V Всероссийской конференции по атмосферному электричеству (Владимир, 2003 г.); XVII, XVIII, XX, XXI научных конференциях стран СНГ «Дисперсные системы» (Одесса, 1996, 1998, 2002, 2004 гг.); III межвузовской конференции «Современные информационные технологии в научных исследованиях, образовании и управлении» (Смоленск, 2005 г.).